Неголономные гиперповерхности вращения в трехмерном и четырехмерном евклидовых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Васильева, Оксана Владимировна

• Васильева, Оксана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильева, Оксана Владимировна

Введение

Предварительные сведения

1 Неголономные поверхности вращения в трехмерном евклидовом пространстве

§1. Геометрическая характеристика линий кривизны 2-го рода

§2. Условия, определяющие неголономную поверхность вращения

§3. Меридианы и параллели неголономной поверхности вращения

§4. О главных кривизнах 1-го рода неголономной поверхности вращения

§5. Минимальные неголономные поверхности вращения.

§6. Неголономные поверхности вращения, для которых всякая параллель является геодезической прямейшей.

§7. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны

2-го рода.

§8. Сравнительная характеристика поверхностей вращения и неголономных поверхностей вращения.

2 Сферические неголономные поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве

§1. Главные кривизны 2-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения. Условия, определяющие сферическую неголономную гиперповерхность вращения.

§2. Меридианы и параллели сферической неголономной гиперповерхности вращения.

§3. Сферические неголономные гиперповерхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.

§4. Главные кривизны 1-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения.

§5. Сравнительная характеристика сферических гиперповерхностей вращения и сферических неголопомных гиперповерхностей вращения.

3 Неголономные гиперповерхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве

§1. Главные кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения. Условия на инварианты, характеризующие

НПДВ.

§2. Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения.

§3. Эквидирекционные линии и поверхности векторного ноля нормалей НПДВ.

§4. Главные кривизны и главные направления 1-го рода. Линии кривизны 1-го рода НПДВ

§5. Неголономные гиперповерхности двойного вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.

§6. Неголономные гиперповерхности двойного вращения нулевой полной кривизны 1-го рода.

§7. Сравнительная характеристика гиперповерхностей двойного вращения и неголономных гиперповерхностей двойного вращения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неголономные гиперповерхности вращения в трехмерном и четырехмерном евклидовых пространствах»

Актуальность темы.

Термин "неголономная геометрия" введен немецким механиком Г.Герцем в 1894 году [37]. Так он назвал систему материальных точек, движение которой описывается не вполне интегрируемыми дифференциальными уравнениями. Однако первая работа, в которой рассматривается геометрия интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа

Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz = О в евклидовом пространстве появилась в 1880 г. Ее автор — немецкий математик и механик А. Фосс назвал ее "Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения Pdx + Qdy + Rdz = 0" [40]. Среди множества интегральных кривых уравнения Пфаффа выделены инвариантные кривые. Было замечено "раздвоение" свойств, присущих неголономной геометрии. Так появились линии кривизны 1-го и 2-го рода, геодезические "прямейшие" и "кратчайшие".

Следует отметить также важный результат, полученный в 1909 году Каратеодори, о возможности соединения двух точек пространства геодезической "кратчайшей". Эта теория понадобилась ему, прежде всего, в работах по основаниям термодинамики.

До конца 20-х годов XX века количество работ в области неголономной геометрии было незначительным. С 1926 года стали появляться работы Д.М.Синцова, впоследствии вошедшие в сборник [27]. Наиболее серьезные результаты по неголономной геометрии в ее связи с механикой относятся к предвоенным годам и принадлежат Г. Врэнчану [41], Дж. Сингу [39], И.А. Схоутену [38], В.В.Вагнеру [6], [7], [8] и другим выдающимся математикам и физикам того времени. В СССР в те годы неголономную проблематику активно пропагандировал В.Ф. Каган [25]. Это он предложил в 1937 году тему, связанную с неголономной геометрией, на премию Н.И. Лобачевского. Премия была присуждена В.В.Вагнеру. Относительно работ по неголономной геометрии П.К. Рашевский в 1948 году писал: "В общем итоге: после большой работы, проведенной в теории неголономных пространств В.В. Вагнером, вряд ли есть необходимость в дальнейшем развитии общих схем, но нужна большая работа по испытанию различных моментов теории, так сказать, на их жизнеспособность и по заполнению конкретным содержанием тех ее отделов, которые способны служить для этой цели. Сам Вагнер дал также ряд совершенно конкретных результатов, однако до исчерпания намеченной задачи еще очень далеко"[25].

