Некоторые экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Захарова, Марина Владиславовна

• Захарова, Марина Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захарова, Марина Владиславовна

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Задача о минимуме норм 1\ и 100 целых функций экспоненциального типа

1.1. Постановка задачи

1.2. Связь с экстремальными задачами Конягина, и Турана для периодических функций с малым носителем

1.3. Основная теорема

1.4. Определение функции (/?

1.5. Построение экстремальных функций

1.6. Проверка необходимых условий для функции А

1.7. Проверка необходимых условий для функции IV

1.8. Примеры экстремальных функций

1.9. Преобразование Фурье экстремальной функции в задаче ^(Н)

Глава 2. Вариант теоремы Крейна для пространства 1\{Ъ)

2.1. Постановка задачи

2.2. Теорема Крейна в (М)

2.3. Вариант теоремы Крейна в метрике 1\

2.4. Аналог критерия Надя для дискретного случая

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа»

Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач для целых функций экспоненциального типа: о минимуме норм 1\ и целых функций с фиксированным значением в нуле; дискретному варианту теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями в L\.

Актуальность темы. Задача о минимуме нормы li целой функции экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле тесно связана с важными экстремальными задачами теории функций и теории приближений — задачей C.B. Конягина для периодических функций с малым носителем и задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и L\ тригонометрических полиномов и целых функций. Экстремальная задача Конягина была поставлена в связи с приложениями к аналитической теории чисел.

Дискретный вариант теоремы Крейна для целых функций экспоненциального типа, как и сама теорема Крейна являются аналогами задачи А. А. Маркова о наилучшем приближении функции в Ll на отрезке алгебраическими полиномами. Приложениями этих теорем в теории приближений является приближение в L\ полиномами и целыми функциями классов сверток.

Рассматриваемые задачи могут быть использованы в цифровой обработке сигналов для представления и восстановления дискретных сигналов с ограниченным спектром.

Цель работы. Целью работы является решение двух задач: о минимуме норм li и Zoo целых функций экспоненциального типа ^ 2пh 5 для рационального h < 1/2; нахождение величины наилучшего приближения в ¿i(Z) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ 2irh.

Методика исследований. Применяются методы теории функций действительного и комплексного переменного, теории приближений, гармонического анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Предложен метод решения задачи о минимуме норм 1\ и целых функций экспоненциального типа ^ 2irh для заданных небольших рациональных чисел h <1/2.

Найден критерий наилучшего приближения в 1\{Ъ) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ Ъrh с рациональным h. Получен дискретный аналог условия С.-Надя на приближаемую функцию, когда критерий выполняется.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 1 статье в центральной печати (журнал «Математические заметки») [16], в 2 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика» [13, 15] и 1 статье в журнале «Известия ТулГУ. Серия Естественные науки» [21], входящих в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий. Три из них написаны в соавторстве с Д. В. Горбачевым, которому принадлежат гипотезы о виде экстремальных функций.

Также опубликованы 2 работы в Трудах Международных конференций [34, 19] и 4 тезиса докладов Международных конференций [12, 14, 17, 18].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3 Международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2005-2007), 2 Международных школах С. Б. Стечкина по теории функций в г. Алексин Тульской обл. (2007) и г. Миасс Челябинской обл. (2008), на научном семинаре под б руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН (2008).

Основное содержание работы. Диссертационная работа состоит из двух глав. Первая глава содержит 9 параграфов и посвящена нахождению минимумов дискретных норм 1\ и для целых функций экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле. Во второй главе, содержащей 4 параграфа, рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крепна о наилучшем приближении в Ь\ целыми функциями экспоненциального типа.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы.

Пусть 0 < к < 1/2, Е(к) — множество целых действительных функций экспоненциального типа ^ 27г/г, £(к) — подмножество четных функций из Е(К),

В гл. 1 рассматривается экстремальная задача нахождения величины

Ав(л) = Ы{\\П1ЛЮ: / е ад, д0) = 1}, (1) где и = Ъ\ {0}.

Основное внимание уделяется случаям в = 1, оо.

Пусть с(х) = событие), б(х) = эт^тпс), е(ж) = е2™х, яф) = з1п2(^ж) (бс(0) = 1).

В задаче (1) достаточно ограничиться только четными функциями, поэтому

Ав(Л) = шЦИ/Н^): / € ОД, /(0) = 1}.

