Неизотермические течения реологически сложных жидкостей в каналах переменного сечения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Рыльцева Кира Евгеньевна

• Рыльцева Кира Евгеньевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Рыльцева Кира Евгеньевна

Введение

1 Течения вязкой жидкости в каналах со скачком сечения

1.1 Ньютоновская жидкость

1.2 Неньютоновская жидкость

2 Методика расчета неизотермических течений неньютоновских жидкостей в канале с внезапным сужением

2.1 Постановка задачи

2.1.1 Основные уравнения

2.1.2 Граничные условия

2.2 Метод расчета

2.2.1 Метод установления

2.2.2 Схема продольно-поперечной прогонки

2.2.3 Численная реализация граничных условий

2.2.4 Метод решения разностных уравнений

2.2.5 Общий порядок расчета

2.3 Расчет местных гидравлических потерь напора

2.4 Верификация расчетного метода и тестирование регуляризации реологических моделей

3 Результаты расчетов изотермических течений жидкости в канале с внезапным сужением

3.1 Ньютоновская жидкость

3.2 Степенная жидкость

3.3 Вязкопластичная жидкость

3.4 Резюме главы

4 Результаты расчетов неизотермических течений жидкости в канале с внезапным сужением

4.1 Ньютоновская жидкость

4.2 Степенная жидкость

4.3 Вязкопластичная жидкость

4.4 Резюме главы

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неизотермические течения реологически сложных жидкостей в каналах переменного сечения»

Введение

Актуальность темы исследования. Важнейшим элементом любой технической гидросистемы является трубопровод, который включает в себя различные функциональные элементы, а именно механизмы для управления потоком (краны, затворы, клапаны) и устройства для коммутации (штуцеры, крестовины, переходники (редукция)). Наличие перечисленных деталей часто приводит к формированию скачка сечения - участка резкого изменения площади проходного сечения в меньшую (сужение) или в большую (расширение) сторону [1]. Течения вязкой жидкости через подобные конструктивные элементы встречаются во многих технических приложениях нефтегазовой, ракетно-космической, химической, пищевой промышленности и металлургии. В этих и других отраслях крайне важно, чтобы в ходе технологических процессов транспортировка материалов в жидком состоянии осуществлялась в заданном режиме при определенных условиях и с известным значением энергетических затрат. В трубопроводах простой геометрии без дополнительных конструктивных элементов потери энергии определяются трением жидкости [2]. Использование конструктивных элементов различного назначения, в том числе сужения и расширения, приводит к дополнительным потерям энергии за счет вынужденной перестройки потока при развитии соответствующей картины течения [3,4]. Для организации требуемого режима и создания условий течения с целью обеспечения эффективной транспортировки среды необходимы данные о влиянии геометрических особенностей трубопровода на формирование структуры потока, кинематические и динамические характеристики течения. Получение указанных данных возможно в ходе лабораторного эксперимента, а также посредством численного моделирования процесса.

В литературе достаточно полно представлена информация о гидравлических сопротивлениях различных конструктивных элементов для ламинарных и турбулентных течений ньютоновской жидкости, например, в [5,6]. Для неньютоновских жидкостей подобная информация о местных гидравлических

сопротивлениях весьма ограничена. Авторы экспериментальных работ представляют результаты исследований преимущественно для конкретных материалов при варьировании свойств жидкой среды и геометрических параметров области течения в узких диапазонах [7-9]. В этом состоит ограниченность применимости данных, полученных в ходе физического эксперимента. Теоретические работы посвящены детальному исследованию кинематических и динамических характеристик течений, включая количественную оценку местных гидравлических сопротивлений для элементов различной геометрии [10,11]. Однако практически не представлены обобщения результатов в критериальные зависимости в широком диапазоне изменений определяющих параметров. Дефицит подобной информации затрудняет работу инженеров-технологов и конструкторов при организации технологических процессов и конструировании оснастки для обеспечения эффективного производства. Более того, практически отсутствуют данные о потерях энергии и структуре потока для неизотермических течений неньютоновских сред с учетом диссипативного разогрева и зависимости реологических свойств жидкости от температуры. На практике эта информация представляет особую значимость, поскольку подавляющее большинство промышленных процессов осуществляется именно в условиях переменного теплового режима.

В настоящее время имеющиеся в литературе данные по теме диссертации недостаточны для широкого практического применения и качественного понимания гидродинамических процессов с участием жидкостей рассматриваемого класса. В этой связи тема диссертации актуальна как с практической, так и с фундаментальной точек зрения.

Степень разработанности темы исследования. Начиная с середины прошлого столетия, исследованиям течений вязкой жидкости в каналах с переменной площадью сечения посвящено множество теоретических и экспериментальных работ [12-17]. Особое внимание к данной теме обусловлено тем, что подобные течения реализуются в широком ряде технических устройств различного назначения. Например, в оборудовании для переработки полимерных

жидкостей, биомедицинских установках, нефтепроводах, реакторах и т.д. Среди ранних работ, посвященных исследованию течений в каналах с внезапным сужением или расширением, можно выделить [14,18-24]. Обобщение ранее полученных результатов приведено в обзорной работе [25]. Несмотря на отсутствие мощных вычислительных ресурсов и высокотехнологичных установок, авторам удалось получить фундаментальные знания о рассматриваемых течениях, которые послужили основой для дальнейших исследований в этой области, а также для моделирования течений через конструкции более сложной геометрии. В частности, были выявлены условия возникновения и увеличения зон вихревого движения в области внутреннего угла канала с сужением или расширением, описано влияние резкого изменения геометрии на кинематику течения, предприняты первые попытки оценить потери давления для течений в каналах со скачком площади сечения.

С появлением высокопроизводительных ЭВМ эффективные численные методы получили широкое распространение среди исследователей в области гидродинамики [26-28]. Новые подходы позволили расширить диапазон изменения основных параметров и выявить эффекты дестабилизации течения в канале переменного сечения, а также условия, приводящие к явлению бифуркации [29-31].

