Некоторые бифуркационные задачи теории упругой устойчивости и математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Куликов, Анатолий Николаевич

• Куликов, Анатолий Николаевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Куликов, Анатолий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫЙ ПАНЕЛЬНЫЙ ФЛАТТЕР

§1.1. О возможности жесткого возбуждения колебаний

в случае близком к резонансу 1:1

§1.2. О периодических решениях в случае близком к резонансу 1:2

§1.3. К вопросу о существовании и устойчивости малых

периодических решений вблизи резонанса 1:3

§1.4. Пример краевой задачи, в которой реализуется резонанс 1:1

§1.5. К вопросу о возможности бифуркаций малых

периодических решений вблизи резонанса 1:2

§1.6. Пример краевой задачи, в которой реализуется внутренний резонанс 1:3

§1.7. Нелинейный панельный флаттер. Исследование

модельной задачи, предложенной В.В. Болотиным

§1.8. Задача о дивергенции крыла самолета

ГЛАВА 2. ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ СЦЕНАРИЯ ЛАНДАУ-ХОПФА ПЕРЕХОДА К ТУРБУЛЕНТНОСТИ

§2.1. О реализации сценария Ландау в одной из версий модели макроэкономики "мультипликатор-акселератор"

§2.2. О реализации сценария Ландау перехода к турбулентности

в некоторых задачах теории упругой устойчивости

ГЛАВА 3. КОМПЛЕКСНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ

§3.1. Локальные бифуркации плоских бегущих волн слабодиссипативного варианта

уравнения Гинзбурга-Ландау

§3.2. Об одной модификации слабодиссипативного

варианта уравнения Гинзбурга-Ландау

§3.3. Иные варианты слабодиссипативного

уравнения Гинзбурга-Ландау

§3.4. Особый случай для слабодиссипативного

комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау

§3.5. Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау

в вариационном случае

ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

КУРАМОТО-СИВАШИНСКОГО

§4.1. Локальные бифуркации периодической краевой задачи

для обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского

§4.2. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского с краевыми условиями, отличными от периодических

§4.3. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае

одной пространственной переменной. Локальные бифуркации в периодической краевой задаче

ГЛАВА 5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛУГРУППЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§5.1. Введение и постановка задачи

§5.2. Доказательство теоремы о существовании

инерциального многообразия

§5.3. Доказательство теоремы об устойчивости

инвариантного многообразия

§5.4. Комментарии и замечания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые бифуркационные задачи теории упругой устойчивости и математической физики»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В диссертации рассмотрен ряд бифуркационных задач для динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий): нелинейных абстрактных эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве, эволюционных уравнений с частными производными.

Изученные в диссертации задачи имеют актуальные приложения. Например, бифуркационные задачи из первой главы диссертации для достаточно широкого класса нелинейных абстрактных дифференциальных уравнений имеют, в первую очередь, приложения в теории упругой устойчивости. Этот класс дифференциальных уравнений, разрешимость задачи Коши которых была изучена в работах И. Сегала, С.Я. Якубова и др., включает в себя широкий ряд нелинейных эволюционных краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих колебания пластин в сверхзвуковом потоке газа.

Анализ явления флаттера крыла в потоке газа или жидкости был предложен М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым, Т. Теодорсеном и во многом послужил толчком к развитию теории несамосопряженных дифференциальных операторов. Во второй половине 20 века возник интерес к изучению колебаний пластин в сверхзвуковом потоке газа (панельный флаттер). Постановку многих таких задач можно найти в монографии В.В. Болотина 1. В ней отмечены причины, по которым анализ таких задач актуален в нелинейной постановке. При их анализе следует различать два случая. В первом из них предполагается, что коэффициент демпфирования - это величина порядка единицы. Во втором случае его считают малой величиной, интерпретируют как малый параметр.

С математической точки зрения первый вариант задачи приводит к необходимости распространения бифуркационной теоремы Андронова -Хопфа на соответствующий класс нелинейных эволюционных уравнений (см. работы Ю.С. Колесова, А.Н. Куликова, Дж. Марсдена, Ф. Холмса).

К иным бифуркационным задачам приводит второй вариант задачи о нелинейном флаттере. Случай малого демпфирования не является исключительным и достаточно типичен. Его актуальность отмечалась в ряде работ В.В. Болотина. Второй вариант постановки задачи приводит к необходимости анализа краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений с частными производными в ситуации, когда их линеаризованный вариант при равном нулю коэффициенте демпфирования имеет

1 Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит. 1961. 340 е.

счетный набор собственных частот колебаний, среди которых могут быть резонансные. Три из возможных и естественных бифуркационных задач рассмотрены в диссертации.

К математическому анализу флаттерных систем обращались многие математики и механики. В большинстве работ изучались конечномерные аналоги соответствующих краевых задач (см. работы В.В. Болотина, В.В. Веденеева, И.А. Кийко, А.Ю. Колесова, А.Н. Куликова, А.Д. Морозова, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова и др.). Иные, отличные от диссертационной работы, математические аспекты флаттерной тематики изучались в работах П.А. Вельмисова, Б.В. Логинова, Л. де Монвеля, И.Д. Чуешова.

В рамках темы диссертационной работы были затронуты и другие актуальные вопросы теории колебаний нелинейных систем с распределенными параметрами. Были предложены краевые задачи для нелинейных эволюционных уравнений с частными производными, в которых может быть реализован известный сценарий Ландау-Хопфа-Селла перехода к турбулентности. Один из таких примеров относится к теории упругой устойчивости. Актуальность построения такого сорта примеров обсуждалась во многих работах (см., например, обзорную статью 2).

К числу наиболее более известных уравнений математической физики можно отнести такие уравнения как уравнение Гинзбурга-Ландау (УГЛ), уравнение Курамото-Сивашинского (УКС), а также их различные модификации и обобщения. Так, например, некоторые из вариантов УКС используют при математическом моделировании процесса формирования неоднородного (волнового) рельефа на поверхности полупроводниковых материалов под воздействием ионной бомбардировки, т.е. для изучения технологического процесса, который используется в современной нано-электронике. Рассмотренные в диссертации версии УГЛ имеют приложения во многих разделах физики (нелинейной оптике, гидродинамике и др.). В диссертации рассмотрены версии этих уравнений, которые во многих случаях более естественны для приложений. Например, когда неизвестная функция зависит от времени и более чем одной пространственной переменной. Естественно, что такие версии УГЛ и УКС часто приводят к новым бифуркационным задачам теории бесконечномерных динамических систем, для которых характерны ситуации с высокой коразмерностью, вырожденностью, кратностью собственных решений.

