Некоторые несвязанные задачи термоупругости анизотропных оболочек из разносопротивляющихся материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Спасская Мария Владимировна

• Спасская Мария Владимировна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Спасская Мария Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ТЕОРИЙ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

1. 1 Обзор первой группы теорий деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов

1.2 Обзор второй группы теорий деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов

1.3 Обзор моделей, учитывающих температурное влияние на деформирование разносопротивляющихся материалов

2 ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗДЕЙСВТИЯ

2.1 Модель деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов

2.1.1 Пространство нормированных напряжений

2.1.2 Потенциал деформаций. Определяющие соотношения

2.1.3 Определение констант уравнений состояния

2.1.4 Сравнение экспериментальных диаграмм деформирования с теоретическими

2.1.5 Единственность решений

2.2 Моделирование процесса теплопередачи

3 ПОСТРОЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ НДС ПОЛОГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ВЫПОЛНЕННОЙ ИЗ ОРТОТРОПНОГО РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА

3.1 Постановка задачи и основные гипотезы для расчета

3.2 Вывод системы разрешающих уравнений

3.3 Линеаризация разрешающих уравнений

3.4 Разрешающие уравнения в форме метода конечных разностей

4 ПОСТРОЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ НДС

КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ВЫПОЛНЕННОЙ ИЗ ОРТОТРОПНОГО РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА

4.1 Постановка задачи и основные гипотезы для расчета

4.2 Вывод разрешающих уравнений

4 . 3 Линеаризация разрешающих уравнений

4.4 Разрешающие уравнения в форме метода конечных

разностей

5 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НДС КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И ПОЛОГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧЕК

5.1 Алгоритм расчета

5.2 Решение тестовой задачи о деформировании пологой сферической оболочки

5.3 Решение тестовой задачи о деформировании круговой

цилиндрической оболочки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые несвязанные задачи термоупругости анизотропных оболочек из разносопротивляющихся материалов»

ВВЕДЕНИЕ

В современном мире наука и техника имеют интенсивное развитие. Создаются новые изделия и конструкции в самых разных отраслях индустрии, появляются более сложные объекты промышленных предприятий и гражданских зданий. Развитие строительства и различных производств влечет за собой и возрастание требований к используемым объектам, так, например, увеличение надежности и прочности, снижение материалоемкости и повышение срока эксплуатации. Для создания таких элементов необходимы высококачественные материалы, разработка которых ведется в настоящее время. Для этих новых материалов и многих классических конструкционных материалов характерно наличие усложненных свойств, таких как разносопротивляемость и структурная анизотропия.

Разносопротивляющийся - это материал, у которого деформационные и прочностные характеристики зависят от вида напряженного состояния. К материалам, обладающим подобными свойствами, можно отнести большинство композитных и ряд полимерных материалов. Экспериментальные исследования показали, что для большинства разносопротивляющихся материалов зависимость деформационных и прочностных характеристик от вида напряженного состояния

устанавливается не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений. Т.е. различное поведение материалов следует ожидать не только при одноосных сжатии и растяжении, но и при малейшем изменении соотношений между возникающими напряжениями при сложных напряженных состояниях.

Анизотропный - это материал, который имеет отличающиеся друг от друга физико-механические свойства по разным направлениям. К материалам, обладающим подобными свойствами, можно отнести древесину, текстолит, стеклопластики, углепластики и др. Кроме естественной анизотропии (зависящей от внутреннего строения), существует так называемая конструктивная или искусственная анизотропия. К ней относятся изотропные пластинки и оболочки, которые были гофрированы или усиленны часто поставленными ребрами. Также не редкость, когда анизотропия является следствием влияния внешней среды (например, воздействие магнитного или электрического поля).

Использование классических теорий строительной механики и механики деформируемого твердого тела не позволяет обеспечить должную точность расчетов напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций из материалов с усложненными свойствами. При этом в настоящее время в химической промышленности, строительстве, машино- и авиастроительных отраслях все больше применяются особо ответственные конструкции. Именно поэтому необходимы надежные теории расчета, согласованные с экспериментальными данными [134, 135].

Вместе с тем, совершенно недостаточно внимания уделено объектам, работающим при температурном воздействии. Из-за того, что разного рода конструкции и изделия эксплуатируются при все более высоких температурах, необходимо исследовать температурное влияние на напряженно-деформированное состояние конструкций. Рассмотрение задач термоупругости для анизотропных разносопротивляющихся материалов в настоящее время носит бессистемный характер, а

так как температурные напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать разрушение конструкций, то систематическое исследование термомеханической задачи анизотропных разносопротивляющихся материалов очень важно в рамках современной строительной механики, механики деформируемого твердого тела и ее практических приложений.

Для большинства разносопротивляющихся анизотропных материалов эффект связанности полей деформаций и температур мал. Таким образом, при обычной теплопередаче, происходящей в неравномерно нагретом теле за счет теплового воздействия окружающей среды, влиянием деформаций тела на распределение в нем температуры можно пренебречь [39, 40] . Благодаря этому появляется возможность исследовать температурное поле в твердом теле, соответствующее определенным условиям теплопередачи, независимо от деформированного состояния тела. Следовательно, для многих конструкционных материалов целесообразно рассматривать несвязанную задачу

термоупругости.

В настоящее время человек живет в условиях ограниченности ресурсов, что ведет к необходимости более эффективного их использования. Задачей конструкторов и проектировщиков становится создание материалоемких изделий и конструкций, обладающих при этом высокой надежностью. Рассматриваемые материалы, благодаря большим модулям упругости и прочностным характеристикам, помогают в решении этой проблемы. Зачастую данные материалы применяют в тонкостенных конструкциях, таких как пластины и оболочки. Тонкостенные оболочки являются одним из видов пространственных конструкций и используются в строительстве

зданий и сооружений с помещениями больших площадей. Тонкостенная оболочка представляет собой изогнутую поверхность, которая при минимальной толщине и соответственно минимальной массе и расходе материала обладает достаточно большой несущей способностью, потому что благодаря криволинейной форме она работает как пространственная несущая конструкция.

Объектами представленного исследования являются частные случаи оболочек вращения - круговая цилиндрическая оболочка и пологая сферическая оболочка, т.к. они наиболее часто используются в строительстве, промышленности и технике. Оболочками вращения называются такие

пространственные конструкции, срединная поверхность которых образуется вращением плоской кривой или прямой линии (образующей) вокруг оси вращения, находящейся в плоскости образующей. Различные оболочки вращения часто являются объектами исследования в работах ученых-механиков [3, 4, 15-17, 19, 21, 22, 26, 29, 31, 41, 42, 51, 60, 65, 66, 72, 73-76, 78, 108, 110, 115, 118, 123, 130, 132, 150, 157, 162-164, 166] .

На практике чаще всего мы сталкиваемся с задачами, когда круговая цилиндрическая оболочка находится под воздействием нагрузок, распределенных симметрично

относительно оси цилиндра и действующих на внутреннюю и/или внешнюю поверхность оболочки. Цилиндрические котлы, испытывающие давление пара, цилиндрические резервуары с вертикальной осью, под воздействием внутреннего давления жидкости, а также круглые трубы подвергающиеся действию равномерного внутреннего давления - все это примеры такого рода задач. Несложно проследить, что все представленные

выше конструкции помимо распределенной нагрузки подвергаются температурному воздействию. Примерами использования пологих сферических оболочек можно назвать навесы, покрытия промышленных зданий и зрелищно-спортивных залов, а также днища емкостей и сосудов, находящиеся под постоянным давлением.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что учет свойств анизотропии и разносопротивляемости материалов, а также изучение влияния температурного воздействия на параметры НДС оболочек вращения, является актуальной задачей как в научном, так и в прикладном плане.

Предметом исследования является напряженно-

деформированное состояние круговой цилиндрической и пологой сферической оболочек из анизотропных разносопротивляющихся материалов.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей, описывающих НДС круговой цилиндрической и пологой сферической оболочек из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом воздействия механической и температурной нагрузок на их поверхности.