В связи со стремительным развитием химической промышленности, а вместе с ней и нарастанием производства изделий из полимерных композиций, появилась необходимость получения достоверных данных о неизотермических течениях вязких жидкостей в канале с переменной площадью сечения. Характерные особенности данных течений были выявлены и описаны в работах [32-35]. Среди отечественных исследователей, которые изучали/изучают течения вязкой жидкости в неизотермических условиях, особое место занимают Герасименко В.А., Бостанджиян С.А., Фройштетер Г.Б., Шульман З.П., Виленский В.Д., Смородинский Э.Л., Тябин Н.В., Виноградов Г.В., Шрагер Г.Р., Губин В.Е., Козлобродов А.Н., Попов В.И., Янков В.И., Дахин О.Х., Баранов А.В., Головин В.М., Любимова Т.П., Первушин В.Е., Каганов С.А., Миницын В.В.,

Терехов В.И., Пахомов М.А., Скрипников Ю.В., Бубенчиков А.М., Шеремет М.А., и др. Результаты исследований гидравлических сопротивлений в каналах различной геометрии представлены в работах следующих авторов: Альтшуль А.Д., Идельчик И.Е., Шихлинская Д.Э., Кутателадзе С.С., Петухов Б.С., Киселев П.Г., Тонкошкуров Б.А., Барышников Н.Б., Зегжда А.П., Волгин Г.В.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что в настоящее время доступно множество статей, монографий и книг, посвященных течению жидкости в каналах простой и сложной геометрии. Выполнены исследования течений вязких жидкостей, реологические свойства которых определяются различными моделями. Проведены физические и численные эксперименты в режиме ламинарного и турбулентного течения. Разработан широкий ряд вычислительных методик, позволяющий рассчитывать сложные течения с учетом многофазности, неизотермичности процесса, сжимаемости жидкой среды, условий проскальзывания и т.д. Несмотря на это, исследования в области гидродинамики не теряют свою актуальность, поскольку любые изменения реологических свойств жидкости, конфигурации канала, режима и условий течения требуют отдельного рассмотрения и детального анализа.

Цели и задачи исследования. Целью данной работы является исследование неизотермических течений неньютоновских жидкостей в канале с внезапным сужением в сравнении с изотермическими течениями для оценки влияния учета вязкой диссипации, геометрии канала и реологических свойств жидкости на структуру потоков, кинематические характеристики течений и энергетические потери.

Для достижения поставленной цели исследования решены следующие задачи:

• формулировка математической постановки задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости (ньютоновской, степенной, вязкопластичной) в осесимметричном канале с внезапным сужением в изотермических и неизотермических условиях;

• разработка алгоритмов расчета исследуемых процессов и создание программ для их реализации на ЭВМ;

• проведение вычислительного эксперимента с целью получения картин течений и зависимостей кинематических и динамических характеристик исследуемых процессов от определяющих параметров в широком диапазоне их изменения;

• оценка влияния учета вязкой диссипации и температурной зависимости реологических параметров на структуру потока и распределение основных характеристик течений;

• получение критериальных зависимостей коэффициентов местных гидравлических сопротивлений для течений неньютоновских жидкостей через внезапное сужение канала.

Научная новизна исследования. Научной новизной обладают следующие инструменты и результаты исследования:

• сформулированная математическая модель осесимметричного течения несжимаемой вязкопластичной жидкости в канале с внезапным сужением с учетом вязкой диссипации и температурной зависимости реологических параметров жидкости;

• разработанные алгоритмы расчета исследуемых течений, на основе которых создан оригинальный пакет программ для реализации на ЭВМ;

• результаты параметрических исследований течений неньютоновских жидкостей в канале с внезапным сужением в изотермических и неизотермических условиях, приведенные распределения основных характеристик течений, в том числе структуры потоков;

• критериальные зависимости коэффициентов местных гидравлических сопротивлений для течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей в канале с внезапным сужением.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Сформулированная математическая модель течения неньютоновской жидкости в канале с внезапным сужением в неизотермических условиях адекватно

описывает физические свойства рассматриваемых процессов, что позволяет использовать её при моделировании реальных гидродинамических процессов, реализуемых в природе и в оборудовании производственного назначения. Разработанный пакет прикладных программ представляет собой готовый инструмент для получения расчетных данных с целью оптимизации существующих и создания новых технологий переработки полимерных композиций. Полученные критериальные зависимости коэффициентов местных гидравлических сопротивлений для течений ньютоновской и неньютоновской жидкостей в канале переменного сечения способны облегчить и ускорить работу инженеров-технологов и конструкторов при организации технологических процессов и конструировании оснастки для обеспечения эффективного производства.

Результаты, изложенные в диссертационной работе, использовались при выполнении следующих грантов: РНФ (проект № 18-19-00021), РФФИ (проекты № 15-08-02256, 15-08-03935, 18-38-00259 мол_а), Президента РФ (проект МК-710.2017.1).

Методология и методы исследования. Выполнение исследовательской работы предполагает использование метода математического моделирования, в основе которого лежит следующая последовательность действий: анализ физического содержания изучаемого процесса, формулировка соответствующей математической модели, постановка задачи с учетом начальных и граничных условий, выбор/разработка метода решения, построение алгоритма численного решения, создание и отладка программы для ЭВМ, реализация параметрических расчетов, анализ и сравнение полученных данных.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты исследовательской деятельности:

• математическая модель неизотермического течения неньютоновской жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением с учетом диссипативного разогрева и зависимости реологических свойств жидкости от температуры;

• конечно-разностная методика расчета рассматриваемых процессов и пакет программ для ЭВМ;

• результаты численного расчета течений ньютоновской и неньютоновской (степенной, вязкопластичной) несжимаемых жидкостей в осесимметричном канале с внезапным сужением в изотермических и неизотермических условиях.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. В ходе проведения исследовательской работы построение математических моделей рассматриваемых процессов и постановка гидродинамических задач выполнены автором диссертации совместно с научным руководителем. Разработка алгоритмов расчета и создание программ для ЭВМ реализованы совместно с доцентом кафедры прикладной газовой динамики и горения Национального исследовательского Томского государственного университета Е. И. Борзенко. Параметрические расчеты и обработка полученных данных выполнены автором самостоятельно. Анализ и обсуждение результатов, а также подготовка публикационного материала по теме диссертации осуществлялись совместно с научным руководителем.

