Мультистабильность, квазипериодичность и хаос в многомодовых автоколебательных системах, построенных на базе осциллятора Ван дер Поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Астахов Олег Владимирович

• Астахов Олег Владимирович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Астахов Олег Владимирович

Введение

1 Бифуркационный механизм затягивания частоты в генераторе Ван дер Поля, индуктивно связанном с линейным колебательным контуром

1.1 Введение

1.2 Принципиальная схема двухмодового генератора. Вывод уравнений математической модели

1.2.1 Модель двухмодового генератора в нормированных переменных

1.2.2 Модель двухмодового генератора в квазигармоническом приблежении

1.3 Исследование эффекта затягивания частоты в модели двухмодового генератора

1.3.1 Бистабильность и гистерезис в области квазигармонических колебаний

1.3.2 Бифуркационный анализ

1.4 Бифуркационный анализ формирования мультистабильности в квазигармоническом приблежении

1.5 Гетероклиническая структура

1.6 Выводы

2 Возникновение мультистабильности, квазипериодических и хаотических колебаний в двухмодовом генераторе Ван дер Поля в зависимости от типов связи с линейными колебательными контурами

2.1 Введение

2.2 Исследуемые системы

2.2.1 Уравнения генератора с нагрузкой при ёмкостной связи между контурами

2.2.2 Уравнения двухмодового генератора с перекрёстной связью

2.3 Исследование затягивания частоты в генераторе с нагрузкой

2.3.1 Укороченные уравнения двухмодового генератора при ёмкостной связи с дополнительным контуром

2.3.2 Бифуркационный анализ укороченных уравнений двухмодового генератора при ёмкостной связи с дополнительным контуром

2.4 Сложная динамика двухмодового генератора с перекрёстной связью

2.5 Выводы

3 Динамика многомодовых генераторов с тремя и пятью колебательными контурами

3.1 Введение

3.2 Мультистабильность, квазипериодичность и хаос в кольцевом

генераторе Ван дер Поля с тремя линейными колебательными

контурами в цепи обратной связи

3.2.1 Исследуемая система. Вывод уравнений математической модели

3.2.2 Характерные режимы, переход к хаосу и мультистабильность

3.2.3 Бифуркационный анализ формирования

мультистабильных состояний

3.3 Многоканальный генератор с пятью колебательными контурами

3.3.1 Парциальная ячейка многоканального генератора на основе нелинейного колебательного контура

3.3.2 Одноканальный генератор

3.3.3 Двухканальный генератор

3.3.4 Схема и уравнения пятиканального генератора

3.3.5 Квазипериодичность, хаос и гиперхаос в многоканальном генераторе с пятью колебательными контурами

3.3.6 Выводы

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультистабильность, квазипериодичность и хаос в многомодовых автоколебательных системах, построенных на базе осциллятора Ван дер Поля»

Актуальность исследуемой проблемы

Автоколебательные системы - это нелинейные диссипативные динамические системы, демонстрирующие незатухающие во времени колебания [1], [2]. Автоколебательные системы являются предметом исследований широкого спектра дисциплин - физики, химии, биологии и многих других [3-6]. Существуют различные по сложности автоколебательные системы, различающиеся размерностью фазового пространства — от простых генераторов с предельным циклом на фазовой плоскости до автоколебательных систем с большим числом степеней свободы и распределённых автоколебательных систем [7-16]. Для систем с большим числом степеней свободы, так называемых многомодовых генераторов [10, 11, 15, 16], примерами которых являются различные генераторы СВЧ диапазона [17-19], лазеры [20-23] различные механические автоколебательные системы [24], характерны такие явления как синхронизация и конкуренция мод [25-28], мультистабильность и затягивание частоты [29-31], возбуждение квазипериодических колебаний с разным числом независимых частот [32-35], возникновение хаоса и переход к гиперхаосу [36-46, 120]. Исследования этих явлений в многомодовых автоколебательных системах относятся к важным актуальным проблемам современной радиофизики.

