Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Грачев, Денис Александрович

• Грачев, Денис Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грачев, Денис Александрович

1 Введение

1.1 Актуальность исследований

1.2 Цели и задачи работы.

1.3 Защищаемые положения.

1.4 Научная новизна.

1.5 Теоретическая и практическая ценность.

1.6 Апробация работы.

1.7 Краткое содержание работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами»

2.2 Постановка задачи усреднения т-го порядка .24

2.3 Математическое ожидание решения.28

2.4 Понятие линеаризирующего тензора.30

2.5 Уравнение для математического ожидания линеаризирующего тензора и его скаляризация.32

2.6 Основная теорема и алгоритм решения задачи усреднения . 33

2.7 Обсуждение результатов главы .35

2.8 Выводы.36

3 Усреднение полей Якоби вдоль геодезических риманова многообразия со случайной кривизной 38

3.1 Введение.38

3.2 Постановка задачи.41

3.3 Уравнение для статистического среднего 2-го порядка . 44

0и

3.3.1 Следствия из уравнения Якоби.44

3.3.2 Вывод уравнения для среднего квадрата.45

3.4 Уравнение для статистического среднего 3-го порядка . 47

3.4.1 Линеаризирующий тензор поля Якоби 3-го порядка . 48

3.4.2 Скаляризация тензорного уравнения.49

3.5 Уравнение для статистического среднего 4-го порядка . 50

3.5.1 Линеаризирующий тензор поля Якоби 4-го порядка . 50

3.5.2 Скаляризация тензорного уравнения.51

3.6 Посторонние решения моментных уравнений и их исключение 52

3.7 Обсуждение результатов главы .54

3.8 Выводы.57

4 Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями 58

4.1 Введение .58

4.2 Постановка задачи.59

4.3 Математическое ожидание поля Якоби и эффекты памяти . 60

4.4 Обсуждение результатов главы .64

4.5 Выводы.65

5 Численное моделирование роста мультипликативных случайных величин 66

5.1 Введение.66

5.2 Постановка задачи.67

5.3 Законы роста произведения случайных матриц и произведения случайных чисел .69

5.3.1 Теория Ферстенберга.69

5.3.2 Применение теории Ферстенберга к уравнению Якоби 72

5.4 Результаты численного эксперимента.74

5.5 Обсуждение результатов главы .85

5.6 Выводы.85

6 Некоторые модели слабонелинейного режима для уравнений со случайными коэффициентами 87

6.1 Введение.87

6.2 Постановка задач .88

6.3 Аналитические результаты.89

6.4 Результаты численного моделирования.95

6.5 Обсуждение результатов главы .108

6.6 Выводы.109

Заключение 110

Список литературы 111

1 Введение

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Грачев, Денис Александрович

6.6 Выводы

Проведенное в этой главе исследование показало, что:

1) прием, состоящий в замене решения на некоторую функцию от решения, в ряде случаев может быть достаточно эффективным при изучении статистических моментов решений уравнений со случайными коэффициентами. Особенно это касается нелинейных задач, где вывести замкнутые моментные уравнения, как правило, не представляется возможным;

2) с развитием нелинейности быстро надает число независимых случайных реализаций, необходимое для исследования статистических моментов решений уравнений, воспроизводящих на начальном этапе эффекты перемежаемости.

Результаты главы 6 представлены в работах [55] - [57[.

Заключение

В заключение еще раз сформулируем защищаемые положения.

1. Построен конструктивный алгоритм, позволяющий аналитически исследовать высшие статистические моменты решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами.

2. Получены явные уравнения для статистических средних поля Якоби 2-ого, 3-его и 4-ого порядков. Предложен простой способ исключения посторонних решений этих уравнений, появление которых обусловлено структурой линеаризирующего тензора поля Якоби. Найдено соотношение между показателями скоростей прогрессивного роста моментов, которое практически совпадает с соответствующим соотношением, полученным ранее из численного эксперимента.

3. Показано, что рост математического ожидания поля Якоби в модели с памятью определяется соотношениями того же характера, что и в модели с мгновенными корреляциями. Тем самым подтверждено, что этот рост связан именно с малыми флуктуациями кривизны, а не с наличием на геодезической участков с отрицательной кривизной.

4. На примере простых нелинейных лагранжевых моделей демонстрируется подавление эффектов перемежаемости, выражающееся в прекращении начального прогрессивного роста высших статистических моментов.

5. Оценен объем выборки независимых случайных реализаций решений рассматриваемых нелинейных уравнений, который необходим для воспроизведения свойств их статистических моментов. Показано, что этот объем не превосходит того объема, который требуется для численного моделирования соответствующих линейных задач.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Дмитрию Дмитриевичу Соколову за постановку интересных задач, а также за постоянную заботу и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грачев, Денис Александрович, 2011 год

1. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН. 1987. 152(1). 3-32.2J Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. The Almighty Chance // Singapore, World Scientific, 1991.

2. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы // Автоматика и телемеханика. 1958. 19(8). 717-723.

3. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.:Мир, 1987.

4. Кляцкин В.И., Татарский В.И. Статистические средние в динамических системах // ТМФ. 1973. 17(2). 273-282.

5. Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса // ДАН СССР. 1991. 319(1). 8387.

6. Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. 56(6). 12731315.

7. Шапиро В. Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

9. Задорожпий В.Г., Строева Л.Н. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первогопорядка со случайными коэффициентами // Дифференц. уравн. 2000. 36(3). 377-385.

10. Задорожний В. Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / / Фундаментальная и прикладная математика. 2001. 7(2). 351-371.

11. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66(4). 119-136.

12. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

13. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

14. Казанцев А. П. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью // ЖЭТФ. 1967. 53. 1806-1813.

