Некоторые обратные коэффициентные задачи для моделей популяционной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Чурбанов, Дмитрий Владимирович

• Чурбанов, Дмитрий Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Чурбанов, Дмитрий Владимирович

Оглавление

Введение

1 Восстановление нелинейных коэффициентов в задачах по-пуляционной динамики

1.1 Метод восстановления нелинейной правой части в модели структурированной популяции

1.1.1 Постановки задач

1.1.2 Разрешимость прямой задачи

1.1.3 Свойства решений

1.1.4 Существование и единственность решения обратной задачи

1.1.5 Метод численного решения обратной задачи и оценки

для него

1.2 Задача для уравнения первого порядка с интегральным граничным условием учета рождаемости, случай с!{Ь) >0 возрастания плотности объектов от времени

1.2.1 Постановки задач

1.2.2 Разрешимость прямой задачи

1.2.3 Обратная задача и ее разрешимость

1.3 Задача для уравнения первого порядка с интегральным граничным условием учета рождаемости, случай ¿(Ь) < 0 возрастания плотности объектов от времени

К

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Вспомагательные утверждения

1.3.3 Единственность решения обратной задачи

1.4 Результаты вычислительных экспериментов по восстановлению характеристик моделей структурированной популяции

2 Восстановление линейных коэффициентов в обратных задачах популяционной динамики

2.1 Задача определения нелинейного коэффициента роста популяции при производной в нелинейной модели

2.1.1 Постановки задач

2.1.2 Решение прямой задачи

2.1.3 Условия однозначной разрешимости обратной задачи

и метод ее решения

2.2 Восстановление коэффициента в правой части нелинейного уравнения, моделирующего развитие структурированной популяции

2.2.1 Постановки прямой и обратной задач

2.2.2 Разрешимость обратной задачи и метод ее решения

2.3 Обратные задачи по определению коэффициента в уравнении с правой частью вида ¿¿(ж)/(£) для моделей развития структурированной популяции

2.3.1 Постановка задачи об определении зависящего от времени коэффициента в правой части

2.3.2 Разрешимость прямой задачи

2.3.3 Условия единственного определения зависящего от времени коэффициента в правой части

2.3.4 Единственность определения коэффициента правой части, зависящего от пространственной переменной

2.4 Результаты вычислительных экспериментов но восстановлению характеристик моделей структурированной популяции

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые обратные коэффициентные задачи для моделей популяционной динамики»

Введение

Математическое моделирование применяется практически во всех областях науки и техники. Без преувеличения можно сказать, что одними из наиболее важных и сложных задач математики, используемых при моделировании, являются обратные задачи. Толчком в развитии теории обратных задачи послужила известная работа А.Н. Тихонова [1]. В дальнейшем особый вклад в развитие данной теории внесли М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, В.К. Иванов и другие [2, 3, 4, 5, 6].

Большая часть диссертации посвящена исследованию ряда обратных задач как для линейных, так и для нелинейных моделей популяционной динамики. Одна из причин возникновения нелинейности в структурированных моделях связана с тем, что с некоторого момента перенаселенность начинает влиять на прирост и смертность (отток) популяции. Исследованию нелинейных постановок уделяется в настоящий момент большое внимания в силу их сложности и важности для приложений. В диссертации рассматривается класс задач но определению коэффициентов в линейных, так и нелинейных уравнениях в частных производных первого порядка. Такие постановки являются типичными при описании процессов динамики структурированных популяций. Такие же математические задачи встречаются в моделях эволюции капитальных ресурсов в экономике, а также некоторых дисперсных системах химии, метеорологии, астрофизики.

Популяционные модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, не включающие в себя пространственную структуру, часто не могут воспроизвести некоторые явления, связанные с распределением по возрасту или по другим параметрам, характеризующим уровень

зрелости особей. Чаще всего в популяции можно выделить разные группы особей (когорты), которые в конкретный момент времени эволюционируют по-разному. Так что становится существенным учет параметров от которых зависят отношения между когортами. Особую важность получает подход структурированных популяции в перспективе его приложения к моделям развития опухолей [7].

Возраст - самый естественный параметр, присущий всем живым существам, по которому можно дифференцировать живые объекты. Знание возможных путей развития селекции и эволюции от характера зависимости смертности и рождаемости от возраста играет важную роль для ученых эволюционистов. В настоящее время учет возраста существенно используется в моделях демографии, экологии, эпидемиологии.

Одним из первых, кто рассмотрел биологическую модель с распределением ио возрастам был Л. Эйлер, когда он в работе [8] затронул тему "смертности и умножения человеческого рода". Некоторые его результаты были повторены А. Лотки [9]. Похожий на этот подход был развит в известной работе А. Мак-Кендрика [10], в которой он впервые вывел следующее уравнение

где функция п(х, ¿) - плотность популяции особей возраста х в момент времени а /¿(£,£) - коэффициент смертности. В работе [11] данное уравнение было вновь получено, причем вместе с ним было впервые представлено условие

оо

п{ 0, £) = J n(s,t)q(s)ds, о

описывающее прирост особей. Таким образом, это уравнение называют уравнением Мак-Кендрика-фон Ферстера. Обзор применения данной модели приведен в литературе [12, 13, 14].

