Нейросетевое моделирование в математической физике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Васильев, Александр Николаевич

• Васильев, Александр Николаевич
• доктор технических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор технических наук Васильев, Александр Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.

ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

НА ОСНОВЕ НЕЙРОСЕТЕВОЙ МЕТОДОЛОГИИ

ГЛАВА 2.

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ К ПОСТРОЕНИЮ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

ГЛАВА 3.

ПРИНЦИПЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. ФИКСИРОВАННЫЕ ГРАНИЦЫ

ГЛАВА 4.

ПРИНЦИПЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. ПЕРЕМЕННЫЕ ГРАНИЦЫ

ГЛАВА 5.

ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ НЕЙРОСЕТЕ-ВЫХ МОДЕЛЕЙ ПО РАЗНОРОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нейросетевое моделирование в математической физике»

Актуальность темы. В настоящее время нейросетевая теория и технология — одна из наиболее динамично развивающихся областей искусственного интеллекта - успешно применяется в различных прикладных областях, таких как: прогнозирование различных экономических показателей, биомедицинские приложения, сложные системы управления, распознавание образов, предсказание наличия полезных ископаемых и т.д. Нейроматемати-ка доказала свою эффективность во многих задачах, которые трудно или невозможно решить аналитически, но для которых можно попытаться построить подходящую аппроксимацию.

В последние годы появился интерес к применениям нейронных сетей и в такой области как классические и неклассические задачи математической физики. По всей видимости, это было обусловлено целым рядом факторов: разнообразие практических приложений; общие трудности применения стандартных методов к решению многих проблем ввиду нелинейности моделей, большого объема данных (высокая размерность, большое число уравнений и условий), неточности в задании коэффициентов уравнений, краевых и начальных условий, сложности геометрии задачи; неклассические постановки задач; поиск единого подхода к решению совершенно разных типов задач, для каждого из которых обычно применяются свои методы; уникальные свойства искусственных нейронных сетей; поиск новых направлений развития численных методов (несеточные методы, интеллектуальные вычисления); появление новых технологий (нейрокомпьютеры, grid-технологии и др.) и построение алгоритмов, естественных для таких технологий.

Лишь небольшое число задач, обычно обладающих симметрией, допускает аналитическое решение. Существующие приближенные методы решения либо позволяют получить лишь поточечную аппроксимацию подобно сеточным методам (получение из поточечного решения некоторого аналитического выражения представляет собой отдельную задачу), либо предъявляют специальные требования к набору аппроксимирующих функций и требуют решения важной вспомогательной задачи разбиения исходной области подобно тому, как это происходит в методе конечных элементов.

При совершенствовании модели: корректировке постановки задачи, связанной с модификацией уравнений или условий, уточнении или пополнении экспериментальных данных - при решении серии близких задач - нет необходимости строить нейросетевую модель вновь: достаточно использовать имеющуюся нейронную сеть и доучить ее.

Имеющиеся нейросетевые подходы к решению задач математической физики либо узкоспециализированы (клеточные сети, линейные уравнения в случае областей с несложной геометрией и т.д.), либо используют варианты метода коллокации при неизменных нейросетевых функциях, что может приводить к заметным ошибкам между узлами.

Создание на основе нейросетевой методологии единого подхода к построению устойчивых уточняемых моделей в математической физике и конструирование соответствующих нейросетевых алгоритмов, использующих достоинства нейросетевых аппроксимаций, представляет актуальную и недостаточно изученную научную проблему. Задача построения робастной математической модели по разнородным данным, включающим как уравнения, так и экспериментальные наблюдения, является весьма актуальной для практики, и её недостаточная изученность вызвана трудностью применения к ней классических методов.

Цель диссертационной работы. Диссертация посвящена созданию методологии применения нейронных сетей к задачам математического моделирования сложных систем с распределенными параметрами по разнородной информации, содержащей уточняемые данные.

Достижение этой цели связано с выполнением следующих этапов исследования:

Формулировка задач в рамках нейросетевой парадигмы. Разработка общих методов выбора и настройки нейросетевого функционального базиса.

Рассмотрение простой задачи, имеющей известное аналитическое решение, с которым сравнивается решение, найденное с помощью нейронных сетей. Распространение методики решения этой задачи на некоторый достаточно широкий класс практически важных задач.

Решение нескольких более сложных задач, известные численные подходы к которым наталкиваются на некоторые трудности, хотя и не являющиеся непреодолимыми, но требующие применения разного рода искусственных приёмов.

Решение задач, для которых стандартные методы неприменимы.

Обобщение результатов исследования в форме новой парадигмы построения иерархии нейросетевых моделей по разнородной информации (модифицируемые уравнения, уточняемые данные, законы и т.д.)

Методы исследования. Основой для создания нейросетевых моделей и исследования разработанных алгоритмов является функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, теория представлений групп, интегральная геометрия, методы оптимизации, метод группового учёта аргументов (МГУА) и эволюционное моделирование, методы аппроксимации и численные методы.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, — новые.

•Нейронные сети трактуются как новый универсальный подход к численному решению задач математической физики. Известные методы (например, метод конечных элементов) рассматриваются как частные случаи RBF-сетей или полиномиальных сетей с персептронными коэффициентами.

