Некоторые предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Шашкин, Алексей Павлович

• Шашкин, Алексей Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шашкин, Алексей Павлович

Введение

Основные обозначения

Глава 1 Примеры слабо зависимых полей и асимптотическая нормальность

§1.1. Примеры слабой зависимости

§1.2. Центральная предельная теорема, метод Стейна

§1.3. Применение техники Бернштейна к слабо зависимым полям

Глава 2 Оптимальность условий центральной предельной теоремы для ассоциированных полей, приложения

§2.1. Контрпример к гипотезе Ньюмена

§2.2. Ядерные оценки плотности

Глава 3 Максимальные неравенства и принцип инвариантности

§3.1. Моментные неравенства и их следствия

§3.2. Неравенства, основанные на методе рандомизации

§3.3. Функциональные центральные предельные теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей»

Традиционной областью исследований теории вероятностей является получение предельных теорем для различных систем случайных элементов, индексированных точками какого-либо параметрического множества. При этом типичная постановка задачи состоит в изучении поведения определенным образом нормированных сумм случайных величин или случайных векторов. Как правило, указанные суммы берутся по конечным множествам индексов, растущим к бесконечности в определенном смысле. Так, в наиболее распространенном случае, когда множество индексов представляет собой решетку Zd или ее часть, рассматриваются "целочисленные" кубы или параллелепипеды. Используются также параметрические множества более общей природы. В этом случае рост множеств к бесконечности задается определенными условиями, которые вводятся в статистической механике (см., например, [31, с. 30-31]).

Современная теория суммирования независимых случайных величин была создана трудами А.Н.Колмогорова, Б.В.Гнеденко, Г.Крамера, П.Леви, В.Феллера, В.М.Золотарева, И.А.Ибрагимова, Ю.В.Линника, В.В.Петрова и многих других ученых, см., напр., [24, 27, 44]. Начиная с марковских цепей, большое внимание уделяется стохастическим системам, в которых случайные элементы каким-либо образом зависимы. Среди важнейших классов зависимых процессов и полей — мартингалы и близкие им объекты ([44]), марковские процессы и поля ([30, 91]), процессы и поля с перемешиванием ([21,24,70]), гиббсовские поля([22,29]). Имеется ряд классов случайных систем, в которых описание свойств зависимости производится в терминах ковариаций между некоторыми функциями от конечных наборов случайных величин. Эти системы играют большую роль в статистической физике. Изучаемые в ней взаимодействующие частицы часто обладают свойствами притяжения или отталкивания, которым, в вероятностных терминах, соответствует положительная или отрицательная коррелированность должных функций от элементов случайного поля. Здесь важные результаты получили Ч.Лебовиц, Б.Саймон, Ч.Ньюмен, К.Фортуин, П.Кастелейн, Ж.Жинибр, Р.Холли, Т.Лиггетт и другие исследователи.

Исследование предельных закономерностей для сумм зависимых мультиплексированных случайных величин является целью данной диссертационной работы.

Введем ряд определений. Далее Т - произвольное непустое индексное множество. Для конечного множества I С Т пусть |/| - его мощность. Мы будем рассматривать случайные поля {Xt,t Е Т}, определенные на вероятностном пространстве (Q^T, Р) и принимающие при любом t Е Т значения в пространстве Rs, s > 1 (всюду, где речь идет о случайных величинах без указания размерности, считается, что s = 1). Вектор Xt = (Хц, ., Xts) понимается как вектор-столбец. Для действительнозначной функции от «|/| аргументов запись f(Xi) означает, что рассматривается функция f(Xt,t Е I) от случайных векторов Л*, индексы которых принадлежат множеству I. Эта запись определяет случайную величину f(Xj) с точностью до перестановки индексов i Е I (координаты каждого из векторов Xi не переставляются). Однако эта неоднозначность не приводит к недоразумениям везде, где будет использоваться указанное обозначение.

Приведем ряд широко используемых определений зависимости в терминах ковариационных неравенств, обращаясь, после каждого из них, к некоторым важным примерам.

Определение 0.1([76]). Семейство случайных величин {Xt,t Е 21} называется ассоциированным, если для любых конечных множеств индексов /, J С Т и ограниченных покоординатно неубывающих функций / : —R и д : М'*7' —> М. справедливо неравенство cov(f(Xj),g(Xj))> 0.

1) Независимые действительные случайные величины([76]). Произвольное семейство взаимно независимых случайных величин {Zt,t Е Т} ассоциировано (неравенство Чебышева).

2) Гауссовские случайные поля ([108], другое доказательство в [85]). Гауссовское случайное поле {Xt,t G Т} ассоциировано тогда и только тогда, когда его ковариационная функция всюду неотрицательна.

3) "Устойчивые случайные поля ([95]). Пусть X = {Xt,t Е Т} -случайное поле такое, что для любого конечного набора индексов г'х,., in вектор X = (Xj-j, . ,Xin) имеет устойчивое распределение с параметром а Е (0,2). Как известно (см., напр., [34, с. 665-666]), это означает, что его характеристическая функция Еехр{г(Х, Л)} представима в виде exp {~f \(*>Л)ГС1 ~ **9п({*, А)М«,А))Г(<*в) + А) где г2 = — 1, Л Е R", Г— конечная мера на единичной сфере s Е 5П-1, ^ Е R" и <p(a,s,A) равно tg(7ro;/2) при а ф 1 и — (2/7г) In |(s, Л)| при а = 1. Поле X ассоциированно тогда и только тогда, когда для любого набора индексов ii,., in спектральная мера Г обладает свойством

T({s Е 5n1 : SkSv < 0 для некоторой пары индексов k,v}) = 0.

4) Случайные меры ([62,75,111]). Неотрицательная случайная мера X, заданная на ограниченных борелевских подмножествах называется ассоциированной, если для любого к Е N и всех борелевских множеств В\,., Вк таких, что B(Ti) < оо п.н. для i = 1,., к, случайные величины B(Ti),., В(Тк) ассоциированы. Случайная мера называется безгранично делимой, если для любого п Е N существуют независимые одинаково распределенные случайные меры Xi,.,Хп такие, что распределения мер X и Х\ + . + Хп совпадают. Как показано С.Эвансом в [75], любая неотрицательная безгранично делимая случайная мера ассоциирована. Тем самым случайная мера, заданная пуассоновским случайным полем, является ассоциированной.

5) Диффузионные процессы. Пусть X = {Xt, t > 0} - однородный диффузионный процесс со значениями в с матрицей диффузии А(х) = и вектором сноса Ь{х), здесь х Е М®. Под ассоциированностью такого процесса можно понимать как ассоциированность случайного вектора Xt = • • • ПРИ каждом t > 0, так и более сильное условие ассоциированности во времени, т.е. ассоциированность Is—мерного вектора (Xtjj : г — 1,= l,.,s) для любого набора точек ti,.,ti > 0. Пусть А(х) и Ь[х) - гладкие функции на М5, причем существует е > 0 такое, что для любых х, Л Е Rs

Л(«)А|| > е||Л||.

В работе Л.Питта и И.Хербст [85] доказано, что, если atJ(x) > 0 для всех х Е R8 и г, j = 1,s, а, также при любых х Е М® и г, j, к = 1,s

ММ-о кфг г М>0 к то процесс X ассоциирован во времени.

