Нагрузочная способность малоразмерных конических соединений с деталями из пары материалов "техническая керамика - кварцевое стекло" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.02, кандидат наук Лекомцев, Павел Валерьевич

• Лекомцев, Павел Валерьевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Лекомцев, Павел Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

1 Анализ методологии расчета малоразмерных конических соединений с натягом

1.1 Основы расчета конического соединения с натягом

1.1.1 Особенности расчета соединения, собранного механическим методом

1.1.2 Особенности расчета соединения, собранного термическим методом

1.2 Техническая керамика и перспективы ее применения в соединениях с натягом

1.3 Кварцевое стекло и перспективы его применения в соединениях с натягом

1.4 Конические соединения с натягом малоразмерных неметаллических деталей (для совокупности материалов «техническая керамика - кварцевое стекло»)

1.4.1 Обоснование выбора метода сборки и качественное описание контактного взаимодействия

1.4.2 Обоснование выбора метода расчета и необходимости исследований коэффициента трения

Выводы к главе 1

2 Совершенствование расчета малоразмерных конических соединений с деталями из пары материалов «техническая керамика - кварцевое стекло»

2.1 Расчет НДС с учетом физико-механических свойств материалов сопрягаемых деталей и методов сборки

2.1.1 Зависимость физико-механических свойств материала соединения от температуры в деталях

2.1.2 Конечно-элементная постановка задачи определения НДС при механической сборке

2.1.3 Конечно-элементная постановка задачи при тепловой сборке

2.1.4 Влияние температурного фактора на НС КСН с деталями из пары материалов «техническая керамика - кварцевое стекло»

2.1.5 Алгоритм расчета НДС и НС КСН для различных методов сборки

2.2 Расчет КС с натягом деталей из пары материалов «техническая керамика -кварцевое стекло»

2.2.1 Программная реализация конечно-элементной модели при расчете деталей опытного соединения

2.2.2 Численный эксперимент

Выводы к главе 2

3 Экспериментальное исследование нагрузочной способности конического соединения с

деталями из пары материалов «техническая керамика - кварцевое стекло»

3.1 Методика проведения экспериментального исследования НС

3.1.1 Конструкция опытных образцов

3.1.2 Измерение геометрии сопрягаемых деталей

3.1.3 Экспериментальное и измерительное оборудование

3.2 Экспериментальное исследование НС

3.2.1 Нагрузочная способность КСН, собранного термическим методом

3.2.2 Нагрузочная способность КСН, собранного механическим методом

3.3 Оценка сглаживания микронеровностей КСН

3.3.1 Сглаживание микронеровностей при термической сборке КСН

3.3.2 Сглаживание микронеровностей при механической запрессовке КСН

3.4 Исследование термостойкости КСН

3.5 Сопоставление результатов экспериментального исследования НС КСН и численного эксперимента

3.6 Коэффициент трения деталей из пары материалов «техническая керамика -кварцевое стекло»

3.6.1 Результаты испытаний на машине трения

3.6.2 Расчеты по результатам экспериментального исследования НС

Выводы к главе 3

4 Практическое применение результатов исследования

4.1 Применение результатов исследования в креплении резонатора в основании твердотельного волнового гироскопа (ТВГ)

4.1.1 Анализ объекта внедрения

4.1.2 Моделирование НДС и НС деталей сборки для реальных условий эксплуатации ТВГ

4.2 Исследование термостойкости опытного соединения ТВГ

Выводы к главе 4

Заключение

Список литературы

Приложение А. Акт использования результатов исследования

Приложение Б. Статистическая обработка данных экспериментов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нагрузочная способность малоразмерных конических соединений с деталями из пары материалов "техническая керамика - кварцевое стекло"»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Соединения с гарантированным натягом нашли широкое распространение в различных механических системах. Среди них особое место занимают конические соединения с натягом, которые обладают существенными достоинствами, а именно: самоцентрируемостью деталей, возможностью регулирования натягов, сохраняемостью сопрягаемых поверхностей при многократных сборках, малой трудоёмкостью при выполнении монтажно-демонтажных операций [1, 2, 3].

В последнее время все более широкое применение в промышленности находят износо- и коррозионностойкие, электроизоляционные, химически неактивные и работающие в больших температурных диапазонах материалы, такие, как техническая керамика и кварцевое стекло. При необходимости получения неподвижных соединений детали из таких материалов в основном склеивают. Известные недостатки клеевых соединений [4] в ряде случаев, например в вакуумных приборах, химических реакторах, требуют поиска других способов формирования неподвижных соединений деталей из хрупких материалов [5, 6, 7]. Однако, в настоящее время при проектировании соединения с натягом с деталями из хрупких материалов имеются рекомендации по использованию хрупких деталей только в качестве охватываемых [8]. Поэтому развитие теории и инженерных методик расчета соединений с натягом хрупких деталей представляется важной научной проблемой, сдерживающей применение таких деталей в неподвижных соединениях с натягом.

Проведенный анализ литературных источников [5, 6, 7, 8, 9, 10] показал, что в связи с особенностями хрупких материалов при проектировании конических соединений с натягом не следует допускать больших растягивающих напряжений, концентраторов напряжений и высоких контактных давлений. Таким образом, требуется ограничивать величину натяга в посадках подобного рода соединений,

при этом в диапазоне малых посадочных диаметров (величина параметров шероховатости соизмерима с натягом в сопряжении деталей) также важно учесть микрогеометрические параметры сопрягаемых поверхностей, деформационные механизмы хрупкого контактного слоя в процессе формирования и эксплуатации конического соединения с натягом. Следует отметить, что большинство исследований, посвященных снижению расчетных натягов вследствие смятия микронеровностей, касалось соединений традиционных для данного вида сопряжений материалов - сталей, сплавов цветных металлов. Поэтому необходимо уточнение общепринятых зависимостей для определения величины поправки натяга, вызванной разрушением микронеровностей поверхностного слоя, для хрупких малоразмерных деталей.

Для развития теории и инженерных методик расчетов соединений с натягом неметаллических (хрупких) деталей необходимо учесть особенности контактного взаимодействия с учетом свойств поверхностных слоев сопрягаемых деталей, а также экспериментальное исследование нагрузочной способности таких соединений.

Таким образом, уточнение методологии расчета путем учета параметров хрупких материалов, характеризующих их неоднородность (как например, модуль Вейбулла) и способность противостоять развитию трещин (коэффициент интенсивности напряжений), а также фрикционных свойств контакта, является актуальным.

Степень разработанности темы исследования. Расчеты соединений с натягом базируются на решении классической задачи механики твердого деформируемого тела - нагружении толстостенной трубы внутренним или внешним давлением, полученного Ламе в середине девятнадцатого века [11, 12]. В настоящее время успешно применяются численные методы решения данной задачи для тел сложной геометрической формы [1, 13]. В развитие теории соединений с натягом, в том числе конических, большой вклад внесли отечественные ученые: Рохлин А.Г., Балацкий Т.Г., Ильяшенко А.А., Берникер Е.И., Матлин М.М., Федоров Б.Ф., Абрамов И.В., Фаттиев Ф.Ф., Турыгин Ю.В.,

Щенятский А.В. и др. Работы указанных авторов [1, 2, 14, 15, 16, 17] были посвящены теоретическим и экспериментальным исследованиям соединений с натягом для традиционных в машиностроении материалов - сталей, сплавов цветных металлов.

Обзор немногочисленных работ по расчету соединений с деталями из хрупких материалов [15] показал, что его проводят аналогично расчету металлов, беря за основу теорию наибольших нормальных напряжений или деформаций [5, 16]. Достоверность таких расчетов существенно зависит от степени учета физико-механических свойств хрупких материалов, механизмов и условий контактного взаимодействия, дефектности микроструктуры, трещиностойкости, хрупкости. Можно предположить, что прочность деталей проектируемого соединения, полученная при традиционном решении вышеуказанной задачи, с большой вероятностью не будет обеспечена.

