Некоторые комбинаторные вопросы в периодических группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Алексеевич

• Кузнецов, Александр Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Алексеевич

Введение

1 Описание алгоритма построения группы В(т, п)

1.1. Понятие слов в В(т,п) и отношение порядка на них.

1.2. Построение Ks(m,n).

1.3. Условие конечности группы В(т,п).

2 Реализация алгоритма на известных группах бернсайдового типа

2.1. Группа 5(2,3)

2.2. Группа В(2,4)

2.3. Группа В{3,3)

3 Группа В(2,5)

3.1. Построение К\{2,5).

3.2. Построение K2q (2,5).

3.3. Об одном коммутаторе в 5(2,5).

4 К вопросу о распознавании группы L2(7) по спектру

5 Компьютерная реализация алгоритма

5.1. Реализация алгоритма на языке MATLAB 7.

5.2. Реализация алгоритма на языке FORTRAN 90.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые комбинаторные вопросы в периодических группах»

Актуальность темы. Комбинаторную теорию групп можно охарактеризовать как теорию групп, которые описываются порождающими и определяющими соотношениями, где в качестве модели используется модель, известная как "комбинаторика слов". Как самостоятельная наука со своей проблематикой она оформилась по существу только после того, как в 1911 г. М. Дэн сформулировал основные алгоритмические проблемы теории групп: проблему распознавания равенства, известную в литературе также под названием "проблема тождества", проблему сопряжённости и проблему изоморфизма. Ученику М. Дэна, В. Магнусу, принадлежит также существенный вклад в исследовании такой важной проблемы теории групп — проблемы Бернсайда [23] о периодических группах, поставленной в 1902 г.: Будет ли конечной группа с т порождающими и тождественным соотношением хп — 1? Намеченный Магнусом в его работах (начиная с 1935 г.) подход к исследованию проблемы Бернсайда привёл в 1950 г. к формулировке новой проблемы, которая в нашей литературе известна под названием "ослабленная" проблема Бернсайда [29]: конечно ли число конечных т порождённых групп периода п? По элементарной теореме Пуанкаре это означает существование универсальной максимальной конечной группы Д)(т,п). Подход Магнуса лежит в основе доказательства полученных в дальнейшем результатов по этим проблемам.

Группа

В(т,п) = Ъ/Т, т> 1, которая получается факторизацией свободной группы $ = $(т) с т образующими по нормальной подгруппе З71, порождённой п-ми степенями всех элементов из называется сейчас свободной бернсайдовой группой показателя (или периода) п.

Её конечность, установленная в разное время для п = 2 (тривиальный случай), п = 3 (Бернсайд У.), п = 4 (Бернсайд У. для т = 2; Санов И.Н. [20] для произвольного т), п = б (Холл М. [25]), была поставлена под сомнение при п > 72 П.С. Новиковым в его заметке [16]. Отрицательное решение проблемы Бернсайда было получено впервые лишь в 1964 году Е.С. Голодом [4,5] на основе универсальной конструкции Е.С. Голода — И.Р. Шафаревича. Позднее С.В. Алешиным [2], Р.И. Гри-горчуком [6], В.И. Сущанским [21] была предложена целая серия отрицательных примеров. Доказательство бесконечности группы В(т,п), т > 2, для нечётных показателей п > 4381 было дано в работе П.С. Новикова - С.И. Адяна [17], а для нечётных п > 665 — в книге С.И. Адяна [1]. Гораздо более доступный и геометрически наглядный вариант доказательства для нечётных п > Ю10 был предложен А.Ю. Ольшанским [18], который впоследствии [19], на основе усовершенствованного метода, построил для каждого достаточно большого простого числа р бесконечную р-группу, все собственные подгруппы которой имеют порядок р. В работах С.В. Иванова [27] и И.Г. Лысёнка [13] показано, что для достаточно больших чётных, п группа В(т, п) также бесконечна (у Иванова п > 248 и п делится на 29, у Лысёнка п = 16к > 8000).

Вопрос о существовании универсальной конечной группы Во(т,п) приобрел права гражданства в начале 40-х годов после работ В. Магнуса [30-33], О. Грюна [24], Г. Цассенхауза [39], Р. Бэра [22]. Именно тогда в случае простого показателя п = р была получена редукция теоретико-групповой задачи о существовании Во(т,п) к вопросу о локальной нильпотентности алгебры Ли L над Zp, удовлетворяющей тождественному соотношению гш^1] = [. [[и, V], V],., условию ЭнгеляЕр-х). Результаты не замедлили сказаться: существование 5о(2,5) было установлено в 1955 г. [9], Во(т, 5) — в 1956 г. [10,26], Во(т,р) — в 1958 г. [11]. Окончательное положительное решение ослабленной проблемы Бернсайда для любых тип было получено Зель-мановым. Естественно, возник вопрос о совпадении групп Во(т,п) и В(т,п). Как отмечено выше, Во(т,п) = В(т,п) для п = 2,3,4,6. Во(т,п) Ф В(т,п) для нечётных п > 665 и для чётных п (п > 248 и п делится на 29,п = 16к > 8000).

