Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Яссер, Эльсаид Хуссейн Юссеф

• Яссер, Эльсаид Хуссейн Юссеф
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Яссер, Эльсаид Хуссейн Юссеф

Оглавление

Введение

ГЛАВА 1. Слабо сингулярные интегральные уравнения, некоторые их свойства и методы решения

1.1 Интегральное уравнение переноса излучения

1.2 Некоторые свойства интегрального уравнения

1.3 Структура рассматриваемых методов проекционного типа

1.4 Методы, основанные на использовании оператора проектирования на пространство кусочно постоянных функций и некоторые свойства оператора тть

ГЛАВА 2. Методы проекционного типа с использованием пространства кусочно линейных функций и оценки их погрешностей

2.1 Усредняющий оператор ак и некоторые его свойства

2.2 Оператор проектирования 7гь и некоторые его свойства

2.3 Оператор кусочно линейного интерполирования Iй и некоторые

его свойства

2.4 Методы с использованием усредняющего оператора аь и оценки

их погрешности

2.5 Классический метод Галеркина, его модификации и оценки их погрешности

2.6 Метод коллокации, его модификации и оценки их погрешностей

ГЛАВА 3. Методы численной реализации проекционных методов для решения интегрального уравнения переноса

излучения

3.1 Теплицевы и циркулянтные матрицы

3.2 Циркулянтно предобусл о пленный метод сопряженных градиентов

3.2.1 Метод сопряженных градиентов

3.2.2 Сверхлинейная скорость сходимости метода СС

3.2.3 Предобусловленный метод сопряженных градиентов

3.2.4 Циркулятттпо предобусловленный метод сопряженных градиентов

3.3 Численная реализация метода Галеркина с оператором V11 = тг1г

3.4 Численная реализация метода Галеркина с оператором V11 = тть

3.4.1 Дискретизация интегрального уравнения

3.4.2 Разокаймление матрицы

3.4.3 Применение метода СРСС к решению системы с матрицей Ам_1 = Т71_! — Кластеризация собственных значений

3.5 Численная реализация метода Галеркина с использованием усредняющего оператора а,г

3.6 Численная реализация метода коллокации

ГЛАВА 4. Результаты численных экспериментов

4.1 Тестовые задачи

4.2 Численные эксперименты по использованию метода СРСС

4.3 Численные эксперименты по применению проекционных методов для решения тестовых задач

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений»

Введение

Хорошо известно, что интегральные уравнения возникают при математическом описании разнообразных механических, физических и других процессов. Теория интегральных уравнений активно развивалась с конца XIX столетия, причем одновременно с развитием теории развивались и соответствующие численные методы. Интенсивное развитие теории численного решения интегральных уравнений началось в 50-е годы прошлого века. Полученные здесь результаты широко отражены в многочисленных монографиях (см, например, [1]-|6|).

Одним из основных подходов к численному решению операторных уравнений (в том числе - и линейных и нелинейных интегральных уравнений) во второй половине XX века стали проекционные методы [7], [8], наиболее популярным из которых является метод Галеркина. Наибольшее развитие к настоящему времени получили численные методы решения интегральных уравнений с "хорошими" ядрами и правыми частями. Для таких уравнений построены разнообразные методы высокого порядка точности. Методы решения интегральных уравнений с ядрами, имеющими те или иные особенности, развиты менее подробно. Обратим внимание на некоторые из работ в этой области [9] - [39].

В данной диссертационной работе рассматриваются методы проекционного типа численного решения слабо сингулярного интегрального уравнения

Фредгольма второго рода

т»

ф) = J £(\т - т'\Ыт') dr' + f(r), reJ=( 0, п). (0.0.1)

о

Предполагается, что ядро 8 является положительной убывающей функцией, заданной на М+ = (0,+оо), причем £(0+) = +оо (поэтому уравнение сингулярно) и £ £ Lr(R+) для всех г £ [1,+оо) (это предположение означает слабую сингулярность); кроме того, |ji||L1(K+) < 1/2. Параметр wq £ (0,1) фиксирован. Правая часть уравнения не обязана быть гладкой. Предполагается, что / Е LP(J), 1 < р < оо либо / Е C(J) либо / Е 1 < р < оо.

Важным примером рассматриваемого класса уравнений является широко используемое в астрофизике (см., например, [41]—[45]) интегральное уравнение переноса излучения

т*

<р{т) = ^ J Ei(\t - т'\)ч>(т') dr' + /(г), г Е J (0.0.2) о

с ядром £ = -Ei, где Ei - интегро-экспоненциальная функция порядка 1:

/и

1

EI(t) = J ¡rle-T/lxd^ т > 0.

о

Интегральное уравнение переноса излучения часто используется астрофизиками как теса1 для проверки качества методов решения астрофизических задач и до сих пор не потеряло актуальности [46]. Несмотря на кажущуюся простоту, при численном решении этого уравнения возникают существенные трудности [47], особенно в случае т* >> 1 и го0 ~ 1. В последнее десятилетие различным численным и асимптотическим методам решения уравнения (0.0.2) было посвящено значительное число работ [48] — [62]

Введем интегральный оператор

Л</?(т) = Т/£{\т-т'\)<р(т')(1т', т е J о

и перепишем рассматриваемое уравнение в виде

<р = + /• (0.0.3)

В диссертационной работе рассматриваются методы проекционного типа, предназначенные для численного решения уравнения (0.0.3) и использующие в качестве аппроксимирующего пространства пространство кусочно линейных функций.

Первый из методов - метод галеркинского типа (мы называем его методом Галеркипа)

^ = го0Р/гЛ(р/? + Рь/,

В нем V11 - линейный оператор, действующий из пространства В (где В = 1<<7<оо или В = С(</)) в пространство кусочно линейных

функций и имеющий норму, равную единице. В качестве оператора V'1 используются усредняющий оператор а!\ оператор ортогонального проектирования 7г/г и оператор кусочно линейного интерполирования Отмстим, что использование оператора. Vй = С.}1 приводит к классическому методу коллокации.

Второй из методов - итерированный метод Галеркина (метод Слоана)

Трь = ъ0Ач>ь + /,

где (р1г - приближение, найденное методом Галеркина.

