Некоторые характеристики движения жидкостей с отрицательным давлением, с примесями пузырьков и твёрдых частиц и космологические задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Вилка Чайча, Марта Беатрис

• Вилка Чайча, Марта Беатрис
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вилка Чайча, Марта Беатрис

Содержание

Общая характеристика работы

Глава 1. ЖИДКОСТИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ДАВЛЕНИЕМ: ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ

1.1. Введение

1.2. Волны Римана в газе Чаплыгина

1.3. О движении жидкостей с отрицательным давлением под действием собственного гравитационного поля

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ГАЗА И ТВЁРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ

2.1. Введение

2.2. Основные уравнения

2.3. Выводы к второй главе

Глава 3. О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СПИНОРНОГО И СКАЛЯРНОГО ПОЛЕЙ, УСТРАНЯЮЩИМ ВКЛАД СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В ГЕОМЕТРИЮ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

3.1. Введение

3.2. Основные уравнения

3.3. Космологические решения

3.4. Статические цилиндрически-симметричные решения

3.5. Выводы к третьей главе

Заключение

Публикации автора

Литература .

Общая характеристика работы

Введение в космологические модели вещества с отрицательным давлением является одним из альтернативных подходов к объяснению существования ускоренного расширения Вселенной . Одним из таких средств является космический вакуум, обладающий не только определённой плотностью энергии, но также и давлением. Если плотность вакуума положительна, то его давление отрицательно. Связь между давлением и плотностью имеет для вакуума вид: Р + £ = 0, где Р - давление и е - плотность энергии. Это уравнение состояния совместимо с определением вакуума как формы энергии со всюду и всегда постоянной плотностью, независимо от системы отсчёта или при изменении обьёма системы [1], [2]. Исследование свойств таких жидкостей как космический вакуум, квинтэссенция и газ Чаплыгина представляет определённый научный интерес с точки зрения существования у них обычных гидродинамических свойств. Известно, что в космологии исследуются среды с отрицательным давлением, но поскольку земля входит во Вселенную, эти среды должны каким-то образом проявляться в земных условиях. В данной работе исследуются эти среды в рамках этих условий.

Исследование ударно-волновых процессов и задачи механики пузырьковых сред обусловлены широким распространением таких систем в природе и имеет важное практическое значение, поскольку используется в различных областях науки и современной техники. В настоящее время существуют многочисленные экспериментальные исследования ударных волн в жидкости с пузырьками пара [3], [4], [5] и в двухфазных средах с фазовыми переходами [6], [7]. В данной работе исследуется распространение малых возмущений в воде, содержащей пузырьки пара и металлические частицы без учёта фазовых переходов. В обычных условиях нет жидкости без примеси, мы смотрим как примеси влияет на скорость звука.

Известно, что современная космология возникла в начале XX века. Отметим, что первая релятивистская космологическая модель была построена А. Эйнштейном в 1917 , а затем A.A. Фридманом в 1922. Согласно наблюдательным данным в настоящее время Вселенная расширяется ускоренно, а четырехмерное пространство-время мира становится статическим [1].

В настоящее время исследуется динамика анизотропных пространственно - однородных космологических моделей I - IX типов Бианки. Характер космологических решений для однородной модели типа Бианки-I был исследован Белинским и Халатныковым. Показано, что вязкость не может устранить космологическую сингулярность, но имеет следствием новое поведение решений вблизи сингулярности. Обнаружено, что в модели материя создается гравитационным полем во время большого взрыва. Изучена роль вязкой жидкости в эволюции Бианки типа I Вселенной в присутствии Л - члена а также в их работах было учтено влияние спинорного поля в эволюции Вселенной [8].

В диссертационной работе рассматриваются взаимодействующие спи-норное и скалярное поля в космологии.

Актуальность работы

В настоящее время в космологии исследуются модели, использующие уравнения состояния идеальной жидкости с отрицательным давлением. Представляет определенный научный интерес исследование свойств таких жидкостей с точки зрения существования у них обычных гидродинамических свойств, в частности, существования волновых движений под действием собственного гравитационного поля.

Определение скорости звука в среде с пузырьками пара и металлическими частицами представляет интерес при изучении формирования и распространения ударных волн в такой среде.

При исследовании взаимодействия спинориого и скалярного полей установлен тип взаимодействия, устраняющий вклад скалярного поля в геометрические свойства пространства-времени. Цели диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование свойств жидкостей с отрицательным давлением в рамках нерелятивистской гидродинамики, определение скорости звука в жидкости с пузырьками пара и металлическими частицами и определение типа взаимодействия спинорного и скалярного полей, устраняющего вклад скалярного поля в тензор энергии-импульса взаимодействующих полей. Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Впервые установлено, что в газе Чаплыгина движение жидкости представляет собой распространяющиеся волны разрежения.

2. Впервые установлена возможность движения идеальной жидкости с отрицательным давлением под действием собственного гравитационного поля.

3. Определена скорость звука в воде, содержащей пузырьки пара и металлические частицы.