Степень достоверности результатов исследования. Достоверность полученных результатов исследовательской работы обосновывается адекватностью используемых математических моделей относительно реальных физических процессов и подтверждается результатами тестовых расчетов, а также согласованием полученных данных с аналогичными данными других исследователей.

Апробация результатов исследования. Основные результаты выполненного исследования были представлены на IX Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2016), 55-й Международной научной студенческой конференции «МНСК-2017» (Новосибирск, 2017), Всероссийской конференции с международным участием «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2017), XLVI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2018),

X Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2018), III Всероссийской научной конференции с элементами школы молодых учёных «Теплофизика и физическая гидродинамика» (Ялта, 2018), XIX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и вычислительным технологиям (Кемерово, 2018), XXI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам «ВМС 111С 2019» (Алушта, 2019), Всероссийской молодежной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики» (Томск, 2019), XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019), XX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2019), IX Всероссийской научной конференции с международным участием «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики» (Томск, 2019), XIII Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли «АММАГ 2020» (Алушта, 2020).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликованы 24 работы, в том числе 4 статьи [36-39] в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 3 статьи в российском научном журнале, входящем в Web of Science, 1 статья в зарубежном научном журнале, входящем в Web of Science [39]), 5 статей в сборниках материалов конференций, опубликованных в изданиях, входящих в Web of Science [40-44], 1 статья в прочем научном журнале [45], 13 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций и съезда; получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [46].

Структура диссертации включает в себя введение, 4 главы, заключение и список использованной литературы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, обозначены цель и задачи, отражена новизна и значимость результатов, изложена методология исследования, перечислены основные положения, выносимые на защиту, приведена структура диссертации.

Первая глава содержит обзор литературных источников, посвященных исследованию течений различных реологических сред в каналах с внезапным сужением или расширением в изотермических и неизотермических условиях.

Во второй главе представлена методика проведения исследования неизотермического течения жидкости в канале с внезапным сужением. Она включает в себя постановку задачи в общем виде, а также методы и схемы, используемые для реализации ее численного решения. Отдельное внимание уделяется расчету местных гидравлических потерь напора в канале переменного сечения. Выполнена верификация вычислительного алгоритма и приведены результаты тестирования процедуры регуляризации реологических моделей.

В третьей главе демонстрируются результаты численного моделирования изотермического течения ньютоновской, степенной и вязкопластичной жидкостей в канале с внезапным сужением. Показаны особенности течения, связанные с реологическими свойствами жидких сред, получены зависимости характеристик структуры потока и потерь давления от основных параметров задачи.

Четвертая глава посвящена исследованию течения ньютоновской, степенной и вязкопластичной жидкостей через сужение канала в неизотермических условиях. На основе параметрических расчетов выявлены тенденции в изменении характеристик течений при варьировании безразмерных параметров поставленной задачи. Проведен анализ влияния учета вязкой диссипации на структуру потока и распределения характеристик течения.

В заключении формулируются основные результаты исследования и выводы по проделанной работе.

1 Течения вязкой жидкости в каналах со скачком сечения

Среди множества задач в области гидродинамики исследования течений вязких жидкостей в каналах со скачком сечения занимают особое место. Это обусловлено тем, что в оборудовании промышленного назначения сложные течения вязких жидкостей реализуются по каналам с конструктивными элементами, в том числе с сужением и/или расширением. Более того, некоторые технологические процессы, без которых невозможно существование современного производства, например, экструзия [47] и литье под давлением [48], в ходе реализации характеризуются течением жидкого материала через один, а иногда и несколько участков со скачком сечения (рисунок 1.1).

(а) (б)

(а) - литье под низким давлением, (б) - экструзия

Рисунок 1.1 - Технологические схемы процессов, включающих течения через

участки сужения/расширения

Геометрическая особенность в виде скачка сечения при определенных условиях приводит к формированию зон циркуляции во внутренних углах каналов [49,50]. Организация движения жидкости в циркуляционных зонах, а также вынужденное перестроение потока существенно влияют на энергетическую составляющую течения. Наряду с геометрическими особенностями области течения и характеристиками материала, из которого изготовлены стенки канала, во многом характер течения зависит от условий и режима движения жидкости, ее теплофизических свойств, преобладающих сил

в потоке и их соотношений. Кроме того, при моделировании течения жидкости особое внимание уделяется реологии рассматриваемой среды [51]. До середины XIX века гидродинамические исследования проводились на основе модели невязкой (идеальной) жидкости, которая предполагает реализацию сдвигового течения без потери энергии на трение между слоями жидкости. Позже было выявлено, что для большинства гидродинамических процессов вязкость является определяющим фактором, который необходимо учитывать при моделировании. Этот факт послужил причиной для зарождения теории вязкой жидкости, в основе которой лежит модель Ньютона. Данная модель предполагает линейную зависимость касательных напряжений от скорости сдвига и хорошо описывает реологию газов и однофазных низкомолекулярных жидкостей, например воды. В случае жидких сред с более сложной реологией (суспензии, гели, эмульсии, краски, пасты, полимерные растворы и расплавы и т.д.) требуются модели, которые наиболее полно отображают их физико-химические свойства. В настоящее время существует целый ряд эмпирических и полуэмпирических моделей разной сложности для описания фундаментальных свойств жидкостей (упругость, пластичность, вязкость) [52,53]. Однако во многих случаях при моделировании течений полимерных жидкостей можно ограничиться использованием модели Балкли-Гершеля [54], которая при определенном наборе параметров сводится к моделям Ньютона, Оствальда-де Ваале [55] и Шведова-Бингама [56,57].

