Некоторые обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с сингулярными точками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хидиров, Худойкул Сатторович

• Хидиров, Худойкул Сатторович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хидиров, Худойкул Сатторович

Введение 4

Глава

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой

§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 10-16 уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет к кратных и п-к различных корней

§2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 16-23 уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни

§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 23 - 31 уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет различные действительные корни и два комплексных

Глава

Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой

§ 1 Уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой 31

§2 Неоднородное линейное уравнение высшего порядка с 32одной сингулярной точкой

§3 Неоднородное линейное уравнение типа Эйлера с одной 38сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет различных и (п-к) кратных корней

§ 4 Неоднородные линейные уравнения высшего порядка типа 45 - 51 Эйлера, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Глава

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками

§1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 51-58 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет различные корни вещественные и комплексные)

§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 58-67 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет два различных и остальные кратные корни

§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 67 - 73 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет два кратных корня и остальные различные

§ 4 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 73 - 89 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к кратные и (п-к) различных корней

§5 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 80-85 уравнений с двумя сингуляными точками, когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни

Глава

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками

§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 86 уравнений с тремя сингулярными точками , когда характеристическое уравнение имеет различные корни (вещественные и комплексные)

§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 93 уравнений с тремя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к кратные и {п-к) различных корней

§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 99 уравнений с тремя сингуляными точками,когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с сингулярными точками»

После работы М.В.Кельдыша [17] , а также работ М.М.Смирнова [18] и А.В.Бизацзе [20] и др. теория вырождающихся дифференциальных уравнений (сингулярных) приобрела значительную известьность. В монографии Л.Г. Михайлова [6], изданной в Академии наук Таджикской ССР в 1963г., которая затем была переиздана в Голандии и в Германии были развернуты исследования уравнений п п г2Аи + г^Ьк(х)и'к +с(х)и = /(*),где * = (*„.,*„), г2 , к=1 к=0 а затем они были продолжены его учениками А.И.Ачилдиевым [19], Н.Раджабовым[8,43,44] и др. С другой стороны, еще с 19-го века приобрела п известность теория уравнений ху'к = ^¿^ (х)у1 + /к (х),(к = 1,2,., п,0 < х < 1), где ак]{х) и /к(х),(£,у = 1,2,., я)аналитические функции, (т.е. сходящие степенные ряды), получивщая наименование теория Фукса. В монографии Н.Раджабова [8] изучена система п т '

П - Ьк )у) + X ач (X)УJ (-г) = /у (х)> и = 1>2>-> т> а<х< Ь), Ьк 6 [а; Ь] при условиях к=1 /=1 типа а) ау (Ьк) = Ац при всех к = 1,2,.,/? и условиях на знаки

Р) акЛу <0, у) -1 <акЛ} <0, где числа ак коэффициенты разложения функции 1 "а П на простые дроби, т.е. -= ^——, -корни к=1 характеристического уравнения \Ак} - = 0, заметим, что при п = 2 и

1, Ь2=0 будет а1=1,а2=-1. В этом случае условия <0, и а2Лу<0, противоречат друг другу.

В работах Л.Г.Михайлова [1-3] были начаты исследования уравнений и систем вида ху' = /(х,у),(0<х<1). В точке х = 0 происходит вырождение порядка уравнения до нулевого , а в силу того, что после деления на х правая часть становится неинтегрируемой, точку х = О столь же естественно называть сингулярной.

Для таких уравнений и систем в [3] было установлено фундаментальное свойство вырождения: если Цх,у) непрерывна и существует непрерывное решение, то необходимо £(0, у 0 )=0, где у0 = у(0) •

Ясно что если при х = 0 задавать начальное значение, отличающееся от найденного из уравнения ^0,.у0) = 0, то задача Коши будет неразрешима, а если £(0,у0)*0 при всех 0<у0<+оо,то непрерывных решений не существует вообще. Посколькунеинтегрируема при /(х,у)Ф 0, то стандартный с метод интегральных уравнений здесь неприменим; тогда актуальным становится поиск новых методов решения. В одном частном случае, когда £(х,у)=с0 + х/0(х,у) где с0 = сош/, а /п(х,у) интегрируема, такой метод удалось найти в [1,2].

В работе Л.Г.Михайлова [1] был разработан способ построения решений линейных сингулярных систем: ху\ = «п ОО.У1 + ап МУ2 + - + а\п + Л (*) ху' 2 = а21 (х)у1 + а22(х)у2 +. + а2п(х)уп + /2(х) ( 1 ^ ху'п = а,л (*) У, + а„ 2 (х)у2 + . + ат (х)уп + /„ (х), где ак] (х) - заданные непрерывные функции, без ограничения общности можем считать их вещественными. Что касается свободных членов и решений, то при х*0 они также считаются непрерывными, а ук(х)непрерывно дифференцируемыми; в сингулярной точке х = О они могут быть непрерывными (класс С), либо просто ограниченными (класс М0). Будем пользоваться также векторной записью х-У = А(х) • У + ^(х) , (2) где А(х) =|| ак]{х)\\,{к,] = \,2,-,п), а У(х) - искомые функции, а ^(х)-заданные векторы-столбцы, в силу чисто технических причин записываемые, однако в строку :

У = (У\,У2,-,У„), г = С/1,/2 .-,/„)

Системам (1) и (2) соответствуют однородные уравнения, которые будем обозначать через (10)и(20)и т.д.

