Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы для некоторых классов функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Парвонаева, Зайбогул Абдулалиевна

• Парвонаева, Зайбогул Абдулалиевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Парвонаева, Зайбогул Абдулалиевна

Введение.

Глава I. Наилучшие квадратурные формулы для классов функций малой гладкости на конечном отрезке и полуоси

§1.1. Классы функций. Общая постановка экстремальной задачи отыскания наилучших весовых квадратурных формул.

1.1.0. Классы функций.

1.1.1. Постановка задачи.

§1.2. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов функций малой гладкости.

§1.3. Об одной наилучшей по коэффициентам квадратурной формуле типа Маркова для класса Нш[—1; 1]

§1.4. Оптимизация приближённого вычисления интегралов от быстроосцилирующих функций на классе функций .#^'[0; 1] . :

§1.5. О наилучших квадратурных формулах с весом для функций, заданных на положительной полуоси.

Глава II. Экстремальные задачи для весовых кубатурных формул.

§2.1. Постановка задач. Классы функций.

§2.2. Наилучшие кубатурпыс формулы с весом для класса функций

§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для класса функций НШ1>Ш2(0)

§2.4. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов функций И^¿Дд*), 1 < оо.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы для некоторых классов функций»

Одной из наиболее важных задач численного анализа является задача нахождения наилучших квадратурных формул для заданного класса функций. Указанная задача для соболевских классов функций с ограниченной старшей производной в пространстве Ьр[а,Ь], 1 < р < оо полностью решена в работах А.А.Женсыкбаева [16] и Б.Д.Бояпова [7].

Существенный вклад в решение этой задачи для различных классов функций также внесли Н.П.Корнейчук [21], В.П.Моторный [32], А.А.Лигун

31], М.И.Левин [27,28], Н.Е.Лушпай [29,30], В.Ф.Бабенко [2,4] и др.

Основные результаты этой теории полученные до 1979 г. подытожены

Н.П.Корнейчуком и приведены в добавлении к монографии С.М.Никольского

33] „Квадратурные формулы"- М.:Наука, 1979 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешённых вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных формул и наилучших кубатуриых формул для интегралов с фиксированными особенностями па отрезке интегрирования.

Последние задачи естественным образом возникают при оптимизации приближённого интегрирования сингулярных интегральных уравнений.

Пусть для вычисления интеграла ь

I q(t)f(t)dt, а где /(¿) - произвольная функция из некоторого класса функций, > 0 заданная весовая функция, применена квадратурная формула q{t)f{t)dt = £>/(**) + ад; я), (0.0.1) а А=1 где Р = {ра:}£=1 - вектор коэффициентов, Т — : а < ¿1 < ¿2 < ••• < ¿п < Ь} - вектор узлов, а В,п(/;<?) := -йп(/;д;Р,Т) - погрешность формулы (0.0.1) на функции /(£).

Если Ш1 - некоторый класс функций /(/;), заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь], то через

Лп(Ш1;д,Р,Т)=8ир{|ад;д;Р,Г)| : / е Щ = вир к=1 / еШ} (0.0.2) обозначим верхнюю грань погрешности квадратурной формулы (0.0.1) на классе Ш. Очевидно, что если весовая функция д(Ь) задана, то верхняя грань (0.0.2) па данном классе функций зависит только от выбора Р = {Рк}к=1 и ^ = {¿А;}£=1- В связи с этим в теории квадратур возникает задача построения квадратурных формул вида (0.0.1), имеющих на данном классе функций ШТ наименьшую оценку остатка при фиксированных узлах или при произвольных узлах и коэффициентах, то есть требуется найти следующие величины п{Ш] д, Т) = Ы ДП(9Я; д; Р, Т), (0.0.3) п(Ш; д) = ¡М РП(9Я; д; Р, Т). (0.0.4) р,т)

Квадратурная формула (0.0.1), для которой выполняется равенство (0.0.3), называется наилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах или оптимальной квадратурной формулой в смысле Сарда [41], а квадратурные формулы для которых выполняется равенство (0.0.4), называются наилучшими или оптимальными в смысле С.М.Никольского [33] для класса 9Л.

В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются вопросы построения квадратурных формул вида (0.0.1) и решаются задачи (0.0.3) и (0.0.4) для некоторых классов функций малой гладкости.

Целыо дайной работы является:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданным весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и па полуоси.

2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами.

3. Найти наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций классов, задаваемых модулями непрерывности.

4. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченными по норме пространства [0, оо) старшей производной.

5. Найти наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.