1.1 Ньютоновская жидкость

Жидкая среда, течение которой подчиняется закону вязкого трения Ньютона, традиционно называется ньютоновской жидкостью. Вязкие свойства такой жидкости зависят от химического состава, температуры, давления и не зависят от напряженного состояния и скорости потока. В работах, посвященных исследованию течения ньютоновской жидкости в канале со скачком сечения, отмечалось, что профиль скорости в окрестности скачка претерпевает

изменения и не сохраняет первоначальную форму и также отличается от профиля, формируемого в области полностью установившегося течения вниз по потоку от скачка [22,58]. Течение, реализуемое на участке между скачком и поперечным сечением вниз по потоку, начиная с которого профиль скорости перестает меняться, принято называть входным течением, а участок - переходным [59]. Входное течение было предметом исследования множества ранних работ, нацеленных на определение характеристик течения на переходном участке потока [20,60,61]. В этих работах приведены картины течения в виде распределений линий тока в трубах с сужением, показаны изменения профиля скорости в зависимости от числа Рейнольдса и соотношения радиусов узкой и широкой частей канала, получены формулы для расчета длины входного течения и потерь давления за счет сужения. В [22] представлено обобщение экспериментальных и численных данных о структуре ламинарного течения в окрестности скачка сечения и его кинематических характеристиках. В ходе эксперимента скорость потока измерялась с помощью лазерного доплеровского анемометра. Численное решение задачи получено конечно-разностным методом. Авторы подчеркивают важность совместного проведения натурного и вычислительного экспериментов, поскольку такая методика позволяет верифицировать полученные расчетные данные и выявить ошибки, которые приводят к нефизичным результатам. На основе выполненного исследования продемонстрировано изменение профиля аксиальной скорости по всей длине канала и профиля радиальной скорости в окрестности скачка сечения. Показано, что в области внутреннего угла канала образуется циркуляционная зона, которая уменьшается с ростом числа Рейнольдса, достигая минимального значения при числе Рейнольдса, равном 100.

В 1986 году Boger с соавторами [62] заявил, что задачу о входном течении ньютоновской жидкости через внезапное сужение можно считать решенной. В качестве аргумента был приведен ряд формул для определения протяженности входного течения и расчета местных потерь давления, которые получены различными авторами теоретических и экспериментальных работ. Позже данное утверждение было опровергнуто в статье [63]. Свое несогласие с завершенностью

исследования данной проблемы авторы обосновывают разобщенностью экспериментальных данных и их несогласованностью с численными результатами, что свидетельствует об отсутствии достоверной информации о рассматриваемом течении и требует продолжения исследований в данном направлении.

В связи с усовершенствованием вычислительных машин, появилась возможность рассмотреть задачу о течении вязкой жидкости в канале с внезапным сужением в трехмерной постановке. Например, в [64] с помощью метода конечных объемов решена задача о течении жидкости в канале с сужением. Продемонстрировано спиралевидное движение частиц нулевой массы в области циркуляционных зон в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса. Данная информация представляет особую ценность при организации процессов, связанных с переработкой и транспортировкой полимеров в жидкой фазе [65-67]. Экспериментальное исследование течения ньютоновской жидкости в трубе с сужением с применением оптического метода измерения полей скорости в различных сечениях трубы представлено в [68]. Полученные результаты отражают влияние числа Рейнольдса на формирование профилей скорости вдоль трубы.

Изучению особенностей течения ньютоновской жидкости в канале с внезапным расширением также посвящено немало работ [69,70]. Среди наиболее ранних публикаций можно выделить [18], в которой представлено сравнение численных и экспериментальных данных в виде распределений кинематических и динамических характеристик течения, и работу [71], где приведены результаты экспериментального исследования течения воды в диапазоне изменения числа Рейнольдса от 20 до 4200. В [72,73] изучена проблема возникновения асимметрии потока в полностью симметричном канале с расширением. Асимметрия рассматривалась как результат влияния числа Рейнольдса и степени расширения канала. Выявлено, что рост числа Рейнольдса способствует не только формированию циркуляционной зоны разных размеров во внутреннем углу канала, но и появлению дополнительной зоны циркуляции

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рыльцева Кира Евгеньевна, 2020 год

Список использованной литературы

1. Flow of concentrated non-Newtonian slurries: 2. Friction losses in bends, fittings, valves and venturi meters / R.M. Turian [et al.] // Int. J. Multiph. Flow. - 1998.

- Vol. 24, № 2. - P. 243-269.

2. Garcia E.J. Comparison of friction factor equations for non-Newtonian fluids in pipe flow / E.J. Garcia, J.F. Steffe // J. Food Process Eng. - 1986. - Vol. 9, № 2.

- P. 93-120.

3. Benedict R.P. Flow losses in abrupt enlargements and contractions / R.P. Benedict, N.A. Carlucci, S.D. Swetz // J. Eng. Power. - 1966. - Vol. 88, № 1. - P. 73-81.

4. Pressure drop caused by abrupt flow area changes in small channels / F.F. Abdelall [et al.] // Exp. Therm. Fluid Sci. - 2005. - Vol. 29, № 4. - P. 425-434.

5. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. - М.: Машиностроение. Библиотека технической литературы, 1992. - 672 с.

6. Massey B.S. Mechanics of Fluids. - Boston, MA: Springer US, 1989. - 599 p.

7. Iwamiya J.H. NMR flow imaging of Newtonian liquids and a concentrated suspension through an axisymmetric sudden contraction / J.H. Iwamiya, A.W. Chow, S.W. Sinton // Rheol. Acta. - 1994. - Vol. 33, № 4. - P. 267-282.

8. Pal R. Loss coefficients for flow of surfactant-stabilized emulsions through pipe components / R. Pal, C.-Y.J. Hwang // Chem. Eng. Res. Des. - 1999. - Vol. 77, № 8. - P. 685-691.

9. Devienne R. Flow of some Carboxymethylcellulose solutions through abrupt axisymmetric contractions. Experimental study and modelling of shear thinning and elongational effects / R. Devienne, P. Corvisier, A. Lyazid // Appl. Rheol. - 2003.

- Vol. 13, № 2. - P. 70-78.

10. Binding D.M. Further considerations of axisymmetric contraction flows // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1991. - Vol. 41, № 1-2. - P. 27-42.

11. An approximate solution to flow through a contraction for high Trouton ratio fluids / A.S. Lubansky [et al.] // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2007. - Vol. 144, № 2-3.

- P. 87-97.

12. Astarita G. Excess pressure drop in laminar flow through sudden contraction. Newtonian liquids / G. Astarita, G. Greco // Ind. Eng. Chem. Fundam. - 1968. - Vol. 7, № 1. - P. 27-31.

13. Astarita G. Excess pressure drop in laminar flow through sudden contraction. Non-Newtonian liquids / G. Astarita, G. Greco, L. Peluso // Ind. Eng. Chem. Fundam. - 1968. - Vol. 7, № 4. - P. 595-598.