6) Примеры, возникающие в статистической физике. Часто рассматриваются "спиновые" случайные поля на целочисленной решетке Zd, принимающие значения 0 и 1. Такие поля можно интерпретировать как случайные элементы на частично упорядоченном пространстве {0,1}Z<< (считается, что конфигурация {x(t),£ Е Zd} не больше конфигурации {y{t),t Е если x(t) < y{t) для любого t Е Условия типа ассоциированности на частично упорядоченных множествах рассматривались

Б.Линдквистом [97]. В данной задаче ковариационные неравенства удобно задавать для мер на пространстве {0, l}zd. А именно (см., напр., [29, с.24-27]), ассоциированность случайного поля с распределением ^ следует из неравенства li{x V у)ц(х А у) > pi(x)fi(y) для любых х, у G {0,1}Z где х V у = {*(*) V y(t),t в Zd}, х А у = {x(t) A y(t),t £ Zd}. Такое неравенство справедливо ([82]) для модели Изинга с потенциалом, который задан гамильтонианом

Н(х) = JjkXiXk + Ц JkXki Jik j,k j

Описание более общих моделей, в которых оно также выполнено, см., например, в книге К.Престона [29, с. 58 и 61-73]. В §1.1 данной диссертации строятся также новые примеры случайных полей, обладающих более общими свойствами зависимости, чем те, которые рассмотрены выше.

Определение 0.2([61]). Семейство {Xt,t G Т} случайных векторов со значениями в Rs называется слабо ассоциированным (или положительно ассоциированным), если для любых конечных непересекающихся множеств индексов I, J С Т и ограниченных покоординатно неубывающих функций / : Rsl7' М. и'д : RSIJI —> М справедливо неравенство cov(f(Xj),g(Xj))> 0.

Это определение (при d = 1 оно введено в [76]) обобщает ассоциированность на многомерный случай. С помощью примеров, приведенных к определению 0.1, несложно вывести условия, при которых, например, га-уссовское или устойчивое векторное поле будет слабо ассоциированным. В одномерном случае, очевидно, 0.1 влечет 0.2; обратное неверно, как показано в [76].

Определение 0.3([89]). Семейство {Xt,t £ Т} случайных векторов со значениями в М® называется отрицательно ассоциированным, если для любых конечных непересекающихся множеств индексов /, J С Т и ограниченных покоординатно неубывающих функций / : —> R и д : K.SIJI —> IR справедливо неравенство cov(f(Xj),g(Xj))< 0. .

1) Независимые случайные величины. Если семейство {Xt,t Е Т} независимо, то оно, очевидно, удовлетворяет определению 0.3, так как возникающая в нем ковариация равна нулю.

2) Гауссовские случайные поля ([89]). Гауссовское случайное поле отрицательно ассоциированно тогда и только тогда, когда его ковариационная функция неположительна вне диагонали.

3) Примеры, возникающие в математической статистике ([89]). Отрицательную ассоциированность можно рассматривать как усиление требования отрицательной коррелированности случайных величин, часто возникающей в статистических моделях. Пусть Sn - множество перестановок чисел {1,., п}. Пусть X — (Jfi,., Х„) - случайный вектор, принимающий значение (<т(1),., сг(п)) для каждого а € Sn с вероятностью 1/п!. Как показано в [89], компоненты вектора X отрицательно ассоциированы. Это наблюдение позволяет установить отрицательную ассоциированность многих известных распределений, например, мультиномиального, многомерного гипергеометрического и других.

4) Случайные графы ([81]). Пусть G = (V,E) - конечный связный граф и Т - множество всех его остовных деревьев. Будем выбирать с вероятностью 1/|Т| один элемент ТбТ; каждому ребру графа припишем случайную величину X,, принимающую значения 1 и 0 в зависимости от того, содержит ли Т данное ребро. Как показано в [77] (см. также [81]), семейство (Xi,. отрицательно ассоциированно.

Имеется много определений зависимости, родственных приведенным выше. Ограничимся следующими.

Определение 0.4([94]). Семейство случайных величин {Xt,t G Т} называется положительно квадрантно зависимым (PQD), если для любых i,j € Т, г ф j, и любых Xi,Xj Е R справедливо неравенство

Р(Xi > х{,Х; > Xj) > Р(Xi > Xi)P(Xj > xj), и отрицательно квадрантно зависимым (NQD), если для любых i,j G Т, i ф j, и любых Xi, xj £ 1R

Р(Х, > Xi,Xj > Xj) > Р(Х,- > аг,)Р(^ > xj),

Определение 0.5([ЮЗ]). Семейство случайных величин {Xt,t Е Т} называется линейно положительно квадрантно зависимым (LPQD), если для любых конечных непересекающихся множеств индексов I, J С Г и любых наборов неотрицательных чисел {г,, i £ /}, {rj,j G J} случайные величины Х^ге/ и rjXj положительно квадрантно зависимы.

Применения этих понятий связаны в основном с теорией надежности и проверкой статистических гипотез, см., например, [94]. Очевидно, ассоциированное семейство случайных величин удовлетворяет свойству LPQD и тем более PQD. Среди более общих систем, обладающих свойством PQD, можно назвать двумерные распределения класса Фарли-Гумбеля-Моргенштерна [93], т.е. распределения bR2c функцией распределения

F(x, у) = Fx(x)FY(y)( 1 + р( 1 + Fx(*))(l + FY(y))), здесь Fx и Fy - одномерные функции распределения, а р € [0,1].

Возможны и дальнейшие обобщения приведенных определений, связанные, например, с ограничениями, налагаемыми на множества I и «7, фигурирующие в определениях 0.1-0.5 (см., напр., [60,81,90]).

Первой работой, где для некоторого класса случайных процессов было установлено свойство 0.1, стала, по-видимому, работа Т. Харриса 1960 г. [83]. После этого Э.Леман в [94] ввел определения случайных систем, где элементы связаны ковариационными неравенствами (определение 0.4 и некоторые другие) и показал, что такие неравенства могут быть полезным инструментом при исследовании свойств случайных векторов. Затем в [76] Дж.Изери, Ф.Прошаном и Д.Уолкапом было введено определение 0.1, изучены основные свойства ассоциированных систем и даны их применения к задачам математической статистики. Дальнейшее расширение области применения ассоциированности связано с введением К.Фортуином, П.Кас-телейном и Ж.Жинибром в работе [78] условий зависимости случайных полей, данных в виде неравенств для определенных мер на решетках. Эти неравенства (влекущие ассоциированность), названные позже по фамилиям авторов FKG - неравенствами, оказались весьма плодотворными в статистической физике, квантовой механике, теории гиббсовских полей, теории перколяции (см., например, [29,78,102]). Кроме того, ассоциированность и близкие ей понятия находят применения в задачах теории надежности ([1, гл. 2]), финансовой математики ([110]), а также в некоторых задачах классической теории вероятностей, например в исследовании случайных мер [62,75]. Некоторые другие примеры и обобщения этих понятий содержатся в работах [68,74,75,81,85,95,97,103,108,110,111].

Начиная с классической работы Ч.Ньюмена [102], активно изучаются предельные свойства случайных процессов и полей, для которых выполнены свойства зависимости 0.1-0.5 или близкие им. Основные результаты в этой области получили Ч.Ньюмен, Дж.Кокс, Дж.Гримметт, Т.Биркел, А. В. Були некий, М.Кин, А.Домбровский, К-М.Шао и многие другие авторы. Доказаны, в частности, различные формы центральной предельной теоремы и оценки скорости сходимости нормального приближения, в том числе и неулучшаемые [8, 55,103]. Установлены принципы инвариантности [49,58,104,123], законы повторного логарифма (обычный и функциональный) [9,67,115], статистический вариант центральной предельной теоремы [12,56], оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел [19,98] и другие предельные теоремы.