Исследование линейных моделей структурированной популяции обычно проводится сведением задачи к уравнениям Вольтерра, а также с ириме-

нением преобразования Лапласа. Описание конкретных примеров можно найти в работах [15, 16]. Подходы, используемые при исследовании задач популяции также нашли свое применение в задачах демографии [17, 18, 19] и эпидемиологии [20, 21, 22]. В процессе работы с линейными моделями возник интерес к нелинейным постановкам. Одной из первых работ в данной области была статья Гуртина и Мак-Ками[23], в которой рассматривался нелинейный аналог уравнения Мак-Кендрика-фон Ферстера. Углубленное исследование нелинейных задач потребовало разработку новых методов. Одним из основных, с успехом применяемых в данной области, является метод полугрупп линейных и нелинейных операторов в банаховых пространствах [24, 25, 26]. Его особенность в том, что он описывает процесс развития популяции, как динамической системы. В нелинейных моделях популяционной динамики предполагается, что коэффициенты смертности

и рождаемости зависят от плотности популяции п(х, Ь) или от функциона-00

ла нлотности / п(8,Ь)с1з, обозначающего общий размер популяции в неко-о

торый момент времени £ [27, 28, 29]. Близки к указанным постановкам модели с распределением по размеру. Параметр, описывающий размер, может также характеризовать массу, объем, длину, зрелость, степень бактериальной или вирусной зараженности. В данных моделях необходимо вводится

х2

функция роста д(х), так что величина / представляет собой время,

Хх

необходимое особи, чтобы вырасти от размера хг до размера х2.

В прямых задачах популяционной динамики по известным данным о рождаемости, смертности и эволюционности предсказывается динамика популяции, а именно динамика изменения количества особей с течением времени. Эти задачи, как правило, корректно поставлены и исследуемый процесс полностью описывается входными данными. В обратных задачах по отдельным наблюдениям за развитием популяции требуется определить параметры смертности, роста или эволюционности, обусловившие данный процесс. Одна из проблем, которая возникает при решении обратных задач связана с тем, что различные параметры процесса (смертность, рождае-

мость) могут приводить к одним и тем же количественным характеристикам популяции.

Таким образом, для решения обратных задач динамики структурированной популяции требуется подходящая модель, описывающая рассматриваемый процесс, и некий набор исходных данных, при котором данная модель выдает результаты наиболее близкие к наблюдаемым. Даже при наличии точной модели, как правило присутствует неустойчивость в определении некоторых характеристик. Например, на некотором этапе высокая степень смертности может компенсироваться низкой смертностью на следующем этапе. Так что при определении коэффициента смертности неизбежна большая ощибка.

Одна из проблем заключается в том, что в большинстве случаев процессы, происходящие в природе, трудно формализуемы и модели в основном строятся на основе эмпирических соображений. Можно брать упрощенные модели, но тогда восстановленные параметры могут отличаться от реальных данных из-за неточности моделей. Другая трудность связана с тем, что нет возможности учесть степень отклонения используемой модели от точной. В случае, когда используется самая общая модель без каких-либо предположений, то приходится определять большое число параметров, что неизбежно влечет за собой большие ошибки.

Структурированные популяционные модели сегодня представляют большой интерес. Данной тематике посвящено не мало работ, в основном зарубежных исследователей Н.Т. Banks, J.С Mico, R. Rudnicki [30, 31, 32, 33]. Среди отечественных ученых следует отметить A.C. Братусь, A.M. Денисова, A.C. Макеева, Ю.А. Кузнецова и RA. Полуэктова [34, 35, 36, 37, 38].

Актуальность темы диссертации следует из сказанного выше и того, что обратные постановки, и в особенности для нелинейных моделей, связанные с данной тематикой, еще недостаточно изучены.

Цель диссертационной работы. Целью работы является исследование обратных задач для некоторых моделей структурированной популяции

и разработка численных методов их решения, построение программного комплекса реализующего данные методы, проведение численных экспериментов, подтверждающих возможность применения данных методов для восстановления характеристик популяционных процессов.

Научная новизна и практическая ценность. Исследован ряд обратных задач по восстановлению характеристик моделей структурированной популяции, разработаны численные методы их решения, произведен анализ и обоснование указанных методов. Практическая ценность результатов определяется возможностью уточнения параметров процессов при моделировании популяционной динамики.

В первом параграфе первой главы рассмотрена следующая нелинейная модель популяции с постоянной скоростью роста объектов

щ + их = ф), 0 < х < 1, 0 < £ < 1, (0.1.1)

и(0, £) =</>(£), 0 <£< 1, . (0.1.2)

и(х, 0) = <р(х), 0<х<1, (0.1.3)

где функция и(х,€) - плотность объектов размера х в момент времени ¿, (ж, ¿) € О, = (0,1) х (0,1), (р(х) - начальное распределение плотности объектов, ф(Ь) - плотность объектов минимального размера в момент времени £, а правая часть, функция //(й) , описывает миграцию объектов. В данной модели функция ф) предполагается для определенности положительной на всей своей области определения. В прямой задаче ищется функция плотности объектов -и(ж,£) ио исходным данным <р(х), ф(Ь), ¡¿(в) при условиях

ф) е С{ Е), 0 < ф) < цм, ее М, (0.1.4)

ф), е с1 [о, 1], ф(0) = ^(о). (0.1.5)

Обратная задача состоит в определении функции {¿(в), описывающей миграцию объектов и удовлетворяющей условиям

ф) е С(£>), ф) >0, веД 8

(0.1.6)

где область D представляет собой все возможные значения плотности и(х, t) за исключением значений исходных данных <р(х), ip(t), либо все значения

плотности объектов без исключения: D = [mmu(x,t),maxu(x,t)]. В ка-

Q Q

честве дополнительного условия в обратной постановке берется плотность объектов наибольшего размера в моменты времени от 0 до 1:

и( 1, t) = c(t), t £ [0,1], c(t) £ С1[0,1], с(0) - ср{ 1). (0.1.7)

Нужно отметить, что обратная задача, в которой ищется отрицательная функция fi(s) решается аналогично.

Решение прямой задачи не представляет особой сложности. Пусть введена функция

а

di

M(s) = I

КО

, s £ К,

щ

где tpQ — min (р(х). Формулы для определения решения прямой задачи же[о,1]

даны в следующей теореме.