Их анализ предполагает развитие методов анализа динамических систем, алгоритмической их части. Во многих случаях удачно выбранный алгоритм - это существенная часть при бифуркационном анализе беско-

2Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В.А. Математические аспекты развития турбулентности по Ландау // УМН. 2008. Т. 63. В.2. С. 21-81.

нечномерных динамических систем. Актуальность развития алгоритмической части особенно выпукло проявляет себя в приложениях.

Подчеркнем, что изучению динамики решений УГЛ и УКС уделялось и продолжалось уделять большое внимание. Достаточно вспомнить работы А.В. Гапонова-Грехова, Т.С. Ахромеевой, С.П. Курдюмова, Г.Г. Ма-линецкого, А.А. Самарского и др., в которых исследовались конечномерные приближения УГЛ, работы Р. Темама с соавторами, где был изучен вопрос о существовании глобальных аттракторов в двух краевых задачах для традиционной версии УКС. Бифуркационные задачи для УГЛ изучались в работах Ю.С.Колесова, А.Ю. Колесова, С.Д. Глызина, А.Н. Куликова, Н.Х. Розова. Актуальность изучения УГЛ проявляет себя и в том, что анализ нелинейных параболических уравнений с малой диффузией может быть сведен к изучению УГЛ (см., например, работы А.Б. Васильевой, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесова, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова).

Цель исследования. Цель работы состояла в развитии методов анализа локальных бифуркаций в динамических системах с бесконечномерным пространством начальных условий, теории нелинейных колебаний систем с распределенными параметрами, которые, в частности, позволили бы изучить новые содержательные задачи из теории упругой устойчивости (аэроупругости), математической физики. Такие методы предполагают единый подход при анализе локальной динамики, который позволяет исследовать одновременно следующий комплекс вопросов: о существовании бифурцирующих инвариантных (интегральных) многообразий, устойчивость в смысле нормы фазового пространства им принадлежащих решений, получать асимптотические формулы для таких решений.

Научная новизна. Основные результаты. Все результаты, представленные в диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно. Эти результаты в тексте диссертационной работы приведены в виде теорем и состоят в следующем.

1. Для широкого класса нелинейных эволюционных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве получены три теоремы о существовании, устойчивости и асимптотическом представлении малых по амплитуде периодических решений в ситуации характерной для бесконечномерных динамических систем, ряда задач теории упругой устойчивости. Основные особенности условий теории состоят в том, что спектр устойчивости линеаризованного в нуле дифференциального уравнения состоит из счетного набора собственных значений. При равном нулю коэффициенте демпфирования весь их счетный набор находится на мнимой оси ("бесконечномерное вырождение") и среди них есть две пары, находящиеся в резонансе. В основной теореме из §1.1 реализуется резонанс 1:1, в §1.2 -

резонанс 1:2 и, наконец, в §1.3 - резонанс 1:3.

Приведены примеры, анализ которых иллюстрирует содержательность выводов из результатов трех основных теорем для задач о нелинейном панельном флаттере.

2. Предложены три краевые задачи, в которых реализуется сценарий Ландау-Хопфа-Селла перехода к турбулентности, т.е. доказано наличие каскада бифуркаций инвариантных торов, размерность которых растет при возрастании (убывании) управляющего параметра.При этом притягивающим является тор наибольшей размерности.

3. Рассмотрена периодическая краевая задача для слабодиссипатив-ной версии УГЛ, для которой характерно наличие счетного набора решений типа плоских бегущих волн. Изучен вопрос об их устойчивости, а также вопрос о локальных бифуркациях при смене ими устойчивости. Данная задача рассмотрена в случае произвольного числа пространственных переменных. Полученные результаты позволяют выявить зависимость характера бифуркаций от числа пространственных переменных. В частности, показано, что докритические бифуркации инвариантных торов могут реализоваться, если число пространственных переменных больше двух.

Получен ряд результатов, относящихся к задачам о локальных бифуркациях бегущих волн для естественных с точки зрения физических приложений модификаций УГЛ.

4. Рассмотрены три краевые задачи для обобщенного УКС. В том числе рассмотрен вариант такого уравнения, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Доказаны теоремы о бифуркациях инвариантных многообразий при смене устойчивости пространственно однородным состоянием равновесия. Дан ответ об устойчивости пространственно неоднородных решений, принадлежащих инвариантным многообразиям. Получены асимптотические формулы для таких решений.

Методы исследований. В диссертационной работе были использованы такие методы качественной теории дифференциальных уравнений как

- метод интегральных (инвариантных) многообразий;

- аппарат теории нормальных форм;

- одна из версий метода Крылова-Боголюбова.

В диссертации эти методы развиты и применены к динамическим системам с бесконечномерным фазовым пространством.

Анализ бифуркационных задач опирался также на

- асимптотические методы анализа;

- некоторые разделы функционального анализа (например, аналити-

ческую теорию полугрупп, теорию возмущений линейных операторов);

- некоторые разделы теории дифференциальных операторов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней решены новые задачи для динамических систем с распределенными параметрами. Их анализ предполагал развитие метода качественной теории таких систем и, в частности, его алгоритмической части. Предложенные алгоритмы исследований рассмотренных бифуркационных задач позволяют получать ответы о характере бифуркаций в удобной для использования форме. Развитая методика анализа бесконечномерных динамических систем может и уже использовалась для иных классов дифференциальных уравнений, отличных от рассмотренных в диссертации. На базе применения подходов диссертационной работы были рассмотрены задачи для функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые имеют приложения в на-ноэлектронике, физике пограничных явлений (см. работы А.Н. Куликова, Д.А. Куликова, А.М. Ковалевой, А.В. Метлицкой, А.С. Рудого). Результаты анализа четвертой главы нашли свое применение в работах по моделированию некоторых технологических процессов. Часть таких результатов нашла свое отражение в коллективной монографии Ярославского филиала физико-технологического института РАН 3.

Результаты первой главы с математической точки зрения подтверждают гипотезу В.В. Болотина о том, что задача о нелинейном панельном флаттере принципиально нелинейная и явление флаттера может возникнуть при скоростях меньших "скорости флаттера" , определяемой из линейного анализа соответствующих краевых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод и результаты анализа бифуркационных задач для абстрактных нелинейных гиперболических уравнений и их приложений. Теоремы первой главы о существовании, устойчивости периодических решений. Алгоритм построения асимптотических формул для этих решений.

2. Метод и результаты анализа нелинейных эволюционных краевых задач, в которых возможна реализация сценария Ландау-Хопфа-Селла перехода к турбулентности. Теоремы второй главы о реализации каскада бифуркаций инвариантных торов, возрастающей размерности. Алгоритм построения асимптотических формул для решений, формирующих инвариантные торы.