В работе используются современные методы функционального анализа, методы исследования экстремальных задач нахождении квадратурных и кубатурных формул, а также метод Н.П.Корнейчука [21] оценки снизу погрешности квадратур иа классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

В диссертационной работе:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и иа полуоси.

2. Найдены наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найдены наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций для классов функций малой гладкости.

4. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченной по норме пространства ¿а [0, оо) старшей производной.

5. Найдены наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 54 наименований и занимает 87 страниц машинописного текста. В диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Парвонаева, Зайбогул Абдулалиевна, 2011 год

1. Алхимова В.М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, т.202, №2, с.263-266.

2. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки,1976, т. 19, №3, с.313-332.

3. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем.заметки, 1976, т. 20, т, с.589-595

4. Бабенко В.Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica,1977, т.З, №1, с.3-9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975. - 631 с.

6. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. - 210 с.

7. Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, №6, с.1233-1236.

8. Бусарова Т.Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. -Днепропетровск, ДГУ, 1980, с. 17-21.

9. Бусарова Т.Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро-осциллирующих функций // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.

10. Вакарчук К. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990, №47, вып. 5, с.26-29

11. Васильев Н.И., Клоков Ю.А., Шкерстена А.Я. Применение полиномов Чебышёва в численном анализе. Рига: Знатне, 1984.-240 с.83

12. Всликин B.JI. Эрмитовы сплайны и связанные с ними квадратурные формулы для некоторых классов дифференцируемых функции // Изв. вузов, Математика., 1976, №5, с.15-28.

13. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз.ун-та, 1980. - 232 с.

14. Гиршович Ю.И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.паук, 1975, т.24, №1, с.121-123.

15. Ермолаева Л.Б. Об одной квадратурной формуле //Изв.вузов. Математика, 2000, №3, с 25-28.

16. Женсыкбаев A.A. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успехи матем.наук, 1981, т.36, №4, с.107-159.

17. Жилейкин Я.М., Кукаркип A.B. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с.294-301.

18. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.:Наука, 1985 -396 с.

19. Задирак В.К., Василенко С.С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. - 37 е.- (Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики; 74-17).

20. Ибрагимов И.И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв.АН Азерб.ССР, 1967, №3-4, с.154-161.

21. Корнейчук Н.П.Наилучшие кубатурпые формулы для некоторых классов функций многих переменных. // Матем. заметки, 1968, т.З, №5, с.565-576.

22. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближепия.-М.: Наука, 1983, 324 с.

23. Корнейчук H.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов //Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

24. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-371 с.

25. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

26. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат.заметки, 1968, т.З, №5, с.577-586.

27. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, т. 236, №6, с.1303-1306.

28. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв.АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, №2, с.114-122.

29. Лушпай Н.Е. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб.работ асп.ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972, с.35-39

30. Лушпай Н.Е., Переверзев C.B. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных // В сб. Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38-45.

31. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки, 1976, т. 19, №6, с.913-926.

32. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, №9, с. 1205-1208.

33. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1986. - 256 с.

34. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью // Изв.вузов, Математика, 1981, №9, с.76-79.

35. Парвонаева З.А. Об оптимальных квадратурных формулах для функций, определённых на полуоси // Материалы межд. научной конферен. ,Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (г.Душанбе, 8-10 ноября, 2005г.), с. 136.

36. Парвонаева З.А. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов функций малой гладкости // Докл. АН РТ, 2008, т.51, №2, с. 87 96.

37. Парвонаева З.А. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Материалы межд. науч. конф. поев. 60-летию академика К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

38. Парвонаева З.А. О наилучших весовых кубатурных формулах для некоторых классов функций // Доклады АН РТ, 2011, т.54, №3, с.181-185.

39. Сабоиев P.C. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности // Доклады АН РТ, 2005, т.48, №3-4.

40. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №7, с.597-603.

41. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80-91.

42. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

43. Шабозов М.Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв.АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат. и геолого-хим. наук, 1980, №4, с.86-90.

44. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, №12.

45. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами //Укр. мат. журнал, 1994, т.46, №11, с. 1554-1560.

46. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, №9, с.1300-1305.

47. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами.//Мат. заметки, 1996, т.59, №1, с. 142-152.

48. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 1998, т.41, №10, с.69-75.

49. Шабозов М.Ш., Парвонаева З.А. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №7, с. 589 596.

50. Шабозов М.Ш., Парвонаева З.А. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций // Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. наук, 2008, №3(132), с. 7 16.

51. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирукяцих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, №6, с. 17-22

52. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимизации приближенного интегрирования быстроосциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с.14-19.

53. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности //Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

54. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш.Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Ь\а,Ъ. // Доклады АН РТ, 2009, т.52, №1, с. 5 9.