Теорема 0.1.1. Единственное решение u(x,t) £ C(Q)nC1(Q\{x = ¿}) задачи (O.l.l)-(O.l.S) с условиями (0.1.4), (0.1.5) в области Q существует и представимо в виде:

u{x,t) = M~l{t + М((р(х — t))) npu0<t<x<l, и(х, t) = M~l{x + M(ip(t - x))) при 0 < x < t < 1.

Подставляя в формулу для решения прямой задачи из теоремы 0.1.1 для области 0 < t < х < 1 дополнительную информацию (0.1.7), можно получить функциональное уравнение

т =ме[0,1]. (0.1.8)

/1(^(1 - 0)

Обратная задача по определению неизвестной функции д(г) таким образом сведена к уравнению (0.1.8), которое становится основным объектом исследования.

В первом варианте обратной задачи количество особей популяции максимального размера, описываемое функцией с(£), возрастает. При этом правая часть, определяющая миграцию, ¡¿(в) задана, то есть считается известной на начальных данных — /л(^(х)), х £ [0,1], тогда /¿(з) остается определить на отрезке (с(0),с(1)]. Это можно сделать используя полученное функциональное уравнение (0.1.8):

. . 11\(1 — ¿гЧв^сЧс-1^)) г ...

"м = М1-<г'Ш - М1- А*)У 3 6 |с(0)'с(1)1- (0х9)

Другой случай, когда дополнительная информация (плотность особей максимального размера) с(£) монотонно убывает, представляет больший интерес. Пусть

<р'(х)>0, <р(х)<с(1-х), же[0,1), (0.1.10)

с'(£)<0, 1£ [0,1], </?(1) = с(0), -с'(0)<^(1). (0.1.11)

тогда функциональное уравнение (0.1.8) можно представить в виде

¡1(з) = а(5)А(7(в)) + №), з е (0.1.12)

где ф) = 1/ф), а(з) = ф - (р-^М^з)), 0(з) = 1/<рГ{<р-\з)), 1(з) = с(1-^~1(з)).

Так как а(<р( 1)) < 1, то можно выбрать 5 такое, что при 5 6 [<¿>(1) — 5,1р( 1)] выполнено неравенство а(й) < 1. Значит на данном отрезке возможно определить с использованием метода сжимающих отображений. Поскольку уравнение (0.1.12) является уравнением с запаздыванием (7(й) > б), возможно распространить значения из окрестности точки <р( 1) на весь отрезок [</?(0), </?(1)] • Таким образом, справедлива глобальная теорема о существовании и единственности решения обратной задачи.

Теорема 0.1.2. При выполнении условий (0.1.5)-(0.1.7), (0.1.10), (0.1.11) существует единственная непрерывная положительная функция [¿(в), 5 е И0),у>(1)], удовлетворяющая функциональному уравнению (0.1.8).

На основе вышеизложенного построен численный метод, состоящий из двух этапов. На первом используется сжимаемость отображения и строится некоторое приближение p,(s) такое, что |(/i(s))_1 — (//(s))_1| < 6q на отрезке [<¿>(1) — <¿>(1)] • Затем, на втором этапе для некоторого х\ можно построить рекуррентную последовательность

xn+1 = p-l{c(l-xn)), Х\ Е [0,1), п=1,2,.., (0.1.13)

так, что с некоторого номера щ(х\), не большего одинакового для всевозможных х\ номера Nmax, значения (р(хПо^) попадут в указанную окрестность [<£>(1) — S,<p{ 1)]. Далее в противоположном направлении но рекуррентной формуле

1 /ц(у{хп)) = 1 /<р'(хп) - с'(1 - хп)/(у'{хп)ц{у{хп+1))), где п = щ{х\) — 1,..,1 вычисляются значения ц{(р{х{)) для любого х\\

Таким образом, определяется приближение к правой части, функция ¡±{чр{х)), для любых х Е [0,1]. В том числе в данном параграфе (см 1.1.5) получены оценки скорости сходимости и точности данного вычислительного алгоритма. Оценка числа шагов, после которых последовательность (0.1.13) попадет в указанную окрестность, имеет следующий вид.

Лемма 0.1.1. При выполнении условий (0.1.5), (0.1.7), (0.1.10), (0.1.11) при любом х\ € [0,1) найдется натуральное число Nmax такое, что для всех п > Nmax значения (р{хп) на элементах {хп} последовательности (0.1.13) попадут в отрезок [<£>(1) — d,ip( 1)], где

КГ < _1И1с[0Д1_ i о

^тах Ь min {c{l—x)—íp{x))

хф,<р~1М1)-0)}

Точность, с которой надо определить правую часть на отрезке [<¿>(1) — ¿>, <¿>(1)] для достижения желаемой точности на всем отрезке [<£>(0), <£>(1)] установлена в следующей теореме. Пусть <р'тах = max <р(х).

хф,1]

Теорема 0.1.3. Пусть fj,(s) - точная неизвестная заранее функция решения {u(x,t), ф)} обратной задачи (O.l.l)-(O.l.S), (0.1.7) при выполне-неных условиях (0.1.5), (0.1.10), (0.1.11). Тогда для любого е > 0 по представленному выше алгоритму можно определить значения приближенного решения fi{s) такие, что справедлива оценка ||/i(s)— /-¿(s)||c[y>(o),¥>(i)] < £, причем для этого на первом этапе решения задачи на отрезке [</?(1) — S, </?(1)] потребуется найти (/¿(s))-1 с точностью eQ < minv^U»} для В = max > 1 или eQ <

для В < 1, то есть так, чтобы |(/i(s))-1 — (yu(s))-11 < £о, s G [со — 6, со] -

Данный вычислительный метод был применен для различных значений исходных данных.