4. Установлен тип взаимодействия спинорного и скалярного полей, устраняющего вклад скалярного поля в геометрические свойства пространства-времени.

Теоретическая и практическая значимость

Все результаты, полученные в диссертационной работе, основаны на точных решениях систем дифференциальных уравнений и могут быть использованы в работах по изучению свойств жидкостей с отрицательным давлением, изучению распространения ударных волн в жидкости с пузырьками пара и

металлическими частицами, исследованию взаимодействия спинорных и скалярных полей в космологии.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Показано, что волны Римана в газе Чаплыгина имеют деформируемый профиль, что приводит к неоднозначному определению плотности газа

/>(М)-

Проведено устранение неоднозначности в определении р(х, путём введения в исходное уравнение члена со второй производной, что приводит к появлению волн со стационарным профилем, являющихся волнами разрежения.

2. Показано, что для жидкости с уравнением состояния типа космического вакуума движение возможно только в том случае, если включена функция источника.

3. Установлено, что для жидкости типа квинтэссенции движение под действием собственного гравитационного поля возможно только в том случае, если её плотность не меньше некоторого критического значения.

4. Исследован процесс распространения звуковых возмущений в среде, состоящей из жидкости, пузырьков пара и частиц металла. Установлено, что наличие пузырьков пара в жидкости уменьшает скорость звука по сравнению со скоростью звука в воздухе, а наличие частиц металла увеличивает скорость звука в среде по сравнению со скоростью звука в воде.

5. При изучении взаимодействия спинорного и скалярного полей в космологии установлен эффект устранения вклада скалярного поля в тензор энергии-импульса взаимодействующих полей, что приводит к устранению вклада скалярного поля в метрику пространства-времени.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена тем, что они основаны на точных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений.

Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях:

1. XLVIII Всероссийская научная конференция «по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники» 15-18 мая 2012 г. Москва. Доклад: «Плоские волны в газе Чаплыгина».

2. XLVIII Всероссийская научная конференция «по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники» 15-18 мая 2012 г. Москва. Доклад: «Об устранении вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени в системе взаимодействующих спинорноно и скалярного полей».

3. IL Всероссийская научная конференция «по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники» 14-16 мая 2013 г. Москва. Доклад: «О движении среды с уравнением состояния типа космического вакуума под действием собственного гравитационного поля».

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 70 страниц, набранной в издательской системе LATEX. Библиография включает 37 наименований.

Глава 1 Первая глава посвящена исследованию распространения волн в газе Чаплыгина и движения жидкостей с отрицательным давлением под действием собственного гравитационного поля [9].

В разделе 1.1 рассматривается распространение плоских волн Римана в идеальной сжимаемой жидкости с уравнением состояния газа Чаплыгина Р(р) = —Ар'1, где р - плотность среды, А = const > 0, 7 = const > 0. Поскольку в этой среде квадрат скорости звука - положительная величина С2 = (dP/dp)8 > 0, то газ Чаплыгина допускает существование обычных волновых движений

Рассмотрены одномерные баротропные движения среды, когда давление Р = Р(р) и скорость течения жидкости и = и(р). Из требования эквивалентности уравнений непрерывности и Эйлера получено выражение для скорости движения среды:

и(р) = ±

1dPdp dp р

1/2

уравнение для определения плотности p(x,t):

1 /2

При подстановке С(р) = ± в уравнение непрерывности получено

где функция У(р) = и{р) + С{р) определяет скорость распространения постоянных значений плотности р.

Если начальное условие задано в виде уединённой волны , то поскольку разные точки на профиле волны имеют разные скорости, профиль волны искажается. Скорость волны - убывающая по абсолютной величине функция от р. Следовательно, точки на профиле волны движутся тем медленнее, чем больше р.

При этом происходит уменьшение крутизны профиля волны и при х < Хтах волна опрокидывается назад по отношению к направлению распространения.

В результате возникает неоднозначность плотности среды. Один из подходов к устранению неоднозначности в определении р{х, t) состоит в дополнении уравнения членом, содержащим вторую производную по х\

pt + V(p)px = vpxx, v — const > 0.

В отличие от исходного уравнения, это уравнение имеет решение со стационарным профилем. Член со второй производной устраняет деформацию профиля волны. Введение этого члена аналогично учёту вязкости среды. Уравнение записывается для р(х, t) = со(£), £ = х — Ut, U = const > 0.

При задании граничных условий

при £ —> +оо, со —>■ ui = const > 0, при £ —>• —оо, со —У Ш2 ~ const > 0,

U)l ф UJ2, >

при фиксированном значении 7 = 3 и в предположении, что uj\ > СО2, > to > С02, решение уравнения имеет вид

и>2

(и - со2)^~Ы2 ( . --S^- = Z0 exp(Z),

(cji — о;)ы1-ы2 где Z = , Z0 — const.