Здесь следует обсудить, что обычно понимают под многомодовыми автоколебательными системами и многомодовыми колебательными

процессами. В многомодовых системах могут генерироваться колебания со многими независимыми временными масштабами, многомодовые системы могут демонстрировать и регулярное, и хаотическое поведение. Детальное обсуждение концепции многомодовой динамики приведено в монографиях [48, 49]. Простейшим примером многомодового поведения являются квазипериодические колебания с двумя частотами, соответствующие двумерному эргодическому тору в фазовом пространстве системы. В таких двухмодовых автоколебательных системах квазипериодические колебания могут наблюдаться в определенной области значений параметров. Изменение управляющих параметров приводит к возникновению одномодовых (периодических) колебаний в результате синхронизации мод. Соответствующий устойчивый предельный цикл располагается на поверхности резонансного тора. Однако, может также наблюдаться и другая ситуация. Двухмодовая система может демонстрировать либо одну, либо другую моду, то есть периодические колебания либо с одной, либо с другой частотой в зависимости от значений начальных условий. В этом случае соответствующие предельные циклы не располагаются на резонансном торе. Тем не менее, в литературе такие системы также называют двухмодовыми или двухчастотными (см., например, [11, 27]). Существование нескольких мод в автоколебательной системе в простейшем случае обусловлено несколькими компонентами, характеризуемыми собственными временными масштабами. Простейшими примерами многомодовых автоколебательных систем являются двухмодовые генераторы с нагрузочной и перекрёстной связью (по терминологии К.Ф. Теодорчика) [3]. Другими словами, в первом случае это генератор, нагруженный на колебательный контур, а во втором — кольцевой генератор, канал обратной связи которого содержит два колебательных контура. Таким образом, можно выделить две больших группы многомодовых автоколебательных систем. Одна представляет собою ансамбль, состоящий из генераторов, взаимодействующих с пассивными осцилляторами, а вторая

представляет собой активные нелинейные системы со сложными каналами обратной связи.

Хорошо известно, что поддержание автоколебаний возможно только при условии выполнения баланса между энергией, вносимой в систему и энергией, рассеиваемой в ней. Это осуществляется за счет сил, зависящих от состояния движения самой системы [50]. Во многих случаях такой механизм сохранения динамического баланса в среднем на характерном интервале времени осуществляется с помощью обратной связи.

Контур обратной связи является ключевым элементом, обеспечивающим возникновение автоколебательного режима в нелинейной диссипативной системе. Причём, наличие обратной связи вполне естественно, например, для живых систем. Так, автоколебательные процессы реализуются благодаря контуру обратной связи в генетических осцилляторах [51, 52], внутри живых клеток [53, 54], а также в ансамблях нейронов [55, 56]. Примером автоколебательной системы с обратной связью природного характера, но совершенно другого масштаба являются климатические системы [57].

Обратные связи широко распространены в технических автоколебательных системах: в оптических квантовых генераторах [58-60], в оптоэлектронных осцилляторах [61], в наноэлектронных [62], микрофлюидных [63], электрохимических [63,64], робототехнических [65] устройствах.

Свойства и конкретные особенности каналов обратной связи используют для разработки методов управления хаосом [66, 67], управления мультистабильностью [30] и управления динамикой сети [68,69].

При создании многомодовых систем, демонстрирующих

квазипериодические колебания с большим числом независимых частот, а также режимы хаоса и гиперхаоса, используют специальные, сложные многоканальные обратные связи [70-72].

Особый интерес представляют автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью [73-83]. Это, в частности, связано с

тем, что принципиальная ограниченность скорости распространения сигнала приводит к его запаздыванию в реальном канале связи конечной длины и к возможности замены волновых связей на связи с запаздыванием в математических моделях реальных систем [8]. Учет запаздывания увеличивает размерность фазового пространства динамической системы (оно становится бесконечномерным) и открывает возможность описания принципиально новых нелинейных явлений, например, временных диссипативных солитонов [84]. Исследование роли запаздывания в формировании динамических режимов различных моделей систем с обратной связью пользуется постоянным вниманием исследователей [85-100].

Учет принципиальной конечности скорости распространения сигнала в цепи обратной связи может быть осуществлен в математической модели различными способами. Например, применительно к радиофизическим системам, помимо использования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, возможно смоделировать линию запаздывания в виде цепочки пассивных линейных колебательных контуров [4]. В этом случае задача исследования динамики автоколебательной системы с запаздыванием в цепи обратной связи сводится к проблеме взаимодействия активной нелинейной системы с пассивными линейными осцилляторами. Данная проблема в различных ее аспектах также привлекает внимание исследователей. Например, в работах [101, 102] анализируется роль колебательного контура в цепи обратной связи автоколебательной системы. Очевидно, взаимодействие активных нелинейных систем с пассивными линейными колебательными системами может осуществляться и иначе: пассивный осциллятор может являться нагрузкой автогенератора. Такие модели рассмотрены в работах [103-106]. В некоторых работах рассматриваются варианты взаимодействия генератора, построенного на основе параллельного колебательного контура, с последовательным колебательным контуром [107, 108]. Наконец, широко исследуют системы гюйгенсовского типа, в которых автогенераторы

взаимодействуют между собой через пассивный осциллятор [109, 110] или пассивную колебательную среду [111] .