Во втором параграфе рассмотрена модель, аналогичная предыдущей (0.1.1)—(0.1.3). В ней граничное условие (0.1.2) заменено интегральным условием, более характерным для нопуляционных моделей. Прямая задача относительно функции и(х, t) принимает вид

щ + их = ф), 0 < ж < 1, 0 < £ < 1, (0.2.14) 1

u(0,t) = J q(s)u{s,t)ds, 0 < t < 1, (0.2.15) о

и(х, 0) = <р(х), 0 < х < 1, (0.2.16)

где функция u(x,t) - плотность объектов размера х в момент времени ср(х) - начальное распределение плотности объектов, q(s) - относительный коэффициент скорости рождения объектов, а функция fi(s) отвечает за миграцию. Она нредполагаетя положительной и, соответственно, описывает приток объектов извне. Пусть

ф) е C(R), 0<nm< ф) < Им, s е М, (0.2.17)

q{x) е С{0,1], q{x) > 0, ж € [0,1], (0.2.18)

ф) G С1 [0,1], <¿>(0) = J q(SMS)dt. (0.2.19)

о

В этом случае доказана однозначная разрешимость прямой задачи. В обратной постановке дополнительно известны значения плотности объектов максимального размера для времени от 0 до 1:

u{l,t) = c(t), t G [0,1], c(t) G Cl[0,1], c(0) = ip(l), (0.2.20)

и известны значения fi(s) на начальных данных, то есть дана функция Hi(x) = fi((p(x)) и ири этом справедливы условия

<р'{х) > 0, х G [0,1], c'(t) > 0, te [0,1], (0.2.21)

¡ii{x) G С[0,1], fi^x) > <р'(х), х G [0,1]. (0.2.22)

Требуется на множестве [гшпм(ж, t), тахм(ж, t)] \ [</?(0), </?(1)] найти коэф-

Q Q

фициент fi(s). На отрезке (с(0),с(1)] функция fi(s) выражается ио формуле (0.1.9). Таким образом, коэффициент ¡i(s) определяется для всех значений u(x,t) из нижнего треугольника Q П {t < х}, а именно на отрезке [v?(0), с(1)]. Для разрешимости обратной задачи осталось показать, что в верхнем треугольнике Q П {£ > х} значения и(х, t) не выходят из отрезка Ь(0),с(1)].

Пусть q0 — max q(x), Ат = min [ß\{x) — ip'(x)], Ам = max[/ii(rc) — x€[0,l] z€[0,l] ze[0,l]

min c'(í) min u(s) l|c'||[oil max

y/^)], m = ^ M = '•'.^(0)^)1 _ и справедливо co_

отношение

Г М\ ,

qQ—Ам exp q0— } < m, (0.2.23)

тут J

тогда имеет место следующая теорема

Теорема 0.2.4. При выполнении условий (0.2.11)-(0.2.19), (0.2.21), (0.2.22) вместе с условием (0.2.23) решение обратной задачи (0.2.Ц)-(0.2.16), (0.2.20) существует и единственно.

В третьем параграфе рассматривается та же прямая задача (0.2.14)-(0.2.16), что и в предыдущем параграфе с теми же условиями (0.2.17)-(0.2.19) на исходные данные, но теперь в случае, когда плотность объектов максимального размера убывает со временем: с'(£) <0,.

В обратной постановке решается вопрос об однозначном восстановлении плотности популяции и функции, характеризующей миграционный процесс {и(х, £), /л(й)}. Для этого в качестве доиолниетльной информации помимо функции с(£) задается распределение плотности объектов в конечный момент времени, функция к{х). Таким образом, известны функции

и( 1,£) = с(£), £ е [0,1], (0.3.24)

и(х, 1) = к(х), х е [0,1], (0.3.25)

и для данных функций справедливы ограничения

с(£) е С^О, 1], с'(£) < 0, £ е [0,1], (0.3.26)

<р'(х)>0, <р(х)<с( 1-х), хЕ [0,1), -с'(0)<<//(1), (0.3.27)

1

еде С1 [0,1], Н'{х)>0, же [0,1], /1(0) = Jq(s)h(s)ds, (0.3.28)

о

вместе с условиями согласования с(0) = </>(1), /г(1) = с(1).

Определение 0.3.1. Пара функций {и(х, £), /¿(я)} называется решением обратной задачи (0.2.Ц)-(0.2.16), (0.3.24), (0.3.25), если и(х,Ь) е С1@\{х = £}), ф) е С1^^),^)] П С[Н{ 0),<^(1)]; ф) > 0 для в е [Л(0), </?(!)], при этом выполнены условия (0.2.17)-(0.2.19), (0.3.26)-(0.3.28)

Используя результат первого параграфа, можно сделать заключение об однозначной разрешимости обратной задачи в области П {£ < ж}, а именно о существовании пары функций {и(х,1), ф)}, в которой и(х,£)-решение уравнения (0.2.14) в области ф П {£ < х}, ф) определяется для

s G [_min м(ж, £),_max u(x,t)]. Доказательство единственности в обла-

Qn{t<x} Qn{t<x}

сти Q П {t > x} сводится к исследованию системы

КФ(т M 1 - о) t 1 ф(Ь) = J q{s)û(s,t^(r),^))ds + J q(s)u(s, t)ds, ¿G [0,1], 0 t где w(s, i; т/>(т), Ms)) _ решение уравнения (0.2.14) в области Q П {t > ж} с заданным граничным условием u(0,t) = ф{€) и правой частью ¡i{s), а u(s,t) - известная функция. Основным результатом данного параграфа является следующая теорема единственности.

Теорема 0.3.5. Обратная задача (0.2.Ц)-(0.2.16'), (0.3.24), (0.3.25) при выполненных условиях (0.2.17)-(0.2.19), (0.3.26)-(0.3.28) имеетъ не более одного решения.