Итерированные методы Галеркина были предложены Слоаном в середине 70-х годов прошлого века [11] - [14]. Оказалось, что они обладают свойством

суперсходимости, то есть сходимости с повышенным по сравнению с классическим методом Галеркина порядком. Исследование феномена суперсходимости для решения интегральных уравнений и обзоры имеющихся здесь результатов можно найти, например, в [23], [32], [35], [40]; см. также [15] -[22], [24] - [31], [33], [34], [36]- [39].

Третий метод - это метод Канторовича. Он базируется на следующей простой регуляризации, предложенной Канторовичем [64], [65]. Пусть - решение уравнения (0.0.3). Заметим, что у = Aip является решением уравнения

у = ш0А у + А/. (0.0.4)

отличающегося от исходного уравнения только тем, что его правая часть / заменена на А/. Найдем приближенное решение yh уравнения (0.0.4) методом Галеркина а затем вычислим приближение iph к решению <р по формуле

^ = zu0yh + f.

Этот метод рассматривался в работах [9], [10], [24], [28]. Так как он основан на аппроксимации функции у = Aip, то этот метод обладает преимуществом перед методом Галеркина тогда, когда функция у является более гладкой, чем ip.

Четвертый метод - это итерированный метод Канторовича, в котором приближенное решение (ph формулой

(ph = wQyh + /,

где yh - решение уравнения (0.0.4), найденное итерированным методом Галеркина.

В статье [59] дан подробный анализ погрешностей проекционных методов решения уравнения (0.0.3) в случае, когда в качестве оператора Vй используется оператор 7гк проектирования на пространство кусочно постоянных функций. В этой работе оценки погрешности выведены при следующих дополнительных предположениях о свойствах ядра £\

£ Е +со) для всех 5 > 0 и всех г 6 [1,оо), (0.0.5) £>£(т) = о(т~18(т)) при г 0+. (0.0.6)

В данной диссертации мы отказываемся от этих предположений, заменяя их существенно менее ограничительным предположением

] 8г{т)(1т ~ 5Ег{5) при для всех г > 1. (0.0.7)

о

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 дается информация о важном частном случае рассматриваемого класса интегральных уравнений - интегральном уравнении переноса излучения (0.0.2). В разделе 1.2 приводится нужная для дальнейшего информация о свойствах интегрального уравнения (0.0.3) и его решений. В разделе 1.3 приводится структура четырех рассматриваемых проекционных методов - метода Галеркина, итерированного метода Галеркина, метода Канторовича и итерированного метода Канторовича. Лемма 1.3.1 содержит вспомогательный результат об оценках погрешности рассматриваемых методов, на котором базируется проводимый в главе 2 их подробный анализ. В разделе 1.4 напоминаются проекционные методы основанные на использовании оператора тт1г проектирования на пространство кусочно

постоянных функций, подробный анализ оценок погрешностей которых был ранее дан в [59]. Выведенные в этом разделе свойства операторов I — п'1, (/—7г/г)Л, А(1—тгн), Л(/—7г/1)Л используются далее в разделе 2.6. Полученные здесь результаты указывают на то, что оценки погрешностей из [59] могут быть получены при замене предположений (0.0.5), (0.0.6) предположением (0.0.7).

В главе 2 изучаются свойства четырех проекционных методов решения интегрального уравнения с использованием пространства кусочно линейных функций. В качестве оператора Vк используются усредняющий оператор сг/г, оператор ортогонального проектирования 7гь и оператор кусочно линейного интерполирования В разделе 2.1 вводится оператор ак и изучаются свойства операторов / — сгЛ, (/ — ан)А, Л(/ — сг/г), А(1 — ак)А. В разделе 2.2 вводится оператор тг1г и изучаются свойства операторов / — 7т'1, (/ — 7Г/1)Л, А(1—7гн), Л(7—7г/г)Л. В разделе 2.3 вводится оператор и изучаются свойства операторов I - (I — £к)А, Л(/ - £н), Л(/ — £к)А. Раздел 2.4 посвящен выводу оценок погрешностей методов с V'1 — ан. В разделе 2.5 выводятся оценки погрешностей методов с Vй = тт1ь (классического метода Галерки на и его модификаций). В разделе 2.6 выводятся оценки погрешностей методов с Vй = £1г (метода коллокации и его модификаций).

В главе 3 рассматриваются методы численной реализации предложенных итерационных методов применительно к решению интегрального уравнения переноса излучения на сетке с постоянным шагом. Акцент делается на реализации метода Галеркина, так как наличия алгоритма его реализации достаточно для реализации остальных методов. Разделы 3.1 - 3.3 носят вспомогательный характер. В разделе 3.1 содержится краткая

информация о теплицевых и циркулянтных матрицах. В разделе 3.2 дается описание циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов и напоминаются некоторые его свойства. В разделе 3.3 дается краткое изложение алгоритма реализации метода Галеркина с использованием оператора тг/г, предложенного ранее в [67]. В разделе 3.4 описывается алгоритм численной реализации классического метода Галеркина с использованием оператора ттъ. Для решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений предлагается использовать разокаймление - сведение задачи к системе уравнений с теплицевой матрицей с дальнейшим использованием циркулянтно иредобусловленного метода сопряженных градиентов (СРСС). Кроме того, доказывается результат о кластеризации собственных значений предобусловлснной матрицы, который дает теоретическую основу понимания сверхлинейной сходимости метода СРСС. В разделе 3.5 описывается как этот же подход можно использовать для реализации метода Галеркина с использованием оператора а1г. В разделе 3.6 показывается, как проблема численной реализации метода коллокации (метода Галеркина с использованием оператора С11) сводится к применению построенного в [67] варианта метода СРСС.

Глава 4 посвящена проведению вычислительных экспериментов. В разделе 4.1 описываются четыре используемые тестовые задачи. В разделе 4.2 приводятся результаты численных экспериментов применения метода СРСС для реализации метода Галеркина. Приводятся таблицы, которые демонстрируют явное преимущество метода СРСС по сравнению с методом сопряженных градиентов по числу необходимых для достижения требуемой точности числа итераций. В разделе 4.3 приводятся результаты

экспериментов по решению тестовых задач с применением рассматриваемых в диссертации проекционных методов а также методов, использующих оператор 7г/г.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

Для численного решения слабо сингулярного интегрального уравнения Фредгольма второго рода предложены варианты методов проекционного типа, использующие пространство кусочно линейных функций.