Таким образом, исследование динамических механизмов возникновения нелинейных явлений, характерных для многомодовых автоколебательных систем, состоящих из взаимодействующих автогенераторов и ансамбля пассивных осцилляторов или представляющих собой активные нелинейные системы со сложными каналами обратной связи, является важной и актуальной задачей радиофизики как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения.

Двухмодовая система Ван дер Поля служит простейшей моделью для каждого из этих двух типов систем: двухмодовая система Ван дер Поля может состоять из классического осциллятора Ван дер Поля, нагруженного дополнительным линейным осциллятором или оба линейных осциллятора могут быть включены в петлю обратной связи автоколебательной системы. Эти хорошо известные модели радиофизики позволяют исследовать в деталях бифуркационные механизмы и условия для возникновения мультистабильности, затягивания частоты, квазипериодичности и хаоса в зависимости от конфигурации связи между линейными осцилляторами в автоколебательной системе.

Генератор Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром [2, 31] является классическим, давно и хорошо известным примером автоколебательной системы с двумя степенями свободы. Эта система детально исследована и её описание вошло во многие монографии и учебники по теории колебаний (см., например, [7, 9, 11]). В таких генераторах с двумя степенями свободы основным является явление затягивания. При одних и тех же значениях управляющих параметров, в зависимости от выбора начальных условий или предыстории движения по параметру расстройки между собственными частотами контуров, могут наблюдаться два режима автоколебаний, различающихся амплитудами и частотами. При плавном изменении расстройки переход с одного режима на другой происходит жестким

образом. Бифуркационные значения, при которых происходят перескоки с увеличением значений управляющего параметра и с уменьшением его значений, не совпадают. Наблюдается гистерезис и бистабильность. Явление затягивания существует при разных типах связи между колебательными контурами - и при индуктивной, и при емкостной (см., например, [9] и [3], соответственно).

Вопрос о структуре фазового пространства в режиме затягивания был поставлен и рассмотрен для генератора с двумя колебательными контурами, связанными через ёмкость, в работе Скибарко и Стрелкова [112]. Задача была сведена к уравнениям для амплитуд и на фазовой плоскости были исследованы неподвижные точки и их устойчивость. Однако, вопрос о бифуркационном механизме затягивания частоты, то есть в результате какой последовательности бифуркаций формируется бистабильность, приводящая к гистерезису и в результате к затягиванию частоты, остаётся открытым.

Следует отметить, что обычно появление мультистабильности и гистерезиса связано с седло-узловыми бифуркациями предельных циклов [12, 30]. В фазовом пространстве рождаются пары устойчивых и седловых циклов, в расширенном пространстве координат и параметров системы появляются линии складок и точки сборки.

Возникают вопросы. Бистабильность в генераторе с дополнительным контуром формируется аналогичным образом или обусловлена иными бифуркациями? Остаётся бифуркационный механизм формирования мультистабильности неизменным или существенно зависит от типа связи между колебательными контурами?

Двухмодовые автоколебательные системы (системы с двумя степенями свободы) и в виде генератора Ван дер Поля с дополнительным контуром, и в виде кольцевого генератора с двумя колебательными контурами в канале обратной связи потенциально способны демонстрировать и квазипериодическое поведение, и хаотическую динамику. Размерность их фазового пространства равна четырём и допускает существование двумерного тора и хаотического

аттрактора. Однако, возможность возбуждения хаотических автоколебаний в двухмодовом генераторе Ван дер Поля при различных способах включения обратной связи не изучалась. Вопросы о возможности и условиях возникновения квазипериодичности и хаоса, о сценариях перехода к хаосу в двухмодовом генераторе Ван дер Поля остаются открытыми.