Характерной особенностью предельных теорем для случайных процессов и полей, обладающих свойствами зависимости 0.1-0.5 и родственными им, является то, что в них требуются, как правило, условия двух типов: предположения о наличии абсолютных моментов некоторого порядка у изучаемых случайных величин и скорости убывания (например, степенной) ковариационной функции, когда ее аргументы "удаляются" друг от друга. В качестве примера приведем формулировку классической центральной предельной теоремы Ньюмена.

Теорема 0.1 ([102]). Пусть X — {Xj,j £ Zd} - центрированное ассоциированное строго стационарное поле. Для каждого п Е N введем случайное поле G Z"'}, полагая n(*i+l) n(M-l)

2 £ . J2 = ад. jl=nk\ jl=nkd

Пусть EXq < сю и о1 — cov(Xo,Xj) < оо. jezd

Тогда поля 6 сходятся при п —> оо (в смысле слабой сходимости конечномерных распределений) к полю Y — {У*, к € состоящему из независимых гауссовских величин Yk со средним 0 и дисперсией а1.

Условие суммируемости ковариаций называется также конечной восприимчивостью (finite susceptibility), так как физически оно соответствует "слабой" зависимости элементов поля, "далеко отстоящих" друг от друга. Для ассоциированных полей, не обладающих стационарностью, Дж.Кокс и Дж.Гримметт в работе [66] ввели аналог этого условия слабой зависимости с помощью коэффициента w(r) = sup cov{Xj,Xk), г G N, j£Zd k(=Zd:\k-j\>r где \k — j\ = supl=1 — ji\. В нестационарном случае обычно предполагают, что м(0) < оо и и(г) 0 при г —> оо.

Заметим, что ситуация здесь во многом аналогична теории суммирования случайных величин с перемешиванием, где для выполнения предельных теорем налагаются условия определенной скорости убывания коэффициентов перемешивания (см., например, [24, гл. 17]). Однако, оценка коэффициентов перемешивания представляет собой весьма трудную задачу (вопросы установления должной скорости перемешивания рассматривались, например, в [24, гл. 17, § 3], [70, часть 2], [6]). Использование ковариационной функции является в этом смысле гораздо более привлекательным. Это оправдывает целесообразность изучения и применения моделей, удовлетворяющих определениям 0.1-0.5 и родственных им. Отметим также, что имеются примеры случайных систем, обладающих введенными свойствами зависимости, однако не обладающих свойством перемешивания, см., напр., [72]. Ясно также, что не всякое поле с перемешиванием ассоциированно, так как ассоциированность влечет неотрицательную коррелированность.

Далее потребуются следующие обозначения. Функцию / : R" —» М будем называть липшицевой, если

Хфу |р-2/||1 где \\г\\г = \zi\ + • • - + \zn\,

Пусть BL(M.n) - пространство ограниченных действительных липшице-вых функций от п переменных и BL = Une^BL(M.n). Для / G ВЬ(Шп) положим

11/Цоо = sup |/(х)| и Lip(/)<oo.

При доказательстве предельных теорем для положительно или отрицательно зависимых величин с конечными вторыми моментами часто вместо определения зависимости соответствующего типа достаточно использовать следующее свойство, вытекающее из определений 0.1-0.3. Оно присутствует в ряде работ, начиная, по-видимому, с [49], в различных формулировках, см. также [8, 112]. Приведем в виде теоремы его вариант из работы А.В.Булинского и Э.Шабанович.

Теорема 0.2 ([15]). Пусть Т - некоторое множество, случайные векторы {Xj, t Е Г} со значениями в М® имеют конечный второй момент и удовлетворяют одному из определений 0.1-0.3 (определение 0.1 дано только при s = 1). Тогда для любых непересекающихся конечных множеств I, J С. Т и ограниченных липшицевых функций f : R5'7' —> К и д : R^"7' —> R справедливо неравенство cov(f(Xt),g(Xj))\<Lip{f)Lip(g) £ E \cov(Xik,Xjv)\. (0.1) ieijeJ k,v=l

В связи с этим в [60] и [10] вводится следующее определение.

Определение 0.6. Семейство случайных векторов {Xt,t G Т} со значениями в R", имеющих конечный второй момент, называется квазиассоциированным, если для любых непересекающихся конечных множеств /, J С Т и всех ограниченных липшицевых функций / : RS'7I —> К. и g : MSIJI —> R выполнено неравенство (0.1).

Итак, определение 0.6 дает возможность унифицированного подхода к исследованию как положительно, так и отрицательно зависимых случайных величин, обладающих конечными вторыми моментами.

Замечание 0.1. Определение 0.6 не совпадает с понятием квазиассоциированности, введенным в работе [90]. Последнее представляет собой модификацию определения 0.1, в которой налагаются ограничения на взаимное расположение множеств I и J.

Основной объект исследования в диссертационной работе - более общая модель, предложенная и изученная в работах П.Дукана, С.Луиши, А.В.Булинского, Ш.Сюке, Г.Ланга, А.П.Шашкина ([15,16,60,71,72]) для случайных процессов и полей. Чтобы дать ее описание, рассмотрим функционал

F(f,g-,I,J) = \cov(f(XI),g(Xj))\y где X = {Xt,t Е Т} - случайное поле, функции fug принадлежат заданным классам функций, а / и J - конечные непересекающиеся подмножества Т. На / и J могут налагаться некоторые ограничения, например, может рассматриваться только случай |/| = 1. Естественно считать, что зависимость поля X, т.е. функция F для фиксированных / и д, должна убывать с ростом расстояния между I и J. Однако она может возрастать с ростом мощности множеств / и J, если расстояние между ними сохраняется. На множестве Zd введем метрику dist(i,j), заданную нормой ]|j||oo = max^i,.^!^!, j G Zd.

Определение 0.7([71]). Пусть заданы некоторый класс С функций конечного числа действительных аргументов со значениями в R и неотрицательный функционал ф : С? х N2 —>• R. Случайное поле X = {Xt,t 6 Zd}i d > 1, со значениями в Re, s > 1, называется (в, С,ф)—зависимым (слабо зависимым), если существует невозрастающая последовательность О = {вг}, 9Г —у 0 при г —> оо, такая, что для любых г G N, произвольных непересекающихся конечных множеств /, J С Т с dist(I, J) > г и всех ограниченных липшицевых функций / : —► R и д : RSIJ' —» R имеет место неравенство cov(f(Xi),g{Xj))\ < И, (0.2)

Аналогично могут рассматриваться случайные поля, заданные на части U индексного множества Zd (и, соответственно, множества I и «/, содержащиеся в U).

Как правило, в качестве С берется класс ограниченных липшицевых функций, т.е. введенный выше класс BL, а функционал ф предполагается зависящим от функций / и д только через ||/||оо, Lip(f), |Ы|оо и Lip(g). Наиболее часто рассматриваются два типа функционалов:

W/, <7, |/|, |J|) = min(|/|, \J\)Lip(f)Lip(g), МШ1Ш) = \I\Lip(f)\\g\\oo + \J\LiP(g)\\fWoo. { ' )

В работах [41, 59, 60] свойство (0, BL, ^i)—зависимости называется (BL, в)—зависимостью. Термин (9, ф)—зависимость употребляется в работах [71,72]. Следует отметить, что всякое квазиассоциированное случайное поле (в смысле определения 0.6), обладающее конечным вторым моментом, удовлетворяет определению 0.7 с ф = ф\ и 8

Or = sup ]Г ]П |coV(XibXit,)|, Г G N, (0.4) i£Zd\\j\\>rk,v=l если последнее выражение конечно и 9Г —у 0 при г —> со. Таким образом, в силу теоремы 0.2, положительно или отрицательно ассоциированное случайное поле с суммируемой ковариационной функцией также удовлетворяет условию зависимости 0.7.