При к ^ 1/2 величина Л5(/г) = 0. Действительно, функция /(г) = е £(Ь) при К ^ 1/2 и для нее значение И/И^') = 0. Поэтому представляет интерес случай 0 < к < 1/2.

В гл. 1 показывается, что в задаче (1) для любого 0 < к < 1/2 существует экстремальная функция /* = /*, для которой лв(ь) = Ш11.(2*). 7

Задача A\(h) тесно связана с экстремальной задачей Конягина для периодических функций с малым носителем [1, 35], которая заключается в нахождении величины

В (К) = sup ao(F), FeK(h) где K{h) — класс четных непрерывных действительных 1-периодиче-ских функций оо

Fix) = J2an С(ПХ)> Х € Т = = ("V2* -1/2]: «П = ein (F), п=0 удовлетворяющих условиям со

P|<2n| = l, F(x) = 0, h^\x\^l/2. п—О

Последнее условие означает, что носитель функции F на периоде сосредоточен на отрезке [—h, h].

Задача В {К) является нелинейным вариантом экстремальной задачи Турана А [К) для периодических функций с малым носителем, в постановке которой дополнительно требуется неотрицательность коэффициентов Фурье функций F(x):

A(h) - sup{a0(F): F 6 K(h), an ^ 0, n 6 Z+}. *

Задача нахождения величины A(h) была поставлена в 1970 г. П. Ту-раном. С. Б. Стечкин в 1972 г. [31] доказал, что A(l/q) — 1/q для q = 2,3,. и получил асимптотику A{h) = h + ö{h2) (ft, —> 0). А. Ю. Попов показал, что A{h) > h при h ф 1/q, и предположил, что при h ^ 0 справедлива более сильная асимптотика A(h) = h-\-0(h3), которая была доказана Д. В. Горбачевым в 2001 г. [7].

Для рациональных чисел h = p/q при р — 2,3 задача Турана решена в 2004 г. Д. В. Горбачевым и А. С. Маношиной [20]. Ими она была сведена к конечномерной задаче линейного программирования, явл5ПО-щейся дискретных аналогом задачи Фейера для неотрицательных полиномов. Для произвольных рациональных чисел h — p/q задача Турана была решена В. И. Ивановым и Ю. Д. Рудомазиной в 2004 г. [23, 24]. В 2006 г. В. И. Ивановым было получено решение задачи Турана для всех иррациональных h [22].

Экстремальная задача B(h) была поставлена С. В. Конягиным в связи с приложениями к аналитической теории чисел [35]. При этом подчеркивалась важность вычисления величины B(h) для отдельных значений h, в том числе близких к 1/2.

В 1996 г. в работе [1] Н. Н. Андреева, С. В. Конягина и А. Ю. Попова величина B(h) была вычислена для h = 1/4: £>(1/4) = 2/(7г + 4) и B{h) = Lh + 0(h2), h-+ О, где 1,079 <L< 1,179.

Константа L находится из решения экстремальной задачи [11]

Ь-1=Ы{и\\Ь1т:/е8(1), /(0) = 1}, являющейся интегральным аналогом задачи Ai (/г).

Д. В. Горбачевым в 2005 г. были получены значения В (К) для h = 1/2,1/3,1/5, 2/5 [8] и усилены оценки константы L до 1,08185 . < L < 1,09769 . (см. [9, 10, 11]). Также им установлена связь задачи B(h) с задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и L\ тригонометрических полиномов и целых функций: с(п — 1) ^ сп ^ en, п Е N, с — L, где сп = sup{M^: t — 1-периодический полином порядка п — 1}. Задачей об оценке величины сп занимались С. Б. Стечкин, JI. В. Тай-ков [32], а также авторы работы [33].

Лемма 1.1. При 0 < h < 1/2 справедливо равенство в<"> = ттда

В продолжение приведенных результатов представляет интерес вычисление величин Ai (/г), Aqo (h) для h = p/q, где р и q — взаимно простые целые числа, q = 3, 4,., 1 ^ р < q/2.

В гл. 1 приводится способ вычисления величин Ai(p/q), AOQ(l/2 — p/q). Он опирается на следующие две леммы и основную теорему гл. 1.

Положим h! — 1 /2 — h.

Лемма 1.2. Пусть / е S(h), g € £(h'), ||/||MZ) < oo; \\g\\loo{Il) < oo. Тогда ze z

Лемма 1.3. При в ^ 1 где в' = в/(в — 1) — сопряженный показатель.

