Неантагонистические дифференциальные игры с неограниченной продолжительностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Адрианов, Алексей Андреевич

• Адрианов, Алексей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Адрианов, Алексей Андреевич

Введение

Глава I. БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ НА БЕСКОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ.

§1. Постановка задачи и основные предположения

§2 Нормальная форма дифференциальной игры т лиц.

§3. Необходимые сведения об операторах )иачения антагонистических дифференциальных игр.

§4. Траектории типа х*{-) и х'{-).

§5 Существование и структура решения игры. Равновесные траектории

§6 Характеристическое свойство равновесных траекторий

§7 Модель динамического распределения общественных благ.

Глава II. КООПЕРАТИВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С

НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ.

§1 Стабильность кооперативных решений дифференциальной игры.

§2 Идентификация стабильно равновесных траекторий в терминах решения дифференциального включения.

§3 Локальный подход к построению кооперативных решений

§4 Конструкции кооперативных решений

§5 Кооперативные решения в модели динамического распределения общественных благ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неантагонистические дифференциальные игры с неограниченной продолжительностью»

Теория дифференциальных шр занимается исследованном динамических моделей принятия решений в условиях конфликта и неопределенности Источником развития -этой теории послужили практические задачи из области экономики, экологии, управления механическими и биологическими системами, военного дела При рассмотрении таких 5адач, как правило, приходится учитывать динамику изменения состояния управляемой системы, а также наличие нескольких управляющих сторон, имеющих различные субъективные цели.

Становление теории дифференциальных игр связано с работами Р. Айзекса, которые были посвящены, в основном, решению задач преследования и формулировались в виде антагонистических дифференциальных игр [7]. В нашей стране первые исследования антагонистических дифференциальных игр принадлежат академикам Л С Понтрягину [40], [39], Н Н. Красовскому [26], [27], а также их ученикам [44] и представителю ленинградской школы теории игр — Л. А. Петросяну [33]. Их результаты способствовали развитию теории неантагонистических дифференциальных игр Существенный вклад в разработку этой теории внесли Э Вайсборд, В И Жуковский, А. Ф Клейменов, А. Ф. Кононенко, Л. А. Петросян, Э Р Смольяков [41], [42], Н Т. Тынянский, С. В Чистяков и другие.

В частности, В И. Жуковский в своих оригинальных работах одним из первых указал на принципиальные проблемы, связанные с применением методов классической теории игр (таких как равновесие по Нэшу и оптимальность по Парето) и математической теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина и оптимальности Беллмана) к решению дифференциальных игр Им также была предпринята попытка выделить огновные направления теории неантагонистических дифференциальных игр- бескоалиционные, коалиционные, кооперативные и иерархические игры. В его работах [10], [16], [17], проводятся обширные исследования по каждому из названных направлений

Исследованиям неантагонистических дифференциальных игр посвящены многие работы А Ф Клейменова [18]-[20]. В качестве решения неанта1 онисти-ческой дифференциальной игры с терминальными выигрышами он, наряду с традиционным равновесием по Нэшу, рассматривает решения, основанные на принципах оптимальности по Парето и по Штакельбергу, а также кооперативные решения, иредуемспривающие, чго в ходе игры каждый из игроков может производить непрерывные выплаты остальным ш рокам

Своеобразный подход к исследованию кооперативных дифференциальных игр, в центре которого лежит понятие динамической устойчивости принципов оптимальности, изучен в работах Л. А Петросяна [34}

В теории неантагонистических дифференциальных игр прежде всего возникает задача об отыскании ситуаций равновесия или ¿-равновесия при любом е > 0. Поскольку в общем случае приходится иметь дело с целым множеством траекторий, пригодных для реализации принципа равновесия (и разным из них соответствуют, вообще говоря, разные векторы выигрышей), то возникает также задача сужения этого множества, а в идеале — выбора из него единственной траектории.