Задачи исследования:

1) в рамках теории Трещева А. А. [134, 135] получить системы разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих НДС круговой цилиндрической и пологой сферической ортотропных оболочек, выполненных из разносопротивляющихся материалов;

2) следуя методике последовательных нагружений Петрова В.В. [71] , линеаризовать полученные разрешающие дифференциальные уравнения;

3) с помощью метода конечных разностей получить систему линеаризованных алгебраических уравнений;

4) разработать алгоритм решения задачи по определению НДС круговой цилиндрической и пологой сферической ортотропных оболочек, выполненных из разносопротивляющихся материалов на основе двухшагового метода последовательных возмущений параметров Петрова В.В. [70, 71];

5) выполнить программную реализацию полученного алгоритма на ПК;

6) используя разработанную математическую модель и прикладную программу расчета, решить серию задач по термомеханическому деформированию круговой цилиндрической и пологой сферической ортотропных оболочек, выполненных из материалов, чьи механические характеристики чувствительны к виду напряженного состояния;

7) сравнить полученные результаты решения задач с аналогичными данными, вытекающими из классической модели деформирования и наиболее применяемых апробированных моделей разносопротивляющихся материалов. Кроме того, сравнить решения, полученные с учетом и без учета температурного воздействия;

8) выполнить качественный и количественный анализ полученных результатов.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

1) полученные математические модели термоупругого деформирования круговой цилиндрической и пологой сферической ортотропных оболочек, выполненных из разносопротивляющихся материалов;

2) вариант алгоритма решения задач определения НДС оболочек вращения и его программная реализация на ПК;

3) результаты расчетов, показывающие новое количественное и качественное влияние разносопротивляемости рассмотренных материалов и воздействия температурной нагрузки на НДС оболочек.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

1) разработка математических моделей, описывающих НДС круговой цилиндрической и пологой сферической оболочек из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом воздействия механической и температурной нагрузок на поверхности оболочек;

2) материалы диссертационного исследования могут быть использованы в рамках учебных курсов для магистрантов и аспирантов.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в следующем:

1) детали типа оболочек широко применяются в строительных конструкциях, в машино- и аппаратостроении, да и практически во всех отраслях промышленности, поэтому полученные разрешающие уравнения, могут быть использованы для расчетов этих конструктивных элементов;

2) прикладная программа расчета НДС рассматриваемых оболочек может быть использована в проектной и конструкторской практике для разработки оболочечных конструкций, выполненных из материалов чувствительных к виду напряженного состояния, эксплуатируемых в температурных полях.

Методология и методы исследования, применяемые в диссертационной работе:

1) некоторые известные и апробированные теории по определению НДС конструкций из разносопротивляющихся материалов;

2) метод упругих решений;

3) метод конечных разностей

4) двухшаговый метод последовательного возмущения параметров.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

1) получением теоретических результатов строгими математическими методами на основе фундаментальных соотношений и гипотез механики деформируемого твердого тела;

2) использованием апробированных и проверенных экспериментальных данных;

3) сравнением результатов расчета с данными, полученными с применением классических моделей и наиболее известных моделей деформирования разносопротивляющихся материалов;

4) применением апробированных численных и приближенных методов решения.

Основные результаты диссертации были неоднократно представлены на следующих региональных и международных конференциях:

Х международная научно-практическая конференция молодых исследователей «Содружество наук. Барановичи-2014» (2014 г., Барановичи);

VIII, IX, X, XI, XII региональная магистерская научная конференция (2013, 2014, 2015, 2016, 2017 г., Тула);

XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности» (2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 г., Тула);

VIII, IX региональная молодёжная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации» (2014, 2015 г., Тула);

III, IV, V, VI международная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов «Опыт прошлого -взгляд в будущее» (2013, 2014, 2015, 2016 г., Тула);

IV международная научно-практическая конференция института архитектуры, строительства и транспорта

тамбовского государственного технического университета «Устойчивое развитие региона: архитектура, строительство, транспорт» (2017 г., Тамбов);

XIII международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной

промышленности, строительства и энергетики» (2017 г., Тула).

По результатам перечисленных конференций опубликованы тезисы и полные тексты докладов.

Общее количество публикаций по теме диссертационной работы - 35, в том числе количество публикаций в изданиях из перечня ВАК РФ - 7 (из них статей, входящих в международную базу цитирования Scopus - 2), публикации в

иных научных журналах - 2, тезисы и полные тексты докладов на конференциях - 26.

Результаты работы реализованы при выполнении исследований госбюджетной НИР № 07-16 «Разработка технологий новых строительных материалов и теорий расчета конструкций». Технические акты внедрения пакета прикладных программ в проектную практику представлены в приложении Б.

Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка литературы и приложений. Работа состоит из 127 страниц основного текста, включающих в том числе 36 рисунков, списка литературы из 173 наименований и приложений на 19 страницах, содержащих СЛАУ

задачи о деформировании круговой цилиндрической оболочки для крайних точек и технические акты внедрения. Общий объём работы — 172 страницы.

- 14 -

1 ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ТЕОРИЙ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

В современном мире всё чаще встречаются материалы, неподчиняющиеся классическим законам деформирования. Данные материалы проявляют усложненные свойства, такие как разносопротивляемость и структурная анизотропия.

Первые систематические исследования вопроса

деформирования конструкций из разносопротивляющихся материалов начали появляться в 60-е годы XX века. С тех пор многие ученые, занимающиеся проблемами механики деформированного твердого тела, пытаются разработать адекватную теорию деформирования разносопротипляющихся материалов, соответствующую экспериментальным данным.

В настоящее время существует ряд различных моделей деформирования анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Все они основаны на различных подходах к построению определяющих соотношений, но каждая из них обладает определенными недостатками: привлечение к расчету разрывных соотношений; наличие ограничений, накладываемых на не коррелируемые механические константы материалов; во многих случаях отклонение диаграмм деформирования, полученных расчетами, от экспериментальных; появление математической неопределенности уравнений состояния в условиях гидростатического сжатия или растяжения.

Известные на сегодняшний день модели деформирования разносопротивляющихся материалов можно условно разделить на

две группы [134, 135] . Для первой характерна зависимость механических характеристик материала от знака возникающих напряжений или от вида деформации. К данной группе можно отнести работы следующих авторов: Амбарцумяна С. А. [2-8] , Farhad Tabaddor [167-172] , C.W. Bert и J.N. Reddy [14 7, 148, 150, 159-161] .

Вторая группа моделей деформирования

разносопротивляющихся материалов основывается на

использовании непрерывных функций вида напряженного состояния, благодаря чему достигается гладкая форма энергетических поверхностей. Примерами работ, относящихся к данной группе, можно считать труды следующих авторов: Ломакина Е.В. [44-48], Березина А.В. и Пономарева П.Л. [1012, 77], Золочевского А.А. [25-31].

Кроме того, модель R.M. Jones и D.A.R. Nelson [151155] занимает промежуточную позицию между группами. Она частично охватывает подходы, свойственные первой группе определяющих соотношений, а частично - второй.

Одной из важнейших ветвей механики деформированного твердого тела является термоупругость. В конструкциях из анизотропных разносопротивляющихся материалов естественно наблюдается влияние на деформации температурного воздействия. Именно поэтому внимание многих ученых-механиков было обращено на проблему термомеханического нагружения конструкций.

В данном разделе проводится обзор существующих моделей деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов. Также рассматриваются подходы, учитывающие влияние температурного воздействия на деформирование материалов, чувствительных к виду напряженного состояния.

1. 1 Обзор первой группы теорий деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов

Одним из основоположников теории деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов является Амбарцумян С.А. Им представлена простейшая модификация определяющих соотношений между напряжениями и деформациями, которая в пределах малых упругих деформаций вводит кусочно-линейные зависимости между главными напряжениями и главными деформациями [2-8] .

Согласно теории Амбарцумяна С.А., компоненты матрицы податливости скачком меняют свои значения при изменении знака главного напряжения, при котором данная податливость является сомножителем.

Как следствие, для нахождения компонентов матрицы податливостей, поле напряжений разграничивается на четыре зоны с помощью следующих сочетаний главных напряжений:

а) С1 > 0, С2 > 0, С3 > 0;

б) С1 < 0, С2 < 0, С3 < 0;

в) С1 > 0, С2 > 0, С3 < 0;

г) С1 > 0, С2 < 0, С3 < 0.

В итоге, в поле главных напряжений выделяются области первого и второго родов. К областям первого рода относятся случаи, когда главные напряжения во всех точках имеют одинаковые знаки (а, б (1.1)). Области второго рода характеризуются тем, что одно из главных напряжений отличается по знаку от двух других (в, г (1.1)). Очевидно, что другие общие случаи распределения знаков главных напряжений невозможны.