14. Vrentas J.S. Effect of axial diffusion of vorticity on flow development in circular conduits: Part I. Numerical solutions / J.S. Vrentas, J.L. Duda, K.G. Bargeron // AIChE J. - 1966. - Vol. 12, № 5. - P. 837-844.

15. Vrentas J.S. Effect of axial diffusion of vorticity on flow development in circular conduits: Part II. Analytical solution for low reynolds numbers / J.S. Vrentas, J.L. Duda // AIChE J. - 1967. - Vol. 13, № 1. - P. 97-101.

16. Dennis S.C.R. Steady flow through a channel with a symmetrical constriction in the form of a step / S.C.R. Dennis, F.T. Smith // Proc. R. Soc. London. A. Math. Phys. Sci. - 1980. - Vol. 372, № 1750. - P. 393-414.

17. Kumar S. Flow through a sudden expansion: a review / S. Kumar, S. Chakrabarti, S. Majumder // Int. J. Eng. Sci. Res. - 2014. - Vol. 4, № 4. - P. 167-180.

18. Macagno E.O. Computational and experimental study of a captive annular eddy / E.O. Macagno, T.-K. Hung // J. Fluid Mech. - 1967. - Vol. 28, № 1. - P. 43-64.

19. Rama Murthy A.V. Developing velocity profiles on the downstream side of a contraction for inelastic polymer solutions / A.V. Rama Murthy, D.V. Boger // Trans. Soc. Rheol. - 1971. - Vol. 15, № 4. - P. 709-730.

20. Christiansen E.B. Laminar tube flow through an abrupt contraction / E.B. Christiansen, S.J. Kelsey, T.R. Carter // AIChE J. - 1972. - Vol. 18, № 2. - P. 372-380.

21. Duda J.L. Entrance flows of non-Newtonian fluids / J.L. Duda, J.S. Vrentas // Trans. Soc. Rheol. - 1973. - Vol. 17, № 1. - P. 89-108.

22. Durst F. Investigations of laminar flow in a pipe with sudden contraction of cross sectional area / F. Durst, T. Loy // Comput. Fluids. - 1985. - Vol. 13, № 1. - P. 15-36.

23. Fletcher D.F. Heat and mass transfer computations for laminar flow in an axisymmetric sudden expansion / D.F. Fletcher, S.J. Maskell, M.A. Patrick // Comput.

Fluids. - 1985. - Vol. 13, № 2. - P. 207-221.

24. Boger D.V. Flow of viscoelastic fluids through an abrupt contraction / D.V. Boger, A.V. Rama Murthy // Rheol. Acta. - 1972. - Vol. 11, № 1. - P. 61-69.

25. White S.A. Review of the entry flow problem: Experimental and numerical / S.A. White, A.D. Gotsis, D.G. Baird // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1987. - Vol. 24, № 2. - P. 121-160.

26. Crochet M.J. Numerical methods in non-Newtonian fluid mechanics / M.J. Crochet, K. Walters // Annu. Rev. Fluid Mech. - 1983. - Vol. 15, № 1. - P. 241-260.

27. Ilio G.D. A comparison of numerical methods for non-Newtonian fluid flows in a sudden expansion / G.D. Ilio, D. Chiappini, G. Bella // Int. J. Mod. Phys. C. - 2016.

- Vol. 27, № 12. - P. 1-21.

28. Chung T.J. Computational Fluid Dynamics. - Cambridge University Press, 2002. - 1012 p.

29. Mitsoulis E. Further results for the entry flow of fluid S1 // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2001. - Vol. 97, № 2-3. - P. 149-158.

30. Drikakis D. Bifurcation phenomena in incompressible sudden expansion flows // Phys. Fluids. - 1997. - Vol. 9, № 1. - P. 76-87.

31. Hawa T. The dynamics of a laminar flow in a symmetric channel with a sudden expansion / T. Hawa, Z. Rusak // J. Fluid Mech. - 2001. - Vol. 436. - P. 283-320.

32. Vradis G.C. Heat transfer in flows of non-Newtonian Bingham fluids through axisymmetric sudden expansions and contractions / G.C. Vradis, K.J. Hammad // Numer. Heat Transf. Part A Appl. - 1995. - Vol. 28, № 3. - P. 339-353.

33. Wachs A. Computations of non-isothermal viscous and viscoelastic flows in abrupt contractions using a finite volume method / A. Wachs, J. Clermont, A. Khalifeh // Eng. Comput. - 2002. - Vol. 19, № 8. - P. 874-901.

34. Zdanski P.S.B. Non-isothermal polymer melt flow in sudden expansions / P.S.B. Zdanski, M. Vaz // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2009. - Vol. 161, № 1-3.

- P. 42-47.

35. Hammad K.J. Heat transfer enhancement in suddenly expanding annular shear-thinning flows // Int. J. Heat Mass Transf. - 2018. - Vol. 121. - P. 28-36.

36. Расчет коэффициента местного сопротивления для течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе с внезапным сужением / Е.И. Борзенко [и др.] // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика.

- 2017. - № 48. - С. 36-48.

37. Борзенко Е.И. Численное исследование характеристик течения неньютоновской жидкости в трубе с внезапным сужением / Е.И. Борзенко, К.Е. Рыльцева, Г.Р. Шрагер // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2019. - № 58. - С. 56-70.

38. Рыльцев И.А. Кинематика течения степенной жидкости в трубе переменного сечения / И.А. Рыльцев, К.Е. Рыльцева, Г.Р. Шрагер // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2019. - №2 63. - С. 125-138.

39. Borzenko E.I. Free-surface flow of a viscoplastic fluid during the filling of a planar channel / E.I. Borzenko, K.E. Ryltseva, G.R. Shrager // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2018. - Vol. 254. - P. 1-22.

40. Mathematical simulation of nonisothermal filling of plane channel with non-Newtonian fluid / E. Borzenko [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. - 2016.

- Vol. 754, № 2. - P. 1-6.