Естественным усложнением генератора Ван дер Поля является кольцевой генератор с нелинейным усилителем и тремя линейными колебательными контурами в цепи обратной связи. Важным является вопрос об эволюции структуры пространства параметров системы при увеличении числа колебательных контуров в цепи обратной связи многомодового кольцевого генератора. Учитывая широко известный подход к исследованию длинных линий передачи, связанный с моделированием таких распределенных каналов связи цепочками пассивных элементов (например, линейных осцилляторов) [4,11], а также недавние результаты работы [102], исследование этого вопроса об эволюции структуры пространства параметров могло бы помочь лучше понять механизмы формирования мультистабильности в бесконечномерных автоколебательных системах, таких как генераторы с запаздывающей обратной связью и генераторы с распределенной обратной связью.

Кольцевые многоконтурные генераторы на базе осциллятора Ван дер Поля с многоканальной системой обратных связей, которая позволяет управлять возбуждением автоколебаний в каждом из контуров многомодового генератора, могут помочь при изучении возможности возбуждения многочастотных квазипериодических, хаотических и гиперхаотических автоколебаний с несколькими положительными показателями Ляпунова. Задачи, направленные на исследования условий рождения многомерных торов, их эволюции и разрушения при вариации параметров, условий образования гиперхаоса, являются важными и актуальными [33-35,72].

Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы.

Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в определении условий возникновения сложных режимов поведения квазипериодических и хаотических колебаний, выявления бифуркационных закономерностей формирования мультистабильности в многомодовых автоколебательных системах, построенных на базе осциллятора Ван дер Поля.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые

- выявлены бифуркационные закономерности формирования бистабильности, сопровождаемой эффектами затягивания частоты и гистерезиса, в классическом генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром;

- показано, что в генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром бифуркационный механизм формирования мультистабильности не зависит от типа связи между колебательными контурами;

- установлено, что в генераторе Ван дер Поля с двумя колебательными контурами в канале обратной связи возможны режимы хаотических колебаний, переход к которым происходит через последовательность бифуркаций удвоения торов;

- показано, что добавление линейных колебательных контуров в канал обратной связи приводит к более развитой мультистабильности - в генераторе появляются дополнительные семейства периодических, квазипериодических и хаотических режимов, сосуществующие в фазовом пространстве системы;

- установлено, что бифуркационный механизм формирования мультистабильности в генераторе с тремя колебательными контурами в

цепи обратной связи является таким же как и бифуркационный механизм явления затягивания частоты в генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром;

- продемонстрировано, что в многомодовом генераторе, состоящем из пяти нелинейных колебательных контуров с многоканальной системой обратных связей, возможно возбуждение двух-, трех-, четырехчастотных квазипериодических колебаний и переходы к режимам хаоса и гиперхаоса.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием базовых моделей радиофизики, классических строго обоснованных в литературе подходов к изучению динамических систем, которые базируются на методах теории колебаний и нелинейной динамики, теории устойчивости и бифуркаций, применением специальных программных комплексов, которые прошли тестирование на широком классе задач нелинейной динамики. Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью в численном эксперименте, согласованностью результатов, полученных с использованием различных аналитических и экспериментальных подходов, хорошим соответствием с результатами других авторов, а также отсутствием противоречий с общепризнанными результатами.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Формирование бистабильности, сопровождаемое эффектами затягивания частоты и гистерезиса, в генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром происходит в результате двух последовательных суперкритических бифуркаций Андронова - Хопфа состояния равновесия и субкритической бифуркации Неймарка - Сакера седлового предельного цикла.

Бифуркационный механизм формирования мультистабильности не зависит от типа связи между колебательными контурами.

2. В генераторе Ван дер Поля с двумя колебательными контурами динамика существенным образом зависит от способа включения обратной связи. Когда петля обратной связи содержит два колебательных контура, в системе возникают квазипериодические и хаотические режимы автоколебаний. Переход к хаосу происходит через последовательность бифуркаций удвоения двумерного тора.

3. В генераторе с тремя колебательными контурами в канале обратной связи наблюдается развитая мультистабильность, образованная двумя семействами сосуществующих периодических, квазипериодических и хаотических режимов. В основе появления нового семейства режимов при добавлении колебательного контура лежит такая же последовательность бифуркаций, что и при формировании бистабильности в генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром.

Научная и практическая значимость

Полученные результаты исследования мультистабильности, квазипериодичности и хаоса в простых, классических, многомодовых автоколебательных системах, построенных на основе генератора Ван дер Поля, дополняют и расширяют имеющиеся представления современной теории колебаний и радиофизики. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях и в учебном процессе.