(1.1)

Для областей первого рода система констант материала сводится к совокупности упругих постоянных классической теории упругости и, как следствие, уравнения связи деформаций и напряжений совпадают с обобщенным законом Гука для анизотропных материалов, для формулировки которого

используют Е+, ^ или Е- (модули упругости и

коэффициенты поперечной деформации при растяжении и при сжатии, соответственно) . В зависимости от знаков главных напряжений выбирается одна из матриц податливости: а) а1>0, а2>0, а3>0 б) а1<0, а2<0, а3<0

е11 =Ь11°1 +Ь12°2 +Ь13°3 ' е11=Ь-1а1+Ь-2а2+Ь-3а3,

(1.2)

е22 =Ь++2а1 +Ь++2а2 +Ь++3а3 / е22 =Ь12а1 + Ь22°2 +Ь23а3 /

е33 =Ь+3а1 +Ь2 3а2 +Ьз+3°3 ; е33 = Ь-3°1 + Ь-3°2 + Ь-3°3 •

Компоненты матриц податливости Ь^, Ь-^ определяются через технические константы материала следующим способом:

Ькк = 1 / Е+# Ь-к = 1 / Е-,

(1.3)

Ь+з = -V+j / Е+, Ь- = -v-j / Е-, 1 ф 1

Уравнения зависимости деформаций от напряжений для областей второго рода, когда сразу присутствуют растягивающие и сжимающие главные напряжения, записываются в виде:

в) а1>0, а2>0, а3<0 г) а1>0, а2<0, а3<0

е11=Ь31а1+Ь32а2+Ь-3а3' е11=Ь31а1+Ь-2а2+Ь-3а3'

(1.4)

е22 =Ь++2а1 +Ь++2а2 +Ь23а3 / е22 =Ь++2а1 зЬ22°2 +Ь23а3 /

е33 =Ь+3°1 +Ь++3°2 +Ь-3°3 ; е33 =Ь++3°1 +Ь-3°2 +Ь-3°3 •

Компоненты матриц податливости в (1.4) вычисляются таким же образом через технические константы материала (1.3) .

Благодаря симметрии матрицы податливостей, вводятся ограничения на константы Е+, и , Е- :

У+з / Е+ = / Е- . (1.5)

Очевидно, что ограничения (1.5) значительно уменьшают класс рассматриваемых материалов. Например, данную математическую модель невозможно использовать для описания несжимаемых материалов.

Также, недостатком теории деформирования

Амбарцумяна С. А. является то, что для решения задач по представленным соотношениям (1.2) и (1.4), необходимо заранее определить границы областей с различными типами напряженно-деформированного состояния, т.е. знаки главных напряжений должны быть предварительно известны во всех точках тела.

Farhad Tabaddor в своих работах рассматривал различные оболочки вращения [16 9, 170] и балки [167] из ортотропных резиновых композитов. При этом он отмечал, что материал может проявлять разные свойства в различных направлениях, как следствие зависимости механических характеристик от напряжений, и в расчетах необходимо учитывать данное свойство исследуемых материалов.

Строя свою модель деформирования

разносопротивляющихся материалов, F. Tabaddor вводит два предположения:

1) коэффициенты упругости сводятся к классическим упругим коэффициентам материалов при отсутствии сжатия или растяжения в системе, однако эти два набора коэффициентов упругости, соответствующих случаю без растяжения или без сжатия, не являются численно одинаковыми;

2) константы, связанные с сочетанием напряжений растяжения и сжатия, считаются пренебрежимо малыми по сравнению с константами прямого воздействия.

Так, соотношения деформаций и напряжений по главным направлениям представлены в виде [168] :

ei = c+jkGjü (s) + c:jkGjU (-Ok) (1.6)

где i,j,k = 1...6; Oj, Ok = 0 при j,k = 4,5,6 ; Cj = 0 при j Ф k ;

C±jj = C±ij ; U (Ok) = 0 при Ok < 0; U (Ok) = 1 при Ok > 0.

Коэффициенты матрицы упругих постоянных можно

представить следующим образом:

6 6

c±jj = ЕЕ a^q^ (1.7)

m=1 n=1

где qmi и qmj направляющие косинусы, необходимые для

преобразования координат; amn - упругие константы, описывающие классические ортотропные свойства материала в состоянии без растяжения и без сжатия. Данные упругие константы можно найти из ряда простейших экспериментов.

В целом модели деформирования разносопротивляющихся материалов Амбарцумяна С. А. и Farhad Tabaddor очень похожи и не имеют принципиальных различий.

Способ отойти от ограничений, накладываемых на механические константы материала, предложили

Robert M. Jones и Dudley A.R. Nelson. В своих работах [151155] они исследуют плоское напряженное состояние изотропных и ортотропных материалов с различными модулями упругости на растяжение и сжатие. Полагается, что направление действия главных напряжений совпадает с главными осями ортотропии.

Уравнение связи деформаций и напряжений записываются следующим образом:

ep = S11Gp + S12Sq; eq = S12Gp + S22Sq,

(1.8)

где Sij - компоненты матрицы податливости.

Элементы матрицы податливости зависят от напряженного состояния, реализуемого в точке тела:

а) при Ор > 0 и Од > 0: Б^ = Б+ ;

б) при Ор < 0 и Од < 0: Б^ = Б- ;

в) при Ор > 0 и Од < 0: Бы = Б+!, Б^ = крБ+2 + к^, Б22 = Б-2 ;

г) при Ор < 0 и Од > 0: Бц = Б-!, Б^ = крБ-2 + к^, Б22 = Б+2,

где k

p

Gp

p

Gp + Gq

p q

и k

q

Gq

q

Gp + Gq

p q

- весовые коэффициенты.

Сами же компоненты матрицы податливости связаны с механическими константами материала следующими

зависимостями:

а) Gp > 0 и Gq > 0 : Бц = ^ ,S12 = - = - ^ = ;

E1 E1 E2 E2

q

б) Gp < 0 и Gq < 0: Б

11

1

E-

, Б

V

12

V

21

12

E-

E-

Б

22

1

E-

в) Gp > 0 и Gq < 0: Б.

1

11

E

/ Бп

,+ ' 12

V

-k 12

1

E-

p E+

V

k Vk

kq e- ' ~22

V

E-

г) Gp < 0 и Gq > 0: Б11 = — ,S12 = -kp -1-2 - kq -12 ,S22 = —

E1 E1 E2

Легко проследить, что компоненты матрицы

податливостей, расположенные на главной диагонали, совпадают с аналогичными компонентами, предложенными Амбарцумяном С.А. [2-8] . Что касается внедиагональных элементов, можно заметить, что они включают в себя весовые коэффициенты kp и kq (тем самым перекинут «мостик» между

1

первой группой определяющих соотношений и второй). По словам авторов [151-155], в качестве весовых коэффициентов можно использовать различные функции, при этом желательно их определять из серии экспериментов.

Плюсами модели R.M. Jones и D.A.R. Nelson по отношению к модели Амбарцумяна С. А. можно назвать симметричность матрицы податливости без искусственно навязанных ограничений на механические константы материала. При этом компоненты матрицы податливости имеют непрерывные значения, т.к. главные напряжения меняются пропорционально друг другу.

Минусом модели является то, что выражения для определения весовых коэффициентов приводятся только для плоского напряженного состояния. Вопрос выбора весовых коэффициентов для трехмерного напряженного состояния остается открытым. Кроме того, как утверждали сами авторы R.M. Jones и D.A.R. Nelson, весовые коэффициенты выбраны ими произвольно и не имеют какого-либо научного обоснования.

Удобная и достаточно простая для практического применения модель деформирования разносопротивляющихся материалов получена C.W. Bert и J.N. Reddy. В своих работах [147, 148, 150, 159-161] они рассматривают задачи о нагружении пластин и круговых цилиндрических оболочек из волокнистых (армированных) ортотропных

разносопротивляющихся материалов, при этом жесткость армирующих волокон принята больше, чем жесткость связующего.

Связь напряжений и деформаций, например, для круговой цилиндрической оболочки, представляется следующим образом [150] :

" Qiiki Q12kl 0 0 0 " 'eu ~

S22 Q12kl Q22kl 0 0 0 e22

> = 0 0 Q66kl 0 0 < Yl2

^23 0 0 0 Q44kl 0 g23

^13 , 0 0 0 0 Q55ki _ Jl3 ,

(1.9)

Разносопротивляемость материала проявляется в зависимости компонентов матрицы жесткостей Q от вида деформаций, развивающихся в армирующем волокне. Индекс k=1 показывает растяжение вдоль волокна, k=2 - сжатие, k=0 означает независимость данного компонента от вида реализуемых в волокнах деформаций. Индекс l = 1,2...n указывает на номер слоя, где n - общее количество слоев.