Исследованию процессов деформирования хрупких материалов (на примере конструкционных керамик) посвящено большое количество зарубежных и отечественных работ и монографий, среди которых стоит выделить работы С.М.Баринова, В.Я.Шевченко, В.С.Бакунова, А.Г.Эванса, R.Danzer, R.C.Bradt, J.B.Wachtman и др. [17, 18, 19, 20]. Большинство ученых склоняется к использованию статистической теории прочности (теории наислабейшего звена) и теории трещин при оценке прочности керамик.

Немаловажным фактором в расчетах соединений являются фрикционные характеристики сопрягаемых поверхностей, которые в том числе влияют на нагрузочную способность соединения. Контактному взаимодействию стыка и повышению нагрузочной способности соединений с натягом посвящены работы [1, 2, 9, 30].

Объектом исследования диссертационной работы являются соединения с натягом с деталями из хрупких неметаллических материалов. Предметом исследования являются модели напряжённо-деформированного состояния деталей конического соединения с натягом, контактное взаимодействие и метод их расчета на прочность.

Цель работы - повышение точности и достоверности расчета соединений с натягом хрупких неметаллических деталей с коническими сопрягаемыми поверхностями с учетом метода сборки и особенностей контактного взаимодействия.

Для достижения цели работы предполагалось решить следующие научные задачи:

1. Разработать математическую модель и методику расчета напряженно-деформированного состояния конического соединения с натягом с учетом физико-механических свойств хрупких неметаллических деталей - охватываемой детали из кварцевого стекла и охватывающей из корундовой керамики - и методов сборки.

2. Уточнить соотношение между расчетной и измеренной (фактической) величиной натяга путем определения величины поправки, вызванной разрушением микронеровностей поверхностного слоя в рассматриваемом коническом соединении кварцевого штифта и керамической втулки.

3. Установить значения коэффициентов трения (сцепления) при запрессовке и выпрессовке деталей рассматриваемого конического соединения.

4. Уточнить методологию расчета соединений с натягом хрупких неметаллических деталей.

Научная новизна диссертационной работы состоит:

1. В разработанной математической модели и методике расчета конического соединения с натягом, учитывающей особенности контактного взаимодействия при сборке механическим и термическим методами, геометрические параметры и физико-механические свойства хрупких неметаллических деталей, такие как трещиностойкость, модуль упругости, микротвердость, изменения механических и теплофизических характеристик материалов от температуры, позволяющей получать поля характеристик напряженно-деформируемого состояния и температур в деталях конического соединения, назначать величину натяга и соответствующий диапазон температур для обеспечения максимальной

нагрузочной способности соединения в осевом направлении и прочности хрупких неметаллических деталей.

2. В полученном для рассматриваемого конического соединения кварцевого штифта и керамической втулки значении поправки натяга в зависимости от высоты микронеровностей, позволяющем установить соотношение между расчетной и измеренной (фактической) величиной натяга.

3. В экспериментально полученных значениях коэффициентов трения (сцепления) при запрессовке и выпрессовке деталей рассматриваемого конического соединения с натягом, позволяющих более точно и достоверно производить расчет нагрузочной способности соединений с деталями из пары материалов «техническая керамика - кварцевое стекло», сформированных механическим и термическим методами.

4. В уточнении методологии расчета конического соединения с натягом хрупких малоразмерных деталей на основе предложенной уникальной математической модели и методики расчета конического соединения с натягом, полученного значения поправки натяга в зависимости от высоты микронеровностей, коэффициента трения при выпрессовке деталей с учетом физико-механических свойств материалов деталей, условий контактного взаимодействия и обоснованного выбора условий прочности деталей, обеспечивающего необходимую нагрузочную способность соединения и прочность деталей.

Теоретическая значимость работы. Методом конечных элементов получено решение контактной задачи теории упругости и термоупругости в осесимметричной постановке для хрупких неметаллических тел применительно к коническому соединению с натягом, формируемого продольно-прессовым и термическим методами. Особенностью решения задачи является учет сил трения и нестационарной теплопроводности контактирующих тел в процессе формирования и эксплуатации соединения. Коэффициент трения рассчитывался в зависимости от таких свойств хрупких материалов, как трещиностойкость, модуль упругости, микротвердость. Разработанная математическая модель

позволяет получать поля характеристик напряженно-деформированного состояния и температур в деталях конического соединения, анализ которых позволяет назначать величину натяга при обеспечении максимальной нагрузочной способности соединения (при действии статических осевых нагрузок) и прочности хрупких неметаллических деталей конического соединения с натягом, в том числе с учетом колебаний температуры.

Практическая значимость работы заключается:

- в использовании полученных зависимостей, значений поправки натяга и коэффициентов трения для расчета нагрузочной способности и термостойкости и рекомендаций при проектировании малоразмерных конических соединений с деталями из пары материалов «техническая керамика - кварцевое стекло»;

- в дальнейшем развитии нормативной базы проектирования конических соединений с деталями из хрупких неметаллических материалов на основе разработанной математической модели и уточненной методологии расчета.

Методы исследования. Методы математического моделирования; методы теории упругости; методы механики контактного взаимодействия; численные методы решения систем нелинейных уравнений, методы планирования эксперимента, а также дисперсионного и регрессионного анализа результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель деформирования хрупких неметаллических деталей конического соединения с натягом и результаты теоретического исследования, позволяющие назначать величину натяга при обеспечении максимальной нагрузочной способности этих деталей.

2. Результаты исследования, позволяющие установить соотношение между расчетной и полученной экспериментально величиной натяга в рассматриваемом коническом соединении стеклянного штифта и керамической втулки в зависимости от параметров шероховатостей сопрягаемых поверхностей.

3. Результаты экспериментального исследования, позволяющие установить значения коэффициентов трения (сцепления) при запрессовке и выпрессовке

конических соединений с деталями из пары материалов «техническая керамика -кварцевое стекло», а также коэффициента трения покоя для конических соединений с натягом, собранных термическим методом.

4. Результаты экспериментального и теоретического исследований, позволяющие уточнить методологию расчета конического соединения с натягом, а именно: обоснование и выбор условия прочности, значения поправки натяга в зависимости от высоты микронеровностей, коэффициента трения при выпрессовке деталей с учетом физико-механических свойств хрупких материалов и метода сборки.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов работы подтверждается использованием известных положений фундаментальных наук, корректностью разработанных математических моделей, согласованностью результатов теоретического исследования с результатами экспериментов, выполненных автором, а также с результатами исследований других авторов.

Для оценки напряженно-деформированного состояния и выявления зон наибольших концентраций напряжения используется метод конечных элементов, который в последнее время получил наиболее широкое распространение среди вычислительных методов в задачах механики твердого деформируемого тела [18, 19]. Построение математической модели контактного взаимодействия, особенно для обеспечения неподвижности контакта, получено на основе статистической обработки экспериментальных данных по исследованию нагрузочной способности конических соединений с натягом из пары материалов «корундовая керамика - кварцевое стекло».

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на III и IV Всероссийской научно-технической конференции аспирантов, магистрантов и молодых ученых с международным участием «Молодые ученые - ускорению научно-технического прогресса в XXI веке», Ижевск, 22-23 апреля 2015 и 20-21 апреля 2016 гг.

Диссертационная работа прошла апробацию и получила одобрение на расширенном семинаре кафедры «Мехатронные системы» (г. Ижевск, ФГОУ ВО «ИжГТУ им. М.Т. Калашникова», 2017).