Следует отметить, что рассматриваются и другие модификации определения 0.7. Так, пробные функции степенного типа в ковариационных неравенствах ранее использовались Ю.Ю.Бахтиным и А.В.Булинским ([3]) для получения оценок абсолютных моментов частичных сумм мультиин-дексированных зависимых случайных величин. Линейные функции / и д (и коэффициент корреляции вместо ковариации) применялись в [51] при изучении свойства ограниченности спектральной плотности стационарных в широком смысле случайных полей. Пробные функции типа комплексной экспоненты рассматривались в работах [72,88]. Функции / и д> имеющие ограниченную вариацию на отрезке, использованы в задаче оценки плотности в [109].

Примеры случайных процессов и полей, удовлетворяющих свойствам (В, ВЬ,ф)—зависимости с ф = ф\ или ф = Ф2, приведены в работах [71,72]. К первому типу относятся, как указано выше, положительно или отрицательно зависимые величины, а также гауссовские процессы с суммируемой ковариационной функцией; ко второму — линейные поля и их обобщения: поля Вольтерра (полиномиальные поля), некоторые ARCH-сис-темы. Напомним ([71]), что поле Вольтерра Е определяется как сумма оо 2-Л* aji-jkTl*-Ji • • ' Чг-Зк

Здесь предполагается, что l4wJ < 00 и (W е Z<*} ~ поле независимых одинаково распределенных случайных величин, таких что Е|?7о|* < 1 для любого к EN.

Примеры слабо зависимых систем, полученные в диссертации, можно разделить на две группы. Одни из примеров опираются на теорему 0.2, которая стала основной причиной введения в рассмотрение слабо зависимых систем типа 0.7; другие связаны со стационарными распределениями марковских процессов. Идея получения ковариционных неравенств для вероятностной меры на решетке (в том числе FKG-неравенства) с помощью исследования марковского процесса, инвариантная мера которого совпадает с изучаемой, впервые возникла, по-видимому, в работе Р.Холли [87] и далее развивалась, например, в [121]. С другой стороны, прогресс в теории марковских процессов привел к установлению свойств, которые позволяют получать, например, FKG-неравенства для распределений процесса, исходя из вида его генератора, см., например, работы Т.Харриса, Дж.Кокса, И.Хербст и Л.Питта ([65, 84, 85]). Результаты о поведении гладких функций от марковских процессов, доказанные в [26, гл. 2] и [85], позволяют установить слабую зависимость распределения марковского процесса (на должном фазовом пространстве) в любой момент времени, если начальное распределение было детерминированным, и, следовательно, в случае эргодичности процесса - слабую зависимость инвариантного распределения.

Предметом данной диссертационной работы являются (в, BL, ф\)—зависимые векторные поля, их примеры и асимптотические свойства. В дальнейшем для упрощения изложения будем называть такие поля слабо зависимыми; соотношение (0.2) с ф = ф\ - условием зависимости поля X; 9 = {в г7 ^ > 1} ~ коэффициентом зависимости.

Так как определение 0.7 устанавливает определенную оценку скорости убывания функционала F при удалении друг от друга индексных множеств, то естественная область исследования для (0,С,ф)~зависимых систем - предельные теоремы. Имеющиеся работы П.Дукана, А.В.Булинского и ряда других авторов содержат результаты о нормальном приближении [56,60,64,99], принципы инвариантности для эмпирических процессов [71, 72], свойства ядерных оценок плотности [73], моментные неравенства для случайных последовательностей[100], скачков функции регрессии [46]. Приведем один из результатов работы [60].

Теорема 0.3. Пусть X = {Xt,t £ Zd} есть (0, ВЬ,фх)—зависимое случайное поле такое, что ЕXj — 0 и ЕXj < оо для каждого j Е Zd. Тогда для любого конечного U С для которого В2 = ^2jeu EXj > 0, всех х G К. и произвольных положительных е, 7 верна оценка |P(B1 - х) ~ ?{Z - | - Р(х ~ 7 - Z - х + jeu (2 + (у + (4 + г + 2е~1)Се + З^В"2^), здесь Се = B~2^-eUE.Xj\{\Xj\ > еВ} - функция Линдеберга, Z ~ iV(0,l).

Получение центральной предельной теоремы и оценки точности нормальной аппроксимации для нормированных сумм случайных величин относятся к фундаментальным задачам теории вероятностей. В этой связи достаточно упомянуть книги [7, 24, 25, 27, 44]. Точность нормального приближения для ассоциированных полей исследовалась различными способами. Первым из них был метод характеристических функций, которым Ч.Ньюмен установил в 1980 теорему 0.1. Центральное место в доказательстве занимает неравенство Ньюмена, т.е. оценка близости характеристических функций двух векторов, один из которых ассоциирован, а второй составлен из независимых компонент, имеющих те же одномерные распределения, что и соответствующие компоненты первого вектора. Заметим, что это неравенство (точнее, отличающееся несущественным положительным множителем) следует из теоремы 0.2. Впоследствии этот метод использовался в работах [61,66,67,103,105]. Применение его к векторным слабо ассоциированным полям, развивающее подход работы [67], разработано в статье [37].

Второй способ состоит в применении техники Стейна (Ch. Stein). Напомним, что идея метода Стейна [119,120] в простейшем случае состоит в следующем. Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение f'(w) - wf(w) = g(w) - Еg(Z), w G M, (0.5) где g - заданная ограниченная непрерывная функция и Z ~ N(0,1). Единственное ограниченное решение указанного уравнения - функция W

- Е g(Z))dt, шбМ. оо

Заменим теперь w в (0.5) на случайную величину W и возьмем математическое ожидание от каждой части этого уравнения. Тогда видим, что левая часть дифференциального уравнения теперь позволяет оценить Е<7(И^) — Еg{Z), т.е. точность нормального приближения, в терминах функций, зависящих только от W и /.

Этот метод впоследствии был значительно развит. Среди его обобщений можно упомянуть работы Л.Чена [63], где на основании аналогичных идей изучается пуассоновская аппроксимация, работы А.Н.Тихомирова [32,33], где близость к нормальному закону оценивается с помощью исследования не функций распределения нормированных сумм случайных величин, а их характеристических функций, работы [79,80], где изучается многомерный вариант метода Стейна, работы [15, 48], основанные на диффузионной аппроксимации для случайного поля. Интересные приложения техники Стейна (полугруппового подхода) в статистических моделях изучаются в [47].

В общих чертах идея обобщений метода Стейна на пространства более общего вида, нежели М, такова: пусть £ и rj - два случайных элемента с распределениями соответственно Р и Q. Предположим, что построен марковский процесс X = {Xs,s > 0} с генератором А и стационарным распределением Р. Тогда Е(.Д5)(£) = 0 для некоторого достаточно богатого класса функционалов 5, принадлежащих области определения оператора Л. Поэтому близость распределений Р и Q можно оценить, оценив выражение Е(AS)(rj). В §1.3 нами дается другое обобщение метода Стейна на М®, использующее, в отличие от одномерного случая, анализ системы дифференциальных уравнений в частных производных. С его помощью доказывается ряд теорем о нормальной аппроксимации, распространяющих результаты работы А.В.Булинского и Ш.Сюке [60] на многомерный случай. Показано, что предлагаемый путь дает, в определенном смысле, лучшую аппроксимацию, нежели традиционное решение, строящееся указанным выше образом, например, в [79].