Очевидно, что C.W. Bert и J.N. Reddy используют две несвязанные между собой матрицы жесткостей в зависимости от вида деформаций вдоль волокон. Данный способ получения определяющих соотношений не дает возможности сформировать законченную модель деформирования разносопротивляющихся материалов, так как строгость рассматриваемой модели нарушается в случае, когда нормальные напряжения в сечениях, перпендикулярных волокнам, равны нулю.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Спасская Мария Владимировна, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев, А. А. Процессы упругопластического деформирования материалов по плоским траекториям / А.А. Алексеев, В. Г. Зубчанинов // материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 105-летию со дня рождения А. А. Ильюшина: «Упругость и неупругость». - М.: Изд. дом «Типография». -2016. - С.132-135.

2. Амбарцумян, С.А. К разномодульной теории упругости / С.А. Амбарцумян, А.А. Хачатрян // Инж. журнал МТТ. - 1966.

- № 6. - С. 64-67.

3. Амбарцумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян - М.: Наука, 1974. - 446 с.

4. Амбарцумян, С. А. Осесимметричная задача круговой, цилиндрической оболочки, изготовленной из материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию / С.А. Амбарцумян // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - № 4. -С. 77-85.

5. Амбарцумян, С.А. Основные уравнения и соотношения разномодульной теории упругости анизотропного тела / С. А. Амбарцумян // Изв. АН СССР. МТТ. - 196 9. - № 3. - С. 51-61.

6. Амбарцумян, С. А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию / С.А. Амбарцумян, А.А. Хачатрян // Инж. журнал МТТ. - 1966.

- № 2. - С. 44-53.

7. Амбарцумян, С. А. Разномодульная теория упругости / С.А. Амбарцумян. - М.: Наука, 1982. - 320 с.

8. Амбарцумян, С.А. Уравнения теории температурных напряжений разномодульных материалов / С. А. Амбарцумян // Инж. журнал МТТ. - 1968. - № 5. - С. 58-69.

9. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. - М.: Высш. школа, 1968. -512 с.

10. Березин, А.В. Нелинейное поведение композитных материалов / А. В. Березин // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1996. - Т.2, №1. - С. 110-128.

11. Березин, А. В. О законах деформирования разномодульных дилатирующих сред / А.В. Березин // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. - 2007. - № 2. -С. 70-72.

12. Березин, А. В. Экспериментальное вычисление функций разномодульности в модели трастропной среды / А.В. Березин, П. Л. Пономарев // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2001. - № 6. - С. 83-91.

13. Болгарский, А. В. Термодинамика и теплопередача /

A.В. Болгарский. - М.: Высш. школа, 1975. - 495 с.

14. Варвак, П.М. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций / П.М. Варвак, Л.П. Варвак. - М.: Стройиздат, 1977. - 160 с.

15. Власов, В.З. Избранные труды. Общая теория оболочек /

B.З. Власов. - М.: Изд-во АН СССР, 1962 г. - 528 с.

16. Вольмир, А.С. Гибкие пластинки и оболочки / А.С. Вольмир. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 419 с.

17. Гольденвейзер, А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин / А. Л. Гольденвейзер // Изв. РАН. МТТ. - 1997. - № 3. - С. 134-149.

- 130 -

18. Гольдштейн, Ю.Б. Основы механики твердого деформируемого тела: Учеб пособие / Ю.Б. Гольдштейн. -Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. - 872 с.

19. Делягин, М.Ю. Исследование НДС сферической оболочки из разносопротивляющегося материала в условиях термомеханического нагружения с помощью МКЭ / М.Ю. Делягин // Научно-технический вестник Поволжья. - 2013. - №4. -С. 40-45.

20. Демидов, С. П. Теория упругости: Учебник для вузов / С.П. Демидов. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

21. Доннел, Л. Г. Балки, пластины и оболочки / Л. Г. Доннел - М.: Наука, 1984. - 440 с.

22. Дургарьян, С.М. Некоторые температурные задачи для ортотропных оболочек и пластинок: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 01.02.04 / Ленингр. политехн. ин-т им. М. И. Калинина. - Ленинград : [б. и.], 1973. - 18 с.

23. Дургарьян, С. М. Осесимметричная температурная задача ортотропной круглой пластинки / С.М. Дургарьян // Изв. АН АРМ ССР. - 1960. - № 3. - Т. 13. - С. 65-88.

24. Жидков, А.Е. Об одной постановке задач термоупругости для разномодульных сред / А.Е. Жидков // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулПИ. - 1986. -С. 63-66.

25. Золочевский, А.А. К тензорной связи в теориях упругости и пластичности анизотропных композитных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию / А.А. Золочевский // Механика композитных материалов. -1985. - № 1. - С. 53-58.

26. Золочевский, А.А. Напряженно-деформированное состояние в анизотропных оболочках из разномодульных композитных

- 131 -

материалов / А.А. Золочевский // Механика композитных материалов. - 1986. - № 1. - С. 166-168.

27. Золочевский, А.А. Определяющие уравнения и некоторые задачи разномодульной теории упругости анизотропных материалов / А. А. Золочевский // ПМТФ. - 1985. - № 4. -С. 131-138.

28. Золочевский, А.А. О соотношениях теории упругости анизотропных разномодульных материалов / А.А. Золочевский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа. -1981. - Вып. 34. - С. 3-8.

29. Золочевский, A.A. Расчет анизотропных оболочек из разномодульных материалов при неосесимметричном нагружении / A.A. Золочевский, В.Н. Кузнецов // Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: ДГУ. - 1989. - С. 84-92.

30. Золочевский, A.A. Соотношения разномодульной теории упругости анизотропных материалов на основе трех смешанных инвариантов / А.А. Золочевский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа. - 1987. - Вып. 46. - С. 8589.

31. Золочевский, A.A. Численные расчеты анизотропных оболочек из разномодульных композитных материалов /

A. А. Золочевский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа. - 1986. - Вып. 44. - С. 11-17.

32. Зубчанинов, В.Г. Моделирование процессов упругопластического деформирования материалов по многозвенным кусочно-ломаным прямолинейным траекториям /

B. Г. Зубчанинов, А. А. Алексеев, В. И. Гультяев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 3. - С. 203-215.

33. Зубчанинов, В. Г. О систематических экспериментальных исследованиях упругопластического деформирования конструкционных материалов / В.Г. Зубчанинов, В.И. Гультяев, А. А. Алексеев // материалы Всероссийской научно-практической конференции «Саморазвивающаяся среда технического вуза: научные исследования и экспериментальные разработки». - Тверь: Изд-во ТвГТУ. - 2016. - С.8-12.

34. Зубчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности: Учебник для машиностроит. спец. вузов / В.Г. Зубчанинов. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

35. Зубчанинов, В. Г. Экспериментальные исследования механических свойств конструкционных материалов при сложном нагружении / В.Г. Зубчанинов, В.И. Гультяев, А.А. Алексеев, Е.Г. Алексеева, В.Н. Ведерников // сборник трудов II Международной заочной научно-практической конференции «Строительство и землеустройство: проблемы и перспективы развития». - Тверь: Изд-во ТвГТУ. - 2017. - С.14-18.

36. Ильюшин, А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

37. Каргин, В. А. Энциклопедия полимеров: в 3 т. Т. 1 / В.А. Каргин. - М.: Советская энциклопедия, 1972. - 1224 с.

38. Коваленко, А. Д. Введение в термоупругость / А.Д. Коваленко. - Киев: Наукова думка, 1965. - 204 с.

39. Коваленко, А. Д. Основы термоупругости, / А.Д. Коваленко. - Киев: Наукова думка, 1970. - 309 с.

40. Коваленко А.Д. Термоупругость / А.Д. Коваленко. -Киев: Вища школа, 1975. - 216 с.

41. Колесников, А.М. Большие деформации высокоэластичных оболочек: дис. ... канд. физ .-мат. наук: 01.02.04 / Ростов-на-Дону :2006, - 115 с.

42. Корнишин, М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М.С. Корнишин. - М.: Наука, 1964. - 192 с.

43. Купрадзе, В.Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелиа. -М.: Наука, 1976. - 664 с.