Результаты диссертационной работы в виде рекомендаций по назначению величины натяга и соответствующих ей параметров тепловой сборки (время и температура нагрева) внедрены при реализации технологического процесса сборки резонатора с основанием твердотельного волнового гироскопа в акционерном обществе «Ижевский электромеханический завод «Купол» г. Ижевска, что подтверждается актом внедрения. Результаты работы в виде методики испытаний нагрузочной способности конических соединений с натягом на специально разработанной экспериментальной установке использовались при выполнении НИР «Исследование контактного взаимодействия стыка хрупких неметаллических деталей на примере соединения с натягом» при финансовой поддержке РФФИ. Результаты работы в виде методик, рекомендаций по расчету используются в учебно-научной деятельности ФГОУ ВО «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова» при чтении лекций, проведении практических и лабораторных занятий по дисциплинам учебного плана направления подготовки 15.03.06 «Мехатроника и робототехника».

Область исследования. Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктом 5 (Повышение точности и достоверности расчетов объектов машиностроения; разработка нормативной базы проектирования, испытания и изготовления объектов машиностроения) паспорта специальности 05.02.02 «Машиноведение, системы приводов и детали машин».

Публикации. По материалам исследований опубликовано 8 работ, в том числе: публикации в зарубежных журналах - 2; из них, индексируемых в Scopus -1; в трудах научно-технических конференций - 2; в журналах из перечня ВАК РФ - 4.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 79

наименований, и приложений. Работа содержит 75 рисунков, 18 таблиц. Объем работы составляет 148 страниц, включая приложения на 16 страницах.

1 АНАЛИЗ МЕТОДОЛОГИИ РАСЧЕТА МАЛОРАЗМЕРНЫХ КОНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ С НАТЯГОМ

Конические соединения с натягом (КСН) по сравнению с цилиндрическими обладают существенными достоинствами: самоцентрируемость деталей, возможность регулирования натягов, сохраняемость сопрягаемых поверхностей при многократных сборках, малая трудоёмкость при выполнении монтажно-демонтажных операций [1, 2, 3]. В качестве предъявляемых эксплуатационных требований к таким соединениям, как правило, выступают передаваемый крутящий момент и усилия.

В последнее время все более широкое применение в промышленности находят износо- и коррозионностойкие, химически неактивные и работающие в больших температурных диапазонах материалы, такие, как техническая керамика и кварцевое стекло [20, 21, 22, 23].

Для развития теории и инженерных методик расчетов соединений с натягом неметаллических (хрупких) деталей, как составных частей методологии, требуется построение моделей контактного взаимодействия с учетом свойств поверхностных слоев сопрягаемых деталей, а также экспериментальное исследование нагрузочной способности (НС) таких соединений.

1.1 Основы расчета конического соединения с натягом

Расчеты соединений с натягом, в том числе КСН, базируются на решении классической задачи механики твердого деформируемого тела - нагружении толстостенной трубы внутренним или внешним давлением [2, 11, 14].

Для конструкции конического соединения (КС), показанного на рисунке 1.1, характерно наличие сопряжения двух конических поверхностей охватываемой 1 и охватывающей 2 деталей, имеющих изменяющуюся по длине конуса жесткость.

Рисунок 1.1 - Схема конического соединения (а) и эпюры напряжений в среднем сечений КСН, полученные по формулам Ламе (б)

Расчет КСН заключается в определении его нагрузочной способности, максимальных напряжений в зонах сопряжения деталей [2, 14]. Нагрузочную способность КСН оценивают по усилию, необходимому для смещения конуса 1 относительно втулки 2 (см. Рисунок 1.1) при выпрессовке:

^в = - гда), (1.1)

где ^ср - средний диаметр сопряжения; I - длина контакта; р - контактное давление; коэффициент трения при выпрессовке; а - угол конусности, град.

Условия, при которых деформации деталей соединения из хрупких материалов не приводят к разрушению, вытекают из условия не превышения предела прочности материала толстостенных труб, нагруженных внешним (для охватываемой детали) и внутренним (для охватывающей детали) равномерным давлением [24]:

Р

в\

1

<

ср

Р <&,

в 2

< 2

1 _ сР

(1.2)

>

где &в1,&в 2 - пределы прочности на сжатие и растяжение материалов охватываемой и охватывающей деталей соответственно1; р - контактное давление; ^ - средний диаметр посадки; - внутренний диаметр отверстия

охватываемой детали; ^ - наружный диаметр охватывающей детали.

Вывод условий (1.2) основывается на первой теории прочности [25], которая хорошо согласуется с экспериментами по разрушению хрупких образцов: стекла, керамики, камня. Тем не менее, возможность ее применения требует дополнительного экспериментального обоснования. При выводе условий для пластически деформируемых материалов используются, как правило, третья и четвертая теории прочности [26].

При этом расчетная величина натяга в среднем сечении 5расч для обеспечения требуемого давления будет равна:

= р ■ ■(% + % ). (1.3)

/у Ги Л

йх

_ У ср У

1 +

1 +

сР

С С2 = уИ у2 + Ъ,

(1.4)

1-

йх

У с

1 -

сР

У 2 У

где С, С - коэффициенты жесткости деталей; ^, ц2 - коэффициенты Пуассона, Е, Е - модули упругости материала; индекс 1 соответствует охватываемой, 2 -охватывающей детали КСН.

В связи с развитием численных методов расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) появляется возможность определения зон наибольших значений эквивалентного напряжения в деталях сложной формы и последующей проверки условия прочности о"экв < [о] в этих зонах. Допускаемое нормальное напряжение с учетом запаса прочности деталей соединения определяется выражением

1 При расчетах соединений с натягом хрупких материалов выбор указанных пределов прочности зависит от вида и условий нагружения, соотношения размеров деталей сопряжения и образцов при стандартных испытаниях на прочность, микроструктуры и поверхностных дефектов деталей соединения.

м=£лред, (1.5)

П

где о"пред = ат для пластичных и Опред = <7В для хрупких материалов, п -требуемый коэффициент запаса прочности. Для таких хрупких материалов, как стекло и керамика (предел прочности которых на сжатие гораздо выше, чем на растяжение), при оценке прочности необходимо принять во внимание уровень максимальных растягивающих напряжений < [а]. Причем последнее необходимо учитывать, в том числе для охватываемой детали, поскольку деформационная волна на выходе из зоны сопряжения вызывает растягивающие напряжения. Следовательно, для хрупких материалов с предельно низким пределом прочности на растяжение и низкой трещиностойкостью условие (1.2) для охватываемой детали требует либо подтверждения, либо обоснования альтернативного.

При расчете КСН пользуются расчетной величиной натяга, отличной от измеренной, как правило, на величину смятия микронеровностей [2, 27]:

£расч = ^-/, (1.6)

где 8 - измеряемый (действительный) натяг, мкм; 5расч - расчетный натяг, мкм; х - поправка на смятие микронеровностей при запрессовке деталей, мкм.

В большинстве источников величину смятия выражают через параметры шероховатости, волнистости, отклонения формы поверхностей сопряжения [2, 27, 28]. В работах [16, 29] вместо «поправки на смятие микронеровностей», используется термин «сближение шероховатых поверхностей», зависящий, в том числе от нормального давления в контакте и физико-механических свойств контактного слоя и деталей. Тем не менее, широкое распространение при оценке величины поправки на смятие микронеровностей при запрессовке металлических деталей получила следующая зависимость:

Х = КГ(К1+К2\ (1.7)

где Кг - эмпирический коэффициент, зависящий от физико-механических свойств деталей соединения и величины контактного давления в сопряжении, по данным

различных литературных источников [2, 27, 28] для соединений с натягом традиционных в машиностроительной практике металлических деталей Кг « 3 ... 5,5; Ral, Ra2 - параметры шероховатостей поверхности вала и втулки, мкм.