Естественный вопрос, возникающий при изучении предельных закономерностей теории вероятностей - оптимальность условий той или иной теоремы. Эта проблематика также рассматривается в диссертации. Нас интересует оптимальность условий центральной предельной теоремы Ньюмена для строго стационарной ассоциированной последовательности {Xj,j Е Z}. Именно, в цитированной выше работе Ч.Ньюмена [102], наряду с доказательством центральной предельной теоремы для случая конечной восприимчивости, высказана гипотеза, что естественным расширением этого результата было бы обобщение его на случай, когда неубывающая функция

Цх) = ^ cov(X0,Xj), х>1, (0.6) представляет собой неограниченную медленно меняющуюся функцию, т.е.

L t оо, L G 5, (0.7) где S - класс медленно меняющихся функций, заданных на [1,оо). Напомним, что действительная функция К(х), х > 1, называется медленно меняющейся (см., например, [24, приложение 1]), если для любого с > 1 lim М = 1. (0.8) х-нзо К(х)

Легко видеть, что соотношению (0.8) удовлетворяет, в частности, функция К(х) — In х.

В качестве нормированных сумм рассматриваются случайные величины Yn = {(DSn)'^2Sn, п £ N}, имеющие DSn > 0.

Заметим, что для процессов с перемешиванием достаточным условием справедливости центральной предельной теоремы (наряду с некоторыми требованиями на моменты и коэффициенты перемешивания) является медленное изменение функции L(n) ([24, гл. 17]). Льюис в [96] доказал, что для строго стационарных ассоциированных последовательностей {Хп,п £ N} соотношение Yn —> N(0,1) по распределению (при п —> оо) эквивалентно равномерной интегрируемости семейства {5^}. В случае, когда L(n) ~ log п при п —> оо, в работе [86] был построен пример строго стационарной ассоциированной последовательности, для которой выполнено (0.7), но неверна центральная предельная теорема (при стандартной нормировке). Поэтому естественно возникает вопрос, можно ли уточнить гипотезу Ньюмена так, чтобы она стала верной. Точнее, сформулируем

Предположение 0.1. Существует множество S медленно меняющихся функций таких, что L{x) —У оо, и для любой строго стационарной ассоциированной последовательности с

ЕХ0 = 0, EXq < оо (0.9) и S|i|<ar cov(Xo,Xj) ~ L(x) при х оо, где L € S, верна центральная предельная теорема.

Если рассматривать только упомянутые случайные последовательности с дополнительным условием Ej.Xo|2+<J < оо, где 6 > 0, то такой класс выделить можно. Действительно, согласно результату М.А.Вронского, центральная предельная теорема выполнена для таких последовательностей, если limn^oo L(n1+£)/L(n) = 1 при некотором е > 0 (см. [20] и там же более подробное обсуждение вопроса).

Однако, если отказаться от дополнительных моментных предположений, ограничившись (0.9), утверждение, содержащееся в предположении 0.1, доказать невозможно, как показано в теореме 2.1.1 данной диссертационной работы. Для произвольной возрастающей к бесконечности медленно меняющейся функции L строится пример строго стационарной ассоциированной последовательности {Х„,п > 0}, такой, что справедливо (0.9) и DSn ~ nL(rc), но нормированные суммы Sn/y/nL(n) не имеют невырожденного предельного распределения (точнее, какова бы ни была возрастающая последовательность В(п), случайные величины Sn/у/пЩп) не сходятся к нормальному закону). Таким образом, требование суммируемости ковариаций в теореме Ньюмена является оптимальным. Более того, это требование позволяет перейти от определений положительной или отрицательной ассоциированности к более общему определению (в, ВЬ,ф\)— зависимости. При переходе к нему не теряется достаточно крупных (в описанном здесь смысле) классов случайных процессов и полей, для которых была бы верна центральная предельная теорема.

В качестве приложения результатов §1.3 о точности нормального приближения изучаются ядерные оценки плотности для строго стационарного слабо зависимого случайного поля. В непараметрической статистике хорошо известна задача оценки неизвестной плотности f(x) одномерных распределений случайного поля X = {Xf,t € Т}, удовлетворяющего тем или иным условиям зависимости, см., напр., [18]. Среди наиболее используемых на практике путей решения этой задачи - применение ядерных оценок (оценок Парзена-Розенблатта), определяемых формулой

Ш=re £ л' (ЧтО •«6 к-, я 6 N, (0.Ю) здесь {Un} - некоторая последовательность подмножеств индексов, К -заданная вероятностная плотность (ядро), а {hn} ~ определенная положительная числовая последовательность. Эти оценки для различных классов случайных полей хорошо изучены ([18,50,113]). Помимо свойств зависимости данного поля, на свойства ядерных оценок влияют выбор К и hn, а также свойства плотностей конечномерных распределений поля (ограниченность плотности одномерных распределений, существование совместных плотностей Х{ и Xj и т.п.). В частности, представляет интерес вопрос об асимптотической нормальности ядерных оценок.

Исследование ядерных оценок для слабо зависимых случайных процессов было начато в работе [73], где была доказана их асимптотическая нормальность (в частности, предполагалось, что вг = О (г-12-"), г оо, для некоторого и > 0). Дальнейшее исследование, в частности, выявление скорости нормального приближения для оценок плотности действительнозначного случайного поля, было проведено в работе А.В.Булинского и Н.В.Миллионщикова [14] на основе центральной предельной теоремы из [60]. Аналогично, пользуясь результатами диссертации об асимптотической нормальности в многомерном случае, и учитывая, что оценка в (0.10) представляет собой нормированную сумму элементов слабо зависимого поля, получаем новый результат о нормальном приближении для оценок плотности в случае векторного поля X = {Xj,j G Zd}.

Функциональными предельными теоремами, или принципами инвариантности в слабой форме, называются результаты о сходимости распределений случайных процессов, образованных суммами случайных слагаемых, как элементов функциональных пространств. Существенная часть доказательства таких теорем - проверка относительной компактности изучаемой последовательности распределений. В соответствии с фундаментальной теоремой Ю.В.Прохорова [28], слабая относительная компактность семейства вероятностных мер в польском пространстве эквивалентна его плотности. Основным инструментом доказательства последней (в случае рассмотрения слабой сходимости в равномерной топологии) являются соответствующие максимальные неравенства.

Установление максимальных неравенств для различных семейств случайных величин - одна из традиционных задач теории вероятностей (см., например, [5, гл. 2], [27, гл. 3], [70, § 1.4.3]). Эти неравенства представляют интерес как сами по себе, так и в качестве инструмента при доказательстве предельных теорем - усиленного закона больших чисел, принципов инвариантности, законов повторного логарифма. В ряде работ устанавливались и максимальные неравенства для ассоциированных и отрицательно ассоциированных величин ([2,58,92,104,115]). Затем эти неравенства применялись к предельным теоремам. Приведем формулировку принципа инвариантности Булинского - Кина.