44. Ломакин, Е.В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния / Е.В. Ломакин // Механика композитных материалов. - 1988. -№ 1. - С. 3-9.

45. Ломакин, Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. -№ 4. - С. 92-99.

46. Ломакин, Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел / Е.В. Ломакин. - М., 1980. - 64 с.

47. Ломакин, Е.В. Разномодульность композитных материалов / Е.В. Ломакин // Механика композитных материалов. - 1981. - № 1. - С. 23-29.

48. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - № 3. - С. 63-69.

49. Луканкин, С.А. Статические и динамические формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при действии внешнего давления / С. А. Луканкин, В.Н. Паймушин // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2014. -

№ 1. - С. 108-12 8.

50. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. - М.: Гостехиздат, 1955. - 460 с.

51. Макеев, А.Ф. Разрешающие уравнения полубезмоментной цилиндрической оболочки из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию / А.Ф. Макеев, И.Г. Овчинников // Строит. механика пространств, конструкций. - Саратов: Изд-во СПИ. - 1980. - С. 87-94.

52. Малинин, Н.Н. Теория пластичности материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию / Н.Н. Малинин, О. А. Батанова // Изв. вузов. Машиностроение. - 1979. - № 12. - С. 9-14.

53. Матченко, Н.М. Вариант построения уравнений разномодульной теории упругости / Н.М. Матченко, Л. А. Шерешевский, Н.А. Легнау. - Тула: ТулПИ, 1981. - 7 с.

- Деп. в ВИНИТИ 20.05.81, № 2352-81.

54. Матченко, Н.М. К плоской задаче разномодульной теории упругости / Н.М. Матченко, А. А. Трещев, М.В. Аруцев. -Тула: ТулПИ, 1984. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.06.84, № 3755-84.

55. Матченко, Н.М. К решению разрешающих дифференциальных уравнений изгиба разномодульных пластин / Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулПИ. - 1985. - С. 95-102.

56. Матченко, Н.М. Основные соотношения термоупругости для разномодульных изотропных сред. Дифференциальные уравнения / Н.М. Матченко, А.Е. Жидков. - Тула: ТПИ, 1984.

- 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.01.85, №577-85.

57. Матченко, Н.М. Основные соотношения термоупругости для разномодульных изотропных сред. Уравнения состояния / Н.М. Матченко, А.Е. Жидков. - Тула: ТПИ, 1984. - 10 с. -Деп. в ВИНИТИ 09.01.85, №576-85.

58. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов / Н.М. Матченко,

A.А. Трещев // Прикладные задачи теории упругости. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ. - 20 04. - 211 с.

59. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения / Н.М. Матченко, А.А. Трещев. - Тула: ТулГУ, 2000. - 149 с.

60. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки / Н.М. Матченко, А.А. Трещев. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2005. - 187 с.

61. Молчанов, И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости / И.Н. Молчанов. - Киев: Наукова думка, 1979. - 315 с.

62. Новацкий, В.В. Вопросы термоупругости: пер. с польского / В.В. Новацкий. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. -364 с.

63. Новацкий, В.В. Теория упругости / В.В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

64. Новожилов, В. В. Теория упругости / В. В. Новожилов. -Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

65. Огибалов, П.М. Оболочки и пластины / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. - М.: МГУ, 1969. - 695 с.

66. Паймушин, В.Н. Статические и динамические балочные формы потери устойчивости длинной ортотропной цилиндрической оболочки при внешнем давлении /

B.Н. Паймушин // Прикладная математика и механика. - 2 0 08. Т. 72. № 6. - С. 1014-1027.

67. Панферов, В.М. О нелинейной теории упругости огнеупорных материалов / В.М. Панферов // Избранные вопросы

современной механики. - М.: Наука, 1982. - Ч. 2. - С. 96106 .

68. Панферов, В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение / В.М. Панферов // Доклады АН СССР. - 1968. - Т. 180. - № 1. - С. 41-44.

69. Петров, А.А. Плосконапряженное состояние пластин в условиях термомеханического нагружения / А. А. Петров,

B.Г. Теличко // Сборник статей Международной научно-технической конференции «Композиционные строительные материалы. Теория и практика». - Пенза: ПГУАС-ПДЗ, 2007. -

C. 229-232.

70. Петров, В. В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твердого деформируемого тела / В. В. Петров / / Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвузовский научный сборник. -Саратов, 2001. - С. 6-12.

71. Петров, В. В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала / Петров В.В., Кривошеин И. В. -М.: Изд-во АСВ, 2009. - 208 с.

72. Петров, В. В. Неоднородные пологие оболочки с двумя видами нелинейности / В.В. Петров, И.В. Кривошеин // ACADEMIA. Архитектура и строительство. - 2 013. - Вып. № 1. - С. 114-123.

73. Петров, В. В. Расчет неоднородных пологих оболочек с двумя видами нелинейности / В.В. Петров, И.В. Кривошеин // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер.: Строительство и архитектура. - 2013. - Вып. 31 (50). - С. 392-398.

74. Петров, В. В. Расчет пластинок и пологих оболочек из нелинейно-упругого материала / В.В. Петров, И.Г. Овчинников, В. И. Ярославский. - Саратов: СГУ, 1976. -133с.

75. Пикуль, В.В. Механика оболочек / В.В. Пикуль. -Владивосток: Дальнаука, 2009. - 535 с.

76. Пикуль, В. В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек / В. В. Пикуль. - М. : Наука, 1977. - 152 с.

77. Пономарев, П.Л. Деформирование анизотропных графитовых материалов нагрузками / П. Л. Пономарев // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2001. - № 2. - С. 40-44.

78. Разработка общей теории и методов решения задач устойчивости упругих трехслойных пластин и оболочек для исследования синфазных, антифазных, сдвиговых и смешанных форм выпучивания: отчет о НИР / Паймушин В.Н., Бобров С.Н., Голованов А.И., Иванов В.А., Луканкин С.А., Муштари А.И., Полякова Т. В. - Казань: Научно-технический центр проблем динамики и прочности при Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева, 1999.

79. Розе, A.B. Трехармированные тканые материалы / A.B. Розе, И.Г. Жигун, М.Н. Душин // Механика полимеров. -1970. - №3. - С. 471-476.

80. Самсоненко, Г.И. Изгиб прямоугольных тонких пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов при термомеханическом загружении / Г. И. Самсоненко // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2012. -Вып. 1. - С. 231-238.

81. Самсоненко, Г. И. Изгиб тонких кольцевых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов в условиях

- 138 -

термо-механического загружения / Г.И. Самсоненко, А.А. Трещев // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2011. - Вып. 5. - 3 Ч. - С. 110-116.

82. Самсоненко, Г. И. Термоупругий изгиб кольцевых пластин средней толщины из ортотропных разносопротивляющихся материалов / Г. И. Самсоненко, А. А. Трещев // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2012. -Вып. 1. - С. 238-245.

83. Сергеева, С.Б. Описание деформирования конструкционных материалов с усложненными свойствами / С.Б. Сергеева, А.А. Трещев // Труды 51-й Международной конференции молодых ученых. - Санкт-Петербург: СПбГАСУ. - 1997. - Ч. 1. -С. 187-193.

84. Спасская, М.В. Актуальность рассмотрения термомеханических задач для оболочек вращения из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // сборник тезисов докладов XII Региональной заочной магистерской научной конференции, Часть первая. -Тула: Изд-во ТулГУ. - 2017. - С. 240-241.

85. Спасская, М.В. Влияние разносопротивляемости материала и температурного воздействия на НДС пологой сферической ортотропной оболочки / М.В. Спасская, А. А. Трещев // Сборник материалов XIX Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2018. - С.12 7-129.

86. Спасская, М.В. Влияние разносопротивляемости материала на НДС круговой цилиндрической ортотропной оболочки / М.В. Спасская, В. Г. Теличко, А. А. Трещев // Сборник материалов XV Международной научно-технической конференции

«Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. - С. 92-93.

87. Спасская, М.В. Влияние температурного воздействия на НДС выпуклой пологой оболочки из ортотропного разносопротивляющегося материала / М.В. Спасская, А.А. Трещев // Сборник материалов XVII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности». -Тула: Изд-во ТулГУ. - 2016. - С.180-182.

88. Спасская, М.В. Влияние температурного воздействия на НДС круговой цилиндрической оболочки из ортотропного разносопротивляющегося материала / М.В. Спасская, А.А. Трещев // Сборник материалов XV Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. -С. 93-94.