Теорема 1.1. Пусть существуют функции f* £ £{Ъ), т* € £(Н'), ф/2)ш*(>), ябС, удовлетворяющие условиям: 0) = 1, КЙК1, геЪ', Г{г)ф 0.

Тогда функция f*(z) ~ экстремальная в задаче К.\{Н) и а функция д= цг*^ — экстремальная в задаче Л00(/1/) и

Лоо(^)

Ах (/г) -ТУ*(0)'

Далее в гл. 1 на основание теоремы 1.1 приводятся конструкции экстремальной функции /* и функций ъи*, Ш* для конкретных !ъ — р/д, Ы — 1/2 — р/д.

Пусть г г = гг(Д) — (2г + 1)/(4к), г 6 2, — нули функции оо оо / 2 \ г = -оо П г=0 ^ Г

Положим для к = р/с/ П (1-|)=П(1 22 г=-оо 4 г=0 4

7?

Здесь <7г = —г € К, а точки г Е являются целочисленными аппроксимациями нулей т^, т.е. ^ — ближайшее целое число к числу г< = д(2г + 1)/(4р), г 6

Если нуль гг — полуцелый (например, г»( 1/6) = Зг + 3/2), то используется округление в меньшую сторону.

Последовательность точек qí представима в виде

Яг: I Е = + гд: ^ = 0,1,., 2р - 1, г Е где 0 < < < • • • < Ч2Р-1 < Я

Если среди нулей г г нет полуцелых (далее этот случай назовем непо-луцелым), то д2Р-1-з з = о, 1,.,р- 1. (2)

Если среди Гг есть полуцелые, то на (0, q) попадают только два полуцелых нуля 0 < ту < q]2 < /у/ < д, у" = 2р — 1 — / . В этом случае (далее он называется полуцелым) ду/ = д — ду — 1. для остальных д^-, 7 ф выполняется соотношение (2).

Полуцелые нули возникают, когда р = 2j' q = 4рд0 ± 2(р — 21), где / = 1,2,., (р — 1)/2, и они равны ту = д/4, ту/ = Зд/4.

Для функции </?(;г) справедливы представления: в неполуцелом случае

Р1 Ф/д) - с(д5/д)

Ы - ГТ у 'Ч)

1-с(д,/д) ' в полуцелом случае р-1

Здесь где В (ж, 2/) = — бета-функция [4].

Из приведенных представлений функции <р следует, что и р(г) — О(1), 2; —> +оо, в неполуцелом случае, <р{х) — z —> +оо, в полуцелом случае.

В качестве возможной экстремальной функции /* в задаче Лх (7г) предлагается функция

Г(0) = х, (4) где т е < . < гт — целые числа, удовлетворяющих неравенствам

1 4-1 < ^ < г = 1,., т. (5)

11

3)

Таким образом, предполагается, что экстремальная функция /* в задаче hi(h) получается из функции <p(z)/{ 1 — z2/(¡о) сдвигом в целые точки по направлению к началу координат некоторых ее первых нулей. Из асимптотических формул (3) следует, что ||/*||i1(z) < 00• Для доказательства экстремальности функции /* необходимо по теореме 1.1 построить соответствующую функцию W*(z).

Функция IF = W* из теоремы 1.1 конструируется, исходя из представления (4):

W(z) = c(z/2)w(z), w е S(ti), Ы = 1/2 -p/q, W(z) = (-1)г, ze{zi + 1,., zi+1 - 1}, i = 0,1,., m,

Zq = 0, zm+1 = qm+ii W(z) = (~1)г, z G {qi + 1, • •., qi+i — 1}, г = m + 1, m + 2,. , |Ж(>гЖ1, г = 1,2,.,тте; |W(g<)| < 1, г = ш + 1, m + 2,. значения функции в силу ее четности рассматриваются только при z ^ 0).

Чтобы удовлетворить этим условиям функция W записывается

W(z) = A{z) + B(z), z еС, где

A(z) = c(z/2)a(z), B(z) = ф/2)Ь(г), a, b e £(1/2 - p/q), w(z) = a(z) + b(z), zee. Функция a(z) имеет вид q-2p a(z) = akc(kz/(2q)) k=0 и определяется из условия sign = - sign <p(z), zeZ+\ {qi}°l0. Функция b(z) имеет вид и выбирается таким образом, чтобы выполнялись все необходимые условия для функции W.