15. Семенов Д. В. Усреднение параболических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами // Матем. заметки. 1989. 45(3). 123-126.

16. F. Krause, К.-H. Rädler. Mean field magnetohydrodynamics and Dynamo theory. Pergamon Press, Oxford, 1980.

17. Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Уравнения динамо в случайном короткокоррелированном поле скорости // Магнитная гидродинамика. 1983. 4. 67-72.

18. Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке // УФН. 1985. 145(4). 593-628.

19. Lamburt V.G., Sokoloff D.D., Tutubalin V.N. Light propagation in a Universe with spatial inhomogeneities // Astrophysics and Space Science. 2005. 298. 409-418.

20. Грачев Д.А., Соколов Д-Д- Численное моделирование роста мультипликативных случайных величин // Вычислительные методы и программирование. 2007. 8(1). 5-9.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

22. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2000.

23. N. Kleeorin, I. Rogachevskii and D. Sokoloff. Magnetic fluctuations with zero mean field in a random fluid with a finite correlation time and a small magnetic diffusion. // Phys. Rev. E., 2002, - V. 65, - P. 036303-7.

24. Грачев Д.А. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2008. 1. 16-19.

25. Грачев Д.А. Тензорный подход к проблеме усреднения дифференциальных уравнений с ¿-коррелированными случайными коэффициентами // Математические заметки. 2010. 87(3). 359-368.

26. Грачев Д.А. О соотношении между аналитическим и численным подходами к исследованию стохастических дифференциальных уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9. 234-238.

27. Зельдович Я.Б. Наблюдения во Вселенной, однородной лишь в среднем // Астрон. ж. 1964. 41. 19-24.

28. Я. Б. Зельдович, И.Д. Новиков Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967.

29. Я. Б. Зельдович, И.Д. Новиков Строение и эволюция Вселенной. М.:Наука, 1975.

30. Е. V. Ivanovo,, О. S. Khovanskaya. Effective curvature of the Universe in observations of distant objects //Astronomy reports, 2005, - V. 49, -P. 771-776.

31. E. A. Gann. A fundemental limitation on the accuracy of angular measurements in observational cosmology. // Ap. J. 1967, - V. 147, - P. 61-68.

32. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Поля Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной // Матем.заметки. 2003. 74(3). 416-424.

33. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. М.: РХД, 2003.

34. М. V. Sazhin, V. Е. Zharov, Т. A. Kalinina. Parallax distortion by weak microlensing effect. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 2001, - V. 323,- P. 952-964.

35. M. V. Sazhin, V. E. Zharov, A. V. Volynkin, et al. Microarcsecond instability of the celestial reference frame. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc.,- 1998, V. 300, - P. 287-291.

36. B.E. Жаров, M.B. Сажин, H.A. Чуйкова. Влияние нестабильности земной и небесной систем координат на определение параметров ориентации Земли. // Астрон. ж., 2000, 77(2), С. 144-160.

37. М.В. Сажин. Фундаментальный предел точности астрометрических измерений. // Письма в Астрон. ж., 1996, 22, С. 643-647.

38. F. De Felice, C.J.S. Clarke. Relativity on curved manifolds. Cambridge, 1990.

39. Дою. Сииг. Общая теория относительности. M.: Изд-во иностр. лит., 1963.

40. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля (8-е издание). М.: Наука, 2001, Т.2.

41. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в делом. М.:Мир, 1971.

42. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной // Вычислительные методы и программирование. 2004. 5.(2). 172-177.

43. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной // Астрон. ж. 2005. 82(7). 584-589.

44. Artyushkova М.Е., Sokolojf D.D. Modelling small-scale dynamo by the Jacobi equation // Magnetohydrodynamics. 2006. 42(1). 3-19.

45. Grachev D.A. Averaging of Jacobi fields along geodesies on manifolds of random curvature // Journal of Mathematical Sciences. 2009. V. 160(1). P. 128- 138.

46. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Высшие статистические моменты решения уравнения Якоби со случайной кривизной. Сб. "Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3", труды пятой Всероссийской научной конференции // Самара. 2008. 83 86.

47. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Об усреднении полей Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной. Сб. "Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова"// Абрау-Дюрсо. 2008. 217-219.

48. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Турбулентная диффузия в межзвездной среде // Астрономический журнал, 2000. 77(10). 743-749.

49. Грачев д.А., Соколов Д.Д. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении. Сб. "Актуальные проблемы внегалактической астрономии", тезисы докладов XXIV конференции // Пущино. 2007. 4-5.

50. Furstenberg Н. Noncoiiiinutiiig random products // Trans.Amer.Math.Soc. 1963. 108(3). 377-428.

51. Furstenberg H. A Poisson formula for semi-simple Lie groups // Ann.Math. 1963. 77(2). 335-386.

52. Ya.B. Zeldovich, A.A. Ruzmaikin, S.A. Molchanov,D.D. Sokoloff. Kine-maic Dynamo Problem in a Linear Velocity Field. // J.Fluid Mech., -1984, V. 144, - P. 1-32.

53. Грачев Д.А. Моделирование эффектов перемежаемости при помощи уравнений со случайными коэффициентами. Материалы конференции "Неравновесные процессы в сплошных средах"// Пермь. 2007. С. 142-145.

54. Grachev D., Sokoloff D. Moment equations for linear and nonlinear equations with random coefficients. Материалы французско-русского семинара "Transport in hydrodynamic flows: analytical and numerical approaches"// Москва. 2008. C.l.

55. Грачев Д.А., Жданов А.Г., Соколов Д.Д. Перемежаемость в нелинейной случайной среде. Сб. "Механика сплошных сред как основа современных технологий", тезисы докладов XVI Зимней школы по механике сплошных сред // Пермь. 2009. С. 123.