89. Спасская, М.В. Влияние температурного воздействия на НДС пологой сферической оболочки из ортотропного разносопротивляющегося материала / М.В. Спасская, А.А. Трещев // Сборник материалов XVI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2015. - С. 120-121.

90. Спасская, М.В. Вывод линеаризованных разрешающих уравнений несвязанной термоупругой задачи для круговой цилиндрической оболочки из ортотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // Материалы Х Международной научно-практической конференции молодых исследователей «Содружество наук. Барановичи-2014», Книга 2. - Барановичи: РИО БарГУ. - 2014. - С. 203-207.

91. Спасская, М.В. Изгиб круговой цилиндрической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала / М.В. Спасская, А.А. Трещев // Строительство и реконструкция. - №3(59). - 2015. - С. 53-59.

92. Спасская, М.В. Исследование влияния разносопротивляемости материала на НДС круговой цилиндрической ортотропной оболочки / М.В. Спасская // Материалы Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. - С. 244-248.

93. Спасская, М.В. Исследование влияния температурного воздействия на НДС круговой цилиндрической оболочки из разносопротивляющегося материала / М.В. Спасская // Материалы Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. - С. 170-173.

94. Спасская, М.В. К решению несвязанной термоупругой задачи для круговой цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // Сборник докладов VIII Региональной молодежной научно-практической конференции Тульского государственного университета «Молодежные инновации», Часть II. - Тула: Изд-во ТулГУ. -2014. - С. 56-57.

95. Спасская, М.В. Линеаризация разрешающих уравнений несвязанной термоупругой задачи для круговой цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // Материалы Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее» ». - Тула: Изд-во ТулГУ. -2013. - С. 130-136.

96. Спасская, М.В. Подход к решению задачи изгиба пологой сферической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // Материалы 5-ой Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее». - Тула: Изд-во ТулГУ. -2015. - С. 284-288.

97. Спасская, М.В. Подход к решению задачи термоупругости для ортотропной пологой сферической оболочки с учетом разносопротивляемости материала / М.В. Спасская // Материалы 6-ой Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого -взгляд в будущее». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2016. - С. 392397 .

98. Спасская, М.В. Подход к решению термоупругой задачи для для круговой цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // Вестник Магистратуры №7(22). - Йошкар-Ола: научно-издательский центр «Коллоквиум». - 2 013. - С. 63-65.

99. Спасская, М.В. Постановка термомеханической задачи для пологой сферической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // XI Региональная магистерская научная конференция: сборник тезисов докладов. Ч. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2016. -С. 231-232.

100. Спасская, М.В. Постановка термомеханической задачи для цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // Докл. статей VIII Региональной магистерской научной конференции, Часть первая. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2013. - С. 89-91.

101. Спасская, М.В. Применение метода конечных разностей при решении задачи изгиба круговой цилиндрической оболочки / М.В. Спасская // X Региональная магистерская научная конференция: доклады статей. Ч. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ. -2015. - С. 69-71.

102. Спасская, М.В. Применение метода последовательных нагружений при решении задачи изгиба круговой цилиндрической оболочки / М.В. Спасская // Сборник докладов IX Региональной молодежной научно-практической конференции Тульского государственного университета «Молодежные инновации», Ч.1. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2015. - С. 263265 .

103. Спасская, М.В. Решение методом конечных разностей задачи изгиба цилиндрической оболочки / М.В. Спасская // Сборник докладов IX Региональной молодежной научно-практической конференции Тульского государственного университета «Молодежные инновации», Ч.1. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2015. - С. 261-2 63.

104. Спасская, М.В. Термомеханическая задача для пологой сферической оболочки из материала с усложненными свойствами / М.В. Спасская, А.А. Трещев // Строительная механика и расчет сооружений. - Вып. №5(280) . - М.: Изд-во АО «НИЦ «Строительство». - 2018. - С. 58-65.

105. Спасская, М.В. Термоупругая задача для цилиндрической оболочки из ортотропных разносопротивляющихся материалов / М.В. Спасская // сборник тезисов докладов IX Региональной магистерской научной конференции, Часть первая. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. - С. 198.

106. Спасская, М.В. Термоупругое деформирование цилиндрической оболочки из анизотропного

- 143 -

разносопротивляющегося материала / М.В. Спасская, А.А. Трещев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - №1(23). - 2015. - С. 6574 .

107. Спасская, М.В. Чистое кручение тонкостенной круговой цилиндрической оболочки из разномодульного изотропного материала / М.В. Спасская, В.М. Романов // Сборник докладов VIII Региональной молодежной научно-практической конференции Тульского государственного университета «Молодежные инновации», Часть II. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2014 . - С. 9-11.

108. Тамуров, Н.Г. Термоупругие напряжения в разномодульном цилиндре / Н.Г. Тамуров, Г. В. Туровцев // Прочность и надежность элементов конструкций. - Киев: Наукова думка, 1982. - С. 140-145.

109. Теличко, В. Г. Решение задачи об изгибе тонкой прямоугольной пластины из разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического нагружения / В.Г. Теличко, Д.С. Читинский, А.А. Петров // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2009. - №1-2. - С. 114-120.

110. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войнвский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

111. Толоконников, Л. А. Вариант разномодульной теории упругости / Л. А. Толоконников // Механика полимеров. -1969. - № 2. - С. 363-365.

112. Толоконников, Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости / Л.А. Толоконников // Прочность и пластичность. - М.: Наука. - 1971. - С. 102-104.

113. Толоконников, Л. А. К описанию свойств разносопротивляющихся конструкционных материалов /

- 144 -

Л.А. Толоконников, А. А. Трещев // Аннотации докладов 9-й Международной конференции по прочности и пластичности. -М.: ИПМ РАН. - 1996. - С. 97-98.

114. Толоконников, Л.А. Механика деформируемого твердого тела / Л.А. Толоконников. - М.: Высшая школа, 1979. -318 с.

115. Трещев, А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев. - М.: НИИСФ РААСН; Тула: ТулГУ, 2007. - 160 с.

116. Трещев, А.А. Вариант деформирования конструкционных материалов с усложненными свойствами / А.А. Трещев // Теория, технология, оборудование и автоматизация обработки металлов давлением и резанием. - Тула: Изд-во ТулГУ. -1999. - Вып. 1 - С. 66-73.

117. Трещев, А.А. Влияние разносопротивляемости материала и температурного воздействия на НДС круговой цилиндрической ортотропной оболочки / А.А. Трещев, М.В. Спасская // Сборник материалов XVI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2015. - С. 121-122.

118. Трещёв А.А. Влияние разносопротивляемости, связанности и геометрической нелинейности на НДС сферической оболочки /

A.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Вестник Волгогр. гос. архит.-строит, ун-та. Сер.: Стр-во и ар-хит. - 2013. - Вып. 31 (50). - Ч. 2. Строительные науки. - С. 407-413.

119. Трещев, А. А. Дифференциальные уравнения термоупругости, учитывающие влияние вида напряженного состояния / А.А. Трещев, А.Е. Жидков, А.А. Петров,

B.Н. Руднев // Известия ТулГУ. Строительные материалы,

конструкции и сооружения. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2 0 06. -Вып. 9. - С. 63-67.

120. Трещев, А.А. Изгиб ортотропных оболочек нулевой Гауссовой кривизны, выполненных из материалов, чувствительных к виду напряженного состояния с учетом температурного воздействия / А. А. Трещев, М.В. Спасская // Материалы XIII Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2017. - С.180-185.

121. Трещев, А.А. Изучение воздействия разносопротивляемости материала на НДС круговой цилиндрической анизотропной оболочки / А. А. Трещев, М.В. Спасская // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.11: в 2ч. Ч.2. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. - С.603-611.

122. Трещев А.А. Математическая модель несвязанной термомеханической задачи для пологой сферической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев, М.В. Спасская // Научный Вестник ВГАСУ. Серия: Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения. - Вып. №2(13). - 2016. -С. 94-99.

123. Трещёв, А.А. Моделирование оболочки из изотропного разносопротивляющегося графита с помощью объемных конечных элементов с учетом связанности напряжений и температур / А.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Materials Physics and Mechanics. - 2013. - Vol. 17. - No 1. - P. 59-70.

124. Трещев А.А. Напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки из материала с

- 146 -

усложненными свойствами / А. А. Трещев, М.В. Спасская // Физика и механика материалов (Materials Physics and Mechanics). - Vol. 29, No 1. - 2016. - P. 32-38.