3. Методы, результаты анализа окрестности бегущих волн у ряда версий УГЛ (обобщенного УГЛ). В частности, для слабодиссипативной вер-

3Кремниевые наноструктуры. Физика. Технология. Моделирование. Ярославль. Изд-во "Индиго". 2014. 559 с.

сии УГЛ с произвольным числом пространственных переменных. Алгоритм сведения задачи к конечномерной, построения асимптотических формул для решений, принадлежащих инвариантным многообразиям.

4. Метод и результаты исследований окрестности однородных состояний равновесия в краевых задачах для УКС. Теоремы о бифуркациях интегральных (инвариантных) многообразий, включающие алгоритмы построения асимптотических формул для решений, формирующих интегральные многообразия.

Апробация работы. В разные годы основные результаты диссертации были доложены на международных конференциях: "Дифференциальные уравнения и топология"(Москва, 2008); "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики"(Москва, 2009); "Современные проблемы математики и механики"(Москва, 2009); "Differential equations and related topics"(Москва, 2011); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2016); "Нелинейная динамика и ее приложения"(Ярославль, 2013); "Нелинейные методы в физике и ме-ханике"(Ярославль, 2015); "Третьи Курдюмовские чтения: синергетика в естественных науках"(Тверь, 2007); "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"(Москва, 2012); "Dynamical system modeling and stability investigation"(Киев, 2011); "Моделирование, управление и устойчивость МСБ-2012"(Севастополь, 2012); "Метод функций Ляпунова и ее приложения MFL-2014"(Севастополь, 2014); "Bogolubov readings DIFF-2013. Differential equations, theory of functions and their applications" (Севастополь, 2013); "Теория оболочек и мембран в механике и биологии: от микро- до наноразмерных структур"(Беларусь, 2013); "XII Белорусская математическая конференция"(Минск, 2016); "Second international conference new trends in the applications of differential equations in sciences" (София, 2015); "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций"(Казань, 2014); "Теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 2015); Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (Санкт-Петербург, 2008); "Mathematical modelling and analysis"(Тарту, 2016); "Проблемы математической физики и математическое моделирование"(Москва, 2016,2017); "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения УП"(Ростов-на-Дону, 2017).

На международных и российских математических школах и семинарах: "Хаотические автоколебания и образование структур"(Саратов, 2007); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (Воронеж, 2010, 2012); "Устойчивость и колебания нелинейных систем управ-

ления (X семинар им. Е.С. Пятницкого)"(Москва, 2008); "Колмогоров-ские чтения"(Ярославль, 2010,2012,2013); Крымская осенняя математическая школа (Ласпи-Балтиманн, 2012); Workshop in Nonlinear PDEs (Брюссель, 2015).

На Всероссийских конференциях и съездах: Научная сессия "НИЯУ МИФИ"(Москва,2014,2015); Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний- Новгород, 2006,2011; Казань, 2015); "Нелинейные колебания механических систем"(Нижний - Новгород, 2005, 2008, 2016); На конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 2001,2006,2016); "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2011).

Результаты докладывались на научном семинаре "Нелинейная динамика и синергетика" (руководители семинара: профессор С.А. Кащенко, профессор С.Д. Глызин), на научном семинаре в МГУ им. М.В. Ломоносова "Нелинейные динамические системы и процессы управле-руководители семинара: академик РАН С.В. Емельянов, академик

ния" РАН

С.К. Коровин ), на нижегородском научном семинаре "Математическое моделирование динамики систем процессов управления"(руководители семинара: профессор Д.В. Баландин, профессор Н.В. Дерендяев, профессор Г.В. Осипов).

Публикации. Результаты диссертации полностью опубликованы. Список основных публикаций приведен в конце автореферата и насчитывает 51 работу (без учета публикаций в материалах конференций и тезисов докладов). Из них 37 работ опубликованы в рецензируемых изданиях, входящих в список ВАК, базы Web of Sciences, Scopus.

Ни один из результатов совместных работ с Ю.С. Колесовым, А.Ю. Колесовым, Н.Х. Розовым не вошел в текст диссертации. Эти работы внесены в список работ по той причине, что часть результатов из них была использована при доказательстве утверждений из диссертационной работы. Остальные совместные публикации были, как правило, выполнены с аспирантами и студентами кафедры дифференциальных уравнений Яр-ГУ.

Объем и структура работы. Работа содержит 299 страниц печатного текста. Состоит из введения, пяти глав с результатами работы, заключения и списка литературы. Он содержит 178 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первых трех параграфах главы 1 рассмотрен достаточно широкий класс нелинейных автономных дифференциальных уравнений второго порядка в действительном сепарабельном гильбертовом пространстве H. В

этом пространстве будут изучаться некоторые бифуркационные задачи для уравнения

и + д0и + (Л2 + сВ)и = ¡'(и,и,с), (1)

зависящего от параметра с Е [0, с),д0 Е Я. Операторы, входящие в правую и левую части уравнения (1), удовлетворяют ряду ограничений, которые индуцированы видом уравнений теории упругой устойчивости. Эти ограничения сведены в серию предположений.

Предположение 1.Будем считать, что Л - замкнутый линейный оператор, область определения которого на плотна в Н, а линейный оператор В подчинен Л. Дополнительно, будем предполагать, что линейный оператор Л имеет своим обратным вполне непрерывный (компактный) оператор Л-1 .

Предположение 2. Линейный оператор %Л - производящий оператор группы класса (С0) в комплексном расширении Н (Н^).

Через на обозначено подпространство Н, состоящее из тех и Е Н, для которых определена норма \ \и\\А = ||Ли||. Аналогичным образом определено подпространство На2 .

Предположение 3.Нелинейный оператор /(и, V, с) действует из шара S(г) пространства на х на х Я в Н и имеет сильно непрерывную производную Фреше ¡'и(и^,с), сильно непрерывную Н - расширенную производную Фреше ¡V(и^,с). Эти производные удовлетворяют условию Липшица в шаре S(г). Считаем, что нелинейный оператор /(и, V, с) гладко зависит от параметра с в метрике пространства Н.

Предположение 4. Нелинейный оператор /(и^,с) имеет по совокупности переменных и^ в нуле порядок малости выше первого. В частности, при всех рассматриваемых с справедливы равенства

¡ (и^^)^^ = ¡4^^,0)^=0^=0 = ¡V ^^,0)^=0^=0 = 0.