Достаточно полное исследование первой задачи проведено для дифференциальных игр с терминальным выигрышем на конечном промежутке времени. Эти исследования начались с работ А. Ф. Кононенко [22]-[24], который, используя формализм теории позиционных антагонистических дифференциальных игр, получил первые наиболее общие результаты, относящиеся к бескоалиционным дифференциальным играм двух лиц. В частности, в терминах движений управляемой системы, он указал достаточные условия существования ситуации е-равновесия в этом классе игр

В работах С В Чистякова [51]-[53], [57) близкая к подходу Кононенко идея была положена в основу построения теории бескоалиционных дифференциальных игр тп лиц (ш > 2) с терминальными выигрышами игроков. В частности, установлено существование решения рассматриваемой игры (те. существование в игре ситуации е-равновесия при любом £ > 0) в терминах ограничений на правую часть системы дифференциальных уравнений, описывающих управляемый процесс В основу построения ситуаций е-равновесия в исходной неантагонистической дифференциальной игре были положены программные конструкции решения антагонистических дифференциальных игр описанные, в частности, в [55] Решение проблемы сужения множества равновесных траекторий оказалось возможным на основе перехода от бескоалиционной дифференциальной ш ры к кооперативной

В данной работе описывается аналогичный подход к построению элеменюв теории дифференциальных ш р с интегральными выигрышами игроков на бесконечном промежутке времени

В первой главе исследуется определенный страте1 ический аспект решения данной конфликтной задачи В частности, установлено существование решения рассматриваемой шры, а также существование равновесных траекторий, соответствующих оптимальному в смысле равновесия по Н^шу поведению игроков в игре Кроме того, доказана теорема о существовании в рассматриваемом классе игр таких траекторий, вдоль которых гарантированные выигрыши игроков к моменту времени £ являются неубывающими функциями этого момента времени Эта теорема и ее следствие составляют основу для построения в главе II определенной версии теории кооперативных дифференциальных игр Последний параграф первой главы посвящен применению полученных результатов к исследованию модели динамического распределения общественных благ. В частности, в этом параграфе, данная модель представлена в виде бескоалиционной дифференциальной игры с нео1 раниченной продолжительностью и описано множество стабильно равновесных траекторий в этой игре.

Вторая глава посвящена построению определенной версии кооперативной теории рассматриваемых дифференциальных игр. Вводится понятие кооперативного решения дифференциальной игры, являющееся, по сути, сильно динамически устойчивым [53] При этом оказывается, что такое решение может быть построено на основе введенного ранее множества стабильно равновесных траекторий в исходной бескоалиционной дифференциальной игре. В основе подхода к построению кооперативных решений рассматриваемой игры лежит доказанная в § 2 2 теорема об идентификации стабильно равновесных траекторий в терминах решений определенного дифференциального включения. Описаны некоторые из таких кооперативных решений, отвечающие известным решениям проблемы дележа — ¡М-ядру, вектору Шепли и др. Последний параграф второй главы посвящен построению некоторых кооперативных решений в модели динамического распределения общественных благ

В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту

Параграфы каждой из двух глав имеюг (ною нумерацию Утверждения замечания и формулы внутри каждою параграфа также имекп свою нумерацию, причем при иылках на них из дру1их параграфов той же главы кпереди, через точку добавляется номер соответствующего параграфа. При подобных ссылках на параграфы другой главы впереди добавляется еще и номер соответствующей главы

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Адрианов, Алексей Андреевич

Заключение

Основные положения диссертации, выносимые на. защиту, соиояг в следующем

1 Для бескоалиционных дифференциальных игр с с интегральными выигрышами И1 роков на бесконечном промежутке времени, доказана теорема о существовании решения в классе стратегий с информацией о предыстории по управлениям Для двух частных случаев рассматриваемых игр установлено существование решения в классе стратегий с информацией о текущей позиции в шре.

2. Доказана теорема о существовании равновесной траектории, которая, в определенном смысле, является предельной для последовательности траекторий, порождаемых ситуациями е^-равновесия (е*. —> 0) Обоснован критерий равновесности.

3 В рассматриваемом классе бескоалиционных дифференциальных игр установлена теорема о существовании стабильно равновесных траекторий, вдоль которых обеспечивается рост гарантированных выигрышей всех игроков

4 В терминах решения определенного дифференциального включения обоснован критерий стабильной равновесности траектории, который наряду с принципами оптимальности теории классических кооперативных игр, положен в основу построения кооперативной теории рассматриваемых дифференциальных игр, имеющей своей целью решение проблемы сужения множества стабильно равновесных траекторий Построены различные кооперативные решения рассматриваемой неантагонистической дифференциальной игры

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Адрианов, Алексей Андреевич, 2006 год

1. Адрианов А. А , Чистяков С В Об одном классе бескоалиционных дифференциальных игр с неограниченной продолжительностью // Вестн. С -Петерб ун-та. Сер 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления 2005. Вып 1. С 78-93