Теорема 0.4([60]). Пусть X = {XjJ <Е Zd}, d > 1, - ассоциированное центрированное стационарное в широком смысле поле. Предположим, что supj E|Xj|2+<* < оо для некоторого 6 > 0 и коэффициент Кокса-Гримметта и(г) существует и удовлетворяет для некоторого г/ > О условию u(r) = 0(r~v) при г —> оо. Тогда процессы частичных сумм n<i] [n<d] wn(t)=n-w Yl'"Ylx^te [°> У*n G N' л=1 jd=i где j = (ji,.,jd) G Nd, сходятся no распределению (при n —У оо) в пространстве Скорохода к случайному полю {crWt,t £ [0, l]rf}. Здесь <т2 = w(0) и W есть стандартное d-параметрическое броуновское движение.

В случае (BLy6)—зависимых случайных полей моментные и максимальные неравенства доказывались ранее только для ограниченных случайных величин [71,100]. Здесь мы выводим новые неравенства в двух первых параграфах третьей главы. При этом одни из неравенств основаны на результатах Ф.Морица [101] о максимумах частичных сумм случайного поля. Согласно теореме Морица, при определенных условиях максимальные неравенства являются следствиями должных моментных неравенств. Другие - основаны на технике рандомизации (разработанной М.Пелиград, Л.Жанг, Дж.Вен в [106,123]) и результатах § 3.1. В третьем параграфе главы 3 полученные оценки прилагаются к выводу принципа инвариантности для слабо зависимого случайного поля. Именно, с их помощью устанавливается плотность семейства нормированных случайных процессов в равномерной топологии. Затем проверяется, что любой частичный предел по рассматриваемой базе имеет распределение d—параметрического броуновского движения.

Следует отметить, что доказываемый в диссертации для случайных полей принцип инвариантности не предполагает стационарности и наличия моментов порядка выше второго. Таким образом, даже в случае ассоциированного случайного поля (при определенной скорости убывания ковариа-ций) он дает некоторое обобщение известных функциональных предельных теорем.

Кроме того, в третьем параграфе главы 3 доказывается принцип инвариантности для слабо зависимого случайного поля в пространстве Этот результат установлен при более слабых предположениях, чем принцип инвариантности в пространстве С. Теорема 3.5 обобщает результат работы Ш.Сюкэ и П.Оливейры [105].

Структура работы

Работа, объемом 108 страниц, состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 123 наименования.

Первая глава содержит три параграфа. В §1.1 даются некоторые вспомогательные результаты о слабо зависимых случайных системах и приводятся примеры (BL, &)— зависимых случайных систем. В § 1.2 дается обобщение метода Стейна на векторные случайные поля. С помощью предложенного метода в теоремах 1.2.1—1.2.3 устанавливаются новые оценки скорости нормального приближения, обобщающие на векторные случайные поля результаты работы [60]. В §1.3 мы приводим следствие этих оценок (теорема 1.3.1), которое получается применением к случайному полю техники секционирования, восходящей к классическому методу С.Н.Бернштейна (для полей об этом см, напр., статью [13]). Этот результат затем используется в главе 2 при исследовании ядерных оценок плотности.

Вторая глава состоит из двух параграфов и, главным образом, посвящена изучению условий применимости центральной предельной теоремы для слабо зависимых величин. В §2.1 изучается гипотеза Ньюмена о возможности обобщения центральной предельной теоремы для строго стационарного ассоциированного случайного поля с несуммируемой ковариационной функцией. Основной результат здесь устанавливает существование контрпримера к предположению 0.1. Тем самым дается отрицательный ответ на гипотезу Ньюмена и выявляется оптимальный характер теоремы 0.1. Во втором параграфе главы 2 рассматриваются статистические приложения результатов § 1.3 о нормальной аппроксимации. С их помощью доказывается асимптотическая нормальность и находится оценка скорости нормального приближения для ядерных оценок плотности одномерных распределений стационарного слабо зависимого случайного поля.

Третья глава посвящена функциональной центральной предельной теореме для слабо зависимых случайных величин. Здесь три параграфа. В §§ 3.1-3.2 доказываются новые максимальные неравенства. В первом параграфе устанавливается неравенство, основанное на теореме Морица, во втором - два неравенства, основанные на методе рандомизации. Наконец, в §3.3 результаты §§3.1, 3.2 и главы 1 применяются к получению принципов инвариантности для слабо зависимого случайного поля.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [16, 37-43,59,117,118]. В работе [59] А.В.Булинскому принадлежат постановка задачи и подход к анализу уравнений Стейна с помощью ковариационных неравенств и соответствующей функции Линдеберга. А.П.Шашки-ну принадлежат исследование возникающей системы дифференциальных уравнений в частных производных и использование техники секционирования. Все остальные результаты получены А.П.Шашкиным самостоятельно.

Результаты диссертации докладывались автором на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002 и 2004 г.), международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003 г.), Тринадцатой Европейской конференции молодых статистиков (Овронна, Швейцария, 2003 г.), на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 2004), а также на научных семинарах, проводимых на механико-математическом факультете МГУ. Тематика работы была поддержана грантами РФФИ 603-01-00724 и Программы поддержки ведущих научных школ НШ 1758.2003.1.

Автор благодарен своему научному руководителю профессору А.В.Булинскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы.

Основные обозначения - "положить по определению",

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

Z+ - множество целых неотрицательных чисел,

R - множество действительных чисел,

С - множество комплексных чисел, х||, х Е Re, s Е N - евклидова норма вектора ||x|| = {х\ Н-----\-x2s)lt2, х Е R% sGN - максимальная норма, х = max{|^i|,., \\х\\и xeR*,seN- норма ||o:||i = |#i| + • • • + \xs\, aV b = max{a, 6}, а Л 6 = min{a, 6}, для а, Ь Е R, [а] = max{n Е Z : п < о}, {а} = [а] — а, для а Е R, А* - матрица, сопряженная к матрице А, Тг А - след матрицы А, Ij, d > 1 - единичная матрица порядка d,

ЦАЦ, ||Л||i - матричные нормы, соответствующие векторным нормам ||-|| И II • 111, v,w) - скалярное произведение векторов v,w Е Rs; 1м - индикатор множества М, дМ - граница множества М в метрическом пространстве, As, 5 > 0 - J-окрестность множества М в метрическом пространстве, С(Т) - пространство действительных непрерывных функций на метрическом пространстве Т,

О, Т, Р) - вероятностное пространство, ЕХ - математическое ожидание случайного вектора X, cov(XyY) - ковариация случайных величин X и У, DX - ковариационная матрица случайного вектора X, iV(<2, В) - нормальное распределение с математическим ожиданием а и ковариационной матрицей Б, Leb - мера Лебега, а, 6), для а, b Е Zd - "целочисленный параллелепипед" U = V П Zd, где V = [ai,6i) х ••• х [ad] bd).

Все прочие обозначения будут поясняться при их введении. В каждом параграфе теоремы, леммы, предложения, следствия и замечания нумеруются подряд (например, лемма 2.1.2 - вторая лемма первого параграфа главы 2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шашкин, Алексей Павлович, 2005 год

1. А.В.Булинский, И.Г.Журбенко. Центральная предельная теорема для аддитивных случайных полей. Теория вероятностей и ее применения. 1976. Т.21. Вып. 4. С. 707-717.

2. А.В.Булинский, Н.В.Миллионщиков. Скорость нормального приближения ядерных оценок плотности для квазиассоциированного случайного поля. Теория вероятностей и матем. статистика. 2002. № 6. С. 34-45.

3. А.В.Булинский, Э.Шабанович. Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей. Фундам. и прикл. математика. 1998. Т. 4. JVS 2. С. 479492.

4. А.В.Булинский, А.П.Шашкин. Нормальное приближение для векторного (BL, 0)-зависимого случайного поля. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Том 9. Вып. 3. С. 593-594.