125. Трещёв, А.А. Напряжённо-деформированное состояние тонких прямоугольных пластин из разносопротивляющихся материалов в условиях термосилового нагружения / А.А. Трещёв, В.Г. Теличко, А.А. Петров // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2008. - №1. -С. 110-117.

126. Трещев, А.А. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред / А. А. Трещев. - Тула: ТулПИ, 1992. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, № 1887-В92.

127. Трещев, А.А. О единственности решения задач теории упругости разносопротивляющихся сред / А. А. Трещев, С. А. Воронова. - Тула: ТулПИ, 1987 - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.03.87, № 2040-В87.

128. Трещев, А.А. Подход к решению несвязанной термоупругой задачи для цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев, М.В. Спасская // Сборник материалов XIV Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2013. - С. 150-152.

129. Трещев, А.А. Подход к решению несвязанной термоупругой задачи для пологой сферической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев, М.В. Спасская // Сборник материалов XVII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы

строительства, строительной индустрии и промышленности». -Тула: Изд-во ТулГУ. - 2016. - С. 200-201.

130. Трещёв, А.А. Расчет сферических оболочек покрытий транспортных сооружений на термомеханическое воздействие с учетом усложненных свойств материалов / А.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Транспортное строительство. - 2013. - №2. -С. 24-25.

131. Трещев, А. А. Решение задачи термоупругости для цилиндрической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала / А.А. Трещев, М.В. Спасская // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.11: в 2ч. Ч.2. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. - С.567-575.

132. Трещёв, А.А. Решение связанной задачи термоупругости для сферической оболочки из разносопротивляющегося материала с учетом геометрической нелинейности /

A.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия Механика предельного состояния. -Чебоксары: ЧувГПУ. - 2012. - №3(13). - С. 18-26.

133. Трещёв, А.А. Связанная задача термомеханического изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещёв,

B.Г. Теличко, Д.С. Чигинский // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2 011. - Вып. 2. - С. 4 94502 .

134. Трещёв, А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной или наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А.А. Трещев. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2016. - 328 с.

135. Трещев, А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография / А. А. Трещев. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. - 264 с.

136. Трещев А. А. Термосиловой изгиб оболочек нулевой Гауссовой кривизны и средней толщины, выполненных из ортотропных разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев, М.В. Спасская // Материалы 4-й международной научно-практической конференции института архитектуры, строительства и транспорта тамбовского государственного технического университета «Устойчивое развитие региона: архитектура, строительство, транспорт». - Тамбов: Изд-во Першина Р.В. - 2017. - С. 203-208.

137. Трещев, А.А. Термоупругий изгиб тонких круглых пластин из ортотропных стеклопластиков / А. А. Трещев, Г.И. Самсоненко // Известия ТулГУ. Технические науки. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - Вып. 5. - 3 Ч. - С. 116-121.

13 8. Трещев, А. А. Термоупругий изгиб круглых пластин средней толщины, выполненный из анизотропных

разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев, Г.И. Самсоненко // Вестник отделения строительных наук РААСН. - Москва-Орел-Курск: РААСН-Госуниверситет-УНПК-ЮЗГУ. - 2011. - Вып. 15. - С. 141 - 144.

139. Трещев, А. А. Термоупругое деформирование оболочки средней толщины и нулевой Гауссовой кривизны, выполненной из нелинейного ортотропного материала / А. А. Трещев, М.В. Спасская // Сборник материалов XVIII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности». -Тула: Изд-во ТулГУ. - 2017. - С.196-200.

14 0. Турсунов, Б. С. О свойствах потенциала напряжений упругих тел / Б. С. Турсунов // ПММ. - 1970. - Т.34. -Вып. 1. - С. 15-22.

141. Шляхов, С.М. Анализ напряженного состояния пористой балки-пластины в конструкционно связанной задаче чистого изгиба / С.М. Шляхов, А.В. Мозжилин // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - Т. 4.

- № 2с. - С. 38-42.

142. Шляхов, С.М. Анализ напряженно-деформированного состояния пористой круглой керамической пластины в конструкционно-связанной задаче термоупругости / С.М. Шляхов, А.В. Мозжилин // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2013. - Т. 3.

- № 1 (72) . - С. 53-58 .

143. Шляхов, С.М. Задача теплопроводности и термоупругости круглой пористой пластины в нестационарном режиме нагрева / С.М. Шляхов, А.В. Ефремов // Вестник СГТУ. - Саратов: СГТУ.

- 2007. - №. 4(28). - Выпуск 1. - С. 39-47.

144. Шляхов, С.М. Задача термоупругости для круглой, не выделяющей тепло плиты при пористом её охлаждени / С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина // Вестник СГТУ. - Саратов: СГТУ, 2006. - №. 2(12). - Выпуск 1. - С. 31-37.

145. Шляхов, С.М. О влиянии нормальных напряжений на сквозную пористость материала балки-пластины при изгибе / С.М. Шляхов, А.В. Мозжилин // Проблемы прочности элементов конструкций под воздействием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. ст. Саратов. - СГТУ. - 2011. - С. 35-38.

146. Шляхов, С.М. Термоупругое состояние прямоугольной пластины без внутреннего источника тепла при пористом охлаждении / С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина // Вестник

Саратовского государственного технического университета. -2011. - Т. 4. - № 1. - С. 64-68.

147. Bert, C.W. Bending of Thick Rectanqular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials / C.W. Bert, J.N. Reddy, V.S. Reddy, W.C. Chao // AIAA Journal. - 1981. - Vol. 19. - № 10. - P. 1342-1349.

148. Bert, C. W. Models for Fibrous Composites with Different Properties in Tension and Compression / C.W. Bert // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. -October 1977. - Vol. 99. - № 4. - P. 344-349.

149. Hart, P.E. The affect of pre-stressing on the thermal expansion and Young's modulus of graphite / P.E. Hart // Carbon. - 1972. - Vol. 10. - P. 233-236.

150. Hsu, Y. S. Thermoelasticity of Circular Cylindrical Shells Laminated of Bimodulus Composite Materials / Y.S. Hsu, C.W. Bert, J.N. Reddy // Journal of Thermal Stresses. - Apr. 1981. - Vol. 4. - № 2. - P. 155-177.

151. Jones, R.M. Material models for nonlinear Deformation of graphite / R.M. Jones, D.A.R. Nelson // AIAA Journal. -1976. - Vol. 14. - № 6. - P. 709-716.

152. Jones, R.M. Modeling Nonlinear Deformation of CarbonCarbon Composite Materials / R.M. Jones // AIAA Journal. -1980. - Vol. 18. - № 8. - P. 995-1001.

153. Jones, R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Notlinear Multimodulus Ortotropic Materials / R.M. Jones // AIAA Journal, 1977. - Vol. 15. - № 10. -P. 1436-1443.

154. Jones, R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression / R.M. Jones // AIAA Journal, 1977. - Vol. 15. - № 1. - P. 16-25.

155. Jones, R.M. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite / R.M. Jones, D.A.R. Nelson // AIAA Journal. - 1976. -Vol. 14. - № 10. - P. 1427-1435.

156. Kamiya, N. Bimodulus thermoelasticity considering temperature-dependent material properties / N. Kamiya // Mechanics of bimodulus materials. - New York: ASME, 1979. -P. 29-37.

157. Kamiya, N. Thermal stress in bimodulus thick cylinder / N. Kamiya // Nuclear engineering and design. - 1977. -Vol. 40. - № 2. - P. 383-391.

158. Karman, Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27, Punkt 8. Ebene Flatten. Leipzig: B. G. Teubner. - 1910. - S. 311-385.

159. Reddy, J.N. On the Behovior of Plates Laminated of Bimodulis Composite Materials / J.N. Reddy, C.W. Bert // ZAMM. - 1982. - Vol. 62. - № 6. - P. 213-219.

160. Reddy, J.N. Theories and computational models for composit laminates / J.N. Reddy, D.H. Robbins // Appl. Mech. Rev. - 19 94. - Vol. 47. - № 6, Pt. 1. - P. 21-35.

161. Reddy, J.N. Thermal bending of think rectangular plates of bimodulis composite materials / J.N. Reddy, C.W. Bert, Y.S. Hsu, V.C. Reddy // Journal Mach. eng. sci. - 1980. - Vol. 22. - № 6. - P. 297-304.