В четвертом параграфе приведены результаты численных экспериментов определения нелинейного коэффициента /i(s) в задаче (0.1.1)—(0.1.3), характеризующего миграционный поток, с применением метода, описанного в пункте 1.1.5. В первом параграфе второй главы рассмотрена следующая модель популяции биологических объектов с переменной скоростью роста

щ + (g{x)u)x = -/¿(ж)/(и), 0 < ж < 1, t > 0, (0.5.29)

u(0,t) =ф(г), t > 0, (0.5.30)

и(х, 0) = у?(ж), 0 < ж < 1, (0.5.31)

где функция u(x,t) - плотность объектов размера ж в момент времени д(ж)- коэффициент скорости роста объектов, <р(ж) - начальное распределение плотности объектов, ф{£) - плотность объектов минимального размера в момент времени t, а коэффициенты ц(х), /(s), стоящие в правой части уравнения, отвечают за процессы оттока объектов и таковы что

f(s) G С1^), 0 < fm < f(s) < /м, 1/(5)1 <f'M, se M, (0.5.32)

(р{х) е С1 [0,1], <р(х) >0, х е [о, 1]

(0.5.33)

ф{1) € С1 [0, оо), 0 < ф{1) < фм 1 \Ф'Ш <ф'м, 1Е [0, оо), (0.5.34)

При этом справедливо условие согласования ф(0) = <£>(0). Разрешимость задачи типа (0.5.29)-(0.5.31) для более общего случая была исследована в работе [39]. Где предполагалось, что правая часть и начальные данные были дважды непрерывно-дифференцируемыми. В рассматриваемой задаче (0.5.29)-(0.5.31) подобные условия являются избыточными. Специальный вид правой части (0.5.29) позволяет не требовать от коэффициентов д(х), /(в) дополнительной гладкости. Таким образом, при услови-

ях (0.5.32)-(0.5.36) была доказана (см. п. 2.1.2) однозначная разрешимость прямой задачи (0.5.29)-(0.5.31).

При постановке обратной задачи дополнительно задаются значения решения на границе уравнения, плотность особей максимального размера для всех возможных моментов времени

причем для с{£) вместе с условием согласования с(0) = <р(1) имеют место ограничения

ф)еС[0,оо), |с(г2)-ф1)| <£с|£2-£1|, V*!, ¿2 £ [0, оо). (0.5.38)

Ф) е С[0,1], ф) >0, хе [0,1], д(х)ес1[ 0,1], д(х) > 0, яге [0,1].

(0.5.35) (0.5.36)

и(1,г) = с(*), £ е [о, оо)

(0.5.37)

Тогда функция д(х) удовлетворяет интегральному уравнению

(М)

/"/М'ЛфлаОМчМч, 16 [0,1]. (0.5.39)

1

X

Введем функцию

х

Пусть определено множество 0 = {д(х) £ С1 [0,1], 0 < дт < д(х), х G [ОД], 9(l) = 9i}.

Определение 0.5.2. Пара функций {д{х), u(x,t)} называется решением обратной задачи (0.5.29)-(0.5.31), (0.5.37), если известные функции <р(х), ip(t), fi(x), f(s), и искомые функции u(x,t) G C(Q) П Cl(Q \ {t = G(x)}), g(x) G 0 удовлетворяют соотношениям (0.5.29)-(0.5.31), (0.5.37) при выполнении условий (0.5.32)-(0.5.35), (0.5.38) и известной постоянной gi из определения множества (25.

В силу нелинейности задачи для доказательства единственности возникает необходимость ввести условие малости для отношения, связывающего мажоранты и миноранты исходных функций. Справедлива следующая теорема

Теорема 0.5.6. Пусть выполнены условия (0.5.32)-(0.5.35), (0.5.38) и существует постоянная дт такая, что справедливо неравенство

Зтфт I 9т J

тогда решение обратной задачи (0.5.29)-(0.5.31), (0.5.37), представимое парой функций {g(x), u(x,t)}, единственно.

Во втором параграфе также рассматривается задача (0.5.29)-(0.5.31) вместе с условиями (0.5.32)-(0.5.36). Как и прежде, в качестве дополнительной информации берутся значения плотности объектов максимального размера u(l,i) = c(t), t G [0, оо). Здесь от функции c(t) требуется непрерывная дифференцирумость

c(t) G С^О, оо), с(0) - <р{1). (0.6.40)

Обратная задача состоит в определении коэффициента fi(x) в правой части, зависящего от пространственной переменной. Получено интегральное

уравнение, которое может быть использовано для определения коэффициента ¡л{х)\

1

X

(0.6.41)

где с(х) = д(х)ф) - д(1)с(С(1) - С(х)).

Пусть Ш = {ф) е С{0,1], 0 < ф) < цм, хе [0,1]}.

Определение 0.6.3. Пара функций {/л(ж), и(х,Ь)} называется решением обратной задачи (0.5.29)-(0.5.31), (0.5.37), если известные функции <р{х), 1р(£), д{х), /(з) и искомые функции и(х,£) е С((5) П С1^ \ {£ = 0(х)}), /л(х) € 9Л удовлетворяют соотношениям (0.5.29)-(0.5.31), (0.6.40) при выполнении условий (0.5.32)-(0.5.34), (0.5.36).

Единственность решения данной обратной задачи имеет место при малости некоторого соотношения, представленного в следующей теореме.

Теорема 0.6.7. При выполнении условий (0.5.32)~(0.5.36) пусть постоянная цм удовлетворяет неравенству

ехр ( ?м№ 1 !м9мт!'м < 1

I Эт ) 1т9

гп

Тогда решение обратной задачи (0.5.29)-(0.5.31), (0.6.40), представимое парой функций {ц{х), и(х,1)}, единственно.