Заметим, что работы В.В. Вагнера трудночитаемы. Это объясняется отсутствием в то время ясных понятий, которые облегчили бы чтение геометрических работ по неголономной геометрии. Да и сами методы исследования, используемые в то время, были слишком громоздки. Изменились методы после работ Э. Картана [13] и С.П. Финикова [32]. Изменилась и терминология в связи с использованием идей неголономной геометрии на n-мерных гладких многообразиях Шп. Появилось понятие ^-мерного распределения как гладкого отображения, сопоставляющего каждой точке х многообразия Шп ^-мерное подпространство касательного пространства ТхШп [10], [12], [16], [31].

С распределением размерности к тесно связана система из (п — к) независимых уравнений Пфаффа. Распределение называется интегрируемым (или голономным), если система уравнений Пфаффа вполне интегрируема [23], т.е. если через каждую точку х € 9ЯП проходит £:-мерное интегральное многообразие, которое в каждой своей точке касается плоскости распределения. В этом случае на Шп возникает ^-мерное слоение [12], т. е. через каждую точку х Е Шп проходит одно (и только одно) ^-мерное многообразие, гладко зависящее от точки многообразия (см. классическую теорему Фробениуса [14]). Говорят также, что Шп "расслаивается" на ^-мерные многообразия. Заметим, что одномерное распределение всегда интегрируемо. Распределение размерности (п—1) называется гиперраспределением, которому соответствует одно уравнение

Пфаффа.

Если система из (п — к) уравнений Пфаффа, связанная с распределением, не является вполне интегрируемой, т.е. не имеет интегральных многообразий размерности к, то распределение называется не вполне интегрируемым (или неголономным).

Неголономная геометрия это геометрия гладкого многообразия, на котором задано неголономное распределение [10]. Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия появилось большое количество работ по неголономной геометрии с конкретным содержанием (о нехватке которых говорил П.К. Рашевский в [25]). Среди них — работы по неголономной геометрии линейчатых многообразий. Достаточный перечень последних содержится в [34].

В семидесятых годах появился целый ряд серьезных работ по распределениям в аффинном, проективном пространствах и в пространствах с заданной связностью [1], [4], [5], [15], [17], [21], [30].

Что касается термина "неголономная поверхность", то его ввел Э.Бортолотти [35], [36] для обозначения совокупности интегральных кривых уравнения Пфаффа, заданного в аффинном или проективном пространстве. Этот термин использовали после него и другие авторы (см., например, [26]), понимая, что "неголономная поверхность" не является поверхностью, даже если уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. Но в последнем случае пространство расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Через каждую точку проходит одна интегральная поверхность в голономном случае. Возникает возможность сравнить геометрию кривых, проходящих через одну точку пространства, в голономном и неголономном случаях. Поэтому в некотором смысле этот термин оправдывается. В данной работе он оказывается удобным, и мы будем им пользоваться.

В нашем случае многообразие ШТП — это n-мерное евклидово пространство Е„. В Еп геометрия гладкого (п — 1)-мерного распределения связана с геометрией векторного поля. Действительно, если задано гладкое векторное поле без особых точек (т.е. гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке М Е Еп вектор #), то по нему также определено единственное (п — 1)-мерное распределение, сопоставляющее точке М гиперплоскость 7rni, ортогональную вектору v в этой точке. И наоборот, по распределению (М, 7rni) определяется единственное, с точностью до знака, единичное векторное поле (М,е), где е — единичный вектор, ортогональный 7rni. Таким образом, существует тесная связь между неголономной геометрией и геометрией векторного поля. Эта связь хорошо прослеживается в работах [2], [29].

Одна из областей применения неголономной геометрии — это динамика механических систем с неголономными связями. Они появляются в виде не вполне интегрируемых дифференциальных уравнений, например, при описании качения твердого тела по поверхности другого тела с учетом трения. В механике решению такого вида задач уделяется большое внимание [3], [И], [22].

Векторные поля находят свое приложение при изучении поля скоростей потоков жидкостей [28], они появляются также в общей теории относительности. Векторные поля постоянной длины (в геометрии — это поля единичных векторов) используются при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков [2], [19].