Первые три предположения гарантируют локальную разрешимость задачи Коши, если для уравнения

и(0) = и0 Е НА2, и(0) = и0 Е на. (2)

Четвертое предположение дополняет первые три. Пусть Цщ||а2 < я. П^Ца < я, то задача Коши (1), (2) имеет единственное решение

и(г) Е С2((-Та,Та),Н) П С 1((-Та,Та),на) П С((-Та,Та),на2),

где Та ^ сю, если я ^ 0. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений. Метод последовательных приближений применялся к интегральному уравнению, заменяющему задачу Ко-

ши (разрешимость задачи Коши для данного класса дифференциальных уравнений была изучена в работах И. Сегала 4 и С.Я. Якубова 5).

Предположение 5.Будем считать, что /(и,у,е) = /2(и^,с) + /3(и,у,о), где /2(и^,с),/3(и^,с) - билинейный и трилинейный операторы по совокупности переменных и, V при всех рассматриваемых с. Будем предполагать, что они зависят от с аналитически в метрике пространства Н.

m0

В большинстве приложений fj (u, v,c) — ^ ^ fjm(u,v)cm, j — 1, 2.

m=0

Очень часто fjm = 0, m — 1, 2,..., то есть они от c не зависят. Наконец, 0 < g0 << 1.

Выше приведены общие предположения для всех трех первых параграфов данной главы. В каждом из них приведены дополнительные предположения, характерные для данного параграфа и индуцированные рассматриваемой там бифуркационной задачей.

В §1.1 будем предполагать, что линейный оператор A2 + cB при c — ci (A0 — A2 + c\B) имеет положительные простые собственные числа а2> < аз < а4 < .... Им соответствуют собственные элементы в2,вз. Собственное число а\ двукратно и 0 < а\ < а2. Ему соответствует собственный элемент в1 и присоединенный в0 : А0в1 — а2в1, А0в0 — а2в0 + в1. Через AQ обозначим сопряженный к А0 линейный оператор, а через hj его собственные элементы, отвечающие a2(j — 2,3,...). При j — 1 выполнены равенства AQh0 — a2h0,ÄQh 1 — а2h 1 + h0. Будем также предполагать, что системы элементов {в0, в 1, в2,...} , {h0, h 1, h2,...} формируют биортогональные базисы (базисы Рисса-Бари). В частности, (вj, hk) — ökj, где ökj - символ Кронекера Дополнительно считаем, что ak — 2а1, am — 3а1, \ak — am ± а1\ > а0, где k,m — 2,3,..., a а0 - положительная постоянная.

В §1.1 будем считать, что c — c1 + ae2, g0 — 2eg, a,g G R, g > 0, £ e (0,e0). Приведенные выше предположения и нормировки параметров c и g0 позволили переписать уравнение (1) в удобном виде для анализа

U + 2geU + A0u + e2aBu — ( ,

— F2(u, u) + F3(u, u) + e2(B'i(u, u, e2) + B3(u, u, e2)). ( )

Линейный оператор B подчинен линейному оператору A и, следователь-

4Segal I. Nonlinear semigroups // Ann.of Mathematics. 1963. V.78. №2. P.339-364.

5Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Тр. ММО. 1970. Т. 23. С. 37-60.

но, Л0. Наконец,

Рс2 (и, щ) = ¡2(и,и ,с{), Гз(и,и) = ¡з(и,и ,с1), ¡2 (и, и ,с) = Г2(й,й) + г1В'2(й,йь ,£2), ¡з(й,й ,с) = Гз(й,й) + £2Вз(й,й ,£2).

Через В2(и, й, £2), В3(и, й, е2) обозначены билинейный и трилинейный операторы, которые гладко зависят от е2. Фазовым пространством решений уравнения (3) будем называть пространство начальных условий (2), при которых задача Коши локально разрешима.

Приведем в сокращенной форме основной результат §1.1. В §1.1 приведен алгоритм, который позволяет вопрос о "приближенных" периодических решениях уравнения (3) свести к укороченной нормальной форме

+ 2дх1 + (д2 + а^ - (ъ + г^х^2 = 0. (4)

Здесь х1 = х1(в) - комплекснозначная функция, й = еЬ - "медленное" время, коэффициенты а1,^ъ,1& Е Я и определяются в процессе реализации алгоритма построения уравнения (4) в п.1.2 из §1.1. Уравнение (4) имеет периодические решения вида х1(в) = п ехр(1шв), п > 0, ш Е Я, где его параметры удовлетворяют системе алгебраических уравнений -ш2 + Ь - 75п2 = 0, 2дш - = 0, Ь = д2 + а1. Если ^ъ = 0,ч6 = 0, тогда для определения положительных п получаем биквадратное уравнение

Р1(п2) = 0, Рх{£) = ут£2 + - Ь, ш = п21б/(2д). где 77 = (ъ/(2д))2,£ = П2. Пусть квадратное уравнение (£) = 0 имеет простой положительный корень £ = £*. Соответствующее ему периодическое решение обозначим х1*(й). Положим в = Р{(£*). Ясно, что в = 0.

Теорема 1.1.Пусть в < 0. Тогда периодическое решение х1*(й) устойчиво (орбитально асимптотически устойчиво). Если в > 0, то оно неустойчиво.

Если = 0, то ш = 0 и п находим как решение уравнения Р2(п2) =

ъп2 - Ь = 0.

Теорема 1.2. Пусть Ь^ъ > 0(7б = 0). Тогда у уравнения (4) существует одномерное инвариантное многообразие (окружность), состоящее из состояний равновесия

хи = п* ехр(гН), п* = Ь/чъ,Ь Е Я.

Это многообразие устойчиво, если Ь < 0 и неустойчиво при Ь > 0. Основной результат §1.1 сформулирован ниже.

Теорема 1.3. Существует е0 > 0, что при всех е Е (0,е0) периодическому решению х1*(й) уравнения (4), отвечающему простому положительному корню п* уравнения Р1(п2) = 0, соответствует периодическое решение уравнения (3) с наследованием устойчивости. Для него

справедливо асимптотическое представление

и(1, е) = ец*[ехр(;(а1 + еш*)1) + ехр(-;(а1 + еш*)1)]в1 + +£2[-21п*&1 (д + ;ш*) ехр(;(а1 + еш*)1) + +2;п*а\(д - ;ш*) ехр(-;(а1 + еш*)1)]во+ +е2г*[р2 ехр(2;(а\ + ш*е)1) + ро + р2 ехр(-2;(а1 + ш*е)^} + о(е2).

Элементы р2,р2,р0 были определены в процессе реализации алгоритма построения нормальной формы (ш* = гЦ1&/2д).