Выведены оценки погрешности предложенных методов в нормах пространств Ья{3) и С(<7) для задач с правыми частями / из 1/р(7), С(<7) и '(,/). Большая часть оценок отражает свойство суперсходимости проекционных методов. Оценки получены для произвольной неравномерной сетки и для уравнений с недифференцируемыми ядрами.

Предложены эффективные методы численной реализации рассматриваемых проекционных методов, в основе которых лежит специальное разокаймление матрицы и использование циркуляитно предобусловленного метода сопряженных градиентов (СРСС). Доказан результат о кластеризации собственных значений предобу слов лен ной матрицы, который даст теоретическую основу понимания сверхлинейной скорости сходимости метода СРСС.

Проведены вычислительные эксперименты, показывающие значительно более быструю сходимость метода СРСС по сравнению с методом сопряженных градиентов. Кроме того, приведены результаты вычислительных экспериментов по применению изучаемых проекционных методов для решения интегрального уравнения переноса излучения, которые

демонстрируют особенности поведения погрешностей методов для различных типов данных.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и научно-исследовательских семинарах:

XX международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Москва, 2014

XXII международная научно-техническая конференция "Информационные средства и технологии Москва, 2014 г.;

XXI международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Москва, 2015 г-;

научно- исследовательский семинар МЭИ по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию под руководством проф. Дубиттского Ю.А. и проф. Амосова A.A. (2014 г. и 2015 г.)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[68] - [72].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Андрею Авенировичу Амосову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за многочисленные обсуждения и ценные рекомендации.

ГЛАВА 1. Слабо сингулярные интегральные уравнения, некоторые их свойства и методы решения

1.1 Интегральное уравнение переноса излучения

Интегральное уравнение переноса излучения

т»

= ^/мк-тЧМт^т' + Дт), Г£; = (0,4 (1.1.1) о

описывает распространение светового излучения в атмосферах звезд и планет и играет важную роль в астрофизике [41]-[45]. Вывод уравнения можно найти в |44], [45].

Интегральное уравнение переноса излучения представляет собой слабо сингулярное интегральное уравнение Фрсдгольма второго рода. Ядро интегрального оператора (оператора Хопфа)

кф) = \ I Е^т-т'Ыт')^' о

задается интегральной показательной функцией порядка 1:

1 ос

Г е-г/ц Г е-Т8

Е^т) = / -йц = / — (1.4, т > 0.

0 1

Искомой является функция источника^, характеризующая интенсивность рассеянного излучения; /(г) - заданная плотность источников излучения.

Аргумент т имеет физический смысл оптической глубины, т* - полная оптическая глубина атмосферы, в которой распространяется излучение. Обычно в астрофизических задачах т* >> 1, причем нередко т* « 106 -108.

Постоянная гпо называется показателем альбедо; она характеризует долю рассеиваемой энергии излучения по отношению к общему количеству рассеиваемой и поглощаемой объемом энергии. В астрофизических задачах О < ето < 1, причем часто ш0 ~ 1.

Напомним, что интегральная показательная функция порядка к > О

сю

[ е~тз

задаётся формулой Ек(т) = / —Свойства функций Е^ можно найти,

1

например, в [63]. Отметим, что

Е'к{т) = -Ек^{т) для £*(()) = _!— для к ^2;

к — 1

кроме того,

е~т 1

Ек(т) ~-;-при т ос для к ^ 1 и Е\{т) ~ 1п— при г —> 0.

т + к — 1 т

Интегральное уравнение переноса излучения часто используется астрофизиками как тест для проверки качества методов решения астрофизических задач и до сих пор не потеряло актуальности [46]. Несмотря на кажущуюся простоту, при численном решении этого уравнения возникают существенные трудности [47], особенно в случае г* >> 1 и ~ 1.В последнее десятилетие различным численным и асимптотическим методам решения уравнения (Тгапэ^) было посвящено значительное число работ [48] - [62].

1.2 Некоторые свойства интегрального уравнения

Настоящая диссертация посвящена изучению некоторых методов проекционного типа, предназначенных для решения слабо сингулярного интегрального уравнения Фредгольма второго рода

т,

Ф) = ^о J £(|т - т'\Мт') йт' + /(г), г е 3 = (О, Г,). (1.2.1)

о

Предполагается, что ядро £ является положительной убывающей функцией, заданной на М+ = (0,+оо), причем £(0+) = +оо (поэтому уравнение сингулярно) и £ £ Ьг (М+) для всех г € [1,+оо) (это предположение означает слабую сингулярность); кроме того, < 1/2.

Параметр гоо £ (0,1) фиксирован.

Важным примером рассматриваемого уравнения является широко используемое в астрофизике интегральное уравнение переноса излучения 1.1.1.

Введем некоторые обозначения и напомним ряд известных свойств рассматриваемого интегрального уравнения (см., например, [59]).

Для р б [1, оо] через р' будем обозначать сопряженный по Гельдеру показатель такой, что 1 /р+ 1 /р' = 1.

Будем использовать следующие обозначения:

и,9) = ЬШт)<1т, й = ±

2

1 Ш(]

7о = --, 71 = , 72 =

1 — 1л7о 1 — Шо 1 ~ £<7О

Мг = \\€{\ ■ |) || ¿Г(К) = 21/г\\£\\ьг(и+), 1<г< оо.

Введем интегральный оператор А формулой

Т„

(АуО(т) = У>£(|г-г'|)(^(г/)^/,

о

и перепишем рассматриваемое интегральное уравнение в операторном виде:

V = w0A<p + /. (1.2.2)

Известно, что Л : LP(J) —»■ Lq(J) для всех 1 < р < q < оо таких, что 1/s = 1 — 1/р + 1/g > О, причем

l|A|Up(j)->^(j) < Ms. Кроме того, Л : Lp(J) C(J) для всех 1 < р < оо, причем

l|A||Lp(JHc(j) < мр'-

Из предположения ||^||Jr,1(K+) <1/2 следует, что

l|A||Ml/HLp(J) < Мг = 1, 1<р<оо.