Третий параграф посвящен изучению модели популяции биологичех объектов с постоянной скоростью роста:

щ + их = 0 < ж < 1, 0 < £ < 1, (0.7.42)

1

и{0,£) = J 0 < £ < 1, (0.7.43)

о

и{х, 0) = ф),0<х<1. (0.7.44) 18

Положим Q = (0,1) х (0,1). Пусть справедливы условия:

ц{х) е С2[0,1], р(х) > 0, ж е [0,1], (0.7.45)

g(s) еС[0,1], q(s) > о, SG [0,1], (0.7.46)

<р{х) е С1 [О,1], <р{х) > О, X е [0,1], (0.7.47)

/(£) е С[0,1], (0.7.48)

где функция u(x,t) - плотность объектов размера х в момент времени t, <р(х) - начальное распределение плотности объектов, q(s) - относительный коэффициент скорости рождения объектов, а функция в правой части, описывающая миграцию, предствляет собой произведение двух функций, зависящих от размера особей и от времени ¡i(x)f(t). Задача (0.7.42)-(0.7.44) с условиями (0.7.45)-(0.7.48) имеет единственное решение.

Для обратной задачи задается переопределение в виде функции плотности объектов фиксированного размера жо е (0,1) для моментов времени от 0 до 1:

и(хо, t) = с(£), t е [0,1], (0.7.49)

c(t) е С[0,1] П С1 ([0, ж0) U (х0,1]). (0.7.50)

Сначала рассматривается задача об определении коэффициента, зависящего от времени.

Определение 0.7.4. Пару функций {/(£), u(x,t)} назовем решением обратной задачи А, если /(£) е С[0,1], и(х, t) е Cl(Q \ {х = ¿}), причем искомые функции f(t), u(x,t) удовлетворяют соотнощениям (0.7.42)-(0.7.44)} (0.7.49) при заданных функциях fi(x), q{s), <р(х), c(t), удовлетворяющих условиям (0.7.45)-(0.7.47), (0.7.50).

В пункте 2.3.3 представлена теорема о существовании и единственности решения обратной задачи:

Теорема 0.7.8. При выполнении условий (0.7.45)-(0.7.47), (0.7.50) решение обратной задачи А единственно.

В обратной задаче об определении коэффициента f¿(x), (см 2.3.3), зависящего от пространственной неременной, вместо условий (0.7.46), (0.7.47), (0.7.48), (0.7.50) берутся условия

q(s) G С1 [0,1], q(s) > 0, s G [0,1], (0.7.51)

4>{x) G C2[0,1], <p(x) >0, xe [0,1]. (0.7.52)

/(£) G C2[0,1], f(t) > 0, t G (0,1], /(0) > 0, (0.7.53)

c(t) G C[0,1] П C2 ([0, x0) U (®o, 1]), (0.7.54)

Определение 0.7.5. Пара функций {f¿{x), u(x,t)} называется решением обратной задачи В, если ¡i{x) G С[0,1], u(x,t) G Cl(Q \ {x = t}), причем искомые функции ц{х), u(x,t) удовлетворяют соотношениям (0.7.4%)-(0.7.44)> (O.7.49) при заданных функциях /(£), q(s), (р(х), c(t), удовлетворяющих условиям (0.7.51)-(0.7.54)■

Обратная задача В сводится к уравнению Фредгольма второго рода. Для его однозначной разрешимости достаточно потребовать малости ядра оператора. Данное условие используется в следующей теореме.

Пусть норма ||*|| обозначает норму в пространстве непрерывных функций H * ||c[o,i]-

Теорема 0.7.9. При условиях (0.7.51)-(0.7.54) и при выполнении неравенства

{~wmMmi+ШФ){ты+1Гтш к(0-7-55)

решение обратной задачи В единственно.

В четвертом параграфе второй главы приведены результаты численных расчетов но решению задачи (0.5.29)-(0.5.31), (0.5.37), в которой отыскивался коэффициент ¡i(x) в правой части уравнения (0.5.29). Данная задача представляет большую трудность по сравнению с задачей, в которой

отыскивается коэффициент д(х) (пункт 2.1.1) в силу более сложного интегрального уравнения (0.6.41) по сравнению с уравнением (0.5.39). Расчет д(х) проводится аналогичными методами.

Для проведения сравнительного контроля результатов при численном решении, функция /л(ж) определялась двумя способами. В первом способе функция ¡i(x) была представима в виде конечной функциональной суммы и предполагалось, что она принадлежит некоторому компакту. Параметры, определяющие ¡i(x), вычислялись градиентным методом при нахождении минимума невязки. Во втором способе функция ¡л(х) вычислялась через итерированную последовательность, построенную на основе интегрального уравнения (0.6.41).

Приведенные выше алгоритмы реализованы в программном комплексе, написанном на языке С++ в среде Microsoft Visual Studio 2010. Программа предоставляет пользователю удобный графический интерфейс и функционал по обработке данных. Возможность непосредственно менять параметры модели удобны при проведении вычислительных экспериментов. Модели, реализованные в комплексе можно исследовать сами по себе или в рамках более сложных моделей.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложены итерационные методы решения обратных задач восстановления коэффициентов смертности и миграционной плотности, входящих в правые части уравнений, моделирующих популяционную динамику. Для ряда алгоритмов, реализующих численное решение таких задач, построены оценки точности и числа шагов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чурбанов, Дмитрий Владимирович, 2013 год

Литература

1. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.

- 1943. - Т. 5. - С. 195-198.

2. Лаврентьев M. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск : Изд-во СО АН СССР, 1962.

3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М. : Наука, 1978.

4. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М. : Наука, 1984.

5. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1994.

6. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М. : Наука, 1990.

7. Magal P. Structured population models in biology and epidemiology. — N.-Y. : Springer-Verlag, 2008.

8. Euler L. Recherches generales sur la mortalité et la multiplication du genre humain // Mémoires delAcademie Royale des Sciences et Belles Lettres.

- 1760. - V. XVI. - P. 144-164.