Двухмодовая автоколебательная система в виде генератора Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром имеет большое значение и с фундаментальной, и с прикладной точки зрения. Эта система широко применяется в различных областях науки. Генератор Ван дер Поля с дополнительным КЬС-контуром представляет собой простейшую

модель различных многомодовых электронных систем ГГц и ТГц диапазонов частот. Примерами такого типа систем являются гиротрон с азимутально гофрированным резонатором [19] и полупроводниковые микроволновые генераторы, нагруженные на линейный резонатор [113]. Результаты представленные в данной работе могут помочь в понимании условий генерации хаоса во второй системе [113] и условий генерации устойчивых одномодовых и двухмодовых колебаний в первой системе [19].

Результаты полученные для двух- и трёхмодовых кольцевых генераторов Ван дер Поля могут помочь лучше понять механизмы формирования мультистабильности в бесконечномерных автоколебательных системах, таких как генераторы с запаздывающей обратной связью и генераторы с распределенной обратной связью.

Апробация результатов и публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 4 статьи в рецензируемых изданиях. Результаты были представлены и обсуждались на всероссийской школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2016); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС (Саратов, 2016); научных конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018); на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Личный вклад соискателя

Основные результаты диссертации получены автором лично. Автором проводился вывод уравнений при построении математических моделей многомодовых генераторов. В совместных исследованиях автором

выполнялись численные эксперименты и обработка экспериментальных данных. Планирование и постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с руководителем и другими соавторами.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 139 страниц, включая 28 рисунков, список литературы из 124 наименований.

Во введении обсуждается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель работы и задачи исследований, обоснована достоверность результатов, новизна и практическая значимость, изложено краткое содержание работы, представлены положения выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию бифуркационного механизма затягивания частоты в генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром при индуктивной связи. Представлена классическая схема двухмодового генератора и проведен вывод уравнений. Рассматривается как полная система уравнений в виде двух связанных осцилляторов, так и система укороченных уравнений для амплитуд и фаз. Вначале рассмотрен хорошо известный эффект затягивания частоты в двухконтурном генераторе с индуктивной связью. Показано, что в рассмотренном сечении пространства параметров существует интервал значений расстройки по собственным частотам контуров генератора, в

котором наблюдается бистабильность и гистерезис. В фазовом пространстве системы сосуществуют два устойчивых предельных цикла. Здесь при одних и тех же значениях управляющих параметров, в зависимости от выбора начальных условий или предыстории движения по параметру расстройки между собственными частотами контуров, могут наблюдаться два режима автоколебаний, различающихся амплитудами и частотами. В одном из этих режимов колебания в контурах являются синфазными, а в другом — противофазными (естественно, что строго синфазными и строго противофазными они могут быть только, когда расстройка отсутствует и собственные частоты одинаковые). Движение по параметру в области бистабильности сопровождается гистерезисом. На границах области гистерезиса происходят жесткие переходы с одного автоколебательного режима на другой. Результаты бифуркационного анализа состояния равновесия и предельных циклов полной системы показывают, что формирование мультистабильности, появление области гистерезиса и эффекта затягивания базируются на следующей последовательности бифуркаций. При вариации параметра расстройки по собственным частотам, до входа в область гистерезиса как с левой, так и с правой стороны неустойчивое состояние равновесия претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова - Хопфа, в результате которой возникают седловые циклы. Когда через граничные точки входим в область гистерезиса, соответствующий седловой предельный цикл претерпевает субкритичекую бифуркацию Неймарка — Сакера, в его окрестности возникает седловой двумерный тор, предельный цикл становится устойчивым. Седловой тор с его устойчивыми и неустойчивыми инвариантными многообразиями определяет границы бассейнов притяжения сосуществующих устойчивых предельных циклов. Когда выходим из области гистерезиса, седловой тор стягивается в предельный цикл, предельный цикл становится неустойчивым, что приводит к жесткому переключению из одного режима автоколебаний к другому.

Данное заключение о механизме формирования бистабильности базируется на результатах бифуркационного анализа неподвижной точки и предельных циклов. Для более обоснованных выводов о механизме формирования мультистабильности, следует изучить эволюцию и бифуркации седлового тора в фазовом пространстве системы при вариации управляющих параметров, что является очень сложной задачей. Однако, учитывая, что эффект затягивания наблюдается в генераторе с дополнительным контуром в квазигармоническом режиме, то мы можем использовать укороченные уравнения генератора для амплитуд и фаз для изучения эволюции и бифуркаций седлового тора. Проведённый бифуркационный анализ системы укорочённых уравнений полностью подтвердил представленный бифуркационный механизм формирования мультистабильности и затягивания частоты.