5. Р.Н.Бхаттачария, Р.Ранга Рао. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М., Наука, 1982.

6. А.Ю.Веретенников. Параметрическое и непараметрическое оценивание для цепей Маркова. М., МГУ, 2000.

7. М.А.Вронский. Скорость сходимости в усиленном законе больших чисел для ассоциированных последовательностей и полей. Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т.43. Вып. 3. С.439-455.

8. М.А.Вронский. Некоторые предельные теоремы для ассоциированных случайных полей. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1998.

9. В.Ф.Гапошкин. Оценки моментов для интегралов от р—перемешивающих случайных полей. Успехи матем. наук. 1988. Т.43. Вып. 5. С. 169-170.

10. Р.Л.Добрушин. Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с взаимодействием. Функц. анализ и его приложения. 1968. Т. 2. Вып. 4. С. 31-43.

11. Е.Б.Дынкин. Марковские процессы. М., Физматгиз, 1963.

12. И.А.Ибрагимов, Ю.В.Линник. Независимые и стационарно связанные величины. М., Наука, 1965.

13. В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М., МГУ, 1990.

14. Т.М.Лиггетт. Марковские процессы с локальным взаимодействием. М., Мир, 1989.

15. В.В.Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., Наука, 1987.

16. Ю.В.Прохоров. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения. 1956. Т.1. Вып. 2. С.177-238.

17. К.Престон. Гиббсовские состояния на счетных множествах. М., Мир, 1977.

18. Ю.А.Розанов. Марковские случайные поля. М., Наука, 1981.

19. Д. Рюэль. Статистическая механика. Строгие результаты. М., Мир, 1971.

20. А.Н.Тихомиров. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин. Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т.25. Вып. 4. С.800-818.

21. А.Н.Тихомиров. О нормальной аппроксимации сумм векторных случайных полей с перемешиванием. ДАН СССР. 1983. Т.272. № 2. С.312-314.

22. В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее применения. Т. 2. М., Мир, 1984.

23. А.Н.Фролов. Об асимптотическом поведении больших приращений сумм независимых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения. 2002. Т. 47. Вып. 2. С. 366-374.

24. Э.Хеннан. Анализ временных рядов. М., Наука, 1964.

25. А.П.Шашкин. Оценка типа Берри-Эссеена для слабо ассоциированного векторного случайного поля. Матем. заметки. 2002. Т. 72. JV2 4. С. 617-624.

26. А.П.Шашкин. Квазиассоциированность гауссовской системы случайных векторов. Успехи мат. наук. 2002. Т. 57. Вып. 6. С. 199-200.

27. А.П.Шашкин. Принцип инвариантности для (ВL, в)—зависимого случайного поля. Успехи матем. наук. 2003. Т. 59. Вып. 3. С. 193-194.

28. А.П.Шашкин. Функциональная центральная предельная теорема для слабо зависимого случайного поля. Обозрение прикладной и промышл. математики. 2004. Т. 11. Вып. 3. С. 520-521.

29. А.П.Шашкин. Максимальное неравенство для слабо зависимого случайного поля. Матем. заметки. 2004. Т.75. № 5. С. 773-782.

30. А.П.Шашкин. К центральной предельной теореме Ньюмена. Теория вероятностей и ее применения. 2005. Т.50. Вып. 2.

31. А.П.Шашкин. Принцип инвариантности для одного класса слабозависимых случайных полей. Вестник МГУ. Серия 1, "Математика. Механика". 2004. № 4. С. 24-30.

32. А.Н.Ширяев. Вероятность-1, Вероятность-2. 3-е изд., перераб. и доп. М., МЦНМО, 2004.

33. А.Л.Якымив. Многомерные тауберовы теоремы и их приложение к ветвящимся процессам Беллмана-Харриса. Матем. сборник. 1981. Т.115. ДО 3. С. 463-478.

34. P.Ango Nze, C.Prieur. Estimation d'une rupture en dependance faible. C.R. Acad. Sci. Paris. 2002. T.335. Serie I. P.267-270.

35. A.J.Baddeley. Time-invariance estimating equations. Bernoulli. 2002. V. 6. ДО 5. P. 783-808.

36. A.D.Barbour. Stein's method for diffusion approximations. Prob. Th. Rel. Fields. 1990. V. 84. ДО 3. P. 297-322.

37. T.Birkel. On the convergence rate in central limit theorem for associated processes. Ann. Probab. 1988. V. 16. ДО 4. P. 1685-1698.

38. D.Bosq, F.Merlevede, M.Peligrad. Asymptotic normality for density kernel estimators in discrete and continuous time. J.Multivar. Anal. 1999. V. 68. ДО 1. P. 78-95.

39. R.C.Bradley. On positive spectral density functions. Bernoulli. 2002. V. 8. ДО 2. P. 175-194.

40. H.Y.Chen. Poisson approximation for dependent trials. Ann. Probab. 1975. V. 3. № 3. P. 534-545.C.Coulon-Prieur, P.Doukhan. A CLT for triangular arrays under new weak dependence conditions. Statist. Prob. Lett. 2000. V.47. Л* 1. P. 6168.

41. J.T.Cox. An alternative proof of a correlation inequality of Harris. Ann. Probab. 1984. V.12. ДО 1. P.272-273.

42. J.T.Cox, G.Grimmett. Central limit theorems for associated random variables and the percolation model. Ann. Probab. 1984. V.12. ДО 2. P. 514528.

43. A.R.Dabrowski, H.Dehling. A Berry-Esseen theorem and afunctional law of the iterated logarithm for weakly associated random vectors. Stochastic processes and their applications. 1988. V.30. ДО 2. P.277-289.

44. A.R.Dabrowski, A. Jakubowski. Stable limits for associated random variables. Ann. Probab. 1994. V.22. ДО 1. P.l-16.

45. C.M.Deo. A functional central limit theorem for stationary random fields. Ann. Probab. 1975. V.3. ДО 4. P.708-715.

46. P. Doukhan. Mixing: Properties and Examples. Lecture Notes in Statistics, 85. Berlin, Springer, 1994.

47. P.Doukhan, G.Lang. Rates in the empirical central limit theorem for stationary weakly dependent random fields. Statistical Inference for Stochastic Processes. 2002. V. 5. ДО 2. P. 199-228.

48. P.Doukhan, S.Louhichi. A new weak dependence condition and application to moment inequalities. Stochastic Process. Appl. 1999. V. 84. ДО 2. P. 313-342.

49. P.Doukhan, S.Louhichi. Functional estimation of a density under a new weak dependence condition. Scand. J. Stat. 2001. V. 28, ДО 2, P. 325-341.

50. N.Ebrahimi. On the dependence structure of certain multidimensional Ito processes and corresponding hitting times. J. Multivar. Anal. 2002. V. 81. ДО 1. P. 128-137.

51. S.Evans. Association and random measures. Prob. Th. Rel. Fields. 1990. V. 86. ДО 1. P. 1-19.

52. J.Esary, F.Proschan, D.Walkup. Association of random variables with applications. Ann. Math. Statist. 1967. V.38. ДО 5. P. 1466-1474.

53. T.Feder, M.Mihail. Balanced matroids. In: Proceedings of the 24th ACM symposium on the theory of computing. 1992. P.26-38.

54. C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre. Correlation inequalities on some partially ordered sets. Commun. Math. Phys. 1971. V.22. № 2. P. 89-103.