Положим

I = {0,1,., q} \ {go, qi, ■ • •, Q2P-i}, \I\=q-2p + 1, ( л\к TT c(*/2?) ~ ФУ2?) haT ( ) = ( }

Функции ak € 6(1/2—p/q) и c(z/2)ak(z) = 6kz, k,z € I. С помощью них функция A(z) записывается в виде

A(z)=c(z/2)J2(-l)i+1T,c*^ г=0 fce/г где {0,.,go - 1}, г = 1 + 1,., д* - 1}, г = 1,., 2р - 1, hp = tap-i + 1, • • • ,д}.

Лемма 1.4. Цртх р = 1 справедливы равенства

A{q0)=A(qi) = О, д = 0 (mod 4), А(д0) = A(gi) = Tl/2, д = ±1 (mod 4), А(д0) = -A(gi) = -1, д = 2 (mod 4).

Лемма 1.5. При р = 2

А(дО|<1, ie Z+.

Гипотеза 1.1. При р ^ 3 в неполуцелом случае

Л(д,-)|<1, j е Z+, в полуцелом случае a(Qj')\ = \МЯэ")\ = h \А(ъ)\<1, зФэ'Л'-Положим 01 р(2) l-22/fe2 JUL где постоянная Cfc выбирается из условия c(k/2)(3k(k) — 1 (их явные выражения приведены в п. 1.5.2).

Функции Рк € £(1/2 —р/я), /Зк(г) — О (г в неполуцелом случае и Рк(г) — 0(2~1~2^д) в полуцелом случае при г —► +оо и ф/2 Шг) = 8кЯ1 кеК, * € N \ {г,}^.

Функция В при помощи /3/- представляется в виде т

В(г)= ф/2)^ £ •/=0 ¿¡=2^+1 гипотеза 1.2. длл заданных р и д можно подобрать значения т и Хг, i = 1,. удовлетворяющие неравенствам (5), такие что

W\zi)| <1, ¿ = 1,.,7П, |ТУ(д01 ¿ = ш + 1,т + 2,.

Справедливость гипотезы доказана для многих значений р ид. Приведем схему проверки гипотезы в неполуцелом случае. Пусть С а = тах^од,. .,2р—1 1^4(^)1- По гипотезе 1.1 величина С а < 1-Для функции (Зк справедливо неравенство

Ш)1< —, кеК, г^т + 1,

Яг где

Ы Я^+г/Яо -1 . | // м ^ п V=; •■11рш>

Отсюда следует, что в(®)1 <

Яг где т зг

Св ~ 2^ ^ С^.

0 А;=гг+1

Таким образом, при г ^ т + 1 ^ Са + Св/Яг- Отсюда следует, что при г ^ г' 1^(^)1 < 1, где г' ^ т + 1 определяется из условия Св

Следовательно, выбрав значения т,г можно ограничиться проверкой условия гипотезы 1.2 в конечном числе точек ., Ят+Ъ • • • , Яг'-\

Приведем некоторые примеры (выписываются только значение т и отклонения гг от д;, г = 1,., т):

1) для (р, q) = (1,162) значение т — 6 и zi=qi— 4, z2 = q2- 2, z3 = q3- 1, £4 - g4 - 1,

25 = 95 - 1, z6 = qe~ 1;

2) для (p, g) = (1,156) значение m = 12 и zi=qi~ 5, z2 = q2 - 3, z3 = q3 ~ 2, z4 = 94 - 1, z5 = q5 - 1, z6 = q6- 1, z7 = q7- 1, z$ = qg — 1, zQ = q9 - 1, ¿ю = 9ю - 1,

Z11 = ~ 1, Z12 = qi2 - i;

3) для (p, g) = (1, 95) значение m = 14 и 91 - 3, z2 = q2- 2, z3 = q3- 1, = - 1, ¿5 = 95,

6 = 96-1, z7 - q7, z8 = 9s - 1, = 99, =

2ll=9ll, 212=912 — 1, 213 = 913, ^14 = 914 — 1;

4) для (p, <7) = (2, 21) значение m = 0;

5) для (p, 9) = (3,64) значение m = 2 и i = 9i - 1, -2 = 92 ~ 1;

6) для (p, g) = (4, 55) значение m = 7 и

2i =9i, 22=92, z3=q3, = z5 = q5, z6 = q6, z7 = q7 - 1;