• Приводятся (отутствовавшие ранее) нейросетевые несеточные методы приближенного решения задач математической физики и соответствующие приложения к задачам нелинейной оптики, квантовой физики, акустики, теплопроводности.

•Нейросетевая методологии применена к построению математических моделей прецизионных поверочных установок. Дан сравнительный анализ традиционного и нейросетевого подходов к моделированию акустического волнового поля в образцовой поверочной установке переменного давления с рабочей камерой оптимальной формы и рекомендации по совершенствованию нейросетевой модели.

• Исследованы вопросы регулярных возмущений коэффициентов уравнений, краевых условий, формы области. С новой точки зрения рассмотрены некоторые нелинейные задачи, задачи со свободной поверхностью.

• Рассмотрены возможности построения на основе нейронных сетей ре-гуляризаций решений некорректных задач на примере продолжения стационарных и нестационарных полей по данным точечных измерений и приближенного решения переопределенной характеристической задачи для неклассического ультрагиперболического уравнения в классе разрешимости.

•Предложена новая нейросетевая точка зрения на построение иерархии уточняемых моделей по разнородной информации, содержащей уравнения и данные. Соответствующие нейросетевые алгоритмы допускают эффективное распараллеливание.

На основе разработанных общих принципов созданы нейросетевые алгоритмы решения ряда классических и неклассических задач математической физики.

Данные методы реализованы численно и результаты расчётов сопоставлены с точными решениями в модельных задачах и с результатами, которые получаются применением других методов.

Обоснованность и достоверность результатов. Обеспечивается строгостью математических построений и применения математического аппарата, сопоставлением полученных результатов со свойствами точных решений задач, известными в простых частных случаях, хорошим совпадением результатов численных экспериментов с точными или приближенными решениями тестовых задач, правильным выбором исходных постановок задач, использованием систем аналитических вычислений. Выводы представленной работы находятся в логическом соответствии с физической интерпретацией полученных результатов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанная методика применения нейронных сетей к задачам математической физики проиллюстрирована на примере построения нейросетевой модели нанообъекта (квантовой точки), исследования процессов теплообмена в системе «сосуды-ткани», моделирования процесса фазового перехода в двухкомпонентной системе, создания приближенной нейросетевой математической модели калибратора переменного давления с оптимизацией формы поверочной камеры.

Она может быть использована в рамках grid-технологий при моделировании систем в случае сложной геометрии, при наличии нелинейности, разрывных коэффициентов, изменения типа уравнений в подобластях, при учете возмущений, уточнении модели.

Предлагаемые методы нейрокомпьютинга могут быть применены в компьютерном обеспечении будущей базовой установки Объединенного Института Ядерных Исследований (Дубна).

Постановки задач, методы и алгоритмы их решения будут полезны при разработке нейросетевого Программного Комплекса «Нейроматематика».

Результаты работы могут быть учтены при подготовке курсов лекций по современной вычислительной математике, неклассическим задачам математической физики, нейросетевым алгоритмам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных форумах:

• Всесоюзная школа «Неклассические уравнения математической физики», Новосибирск, 1989;

• Второй научно-технический семинар «Современные системы контроля и управления электрических станций и подстанций (АСУ ТП) на базе микропроцессорной техники» в 2001 году;

• Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям -SCM'2003, Санкт-Петербург, СПбГЭТУ «ЛЭТИ»;

• VI Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформа-тика-2004», Москва, МИФИ;

• V-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2004», СПб., СПбГПУ;

• Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям -SCM'2004, Санкт-Петербург, СПбГЭТУ «ЛЭТИ»;

• 10-й Международный симпозиум IMEKO «ТС7 International Symposium on Advances of Measurement Science», 2004, Санкт-Петербург;

• Пятая Международная научно-техническая конференция «Искусственный интеллект. Интеллектуальные и многопроцессорные системы», 2004, Кацивели, Крым;

• VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформа-тика-2005», Москва, МИФИ;

• V Международная конференция «Интеллектуальные системы» - IEEE AIS'05;

• Шестая Международная научно-техническая конференция «Интеллектуальные и многопроцессорные системы» (ИМС-2005) и научные молодежные школы «Высокопроизводительные вычислительные системы» (ВПВС-2005) и «Нейроинформатика и системы ассоциативной памяти» (Нейро-2005), Дивноморск;

• VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформа-тика-2006», Москва, МИФИ;

• VI Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях - NPNJ-2006, СПб, СПбГПУ;

• Седьмая Международная научно-техническая конференция «Искусственный интеллект. Интеллектуальные и многопроцессорные системы» (ИИ-ИМС'2006), 2006, Кацивели, Крым;

• XV Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам «ВМСППС'07», 2007, Алушта, Крым;

• заседание научного семинара Санкт-Петербургского отделения Российской Ассоциации "Нейроинформатика", 2005, 2006 годы;

• научный семинар Лаборатории Информационных Технологий ОИЯИ, Лаборатории Теоретической Физики ОИЯИ, Дубна, 2006 год;

• научный семинар кафедры «Высшая математика» СПбГПУ.