" UJi W^V^ "

Заметим, что Z —>• +00 при со —>■ ил, и Z —> -оо при со ->• со2. Поскольку

Z =-—, то Z —>■ +оо соответствует £ —> +оо, то есть соi реализуется при

co\u2v

£ = +оо, а со2 реализуется при £ = -оо. Волна распространяется в сторону возрастания со, т. е. мы имеем волну разрежения. Если сделать предположение, что Ш2 > cji, СО2 > to > coi, то получим решение

(ш- Ш^ч-Ч

-= ¿0 exp(Z).

(CJ2 —

Из этого уравнения следует, что Z —у +оо при w и Z —у — оо при

а; -> o;i. Волна распространяется в сторону возрастания uj, то есть мы имеем по-прежнему волну разрежения. Дальнейший качественный анализ показывает, что в газе Чаплыгина могут распространяться только волны разрежения.

В разделе 1.2 рассматривается движение трёх типов жидкостей с отрицательным давлением под действием собственного гравитационного поля в нерелятивистском подходе. В случае жидкости с уравнением состояния типа космического вакуума рассматривается сферически-симметричное движение

жидкости, когда существует одна радиальная компонента скорости u(r,t).

£

Полагается, что р = -z = р0 = const > О, Р = Р0 = const < 0.

сL

При подстановке полученного решения в уравнение непрерывности оказывается, что оно не выполняется, если /(г, t) = 0, что означает несовместность уравнений Эйлера и непрерывности. Можно сделать предположение, что в пространстве существует источник идеальной жидкости:

О

f{r,t) = ^Q-r{r2u) = 3p0T{t) = 3p0atga{t0 - t).

Источник идеальной жидкости существует во всём пространстве и не зависит от г. При t —>• t0 f(t) —У 0. При дальнейшем возрастании t источник становится отрицательным.

Для идеальной жидкости с уравнением состояния типа квинтэссенции, Р = We, где —1 < W < —1/3, рассмотрено движение под действием собственного гравитационного поля в одномерном случае.

Рассмотрено баротропное движение среды, когда давление Р = Р(р), в предположении, что скорость и = и(р) в стационарном случае. В результате решения соответствующей системы уравнения установлено, что

при р оо, х ->• хтах =

при р2 = х = 0;

18

Это означает, что жидкость распределена в области 0 < х < хтах. Таким образом, движение жидкости возможно только в том случае, если учитывается собственное гравитационное поле, а плотность жидкости не меньше некото-

с

poro критического значения pkp = —т=. На конечном интервале 0 < х < хтах

ví

тт С1

плотность меняется от рь, до р — оо. При этом скорость движения и = —

Р

изменяется от итах = до w = 0.

Исследовано движение среды с уравнением состояния газа Чаплыгина

Р = -А/р, А = const > 0,

под действием собственного гравитационного поля. Из решения системы уравнений гидродинамики получены три случая возможного движения газа Чаплыгина.

1. Сз>0, ^f- = a20>

al 8тг G при р = — = Ж = 0;

B2C¡

при р ^ ОО, X —> Хтах =

48(тгС)2'

При этом газ распределён в области 0 < х < хтах, а его плотность

8тvG Ci

изменяется от ркр = —— до р = оо, когда скорость и — — изменяется от

Ьз±> р

Umax = 0 „ ДО U = 0. 07TG

2. Сз > о, ^ =

В

при р —у 0, х —> —оо;

b2cV2

при р оо, s =

48(ttG)'

В этом случае газ распределен в области -оо < х < хтах, плотность газа изменяется отр = 0дор = оо,а скорость изменяется от и = оо до и = 0.

3. Сз = —/г2 < 0, ^ =

В

при р = -2, ж = 0;

Газ занимает область 0 < х < оо. При этом скорость изменяется от

и = до гг = оо.

о

Глава 2 Вторая глава посвящена исследованию распространения малых возмущений (скорости звука) в среде, состоящей из жидкости, пузырьков пара и частиц металла.

Глава 3 Третья глава посвящена исследованию взаимодействующих спи-норного и скалярного полей с учетом собственного гравитационного поля в двух метриках-статической цилиндрически симметричной и космологической типа Бианки I .Установлено, что рассматриваемый тип взаимодействия

— устраняет вклад скалярного поля в геометрические свойства

пространства-времени.

Глава

ЖИДКОСТИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ДАВЛЕНИЕМ: ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые характеристики движения жидкостей с отрицательным давлением, с примесями пузырьков и твёрдых частиц и космологические задачи»

1.1. Введение

В природе настолько широко распространено волновое движение, что нелинейные эффекты в волновом движении явились объектом интенсивных исследований в последние годы. В космологии есть три тезиса новейшей революции: 1) во Вселенной доминирует вакуум; по плотности энергии он превосходит все обычные формы космической материи вместе взятые; 2) динамикой космологического расширения управляет антигравитация; 3) космологические расширения ускоряется, а четырехмерное пространство-время мира становится тем временем статическим [1]. Космологическое ускорение говорит о том, что в настоящее время во Вселенной доминирует равномерно распределенное вещество с отрицательным давлением [10].