В работе [30] показано, что параметр шероховатости наиболее сильно влияет на величину расчетного натяга в зоне малых диаметров (до 10 мм) в соединениях с небольшими натягами (величина параметров шероховатости соизмерима с натягом в сопряжении деталей). Также стоит отметить, что большинство исследований, посвященных снижению величин расчетных натягов вследствие смятия микронеровностей, касалось соединений традиционных для данного вида сопряжений материалов - сталей, сплавов цветных металлов. Следовательно, общепринятые значения коэффициента Кг для определения величины поправки натяга, вызванной деформированием (разрушением) микронеровностей поверхностного слоя, для хрупких малоразмерных деталей могут оказаться не приемлемыми.

Поскольку натяг в коническом сопряжении есть разность диаметров наружного и внутреннего конусов до сборки в поперечных сечениях, совмещаемых после фиксации их взаимного осевого положения, то непосредственное измерение натяга сформированного соединения затруднено. В связи с этим его принято определять косвенным путем по величине изменения осевого натяга (базорасстояния) в процессе сборки [2]:

8 = 25 Ьда = БК, (1.8)

где 5 - осевой натяг, мкм; К - конусность. Поэтому соответствующую поправку на смятие микронеровностей при сборке х можно определить по изменению АБ нулевого (исходного) положения деталей до и после сборки с последующим пересчетом через конусность.

Во избежание снижения прочности КСН ниже допустимой важно также учитывать отклонения формы сопрягаемых поверхностей. Результаты исследований влияния отклонений параметров конических соединений из традиционных материалов на их нагрузочную способность представлены в

работах [3, 31, 32, 33]. Полученные авторами этих работ теоретические и экспериментальные зависимости статической прочности КСН от отклонений угла конуса сопрягаемых поверхностей требуют проверки целесообразности их применения при расчетах малоразмерных соединений из хрупких материалов.

В [34] отмечено, что для традиционных материалов наибольшая прочность при одинаковом натяге и прочих равных условиях обеспечивается сборкой с применением нагрева или охлаждения соответствующих деталей, что учитывается при расчетах назначением величины коэффициента трения.

1.1.1 Особенности расчета соединения, собранного механическим методом

Относительная прочность соединения с натягом определяется соотношением между силой выпрессовки ^ и силой запрессовки ^ или так называемым

коэффициентом относительной прочности ^ = —. На прочность КСН, собранного

Рз

механическим методом, помимо вышеупомянутых влияют следующие факторы: шероховатость сопрягаемых поверхностей, конусность, формы и размеры фасок, вид смазки, скорость запрессовки и т.д. Это приводит к значительному рассеянию Для

конических соединений ^ = — < 1, однако известны случаи для соединений с малой

Рз

конусностью (К > 1: 50) [3], в которых ^ > ^, то есть прочность КСН близка к прочности цилиндрических соединений, для которых ^ как правило больше единицы вследствие отношений коэффициентов трения при запрессовке (трение скольжения) и в начальный момент выпрессовки (трение покоя).

Следует отметить, что при расчетах КСН, собранных механическим методом, требуется учитывать влияние силы запрессовки FЗ на НДС деталей соединения в процессе сборки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лекомцев, Павел Валерьевич, 2017 год

Список литературы

1. Фаттиев, Ф.Ф. Разработка высокопрочных конических соединений и метода их расчета: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06 / Фаттиев Фаил Файзиевич.

- Пермь., 1985. - 20 с.

2. Гречищев, И. С. Соединения с натягом: Расчеты, проектирование, изготовление / И.С.Гречищев, А.А.Ильяшенко. - М.: Машиностроение, 1981. -247 с.

3. Журавлев, А. Н. Конические соединения: Справочное пособие / А.Н.Журавлев, Р.В.Медведева, Ф.В.Партикевич. - М.: Машиностроение, 1968.

- 144 с.

4. Лунин, Б.С. Физико-химические основы разработки полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов / Б.С.Лунин. - М.: Изд-во МАИ, 2005. - 224 с.

5. Способ соединения керамической или кварцевой трубки с металлической втулкой: пат. 2024373 Рос. Федерация. Шапин В.А., Савинов С.А. -№5009124/08; заявл. 14.11.1991; опубл. 15.12.1994.

6. Optical Connector with Ferrule Interference Fit, патент US 20130019452 A1, Daniel E. Wertman, Soren Grinderslev. 24.01.2013.

7. Impeller assembly and shaft having interference fit, патент US 4491421, Richard Koehl, Michael J. Lerman. 1.01.1985.

8. Панова, И.М. Особенности конструирования изделий из керамических материалов / И.М.Панова // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2013. - № 4. - С. 45-50.

9. Danzer, R. On the relationship between ceramic strength and the requirements for mechanical design / R.Danzer // Journal of the European Ceramic Society. - 2014.

- Vol. 34. -pp. 3435-3460.

10. Trantina, G.G. Design Methodology for Ceramic Structures / G.G.Trantina, H.G. deLorenzi // Journal of Engineering for Power - 1974. - Vol. 99, No. 4. - pp. 559566.

11. Гадолин, А.В. О сопротивлении стен орудий давлению пороховых газов при выстреле / А.В.Гадолин // Артиллерийский журнал. - 1858. - № 3. - С. 28-75.

12. Работнов, Ю.Н. Сопротивление материалов / Ю.Н.Работнов. - М.: Физматгиз, 1963. - 456 с.

13. Гаффанов, Р.Ф. Управление процессом формирования соединения с натягом, собираемого термическим методом / Р.Ф.Гаффанов, А.В.Щенятский // Вестник ИжГТУ. - 2008. - № 3. - С. 6-9.

14. Балацкий, Л.Т. Прочность прессовых соединений /Л.Т.Балацкий. - Киев: Техника, 1982. - 151 с.

15. Высоконапряженные соединения с гарантированным натягом / И.В.Абрамов [и др.]. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - 300 с.

16. Дрозд, М.С. Инженерные расчёты упругопластической контактной деформации : монография / М.С.Дрозд, М.М.Матлин, Ю.И.Сидякин. - М.: Машиностроение, 1986. - 224 с.

17. Берникер, Е.И. Посадки с натягом в машиностроении: справочное пособие / Е.И.Берникер. - М. - Л.: Машиностроение, 1966. - 167 с.

18. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О.Зенкевич; пер. с англ. под ред. Б. Е. Подбери. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

19. Абрамов, И.В. К вопросу исследования напряженно-деформированного состояния заготовки при дорновании методом конечных элементов / И.В.Абрамов, Н.С.Сивцев, А.В.Щенятский // Известия вузов. Машиностроение. - 2004. - № 6. - С. 3-13.

20. Балкевич, В.Л. Техническая керамика / В.Л.Балкевич. - 2-е изд. - М.: Стройиздат, 1984. - 256 с.

21. Informationszentrum Technische Keramik (IZTK) in co-operation with member firms of the Technical Ceramics Section (Fachgruppe Technische Keramik) in the Verband der Keramischen Industrie e.V. Brevier Technische Keramik 2003. [Электронный ресурс] URL: http://www.keramverband.de/brevier_dt/brevier.htm (дата обращения: 20.06.2015).

22. Глаголев, С.П. Кварцевое стекло: его свойства, производство и применение / С.П.Глаголев. - М.-Л.: ОНТИ, Государственное химико-техническое

издательство, 1934. - 216 с.

23. Эванс, А.Г. Конструкционная керамика / А.Г.Эванс, Т.Г.Лэнгдон. - М.: Металлургия, 1980. - 256 с.

24. Ильдар К. Лекции по теории упругости [Электронный ресурс] URL: http:// soprotmat.ru/lectuprugost3.htm (дата обращения: 20.05.2015).

25. Биргер, И.А. Сопротивление материалов / И.А.Биргер, Р.Р.Мавлютов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1986. - 560 с.

26. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В.Александров, В.Д.Потапов. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

27. Yang, G.M. Contact pressure between two rough surfaces of a cylindrical fit / G.M. Yang, J.C. Coquille, J.F. Fontaine, M. Lambertin // Journal of Materials Processing Technology. - 2002. - Vol. 123, Issue 3. - pp. 490-497.