Во второй главе исследуются явления мультистабильности и хаоса в классическом двухмодовом генераторе Ван дер Поля, который состоит их нелинейного элемента и двух линейных осцилляторов. В предыдущей главе был выявлен бифуркационный механизм формирования мультистабильности, который приводит к эффекту затягивания частоты. В данной главе обсуждаются вопросы: 1) насколько типичным является этот бифуркационный механизм для класса многомодовых систем, состоящих из взаимодействующих активных и пассивных осцилляторов, 2) сохраняется ли этот бифуркационный механизм, когда меняется канал обратной связи двухмодовой автоколебательной системы. Показано, что конфигурация связей линейных осцилляторов в двухмодовой автоколебательной системе существенным образом влияет на её колебательные режимы и бифуркационные переходы. В случае, когда петля обратной связи включает один осциллятор, двухмодовая система демонстрирует хорошо известный эффект затягивания частоты, включая явления бистабильности и гистерезиса. Если петля обратной связи включает оба линейных осциллятора, эффект затягивания

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Астахов Олег Владимирович, 2021 год

Литература

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 916 с.

2. Андронов А.А. Собрание трудов. Москва: Издательство Академии наук СССР, 1956. — 539 с.

3. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. Москва-Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 272 с.

4. Калинин В.И., Герштейн Г.М. Введение в радиофизику. М.: Гостехиздат, 1957. — 656 с.

5. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 240 с.

6. Keener J., Sneyd J. Mathematical Physiology. New York - Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. — 767 p.

7. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. — 392 с.

8. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. — 288 с.

9. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 360 с.

10. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. Москва: Наука. Физматлит, 1997. — 496 с.

11. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 560 с.

12. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. Москва: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 312 с.

13. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций. Москва: Изд. дом «Интеллект», 2009. — 311 с.

14. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. Москва: Наука, 1989. - 277 с.

15. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 320 с.

16. Уткин Г.М. Автоколебательные сиситемы и волновые усилители. Москва: Советское радио, 1978. - 272 с.

17. McCardy, A., Armstrong, C. [1988] Mode selection by application of an external signal in an overdamped gyrotron oscillator, Phys. Rev. Lett. 61, 2316.

18. Nusinovich, G. [1981] Mode interaction in gyrotrons, Int. J. Electron. 51, 457-474.

19. Nusinovich, G., Sinitsyn, O., Antonsen, T. [2007] Mode switching in a gyrotron with azimuthally corrugated resonator, Phys. Rev. Lett. 98, 205101.

20. Lamb, W. [1964] Theory of an optical maser, Phys. Rev. 134, 1429.

21. Wiesenfeld, K., Brocikowski, C., James, G., Roy, R. [1990] Observation of antiphase states in a multi- mode laser, Phys. Rev. Lett. 65, 1749-1752.

22. Homar, M., Balle, S. Miguel, M. S. [1996] Mode competition in a fabry-perot semiconductor laser: Traveling wave model with asymmetric dynamical gain, Opt. Commun. 131, 380-390.

23. Gaerba, A. Cone, G. [2000] Numerical analysis of laser mode competition and stability, Phys. Lett. A 269, 112-119.

24. Landa, P. S. [2001] Regular and Chaotic Oscillations, Foundations of Engineering Mechanics (Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, NY).

25. Клиньшов В.В., Некоркин В.И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями. УФН, 2013, т. 183, N12, с. 1323-1336.

26. Afraimovich V.S. et al. Stability, structures, and chaos in nonlinear synchronization networks (Singapore: World Scientific, 1994).

27. А. С. Дмитричев, Д. С. Щапин, В. И. Некоркин. Клонирование химерных состояний в мультиплексной сети двухчастотных осцилляторов с линейными локальными связями. Письма в ЖЭТФ, 2018 г., том 108, вып. 8, с. 574 - 579.

28. Aleksei Dmitrichev, Dmitry Shchapin and Vladimir Nekorkin. Cloning of Chimera States in a Large Short-term Coupled Multiplex Network of Relaxation Oscillators. Frontiers in Applied Mathematics and Statistics, 2019, vol.5, article 9, p.1-12.