Отметим, что для спецификации различных типов космического вещества используется феноменологическое соотношение между давлением Р и плотностью энергии е, записываемое для каждой из компонент этого вещества. Это соотношение и есть уравнение состояния, и для вакуума имеет вид: Р + е = 0. Это уравнение состояния совместимо с определением вакуума как формы энергии со всюду и всегда постоянной плотностью, независимо от системы отсчёта. Исследование свойств таких жидкостей представляет определённый научный интерес с точки зрения существования у них обычных гидродинамических свойств, в частности, существование волновых движений под действием собственного гравитационного поля.

В работе движение жидкости с постоянным отрицательным давлением рассмотрено в сферических координатах, когда учитывается только радиальная компонента скорости и(г, ¿). При этом установлено, что для идеальной жидкости типа космического вакуума с постоянным отрицательным давлением, движение возможно только в том случае, если есть функция источника, не зависящая от пространственных координат, а скорость движения жидкости является линейной функцией расстояния от начала координат, что напоминает закон Хаббла в космологии.

Для идеальной жидкости с уравнением состояния типа квинтэссенции установлено, что движение жидкости под действием собственного гравитационного поля для одномерного движения возможно только в том случае, если её плотность не меньше некоторого критического значения, движение происходит в ограниченной области 0 ^ х ^ £тах, а скорость меняется от некоторого критического значения икр до и = 0.

Исследовано также движение среды с уравнением состояния газа Чаплыгина под действием собственного гравитационного поля в одномерном случае и показано, что существует три различных режима течения.

В данной работе рассмотрено в нерелятивистском подходе движение трёх типов жидкостей с отрицательным давлением: космический вакуум, квинтэссенция, газ Чаплыгина под действием собственного гравитационного поля и исследовано распространение плоских волн Римана в идеальной сжимаемой среде с уравнением состояния газа Чаплыгина.

1.2. Волны Римана в газе Чаплыгина

В настоящее время в космологии исследуются модели, использующие уравнение состояния идеальной жидкости с отрицательным давлением: Р =

где Р — давление, плотность энергии, а параметр Ш принимает

различные отрицательные значения. К таким средам относятся: космические струны, W = -1/3; квинтэссенция, —1<W< -1/3 [9], [И]; космический вакуум, W = — 1 (тёмная энергия) [1]; фантомная материя W = —4/3 [12], [13], ; газ Чаплыгина, Р = —А/ру, А = const > 0, у = const > 0 [14], [15]. Все перечисленные среды, кроме газа Чаплыгина, имеют отрицательный "квадрат скорости звука": (dP/dp)s = С2 = W < 0. Для газа Чаплыгина эта величина положительна: С2 = > 0. Следовательно, газ Чаплыгина

допускает существование обычных волновых движений, т. е. плоско-волновых возмущений однородного состояния среды. Газ Чаплыгина представляет интерес вследствие того, что его уравнение состояния в зависимости от параметра 7 описывает разные среды, в частности, при 7 = 0, когда давление Р = — А < 0, оно определяет космический вакуум, а при у —> оо получаем уравнение состояние пыли : Р = 0.

1. Основные уравнения

В данной работе исследовано распространение плоских волн Римана в идеальной сжимаемой среде с уравнением состояния газа Чаплыгина [16], [17], [18]. Рассмотрены баротропные движения среды, когда давление Р = Р{р), в предположении, что скорость движения среды и = и(р) [19], [20], [21].

Система уравнений гидродинамики для одномерного движения идеальной жидкости имеет следующий вид:

др ^ ди ^ _ q ^ у

dt ^ дх дх

+ \PU + — 0 (12)

dt дх р дх

Запишем уравнения (1.1) и (1.2) с учётом того, что Р = Р(р) и и = и(р)

др ( йи\ др ,

др / йи 1йР\др I йи V йр р йр ) дх / <1р

Уравнения (1.3) и (1.4) эквивалентны при выполнении соотношения

йи 1 йР I йи ^ Лр р йр / йр

Из (1.5) выводим:

йи 1 йР , ч

Из (1.6) следует, что скорость и может быть найдена из уравнения состояния независимо от интегрирования уравнений движения (1.1) - (1.2). Окончательно, для скорости и(р) имеем:

и = ±

йр р

По определению, для адиабатических движений

ЛРйр (1.7)

, . , С'(р), (1.8)

\ар / в

где С(р) - скорость звука. Из (1.3) получаем уравнение для определения где функция

V(p) = u(p) + C(p), C(p)=p(^fy/2, p = ±l, (1.10)

определяет скорость распространения постоянных значений плотности р.

Рассмотрим уравнение (1.9) для газа Чаплыгина с уравнением состояния

Р{р) = -Ар-ч, А = const >0, 7 > 0. (1.11)

Из (1.7), (1.10) и (1.11) находим

Подставляя С(р) и и(р) из (1.12) в (1.9), получаем уравнение

t + ,(,)g = o. = ^ + (1.13)

2. Типы волн

Из (1.13) следует, что в зависимости от е, р и 7 значение V(p) может

быть положительным или отрицательным. Считая движение среды направ-

2е

ленным вдоль оси X, получаем условие р Н--> 0.