2. Адрианов А А. Об одном классе кооперативных дифференциальных игр // Процессы управления и устойчивость- Труды 37-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В Смирнова, В.Н Старкова СПб : Изд-во СПбГУ, 2006. С 479-484

3. Адрианов А А. Идентификация равновесных траекторий в одном классе дифференциальных игр т лиц с неограниченной продолжительностью // Известия Института Математики и Информатики Ижевск, УдГУ 2006. Вып 3(37) С 3-4

4. Айзеке Р Дифференциальные игры М * Мир, 1967. 480 с

5. Бсрж К Общая теория игр нескольких лиц M Изд-во фи i -мат лит-ры, 1961 128 с

6. Брамс С. Д Делим по справедливости или гарантия выигрыша каждому. Под ред Ф Т. Алескерова. M . СИНТЕГ, 2002 188 с.

7. Вайсборд Э M, Жуковский В И. Введение в дифференцальные шры нескольких лиц и их приложения M • Советское радио, 1980. 304 с.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями М.- Наука, 1984 624 с

9. Васецов M. Е, Чистяков С. В. О некоторых квазисовершенных принципах оптимальности в кооперативных дифференциальных играх // Вестн. С.-Петерб. ун-та Сер. 1. 1998. Вып. 4 № 22. С 3-9.

10. Воробьев H. H Теория игр для экономистов-кибернетиков М.1 Наука, 1985. 272 с.

11. Демьянов В Ф, Васильев Л. В Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, Главная редакция физ -мат лит-ры, 1981. 384 с.

12. Демьянов В Ф , Малоземов В Н. Введение в минимакс. M : Наука, 1972

13. Жуковский В И, Салуквадзе M. Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения Тбилиси- Мецниереба, 1998. 462 с

14. Жуковский В И Кооперативные игры при неопределенности и их приложения M Эдиториал, 1999 334 с

15. Клейменов А Ф Решения по Нэшу, Парею и Штакельбергу в неантагонистических дифференциальных играх // ПММ. 1987. Т. 51. № 2. с. 209-215.

16. Клейменов А Ф Кооперативные решения в позиционной дифференциальной игре многих лиц с непрерывными функциями платежей. // ПММ 1990. Т 54 № 3 с 389-394

17. Клейменов А Ф Неантагонистические позиционные дифференциальные игры Екатеринбург Наука, Урал отд , 1993 185 с.

18. Колмогоров Л Н, Фомин С. В Элементы теории функции и функционального анализа М Наука, 1972 496 с

19. Кононенко А Ф О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх Доклады АН СССР, 1976. т 231 № 2 с 285-288

20. Кононенко А Ф Структура оптимальных стратегий в динамических управляемых системах //Журнал вычисл магем и матем. физики, 1980. т 20. №5 с 1105-1116

21. Кононенко А Ф , Конурбаев Е М. Существование равновесных ситуаций в классе позиционных стратегий оптимальных по Парето для некоторых дифференциальных игр. // Теория игр и ее приложения. — Сб. трудов — Кемерово, 1983 с. 105-115

22. Косачев Ю В Экономико-математические модели эффективности финансово-промышленных структур. М.: Логос, 2004. 284 с.

23. Красовский Н Н Игровые задачи о встрече движений. М . Наука, 1970. 420 с

24. Красовский Н Н Управление динамической системой: Задача о минимизации гарантированного результата. М. Наука, 1985. 518 с.

25. Лутманов С В Об одной альтернативе в дифференциальной игре нескольких лиц // ПММ 1977 т. 41. № 5 с. 813-818.

26. Лутманов С В Достаточные условия существования равновесного набора стратегий в дифференциальных играх нескольких лиц // Дифференциальные уравнения, 1980 Т 16 № 10 с. 1760-1765

27. Матвеев Н М Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений Минск, "Вышэйш школа", 1974. 768 с

28. Никитин Ф Ф , Чистяков С В Об антагонистических дифференциальных играх с неограниченной продолжительностью Вестник СпбГУ, (ер 1, 2004, выи 3, с 38-44

29. Обен Ж., Экланд И Прикладной нелинейный анализ М Мир, 1988 510 с

30. Петросян Л А Дифференциальные шры преследования Л Изд-во Ле-нингр ун-та, 1977 222(

31. Петросян Л А , Данилов Н Н Кооперативные диференциальные игры и их приложения. Томск Иад-во Томскою ун-га, 1985 276 с

32. Петросян Л. А Сильно-динамически устойчивые принципы оптимальности в многокритериальных задачах оптимального управления. Техническая кибернетика, № 1, 1993, с 169-174.