162. Rossikhin, Yu.A. Analysis of non-linear vibrations of a fractionally damped cylindrical shell under the conditions of combinational internal resonance / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Lecture Notes in Electrical Engineering. - 2015. - T. 343. - P. 59-107.

163. Rossikhin, Yu.A. Comparative analysis of two problems of the impact interaction of rigid and viscoelastic spherical shells / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, Manh Duong Tuan // International journal of mechanics. - 2 017. -Т.11. - P. 6-11.

164. Rossikhin, Yu.A. Modelling of the collision of two viscoelastic spherical shells / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, Manh Duong Tuan // Mechanics of time-dependent materials. - 2016. - Т. 20, № 4 - P. 481-509.

165. Schmueser, D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Respanse of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells // AIAA Journal. - 1983. - Vol. 21. - № 12. -P. 1742-1747.

166. Shitikova, M.V. A new approach for studying nonlinear dynamic response of a thin fractionally damped cylindrical shell with internal resonances of the order of e / M.V Shitikova, Yu.A. Rossikhin // Advanced Structured Materials. - 2015. - Т. 45. - P. 301-321.

167. Tabaddor, F. Analysis for beams made of bi-modulus elastic orthotropic materials / F. Tabaddor // Fibre Science and Technology. - 1976. - № 9. - P. 51-62.

168. Tabaddor, F. Constitutive Equations for Bimodulus Elastic Materials / F. Tabaddor // AIAA Journal. - 1972. -Vol. 10. - № 4. - P. 516-518.

169. Tabaddor, F. Large deformations of cord-reinforced multilayered shells / F. Tabaddor // Fibre Science and Technology. - 1979. - Vol. 12, № 4. - P. 253-267.

170. Tabaddor, F. Some aspects of rubber composite finite element analysis / F. Tabaddor, J.R. Stafford // Computers & Structures. - 1985. - Vol. 21, № 1/2. - P. 327-339.

171. Tabaddor, F. Thermo-mechanical stresses in axisymmetric carbon brake discs / F. Tabaddor // Fibre Science and Technology. - 1978. - № 11. - P. 145-156.

172. Tabaddor, F. Two-Dimenshional Bi-Linear Ortotrtpic Elastic Materials / F. Tabaddor // Journal of Composite Materials. - 1969. - Vol. 3. - Oct. - P. 725-727.

173. Treschev, A.A. The influence of temperature differences for the analysis of thin orthotropic cylindrical shell / A.A. Treschev, M.B. Shereshevsky, A.A. Bobrishev, L.N. Shafigullin // Scientific Review Engineering and Environmental Sciences. - Vol. 26, No 4. - 2017. - P. 528-537.

Приложение А

СЛАУ

задачи о деформировании круговой цилиндрической оболочки

для крайних точек

Формула А.1 - 1-е уравнение в СЛАУ для первых двух точек

Формула А.2 - 2-е уравнение в СЛАУ для первых двух точек

/ л2 \

-^Г-¿22 0) П12 (I)

ърг ' ;

I

4

2 2

Г д2

Л72(г)

4- 2

ер;

4 122 (г)

¿22(г) 1

_5_ Р12{%\

2 /3

4

2 Р12{г) _

1

012(г)

- 122 {г) В12 (г)

4

9Р12(1)

I

4 2

+ ¿22(г)

{

Г

( д2

} )

<1и (г )

ер/

¿)/2(г)

10

ер;

П12{\

4

ер;

¿22 (IИ

ер;

¿>;2 (г))

) 5 Р12 (г)

/

^ )

( ( й2 \

¿22 (г) ¿>;2 (г)

■ е . . ч и

¿и {г 4 1) 4

1

/ е , , \

-л;2 г I . ,

1_ ер; 4 д;2(; )

+ I2 ' }

I

4

4 ¿22(г)

/ / е

12р;2(г) _ ер;' У

л;2(г)

¿>;2 (г) 1

ер; < ^

4

2 {~врГ122^)£>12^

г ( е

2

4 ¿22(г)

ер;

4

7 О! 2 (г)

¿и{г 4 2)4

(г 4 3 )

Г ))

Формула А.3 - 1-е уравнение в СЛАУ для последних двух точек

Формула А.4 - 2-е уравнение в СЛАУ для последних двух точек

Приложение Б

Технические акты внедрения

УТВЕРЖДАЮ Директор

ООО «СтройИнведтПроект»

с с

« »

С.В. Мурашов 2018 г.

ТЕХНИЧЕСКИМ АКТ ВНЕДРЕНИЯ

Мы, нижеподписавшиеся, представители Тульского государственного университета, с одной стороны, и ООО «Строй-ИнвестПроект», с другой стороны, составили настоящий акт о том, что разработанные в ТулГУ по г/б НИР № 07-16 «Разработка технологий новых строительных материалов и теорий расчета конструкций» методики расчета напряжённо-деформированного состояния круговой цилиндрической и пологой сферической оболочек из анизотропных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния, реализованные в виде пакета прикладных программ, внедрены в проектную практику ООО «СтройИнвестПроект» и используются при проектировании и экспертизе элементов строительных конструкций .

Практическое использование разработанных методик и программной продукции позволяет упростить процесс проектирования и экспертизы строительных конструкций и их элементов, значительно сократить время проведения экспериментальной обработки различных материалов и достоверно прогнозировать состояние строительных конструкций в процессе эксплуатации.

Представители

ООО «СтройИнвестПроект»:

Представители ФГБОУ ВО ТулГУ:

Директор

с. В. Мурашов Главный инженер

Н.И. Лихачёва

Научный руководитель г/б НИР №07^16, д. т . ^г7/:|1ро^ессор

А.А. Трещёв

Разработчик НИР, инженер М.В. Спасская

« »

УТВЕРЖД/

Генераль ООО «Миг

шшьтш^/*/} 2018 г.

РТЕШ. Власова

ТЕХНИЧЕСКИЙ АКТ ВНЕДРЕНИЯ

Мы, нижеподписавшиеся, представители Тульского государственного университета, с одной стороны, и ООО «Мир-текс», с другой стороны, составили настоящий акт о том, что разработанные в ТулГУ по г/б НИР № 07-16 «Разработка технологий новых строительных материалов и теорий расчета конструкций» методики расчета напряжённо-деформированного состояния круговой цилиндрической и пологой сферической оболочек из анизотропных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния, реализованные в виде пакета прикладных программ, внедрены в проектную практику ООО «Миртекс» и используются при проектировании и экспертизе элементов строительных конструкций.

Практическое использование разработанных методик и программной продукции позволяет упростить процесс проектирования и экспертизы строительных конструкций и их элементов, значительно сократить время проведения экспериментальной обработки различных материалов и достоверно прогнозировать состояние строительных конструкций в процессе эксплуатации.

Представители Представители

ООО «Миртекс»: ФГБОУ ВО ТулГУ:

Генеральный директор Научный руководитель

Главный инженер

Власова

Разработчик НИР, инженер

А.А. Трещёв

Кузьмичёв

Спасская

.УТВЕРЖДАЮ

Щ

Директор'!.- \ щ

ф^з© «Ошройтельное Проектирование»

-

« 2 Г »

—

А. И. Поздняков 2018 г.

ТЕХНИЧЕСКИМ АКТ ВНЕДРЕНИЯ

Мы, нижеподписавшиеся, представители Тульского государственного университета, с одной стороны, и ООО «Строительное Проектирование», с другой стороны, составили настоящий акт о том, что разработанные в ТулГУ по г/б НИР № 07-16 «Разработка технологий новых строительных материалов и теорий расчета конструкций» методики расчета напряжённо-деформированного состояния круговой цилиндрической и пологой сферической оболочек из анизотропных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния, реализованные в виде пакета прикладных программ, внедрены в проектную практику ООО «Строительное Проектирование» и используются при проектировании и экспертизе элементов строительных конструкций.

Практическое использование разработанных методик и программной продукции позволяет упростить процесс проектирования и экспертизы строительных конструкций и их элементов, значительно сократить время проведения экспериментальной обработки различных материалов и достоверно прогнозировать состояние строительных конструкций в процессе эксплуатации.

Представители ООО «Строительное Проектирование»:

Генеральный директор, д.т.н.

С.Ф. Злобин Главный инженер, к.ф.-м.н.

К.Г. Батырев

Представители ФГБОУ ВО ТулГУ:

Научный руководитель г/б НИР № 07-16, рессор

А.А. Трещёв Разработчик НИР, инженер М.В. Спасская