28. Суслов, А.Г. Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей / А.Г.Суслов. - М.: Машиностроение, 1987. -208 с.

29. Иванов, A.C. Расчет соединения с натягом с учетом контактной жесткости сопрягаемых поверхностей / А.С.Иванов, Б.А.Попов // Вестник машиностроения. - 2005. - № 4. - С. 31 - 36.

30. Мартынов, А.П. Управление качеством неподвижных соединений за счет нормирования конструктивно-технологических параметров / А.П.Мартынов, А.С.Зенкин, А.П. Васильев // Сборка в машиностроении, приборостроении. -2010. -№ 9. - С. 8-14.

31. Беляев, Н.С. О взаимозаменяемости конических соединений с натягом / Н.С.Беляев, А.А.Ильяшенко // Технология и организация производства. -1974. - № 5. - С. 33-35.

32. Беляев, Н. С. Влияние отклонений параметров конического соединения на его несущую способность / Н. С.Беляев, А. А.Ильяшенко // Вестник машиностроения. - 1976. - № 6. - С. 8-12.

33. Ильяшенко, А.А. Расчет прочности конических посадок с учетом погрешностей изготовления / А.А.Ильяшенко // Труды МИИТа. - 1967. - №

241. - С. 60-71.

34. Андреев, Г.Я. Тепловая сборка в машиностроении / Г.Я.Андреев. - Харьков: Украинская инженерно-педагогич. академия (УИПА), 2011. - 350 с.

35. Зенкин, А.С. Сборка неподвижных соединений термическими методами / А.С.Зенкин, Б.М.Арпентьев. - М.: Машиностроение, 1987. - 128 с.

36. Кравцов, М.К. Расчет характеристик прочности на осевой сдвиг соединений с натягом, собранных термическим способом / М. К. Кравцов, Ю. И. Сазонов, А.

A. Святуха. // Пробл. прочн. - 1996. - № 241. - С. 113-117.

37. Zum Gahr, K.H. Microstructure and Wear of Materials, Tribology, series no 10 / K.H. Zum Gahr. - Amsterdam: Elsevier, 1987. - 560 pp.

38. Czichos, H. Tribologie-Handbuch. Tribometrie, Tribomaterialien, Tribotechnik. / H.Czichos, K.H.Habig; 4th ed. - Springer, 2015. - 794 pp.

39. Straffelini, G. Friction and Wear Methodologies for Design and Control / G.Straffelini. - Springer, 2015. - 283 pp.

40. Матренин, С.В. Техническая керамика: Учебное пособие / С.В.Матренин, А.И. Слосман. - Томск: Изд-во ТПУ, 2004. - 75 с.

41. Ceramic and Glass Materials: Structure, Properties and Processing / editors J.Shackelford F, R.H.Doremus. - New York: Springer, 2008. - 200 pp.

42. Гаршин, А. П. КЕРАМИКА ДЛЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ / А. П. Гаршин, В. М. Гропянов, Г. П. Зайцев. - М.: Научтехлитиздат, 2003. - 384 с.

43. Баринов, С.М. Прочность технической керамики / С.М.Баринов,

B.Я.Шевченко. - М.: Наука, 1996. - 159 с.

44. Бакунов, В.С. Керамика из высокоогнеупорных окислов / В.С.Бакунов, В.Л.Балкевич, А.С.Власов и др. - М.: Металлургия, 1977. - 304 с.

45. Wachtman, John B. Mechanical Properties of Ceramics / John B. Wachtman, W. Roger Cannon, M. John Matthewson; 2nd Edition. John Wiley & Sons, 2009. - 479 pp.

46. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика / И.В.Савельев. - М.: Наука, 1970. - 508 с.

47. Ботвинкин, О.К. Кварцевое стекло / О.К.Ботвинкин, А.И.Запорожский. - М.: Стройиздат, 1965. - 259 с.

48. Леко, В.К. Свойства кварцевого стекла / В.К.Леко, О.В.Мазурин. - Л.: Наука, 1985. - 165 с.

49. Fused Silica Knowledge Base [Электронный ресурс] [2016]. URL: https:// www.heraeus.com/en/hqs/fused_silica_quartz_knowledge_base/properties/ properties.aspx (дата обращения: 27.11.2016).

50. Klein, C.A. Characteristic strength, Weibull modulus, and failure probability of fused silica glass / С.А.КЬт // Optical Engineering. - 2009. - Vol. 48, No. 11. -pp. 113401-1 - 113401-10.

51. ГОСТ 15130-86. Стекло кварцевое оптическое. Общие технические условия. -М.: ИПК Издательство стандартов, 1999. - 30 с.

52. Лунин Б. О температурной зависимости модуля Юнга чистых кварцевых стекол / Б.Лунин, С.Торбин // Вестник Московского университета. Серия 2. Химия. - 2000. - Т. 41, № 3. - С. 172-173.

53. Peter J. Lezzi. Surface Crystallization and Water Diffusion of Silica Glass Fibers: Causes of Mechanical Strength Degradation / Peter J. Lezzi, Erin E. Evke, Emily M. Aaldenberg, Minoru Tomozawa // Journal of the American Ceramic Society. -2015. - Vol. 98, No. 8. - pp. 2411-2421.

54. Griffith, A.A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids / А.А.Griffith // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1921. - Vol. 221. - pp. 582-593.

55. Weibull, W. A statistical theory of strength of materials / W.Weibull. - Stockholm: Generalstabens litografiska anstalts forlag, 1939.

56. Петров, Н.П. Гидродинамическая теория смазки. Избранные работы / Н.П.Петров. - М.: Изд-во АН СССР, 1948. - 556 с.

57. Щенятский, А.В. Теория и технология гидропрессовых соединений с натягом: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.02.02, 05.02.08 / Щенятский Алексей Валерьевич. - Ижевск, 2003. - 34 с.

58. Квитка, А.Л. Напряженно - деформированное состояние тел вращения / А.Л.Квитка, П.П.Ворошко, С.Д.Бобрицкая. - Киев: Наукова думка, 1977. - 209

с.

59. Попов, В.Л. Механика контактного взаимодействия и физика трения. От нанотрибологии до динамики землетрясений / В.Л.Попов. - М.: Физматлит,

2013. - 352 с.

60. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л.Сегерлинд; под ред. Б.Е.Победри. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

61. Коробейников, С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел / С.Н.Коробейников. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000. - 262 с.

62. Галанин, М.П. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач / М.П.Галанин [и др.]. // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, № 89, 2015.

63. ANSYS 12.1 Academic Research. ANSYS Element reference. // ANSYS, Inc. 2009.

64. Wriggers, P. Computational Contact Mechanics. 2nd ed. / P. Wriggers. - Berlin: Springer, 2006. - 519 pp.

65. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / А.Н.Подгорный, П.П.Гонтаровский, Б.Н.Киркач, Ю.И.Матюхин, Г.Л.Хавин. - Киев: Наук. думка, 1989. - 232 с.

66. Решетов, Д.Н. Детали машин: учебник для вузов / Д.Н.Решетов. - М.: Машиностроение, 1989. - 496 с.

67. Лекомцев, П.В. Исследование нагрузочной способности конического соединения деталей из пары материалов «техническая керамика-стекло» / П.В.Лекомцев, И.В.Абрамов // МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ - УСКОРЕНИЮ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА В XXI ВЕКЕ: сборник материалов III Всероссийской научно-технической конференции аспирантов, магистрантов и молодых ученых с международным участием. - Ижевск: ИННОВА, 2015. - С. 193-200.

68. Абрамов, И.В. Экспериментальные исследования термостойкости конического соединения деталей из пары материалов «техническая керамика - стекло» / И.В.Абрамов, П.В.Лекомцев // Интеллектуальные системы в производстве. -

2014. - № 2. - С. 25-28.

69. Басов, К.А. ANSYS: Справочник пользователя / К.А.Басов. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 640 с.