Таким образом, все вышеизложенное позволяет считать задачу геометрического исследования конкретных неголономных поверхностей актуальной проблемой неголономной геометрии.

Цель работы. Данная работа посвящена изучению геометрии гиперраспределений частного вида в трех- и четырехмерном евклидовых пространствах и относится к локальной дифференциальной геометрии. Исследуемое неголономное распределение получило название "Неголопомпая поверхность вращения" потому, что в случае его голономности слоями будут являться поверхности вращения (или их части, так как работа относится к локальной дифференциальной геометрии).

В работе [42] мною исследованы поверхности вращения в четырехмерном евлидовом пространстве. Таким образом, есть возможность сравнить поверхности вращения в голономном и неголономном случаях.

Целыо диссертационной работы является исследование геометрии неголономных гиперповерхностей вращения в 3-х и 4-хмерном евклидовых пространствах, в частности, выявление основных инвариантов и исследование свойств линий кривизны 1-го и 2-го рода, асимптотических, эквидирекционных и геодезических линий, а также доказательство существования наиболее важных неголономных поверхностей вращения. Кроме того, одна из поставленных в данной работе задач - сравнение свойств кривых неголономной гиперповерхности вращения, проходящих через заданную точку, со свойствами кривых, принадлежащих обычной поверхности вращения в голономном случае.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Дано определение неголономной поверхности вращения (НПВ) в 3-хмерном евклидовом пространстве как такого гиперраспределения, все нормали которого пересекают одну неподвижную прямую (ось вращения).

• Найдены условия на инварианты, определяющие НПВ.

• Даны определения параллелей и меридианов НПВ в 3-хмерном пространстве и изучены их свойства.

• Доказано существование и исследована геометрия некоторых частных классов НПВ:

1) минимальных неголономных поверхностей вращения;

2) минимальных неголономных поверхностей вращения, для которых линии тока векторного поля нормалей являются окружностями;

3) неголономных поверхностей вращения, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей;

4) единственной (с точностью до постоянных) неголономной поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода, все параллели которой являются геодезическими прямейшими. В этом случае не только доказана теорема существования, но и получен результат в целом. Уравнение распределения и уравнения его инвариантных кривых найдены в неподвижной системе координат во всем пространстве Е3. Ось вращения при этом состоит из особых точек распределения.

• Дано определение и исследовано два вида неголономных гиперповерхностей вращения в Е4: 1) сферические неголономные гиперповерхности вращения (СНПВ); 2) неголономные гиперповерхности двойного вращения (НПДВ).

• Доказано, что все три главные кривизны 2-го рода СНПВ являются вещественными числами в каждой точке М € G. При этом две из них совпадающие. Найдены и другие условия на инварианты, характеризующие СНПВ.

• Доказано, что кратной кривизне 2-го рода СНПВ соответствует множество линий кривизны 2-го рода, заполняющих двумерную поверхность, лежащую на трехмерной сфере с центром на оси вращения. Эта двумерная поверхность называется параллелью. Некратной кривизне соответствует линия кривизны 2-го рода, лежащая в двумерной плоскости, проходящей через ось вращения. Эта линия названа меридианом.

• Изучены свойства меридианов и параллелей.

• Доказаны теоремы существования некоторых частных классов СНПВ.

• Доказано, что для НПДВ также все кривизны 2-го рода, две из них различны.

• НПДВ разбиваются на два класса: а) НПДВ, для которых все три главные кривизны 2-го рода - различные числа, б) НПДВ, имеющие двукратную главную кривизну 2-го рода. Подробно изучена геометрия каждого из этих классов.

• Рассмотрены линии кривизны 1-го рода и их особенности для различных классов НПДВ.

• Доказаны теоремы существования для некоторых частных видов НПДВ.

Методика исследования. Работа выполнена методом внешних форм Картана с использованием подвижного репера.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Могут быть использованы при исследовании векторных полей и в задачах, приводящих к не вполне интегрируемым уравнениям Пфаффа, например, при изучении динамических систем с неголономными связями частного вида, а также при изучении поля скоростей потоков жидкостей и при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков.