Эта теорема сформулирована для общего случая 76 = 0. Если 76 = 0, то фразу "периодическому решению" заменить на "состоянию равновесия" (ш* = 0). Уравнение Р\(п2) = 0 следует заменить на уравнение Р2(п2) = 0. Уравнение Р2(п2) = 0 может иметь только простой положительный корень, если, конечно, таковой существует.

Отметим, что в ситуации общего положения = 0), если уравне-

ние Р\(п2) имеет только один положительный корень, то соответствующее ему периодическое решение неустойчиво. Если уравнение Р\(т!2) имеет два положительных корня, то им, конечно, соответствуют два периодических решения основного уравнения. Одно из которых устойчиво, а второе неустойчиво. Ситуация, когда в окрестности нулевого решения уравнения (3) существует неустойчивое периодическое решение достаточно типична. Прикладные аспекты этого обстоятельства достаточно подробно обсуждены во введении к первой главе, а также в §1.4. В частности, наличие неустойчивого периодического решения в достаточно малой окрестности нулевого решения может привести к возникновению незатухающих колебаний при скоростях близких к с\, то есть скоростях потока, при которых нулевое решение остается еще устойчивым. Возможна ситуация, когда кроме неустойчивого периодического решения существует и устойчивое. Тогда возможны незатухающие колебания, близкие к гармоническим с частотой близкой к а\. В таком случае разрушение пластинки носит "усталостный" характер. Более подробно об этом речь будет идти в §1.4. При этом скорость с = с\ (с & с\) меньше скорости флаттера с0, которая определяется из анализа соответствующих линейных краевых задач.

В §1.2 рассматривается дифференциальное уравнение (1) при иных предположениях, которые относятся к линейному оператору А2 + сВ и приведены ниже.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куликов, Анатолий Николаевич, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985. Т.1. 437 с.

2. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. М.: Наука, 1985. Т.2. 567 с.

3. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Издательство Физматлит, 1961. 340с.

4. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 724с.

5. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 318с.

6. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: институт компьютерных исследований, 2002. 560с.

7. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 254с.

8. Holmes P.J. Bifurcation to divergence and flutter in flow induced oscillations: a finite dimensional analysis //J. Sound Vibration. 1978. V. 53, №3. P.471-503.

9. Holmes P.J.,Marsden J. E. Bifurcation to divergence and flutter in flow-induced oscillations: an infinite-dimensional analysis // Automatica. 1978. V.14. №3. P. 367-384.

10. Paidoussis M.P., Issid N. T. Dynamic stability of pipes conveying fluid // Journal of Sound and Vibration. 1974. V.33. №3. P. 267-294.

11. Holmes P.J., Marsden J. E. Bifurcation of dynamical systems and nonlinear oscillations in engineering systems // Nonlinear partial differential equation and application. Lectures Notes in Mathematics. №648 Berlin: Springer 1978. P. 163-206.

12. Кийко И.А. Флаттер вязкоупругой пластины // Прикладная математика и механика. 1996. Т.60. Вып.1. С.172-175.

13. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости деформируемых элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. Ульяновск: УлГ-ТУ, 2013. 322с.

14. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Устойчивость решений начально-краевой задачи аэрогидроупругости // СМФН. 2016. Т. 59. С. 35-52.

15. Веденеев В.В. Нелинейный вычислительный флаттер пластины // Механика жидкости и газа. 2007. №. 5. C.198-209.

16. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch. Nonlinear panel flutter in remote post-critical domains // J. Non-Linear Mechanics. 1998. V. 98. №5. P.753-764.

17. Монвель Л., Чуешов И.Д. О колебаниях кармановской пластины в потенциальном потоке газа // Изв. РАН: сер. матем. 1999. Т.63.№2. C. 3-28.

18. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений при больших сверхзвуковых скоростях // Прикладная математика и механика. 1956. Т.20. №6. C.733-755.

19. Hayes W.D. On the hypersonic similitude // Quart. Appl. Math. 1947. V. 5. №1. P. 105-106.

20. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз., 1959. 220 с.

21. Lighthill M.J. Oscillating airfoils at high Mach number // Journal Aeronaut Sci. 1953. V.20. №6. P. 402-406.

22. Куликов А.Н., Либерман Б.Д. О новом подходе к исследованию задач нелинейного панельного флаттера // Вестник ЯрГУ. 1975. Вып. 13. С.118-139.

23. Куликов А.Н. Исследование некоторых классов уравнений гиперболического типа, встречающихся в теории упругой устойчивости и радиофизике // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. Наук. Ростов-на-Дону. 1977. 153с.

24. Колесов В.С., Колесов Ю.С., Куликов А.Н., Федик И.И. Об одной математической задаче теории упругой устойчивости // Прикладная математика и механика. 1978. Т.42. №3. C.458-465.

25. Куликов А.Н. Ненулевые состояния равновесия одной краевой задачи, моделируемой явления дивергенции крыла в сверхзвуковом потоке газа // Моделирование и анализ информационных систем. 1997. Вып.4. С.69-72.

26. Куликов А.Н. О состояниях равновесия одной нелинейной краевой задачи с неклассическими краевыми условиями // Моделирование и анализ информационных систем. 1998. Вып. 5. С.41-46.

27. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Прикладная математика и механика. 1957. Т.21. №2. С.231-243.

28. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний при малом коэффициенте демпфирования в сверхзвуковом потоке газа // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73. В.2. С.271-281.

29. Kulikov A.N. Resonance of proper frequencies 1:2 as a reason for hard excitation of oscillations for the plate in ultrasonic gas // Тр. международного конгресса ENOC-2008. Saint-Petersburg. 2008. P.1638-1643.

30. Куликов А.Н. Резонанс 1:3 - одна из возможных причин нелинейного панельного флаттера // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т.57. В 7. С.1266-1279.

31. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1959. 526 с.

32. Гохберг И.И., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 448с.

33. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого возбуждения колебаний// Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. №6. С.1080-1082.

34. Куликов А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теоремы Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. №5. С.780-785.

35. Куликов А.Н. Жесткое возбуждение колебаний характерно для флаттера при малом коэффициенте демпфирования // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. Т.29. №11. C. 131-134.

36. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер. Резонанс собственных частот - одна из возможных причин жесткого возбуждения колебаний // Вестник Нижегородского ун-та. 2011. Т.4. №2. С.193-194.

37. Бекбулатова (Толбей) А.О., Куликов А.Н. Резонанс 1:2 как источник жесткого возбуждения колебаний // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2002. №5. С.22-27.

38. Куликов А.Н. Альтернативный вариант объяснения причины жесткого возбуждения колебаний в задаче о нелинейном панельном флаттере // Механика машин, механизмов и материалов. Спецвыпуск. 2013. №4(25). С.51-56.

39. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер. Резонанс 1:3 как одна из причин жесткого возбуждения колебаний // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г.Крейна. 2010. С.111-119.

40. Куликов А.Н. Аттракторы нелинейной краевой задачи, встречающийся в теории аэроупругости // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. №22. С. 1-5.

41. Куликов А.Н., Пилипенко Г.В. Резонанс собственных частот в задаче о флаттере пластины в сверхзвуковом потоке газа // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т.18. №1. С.56-67.

42. Куликов А.Н. Резонансная динамика, как причина жесткого возбуждения колебаний в некоторых задачах упругой устойчивости // Динамические системы. 2013. Т.3(31). №1-2. С.49-68.

43. Куликов А.Н. Бифуркации малых периодических решений в случае близком к резонансу 1:2 для одного класса нелинейных эволюционных уравнений // Динамические системы. 2012. Т.2(30). №3-4. С.241-258.

44. Толбей А.О. Линейный и нелинейный анализ некоторых задач теории аэроупругости при малом коэффициенте демпфирования. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ-мат. наук. Ярославль 2008, 110с.

45. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критического положения равновесия. Пущино, 1985. 218с.

46. Марсден Дж., Мак - Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368с.

47. Колесов Ю.С., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Резонансная динамика нелинейных флаттерных систем //Тр. МиАН. 2008. Т.261. С.154-175.

48. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1977. 464с.

49. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Тр. ММО. 1970. Т. 23. С. 37-60.

50. Segal I. Nonlinear semigroups // Ann.of Mathematics. 1963. V.78. №2. P.339-364.

51. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса нелинейных эволюционных уравнений // Математический сборник. Т.206 №6. С.47-92.

52. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740с.

53. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: принцип кольца // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39. №5. C.584-601.

54. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса отображений: сохранение тора при возмущениях // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39. №6. C.738-753.

55. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. университета им. П.Г. Демидова, 2003. 107с.

56. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейного волновых уравнения. М.: Физматлит., 2004. 405 с.

57. Куликов А.Н. О бифуркациях инвариантных торов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Межвузовский математический сборник. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. университета. 1983. С.112-117.

58. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоколебательные процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит., 2005. 430с.

59. Колесов Ю.С. Метод квазинормальных форм в задачах об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Украинский математический журнал. 1987. Т.39. №1. С.27-34.

60. Кащенко С.А. О квазинормальных формах уравнений с малой диффузией // ДАН. СССР. 1988. Т.299. №5. C.1049-1053.

61. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука., 1968. 575 с.

62. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека. М.: Наука, 1972. 544 с.

63. Куликов А.Н. Интегральные многообразия гиперболических уравнений в случае, близком к критическому одной пары чистых мнимых корней // Вестник Ярославского ун-та. 1975. В.13. С.94-117.

64. Куликов А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве // Исследование по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ.1976. С. 114129.

65. Куликов А.Н. Инерционные многообразия нелинейных автономных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Препринт №85 за 1991 г. Института прикладной математики им. М.В. Келдыша АНССР. 22с.

66. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АНССР. Серия математ. 1964. Т.28. C.911-924.

67. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1986. 300 с.

68. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука,1968.530 с.

69. Ландау Л.Д. К проблемам турбулентности //ДАН СССР. 1944. Т.44. №8. С.339-342.

70. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure and Appl.Math. 1948. V.1. Р.303-322.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 733 с.

72. Sell G.R. Resonance and bifurcations in Hopf-Landau dynamical systems // Nonlinear Dynamics and turbulence. London. Pitman Books. 1983, P.305-315.

73. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Многоликий хаос. М.: Физматлит., 2012. 452 с.

74. Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В.А. Математические аспекты теории развития турбулентности по Ландау // УМН. 2008. Т.63. №2. С.21-84.

75. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск. Издательский дом Удмуртский университет. 2000. 200с.

76. Занг В.Б. Синергетическая экономика. М.: Мир, 1999. 335с.

77. Hicks J.R. A Contribution to the theory of Trade Cycle. Oxford: Oxford University Press, 1950. P.37-43.

78. Harrod R.F. Towards a dynamic economics : some recent developments of economic theory and their application to policy. London : Macmillan, 1948. 169 p.

79. Косарева Е.С., Куликов А.Н. Об одной нелинейной краевой задаче, моделирующей экономические циклы // Моделирование и анализ информационных систем. 2003. Т.10. №2. С.18-21.

80. Коршунова Е.В., Куликов А.Н. Пространственные неоднородные инвариантные торы в модели мультипликатор - акселератор // Моделирование и анализ информационных систем. 2008. Т.15. №15. С.45-51.

81. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Развитие турбулентности по Ландау в модели мультипликатор - акселератор // ДАН. 2008. Т.42. №6. С.739-743.

82. Куликов А.Н. Аттракторы двух краевых задач для модифицированного телеграфного уравнения // Нелинейная динамика. 2008. Т.4. №1. С.56-67.

83. Кокуйкин Е.С., Куликов А.Н. Циклы и торы деловой активности в одной математической модели макроэкономики // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16. №4. C. 86-95.

84. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инженерный сборник. 1951. Т.10. C.169-206.

85. Куликов А.Н. Турбулентность Ландау в задаче о флаттере трубы // Тезисы докладов Х международного семинара им. Е.С. Пятницкого. Москва. 2008. С.156-158.

86. Куликов А.Н. Возможность реализации сценария Ландау перехода к турбулентности в задаче о нелинейных колебаниях трубы, транспортирующей жидкость // Нелинейные колебания механических систем. Труды VIII Всероссийской конференции. Н.-Новгород. 2008. Т.2. С.378-380.

87. Куликов А.Н. О возможности реализации сценария Ландау-Хопфа перехода к турбулентности в двух задачах теории упругой устойчивости // Дифференциальные уравнения (Хроника семинара по проблемам нелинейной динамики и управлению при МГУ им. М.В. Ломоносова ). 2011. Т.47. №2. С.296-298.

88. Куликов А.Н. О реализации сценария Ландау-Хопфа перехода к турбулентности в некоторых задачах теории упругой устойчивости // Дифференциальные уравнения. 2012. Т.48. №9. С.1278-1291.

89. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркаций рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280с.

90. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Тр.ММО. 1967. Т.10. C. 297-350.

91. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: Проходы, результаты, надежды. М.: КомКнига, 2006. 280с.

92. Paidoussis M.P., Issid V.T. Dynamics of flexible slender cylinder in axial flow // Journal of fluid МесЬ. 1966. №26. P.717-736.

93. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. 1950. Т.20. C.1064.