Поэтому в силу принципа сжимающих отображений для всех / 6 LP(J),

р £ [1,оо] уравнение (1.2.2) имеет единственное решение ip £ LP(J), удовлетворяющее оценке

IMUP(J) < 70II/IILp(J)-Если же / £ C(J), то £ C{J) и справедлива оценка

Mc(j)<lo\\f\\c(jy (1-2-3)

Известно также, что Л : Wp(J) —» W^J") для всех 1 < р < g < оо, причем

DA<p(r) = AD<p(r) + £(т)ч>(0) - £*(т)(р(тщ), (1.2.4)

где £*(т) = £(т* — г). Как следствие,

ЦЯЛ^вд < Ms\\D^\\Lp{J) + 2l-^MqM\C[ly (1.2.5)

Если / Е Wp(J), 1 < р < оо, то решение уравнения (1.2.2) принадлежит пространству Wp(J), причем производная Dip удовлетворяет равенству

Dip = w0ADp + vjq£<p{G) - zv0£*ip(n) + D/, (1.2.6)

из которого с учетом неравенства (1.2.3) следует оценка

|РИ1м./) < 7о(||Я/11вд + 21-1/рМРъ\\Дс(1))- (L2-7)

Замечание 1.2.1. Из равенства (1.2.6) следует, что \D<p{r)\ —> оо при т —0 и при т —v т^. Наличие этой особенности решения в точках г — 0 и т = т* составляет одну из проблем численного решения уравнения (1.2.2).

Заметим, что у — Aip является решением уравнения

у = w0Ay + Л/, (1.2.8)

отличающегося от уравнения (1.2.2) заменой правой части / на Л/.

Если / € Wp(J). то Л/ Е J) для всех q Е [р, оо). Применение к у = kip в роли <р> оценки (1.2.7) с заменой р на q и учетом неравенства (1.2.5) дает оценку

\т<р\\ьч{,;) < lo(Ms\\Df\\L4{J) + 21-1^М,7о||/||с(7))-

Обратим также внимание на то, что оператор Л самосопряженный в том смысле, что:

(Atp, ф) = (ip,Aip) Vy? Е LP(J), V?/; Е Lp'(J), 1 < р < оо. Известно также (см., например, [67|), что верна двусторонняя оценка

О < (Aip, <р) < ц¥\\<р\\ 12{J} \fip Е L2(J), M\l2{j) > 0, (1.2.9)

где ii, = 1 - Е2(т*/2).

1.3 Структура рассматриваемых методов проекционного типа

Пусть В = 1/р(<7), 1 < р < оо или В = C(J): а Vй - линейный оператор, действующий из В в конечномерное пространство Б11 С В и такой, что \\Рк\\в-,в < 1. Напомним, что НЛЦад-я^) < 1 и ||Л||с(7нс(7) ^ Рассмотрим четыре проекционных метода решения уравнения

= + (1.3.1)

Первый метод - метод галеркинского типа, в котором приближенное решение £ 5/г определяется как решение уравнения

= ТиА1р'г+Ги/. (1.3.2)

В случае, когда V11 - оператор проектирования, (1.3.2) означает равенство нулю проекции р11г'1 невязки г1' — р'1 — -сооА^р11 — / на подпространство 5''. Хотя оператор не обязан быть оператором проектирования, далее метод (1.3.2) мы будем называть методом Галеркитта. Поскольку

ЦАЬ —> в < ги0 < 1, то оператор (/ — ш^Р,'А) : В В непрерывно обратим, причем

||(/ - А)~1\\в-*в < 7о = гт^—, 0-3.3)

1 - Шо

а уравнение (1.3.2) имеет единственное решение </?'' £ 5/г при любом / £ В.

Второй метод - это итерированный метод Галеркина (метод Слоана), в котором приближенное решение вычисляется по формуле

Трн = тиоА(р,г + /,

в которой iph - решение уравнения (1.3.2).

Поскольку <ph = woVhA(fh + Vhf — VhTph, то итерированный метод Галеркипа может быть записан в виде

Tph = ш0А VhTph + /. (1.3.4)

Так как

||ш0АVh\\b^b < < ^о < 1,

то оператор (/ — wqAV11) : В В непрерывно обратим, причем

\\{I - wQAVh)-l\\B^B <7о- (1-3.5)

Третий метод - это метод Канторовича. Он базируется тта простой регуляризации, предложенной Канторовичем [64], [65].

Пусть <р - решение уравнения (1.3.1). Напомним, что у = Аср является решением уравнения

y = w0Ay + Af, (1.3.6)

отличающегося от исходного уравнения только тем, что его правая часть / заменена на А/. Ясно, что

¥ = ™0У + /■

Пусть А/ 6 В. Найдем приближенное решение yh уравнения (1.3.6) методом Галеркина

yh = w{)VhAyh + VhAf, (1.3.7) а затем вычислим приближение íp!l к решению (р по формуле

= wayh + f.

Так этот метод основан на аппроксимации функции у = Ар, то он обладает преимуществом перед методом Галсркина тогда, когда функция у является более гладкой, чем р. Заметим, что

рн = ш0Г'1А{т у'1 + /) + / = + /

Поэтому метод Канторовича может быть записан в виде

= + /. (1-3.8)

Четвертый метод - это итерированный метод Канторовича, в котором приближенное решение (ръ определяется следующим образом

¡рк = ш0ул + ./, ук = ш0Аул + Л/,

где - решение уравнения (1.3.7).

Как нетрудно видеть, ун = Поэтому уь можно рассматривать как

приближенное решение уравнения (1.3.6), найденное итерированным методом Галеркина

у'1 = ШОАРУ + А/.

Замечание 1.3.1. Обратим внимание на то, что для численной реализации первых двух методов достаточно иметь метод решения конечномерной задачи (1.3.2), а для реализации остальных методов -воспользоваться этим методом для решения задачи (1.3.6), заменив правую часть / на А/.