70. Адлер, Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. 2-е изд / Ю.П.Адлер, Е.В.Маркова, Ю.В.Грановский. - М.: Наука, 1976. - 280 с.

71. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. -479 с.

72. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ: Пер.с англ. / Н.Дрейпер, Г.Смит. - М.: Стат., 1973. - 183 с.

73. Фёрстер, Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер. с нем. / Э.Фёрстер, Б.Рёнц. - М.: "Финансы и статистика", 1983 г. - 304 с.

74. Тарасов, В. В. Особенности эксплуатации установки SRV-III для испытаний материалов на трение и изнашивание / В.В.Тарасов, В. Ф.Лыс, Е.А.Калентьев, В.Н.Новиков // Механика и физико-химия гетерогенных сред, наносистем и новых материалов. Материалы научных исследований.- Ижевск: Институт механики УрО РАН, - 2015. - С. 350-364.

75. Абрамов, А. И. Анализ точности конических отверстий, получаемых методом упругопластического деформирования в режиме жидкостного трения / А.И.Абрамов, И.В.Абрамов, П.В.Лекомцев // Вестник ИжГТУ. - 2013. - № 4. - С. 28-30.

76. Крагельский, И.В. Трение и износ /И.В.Крагельский. - М.: Машиностроение, 1978. - 140 с.

77. SWAIN, M.V. Microfracture About Scratches in Brittle Solids // Proceedings of The Royal Society A (Proc Math Phys Eng Sci), Vol. 366, No. 1727, 1979. pp. 575-597.

78. Журавлев, В.Ф. Волновой твердотельный гироскоп / В.Ф.Журавлев, Д.М.Климов. - М.: Наука, 1985. - 125 с.

79. Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений / Ю.В.Линник. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. - 336 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Акт использования результатов исследования

Акционерное общество «Ижевский электромеханический завод «Купол»

об использовании результатов кандидатской диссертационной работы Лекомцева Павла Валерьевича

Комиссия в составе: главного конструктора гироскопических устройств и приборов Мачехина Петра Кузьмича, начальника лаборатории Стародумова Александра Валентиновича, начальника тематического отдела Газизова Станислава Галимзяновича составили настоящий акт о том, что результаты диссертационной работы «НАГРУЗОЧНАЯ СПОСОБНОСТЬ МАЛОРАЗМЕРНЫХ КОНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ С ДЕТАЛЯМИ ИЗ ПАРЫ МАТЕРИАЛОВ «ТЕХНИЧЕСКАЯ КЕРАМИКА - КВАРЦЕВОЕ СТЕКЛО»» использованы при реализации технологического процесса сборки резонатора с основанием ТВГ в следующем виде:

1. Методика определения расчетного натяга и нагрузочной способности соединения по результатам анализа напряженно-деформированного состояния с учетом реальной формы собираемых деталей и условий эксплуатации соединения.

2. Расчеты натяга и температуры нагрева с учетом реальных размеров деталей.

Мачехин П.К. Стародумов А.В. Газизов С.Г.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Б.1 Статистическая обработка данных экспериментов по исследованию НС

КСН, собранных термическим методом

Уравнение парной регрессии составляется на основе полученного поля корреляции - совокупности точек результативного FВ и факторного б признаков всех образцов (рисунок Б.1).

2000-

1 1 1 1 1 1 1 1 1 • • • %

1500- 1 1

1 1

X 1 1 1 1

£ 1000- • 1

• • 1 1 1 1 1

500- 1 1 1 1

• • . К 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

мкм

Рисунок Б.1 - Совокупность точек результативного Fв и факторного 5

признаков всех образцов

На основании поля корреляции выдвигается гипотеза (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями FВ и б носит линейный характер.

Оценочное линейное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид у = Ьх + а ± £, где £ - наблюдаемые значения (оценки) случайных ошибок, а и Ь соответственно оценки параметров а и в регрессионной модели, которые следует найти; у - значения результативного признака FВ, Н; х -значения факторного признака б, мкм.

Поскольку отклонения для каждого конкретного наблюдения / - случайны и их значения в выборке неизвестны, то по наблюдениям х; и у; получают только оценки параметров а и в регрессионной модели - величины а и Ь соответственно, которые носят случайный характер, так как соответствуют случайной выборке. Для определения неизвестных параметров линейной регрессии используют метод наименьших квадратов (МНК) [79], в соответствии с которым:

(Б.1) (Б.2)

^ _ £¿=1 Х1 • £¿=1 у £¿=1 хУ^1=1

п£Г=1*2-(£Г=1*02

° п£Г=1х2-(£Г=1^)2 •

Для дальнейших расчетов составляется вспомогательная таблица (таблица Б.1). Таблица Б.1 - К расчету коэффициентов регрессии МНК

1 XI У/ Х/У/ X? У?

1 1,64 294 482,16 2,69 86436

2 1,96 314 615,44 3,84 98596

3 1,96 333 652,68 3,84 110889

4 1,98 332 657,36 3,92 110224

5 2,00 333 666,00 4,00 110889

6 2,00 450 900,00 4,00 202500

7 2,00 352 704,00 4,00 123904

8 2,00 326 652,00 4,00 106276

9 2,02 392 791,84 4,08 153664

10 2,04 352 718,08 4,16 123904

11 2,14 294 629,16 4,58 86436

12 2,20 450 990,00 4,84 202500

13 3,20 824 2636,80 10,24 678976

14 3,70 921 3407,70 13,69 848241

15 4,00 1060 4240,00 16,00 1123600

16 4,02 1254 5041,08 16,16 1572516

17 4,10 1254 5141,40 16,81 1572516

18 4,18 1254 5241,72 17,47 1572516

19 4,30 1246 5357,80 18,49 1552516

20 5,12 1619 8289,28 26,21 2621161

21 5,30 1720 9116,00 28,09 2958400

22 5,80 1960 11368,00 33,64 3841600

23 6,08 1964 11941,12 36,97 3857296

24 6,10 1941 11840,10 37,21 3767481

I 79,84 21239 92079,72 318,94 27483037

В результате эмпирические коэффициенты регрессии: b = 401,682, a = -451,304. Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 401,682 x - 451,304. (Б.3)

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Далее проводятся расчеты некоторых параметров полученного уравнения. Выборочные средние:

- XXi Z984

x = n = 24 = 333 ' (Б4)

— Yyi 21239 -

у = n = "I2"- = 884.96 , (Б. 5)

- Yxiyi 92079.72 -

ХУ = n = 9-2i— = 3836.66. (Б. 6)

Выборочные дисперсии:

vx2. — 318 94 S2(x) = Lx1 - Х 2 = - 3.332 = 2.22 (Б.7)

S2(y) = ^ - 72 = 27483037 - 884.962 = 3619 7 5.29 (Б.8)

Среднеквадратические отклонения:

S(x) = Vs2(x) = л/222 = 1.491 (Б. 9)

S(y) = -\/S2(y) = л/361975.29 = 601.644 (Б. 10)

Рассчитывается показатель тесноты связи - выборочный линейный коэффициент корреляции [71, 72]:

^ x • y - x • y _ 3836.66 - 3.33 • 884.96 _ rxy = S(x) • S(y) = 1.491 • 601.644 = 0.995 (Б11)

В соответствии с критериями оценивания тесноты связи по шкале Чеддока [73]

для rxy=0,995 связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

Квадрат коэффициента корреляции (коэффициент детерминации), который

показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией

Л Л

факторного признака: R2= 0,9952 = 0,9906. То есть в 99,06 % случаев изменения X приводят к изменению Y. Что дополнительно показывает высокую точность

подбора уравнения регрессии. Остальные 0,94 % изменения У объясняются факторами, не учтенными в модели.