29. Dubkowski D., Jafari S., Kapitaniak T., Kuznetsov N., Leonov G., Prasad A. Hidden attractors in dynamical systems. Physics Reports, 2016, vol. 637, p. 1-50.

30. Pisarchik A.N., Feudel U. Control of multistability. Physics Reports, 2014, vol. 540, p. 167.

31. B. van der Pol. On Oscillation Hysteresis in a Triode Generator with Two Degrees of Freedom. Phylos. Magazine, ser. 6, v. 43, N 256 (1922), pp. 700719.

32. Matsumoto T. Chaos in Electrronic Circuit. IEE Trans. and Circuits, 1987, v. 76,No7 8, p.66-87.

33. Анищенко В.С., Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора. Письма в ЖТФ, 2005, т. 31, вып. 19, с. 88-94.

34. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Turukina L.V. About Landau-Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators. Phys. Lett. A. 2013. N 45-48. V. 377. P. 3291-3295.

35. Станкевич Н.В., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П. Квазипериодические бифуркации четырехчастотных торов в кольце пяти связанных осцилляторов ван дер Поля с различными видами диссипативной связи. ЖТФ, 2017. Т. 87. В. 6. С. 952-955.

36. Rossler, O. E., An Equation for Hyperchaos, Phys. Lett. A, 1979, vol. 71, nos. 2-3, pp. 155-157.

37. Baier,G., Klein, M., Maximum Hyperchaos in Generalized Henon Maps, Phys.Lett.A, 1990, vol.151, nos. 6-7, pp. 281-284.

38. Stefanski, K., Modelling Chaos and Hyperchaos with 3D Maps, Chaos Solitons Fractals, 1998, vol.9, nos. 1-2, pp. 83-93.

39. Reiterer, P., Lainscsek, C., Schurrer, F., Letellier, Ch., and Maquet, J., A Nine-Dimensional Lorenz System to Study High-Dimensional Chaos, J. Phys. A, 1998, vol. 31, no. 34, pp. 7121-7139.

40. Yanchuk, S. and Kapitaniak, T., Chaos-Hyperchaos Transition in Coupled Rossler Systems, Phys. Lett. A, 2001, vol. 290, nos. 3-4, pp. 139-144.,

41. Yanchuk,S. and Kapitaniak,T.,Symmetry Increasing Bifurctaion as a Predictor of a Chaos-Hyperchaos Transition in Coupled Systems, Phys. Rev. E, 2001, vol. 64, no. 5, 056235, 5 pp.

42. KozÎowski,J., Parlitz,U., and Lauterborn,W., Bifurcation Analysis of Two Coupled Periodically Driven Duffing Oscillators, Phys. Rev. E, 1995, vol. 51, no.

3, pp. 1861-1967.

43. Perlikowski, P., Yanchuk, S., Wolfrum, M., Stefanski, A., Mosiolek, P., and Kapitaniak, T., Routes to Complex Dynamics in a Ring of Unidirectionally Coupled Systems, Chaos, 2010, vol. 20, no. 1, 013111, 10 pp.,

44. Stoop, R., Peinke, J., Parisi, J., Rohricht, B., and Huebener, R. P., A p-Ge Semiconductor Experiment Showing Chaos and Hyperchaos, Phys. D, 1989, vol. 35, no. 3, pp. 425-435.

45. Kapitaniak, T. and Chua, L. O., Hyperchaotic Attractors of Unidirectionally-Coupled Chua's Circuits, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 1994, vol.

4, no. 2, pp. 477-482.,

46. Kapitaniak, T., Chua, L. O., and Zhong, G. -Q., Experimental Hyperchaos in Coupled Chua's Circuits, IEEE Trans. Circuits Syst. I, 1994, vol. 41, no. 7, pp. 499-503.

47. N.V. Stankevich, A. Dvorak, V.Astakhov, P. Jaros, M. Kapitaniak, P. Per-likowsky, T. Kapitaniak. Chaos and Hyperchaos in Coupled Antiphase Driven

Toda Oscillators. Regular and Chaotic Dynamics, 2018, Vol.23, No.1, pp. 120126.

48. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

49. Balanov A.G., Janson N.B., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Synchronization: From Simple to Complex // Springer Science and Business Media. 2008.

50. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

51. Stricker J., Cookson S., Bennett M. R., Mather W. H., Tsimring L. S., Hasty J. A fast, robust and tunable synthetic gene oscillator. Nature. 2008. Vol. 456. P. 516-519.