Пусть <р - решение задачи (1.3.1), а <р'\ <рн и (р'г - приближенные решения, найденные методом Галеркина, итерированным методом

Галерки на, методом Канторовича и итерированным методом Канторовича соответственно. Будем использовать следующие обозначения для погрешностей рассматриваемых методов:

£к = /-¥>, = = $Гг-1Р, Е* = 0х - <р.

В дальнейшем нам будет полезно следующее утверждение.

Лемма 1.3.1. Пусть / е В. Тогда

\\^'\\в<ъ\\(1-Р,1Ы\в, (1-3.9)

|ИЫ<71||Л(/-Р/г)Ик- (1-3-Ю)

Пусть Л/ £ В. Тогда

\\^\\в<ъ\\{1~Гк)А^\\в, (1-3.11)

\\?1\\в<12\\А{1 -Р1)Ар\\в. (1-3.12)

Доказательство. Применяя к уравнению (1.3.1) оператор Т>]\ имеем

Вычитая это равенство из (1.3.2), приходим к равенству

из которого с учетом (1.3.3) следует оценка (1.3.9). Вычитая (1.3.1) из (1.3.4), приходим к равенству

(/ - = -ш0А(/ - Ги)<р,

из которого с учетом (1.3.5) следует оценка (1.3.10). Заметим, что

Ек = ^0(ук-у), е11 = &а{у-у),

где у'1 — у - у - погрешности метода Галерки на и итерированного метода Галеркина решения уравнения (1.3.6). Поэтому оценки (1.3.11) и (1.3.12) получаются из оценок (1.3.9) и (1.3.10) заменой </? па у = Ас/?.

1.4 Методы, основанные на использовании оператора проектирования на пространство кусочно постоянных функций и некоторые свойства оператора тт11

Дадим краткое описание известных проекционных методов решения уравнения 1.2.1, использующего проектирования на пространство кусочно постоянных функций, следуя, в основном [59].

Введем на отрезке 3 = [0, т*] произвольную неравномерную сетку Jh с узлами

0 = Т0 < Т\ < ... < т„_ 1 < тп = т*. Положим = Т{ — Тг_1, 1 < г < п, /гшах = шах /г,;.

1<г<?1,

Введем пространство 5|г^2(7), элементами которого являются кусочно

71

постоянные функции вида /(г) = ^ /;-1/2Х^_1/2(т)> гДе Х;_1/2 " характсрис-тическая функция интервала (т^^ту).

Введем оператор проектирования 7ГЛ : —> 5(^(7) формулой

Тг

{тт'1р)(т) = тгл^_1/2 = /гГ1 / ¥>М<*т', г € (т,-^), 1 < г < 7г.

Заметим, что тт1^ является оператором ортогонального проектирования из ВД на 51л/2(^).

В работе [59] подробно исследованы свойства сходимости четырех проекционных методов решения уравнения (1.3.1), являющимися частными

случаями введенных в предыдущем параграфе методов, соответствующих выбору В = LP(J), Vh = 7г/1 и Sh = S'>/2{J).

Первый из них - это классический метод Галеркина, в котором приближенное решение tph £ S'^2(J) является решением конечномерной задачи

<ph = w0nhAtph + irhf. (1.4.1)

Второй метод - это итерированный метод Галеркина

Tph = W[)A-KhTph + /. (1.4.2)

Третий метод - метод Канторовича

(ph = W()TThA(ph + /.

Четвертый метод есть итерированный метод Канторовича

(ph = w()yh + /,

t = шоЛтг V + л/.

В [59] оценки погрешностей этих методов получены при следующих дополнительных предположениях о свойствах ядра £:

SeW71(S,+oo) для всех ¿>>0 и всех г£[1,оо), (1.4.3) D£(t) = о{т~1£{т)) при т 0+. (1.4.4)

Обратим внимание па то, что из (1.4.3) следует, что £ £ С(Ш+). Поскольку производная DE определена лишь почти всюду на условие (1.4.4) понимается следующим образом

с*(5) = ess sup \tD£{t) / £{т)\ 0 при 5 0+.

r6(0,J)

Поскольку £ не возрастает и £ £ ЬГ(Ш+) для всех г £ [1,оо), то, как следует из [59), £(т) = с>(г~~£) при т —у 0+ для всех е > 0.

Из предположения (1.4.3) следует, что для всех г > 1

¡8г{т)(1т~58г{5) при 5 —>• 0+. (1.4.5)

о

Действительно, интегрируя по частям, имеем:

¡8r(r) dr = S8r(5) - г ¡r8r-l{T)DE(r)dT < 58' (5) + ra{5) f 8г(т) dr. 0 0 о

Следовательно

S£r(5) < / 8г(т) dr < 1 58r(ó) о 1 + та{д)

i+ и

и поэтому справедливо свойство (1.4.5).

В данной работе мы откажемся от предположений (1.4.3), (1.4.4). Будем предполагать лишь выполнение следующих свойств ядра 8\ Ai) 8 является положительной убывающей функцией, заданной на такой, что £(0+) = +оо;

А2) 8 е Lr(R+) для всех г Е [1,+оо); кроме того, < 1/2.

A3) Для всех г > 1 выполнено свойство (1.4.5).

Замечание 1.4.1. Обратим виилшние на то, что ядро интегрального уравнения переноса излучения 8 = -Ei удовлетворяет предположениям Ai) - A3). Это следует из известных свойств функции Ei:

Ei(t) ~ е~Т/т при т —> +оо, Ei(t) ~ 1п(1/т) при т 0+; DEx(t) = -e_T/r ~ — 1/т при т -»■ 0+.

Введем в рассмотрение интегральный модуль непрерывности ядра 8

ч>г(£,П) = sup \\£(\ .+í|)-£:(|.|)||MR), 1 < г < оо.