7) для (p, q) = (5, 201) значение m — 15 и i = 9i - 1, 22 = 92, 23 = 93, 2:4 = 94, 25 = 95 1, 2б — 9б 1;

27 = 97, 28 = 98, 29 = gg, 2ю = 9ю, 2ii=9ll, 212=912,

213 = 913, 214 = 914, 215 = 9l5 ~ lj

8) для (p, <7) = (6,101) значение т = 8и

2i=9i-l, 22 = 92, 23 = q3, z4 = 94, 25 = g5,

26 = 96, 27 = g7, 28 = 98 — 1

Во второй главе рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями экспоненциального типа в L\.

Далее используются обозначения и результаты из гл. 1. Пусть g: Z —> M — четная функция, ЦрЦ/^z) < Рассматривается экстремальная задача нахождения величины

Eh{g)hm = ы Из - Лк(Щ = s mf 0 Е Ш - /(*)!• (6)

При Н ^ 1/2 величина = 0- Поэтому как и раннее представляет интерес случай к < 1/2.

Задача (6) является дискретным аналогом задачи о нахождении величины наилучшего приближения четной функции С: М. —К. [2], Н^кхСК) < оо:

Ен(о)Ь1т = т| ||а-аЛ||Ь1(к) = т| / \в(х) - вК(х)\ ах.

СнЕЕ(Н) Он€Ь{п.)

В силу четности функции д, С, также как и в задаче Л3(/г) достаточно ограничиться четными аппроксимирующими функциями /,

Сн е 8{К).

М. Г. Крейном [2] было получено следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы А. А. Маркова для полиномов [2].

Теорема Крейна. Пусть функция С?(ж) = 0(х~2), х —> оо; а функция Суг(ж) £ интерполирует функцию в нулях Т{ функции с(Нх). оо

Ghix) =Y2G(rk)<èk(x), Фк(х) = Ск

Ф(ж)

9 2 ' с=0 Х 'к ^

Ф(х) = с(кх), Ск = ^у, Фк(г,) = 6к1.

Тогда, если выражение — (-^(ж)) с(Нх) сохраняет всюду знак, то функция С/г (х) является экстремальной в задаче (

Крейном показано [2], что величина наилучшего приближения функции С равна

4yv lVbS((2fc + l)fe)

2/c + l где G (у) = fR G(x) e(-xy) dx — преобразование Фурье функции G(x).

16

Достаточным условием справедливости теоремы Крейна для четных функций является выполнение критерия С.-Надя [2]: если

GeC3(R), {-1)кд^к\у)^о, к = 0,1,2,3, y^h,

8) то произведение (G(x) — Gh{x)) c{hx) или, что то же самое, (G(x) — Gh(x)) sign(c(hx)) не меняет знака при х £ Ж.

Крейн использовал свою теорему для вычисления в L^ на оси наилучшего приближения класса дифференцируемых функций / с ограниченной нормой H/^lUooOSO, г G N, целыми функциями экспоненциального типа [2]. В этом случае задача сводится к наилучшему приближению в Li(M) интегрального аналога ядра Берпулли. Близкие результаты для тригонометрических полиномов и функций получили Ж. Фавар, Н. И. Ахиезер, С.-Надь, С. М. Никольский, В. К. Дзядык, С. Б. Стечкин, Сунь Юн-Шсн, А. Пинкус, Т.Х. Нгуен Тхи, А. И. Степанец. А. Г. Ба-бенко и Ю.В. Крякин и многие другие математики (см. [25, 3, 26]).

Дискретный вариант теоремы Крейна рассматривается для рациональных чисел h = p/q.

При доказательстве теоремы Крейна большую роль играет функция sign(c(/ia;)). Ее дискретным вариантом является функция A(z), определенная выше при описании результатов гл. 1, для которой

-A{z) = sign{if{z)), z£ Z \ {qk}kGZ.

Пусть функция gh £ £(h) интерполирует функцию g(z) в точках q-L (нулях функции (р). со г=0

9h(z) = ^g(qi)ipi(z), z <Е С,

2 qt

С; = Ч 4>(Z) т ifi{z) = а 2 ^ 2, ijez+, Qi

VMj) = 5ij.