41. Dyakova Ol. Numerical simulation of a non-Newtonian fluid flow in the pipelines with various fittings / Ol. Dyakova, I. Ryltsev, K. Ryltseva // J. Phys. Conf. Ser. - 2019. - Vol. 2103, № 1. - P. 1-8.

42. Ryltseva K. Non-isothermal flow of power-law fluid in a pipe with sudden expansion / K. Ryltseva, G. Shrager // Journal of Physics: Conference Series. - 2018.

- Vol. 1128, № 1. - P. 1-7.

43. Borzenko E.I. Non-isothermal steady flow of non-Newtonian fluid in an axisymmetric channel / E.I. Borzenko, K.E. Ryltseva, G.R. Shrager // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2019. - Vol. 581, № 1. - P. 1-9.

44. Borzenko E.I. Steady-state flow of a power-law fluid between two coaxial cylinders taking into account the temperature dependence of the rheological parameters and the viscous dissipation / E.I. Borzenko, K.E. Ryltseva, G.R. Shrager // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1382, № 1. - P. 1-5.

45. Ryltseva K. Effect of viscous dissipation on the flow structure and pressure losses for a viscoplastic fluid flow through a sudden pipe contraction / K.E. Ryltseva, E.I. Borzenko, G.R. Shrager // IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. - 2020. - Vol. 927.

- P. 1-7.

46. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617672. Программа для расчета динамических и кинематических характеристик изотермического течения вязкой жидкости в круглой трубе со скачком сечения / Е.И. Борзенко, К.Е. Рыльцева, О.Ю. Фролов. Правообладатель: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет». Дата государственной регистрации - 28.06.2018.

47. Velocity field for polymer melts extrusion using particle image velocimetry / S. Nigen [et al.] // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2003. - Vol. 112, № 2-3. - P. 177-202.

48. Ashby M.F. Processing Polymers / M.F. Ashby, D.R.H. Jones // Engineering Materials 2. - Elsevier, 2013. - P. 441-455.

49. Baloch A. Extensional effects in flows through contractions with abrupt or rounded corners / A. Baloch, P. Townsend, M.F. Webster // J. Nonnewton. Fluid Mech.

- 1994. - Vol. 54. - P. 285-302.

50. Alves M.A. On the effect of contraction ratio in viscoelastic flow through abrupt contractions / M.A. Alves, P.J. Oliveira, F.T. Pinho // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2004. - Vol. 122, № 1-3. - P. 117-130.

51. George K.E. Non-Newtonian fluid mechanics and polymer rheology // Advances in Polymer Processing. - Elsevier, 2009. - P. 13-46.

52. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. - М.: Энергия, 1975. - 352 с.

53. Малкин А.Я. Современное состояние реологии полимеров: достижения и проблемы // Высокомолекулярные соединения, Серия А. - 2009. - T. 51, № 1.

- С. 106-136.

54. Herschel W.H. Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollosungen / W.H. Herschel, R. Bulkley // Kolloid-Zeitschrift. - 1926. - Vol. 39, № 4. - P. 291-300.

55. Ostwald W. Ueber die rechnerische Darstellung des Strukturgebietes der Viskosität // Kolloid-Zeitschrift. - 1929. - Vol. 47, № 2. - P. 176-187.

56. Schwedoff T. Recherches expérimentales sur la cohésion des liquides // J. Phys. Théorique Appliquée. - 1889. - Vol. 8, № 1. - P. 341-359.

57. Bingham E.C. Fluidity and Plasticity. - New York: McGraw-Hill, 1922. - 440 p.

58. Krhan A. Numerical investigations of laminar flow in a pipe with a sudden contraction of his cross-sectional area / A. Krhan, F. Giorgini. - Technical Report, 2016. - 8 p.

59. Sadri R.M. Entry flow in a channel / R.M. Sadri, J.M. Floryan // Comput. Fluids. - 2002. - Vol. 31, № 2. - P. 133-157.

60. Sylvester N.D. Laminar flow in the entrance region of a cylindrical tube: Part I. Newtonian fluids / N.D. Sylvester, S.L. Rosen // AIChE J. - 1970. - Vol. 16, № 6.

- P. 964-966.

61. Vrentas J.S. Flow of a Newtonian fluid through a sudden contraction / J.S. Vrentas, J.L. Duda // Appl. Sci. Res. - 1973. - Vol. 28, № 1. - P. 241-260.

62. Boger D.V. Further observations of elastic effects in tubular entry flows / D.V. Boger, D.U. Hur, R.J. Binnington // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1986. - Vol. 20.

- P. 31-49.

63. Creeping flow through an axisymmetric sudden contraction or expansion / S. Sisavath [et al.] // J. Fluids Eng. Trans. ASME. - 2002. - Vol. 124, № 1. - P. 273-278.

64. Chiang T.P. Numerical studies of a three-dimensional flow in suddenly contracted channels / T.P. Chiang, T.W.H. Sheu, R.R. Hwang // Phys. Fluids. - 2002.

- Vol. 14, № 5. - P. 1601-1616.

65. Vergnaud J.M. Liquid Transport Process in Polymeric Materials: Modeling and Industrial Applications (Polymer Science and Engineering Series). - Prentice Hall, 1991. - 362 p.

66. Polymer Science and Engineering. - Washington, D.C.: National Academies Press, 1994. - 180 p.

67. Osswald T.A. Transport Phenomena in Polymer Processing: Processes and Governing Equations // Understanding Polymer Processing. - München: Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG, 2017. - P. 165-206.

68. PIV measurements of flow through a sudden contraction / C. Ozalp [et al.] // Flow Meas. Instrum. - 2007. - Vol. 18, № 3-4. - P. 121-128.

69. A review of Backward-Facing Step (BFS) flow mechanisms, heat transfer and control / L. Chen [et al.] // Therm. Sci. Eng. Prog. - 2018. - Vol. 6. - P. 194-216.

70. A brief review study of flow phenomena over a backward-facing step and its optimization / E. Montazer [et al.] // Renew. Sustain. Energy Rev. - 2018. - Vol. 82.

- P. 994-1005.

71. Back L.H. Shear-layer flow regimes and wave instabilities and reattachment lengths downstream of an abrupt circular channel expansion / L.H. Back, E.J. Roschke // J. Appl. Mech. - 1972. - Vol. 39, № 3. - P. 677-681.