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано более 40 работ.

На защиту выносятся:

1. Новая нейросетевая парадигма построения иерархии математических моделей сложных систем с распределенными параметрами по разнородной уточняемой информации. Общий подход к выбору архитектуры и настройки нейросетевого базиса при моделировании таких систем.

2. Нейросетевые методы решения задач математической физики в классической постановке и соответствующие им алгоритмы настройки весов известных и новых видов нейронных сетей. Особенности построения нейросетевых моделей в случае составных областей и разрывных коэффициентов.

3. Эволюционные алгоритмы нейросетевого подхода, сочетающие подбор структуры сетей с одновременной настройкой их параметров. Сравнительный анализ результатов нейрокомпьютинга для тестовой L-области.

4. Особенности нейросетевого подхода при построении приближенных решений практически важных примеров краевых задач для уравнений эллиптического и параболического вида в случае областей с фиксированной, свободной и управляемой границей:

• модель температурного поля в системе «сосуды-ткани»,

• модель нанообъекта (квантовая точка),

• модель двухфазной системы со свободной границей,

• модель образцовой поверочной установки переменного давления с оптимизацией формы камеры.

5. Применение нейросетевого подхода к построению нейросетевых регуляризаций решений неклассических задач математической физики на примерах характеристической краевой задачи для ультрагиперболического уравнения при учете критерия ее разрешимости и некорректной задачи продолжения полей по данным точечных измерений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 220 наименований. Объем диссертационной работы составляет 289 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васильев, Александр Николаевич

Выводы

Рассматривается нейросетевой подход к построению робастной математической модели по разнородной информации (уравнения, условия, экспериментальные данные и т.д.). Основное внимание уделяется случаю обыкновенных дифференциальных уравнений и случаю уравнений в частных производных, а также возможным обобщениям. Приводятся примеры модельных задач. На основе нейрокомпьютинга могут быть построены регуляризации решений некорректных задач. В частности, дана нейросетевая регуляризация решени-ия некорректной задачи продолжения полей (стационарных и нестационарных) по известным приближенно данным точечных измерений. На основе нейросетевой методологии строятся решения ультрагиперболического уравнения в четырехмерном пространстве, представимые линейными интегралами от функций точки в трехмерном пространстве. Даются примеры корректных краевых задач для уравнений ультрагиперболического типа в случае областей с характеристическими границами. С помощью нейросетевой аппроксимации граничных данных из класса корректности и на основе учета условий разрешимости в общем нейросетевом подходе конструируются приближенные решения указанных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итогом диссертационной работы являются следующие научные и иракские результаты:

Разработана методология моделирования сложных систем с распределенными параметрами по разнородной информации с уточняемыми данными. Сформулирована новая парадигма моделирования таких систем на основе нейросетевой вычислительной технологии. В рамках этой парадигмы определены методы решения задач математической физики, разработан общий подход к выбору архитектуры и настройки нейросетевого функционального базиса.

Предложен подход к построению устойчивых математических моделей сложных физических, технических и других систем на основе методологии нейросетевого моделирования. Реализация этого подхода позволяет преодолеть многие проблемы моделирования (сложность геометрии, разномасштабность процессов, ошибки данных, погрешности вычислений и др.) как на начальном его этапе, так и при построении иерархии моделей по уточняемой разнородной информации. Разработаны нейросетевые методы и алгоритмы решения задач математической физики в классической и неклассической постановке, допускающие распараллеливание и позволяющие сочетать подбор оптимальной структуры моделирующей системы с настройкой параметров нейросетевого функционального базиса в зависимости от решаемой задачи моделирования.

Проведен анализ особенностей применения нейросетевого подхода при построении приближенных решений краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типа для областей с фиксированной, свободной и управляемой границей. Рассмотрены важные для практики приложения: модель температурного поля в системе «сосуды - ткани», модель нанообъекта (квантовая точка), модель нанообъекта (квантовая точка), модель двухфазной системы со свободной границей и модель образцовой поверочной установки переменного давления с оптимизацией формы рабочей камеры.

• Проведен анализ построения нейросетевых регуляризаций решений неклассических задач математической физики на примерах характеристической краевой задачи для ультрагиперболического уравнения при учете критерия ее разрешимости и некорректной задачи продолжения полей по данным точечных измерений.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Васильев, Александр Николаевич, 2007 год

1. Агошков В .И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики: Учебное пособие. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. -320 с.

2. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

3. Алферов Ж.И. Физика и жизнь. Изд. 2-е, доп. М.; СПб.: Наука, 2001. -288 с.

4. Антонов В.И., Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевые подходы к решению нестандартных задач моделирования теплообмена в системе «сосуды ткани»// Известия ТРТУ. - 2006. - №16(71). - С.54-58.

5. Антонов В.И., Васильев А.Н., Тархов Д.А. Приближённое решение задачи Стефана с помощью искусственных нейронных сетей // Материалы международной конференции «Искусственный интеллект 2004». - Таганрог - Донецк, 2004. - Том 1. - С.405-408.

6. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. - 312 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 632 стр.

8. Беликов С.В. Применение нейронных автоматов в задачах математической физики, Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях NPNJ-2006, СПб. - М.: Вузовская книга. - 2006. - С.64-66.

9. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974. - 208 с.

10. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1966.-352 с.

11. Бирман М., Соломяк М. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории// 10-я математическая школа, Институт математики АН УкрССР. Киев, 1974. - С.5-189.

12. Бирман М., Соломяк М. Кусочно-полиномиальные приближения фикций классов // Математический сборник. 1967. - 73, №3. -С.331-355.

13. Благовещенский А.С. О задаче для ультрагиперболического уравнения с данными на характеристической плоскости // Вестник ЛГУ, Сер. ма-тем.- 1965.- 13, 3.-С.13-19.

14. Благовещенский А.С. О характеристической задаче для ультрагиперболического уравнения// Математический сборник. 1963. -т.63(105), вып.1. - С.137-168.

15. Благовещенский А.С., Васильев А.Н. Некоторые новые корректные задачи для ультрагиперболического уравнения// Вестник ЛГУ. 1976. -№ 19. - С.152-153.

16. Браверман Э.М., Мучник И.Б. Структурные методы обработки эмпирических данных. М.: Наука, 1983. - 464 с.

17. Брудный Ю. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями// Труды Московского математического общества. 1994. - 55. - С.149-242.

18. Брудный Ю. Нелинейная N-членная аппроксимация масштабными функциями// Алгебра и анализ. СПб.: Наука РАН, 2004. - Т. 16, вып.1.-С.163-206.

19. Бэстенс Д.-Э. и др. Нейронные сети и финансовые рынки. М.: ТВП, 1997.-236 с.

20. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.-448 с.

21. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. -М.: Мир, 1974. 128 с.

22. Васильев А.Н. Корректная задача для ультрагиперболического уравнения и ее связь с задачей интегральной геометрии// «Неклассические методы в геофизике» Сборник материалов всесоюзной школы. - Новосибирск, 1977. - С.135-137.

23. Васильев А.Н. Новые краевые задачи для ультрагиперболического и волнового уравнений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - JL - 1977. - 117 с.

24. Васильев А.Н. Новые нейросетевые подходы к решению краевых задач в областях, допускающих декомпозицию// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2006. - №7. - С.32-39.

25. Васильев А.Н. О нейросетевом подходе к построению приближенных решений прикладных задач математической физики// Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2006. - №3. - С. 182-186.

26. Васильев А.Н. О новом законе сохранения для волнового уравнения// Вестник ЛГУ. 1977. - №7. - С.25-31.

27. Васильев А.Н. Построение приближённого решения уравнения Шре-дингера с кусочно-постоянным потенциалом на основе нейросетевой методологии// Материалы VII Международной конференции «ИИ-ИМС'2006». Таганрог - Донецк - Минск, 2006. - Том 2. - С.238-241.

28. Васильев А.Н. Теоретические исследования и расчет параметров полей давления в камерах образцовых установок, воспроизводящих переменные давления// Отчет о научно-исследовательской работе по теме №511001.-Л., 1982.-70 с.

29. Васильев А.Н., Виницкий С.И., Тархов Д.А. Нейросетевые модели квантовых точек// Труды VIII-й Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2007», СПб. СПб.: Изд. СПбГПУ, 2007. - С.90-102.

30. Васильев А.Н., Тархов Д.А. RBF-сети и некоторые задачи математической физики// Сборник докладов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2004. - СПб., 2004. - Том 1. - С.309-312.

31. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Моделирование распределённых систем с помощью нейронных сетей// Труды 5-й международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2004», СПб. СПб.: Изд. «Нестор», 2004. - Часть 1. - С.172-173.

32. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейронные сети как новый универсальный подход к численному решению задач математической физики // «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2004. - №7-8. - С.111-118.

33. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевой подход к расчету квантовых точек// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2007. -№6. - С.87-95.

34. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевой подход к решению краевых задач в составных областях// Материалы международной конференции «Искусственный интеллект — 2004». — Таганрог Донецк, 2004. - Том 1. - С.475-478.

35. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевой подход к решению некоторых неклассических задач математической физики// Сборник научных трудов VII Всероссийской научно-технической конференции «Нейро-информатика-2005». Москва, МИФИ, 2005. - Часть 2. - С.52-60.

36. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевые подходы к решению краевых задач в многомерных составных областях// Известия ТРТУ. — 2004. №9. - С.80-89.

37. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Некоторые эволюционные подходы к ней-росетевому решению задач математической физики// Сборник научных трудов VIII Всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика-2006». Москва, МИФИ, 2006. - Часть 1. - С.24-31.

38. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Новые нейросетевые подходы к решению краевых задач в составных областях// Искусственный интеллект. Донецк, 2005. - №1.- С.26-36,

39. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Новые подходы на основе RBF-сетей к решению краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2004. - №7-8. - С. 119-126.

40. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Построение нейросетевой модели по дифференциальным уравнениям и экспериментальным данным// Известия ТРТУ. 2005. - №10(54). - С.98-107.

41. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Применение искусственных нейронных сетей к моделированию многокомпонентных систем со свободной границей// Известия ТРТУ. 2004. - №9. - С.89-100.

42. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Применение искусственных нейронных сетей к задаче Стефана// Искусственный интеллект. Донецк, 2005. -№1. - С.37-47.

43. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Применение нейронных сетей к неклассическим задачам математической физики// Сборник докладов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям -SCM'2003. СПб., 2003. - Том 1. - С.337-340.

44. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Расчет теплообмена в системе «сосуды-ткани» на основе нейронных сетей// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2006. - №7. - С.48-53.

45. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Расчёт теплообмена в системе «сосуды-ткани» на основе нейронных сетей// Современные проблемы нейроин-форматики. Кн. 23. Коллективная монография: в 2-х ч. М.: Радиотехника, 2006. - Часть 2. - 80 с.

46. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Эволюционные подходы к нейросетевому решению задач математической физики// Сборник трудов V Международной конференции «Интеллектуальные системы» IEEE AIS'05, Дивноморское. - Таганрог, 2005.

47. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Гущин Г. Моделирование калибратора переменного давления с помощью системы нейронных сетейII Сборник докладов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2004. - СПб., 2004. - Том 1. - С.304-308.

48. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Издательство МГУ, 1988.- 176 с.

49. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Издательство Московского университета, 1989. - 204 с.

50. Галушкин А.И. О методике решения задач в нейросетевом логическом базисе// В сб.: «Нейроинформатика-2006». М.: МИФИ, 2006. - Часть 1. - С.9-24.

51. Галушкин А.И. Принципы построения высокоточных измерительных приборов на базе нейрокомпьютеров//В сб.: «Нейроинформатика-2006». -М.: МИФИ, 2006. Часть 2. - С. 129-137.

52. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Кн. 1. М.: ИПРЖР, 2000. -416 с.

53. Гельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2000. - 208 с.

54. Гельфанд И.М., Граев М.И., Шапиро З.Я. Интегральная геометрия на к мерных плоскостях// Функциональный анализ. - 1967. -т.1, вып.1. - С.15-31.

55. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

56. Гладков JI.A., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 320 с.

57. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. -392 с.

58. Головко В.А. Нейронные сети: обучение, организация и применение. — М.: ИПРЖР, 2001. 256 с.

59. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. -548 с.

60. Горбань А.Н. Обучение нейронных сетей. М.: Параграф, 1990. - 160 с.

61. Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука, 1996. - 276 с.

62. Горбаченко В.И. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных на клеточных нейронных сетях// «Нейрокомпьютер». 1998. -№3-4. - С.5-14.

63. Горбаченко В.И. Нейрокомпьютеры в решении краевых задач теории поля. Кн. 10. М.: Радиотехника, 2003. - 333 с.

64. Горбаченко В.И., Катков С.Н. Нейросетевые методы решения задач термоупругости// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. -2001.-№3.-С.31-37.

65. Дорогов А.Ю., Быстрые нейронные сети. СПб.: Изд-во С.-Петерб. Университета, 2002. - 80 с.

66. Емельянов В.В., Курейчик В.М., Курейчик В.В. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 с.

67. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 296 с.

68. Жиглявский А.А. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: издательство Ленинградского университета, 1985. - 296

69. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1991.-248 с.

70. Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. К.: Наукова думка, 1988.-288 с.

71. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. К.: Наукова думка, 1982. - 350 с.

72. Ивахненко А.Г., Мюллер И.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. К.: Техника, 1984. - 350 с.

73. Ивахненко А.Г., Степашко B.C. Помехоустойчивость моделирования. К.: Наукова думка, 1985. - 214 с.

74. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987. — 120с.

75. Калинин А.В., Подвальный C.JI. Технология нейросетевых распределённых вычислений. Воронеж: ВГУ, 2004. - 121 с.

76. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей. М.: Вильяме, 2001. -288 с.

77. Катковник В.Я. Непаметрическая идентификация и сглаживание данных. М.: Наука, 1985. - 336 с.

78. Киндерманн Л., Процел П. Основы решения функциональных уравнений с помощью нейронных сетей// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2005. - №3. - С. 12-16.

79. Кирсанов Э.Ю. Нейрокомпьютеры с параллельной архитектурой. — М.: ИПРЖ, 2004. 222 с.

80. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных// Доклады АН СССР. 1956. - Т.108, №2. - С.179-182.

81. Комарцова Л.Г., Максимов А.В. Нейрокомпьютеры. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. - 320 с.

82. Корнеев В.В. и др. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. М.: Нолидж, 2000. - 352 с.

83. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника, 2003. - 512 с.

84. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2004. - 308 с.

85. Кричевский М.Л. Применение интеллектуальных технологий в сфере управленческо-экономических задач// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2004. - №7-8. - С.97-104.

86. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. М.: Горячая линия - Телеком, 2001. - 382 с.

87. Крыжановский Б.В., Крыжановский В.М. Быстрая система распознавания и принятия решения на основе векторной нейронной сети// Искусственный интеллект. Донецк, 2004. - №3. - С.534-541.

