Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сабоиев, Ризо Саломатшоевич

• Сабоиев, Ризо Саломатшоевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сабоиев, Ризо Саломатшоевич

Введение

Глава I. Наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости

§1.1. Постановка задач о наилучших квадратурных формулах с весом . .'.

§1.2. О наилучших но коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности

§1.3. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций.

§1.4. О наилучших квадратурных формулах с весом для класса функций W^L[0,1].

Глава II. Оптимизация весовых кубатурных формул для некоторых классов функций

§2.1. Постановка задач о наилучших кубатурных формулах с весом.

§2.2. Оптимальные кубатурные формулы для классов функций

H"(Q) и HU^(Q)

§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для классов функций HW(Q) и

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости»

Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важным является следующая оптимизационная задача теории квадратур. Рассматривается квадратурная формула f(t)q(t)dt = £ Pkf(tk) + Rn(f', g, Р, Г) (0.1) а ' к—1 в которой весовая функция q(t) > 0 на отрезке [а, Ь\ и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Риману, Р = {рк} - вектор коэффициентов, Т = {tk : а < t\ < t2 < . < tn-1 < tn < 6} - некоторый вектор узлов, а Rn(f-,q:P,T) - погрешность квадратурной формулы (0.1) на функции f(t).

Если Ш - некоторый класс функций {/(£)} заданных и определенных на [а, 6], то через

Rn(Tl] q, Р, Т) = sup и п

I f{t)q(t)dt - £ pkf(tk) а к=1 fern обозначим погрешность квадратурной формулы (0.1) на классе 9Я. Задача состоит в отыскании следующих величин sn(m-q7T) = MRn(m;q, р, г), (0.2) п(ж- q) = inf g, p, т). (0.3)

Квадратурная формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ по коэффициентам Р = {рк} при фиксированных узлах, если существует вектор Р° = {р(1} Для которой n(m,q,T) = Rn(Wt-1q,P0,T).

Точно также, формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ, если существует вектор Р° = {рк} - коэффициентов и вектор Т = {tk}

- узлов для которых выполняется равенство n(m]q) = Rn(m-q,p°,T0).

Постановка задач об оптимизации квадратур принадлежит А.Н.Колмогорову, а первые основополагающие результаты принадлежат С.М.Никольскому [24]. Задача построения наилучшей квадратурной формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А.Сардом [29]. Сформулированные выше задачи для некоторых важных классов регулярных функций решены в работах В.М.Алхимова [1], И.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева [14], С.М.Никольского [24], Н.П.Корнейчука [16], Н.Е.Лушпай [20], М.Левина [18], А.А.Женсыкбаева [11], Б.Д.Боянова [8], А.А.Лигуна [22], В.П.Моторного [23], В.Ф.Бабенко [2]и др. Обстоятельный обзор всех этих результатов приведен Н.П.Корнейчуком в дополнение к книге С.М.Никольского "Квадратурные формулы"(Москва, Наука, 1979 г.).

Однако для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул вида (0.1) с весом q(t) > 0 имеющих на концах отрезка [а, Ь] особенности, аналогичные экстремальные задачи недостаточно изучены. В этом направлении исследование можно указать лишь на отдельные работы Б.Г.Габдулхаева [9], Л.А.Онегова [25], В.А.Бойкова [6] и М.Ш.Шабозова [31].

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Здесь мы приводим краткую характеристику диссертации с указанием основных результатов для классов функций малой гладкости, а именно рассматриваются следующие классы функций: W^ = оо (1 ;<2, Ь) - класс

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сабоиев, Ризо Саломатшоевич, 2009 год

1. Алхимова В.М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, 202, №2, с.263-266.

2. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки,1976, 19, №3, с.313-332.

3. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем.заметки, 1976, 20, т, с.589-595

4. Бабенко В.Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica,1977, 3, №1, с.3-9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975. - 631 с.

6. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. - 210 с.

7. Бусарова Т.Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро-осциллирующих функций. // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.

8. Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, №6, с.1233-1236.

9. Габ дул хаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз.ун-та, 1980. - 232 с.

10. Гиршович Ю.И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1975, т.24, №1, с. 121-123.

11. Женсыкбаев А.А. Успехи матем.наук, 1980, т.78, №1, с.115-140.

12. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с.294-301.

13. Задирак В.К., Василенко С.С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. - 37 е.- (Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики; 74-17).

14. Ибрагимов И.И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв.АН Азерб.ССР, 1967, №3-4, с.154-161.

15. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

16. Корнейчук Н.П.Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных. Матем.заметки, 1968, т.З, №5, с.565-576.

17. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат.заметки, 1968, т.З, №5, стр.577586.

18. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, 236, №6, с.1303-1306.

19. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв.АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, №2, с.114-122.

20. Лушпай Н.Б. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб.работ асп.ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972,с.35-39

21. Лушпай Н.Е., Переверзев С.В. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных //В сб.Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38-45.

22. Лигун А.А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем.заметки, 1976, 19, №6, с.913-926.

23. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, стр. 1205-1208.

24. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. - 256 с.

25. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью.// Изв.Вузов, Математика, 1981, N9, с.76-79.

26. Сабоиев Р.С. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности -Доклады АН РТ, т.48, 2005, №3-4.

27. Сабоиев Р.С. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости. Доклады АН РТ, т.49, 2006, №5, с.412-416.

28. Сабоиев Р.С. О наилучших но коэффициентам весовых кубатурных формул для классов функций, задаваемых модулями непрерывности. Доклады АН РТ, т.49, 2006, №7, с.597-603.83

29. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80-91.

30. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

31. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, №12.

32. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, с.1300-1305.

33. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Докл. АН РТ, 1998, т.41, N10, с.69-75.

34. Шабозов М.Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв.АН Тадж.ССР, сер.физ.-мат. и геолого-хим.наук, 1980, №4, с.86-90

35. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирующих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, №6,

36. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

37. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро осциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с.14-19.с.17-22