55. L.Goldstein, Y.Rinott. Multivariate normal approximation by Stein's method and size bias couplings. J. Appl. Probab. 1996. V. 33. № 1. P. 1-17.

56. Gotze, F. On the rate of convergence in the multivariate central limit theorem. Ann.Probab. 1991. V. 19. № 2. P. 724-739.

57. G.Grimmett, S.N.Winkler. Negative association in uniform forests and connected graphs. Random Structures and Algorithms. 2004. V. 24. P. 444-460.

58. F.Guerra, L.Rosen, B.Simon. The Р(ф)2 Euclidean quantum field theory as classical statistical mechanics. Ann. Math. 1975. V. 101. JV2 1-2. P. 111-259.

59. T.E.Harris. A lower bound for the critical probability in a certain percolation process. Proc. Camb. Phil. Soc. 1960. V. 159. № 1. P. 13-20.

60. T.E.Harris. A correlation inequality for Markov processes in partialy ordered state spaces. Ann. Probab. 1977. V. 5. № 1. P. 451-454.

61. I.Herbst, L.D.Pitt. Diffusion equations technique in stochastic monotonic-ity and positive correlations. Probab. Th. Rel. Fields. 1991. V.87. № 3. P. 275-312.

62. N.Herrndorf. An example on the central limit theorem for associated sequences. Ann. Probab. 1984. V.12. № 3. P. 912-917.

63. R.Holley. Remarks on the FKG inequalities. Comm. Math. Phys. 1974. V. 36. P. 227-231.

64. A.Jakubowski. Minimal conditions in />-stable limit theorems. Stochastic Process. Appl. 1993. V. 44. № 2. P. 291-327.

65. K.Joag-Dev, F.Proschan. Negative association of random variables, with applications. Ann. Statist. 1983. V. 11. № 1. P. 286-295.

66. D.Khoshnevisan, T.Lewis. A law of the iterated logarithm for stable processes in random scenery. Stoch. Proc. Appl. 1997. V. 74. № 1. P. 89-121.

67. Khoshnevisan D. Random fields: an introduction to miltiparameter processes. New York, Springer, 2002. ,

68. T.-S.Kim, M.-H.Ko. A functional central limit theorem for associated random field. Honam Math. J. 2002. V. 24. № 1. P. 121-130.

69. C.D.Lai, M.Xie. A new family of positive quadrant dependent bivariate distributions. Statist. Probab. Lett. 2000. V.46. № 4. P.359-364.

70. E.L.Lehmann. Some concepts of dependence. Ann. Math. Statist. 1966. V.37. № 5. P.1137-1153.

71. M.-L.T.Lee, S.T.Rachev, G.Samorodnitsky. Association of stable random variables. Ann. Probab. 1990. V. 18. Л* 4. P. 1759-1764.

72. T.Lewis. Limit theorems for partial sums of quasi-associated random variables. In: Asymptotic methods in probability and statistics. B.Szysszkowicz (ed.), Elsevier, 1998.

73. B.H.Lindqvist. Association of probability measures on partially ordered spaces. J. Multivar. Anal. 1988. V. 26. № 2. P. 111-132.

74. S.Louhichi. Convergence rates in the strong law of the large numbers for associated random variables. Probab. and Math. Statist. 2000. V.20. № 1. P.203-214.

75. S.Louhichi. Rates of convergence in the CLT for some weakly dependent random variables. Теория вероятностей и ее применения (англ. яз.). 2001. Т.46. № 2. С. 345-364.

76. S.Louhichi. Moment inequalities for sums of certain dependent random variables. Теория вероятностей и ее применения (англ. яз.). 2001. Т.47. № 4. С. 747-763.

77. F.Moricz. A general moment inequality for the maximum of the rectangular partial sums of multiple series. Acta Math. Hung. 1983. V. 41. JV2 3-4. P. 337-346.

78. C.M.Newman. Normal fluctuations and the FKG inequalities. Commun. Math. Phys. 1980. V.74. № 2. P.119-128.

79. C.M.Newman. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables. In: Inequalities in Statist, and Probab. (Y.L.Tong ed.), Hayward, 1984. P.127-140.

80. C.M.Newman, A.L.Wright. Associated random variables and martingale inequalities. Probab. Theory and Related Fields. 1982. V.59. № 3. P.361-171.

81. P.E.Oliveira, Ch.Suquet. An L20,1] invariance principle for LPQD random variables. Portugaliae mathematica. 1996. V.53. Fasc.3. P.367-379.

82. M.Peligrad. Maximum of partial sums and an invariance principle for a class of weak dependent random variables.Proc.Amer. Math.Soc. 1998. V. 126. ДО 4. P. 1181-1189.

83. M.Peligrad, R.Suresh. Estimator of variance of partial sums of an associated sequence of random variables. Stochastic Process. Appl. 1995. V. 56. P. 307-319.

84. L.D.Pitt. Positively correlated normal variables are associated. Ann. Probab. 1982. V. 10. ДО 2. P. 496-499.

85. C.Prieur. Estimation de la densite invariante de systemes dynamiques en dimension 1. C. R. Acad. Sci. Paris. 2001. T. 332. Serie I. P. 761-764.

86. S.T.Rachev, H.Xin. Test on association of random variables in the domain of attraction of a multivariate stable law. Probab. and Math. Statist. 1993. V. 14. Fasc. 1. P. 125-141.

87. S.Resnick. Association and multivariatre extreme value distributions. Australian J. Statist. 1988. V. 30A. P.261-271.

88. G.G.Roussas. Asymptotic normality of random fields of positively and negatively associated processes. J. Multivar. Anal. 1994. V. 50. ДО 1. P. 152-173.

89. G.G.Roussas. Asymptotic normality of the kernel density estimate of a probability density function under association. Statist. Probab. Lett. 2000. V. 50. ДО 1. P. 1-12.

90. G.G.Roussas. An Esseen-type inequality for probability density functions, with an application. Statist. Probab. Lett. 2001. V. 51. P. ДО 4. 397-408 and 449.

91. Q.M.Shao, C.Su. The law of the iterated logarithm for negatively associated random variables.Stochastic Process.Appl. 1999. V. 83. ДО 1. P.139-148.

92. A.P.Shashkin. Maximal inequality for weakly dependent multiindexed random variables. In: Abstracts of the International conference "Kol-mogorov and contemporary mathematics". Moscow, 2003. P. 556-557.

93. A.P.Shashkin. Asymptotical properties of kernel density estimates for dependent vector-valued random fields. In: Proceedings of the 13th European Young statisticians Meeting (Ovronnaz, Switzerland). 2003. P. 28.

94. A.P.Shashkin. A weak dependence property of a spin system. Transactions of XXIV Int. Sem. on Stability Problems for Stoch. Models. Yur-mala, Latvia. 2004. P. 30-35.

95. C.Stein. A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables. Proceedings Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., V. 2. University of California Press, Berkeley, 1972. P. 583-602.

96. C.Stein. Approximate Computation of Expectations. IMS Lecture Notes, V. 7. Inst. Math. Statist., Hayward, CA, 1986.

97. L.E.Thomas. Stochastic coupling and thermodynamic inequalities. Com-mun. Math. Phys. 1980. V.77. № 3. P.211-218.

98. M.J.Wichura. Inequalities with applications to the weak convergence of random processes with multi-dimensional time parameters. Ann. Math. Statist. 1969. V. 40. № 2. P. 681-687.

99. L.-X.Zhang, J.Wen. A weak convergence for negatively associated fields. Statist. Probab. Lett. 2001. V. 53. № 3. P. 259-267.