9. Lotka A. J. Relation between birth rates and death rates // Science. — 1907. - V. 26. - P. 21-22.

10. McKendrick A. G. Applications of mathematics to medical problems // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1926. — V. 44, № 1. - P. 98-130.

11. von Foerster H. Some remarks on changing population // The Kinetics of Cellular Proliferation. - 1959. - P. P. 382-407.

12. Charlesworth B. Evolution in age-structured populations. — Cambridge : Cambridge University Press, 1980.

13. Diekmann O., Heesterbeek J. Mathematical epidemiology of infectious diseases: model building, analysis and interpretation. — New York : John Wiley, 200.

14. Kot M. Elements of mathemaitcal ecology. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001.

15. Bellman R., Cook K. Differential difference equations. — New York : Academic, 1963.

16. Feller W. On the integral equation of the renewal theory // Ann. Math. Stat. - 1941. - V. 12. - P. 243-267 pp.

17. Coale A. The growth and structre of human populations. — Princeton : Princeton University Press, 1972.

18. Inaba H. Mathematical models for demography and epidemics. — Tokyo : University of Tokyo Press, 2002.

19. Keyfitz N. Introduction to the mathematics of population. — Addison Wesley, 1968.

20. Bussenberg S., Cooke K. Vertically transmission disease. — Springer Biomathematics, 1992. — V. 23.

21. Castillo-Chavez C., Feng Z. Global stability and age-structured model for TB and its applictions to optimal vaccination // Math. Biosci — 1984.

- V. 151. - P. 135-154.

22. Feng Z., Li C.-C., Milner F. Schistosomiasis models with dinsity dependence and age of infection in snail dynamics // Math. Biosci. — 2002. — V. 177-178. - P. 271-286.

23. Gurtin M., MacCamy R. Nonlinera age-dependent population dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1974. - V. 54. - P. 281-300.

24. Bansaik J., Arlotti L. Pertrubations of positive semigroups with applications. — Berlin Heidelberg New York : Springer, 2006.

25. Iannelli M., Marcheva M., Milner F. A. Gender-structured population modeling. — Philadelphia : Mathematical Methods, Numerics, and Simu-laitons, SIAM, 2005.

26. Thieme H. R. Mathematics in populations biology. — Princeton : Princeton University Press, 2003.

27. Dyson J., Villella-Bressan R., Webb G. Asymptotic behavior of solutioins to abstract logistic equatiions // Math. Biosci. — 2007. — V. 206. — P. 216-232.

28. Webb J. Logistic models of structured population growth // J. Comput. Appl - 1986. - V. 12. - P. 319-335.

29. Webb G. Structured population dynamics // Mathematical modeling of population dynamics. — 2004. — V. 63.

30. Banks H. T., Kappel F., Wang C. Weak solutions and differentiability for size structured population models // Internat. Ser. Numer. Math. — 1991.

- V. 100. - P. 35-50.

31. Banks H. Т., Fitzpatrick В. G. Estimation of growth rate distributions in size structured population models // Quart. Appl. Math. — 1991. — V. 49. - P. 215-235.

32. Mico J. C., Soler D., Caselles A. Age-structured human population dynamics // Journal of Mathematical Sociology. — 2006. — V. 30, № 1. — P. 1-31.

33. Rudnicki R., Pichor K. Markov semigroups and stability of the cell maturity distribution // Journal of Biological Systems. — 2000. — V. 8, № 1. — P. 69-94.

34. Братусь А. С., Новожилов A. C.and Мещерин А. В. Математические модели взаимодействия загрязнений с окружающей средой // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и киберн. — 2001. — № 1. -С. 23-28.

35. Денисов А. М., Макеев А. С. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2004. - Т. 44, № 8. - С. 1480-1489.

36. Денисов А., Макеев А. Численные методы решения обратной задачи для модели популяции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. - Т. 46, № 3. - С. 490-500.

37. Кузнецов Ю. А. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения динамики популяции с учетом её возрастного состава // Вестник Нижегородского университета. Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление». — 2001. — Т. 23, № 1. — С. 78-86.

38. Полуэктов Р. А., Пых Ю. А., Швытов И. А. Динамические модели экологических систем. — JI. : Наука, 1980.

39. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. Уравнения с частными производными первого порядка. — М. : Издательство Центра

прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999.

40. Sinestrari Е. Non-linear age-dependent population growth // J. Math. Biol.

- 1980. - V. 9. - P. 331-345.

41. Ackleh A., Fitzpatrick B. Modeling aggregation and growth processes in an algal population model: analysis and computations //J. Math. Biol. — 1997. - V. 35. - P. 480-502.

42. Webb G. F. Theory of nonlinear age-dependent population dynamics. — New York : Marcel Dekker, 1985.

43. Denisov A. M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyporbolic equation for the Goursat problem // J. Inv. Ill-Posed Problems. — 1998.

- V. 6, № 4. - P. 327-334.

44. Музылев H. В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1980. — Т. 20, № 2. - С. 389-400.

45. Щеглов А. Ю. Обратная коэффициентная задача для квазилинейного уравнения гиперболического типа с финальным переопределением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. — Т. 46, № 4. — С. 647666.

46. Gyllenberger М., Osipov A. The inverse problem of linear age-structured population dynamics // J. Evol. Eq. - 2002. - V. 2. - P. 223-239.

47. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Наука, 1970.

48. Денисов А. М. Единственность решения задачи определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и целом // Сибирский матем. журнал. — 1995. — Т. 36, № 1. — С. 60-71.

49. Денисов А. М. Обратная задача для гиперболического уравнения // Дифференц. ур-ния. - 2000. - Т. 36, № 10. - С. 1427-1429.

50. Соловьев В. В. Обратные задачи определения источника для уравнения Пуассона на плоскости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004.

- Т. 44, № 5. - С. 862-871.