7+1

Разрешая это неравенство с учётом того, что 7 > 0, получаем следующие случаи:

1) р = 1, е=1, 7 > 0;

2) 11 = 1, £ = -1, 7 > 1;

3) р = -1, е = 1, 0 < 7 < 1.

Для решения уравнения (1.13) применим метод характеристик. Из (1.13) выводим:

дГ1' 13 = ^' ^ = <1Л4>

где 5 - параметр вдоль характеристики. Из первого уравнения (1.14) следует: (й = ¿в. Остальные уравнения принимают вид

| = V(p), (1Л5)

Уравнения (1.16) и (1.15) имеют решение

р = р0 = const, х = V(p0)t + х0, (1-17)

где р0 и х0 - начальные значения при t = 0.

Зададим начальное условие: t = 0, pQ = f(x). Тогда решение уравнений (1.17) можно записать в параметрическом виде:

Р = /( О, x = F(Z)t + t (1.18)

где F(£) = V[/(£)], а £ зависит от х и t, причём при t — 0, х = х0 =

При задании конкретной функции f{x) из второго уравнения (1.18) можно найти £ как функцию от х и t, а затем, подставив её в первое уравнение (1.18), можно найти функцию p(x,t), соответствующую начальным условиям.

Рис. 1.1. Волна опрокыдивается

Если начальное условие задано в виде уединённой волны, то поскольку разные точки на профиле волны имеют разные скорости, профиль волны искажается. Скорость волны (1.13) - убывающая по абсолютной величине функция от р. Следовательно, точки на профиле волны движутся тем медленнее, чем больше р. При этом происходит увеличение крутизны профиля волны при х < хтах, и волна опрокидывается назад по отношению к направлению распространения (см. Рис 1.1).

Профиль волны может настолько сильно деформироваться, что появляется неоднозначность в определении плотности р(х, ¿): начиная с некоторого момента времени £ при х < хтах, когда достигается рх{хтах^) = оо, появляются три различных значения р(ж,^), что для плотности среды не имеет физического смысла (см. Рис 1.2). Это достигается в момент времени ¿в, который можно найти из (1.18) [22]:

Рис. 1.2. Эволюция волны Римана

dfdt, di I 1

В результате происходит разрыв плотности, т. е. нефизическое поведение среды.

Один из подходов к устранению неоднозначности в определении р(х, t) состоит в дополнении уравнения (1.13) членом, содержащим вторую производную по х:

pt + V(p)px = vpxx, v = const > 0. (1.20)

В отличие от исходного уравнения, уравнение (1.20) имеет решение со стационарным профилем. Член со второй производной устраняет деформацию профиля волны (см. Рис 1.3 и 1.4). Введение этого члена аналогично учёту вязкости среды.

Запишем уравнение (1.20) в явном виде:

Pt + — vpxx, К = К> 0. (1.21)

рг V 7+ly

Рассмотрим решение уравнения (1.21) как функцию от аргумента £ = а; - Ut:

р(х, t) = со(£), U = const > 0,

считая, что волна распространяется в положительном направлении.

Для <х>(£) из (1.21) получаем следующее уравнение:

— Uuj£ + —^г^е = (1-22)

U) 2

При 7 ф 1 из (1.22) получаем первый интеграл:

р.+У(р)рх=Урхх

Рис. 1.4. Структура волны разрежения

2 К

— Uuj + --и 2 + H = vujc Я = const.

1-7

Уравнение (1.23) имеет решение

(1.23)

du

2 К

1-7

= — + С, С = const. ь>

-и

2 - Uuj + Я

1-7

Зададим граничные условия:

(1.24)

при £ —» -f оо, ш = const > О При £ —»• —ОО, и ^ и>2 = const > О

OJl ф UJ2. У

Поскольку а;^ —у 0 при £ —у ±оо, из (1.23) получаем

(1.25)

2 К 1=2 -UU1 + --(V + я = о,

1 -7

(1.26)

2АГ

-C/w2 +-w92 + Я = 0.

1-7

Из (1.26) и (1.27) определяем U и Н:

(1.27)

U

Я =

2К (и22 -о»!2 )

1—7 W2 — '

(7+1) (7+1)

2К U)\UJ2(UJ2 2 — 2 1 — 7 W2 —

(1.28) (1.29)

Для того чтобы определить тип волны (сжатия или разрежения), надо найти знак разности ш\ — и2 и координаты точек и си2 на графике при

—оо < £ < оо (этим точкам соответствуют значения, £ = ±оо).

Это можно сделать, имея точное решение уравнения (1.22). Рассмотрим уравнение (1.22) при 7 = 3. В этом случае (1.24) приводится к виду

их1ш £

и =

к

н =

К (и 1 + и2)

и из (1.30) получаем

(1.30)

ис1ш

и2 — (си 1 + С02)ш + (¿1^2

шс1и)

(ы - о>1)(о; - ш2)

= г + ыг0,

(1.31)

где ^

и)\Ю2Ь''

20 = const.