Общая идея алгоритмической комбинаторики от Евклида и до наших дней — представить основные алгебраические структуры в виде объектов, поддающихся вычислительной обработке, и ответить на два основных вопроса:

• что такое вычисление математического объекта;

• как его вычислить наиболее эффективно.

В рамках этой концепции машинный эксперимент по группам В(т,п) внушителен. Большинство работ в этом направлении используют комбинаторно-перечислительные методы в коммутаторном исчислении, базирующиеся на конструкциях алгебры Ли [38]. Следует сказать о различных постановках проблем бернсайдового типа (А.Г. Курош) [12]. Так, В.В. Блудов [3] изучает группы показателя 4, А.И. Скопин [28,35,36] — показателей 8, 9, 16, 25, 27 и др.

Цель диссертации. Цель диссертации — создать комбинаторный алгоритм для вычисления элементов и соотношений в бернсайдовых и других периодических группах и проиллюстрировать его эффективность для доказательства конечности указанных групп.

Основные результаты диссертации:

1. Создан алгоритм, основанный на комбинаторике слов, для вычисления элементов и соотношений в бернсайдовых и других периодических группах и его реализации на языках MATLAB 7 и FORTRAN 90.

2. Найден критерий (теорема 1) конечности группы В{т,п), основанный на комбинаторной структуре данного алгоритма.

3. Для группы В(2,5) получено: a) раннее неизвестный список соотношений С2о(2,5) (табл. 3.3.) для всех слов, не превосходящих по длине 20; b) с учётом полученного списка соотношений из а) вычислен коммутатор специального вида ai2(0,1), который является критерием конечности группы В(2,5) снизу.

4. Доказана теорема 10, которая редуцирует проблему распознаваемости L2(7) к группам, порождённым инволюциями.

Методы исследования. Применяются методы дискретной математики, включая методы комбинаторной теории групп, а также теории комбинаторных алгоритмов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость и практическая ценность. Результаты, из-« ложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях в комбинаторной теории групп, так и при чтении специальных курсов по дискретной математике и'алгебре.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав основного текста. Список литературы состоит из 50 наименований. Работа изложена на 102 страницах текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Алексеевич, 2005 год

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.: Наука - 1975.

2. Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки.- 1972.- Т. 11, №3,- С. 319-328.

3. Блудов В.В. Свободные метаабелевы группы показателя четыре // Иркутский ун-т. Серия дискретная мат. и инф.- 1995.- Вып. 1.

4. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1964.- Т. 28, №2,- С. 273-276.

5. Голод Е.С. О некоторых проблемах бернсайдовского типа // Тр. Межд. конгр. математиков.- М.: Мир.- 1968.- С.284-289.

6. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ и его приложения.- 1980.- Т. 14, №1.- С. 53-54.

7. Журтов А.Х. О квадратичных автоморфизмах абелевых групп// Алгебра и логика 2000.- Т. 39, №1.- С. 320-328.

8. Журтов А.Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фро-бениуса// Сиб. матем. журн 2000 - Т. 41, №2.- С. 329-338.

9. Кострикин А.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5 // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1955.- Т. 19, №3,-С. 233-244.

10. Кострикин А.И. О кольцах Ли, удовлетворяющих условию Энгеля // ДАН СССР.- 1956.- Т. 108, №4.- С. 580-582.

11. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда // ДАН СССР.- 1958.-Т. 119, №6.- С. 1081-1084.

12. Курош А.Г. Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1941.- №5.- С. 233-240.

13. Лысёнок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы чётного периода // Изв. РАН. Сер. матем.- 1996.- Т. 60.- С. 4-5.

14. Мазуров В.Д. Группы с заданным спектром // Изв. Уральского гос. ун-та.- 2005.- № 36.- С. 119-138.

15. Мазуров В.Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций. // Алгебра и логика. 2000. Т. 39, № 1. С. 74-86.

16. Новиков П.С. О периодических группах // ДАН СССР.- 1959.-Т. 127.- С. 749-752.

17. Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах, I, II, III // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1968.- Т. 32, №1,2,3.-С. 212-244, 251-524, 709-731.

18. Ольшанский А.Ю. О теореме Новикова-Адяна // Мат. сб.- 1982. Т. 118, №2.- С. 203-235.

19. Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков // Алгебра и логика.- 1982.-Т. 21, №5.- С. 553-618.

20. Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. Сер. матем 1940 - №10 - С. 166-170.

21. Сущанский В.И. Периодические р-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР 1979 - Т. 247, №3.-С. 557-561.

22. Baer R. The higher commutator subgroups of a group //Bull. Amer. Math. Soc.- 1944.-№50.-P. 143-160.

23. Burnside W. On an unsettled question in the theory of distinctinuous groups// J. Pure Appl. Math.- 1902.-№33.-P. 393-399.

24. Grun O. Zusammenhang zwischen Potenzbildung und Kommutatorbildung // J. reine und angew. Math.- 1940. №182.—S. 158-177.

25. Hall M., Jr. Solution of the Burnside problem for exponent six, III//J. Math.- 1958.- №2.- P. 764-786.

26. Higman R. On finite groups of exponent five // Proc. Cambr. Phil. Soc.- 1956.- №52.- P. 381-390.

27. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation.- 1994 V. 4.- P. 2.

28. Ivanov F.A., Skopin A.I. A maximal 2-generated transmetabelian group of the type of exponent 9 // Algebra i Analiz 2.- 1990, №6,-P. 150-160.

29. Magnus W. A connection between the Baker-Hausdorff formula and a problem of Burnside // Ann. Math 1950 - №52.-P. 11-26.

30. Magnus W. Bezieehungen zwischen Gruppen und Idealian in einem speziellen Ring // Math. Ann.- 1935, №111, S. 259-280.

31. Magnus W. Neuere Ergebnisse über auflösbare Gruppen // Jachresber. Deutsche Math. Ver.- 1937.- №47.-S. 69-78.

32. Magnus W. Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren // J. reine und angew. Math 1937.- №177.-S. 105-115.

33. Magnus W. Uber Gruppen und zugeordnete Liesche Ringe // J. reine und angew. Math.- 1940.- №182.-S. 142-149.

34. Neumann B.H. Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed// Arch. Math. 1956 7, №1- P. 1-5.

35. Skopin A.I., Teterin Yu.G. On computer calculations for transmetabelian groups of exponents 16, 25 and 27 // Zap. Nauchn. Sem. S.-Pb. Otdel Mat. Inst. Steklov. (POMI) 236 (1997), Vopr. Teor. Predst. Algebra i Group №5 P.162-165,219-220.

36. Skopin A.I. The lower central series of a maximal 2-generated transmetabelian group of type I of exponent 8 // Algebra i Analiz 2.- 1990.- №5.- P. 197-219.

37. Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order// Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A.-1959.- №45 P. 578581.

38. Vaughan Lee M. The Restricted Burnside Problem, New York: Clarendon Press, 1993.

39. Zassenhaus H. Ein Verfahren jeder endlichen ^-Gruppe einem Lie-Ring mit der Characteristik p zu zuorden //Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg- 1940.- №13.-S. 200-207.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

40. Кузнецов A.A., Шлёпкин А.К. К вопросу о построении апериодических последовательностей // III Всесибирский конгресс женщин-математиков: Тез. докл. // Красноярск: ПФК "ТОРРА".- 2004.

41. Кузнецов A.A., Шлёпкин А.К. К вопросу о построении апериодических последовательностей // Вестник КрасГУ: физ.-мат. науки.-Красноярск.-2004,- №3.- С. 90-94.

42. Кузнецов A.A., Шлёпкин А.К. К вопросу о вычислении элементов в свободных бернсайдовских группах // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB".-M., ИПУ РАН 2004.- С. 215-221.

43. Кузнецов A.A., Шлёпкин А.К. К вопросу о конечности свободных бернсайдовых групп В(т,п) // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2005.- №3.- С. 36-38.

44. Кузнецов A.A., Шлёпкин А.К. Об одном коммутаторе в 5(2,5) // Сборник материалов XXIII региональной научно-технической конференции "Проблемы строительства и архитектуры". -Красноярск, КрасГАСА.- 2005.- С. 206. 215-221.

45. Кузнецов A.A., Шлёпкин A.K. Использование параллельных вычислений для нахождения элементов в свободных бернсайдовских группах В(т,п) // Труды IV Межрегиональной школы-семинара "Распределённые и кластерные вычисления", Красноярск, ИВМ.-2005. (в печати)

46. Кузнецов A.A. К вопросу о конечности свободной бернсайдовой группы В(2,5) // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2005.-№4.- С. 38-47.

47. Кузнецов A.A. К вопросу о конечности свободной бернсайдовой группы В(2,5) //Вестник молодых учёных КрасГАУ.- Красноярск: КрасГАУ.- 2005.- №3.- С. 49-57.

48. Кузнецов A.A. К вопросу о распознавании группы Ь2(1) по спектру // Сиб. электр. матем. изв.- 2005.- Т. 2.- С. 250-252.