88. Крыжановский Б.В., Литинский Л.Б. Векторные модели ассоциативной памяти// В сб.: "Лекции по нейроинформатике". М.: МИФИ, 2003.-Часть 1.-С.72-85.

89. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962. - 92 с.

90. Лекции по нейроинформатике. М.: МИФИ, 2001-2005.

91. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: Мир, 1971.-372 с.

92. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями в механике. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 368 с.

93. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 478 с.

94. Магнус Я.Р., Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. Пер. с англ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

95. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002. - 360 с.

96. Малыхина Г.Ф. Измерение характеристик сложных объектов с использованием динамических нейронных сетей// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2004. - №7-8. - С.80-86.

97. Милов В.Р. Обучение нейронных RBF-сетей на основе процедур структурно-параметрической оптимизации// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2003. - №5. - С.29-33.

98. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. 2-е изд. перераб. и дополн. - М.: Наука, 1983. - 424 с.

99. Михлин С.Г. Курс математической физики. 2-е изд. - СПб.: Лань, 2002.-576 с.

100. Назаров А.В., Лоскутов А.И. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации систем. СПб.: Наука и Техника, 2003. - 384 с.

101. Научные сессии МИФИ 2000, 2001. Квантовые нейронные сети: Материалы рабочего совещания. - М.: МИФИ, 2001. - 104 с.

102. Нейроматематика. Кн. 6. Общая ред. А.И.Галушкина. М.: ИПРЖР, 2002.-448 с.

103. Нейронные сети. STATISTIC A Neural Networks. М.: Горячая линия -Телеком, 2000. - 182 с.

104. Нечаев Ю.И. Нейросетевые технологии в бортовых интеллектуальных системах реального времени// В сб.: "Лекции по нейроинформатике". -М.: МИФИ, 2002. Часть 1. - С. 114-163.

105. Нечаев Ю.И. Принципы использования нейронных сетей в бортовых интеллектуальных системах// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2004. - №7-8. С.49-56.

106. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

107. Первозванский А.А., Буцев А.В. Локальная аппроксимация на искусственных нейросетях// Автоматика и телемеханика. 1995. - №9. -С.127-136.

108. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.-376 с.

109. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 384 с.

110. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

111. Пупков К.А. и др. Методы робастного, нейро-нечёткого и адаптивного управления. М. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. - 744 с.

112. Растригин Л.А., Эренштейн Р.Х. Метод коллективного распознавания. -М.: Энергоиздат, 1981. 80 с.

113. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1: Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 360 с.

114. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.- М.: Мир, 1972.-420 с.

115. Рутковская Д. и др. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечёткие системы. М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 452 с.

116. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 480 с.

117. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. - 244 с.

118. Сигеру Омату и др. Нейроуправление и его приложения. М.: ИПРЖ, 2000.-271 с.

119. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982. - 488 с.

120. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

121. Тархов Д.А. Нейронные сети: модели и алгоритмы. Кн.18. М.: Радиотехника, 2005. - 256 с.

122. Тархов Д.А. Нетрадиционные генетические алгоритмы декомпозиции и распределения при решении задач математической физики с помощью нейронных сетей// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение.- 2006. №7. - С.40-47.

123. Терехов В.А. и др. Нейросетевые системы управления. М.: ИПРЖР, 2002.-480 с.

124. Терехов С.А. Адаптивные нейросетевые методы в многошаговых играх с неполной информацией// В сб.: "Лекции по нейроинформатике".- М.: МИФИ, 2005. С.92-135.

125. Терехов С.А. Вейвлеты и нейронные сети// В сб.: "Лекции по нейроинформатике". -М.: МИФИ, 2001. С.142-181.

126. Терехов С.А. Нейродинамичеекое программирование автономных агентов// В сб.: "Лекции по нейроинформатике". М.: МИФИ, 2004. -Часть 2. -С.111-139.

127. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986.-288 с.

128. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.-735 с.

129. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.-432 с.

130. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. М.: Мир, 1992.-240 с.

131. Физические и математические модели нейронных сетей. М.: ВИНИТИ, 1990-1992.-Тома 1-5.

132. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988.-352 с.

133. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е издание. Пер. с англ. -М.: Изд. дом «Вильяме», 2006. 1104 с.

134. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир, 1992.-368 с.

135. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983. - 152 с.

136. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М.: ИЛ. - 1959.

137. Хомич А.В., Жуков Л.А. Метод эволюционной оптимизации и его приложение к задаче синтеза искусственных нейронных сетей// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. 2004. - №12. - С.3-15.

138. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений: Учебное пособие. СПб.: Лань, 2001. - 384 с.

139. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.-328 с.

140. Эволюционные вычисления и генетические алгоритмы. Обозрение прикладной и промышленной математики. 1996. - Том 3, вып.5. -176 с.

141. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теория оптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 с.

142. Ярушкина Н.Г. Нечёткие нейронные сети с генетической настройкой// В сб.: "Лекции по нейроинформатике". М.: МИФИ, 2004. - Часть 1. -С.151-197.