Предположим, что и 1 > и>2, > и > ш2. При этом (1.31) запишется в

виде

шс1и>

= Z + \nZo-

(1.32)

Интегрирование в (1.32) приводит к равенству

и)<2

---—^— = ^0ехр(^).

(1.33)

Из (1.33) следует, что ^ —>• +оо при ш —> иг, и £ —-оо при и ш2.

Поскольку Z =-—, то Z -л +оо соответствует £ —у +оо, то есть ш\ реали-

U)\LÜ2V

зуется при £ = +оо, а и2 реализуется при £ = -оо. Волна распространяется в сторону возрастания и, т. е. мы имеем волну разрежения.

Если сделать предположение, что и2 > (¿i, > и > то из (1.31) получим

щ

(ш — и (cj2 — о;)ш2-"1

Из (1.34) следует, что Z ->■ +оо при -оо при и ->• wi. Волна

распространяется в сторону возрастания ш, то есть мы имеем по-прежнему волну разрежения. В общем случае качественно показано, что в газе Чаплыгина могут распространяться только волны разрежения.

1.3. О движении жидкостей с отрицательным давлением под действием собственного гравитационного поля

В настоящее время в космологии исследуются модели, использующие уравнение состояния идеальной жидкости с отрицательным давлением: Р = Ws, где Р — давление, е— плотность энергии, а безразмерный параметр W принимает различные отрицательные значения. Введение в космологические модели вещества с отрицательным давлением является одним из альтернативных подходов к объяснению существования ускоренного расширения Вселенной (космический вакуум, тёмная энергия) Представляет определенный научный интерес исследование свойств таких жидкостей с точки зрения существования у них обычных гидродинамических свойств, в частности, существование волновых движений под действием собственного гравитационного поля.

= Z0 exp(Z).

(1.34)

1. Движение среды с уравнением состояния типа космического вакуума

Одним из основных свойств космического вакуума является постоянство во времени его плотности энергии е и давления Р независимо от ускоренного расширения Вселенной [1]. Рассмотрим в рамках нерелятивистской гидродинамики течение идеальной жидкости, имеющей отрицательное давление Р и постоянную положительную плотность энергии е под действием собственного гравитационного поля. При этом Риг связаны соотношением.

Р + £ = 0. (1.35)

Рассмотрим случай сферически-симметричного движения жидкости, когда существует одна радиальная компонента скорости м(г, ¿). В этом случае система уравнений гидродинамики имеет вид:

1дР пы щ + ииГ =---«--(рг, (1.36)

р ог

* + = (1-37)

где f(r,t) - функция источника, G - гравитационная постоянная, a tp{r,t) -потенциал собственного гравитационного поля.

£

Запишем систему уравнений (1.36) - (1.38), полагая р = ^ = р0 = const > 0, Р = Р0 = const < 0:

щ + uur

(1.39)

^yu) = f(rA (1.40)

Интегрирование уравнения (1.41) даёт:

dip 47Г С

7Г = + -

or 6 г

Считаем, что при всех 0 < г < оо, < оо, поэтому С = 0.

or

Подставляем

д<р 47г

(1.41)

= —Gp0r + С — const. (1.42)

в (1.39) и получаем уравнение для определения ii(r, t):

4nG

ut + ШЛГ =--з~I1-43)

Решение уравнения (1.43) ищем в виде

u(r,t)=T(t)r (1.44)

При подстановке (1.44) в (1.43) получаем уравнение для T(t):

T + T> = -4-fPo. (1.45)

Уравнение (1.45) имеет решение

T(t) = atga(t0 — ¿), а2 =-^рРо, ¿о = const. (1.46)

О

Окончательно для скорости u(r, i) получаем выражение

и(г,г) = агЬ%а(г0-г). (1.47)

Скорость и(г, ¿) является линейной функцией г и увеличивается с возрастанием г. Это свойство напоминает закон Хаббла: скорость удаления галактик друг от друга есть линейная функция расстояния. Из (1.47) следует

и(г,0) = аг1&(й0, 1

(1.48)

при Ь —>• ¿о, и(г, ¿) —> 0. I При дальнейшем увеличении £ > ¿0 скорость течения меняет направле-

7Г

ние: м(г, ¿) = — аг tg — ¿0). При £ —» -—|- ¿0, гг(г, ¿) ——оо.

¿¡(Ж

При подстановке и(г,Ь) из (1-47) в уравнение непрерывности (1.40) оно не выполняется, если /(г, ¿) = 0, что означает несовместность уравнений Эйлера и непрерывности. Для того чтобы эти уравнения были совместны, можно сделать предположение, что в пространстве существует источник идеальной жидкости. Его можно найти из (1.40):

г\

/(г,г) = ^(г2и) = 3РоТ{1) = 3Роа1ёа(го - *). (1.49)

Источник идеальной жидкости существует во всём пространстве и не зависит от г.

При £ —)• ¿о /(£) —)• 0. При дальнейшем возрастании t источник становится отрицательным (поглощение).