0«5<?/

Лемма 1.4.1. При выполнении предположений Ai), Л2) справедлива оценка

ur{£,v) <41/r||£||M(W2). (1-4-6)

Как следствие, при выполнении предположений А\) - справедлива оценка

шг(8, V) < 21/тг!]/ге{г]/2){1 + о( 1)) при г] 0+. (1.4.7)

Доказательство. Заметим, что

ОС

Ц£(1 • +¿1) - £(| • DIIL(r) = 2 J' \S(\t + 5/2|) - S(\T - 6/2\)Y dr =

о

5/2 „с

= 2 f [8{5/2 - т) - £{т + 5/2)}r dr + 2 f [£{т - 5/2) - 8{т + 5/2)]r dr. 0 6/2

Воспользуемся элементарным неравенством

{a-b)r <аГ - Ьг, (1.4.8)

справедливым для всех 0 < 6 < а, получим

5/2 5/2

m ■ +¿1) - • Dili,, (К) < 2 I £r(S/2 -r)dr~2j Г(т + 5/2) dr +

о о

оо оо

+2 J 8г{т) dr-2 f 8г(т + 5)с1т =

5/2 5/2

5/2 5 5 5/2

= 2 f 8г(т) dr-2 f 8г(т) dr + 2f £г{т) dr = 4 f 8г(т) dr.

U 5/2 О О

Отсюда

ur(£,v) = sup \\8{\ • +i|) - £{\ • |)||Lr(R) < 41/'-||^||Lr{0.7;/2). 0<S<r]

Если выполнено СВОЙСТВО Лз), ТО ll^ll Lr(0lT//2) ~ (7?/2)1/'Г^(^/2) при г/ —> 0. Поэтому справедлива оценка (1.4.7). Лемма доказана.

Положим

üJr(£-,Jh)= sup ujr(£(\ • —¿1); Jh),

0<t<T,

где

1 /г

Е/гГХ / / \£(\r'-t\)-£(\r-t\)\rdr'dr

Li=l Г'-1Г"1

Лемма 1.4.2. При выполнении предполооюений А]), Ао) справедлива оценка

ür(£\Jh)<Sl/l£\\Wam/2). (1-4.9)

Как следствие, при выполнении предположений А\) - справедлива оценка

^r{£\JU)<^,rhlJ:^£(hmAX/2){l + o{l)) при /w-»0. (1.4.10)

Доказательство. Фиксируем t € (0,т*) и положим tt = т; — t, 0 < г < п. Заметим, что tj — = hi, 1 < г < п и

п

ur(£(\.-t\y,Jhy = ^2ll'(t),

¿=1

где

/?(£) = V1 / / |£(И) - f(|r|)rdr'dr

Обозначим через £ и j минимальное и максимальное из тех значений г, для которых отрезок [ti-i,tj] пересекается с интервалом { — hm.AX/2,h,m.AX/2). Тогда

£-1 j п

г=1 г=( i=j +1

Пусть j + 1 < г < п. Пользуясь монотонностью ядра £ и неравенством (1.4.8), имеем

т?(£) < ^[^(ii-O - £(гг)Г < /w[£''(*.-i) - £ГШ

Отсюда

Y, /?(0 < /w X] [^(ii-i) - < hm&xEr(tj). (1.4.11)

i=j+1 i=j+1

Аналогично

i-i

^//'(i) </w£''(|i*-il). (1-4-12)

i= 1

Пусть теперь i таково, что отрезок пересекается с интервалом

V ' 'тпах /2,/г

ш ах /2). Если [г,-_ь С ( ' 'шах /2,/г тах /2), то

(О < ЛГ1 / / Г (kl) + £Г(И)] drdr' = 2 / Г'(|г|) ¿г.

Поскольку для г = j справедливы неравенства —hmax/2 < tj-i < hmax/2 < tj, то

^max/2 ^niax/2

= I I [£(\T\)-S(\Tl\)YdT>dT+

tj-l tj-1

/imax/2 + 2 /

/ [£(|r|) — £(т')]г dr'

^'max/2

/ / [£(т) - £(т')]гс*т'йт ¡> <

Лтпах/2 lluid.x/2

. 'чнах /2 /l,„ax/2

/ / [£Г(И) + Г([т'|)]^т+

\7

ij-i tj-1

/i /'' "шах/ ~

+ 2 /

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яссер, Эльсаид Хуссейн Юссеф, 2015 год

Литература

1. Atkinson К.Е. The Numerical Solutions of Integral Equations of the second kind, Cambridge University Press, 1997.

2. Hackbusch W. Integral equations. Theory and numerical treatment. Birkhaus-er Verlag, Basel, 1995.

3. Baker C.T.H. The numerical treatment of integral equations. Oxford University Press, London, 1977.

4. Goldberg M.A. Solution Methods for Integral Equations Theory and Applications, Plenum Press, New York, 1978.

5. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев. Наукова думка. 1968.

6. Delves L.M., Walsh J. Numerical Solution of Integral Equations, Clarendon Press, Oxford, England, 1974.

7. Красносельский M.A., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. Наука. М.: 1969.

8. Krasnoselskii М.А., Zabreiko P.P., Pustylnik E.I., Sobolcvskii P.E. Approximate Solution of Operator Equations. Volters - Noordhoff, Groningen, 1976.

9. Schock E. Uber die Konvergenzgeschwindigkeit projektiver Verfahren // Math. Z. 1971. Vol. 120, pp. 148-156.

10. Schock E. Uber die Konvergenzgeschwindigkeit projektiver Verfahren. II // Math. Z. 1972. Vol. 127, pp. 191-198.

11. Sloan I.H., Burn B.J. & Datiner N. A new approach to the numerical solution of integral equations //J. Comp. Phys. 1975. Vol. 18, pp. 92-105.

12. Sloan I.H. Error Analysis for a Class of Degenerate-Kernal Methods // Nuiner. Math. 1976. Vol. 25, pp. 231-238.

13. Sloan I.H. Improvement by iteration for compact operator equations // Mathematics of Computation. 1976. Vol. 30, pp. 758-764.

14. Sloan I.H. Iterated Galerkin Method for Eigenvalue Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1976. Vol. 13, pp. 753-764.

15. Chandler G.A. Global superconvergence of iterated Galerkin solutions foe second kind integral equations. Technical Report, Australian National Iniversity, Canberra, 1978.

16. Richter G.R. Superconvergence of piecewise polynomial Galerkin approximations for Fredholm integral equations of the second kind // Num. Math. 1978. Vol. 31, pp. 63-70.

17. Chandler G.A. Superconvergence of Numerical Solutions of Second Kind Integral Equations, Ph. D. Thesis, Australian National University, 1979.