94. Абрикосов А.А. // ЖЭТФ. 1957. Т.32. C.1442.

95. Одех Ф. Задача о бифуркациях в теории сверхпроводимости //Сб. статей под редакцией Келлера Дж.Б. и Айтмана С.М.: М.:Мир, 1974. С.63-70.

96. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит., 2001. 296 с.

97. Карлов Н.В, Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит., 2003. 496 с.

98. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос. Основные понятия. М.: КомКнига, 2006. 240 с.

99. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физмалит., 2005. 288 с.

100. Kuramoto Y., Tsusuki T. Reductive perturbation approach to chemical instabilities // Progr. Theor. Phys. 1974. V.52. P.1399-1401.

101. Kuramoto Y., Tsusuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys. 1975. V. 54. P.687-699.

102. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Berlin: Springer, 1984. 156 p.

103. Кащенко С.А. Основные квазинормальные формы для двухкомпо-нентных систем параболических уравнений // Модел. и анализ информационных систем. 2011. Т.18. No 3. C.12-20.

104. Гапонов-Грехов А.С., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С.7-44.

105. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.Г., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука., 1992. 544 c.

106. Белан Е.П., Плышевская С. П. Метаустойчивые структуры скалярного уравнения Гинзбурга-Ландау // Динамические системы. 2014. Т.4 (32). №1-2. C. 27-42.

107. Kulikov A.N., Kulikov D.A. Local bifurcations of running waves of weakly dissipative versions of Ginzburg-Landau equation and its generalization // Journal of Mathematical Sciences. 2013. V. 188. №3. P. 273283.

108. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Бифуркация автоколебаний сингулярно возмущенного волнового уравнения // ДАН СССР. 1990. Т.315. №2. С.281-284.

109. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний в двух сингулярно возмущенных нелинейных краевых задачах гиперболического типа // Математика в Ярославском университете. Сборник обзорных статей к 25-летию математического факультета. Ярославль.2001. С.183-194.

110. Куликов А.Н. К вопросу о бифуркации автоколебаний для сингулярно возмущенной краевой задачи гиперболического типа // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. №5. С.74-76.

111. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит., 1995. 328 с.

112. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений. М.: Наука. Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1998. 191 с.

113. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. 404 с.

114. Kulikov A.N., Rudy A.S. States of equilibrium of condensed matter within Ginzburg - Landau - model // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. V. 15. P. 75-85.

115. Kulikov A. Bifurcation d' Andronov-Hopf et Systems d'Equation aux derivees partielles singulieres de type parabolique // Caher Mathematiques. 1988. Fasc. 1. P. 57-60.

116. Куликов А.Н. Анализ условий устойчивости бегущих волн // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль. 1985. С.103-107.

117. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Цилиндрические бегущие волны обобщенного кубического уравнения Шредингера // ДАН. 2006. В.73. №1. С.125-129.

118. Куликов Д.А. Бифуркация плоских волн обобщенного кубического уравнения Шредингера в цилиндрической области // Моделирования и анализ информационных систем. 2006. Т.13. №1. С.20-26.

119. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Бифуркация автоволн обобщенного уравнения Шредингера в случае трех независимых переменных // Вестник Удмуртского ун-та. 2008. Вып.3. С.23-34.

120. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Локальные бифуркации плоских бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредингера // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46.№9. С.1290-1299.

121. Bartuccelli M., Constantin P., Doering Ch.R., Gibbon J.D., Gisselfalt M. On the possibility of soft and hard turbulence in the complex Ginzburg-Landau equation // Physica D. 1990. V. 44. P. 421-444.

122. Scheuer J., Malomed B.A. Stable and chaotic solutions of the complex Ginsburg-Landau equation with periodic boundary conditions // Physica D. 2002. V.1. P. 102-115.

123. Deissler R. J. Turbulent birth, spots and sludge in a generalized Ginzburg-Landau equation // Physics letters A. 1987. V. 120. №7. P. 334-340.

124. Котиков А.Э., Куликов А.Н. Бифуркация бегущих волн видоизмененного уравнения Гинзбурга-Ландау // Моделирование и анализ информационных систем. 2008. Т.15. №1. С.10-15.

125. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Послекритические и докритические бифуркации бегущих волн модифицированного уравнения Гинзбурга-Ландау // Вестник Удмуртского ун-та. 2009. В.4. С.71-78.

126. Aronson I.S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Reviews of modern physics. 2002. V. 74. P. 99-143.

127. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций.Москва-Ленинград: ОГИЗ (Государственное издательство технико - теоретической литературы),1948. 291 c.

128. Куликов А.Н. Применение амплитудного метода Колесова к задаче о диффузионной неустойчивости // Дифференциальные уравнения и их применение. Сборник трудов института математики и кибернетики Академии наук Литовской ССР. 1981. Выпуск 29. С.51-66.

129. Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний.Ярославль.: ЯрГУ. С.3-40.

130. Sivashinsky G.I. Weak turbulence in periodic flow // Physica D. 1985. V. 17. №2. P. 243-255.

131. Sigmund P. Theory of sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets // Phys. Re. 1969. V. 184. №2. P. 383-416.

132. Sigmund P. A mechanism of surface micro-roughening by ion bombardment // J.Mater. Sci. 1973. V. 8. P. 1545-1553.

133. Bradley R., Harper J. Theory of ripple topography induced by ion bombardment // J.Vac. Sci. Technol. A. 1988. V. 6. №4. P. 2390-2395.

134. Рудый А.С., Куликов А.Н., Метлицкая А.В. Самоорганизация наноструктур в рамках пространственно-нелокальной модели эрозии поверхности кремния ионной бомбардировкой. Глава 1 в монографии "Кремниевые наноструктуры". Физика. Технология. Моделирование. Ярославль. Изд-во Индиго, 2014. 560 с.

135. Рудый А., Метлицкая А., Куликов А., Куликов Д. Самоорганизация наноструктур при ионном распылении полупроводников полупроводников. Saarbruken: Lap Lambert Academic Publ. 2015, 87 с.

136. Кудряшов Н.А, Рябов П.Н., Стриханов М.Н. Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Ядерная физика и инжиниринг. 2010. Т.1. №2. С.151-158.

137. Кудряшов Н.А, Рябов П.Н., Федянин Т.Е. Особенности самоорганизации наноструктур на поверхности полупроводников при ионной бомбардировке // Математическое моделирование. 2012. Т.24. №12. С.23-28.

138. Емельянов В.И. Дефектно-деформационная неустойчивость как универсальный механизм образования решеток и ансамблей наноточек при действии ионных и лазерных пучков на твердые тела // Известия РАН. Серия Физическая. 2010. Т.74. №2. С.124-130.