143. Attali J.-G., Pages G. Approximations of Functions by a Multilayer Percep-tron: a New Approach// Neural Networks. 1997. - Vol. 10, No. 6. - pp. 1069-1081.

144. Brudnyi Yu., Krugljak N. Interpolation functors and interpolation spaces. Vol.1, North-Holland Math. Library, vol.47, North-Holland, Amsterdam, 1991.

145. Burger M., Neubauer A. Analysis of Tikhonov Regularization for Function Approximation by Neural Networks// Neural Networks. 2003. - Vol. 16, No. l.-pp. 79-90.

146. Castro J.L., Mantas C.J., Benitez J.M. Neural Networks with a Continuous Squashing Function in the Output are Universal Approximators// Neural Networks. 2000. - Vol. 13, No. 6. - pp. 561-563.

147. Chew S.H. and Zheng Q. Integral global optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol.298, Springer-Verlag, (1988).

148. Cybenko G. Approximation by superposition of a sigmoidal function// Mathematics of Control, Signals, and Systems. 1989. - Vol. 2. - pp. 303314.

149. DeVore R.A. Nonlinear approximation// Acta Numer., Cambridge University press, Cambridge. 1998. - Vol. 7. - pp. 51-150.

150. Dissanayake M.W.M.G., Phan-Thien N. Neural-network-based approximations for solving partial differential equations// Communications in Numerical Methods in Engineering. March 1994. - Volume 10, Issue 3. - pp. 195-201.

151. Ermolaev A.M., Puzynin I.V., Selin A.V. Integral boundary conditions for the time-dependent Schrodinger equation: Atom in a laser field// Physical Review. 1999. - Vol. 60, No.6. - pp. 4831-4845.

152. Esposito A., Marinaro M., Oricchio D., Scarpetta S. Approximation of Continuous and Discontinuous Mappings by a Growing Neural RBF-based Algorithm// Neural Networks. 2000. - Vol. 13, No. 6. - pp. 651-665.

153. Fasshauer G. E. Solving differential equations with radial basis functions: multilevel methods and smoothing// Adv. in Сотр. Math. 1999. - 11. -pp. 139-159.

154. Fornberg В., Driscoll T.A., Wright G. and Charles R., Observations on the Behavior of Radial Basis Function Approximations Near Boundaries// Comput. Math. Appl. 2002. - 43. - pp. 473-490.

155. Fornberg В., Flyer N. Accuracy of Radial Basis Function Interpolation and Derivative Approximations on 1-D Infinite Grids. Preprint, University of Colorado.-2003.

156. Fornberg В., Larsson E. A Numerical Study of some Radial Basis Function based Solution Methods for Elliptic PDEs// Computers and Mathematics with Applications. 2003. - 46. - pp. 891-902.

157. Fornberg В., Wright G., Stable Computation of Multiquadric Interpolants for All Values of the Shape Parameter. Preprint, University of Colorado. -2003.

158. Funahashi K. On the approximate realization of continuous mappings by neural networks// Neural Networks. 1989. - Vol. 2. - pp. 183-192.

159. Galperin E., Pan Z., Zheng Q. Application of global optimization to implicit solution of Partial Differential Equations// Computers & Mathematics with

160. Applications. Pergamon Press Ltd. - 1993. - Vol. 25, No. 10/11. - pp. 119-124.

161. Galperin E., Zheng Q., Solution and control of PDE via global optimization methods// Computers & Mathematics with Applications. — Pergamon Press Ltd. 1993.-Vol. 25, No. 10/11.-pp. 103-118.

162. Gorban' A.N. Approximation of continuous functions of several variables by an arbitrary nonlinear continuous function of one variable, linear functions, and their superpositions// Appl. Math. Lett. 1998. - Vol. 11, No. 3. -pp. 45-49.

163. Hansen E.R., Walster G.W. Nonlinear equations and optimization// Computers & Mathematics with Applications. Pergamon Press Ltd. - 1993. -Vol. 25, No. 10/11.-pp. 125-145.

164. Hardy R.L. Theory and Applications of the multiquadric-biharmonic method// Computers and Mathematics with Applications. 1990. - 19(8/9). -pp. 163-208.

165. Haykin S. Neural Networks: A Comprehensive Foundation. Macmillan, New York, 1994. - 696 p.

166. Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators// Neural Networks. 1989. - Vol. 2. - pp. 359366.

167. Hristev R.M. The ANN Book. GNU, 1998. - 392 p.

168. Iannella N., Back A.D. A Spiking Neural Network Architecture for Nonlinear Function Approximation// Neural Networks. 2001. - Vol. 14, No. 6-7. -pp. 933-939.

169. Ivakhnenko A.G., Ivakhnenko G.A., Muller J. A. Self-organization of neural networks with active neurons// Pattern Recognition and Image analysis. -1994.-2.-pp. 185-196.

170. Jianyu L., Siwei L., Yingjian Q., Yaping H. Numerical solution of elliptic partial differential equation using radial basis function neural networks// Neural Networks. June-July 2003. - Volume 16, Issues 5-6. - pp. 729734.