2. Квинтэссенция

Рассмотрим движение идеальной жидкости с уравнением состояния Р — \Уе, где —1<Х¥<—1/3 [9] под действием собственного гравитационного поля в одномерном случае . Используемая система уравнений имеет вид:

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Вилка Чайча, Марта Беатрис

Основные результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в следующих журнальных статьях:

1. Вилка Чайча М.Б., Рыбаков Ю.П., Шикин Г.Н. Волны Римана в газе Чаплыгина // Вестник РУДН.- 2012,- № 4,- С. 103-109.

2. Вилка Чайча М.Б., Рыбаков Ю.П., Шикин Г.Н. О движении жидкости с отрицательным давлением под действием собственного гравитационного поля // Вестник РУДН,- 2013.- № 3,- С. 137-143.

3. Вилка Чайча М.Б., Юнусова С., Шикин Г.Н. О скорости звука в двухфазной и двухкомпонентной среде // Вестник РУДН,— 2011.— № 2.— С. 161-164.

4. Вилка Чайча М.Б., Ющенко Л.П., Шикин Г.Н. О взаимодействии спи-норного и скалярного полей, устраняющем вклад скалярного поля в геометрию пространства-времени // Вестник РУДН.— 2012,— № 2,— С. 96-102.

5. Вилка Чайча М.Б., Рыбаков Ю.П., Шикин Г.Н. Плоские волны в газе Чаплыгина // ХЬУШ Всероссийская научная конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, опто-электроники. Тезисы докладов. Секция «Гравитация и космология» РУДН,- 2012.-С. 200-202.

6. Вилка Чайча М.Б., Шикин Г.Н., Ющенко Л.П. Об устранении вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени в системе взаимодействующих спинорного и скалярного полей // ХЬУШ Всероссийская научная конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Тезисы докладов. Секция «Гравитация и космология» РУДН.— 2012,—С. 197-199.

7. Вилка Чайча М.Б., Рыбаков Ю.П., Шикии Г.Н. О движении среды с уравнением состояния типа космического вакуума под действием собственного гравитационного поля // 1Ь Всероссийская научная конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Тезисы докладов. Секция «Теоретическая физика» РУДН,- 2013—С. 54-56.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Исследовано распространение волн Римана в газе Чаплыгина и показано, что они имеют деформируемый профиль, что приводит к неоднозначному определению плотности газа р(х,Ь).

Проведено устранение неоднозначности в определении р(х. ¿) путём введения в исходное уравнение члена со второй производной, что приводит к появлению волн со стационарным профилем, являющихся волнами разрежения.

2. Установлено, что для жидкости с уравнением состояния типа космического вакуума, движение возможно только в том случае, если включена функция источника.

3. Установлено, что для жидкости типа квинтэссенции движение под действием собственного гравитационного поля возможно только в том случае, если её плотность не меньше некоторого критического значения.

4. Исследован процесс распространения звуковых возмущений в среде, состоящей из жидкости, пузырьков пара и частиц металла. Установлено, что наличие пузырьков пара в жидкости уменьшает скорость звука по сравнению со скоростью звука в воздухе, а наличие частиц металла увеличивает скорость звука в среде по сравнению со скоростью звука в воде.

5. Исследовано взаимодействие спинорного и скалярного полей в космологической метрике Бианки - I и статической цилиндрической симметричной метрике; и установлен эффект устранения вклада скалярного поля в тензор энергии-импульса взаимодействующих полей, что приводит к устранению вклада скалярного поля в метрику пространства-времени.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Георгию Николаевичу Шикину, на чьих идеях основана данная диссертация, за научное руководство работой и плодотворное сотрудничество, за внимание к работе и ценные советы, способствовавшие улучшение восприятия работы, а также за огромное терпение. Автор благодарен доктору физико-математических наук, профессору Ю.П. Рыбакову за многочисленные обсуждения затронутых вопросов в данной работе и своим родственникам, коллегам и друзьям, оказавшим поддержку при работе над диссертацией.

Публикации автора

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вилка Чайча, Марта Беатрис, 2013 год

Литература

1. Чернин А. Д. Космический Вакуум // УФН. — 2001.— Т. 171, № 11.— С. 1153-1176.

2. Долгов А. Д., Зельдович Я. Б., Сажим М. В. Космология ранней Вселенной,— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. — С. 199.

3. Шагапов В. Ш. Распротранение малых возмущений в жидкости с пузырьками // ПМТФ. - 1977. - № 1. - С. 90-101.

4. Кедринский В. К. Распротранение возмущений в жидкости, содержащей пузырки газа // ПМТФ. - 1967. - № 3. - С. 120-126.

5. Нигматулин Р. П., Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в жидкости с пузырками газа // Изв. Ан СССР-МЖГ. - 1974. - № 4. - С. 30-41.

6. Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Особенности распространения слабых возмущений в двухфазных средах с фазовыми переходами // ПМТФ. — 1970. - Т. 5. - С. 73-77.

7. Ивандаев А. И. Распространение малых возмущений в двухфазных смесях пара с каплями // Акуст. ж. — 1978. — Т. 24, № 1. — С. 72-78.