9)

Теорема 2.1. Если ^ 1, т. е. р = 1,2 или справедлива гипотеза 1.1, и выраснсение (д{г) - дн{2))А(г) сохраняет знак в целых точках, то функция ди(^) является экстремальной в задаче Е^д)^^ и

Eh(g)it(z) = q~2p f k Г k=0 ¿eZ 4 4

При р = 1, q = 0 (mod 4) нули гъ совпадают с точками qu сp(z) = c(z/q), zeC,

A(z) = -sign(c(z/q)), z e Z.

Поэтому интерполяционные формулы (9) и (7) совпадают.

Отсюда следует, что если g{z) — G(z), z Е Z, где — функция из теоремы Крейна, то gh(x) = Gh(ж), ж е К, и

- (G(z) - Gh(z)) sign (c(z/q)) = (g(z) - gh(z)) A(z). z € Z.

Поэтому, если для функции G(x) выполняется критерий Надя (8), то произведение (g(z) — gh(z))A(z) сохраняет знак в целых точках и теорема 2.1 справедлива.

Пусть по-прежнему g(z) — G{z), z G Z, где G(x): К. —^ M — четная функция, для которой G(x) = 0(х~2) при х —> оо.

Следующее утверждение является дискретным вариантом критерия Надя.

Теорема 2.2. Если р = 1, q = ±1 (mod 4) и G(y) — 4:-кратно монотонна при у ^ 1/q, то выполняется теорема 2.1.

Критерий Надя и теорема 2.2 выполняется, например, для функций

Gi(x) = T-Ц {G^y) =

1 т ж

G2 (х) = (G2 {у) = ).

Функция G\(y) является абсолютно монотонной при у ^ 0 (G^\y) ^ О, у ^ 0, к — 0,1,.). Функция G2(y) является 3-кратно монотонной при у ^ у/З/'ка. = (0.69098. .)а и 4-кратно монотонной при у ^

-у/(3 + л/б)/(27г)а = (0.93129. .)а.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Дмитрию Викторовичу Горбачеву за помощь в подготовке диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захарова, Марина Владиславовна, 2008 год

1. Андреев H.H., Конягин С. В., Попов А. Ю. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 323-332; Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, №3. С. 479-479.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

3. Бабенко А. Г., Крякин Ю. В. О приближении ступенчатых функций тригонометрическими полиномами в интегральной метрике // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. С. 27-56.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1966.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969.

7. Горбачев Д. В.Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346-352.

8. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 5. С. 773-778.

9. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между С и L-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 132-134.

10. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. 2-е изд. Тула: Изд-во «Гриф и К», 2005.

11. Горбачев Д. В. Интегральная задача Конягина и (С, Ь)-константы Никольского // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 72-91.

12. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Тезисы докл. Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2005. С. 76—78.

13. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Экстремальная задача для функций с малым носителем и ее приложения в теории фильтрации // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11, вып. 1. С. 119—132.

14. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задача о минимальной норме целой функции экспоненциального типа и оптимальные фильтры // Материалы Межд. конф.Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2006. С. 51-53.

15. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задачи о минимальной ¿р-норме для целых функций экспоненциального типа и их приложения // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 5. С. 95-102.

16. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2006. Т. 80, №6. С.940-942.

17. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для целых функций экспоненциального типа // Тезисы докл. IV Межд. симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2006. С. 86.

18. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Дискретный вариант теоремы Бернштейна о приближении функции в Ь\ // Материалы Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2007. С. 24—27.

19. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688-700.

20. Захарова М. В. Минимум дискретной нормы для целых функций экспоненциального типа // Известия ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2007. Вып. 1. С. 5-16.

21. Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, №6. С. 934-939.

22. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 76-104.

23. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 92-111.

24. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

25. Крепн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // ДАН 1938. Т. 18, № 4-5. С. 245-249.

26. Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1979.

27. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

28. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978.

29. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

30. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math. Acad. Scient. Hungaricae. 1972. Т. 23, №3-4. P. 289-291.

31. Тайков Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // УМН. 1965. Т. 20, №3. С. 205-211.

32. Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of Rearrangement and Kolmogorov-Nagy Type Inequalities for Periodic Functions // Approx. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia. 2002. P. 24-53.

33. Gorbachev D.V., Zakharova M.V. Minimal discrete Lp-norms of entire functions of exponential type // In: Extremal problems in Approximation Theory and Function Theory: Proceedings of Russian-Chinese Workshop. Tula: Publ. House of TSU, 2006. P. 85-93.

34. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.