С учетом коэффициента корреляции выборочное уравнение линейной регрессии запишется в следующем виде:

х ' х — х - 3 33

Ух = Гху -^р Б(у) + у = 0.995 1491 601.644 + 884.96 = 401.68Х -451.3 (Б. 12)

Подставкой в уравнение регрессии соответствующего значения х определяются выровненные (предсказанные) значения результативного показателя у(х) для каждого наблюдения (таблица Б.2).

Для оценки качества параметров регрессии строится расчетная таблица (таблица Б.2)

Таблица Б.2 - К оценке качества параметров регрессии

1 XI У1 У(х) СУ* - У)2 СУ* - У(х))2

1 1,64 294 207,455 349231,75 7490,090

2 1,96 314 335,993 325993,42 483,689

3 1,96 333 335,993 304658,00 8,958

4 1,98 332 344,027 305762,92 144,639

5 2,00 333 352,060 304658,00 363,292

6 2,00 450 352,060 189188,75 9592,202

7 2,00 352 352,060 284044,59 0,004

8 2,00 326 352,060 312434,42 679,135

9 2,02 392 360,094 243007,92 1018,002

10 2,04 352 368,127 284044,59 260,096

11 2,14 294 408,296 349231,75 13063,506

12 2,20 450 432,397 189188,75 309,879

13 3,20 824 834,079 3715,92 101,578

14 3,70 921 1034,920 1299,00 12977,678

15 4,00 1060 1155,424 30639,59 9105,780

16 4,02 1254 1163,458 136191,75 8197,880

17 4,10 1254 1195,592 136191,75 3411,446

18 4,18 1254 1227,727 136191,75 690,272

19 4,30 1246 1275,929 130351,09 895,734

20 5,12 1619 1605,308 538817,17 187,469

21 5,30 1720 1677,611 697294,59 1796,843

22 5,80 1960 1878,452 1155714,59 6650,107

23 6,08 1964 1990,923 1164330,92 724,836

24 6,10 1941 1998,956 1115224,00 3358,945

I 79,84 21239 21239,000 8687406,96 81512,061

Значимость коэффициента корреляции определяется путем вычисления наблюдаемого значения критерия (величины случайной ошибки) 1на6л = гху У""2 и

V 1 " Г ху

нахождения по таблице критических точек распределения Стьюдента для заданного уровня значимости а и числа степеней свободы к=п-2 критической точки 1крит двусторонней критической области.

л/22

1:на6л = 0.995 , v , = 48.19. л/1 - 0.9952

По таблице Стьюдента с уровнем значимости а=0.05 и степенями свободы к=22 ^крит = ^крит (п-ш-1;а/2) = tкpит (22;0,025) = 2,074 , где т = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку ^набл| > 1крит, то коэффициент корреляции статистически значим. Доверительный интервал для коэффициента корреляции при уровне значимости а=0,05:

гху £ ( г ^крит^ п_2 ; Г + ^крит^ п_2 ), (Б13)

гху £ ( 0,995 - 2,074 I1 0,9952 ;0,995 + 2,074 11-09952

\ \ 24-2 \ 24-2

гху £ (0,952; 1).

Далее проводится анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

= (Б. 14)

„ 81512.06

Б2 =-^-= 3705.094

Б2 = 3705,094 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии):

Б = л/^2 = л/3705.094 = 60.87. (Б.15)

Стандартное отклонение случайной величины а:

п Б(х) .

Ба = 5

(Б. 16)

Л/318.94 24 • 1.491

Ба = 60.87 = 30.38 .

Стандартное отклонение случайной величины Ь:

Б

Бь :

: л/П Б(х) .

(Б. 17)

„ 60.87 Бь = пт-. . = 8.33

л/24 • 1.491

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X при

^ ( х 2

наличии случайных ошибок г = S Д /1 + 1 +-=—,

' р \ / п Дх - х)2

1 (3.33 - Ж;)2

где 1КрИТ (п-т-1;а/2) = (22;0.025) = 2.074; е = 2.074 • 60.87 Л 1 + — + 53 34 , представлены в

таблице Б.3.

Таблица Б.3 - Доверительные интервалы Y при вероятности 0,95

у = -451.3 + 401.68^ 3 Ушт = У - 3 Ушах = У + ^

1,64 207,45 132,1 75,35 339,56

1,96 335,99 130,99 205 466,99

1,96 335,99 130,99 205 466,99

1,98 344,03 130,93 213,09 474,96

2 352,06 130,87 221,19 482,93

2 352,06 130,87 221,19 482,93

2 352,06 130,87 221,19 482,93

2 352,06 130,87 221,19 482,93

2,02 360,09 130,81 229,28 490,91

2,04 368,13 130,75 237,38 498,88

2,14 408,3 130,47 277,83 538,76

2,2 432,4 130,31 302,09 562,71

3,2 834,08 128,87 705,21 962,94

3,7 1034,92 129,01 905,91 1163,93

4 1155,42 129,37 1026,05 1284,8

4,02 1163,46 129,4 1034,06 1292,86

4,1 1195,59 129,54 1066,05 1325,13

4,18 1227,73 129,69 1098,04 1357,42

4,3 1275,93 129,94 1145,99 1405,87

5,12 1605,31 132,52 1472,78 1737,83

5,3 1677,61 133,29 1544,33 1810,9

5,8 1878,45 135,75 1742,7 2014,21

6,08 1990,92 137,36 1853,57 2128,28

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. Проверяется статистическая значимость коэффициентов линейного уравнения регрессии по критерию Стьюдента. 1:крит (п-ш-1;а/2) = ^рит (22;0,025) = 2,074 .

401.68 __ * = 4813" = 48.19.

48,19 > 2,074, следовательно, коэффициент Ь статистически значим.

ъ=а- (Б. 19)

Эа

-451.3 30.38

ta = о^оо = 14.85.

14,85 > 2,074, следовательно, коэффициент а статистически значим. Определяются доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежностью 95% будут следующими:

Ь £ (Ь — г^рит^; Ь + г:Криг$ь) . (Б.20)

Ь £ (384,396; 418,968).

О. £ (0. ^крит^а; ^ + ^крит^'а). (Б.21)

а £ (—514,318; —388,289).

Проверяется адекватность регрессионной модели по F-критерию Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели (см. таблицу Б.2):

F = ЦУ'-зО2 = 8687126:96 = Ю6,58. (Б.22)

£(У1-У(*))2 81512,06 у 7

Табличное значение критерия Fтабл = 4,3 при уровне значимости а=0,05 со степенями свободы к1=(т) =1 и к2=(п-ш-1) =22 (т - число факторов в модели),

следовательно, полученная модель (Б.13) адекватно описывает результаты наблюдений.

Б.2 Статистическая обработка данных экспериментов по исследованию НС

КСН, собранных механическим методом

Уравнения регрессий составляются на основе полученных полей корреляции -совокупности точек результативного FЗ и РВ и факторного б признаков всех образцов (рисунок Б.2).

Рисунок Б.2 - Совокупности точек результативного Fз и Fв и факторного 5

признаков всех образцов

На основании поля корреляции выдвигается гипотеза (для генеральной совокупности) о том, что связи между всеми возможными значениями FЗ и б, FВ и б носят линейный характер.

Оценочные линейные уравнения регрессии будут иметь вид у1 = Ь1х + а1 ± е1 и у2 = Ь2х + а2±£2, где £1и £2 - наблюдаемые значения (оценки) случайных ошибок; а1 и а2, Ь1 и Ь2 соответственно оценки параметров а1 и а2, и р2 регрессионных моделей, которые следует найти; у1 - значения результативного

признака FЗ, Н; у2 - значения результативного признака FВ, Н; х - значения факторного признака б, мкм.

Для расчетов коэффициентов по формулам (Б.1) и (Б.2) составляется вспомогательная таблица (таблица Б.4).