8. Саха Б. С., Рихвицкий В. В. Бианки -I космологическая модель с вязкой жидкостью и нелинейным спинорным полем: качественный анализ // Вестник РУДН. - 2007. - № 3-4. - С. 130-134.

9. Zlatev I., Wang L. М., Steinhardt Р. J. Quintessence, Cosmic Coincidence, and the Cosmological Constant // Phys. Rev. Lett. — 1999.— Vol. 82.— P. 896-899.

10. Саха В., Шикин Г. Н. О роли А- члена в эволюции космологической мо-

дели Бианки-I с нелинейным спинорным полем // Вестник РУДН, серия Физика. - 2000. - № 8, вып. 1. - С. 17-20.

11. Cladwell R. R., Dave R., Steinhardt P. J. Cosmological Imprint of an Energy Component with General Equation of State // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 80. - P. 1582-1585.

12. Dabrowski M. P. Phantom Dark Energy and its Cosmological Consequences // ArXiv: gr-qc/ 0701057vl.

13. Kamenshchik A. Y., Moschella U., Pasquier V. An Alternative to Quintessence // Phys. Rev. Lett. B. - 2001. - Vol. 511,- P. 265-268.

14. Billic N., Tupper G. В., Viollier R. D. Chaplygin Gas Cosmology-Unification of Dark Matter and Dark Energy // Phys. Rev. Lett. B. - 2002. — Vol. 535. -P. 17.

15. Bento M. C., Bertolami O., Sen A. A. Generalized Chaplygin Gas, Accelerated Expansion and Dark Energy - Matter Unification // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. ArXiv: gr-qc/ 0202064v2.

16. Ламб Г. Гидродинамика. — M.: Из-во технико-теоретической литературы, 1947.-С. 929.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, — М.: Физматлит, 2006,— Т. 6. - С. 562.

18. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978. — С. 736.

19. Седов Л. И. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1970.— Т. 2,— С. 568.

20. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости, — М.: Наука. 1977,- С. 816.

21. Горшков А. Г., Медведский Ф. JL, Рабинский JI. Н., Тарлаховский Д. В. Волны в сплошных средах. — М.: Физматлит, 2004. — С. 472.

22. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.— С. 623.

23. Киселев С. П., Руев Г. А., Трунев А. П. и др. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. — Сибирская издательская фирма: Наука, 1992,— С. 261.

24. Crespo A. Sound and Shock Waves in Liquids Containing Bubbles // The Physics of Fluids. - 1969. - Vol. 12, No. 11.

25. Campbell I. J., Pitcher A. S. Shock Waves in a Liquid Containing Gas Bubbles // Proceedings of the Royal Society of Londona. — 1958. — Vol. 243, No. 1235. - P. 534-545.

26. Hsieh D., Plesset M. S. On the Propagation of Sound in a Liquid Containing Gas Bubbles // The Physics of Fluids. - 1961. - Vol. 4. - P. 970-975.

27. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения, — М.: Мир, 1972,— С. 440.

28. Рыбаков Ю. П., Саха В., Шикин Г. Н. Точные самосогласованные решения нелинейных уравнений спинорного поля в пространстве Бианки - I // "Неевклидовы пространства и новые проблемы физики"(Сборник статей, посвященный 2000 летию со дня рождения Н.И. Лобачевского) М. Издательство Белка. — 1993. — С. 30 - 34.

29. Рыбаков Ю. П., Саха Б., Шикин Г. Н. Нелинейные спинорные поля в пространстве типа Бианки - I: Точные самосогласованные решения // Известия ВУЗов. Физика. - 1994. - Т. 37, № 7. - С. 40 - 45.

30. Саха Б., Рихвицкий В. С. Бианки типа - I космологическая модель с вязкой жидкостью и спинорным полем: качественный анализ // Вестник

РУДН: Математика, информатика и физика. — 2007. — № 3 - 4. — С. 130 - 134.

31. Henneaux М. Bianchi type - I cosmologies and spinor fields // Physical Review D. - 1980. - Vol. 21, No. 4. - P. 857 - 863.

32. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. - М.: Наука, 1984. - С. 600.

33. Ландау J1. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— М.: Физматлит, 2012. — Т. 2.-С. 536.

34. Saha В. Spinor fields in Bianchi type I Universe // Физика елементарных частиц и атомного ядра. — 2006. — Vol. 37. — Р. 27.

35. Бронников К. А., Чудаева Е. Н., Шикин Г. Н. Статические цилиндрически-симметричные конфигурации идеальной жидкости // Вестник РУДН. - 2009. - Т. 1. - С. 85-95.

36. Саха Б., Шикин Г. Н. Спинорные поля в плоско-симметричном пространстве времени // Вестник РУДН. - 2007. - № 1-2. - С. 66-69.

37. Saha В., Shikin G. N. Static Plane-Symmetric Nonlinear Spinor and Scalar Fields in GR. // International Journal of the Theoretical Physics. — 2005. — Vol. 44, No. 9. - P. 1489-1494.