Степень достоверности результатов проведенных исследований.

Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов локальной дифференциальной геометрии. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами, а также сравнением полученных результатов с результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Понятие неголономной поверхности вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

2. Особенности инвариантов и инвариантных линий для неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

3. Теоремы существования некоторых частных классов неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

4. Понятия неголономной сферической гиперповерхности вращения и неголономной гиперповерхности двойного вращения в 4-хмерном евклидовом пространстве.

5. Результаты исследования свойств различных инвариантных линий для неголономных гиперповерхностей вращения обоих видов в 4-хмерном евклидовом пространстве.

Личный вклад автора. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю, кандидату физ.-мат. наук, доценту Онищук Н. М. Все результаты, приведенные автором в тексте диссертации, получены им самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование"(Томск, 2003 г.); Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.); на III Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2003 г.); на XLII и XLIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004 г. и 2005 г.); на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.); на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(Москва, 2006 г.); на семинаре по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (2006 г.); на краевом геометрическом семинаре в Барнаульском государственном педагогическом университете (2006 г.); на семинаре по геометрии в Казанском государственном университете (2006 г.). Кроме того, все основные результаты докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры геометрии Томского государственного университета. По теме диссертации имеется 12 публикаций.

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, предварительных сведений, трех глав, списка литературы и приложений. Первая глава содержит восемь параграфов, вторая глава - пять параграфов, третья глава - семь параграфов. В конце каждой главы представлена сравнительная характеристика поверхностей вращения исследуемых классов в голономном и неголономном случаях. Полный объем диссертации составляет 127 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильева, Оксана Владимировна, 2007 год

1. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. // Тр. геометр, семинара. - ВИНИТИ АН СССР. - 1974. - Т.5. - С.169-193.

2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. — М.: Наука, 1990. — 206 с.

3. Афонин А.А., Козлов В.В. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости.// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. -№1. С. 7-13.

4. Близникас В.И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства. //Liet. mat. rinkinys, Лит. мат. сб. 1971. - Т.Н. - №1. - С.63-74.

5. Близникас В.И. О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности //Тр. Геометр, семинара ВИНИТИ АН СССР. -1971. - Т.З. - С. 115-124.

6. Вагнер В.В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий// VIII-ой Международный конкурс на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (1937). Отчет. Казань: Казанское физ.-мат. общество. 1940.

7. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация неголономных динамических систем// Тр. семинара по вектор, и тензор, анализу. — ОГИЗ, 1941. Вып. V. С. 301-327.

8. Вагнер В.В. Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве //Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. МГУ, 1941. - Вып.5. - С. 173-225.

9. Ведерников В.И. Поверхности вращения пространства Эвклида пространства Еп.// Изв. вузов. Математика. — I960. — №1. — С. 3947.

10. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1987. Т.16. С. 13.

11. Денева Соня. О неголономной задаче качения твердого тела по поверхности.// Гос.Софийский ун-т. Фак-т мат., и инф. мех-ки. -1988(1992). №82. С. 111-134.

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения М.: Наука, 1979. — С. 683.

13. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. — М.: МГУ, 1963. — 367 с.

14. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2-х т. — М., 1981. Т.1.- 347 с.

15. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий.// Труды московского математического общества. Москва: ГИТТЛ. 1953. -Т.2. - С. 355.

16. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов // Труды Геометрич. семин. (ВИНИТИ АН СССР). 1971. Т.З. С.29-48.

17. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геометр.семинара. ВИНИТИ АН СССР. - 1971. - Т.З. - С.49-94.

18. Малаховский B.C. Об одном классе линий на поверхности.// Изв.вузов. Математика. — Казань: Изд-во КГУ. — 1958. С. 153.

19. Мясников В. П., Гузев М. А. Геометрическая структура поля равновесных напряжений сплошной среды // Модели механики сплошной среды: Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2002. Т. 15. С. 126151.

20. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве.// Междунар. конф. по математике и механике: Избр. доклады. Томск, 2003. С. 60-68.

21. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геометр, семинара /ВИНИТИ АН СССР. 1973. - Т.4. -С. 71-120.