33. Петросян Л А Сильно-динамически устойчивые дифференциальные принципы оптимальности. Вестник СПбГУ, сер 1, 1993, вып. 4 (№ 22), с. 35-40.

34. Петросян Л. А , Зенкевич Н А , Семина Е А Теория игр. Высш. шк Кн. дом "Университет", 1998 252 с

35. Печерский С Л, Яновская Е. Б. Кооперативные игры, решения и аксиомы. СПб Издательство Европейского университета в Санкт-Петербурге, 2004. 459 с

36. Понтрягин Л С Избранные научные труды. Т 2 Дифференциальные уравнения Теория операторов. Оп гималыюе управление Дифференциальные игры. М . Наука, 1988 575 с

37. Понтрягин Л С, Болтянский В Г, Гамкрелидзе Р. В. Математическая теория оптимальных процессов М. Наука, 1983. 392 с

38. Смолъяков Э Р Равновесные модели при несовпадающих интересах участников М Наука, 1986 221 с

39. Смолъяков Э Р Теория антагонизмов и дифференциальные игры. М Эди-ториал, 2000 159 с

40. Субботин А И Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка Перспективы динамической оптимизации Ижевск, 2003 335 с

41. Субботин А И, Чепцов А Г Оптимизация гарантии в задачах управления. М Наука, 1981. 287 с

42. Филиппов А Ф Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью М Наука, 1985. 224 с

43. Фихтенгольц Г М Дифференциальоное и интегральное исчисление Уч пособие СПб., 1997 800 с.

44. Флеминг У, Ришел Р Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами М : Мир, 1978 318 с.

45. Фридман А. Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры и седловых точек // Кибернетический сб , новая серия, вып 9. М. Мир, 1972.

46. Ченцов А Р. Об игровой задаче сближеггия в заданный момент времени. // Мат сб , 1976, т. 99, № 3. с 394-420.

47. Чистяков С В К решению игровых задач преследования // ПММ, 1977, т 41, № 5 с. 825-832

48. Чистяков С В О существовании решения бескоалиционных дифференциальных игр // Управление в динамических системах. JL, 1979. С 71-99 Деп ВИНИТИ от 24 июля 1979 г., N° 2794-79. (РЖМат, 1979, 10В733 деп )

49. Чистяков С В О бескоалиционных дифференциальных играх // Доклады АН СССР, 1981, Т259, X» 5, с 1052-1055.

50. Чистяков С В О построении сильно динамически устойчивых решений кооперативных дифференциальных игр // Вестник СпбГУ, сер. 1, 1992, вып 1(JV° 1), с 50-54

51. Чистяков С В Динамический аспект решения классических кооперативных игр // Доклады АН России, 1993, том 330, N° 6

52. Чистяков С В Операторы значения антагонистических дифференциальных игр Уч пособие СПб, 1999 62 с

53. Чистяков С В Элементы динамической теории классических кооперативных шр // Численные и качественные методы прикладной математики СПб. Иад-во С -Петерб ун-та 2004 С 14-40 (Вопросы механики и процессов управления Вып 23)

54. Чистяков С В Об одной лемме теории бескоалиционных дифференциальных игр // Вестник СпбГУ, сер 10. 2004 вып 2 с 110-118

55. Basar Т, G J Olsder Dynamic Noncooperative Game Theory. San Diego, 1995, Academic Presb

56. Cellini R., Lambertim L A differential oligopoly game with differentiated goods and sticky prices Department of Economics, University of Catania, Italy, 2002.

57. J Chamberhn Provision of collective goods as a function of group size // The American Political Science Review, 1974, 68, pp 707-716

58. Dockner E J, S Jorgensen, N. Van Long, G. Sorgen. Differential Games in Economics and Management Science. Cambridge Cambridge University Press 2000 382 p

59. С Fershtman, S Nitzan Dynamic voluntary provision of public goods // European Economic Review, 1991, 35, pp. 1057-1067

60. Schmeidler D The nucleolus of a characteristic function game SIAM J. Appl Math , 17(1969), pp 1163-1170