18. Chatelin F. Sur les bornes d'erreur a posteriori pour les éléments propres d'opérateurs linéares // Num. Math. 1979. Vol. 32, pp. 233-246.

19. Chandler G.A. Supcrconvergence for second kind integral equations", In The Application and Numerical Solution of Integral Equations (Andcrssen R.S., de Hoog F.R k Lukas M.A. Eds) pp. 103-107 Alphcn aan den Rijn: Sijthoff and Nooordhoff, 1980.

20. Graham I.G. The 'numerical solution of integral equations od second kind. Ph.D. thesis, University of New South Wales, 1980.

21. Chatelin F., Lebbar R. The iterated projection solution for the Fredholm integral equation of second kind // J. Austral. Math. Soc. Scr. B. 1981. Vol. 22 , pp. 439-451.

22. Graham I.G. Galcrkin method for second kind integral equations with singularities // Math. Comput. 1982. Vol. 39, pp. 519-533.

23. Sloan I.H. Superconvcrgence and the Galerkin method for integral equations of the second kind", In: Treatment of Integral Equations by Numerical Methods (T.N. Christopher, Baker and G.F. Miller Eds.), Academic Press, pp. 197-206, Inc. 1982

24. Schock E. Galerkin-like Methods for Equations of the Second Kind // J. Integral Equations. 1982. Vol. 4, pp. 361-364.

25. Schock E. Numerische Losing Fredholmscher Integralgleichungen. Lecture Notes, University of Kaiserslautcrn, 1982.

26. Spence A., Thomas K.S. On superconvergcncc properties of Galerkin's method for compact operator equations // IMA J. Num. Analysis. 1983. Vol.3, pp. 253-271.

27. Chatelin F., Lebbar R. Superconvcrgence results for the iterated projection

method applied to a Fredholm integral equation of the second kind and the corresponding eigenvalue problem //J. Integral Equations. 1984. Vol. 6, pp. 71-91.

28. Sloan I.H. Four Variants of the Galerkin Method for Integral Equations of the Second Kind // IMA Journal of Numerical Analysis. 1984. Vol.4, pp. 9-17.

29. Schock E. Arbitrarily Slow Convergence, Uniform Convergence and Superconvergence of Galerkin-like Methods // IMA Journal of Numerical Analysis. 1985. Vol. 5, pp. 153-160.

30. Graham I., Joe S., Sloan I. Iterated Galerkin versus iterated collocation for integral equations of the second kind // IMA Journal of Numerical Analysis. 1985. Vol. 5, pp. 355-369.

31. Joe S. Collocation methods using piecewise polynomials for second kind integral equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1985. Vol. 12-13, pp. 391-400.

32. Sloan I.H. and Thomee V. Superconvergence of the Galerkin iterates for integral equations of the second kind //J. Integral Equations. 1985. Vol. 9, pp. 1-23.

33. Kaneko H., Xu Y. Superconvergence of the Iterated Galerkin Methods for Hammerstein Equations // SIAM J. Numer. Anal. 1996. Vol. 33(3), pp. 10481064.

34. Atkinson K.E., Potra F.A. Projection and the iterated projection methods for nonlinear integral equations // SIAM J. Numer. Anal. 1987. Vol. 24 , pp. 1352-1373.

35. Sloan I.H. Superconvcrgencc. In: Numerical Solution of Integral Equations (edited by Michael. A. Golberg). Plenum Press, New York and London., pp. 35 - 70, 1990.

36. Thamban Nair M. and Andcrsscn R.S. Superconvergence of Modified Projection Method for Integral Equations of the Second Kind // J. of Integral Equations and Applications. 1991. Vol. 3, Number 2, pp. 255-269.

37. Lin Q., Zhang S., Yan N. An acceleration Method for Integral Equations by using Interpolation Post-processing // Adv. Comput. Math. 1998. Vol. 9, pp. 117-129.

38. Kulkarni R.P. A New Superconvergent Projection Method for Approximate Solutions of Eigenvalue Problems. Numer. Funct. Anal, and Optim. 2003. Vol. 24, pp. 75-84.

39. Kulkarni R.P. A supcrconvcrgcrice result for solutions of compact operator equations // Bull. Austral. Math. Soc. 2003. Vol. 68, pp. 517-528.

40. Krizek M. On superconvergence technique // Acta Applicandae Mathemati-cae, 1987. Vol. 9, pp. 175 - 198.

41. Chandrasekar S. Radiative Transfer. Oxford Calderon Press. 1950.

42. Busbridge I.W. The Mathematics of radiative transfer. Cambridge University Press, 1960.

43. Kourganoff V. Basic Methods in Transfer Problems. Dover Publications, Inc. New York, 1963.

44. Sobolev V.V. A treatise on radiative transfer. D. Van Nostrand, Pricenton, New Jersey. 1963.

45. Соболев В.В. Куре теоретической астрофизики. -М,: Наука, 1985.

46. Paletou F., Antenïeu Е. A conjugate gradient method for the solution of the non-LTE line radiation transfer problem // Astronomy and Astrophysics. 2009. Vol. 507. Issue 3, pp. 1815 - 1818.

47. Rutily В., Chevallier L. Why is so difficult to solve the radiative transfer equation? // EAS Publications Series. 2006. Vol. 18, pp. 1-23.

48. Ahues M., Largillier A., Titaud (). The roles of a week singularity and the grid uniformity in relative error bounds // Numer. Funct. Anal, and Optimiz.

2001. Vol. 22, №7-8, pp. 789-814.

49. Ahues M., d'Almeida F.D., Largillier A., Titaud O., Vasconcelos P. An L1 refined projection approximate solution of the radiation transfer equation in stellar atmospheres // Journal of Computational and Applied Mathematics,

2002, Vol. 140, №1-2, pp. 13-26.

50. Panasenko G., Rutily B. Titaud O. Asymptotic analysis of integral equations for a great interval and its application to stellar radiative transfer // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. Mccanique. 2002, Vol. 330, pp. 735-740.

51. Amosov A., Panasenko G., Rutily B. An approximate! solution to the integral radiative transfer equation in an optically thick slab //' C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. Mecaniquc. 2003. Vol. 331, pp. 823-828.