51. Туйкина С. Р. О единственности решения одной обратной задачи для полулинейной системы уравнений первого порядка // Бестн. Моск. унта. Сер 15. Вычисл. матем. и киберн. — 1996. — № 2. — С. 12-18.

52. Murray J. D. Biology. — New York : Springer, 1993.

53. Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. — ИВМ РАН, 2003.

54. Агошков В. И., Асеев Н. А., Новикво И. С. Методы исследования и решения задач о локальных источниках при локальных или интегральных наблюдениях. — М. : Институт вычислительной математики РАН, 2012.

55. Апонин Ю. М., Апонина Е. А., Кузнецов Ю. А. Математическое моделирование пространственно-временной динамики возрастной структуры популяции растений // Мат. Виол, и Биоинформ. — 2006.

- V. 1, № 1. - Р. 1-16.

56. Bocharov G. A., Romanyukha A. A. Numerical treatment of the parameter identification problem for delay-differential systems arising in immune response modelling // Applied Numerical Mathematics. — 1994. — V. 15, № 3. - P. 307-326.

57. Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2010.

58. Братусь А. С., Новожилов В. П. Математические модели экологии и замкнтые системы с дискретным временем. — М. : МГУ, 2003.

59. Братусь А. С., Новожилов В. П. Математические модели экологии и замкнтые системы с непрерывным временем. — М. : МГУ, 2004.

60. Братусь А. С. Посвянский В. П. Стационарные решения в замкнутой распределенной системе эволюции Эйгена-Шустера // Дифференц. ур-ния. - 2006. - V. 42, № 12. - Р. 1686-1698.

61. Геджадзе И. Ю., Шутяев И. В. К задаче оптимального управления о восстановлении начального условия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1999. - V. 39, № 9. - Р. 1479-1488.

62. Орловский Д. Г. Об одной обратной задаче для уравнения Максвелла-Больцмана // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. — 2009. - V. 2, № 3. - Р. 327-335.

63. Орловский Д. Г. Обратная задача Дирихле для уравнения эллиптического типа // Дифференц. ур-ния. — 2008. — V. 44, № 1. - Р. 119-128.

64. Орловский Д. Г. Определение эволюции параметра в абстрактном квазилинейном параболическом уравнении // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1991. - V. 50, № 2. - Р. 111-119.

65. Орловский Д. Г. Определение параметра параболического уравнения в гильбертовой структуре // Матем. зам. — 1994. — V. 55, № 3. — Р. 109-107.

66. Орловски Д. Г., Прилепко А. И. Обратные задачи для эволюционных полулинейных уравнений // ДАН СССР. — 1984. — V. 277, № 4. — Р. 799-803.

67. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сб. - 1992. - V. 183, № 4. - Р. 49-68.

68. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - V. 2, № 58. - Р. 167-188.

69. Тихонов И. В. О связи между обратными задачами с финальным и интегральным переопределениями // УМЯ. — 1992. — V. 47, № 4. — Р. 211-212.

70. Тихонов И. В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Матем. зам. - 1992. - V. 51, № 2. - Р. 77-87.

71. Федоров В. Д., Гильманов Т. Экология. — М. : МГУ, 1980.

72. Шутяев В. П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. — М. : Наука, 2001.

73. Guckenheimer J., Oster G., Ipaktchi A. The dynamics of density dependent population models ¡¡J. Math. Biology. — 1977. - V. 4, № 2. - P. 101147.

74. Lotka A. J. The stability of the normal age-distribution // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1922. - V. 8. - P. 339-345.

75. Luzyanina Т., Roose D., Bocharov. G. Estimation of parameters of a label-structured cell population balance model from CFSE histogram data // J. Mathematical Biology. - 2009. - V. 59. - P. 581-603.

76. Magal P., Thieme H. R. Eventual compactness for semiflows generated by nonlinear age-structured models // Comm. Pure Appl. Anal. — 2004. — № 3. - P. 695-727.

77. Marchuk G. I., Agoshkov V. I., Shutyaev V. P. Adjoint Equations and Perturbation Algorithms in Nonlinear Problems. — Boca Raton, New York : CRC Press Inc, 1996.

78. Metz J., Diekmann 0. The dynamics of physiologically structured populations // Springer Lecture Notes in Biomathematics. — 1986. — V. 68.

79. Nagel R. One-parameter semigroups of positive operators. — Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1986.

80. Nakoulima O., Omrane A., Velin J. A nonlinear problem for age-structured population dynamics with spatial diffusion // Topological Methods in Nonlinear Analysis. - 2001. - V. 17. - R 307-319.

81. Perthame B., Zubelli J. P. On the inverse problem for a size-structured population model // Inverse Problems. — 2007. — V. 23. — P. 10371052.

82. Plant R. E., Wilson L. T. Models for age structured populations with distributed maturation rates // J. Math. Biology. — 1986. — V. 23. — P. 247-262.

83. Pollard J. Mathematical models for the growth of human populations. — Cambridge : Cambridge University Press, 1973.

84. Thieme H. Balanced exponental growth of optrator semigroups //J. Math. Anal. Appl. - 1998. - V. 223. - P. 30-49.

85. Iannelli M. Mathematical theory of age-structured population dynamics. — Pisa : Giardini Editori e Stampatori, 1994.

86. Swart J. H. Viable controls in age-dependent population dynamics //J. Math. Biology. - 1989. - V. 27. - P. 297-308.

87. Webb G. Diffusive age-dependent population models and a application to genetics // Math. Biosci. - 1982. - V. 61. - P. 1-16.

88. Webb G. Lan age-dependent epidemic model with spatial diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1980. - V. 75. - P. 91-102.

89. Wikan A. On nonlinear age- and stage-structured population models // Journal of Math, and Statistics. - 2012. - V. 8, № 2. - P. 311-322.