22. Павлов Г.В., Бородин B.C. Движение диска по внутренней шероховатой поверхности неподвижного вертикального цилиндра.// Изв.РАЕН. Сер. МММИУ. 2000. Т. 4, т. - С. 82-92, 162.

23. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. M.-JL: ГИТТЛ, 1947. - 354 с.

24. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 4-ое изд. ГИТТЛ: Москва, 1956. - С. 107-108, 191.

25. Рашевский П.К. Тензорная дифференциальная геометрия// Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947. — М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. С. 883-918.

26. Роговой М.Р. К метрической теории неголономных гиперповерхностей в п-мерном пространстве.// Укр. геом. журнал. — 1968. — №5-6. — С. 126-138

27. Синцов Д.М. Работы по неголономной геометрии. — Киев: Вища школа, 1972.- 296 с.

28. Слухаев В. В. Двойное поле и цилиндрическое течение жидкости // Сиб. матем. журнал. 1966. - Т. VII. - №5. - С. 1115-1129.

29. Слухаев В. В. Геометрия векторных полей. Томск, 1982. — 96 с.

30. Столяров А.В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I // Известия вузов. Матем. 1980. - №1. - С.79-82; II // Известия вузов. Матем. - 1980. - №2. - С.84-87.

31. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987. - 304 с.

32. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. -432 с.

33. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). — Москва, 1969. — С. 94-95.

34. Щербаков Р.Н., Щербаков Н. Р. Неголономная геометрия. — Томск: Томский университет, 2005. — 115 с.

35. Bortolotti Е. Geometria proiettiva differenziale delle superficie anolonome // Atti dei Congresso dell' Unione Matem. Italiana. Firenze.1937. P. 305-311.

36. Bortolotti E. Duale Verwandschaften anholonomen Flachen im projektiven und im affinen Raume // Jahresberichte der Deutsch. Math. Ver. 1941. №51 P. 151169.

37. Naas J., Schmidt H.L. Mathematiche Worterbuch. B.J. — Berlin Leipzig, 1961.

38. Schouten J. A. Zur Einbettung und Kriimmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann. 1930. №103. S. 753-783.

39. Synge J.-L. Geodesies in non-holonomic geometry// Math. Ann. 1928. №99. P. 738-751.

40. Voss A. Geometrische Interpretation der Differentialgleichung // Math. Ann. 1880. №16. S. 556-570.

41. Vranceanu G. Les espases non holonomes et leurs applications mechaniques // Met. sci. math. 1936. №76. P. 1-70.

42. Васильева О. В. Поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве.// VII Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых Наука и образование — Томск, 2003. Т. 1. — С. 21-27.

43. Онищук Н.М., Васильева О.В. Неголономные поверхности вращения.// Международная конференция по математике и механике: Избр. доклады. Томск, 2003. С. 69-82.

44. Васильева О.В. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.// Международная конференция по математике и механике. Томск: ТГУ, 2003. С. 62.

45. Васильева О.В. О сферических неголономных поверхностях вращения в Е4.// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань,2003. Т. 21. С. 88.

46. Васильева О.В. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.// Вестник Томского государственного университета. 2003. - №280. - С. 12-16.

47. Васильева О.В. Сферические неголономные поверхности вращения в Е4.// Вестник Томского государственного университета. — 2004. — №284. — С. 1317.

48. Васильева О.В. О неголономных поверхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве. //Международная школа-конференция по анализу и геометрии, поев. 75-летию акад. Ю.Г. Решетняка. — Новосибирск,2004. С. 75.

49. Васильева О.В. Интегральные многообразия некоторых не вполне интегрируемых уравнений Пфаффа. //Материалы XLIII международнойнаучной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. — Новосибирск, 2005. С. 34.

50. Васильева О.В. О неголономных гиперповерхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве Е4.// Известия Томского политехнического университета. — 2005. — Т. 308. — №4. — С. 10-14.

51. Васильева О.В. Минимальные неголономные поверхности вращения.// Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том IV. М.: Изд-во МГУ, 2006. - С. 7273.

52. Васильева О.В. Неголономные поверхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве.// Изв. вузов. Математика. 2006. - М (529). - С. 3-13.