Рассмотрим сначала систему с постоянными коэффициентами (модельную систему) х-у'2 = аи(0)у}+аи(0)у2+-= а21(0)у1 +а22(0)у2 +• •■ + «.„(0 )уп+/1(х) ■■ + а2п(0)уп+/2(х) х-у'„ = ап1(0)у1+а2(0)у2+-- • + ат(Р)у„+/„(х)

Однородную систему напишем в виде: ху' =аи (0)У[ + аи (0 )у2 +••• + «,„ (0)уи = О ху'2 = а1{ (О )у2 + а 22 (0)у2 + ■ ■ • + а2п (0)у„ =0

До) ху» = ат (0)^1 + «»2 (0)У2 +''' = ап„ (0 )Уп = О

Пытаясь удовлетворить (10) степенными функциями хл, придём к характеристическому уравнению

Д(А)^ёе1[А(0)-Я1]=0 (3)

1-единичная матрица. В работе [1] рассматривался случай, когда его корни (вещественные или комплексные) все различные, обозначаются Я1,Я2,.,Яп, причем Яе Як ф 0, (к = 1,2,., и) (из этого необходимо следует, что А0 =с!еЫ(0)*0).

Если (у1к,у2к,.,упк),{к = 1,2,.,п) являются линейно независимыми решениями систем (с определителями, равными нулю, по рангу (п-1)

11 (0) - к ]уи + ах2 (0 )у2к +■■■ + «1 „(0)^ = 0

21 (0)/и + [«22 (0) - К ЛУгь +'' • + «2„(0)^ = 0 *

1(0К, +«2„ (0)^2* +" • + [««» (0 )-Як]упк = 0 то ёй укI = Г Ф 0 и тогда (уих^ ,у2кХ** ,.,упкх^) = к) где ск - произвольные постоянные, для нахождения частного решения неоднородной системы У(х) = (з>,3>2 ,.,у„) методом вариации постоянных будем иметь сЬс <Лс7 —- + • (Лх я. ¿сп ах = /,(*) йсх сЬс + у22х + я ¿с» ах = /2(*)

Уз,хЛ' с1сх с1х + /32^ 11с — + •• ¿¿с Л <1сп ' + УзпХ ~~ ах = Мх) (5) с, (Лх + Г„ 2^ + ах откуда получаем х-^ЗХлсх) (6)

Где ак] = Г^ /Г и Г^ -алгебраическое дополнение элемента ук] в матрице Ц/^Ц (А:,у = 1,2,.,« ). Интегрируя (6) в пределах [х,с1] при ЯеЛк>0 и в пределах [0,х] при Яе Як < 0 и вводя, операторы

0, г1 I X к У = 7 Л № «Л » У

ЯеЯ^ >0,)

7) в: у = -[-{- Х'М „Ни

ЫеЛ* <0), сможем записать

7=1 7=1 так что я

7=1 я

Ы1

Таким образом, общее решение (10) даётся формулами

7=1 (*) *=1

В дальнейшей работе мы используем тот же метод Л.Г.Михайлова, который им был применен для случая, когда все корни различны, для тех случаев, когда характеристическое уравнение имеет кратные а также и различные корни или только кратные корни. Этот метод также используем для исследования систем дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками.

В нашей работе мы также рассматриваем свойства операторов (7). Правые части из (7) относятся к классу операторов с ядрами однородными порядка (-1), которые достаточно подробно изучались в небольшой монографии Л.Г.Михайлова [2] , на которую постоянно будем опираться, но в отличие от [4], где операторы изучались в сингулярных классах функций, здесь их мы будем рассматривать в С и М0; требуемые при этом условия суммируемости ядер сводятся к очевидной интегрируемости функции х~А'~' на отрезке [с1,ао] при Ке^>0 и на отрезке [0,<1] при Ле^сО, чем было вызвано введение операторов со значками(+) и (-) .

Мы знаем, что для операторов вида

01У = ~\77 у№ * V ' / можно написать другое представление, если взять I = их, ск = xd.ii а а

1 ( X V4 Хг

01 у = Г- — у(их)хс1и = \и~хк~х у(их)йи их\их] { X

0~у = у(их)с1и .

Из этого видно то, что эти операторы непрерывны и ограничены в С и М0, вытекает из оценки свойство вырождения в точке х=0 [5], но требуется еще одно дополнительное свойство, которое нам понадобится в дальнейшей работе: если в уравнение у(х) = в^[а(1)у(()] + /(х),а(() е С[М,.;/(х) = х2/0(х), где /0(х) е С[0с1]иО <х< ЯсЯк то необходимо будет также ^(х) = хру0 (х), где у0 (х) е С[М].

С использованием этого метода в дальнейшей будем решать системы дифференциальных уравнений с сингулярными точками.

При использовании этого метода или способа надо учитывать два предложения.

Предложение 1. Если область [0; ¿/] достаточно мала, то система интегральных уравнений разрешима и притом единственным образом для любых свободных членов из С или М0.

Предложение 2. Для системы интегральных уравнений справедлива теорема Фредгольма, в частности, альтернатива Фредгольма в первом случае, когда однородная система интегральных уравнений не имеет нулевых решений, то неоднородная система разрешима для любых свободных членов из С и М0.

В этих предложениях речь идет о таких системах интегральных уравнений: (*)

У = ¥0(х) + Т0^ к=1 здесь система написана в векторной форме.