139. Emel'yanov V.I. The Kuramoto-Sivashinsky equation for the defect-deformation. Instability of a surface-stressed nanolayer // Laser Physics. 2009. Vol. 19. №3. P. 538-543.

140. Куликов А.Н, Куликов Д.А. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т.52. №5. С.930-945.

141. Куликов А.Н, Куликов Д.А., Рудый А.С. Бифуркации наноструктур под воздействием ионной бомбардировки // Вестник Удмуртского университета. 2011. Вып.4. С.86-99.

142. Метлицкая А.В., Куликов А.Н., Рудый А.С. Механизм формирования волнового нанорельефа при эрозии поверхности ионной бомбардировки в рамках модели Бредли-Харпера // Микроэлектроника. 2013. Т.42. №4. С.298-305.

143. Бабаков И.М. Теория колебаний.М.: Наука. 1968, 559 c.

144. Куликов А.Н, Куликов Д.А. Бифуркации в одной краевой задаче наноэлектроники // Проблемы мат. анализа. 2015. В.80. С.61-69.

145. Kulikov A.N., Kulikov D.A. Bifurcation in a boundary-value problem of nanoelectronics // Journal of Mathematical Sciences. 2015. V. 208. №2. P.211-221.

146. Sivashinsky G.I. Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames. Derivation of basic equation // Acta Astronautica. 1977. V. 4. P. 1177-1206. P. 1177-1206.

147. Kawahara T., Takaoka M. Chaotic behaviour of solutions lattice in an unstable dissipative-dispersive nonlinear system // Physica D. 1989. V. 39. P. 4095-4099.

148. Xie Yuan-Xi New explicit and exact solutions of the Benney-Kawahara-Lin equation // Chinese Physics. B. 2009. V. 18. №10. P. 4094-4099.

149. Hunter J.K., Sheurle J. Existence of perturbed solitary wave solutions to a model equation for water waves // Physica D. 1988. V. 32. P. 253-268.

150. Porubov A.V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convecting fluid //J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V.26. P. 797-800.

151. Порубов А.В. Локализация нелинейных волн деформации. М.: Физ-матлит. 2009, 208 c.

152. Kulikov A., Kulikov D. Bifurcaion in Kuramoto-Sivashinsky equation // Pliska Studia Mathematica. 2015. V. 25. P. 101-110.

153. Куликов А.Н, Куликов Д.А. Бифуркации пространственно неоднородных решений в двух краевых задачах для обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского. // Вестник национального исследовательского ядерного ун-та "МИФИ". 2014. Т.3. №4. С. 408-415.

154. Куликов А.Н, Куликов Д.А. Об одной краевой задаче для уравнения Курамото-Сивашинского // Труды XI международных Колмогоров-ских чтений. Ярославль. 2013. С.89-93.

155. Devaney R.L. An introduction to chaotic dynamical systems. Addison-Wesley Publ. Inc., 1989. 360 p.

156. Рудый А.С., Куликов А.Н., Метлицкая А.В. Моделирование процессов формирования наноструктур при распылении ионной бомбардировкой // Микроэлектроника. 2011. Т.40. №2. С.109-118.

157. Рудый А.С., Куликов А.Н., Метлицкая А.В., Куликов Д.А. Высоко-модовые волновые рельефы в рамках пространственно-нелокальной модели эрозии // Микроэлектроника. 2014. Т.43. №4. С.282-288.

158. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Нелокальная модель формирования рельефа под воздействием потока ионов. Неоднородные наноструктуры // Математическое моделирование. 2016. Т. 28. №3. C. 33-50.

159. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970, 720 c.

160. Kulikov A.N., Kulikov D.A. Spatially Inhomogeneous Solutions for a Modified Kuramoto - Sivashinsky Equation // Journal of Mathematical Sciences. 2016. V. 219. №2. P.173-183.

161. Куликов А.Н. Применение метода инвариантных многообразий в локальных задачах устойчивости и теории колебаний // Учебное пособие. Изд-во ЯрГУ. Ярославль, 1983. 75 c.

162. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Наука, 1962. 829 c.

163. Zabczyk J. A note on C0 - semigroups // Bulletin de l'Academie des Sciences. Serie des sciences, astr. et physics. 1975. V. 23. №8. P. 895-898.

164. Slemrod Marshall. Asymptotic behavior of Co semigroups as determined by the Spectrum of the Generator // Indiana University Mathematical Journal. 1976. V. 25. №8. P. 783-792.

165. Foias G., Sell G.R., Temam R. Inertial Manifolds for Nonlinear Evolutionary Equations // Journal of Differential Equations. 1988. V. 73. P. 309-388.

166. Babin A.V., Vishik M.M. Regular attractor of semigroups and evolutionary equation // J.Math. Pures and Appl. 1983. V. 62. P. 441-491.

167. Бабин А.В., Вишик М.М. Аттракторы полугрупп, соответствующих дифференциальным уравнениям // Математический сборник.1985. Т.126 (168). №3. С.319-419.

168. Бабин А.В., Вишик М.М. Неустойчивые инвариантные множества полугрупп нелинейных операторов и их возмущения // Успехи математических наук. 1986. Т.41. Вып.4 (250). С.3-34.

169. Haragus M., Iooss G. Local bifurcation, center manifolds and normal forms in infinite dimensional dynamical systems. Springer. 2011, 329 p.

170. Hartman P. On local homeomorphisms of Euclidean spaces // Bol. Soc. Math. Mexicana. 1960. V.5. P. 220-241.

171. Sternberg S. Local contractions and a theorem of Poincare // Amer. Jour. of Math. 1957. V. 79. №4. P. 809-824.

172. Афраймович Е.С., Гаврилов Н.К., Лукьянов В.И., Шильников Л.П. Основные бифуркации динамических систем. Учебное пособие Горький. Изд. Горьковского университета. 1985. 92 c.

173. Неймарк Ю.И., Коган В.П., Гуртовник А.С. О гладкости по переменным и параметру инвариантных поверхностей точечных отображений в банаховом пространстве // Динамика систем. Горький. 1978. Вып.14. С.115-142.

174. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука. 1988, 256 c.

175. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифур-кации.Ленинград.: Издательство ЛГУ, 1991. 144 c.

176. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Изд-во: Меркурий-Пресс, 2000. 386 c.

177. Куликов А.Н. Одно замечание о свойствах двумерных инвариантных многообразий // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль : Изд-во ЯРГУ.1978. С.78-80.

178. Куликов А.Н. К вопросу о единственности инвариантного многообразия в критическом случае // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль : Изд-во ЯРГУ. 1979. С.81-85.