Таблица Б.4 - К расчету коэффициентов регрессии МНК

1 XI Ун У2 1 уЬ У21

1 1,68 318 211 534,24 354,48 2,82 101124 44521

2 1,76 529 357 931,04 628,32 3,1 279841 127449

3 1,94 352 262 682,88 508,28 3,76 123904 68644

4 2,28 522 405 1190,16 923,4 5,2 272484 164025

5 2,28 568 529 1295,04 1206,12 5,2 322624 279841

6 2,4 470 397 1128 952,8 5,76 220900 157609

7 2,58 470 333 1212,6 859,14 6,66 220900 110889

8 2,76 1020 800 2815,2 2208 7,62 1040400 640000

9 2,88 803 686 2312,64 1975,68 8,29 644809 470596

10 2,9 764 607 2215,6 1760,3 8,41 583696 368449

11 3,2 972 816 3110,4 2611,2 10,24 944784 665856

12 3,34 1100 800 3674 2672 11,16 1210000 640000

13 3,4 803 686 2730,2 2332,4 11,56 644809 470596

14 3,86 1140 980 4400,4 3782,8 14,9 1299600 960400

15 3,86 1039 921 4010,54 3555,06 14,9 1079521 848241

16 4,32 1372 1215 5927,04 5248,8 18,66 1882384 1476225

17 4,6 1564 1345 7194,4 6187 21,16 2446096 1809025

18 4,62 1529 1140 7063,98 5266,8 21,34 2337841 1299600

19 5,12 1724 1526 8826,88 7813,12 26,21 2972176 2328676

20 5,52 1882 1764 10388,64 9737,28 30,47 3541924 3111696

21 6 2333 2137 13998 12822 36 5442889 4566769

22 6,16 2254 1920 13884,64 11827,2 37,95 5080516 3686400

I 77,46 23528 19837 99526,52 85232,18 311,37 32693222 24295507

В результате эмпирические коэффициенты регрессий: Ьх = 431,834 и ах = -450,993, Ь2 = 398,226 и а2 = -500,434. Уравнения регрессий (эмпирические уравнения регрессий):

У! = 431,834х - 450,993, (Б.23)

у2 = 398,226х - 500,434. (Б.24)

Далее проводятся расчеты некоторых параметров полученных уравнений. Выборочные средние:

_ = ^ = 77.46 = 3,52, (Б.25)

п 22 ' 4 '

у = Ъ2±± = 23528 = 1069,45, (Б.26)

у = ^ = = 901,68, (Б.27)

Х_ = ^ = 99^52 = 4523,93, (Б.28)

ху = = 8523218 = 3874,19. (Б.29) Выборочные дисперсии:

32(х) = 1x1 - 72 = ^^ - 3.522 = 1.76, (Б.30)

S2(y1) = ^ - у!2 = 32693222 - 1069.452 = 342322,52, (Б.31)

S2(y2) = ^ - У:2 = 24295507 - 901,682 = 291311,13. (Б.32)

Среднеквадратические отклонения:

S(x) = 7^2(х) = 7176 = 1,325, (Б.33)

Б(у1) = 7^2(У1) = 7342322,52 = 585,083, (Б.34)

БСу2) = 7^2(У2) = 7291311Д3 = 539,732. (Б.35)

Выборочные линейные коэффициенты корреляции (показатели тесноты связи):

г = = 4523,93-3,52 1069,45 = 0,9782, (Б.36)

S(x)■S(y1) 1,325-585,083 ' 4 7

г = = 3874Д9-3,52901,68 = 0,9778. (Б.37)

ху2 S(x)■S(y2) 1,325-539,732 4 '

В соответствии с критериями оценивания тесноты связи по шкале Чеддока для гху1 = 0,9782 и гху2 = 0,9778 связь между признаками у1, у2 и фактором х весьма высокая и прямая.

Квадрат коэффициента корреляции для первой регрессии (Б.23) Д2 = 0,97822 = 0,9568, для второй (Б.24) - Д2 = 0,97782 = 0,9562, то есть в 95,68 % случаев изменения х приводят к изменению у1, и в 95,62 % случаев изменения х приводят к изменению у2. Таким образом, точность подбора уравнений регрессий -высокая.

Подставкой в уравнение регрессии соответствующего значения х определяются выровненные (предсказанные) значения результативного показателя ух (х) и у2 (х) для каждого наблюдения (таблица Б. 5 и таблица Б. 6).

Для оценки качества параметров регрессий (Б.23) и (Б.24) строятся расчетные таблицы (таблица Б. 5 и таблица Б. 6 соответственно).

Таблица Б.5 - ^ К оценке качества параметров регрессии (Б.23)_

X У1 У1СО (У1 - У1ср)2 (У1 -У1М)2 |У1 -У1(*)|:У1

1,68 318 274,49 564683,93 1893,32 0,14

1,76 529 309,03 292091,12 48384,88 0,42

1,94 352 386,76 514741,02 1208,57 0,0988

2,28 522 533,59 299706,48 134,28 0,0222

2,28 568 533,59 251456,66 1184,19 0,0606

2,4 470 585,41 359345,75 13319,02 0,25

2,58 470 663,14 359345,75 37302,34 0,41

2,76 1020 740,87 2445,75 77914,54 0,27

2,88 803 792,69 70998,02 106,33 0,0128

2,9 764 801,32 93302,48 1393,15 0,0489

3,2 972 930,88 9497,39 1691,25 0,0423

3,34 1100 991,33 933,02 11808,76 0,0988

3,4 803 1017,24 70998,02 45899,59 0,27

3,86 1140 1215,89 4976,66 5758,61 0,0666

3,86 1039 1215,89 927,48 31288,47 0,17

4,32 1372 1414,53 91533,75 1808,72 0,031

4,6 1564 1535,44 244575,21 815,53 0,0183

4,62 1529 1544,08 211182,02 227,38 0,00986

5,12 1724 1760 428429,75 1295,72 0,0209

5,52 1882 1932,73 660230,12 2573,5 0,027

6 2333 2140,01 1596547,12 37245,16 0,0827

6,16 2254 2209,1 1403147,93 2015,71 0,0199

77,46 23528 23528 7531095,45 325269,04 2,58

Таблица Б.6 - К оценке качества параметров регрессии (Б.24)

X У2 У2СО (У2 - У2ср)2 (У2 -У2М)2 |У2 -У2(*)|:У2

1,68 211 168,58 477041,37 1799,05 0,2

1,76 357 200,44 296678,28 24510,16 0,44

1,94 262 272,12 409192,83 102,48 0,0386

2,28 405 407,52 246692,83 6,35 0,00622

2,28 529 407,52 138891,74 14757,37 0,23

2,4 397 455,31 254703,74 3399,73 0,15

2,58 333 526,99 323399,01 37631,25 0,58

2,76 800 598,67 10339,19 40534,43 0,25

2,88 686 646,46 46518,65 1563,77 0,0576

2,9 607 654,42 86837,37 2248,65 0,0781

3,2 816 773,89 7341,37 1773,45 0,0516

Таблица Б.6 - Продолжение

3,34 800 829,64 10339,19 878,48 0,037

3,4 686 853,53 46518,65 28067,21 0,24

3,86 980 1036,72 6133,74 3216,76 0,0579

3,86 921 1036,72 373,19 13390,31 0,13

4,32 1215 1219,9 98168,28 24,01 0,00403

4,6 1345 1331,4 196531,01 184,87 0,0101

4,62 1140 1339,37 56795,56 39747,57 0,17

5,12 1526 1538,48 389773,19 155,77 0,00818

5,52 1764 1697,77 743592,65 4386,29 0,0375

6 2137 1888,92 1526011,01 61544,09 0,12

6,16 1920 1952,64 1036971,92 1065,06 0,017

77,46 19837 19837 6408844,77 280987,11 2,92

Значимость коэффициентов корреляции определяется путем вычисления наблюдаемого значения критерия (величины случайной ошибки) 1набл = гху У""2 и