52. Rutily B. Multiple scattering theory and integral equations // Integral Methods in Science and Engineering (C. Constanda, M. Ahues, and A. Largillier, eds.). Birkhauscr, Boston, pp. 211-232, 2004.

53. Rutily В., Chevallier L. The finite Laplace transform for solving a weakly

singular integral equation occurring in transfer theory // Journal of Integral Equations and Applications. 2004, Vol. 16, №4, pp. 389 - 409.

54. Ahues M., Amosov A., Largillier A., Titaud O. Lp error estimates for projection approximations // Applied Mathematics Letters. 2005. Vol. 18, pp. 381-386.

55. Amosov A., Panasenko G. Asymptotic analysis and asymptotic domain decomposition for an integral equation of the radiative transfer type // J. Math. Pures Appl. 2005. Vol. 84, pp. 1813-1831.

56. d'Almeida F., Titaud O., Vasconcelos P.B. A numerical study of iterative refinement schemes for weakly singular integral equations // Applied Mathematics Letters. 2005, Vol. 18, №5, pp. 571 - 576.

57. Amosov A. , Panasenko G. An approximate solution to the integral radiative transfer equation in an optically thick slab // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2007. Vol. 30, pp. 1593-1608.

58. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Superconvergence of projection methods for weakly singular integral operators // Integral Methods in Science and Engineering: Techniques and Applications (Constanda C., Potapenko S. eds). Birthauser, Boston. 2008, pp. 1-7.

59. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Supercovergence of some projection approximations for weakly singular integral equations using general grids // Siam Journal on Numerical Analysis, 2009, Vol. 47, Issue 1, pp. 646-674.

60. Ahues M., d' Almeida F., Fernandes R. Piecewise constant Galerkin approximations of weakly singular integral equations // Internat. J. Pure Appl. Math. 2009. Vol. 55, №4, pp. 569-580.

61. Nunes A. L., Vasconcelos P.B., Ahues M. Error Bounds for Low-Rank Approximations of the First Exponential Integral Kernel // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2013. Vol. 34, №1, pp. 74 - 93.

62. d'Almcida F.D., Ahues M., Fernandes R. Errors and grids for projected weakly singular integral equations //' International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2013. Vol. 89, №2, pp. 203-213.

63. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука. 1979.

64. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. Т. 3, Вып. 6 (28), С. 89-185.

65. Канторович JI.B., В.И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. Физматлит. М.; 1962.

66. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение.ЧМ.: Мир, 1980.

67. Амосов А.А., Дмитриев В.В. Применение циркулянттто предобусловленного метода сопряженных градиентов для численного решения интегрального уравнения переноса излучения // Вестник МЭИ. 2005. т. С. 5 - 24.

68. Амосов А.А., Юссеф Я.Э. Численная реализация метода Галеркина с кусочно-линейными базисными функциями, используемого для решения интегрального уравнения переноса излучения /7 Вестник МЭИ. 2013. №6. С. 110-124.

69. Амосов А. А., Юссеф Я. Э. О некоторых методах проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений// Вестник МЭИ. 2015. №1. с. 121 - 134.

70. Юссеф Я.Э. Применение циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов для численной реализации метода Галеркина решения интегрального уравнения переноса излучения // Тезисы докладов двадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика"2014, Издательский дом МЭИ, т. 2, с.20.

71. Юссеф Я.Э. Об одном проекционном методе решения интегрального уравнения переноса излучения и его численной реализации /7 Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и тсхнологии"2014, М.: Изд-во МЭИ, т.З, с. 188-195.

72. Юссеф Я.Э. Методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений // Тезисы докладов двадцатой первой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика". 2015, Издательский дом МЭИ, т. 2, с.16.

73. Воеводин В.В., Тыртышпиков Е.Е. Вычислительные процессы с тёплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987.

74. Tyrtyshnikov Е.Е. A Brief Introduction to Numerical Analysis. Boston. Basel. Berlin: Birkhausen 1997.

75. Davis P. Circulant Matrices. New York: John Wiley & Sons. Inc., 1979.

76. Van der Sluis A. and van der Vorst H.A. The rate of convergence of conjugate gradients // Nurrier. Math. 1986. Vol. 48, P. 543-560.

77. Strang G. A proposal for Toeplitz matrix calculations // Stud. Appl. Math.

1986. Vol. 74, P. 171-176.

78. Olkin J. Linear and Nonlinear Deconvolution Problems. Ph. D. thesis, Rice University, Houston. TX, 1986.

79. Chan R. and Strang G. Toeplitz equations by conjugate gradients with circulant preconditioner // SIAM J. Sei. Cornput. 1989. Vol. 10, P. 104-119.

80. Chan R., Ng M. Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems // SIAM Review. 1996. Vol. 38, No. 3, pp. 427 - 482.

81. Ng M.K. , Chan R.II. Scientific applications of iterative Toeplitz solvers // Calcolo. 1996. Vol.33, P.249-267.

82. Chan R. Iterative Methods for Overflow Qucueing Models I // Numer. Math.

1987. Vol. 51, pp. 143 - 180.

83. Chan T. An optimal circulant preconditioner for Toeplitz systems /'/ SIAM J. Sei. Statist. Cornput. 1988. Vol. 9, pp. 766 - 771.

84. Chan R. Circulant preconditioners for Herrnitian Toeplitz systems /'/ SIAM J. Numer. Anal. 1989. Vol. 28, pp. 871 - 879.

85. Tyrtyshnikov E. Optimal and super-optimal circulant preconditioners // SIAM J. Matrix Anal. Appls. 1992. Vol. 13, P. 459-473.

86. Ku T. and Kuo C. Design and Analysis of Toeplitz preconditioners // IEEE Trans. Acoust. Speech Sinai Process. 1992. Vol. 40, pp. 129 -140.

87. Huckle T. Circulant ank skew-circulant matrices for solving Tocplitz matrix problems // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1992. Vol. 13 , pp. 767 - 777.

88. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука. 1970.

89. Тыртыптников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. - М.: Физматлит, 2007.

90. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. - М..-Издательский центр " Академия ",2007.