72. Durst F. Low Reynolds number flow over a plane symmetric sudden expansion / F. Durst, A. Melling, J.H. Whitelaw // J. Fluid Mech. - 1974. - Vol. 64, № 1. - P. 111-128.

73. Cherdron W. Asymmetric flows and instabilities in symmetric ducts with sudden expansions / W. Cherdron, F. Durst, J.H. Whitelaw // J. Fluid Mech. - 1978.

- Vol. 84, № 01. - P. 13-36.

74. Fani A. Stability analysis and control of the flow in a symmetric channel with a sudden expansion / A. Fani, S. Camarri, M.V. Salvetti // Phys. Fluids. - 2012. - Vol. 24, № 8. - P. 1-23.

75. Christiansen E.B. Nonisothermal laminar contracted flow / E.B. Christiansen, S.J. Kelsey // AIChE J. - 1972. - Vol. 18, № 4. - P. 713-720.

76. Ma P. Heat and mass transfer in a separated flow region for high Prandtl and Schmidt numbers under pulsatile conditions / P. Ma, X. Li, D.N. Ku // Int. J. Heat Mass Transf. - 1994. - Vol. 37, № 17. - P. 2723-2736.

77. Bell B.C. p-Version least squares finite element formulation for two-dimensional incompressible Newtonian and non-Newtonian non-isothermal fluid flow / B.C. Bell, K.S. Surana // Comput. Struct. - 1995. - Vol. 54, № 1. - P. 83-96.

78. Кутузов А.Г. Неизотермическое течение вязкоупругой жидкости в фильерах экструдеров // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2008. - № 2. - C. 37-41.

79. Zdanski P.S.B. A numerical method for simulation of incompressible three-dimensional Newtonian and non-Newtonian flows / P.S.B. Zdanski, M. Vaz // Numer. Heat Transf. Part B Fundam. - 2011. - Vol. 59, № 5. - P. 360-380.

80. Debbaut B. On the inertial and extensional effects on the corner and lip vortices in a circular 4:1 abrupt contraction // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1990. - Vol. 37, № 2-3. - P. 281-296.

81. The effect of expansion ratio for creeping expansion flows of UCM fluids / R.J. Poole [et al.] // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2009. - Vol. 163, № 1-3. - P. 35-44.

82. Steady flow of power-law fluids in a 1:3 planar sudden expansion / S. Dhinakaran [et al.] // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2013. - Vol. 198. - P. 48-58.

83. Liu M. Resistance properties of coal-water slurry flowing through local piping fittings / M. Liu, Y.F. Duan // Exp. Therm. Fluid Sci. - 2009. - Vol. 33, № 5.

- P. 828-837.

84. Nag D. Variation of the recirculation length of Newtonian and non-Newtonian power-law fluids in laminar flow through a suddenly expanded axisymmetric geometry / D. Nag, A. Datta // J. Fluids Eng. - 2007. - Vol. 129, № 2.

- P. 245-250.

85. Ternik P. New contributions on laminar flow of inelastic non-Newtonian fluid in the two-dimensional symmetric expansion: Creeping and slowly moving flow conditions // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 165, № 19-20. - P. 1400-1411.

86. Hammad K.J. Heat transfer in annular shear-thinning non-Newtonian flows over a sudden pipe expansion // Volume 8: Heat Transfer and Thermal Engineering.

- American Society of Mechanical Engineers, 2016. - P. 1-9.

87. Bird R.B. The rheology and flow of viscoplastic materials / R.B. Bird, G.C. Dai, B.J. Yarusso // Rev. Chem. Eng. - 1983. - Vol. 1, № 1. - P. 1-70.

88. Гаррис Н.А. Построение динамической характеристики магистрального трубопровода (модель вязкопластичной жидкости) / Н.А. Гаррис, Ю.О. Гаррис, А.А. Глушков // Нефтегазовое дело. - 2004. - № 1. - C. 1-13.

89. Mitsoulis E. Numerical simulations of complex yield-stress fluid flows / E. Mitsoulis, J. Tsamopoulos // Rheol. Acta. - 2017. - Vol. 56, № 3. - P. 231-258.

90. Frigaard I.A. Bingham's model in the oil and gas industry / I.A. Frigaard, K.G. Paso, P.R. de Souza Mendes // Rheol. Acta. - 2017. - Vol. 56, № 3. - P. 259-282.

91. Dean E.J. On the numerical simulation of Bingham visco-plastic flow: Old and new results / E.J. Dean, R. Glowinski, G. Guidoboni // J. Nonnewton. Fluid Mech.

- 2007. - Vol. 142, № 1-3. - P. 36-62.

92. Mitsoulis E. Entry flows of Bingham plastics in expansions / E. Mitsoulis, R.R. Huilgol // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2004. - Vol. 122, № 1-3. - P. 45-54.

93. Vradis G.C. Inertia effects on the flow of Bingham plastics through sudden contractions in a pipe / G.C. Vradis, K.J. Hammad // Can. J. Chem. Eng. - 1996. - Vol. 74, № 4. - P. 457-463.

94. Jay P. Numerical simulation of viscoplastic fluid flows through an axisymmetric contraction / P. Jay, A. Magnin, J.M. Piau // J. Fluids Eng. - 2002. - Vol. 124, № 3.

- P. 700-705.

95. Friction losses for power-law and viscoplastic materials in an entrance of a tube and an abrupt contraction / S.L.D. Kfuri [et al.] // J. Pet. Sci. Eng. - 2011. - Vol. 76, № 3-4. - P. 224-235.

96. Hammad K.J. Inertial thermal convection in a suddenly expanding viscoplastic flow field // Int. J. Heat Mass Transf. - 2017. - Vol. 106. - P. 829-840.

97. Effect of backward facing step shape on 3D mixed convection of Bingham fluid / F. Danane [et al.] // Int. J. Therm. Sci. - 2020. - Vol. 147. - P. 1-12.

98. Tu J. Computational Fluid Dynamics / J. Tu, G.H. Yeoh, C. Liu. - 3rd ed.

- Butterworth-Heinemann, 2018. - 498 p.

99. Halmos A.L. The behavior of a power-law fluid flowing through a sudden expansion: Part I. A numerical solution / A.L. Halmos, D.V. Boger, A. Cabelli // AIChE J.