171. John F., The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables// Duke Math. J. 1938. - 4. - pp. 300-322.

172. Kansa E. Multiquadrics a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics I: Surface approximations and partial derivative estimates// Computers and Mathematics with Applications. - 1990. - 19(8/9). - pp. 127-145.

173. Kansa E.J. Motivation for using radial basis functions to solve PDEs// Lawrence Livermore National Laboratoiy and Embiy-Riddle Aeronatical University. -1999. http://wmv.rbf-pde.uah.edu/kansaweb.ps.

174. Kubota T. Massively Parallel Networks for Edge Localization and Contour Integration Adaptable Relaxation Approach// Neural Networks. - 2004. -Vol. 17, No. 3.-pp. 411-425.

175. Kurkova V. Approximation of Functions by Perceptron Networks with Bounded Number of Hidden Units// Neural Networks. 1995. - Vol. 8, No. 5.-pp. 745-750.

176. Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. Artificial Neural Networks for Solving Ordinary and Partial Differential Equations// IEEE Transactions on Neural Networks. 1998. - Vol. 9, No. 5. - pp. 987-1000.

177. Liao Y., Fang S.-C., Nuttle H.L.W. Relaxed Conditions for Radial-basis Function Networks to be Universal Approximators// Neural Networks. -2003.-Vol. 16, No. 7.-pp. 1019-1028.

178. Madych W.R., Nelson S.A. Multivariate interpolation and conditionally positive definite functions II// Math.Comput. 1990. - 54. - pp. 211-230.

179. Mai-Duy N., Tran-Cong T. Numerical solution of differential equations using multiquadric radial basis function networks// Neural Networks. 2001. -14.-pp. 185-199.

180. Masuoka R. Neural Networks Learning Differential Data// IEICE Trans. Inf.&Syst. 2000. - Vol. E83-D, No. 8. - pp. 1291-1299.

181. Mhaskar H.N. Neural Networks and Approximation Theory (letters to the editor)// Neural Networks. 1996. - Vol. 9, No. 4. - pp. 721-722.

182. Mhaskar H.N., Micchelli C.A. Degree of Approximation by Neural and Translation Networks with a Single Hidden Layer// Advances in Applied Mathematics.-1995.- 16.-pp. 151-183.

183. Park J., Sandberg I.W. Universal approximation using radial-basis-function networks//Neural Computation. 1991.-Vol. 3.-pp. 246-257.

184. Petrushev P., Popov V. Rational approximations of real functions, Encyclopedia Math, Appl., Vol. 28. Cambridge University press, Cambridge. -1987.

185. Scarselli F., Tsoi A.C. Universal Approximation Using Feedforward Neural Networks: A Survey of Some Existing Methods, and Some New Results// Neural Networks, Elsevier Science Ltd. 1998. - Vol. 11, No. 1. - pp. 1537.

186. Shamardan A.B. The numerical treatment of the nonlinear Schrodinger equation// Computers and Mathematics with Applications. 1990. - 19(7). -pp. 67-73.

187. Sharan M., Kansa E .J., Gupta S., Application of the Multiquadric method to the numerical solution of elliptic partial differential equations// Applied Mathematics and Computation. 1997. - 84. - pp. 275-302.

188. Solazzi M., Uncini A. Regularising Neural Networks Using Flexible Multivariate Activation Function// Neural Networks. 2004. - Vol. 17, No. 2. -pp. 247-260.

189. Temlyakov V.N. Nonlinear methods of approximation// IMI-Preprint Ser., University of South Caroline. 2001. - pp. 1 -57.

190. Terekhoff S.A., Fedorova N.N. Cascade Neural Networks in Variational Methods For Boundary Value Problems// Russian Federal Nuclear Center -VNIITF.

191. Troitskii V.A. Optimization Approaches to Some Observation Problems for PDE. — www.inftech.webservis.ru

192. Vasilyev A., Tarkhov D., Guschin G. Neural Networks Method in Pressure Gauge Modeling// Proceedings of the 10th IMEKO TC7 International Symposium on Advances of Measurement Science, Saint-Petersburg, Russia.2004.-Vol. 2.-pp. 275-279.

193. Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. HUMAN MOTION SIMULATION// Труды 5-й международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2004», СПб. СПб.: Изд. «Нестор», 2004. - Часть 1. -С.174-175.

194. Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems// Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), Allerton Press, Inc.2005.-Vol. 14, No. 1.-pp. 59-72.

195. Vinod V.V., Ghose S. Growing Nonuniform Feedforward Networks for Continuous Mappings// Neurocomputing. 1996. - 10. - pp. 55-69.

196. Voss H. Numerical calculation of the electronic structure for three-dimensional quantum dots// Computer Physics Communications. 2006. -174.-pp. 441-446.

197. Wang W., Hwang T.-M., Jang J.-C. A second-order finite volume scheme for three dimensional truncated pyramidal quantum dot// Computer Physics Communications. 2006. - 174. - pp. 371-385.

198. Wright G.B. Radial Basis Function interpolation: Numerical and Analytical Developments. A Thesis for the PhD Degree, Department of Applied Mathematics, University of Colorado. - 2003. - 155 p.