- 1975. - Vol. 21, № 3. - P. 540-549.

100. Datta A.B. Slow flow of a viscoelastic fluid through a contraction / A.B. Datta, K. Strauß // Rheol. Acta. - 1976. - Vol. 15, № 7-8. - P. 403-410.

101. Simulation of viscoelastic flows of polymer solutions in abrupt contractions using an arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) based finite element method / V. Ganvir [et al.] // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2007. - Vol. 143, № 2-3. - P. 157-169.

102. Jafari A. Simulation of viscoelastic fluids in a 2D abrupt contraction by spectral element method / A. Jafari, N. Fietier, M.O. Deville // Int. J. Numer. Methods Fluids. - 2015. - Vol. 78, № 4. - P. 217-232.

103. Koshelev K.B. Modeling of the three-dimensional flow of polymer melt in a convergent channel of rectangular cross-section / K.B. Koshelev, G.V. Pyshnograi, M.Y. Tolstykh // Fluid Dyn. - 2015. - Vol. 50, № 3. - P. 315-321.

104. Plane sudden expansion flows of viscoelastic liquids / R.J. Poole [et al.] // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 2007. - Vol. 146, № 1-3. - P. 79-91.

105. Walters K. The distinctive CFD challenges of computational rheology / K. Walters, M. Webster // Int. J. Numer. Methods Fluids. - 2003. - Vol. 43, № 5. - P. 577-596.

106. Wapperom P. A second-order hybrid finite-element/volume method for viscoelastic flows / P. Wapperom, M.F. Webster // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1998.

- Vol. 79, № 2-3. - P. 405-431.

107. Baaijens F.P.T. Mixed finite element methods for viscoelastic flow analysis: a review // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1998. - Vol. 79, № 2-3. - P. 361-385.

108. Numerical model reduction of 2D steady incompressible laminar flows: Application on the flow over a backward-facing step / Y. Rouizi [et al.] // J. Comput. Phys. - 2009. - Vol. 228, № 6. - P. 2239-2255.

109. Kireev V. The hydraulic resistance of thermoviscous liquid flow in a plane channel with a variable cross-section / V. Kireev, A. Nizamova, S. Urmancheev // J. Phys. Conf. Ser. - 2019. - Vol. 1158. - P. 1-6.

110. Soares M. Heat transfer to viscoplastic materials flowing laminarly in the entrance region of tubes / M. Soares, M.F. Naccache, P.R. Souza Mendes // Int. J. Heat Fluid Flow. - 1999. - Vol. 20, № 1. - P. 60-67.

111. Борзенко Е.И. Установившееся неизотермическое течение степенной жидкости в плоском/осесимметричном канале / Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика.

- 2018. - № 52. - C. 41-52.

112. Годунов С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, В.С. Рябенький. - М.: Наука, 1977. - 440 c.

113. Peaceman D.W. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations / D.W. Peaceman, Jr. H.H. Rachford // J. Soc. Ind. Appl. Math.

- 1955. - Vol. 3, № 1. - P. 28-41.

114. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971. - 553 c.

115. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М.: Физматлит, 1960. - 660 c.

116. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / под ред. П.И. Чушкина. - М.: Мир, 1980. - 616 с.

117. Pienaar V.G. Viscous flow through sudden contractions. - Cape Peninsula University of Technology, 2004. - 237 p.

118. Tiu C. Generalized method for predicting loss coefficients in entrance region flows for inelastic fluids / C. Tiu, D.V. Boger, A.L. Halmos // Chem. Eng. J. - 1972.

- Vol. 4, № 2. - P. 113-117.

119. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - 4-е изд. - М.: Физматлит, 1963. - Ч. 2. - 728 с.

120. Шрагер Г.Р. Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов / Г.Р. Шрагер, А.Н. Козлобродов, В.А. Якутенок. - Томск: Издательство Томского университета, 1999. - 230 с.

121. Frigaard I.A. On the usage of viscosity regularisation methods for visco-plastic fluid flow computation / I.A. Frigaard, C. Nouar // J. Nonnewton. Fluid Mech.

- 2005. - Vol. 127, № 1. - P. 1-26.

122. Creeping motion of a sphere through a Bingham plastic / A.N. Beris [et al.] // J. Fluid Mech. - 1985. - Vol. 158. - P. 219-244.

123. Bercovier M. A finite-element method for incompressible non-Newtonian flows / M. Bercovier, M. Engelman // J. Comput. Phys. - 1980. - Vol. 36, № 3. - P. 313-326.

124. Papanastasiou T.C. Flows of Materials with Yield // J. Rheol. - 1987. - Vol. 31, № 5. - P. 385-404.

125. Monnet P. Some new aspects of the slow flow of a viscous fluid through an axisymmetric duct expansion or contraction. II - Experimental part / P. Monnet,

C. Menard, D. Sigli // Appl. Sci. Res. - 1982. - Vol. 39, № 3. - P. 233-248.

126. Kim-E M.E. The roles of inertia and shear-thinning in flow of an inelastic liquid through an axisymmetric sudden contraction / M.E. Kim-E, R.A. Brown, R.C. Armstrong // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1983. - Vol. 13, № 3. - P. 341-363.

127. Boger D.V. Circular entry flows of inelastic and viscoelastic fluids // Adv. Transp. Process. - 1982. - Vol. 2. - P. 43-104.

128. Ajayi K. Influence of upstream development on the losses incurred by flow past an axisymmetric sudden contraction / K. Ajayi, G. Papadopoulos, F. Durst. - Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998. - P. 1-10.

129. Perry R.H. Perry's Chemical Engineers' Handbook / R.H. Perry, D.W. Green, J.O. Maloney. - 7th ed. - McGraw-Hill, 1997. - 2641 p.

130. Binding D.M. An approximate analysis for contraction and converging flows // J. Nonnewton. Fluid Mech. - 1988. - Vol. 27, № 2. - P. 173-189.

131. Friction coefficients for Bingham and power-law fluids in abrupt contractions and expansions / S.L.D. Kfuri [et al.] // J. Fluids Eng. - 2017. - Vol. 139, № 2. - P. 1-9.