52. Tigges M., Marquez-Lago T. T., Stelling J., Fussenegger M. A tunable synthetic mammalian oscillator. Nature. 2009. Vol. 457. P. 309-312.

53. Novak B., Tyson J. J. Design principles of biochemical oscillators. Nature reviews Molecular cell biology. 2008. Vol. 9. P. 981-991.

54. Horikawa K., Ishimatsu K., Yoshimoto E., Kondo S., Takeda H. Noise-resistant and synchronized oscillation of the segmentation clock. Nature. 2006. V. 441. P. 719-723.

55. Popovych O. V., Hauptmann C., Tass P. A. Control of neuronal synchrony by nonlinear delayed feedback. Biological cybernetics. 2006. V. 95. P. 69-85.

56. Kristan W. B., Calabrese R. L., Friesen W. O. Neuronal basis of leech behaviors. Progress in neurobiology. 2005. V. 76. P. 279-327.

57. Marshall J., Johnson H., Goodman J. A study of the interaction of the North Atlantic Oscillation with ocean circulation. Journal of Climate. 2001. V. 14. P. 1399-1421.

58. Sayrin C., Dotsenko I., Zhou X. X., Peaudecerf B., Rybarczyk T., Gleyzes S., Rouchon P., Mirrahimi M., Amini H., Brune M., Raimond J.-M., Haroche S. Real-time quantum feedback prepares and stabilizes photon number states. Nature. 2011. V. 477. P. 73-77.

59. Kanno K., Uchida A., and Bunsen M. Complexity and bandwidth enhancement in unidirectionally coupled semiconductor lasers with time-delayed optical feedback // Physical Review E. 2016. Vol. 93. URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.93.032206 (дата обращения: 31.03.2020).

60. Pyragas K., Lange F., Letz T., Parisi J., Kittel A. Dynamics and control of a multimode laser: Reduction of space-dependent rate equations to a low-dimensional system // Physical Review E. 2001. Vol. 63. URL: https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.63.016204 (дата обращения: 31.03.2020).

61. Yao X. S., Maleki L. Opto-Electronic Oscillator for photonic systems // IEEE Journal of Quantum Electronocs. 1996. Vol. 32. P. 1141-1149.

62. Feng X. L., White C. J., Hajimiri A., Roukes M. L. A self-sustaining ultrahigh-frequency nanoelectromechanical oscillator // Nature nanotechnology. 2008. Vol. 3. P. 342-346.

63. Prakash M., Gershenfeld N. Microfluidic bubble logic // Science. 2007. Vol. 315. P. 832-835.

64. Mikhailov A. S., Showalter K. Control of Waves, Patterns and Turbulence in Chemical Systems // Physics Reports-Review section of physics letters. 2006. Vol. 425. P. 79-194.

65. Kimura H., Fukuoka Y., Cohen A. H. Adaptive dynamic walking of a quadruped robot on natural ground based on biological concepts // International Journal of Robotics Research. 2007. Vol. 26. P. 475-490.

66. Ott E., Grebogi C., Yorke J. A. Controlling Chaos // Physical Review Let-ters.1990. Vol. 64. P. 1196-1199.

67. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Physics Letters A. 1992. Vol. 170. P. 421-428.

68. Rosenblum M. G., Pikovsky A. S. Controlling synchronization in an ensemble of globally coupled oscillators // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92. P. 114102-1 - 114102-4.

69. Popovych O. V., Hauptmann C., Tass P. A. Effective desynchronization by nonlinear delayed feedback // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94. P. 164102.

70. Селезнев Е.П., Станкевич Н.В. Сложная динамика неавтономного осциллятора с управляемой фазой внешнего воздействия. Письма в ЖТФ , 2019 , 45 (2). С. 59-62. ISSN 0320-0116

71. Станкевич Н.В., Попова Е.С., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П. Широкополосные хаотические колебания в слабосвязанном ансамбле автоколебательных осцилляторов. Письма в журнал технической физики , 2019 , 45 (24). С. 17-20. ISSN 0320-0116

72. Станкевич Н.В., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика в многоконтурном генераторе. ВЕСТНИК РАЕН , 2019 , 19 (2). С. 157-160. ISSN 1682-1696

73. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т.25, № 12. С.1410-1428.

74. Рыскин Н.М. Исследование нелинейной динамики ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 2. С. 129-142.

75. Ryskin N.M., Usacheva S.A. Forced synchronization of a delayed-feedback oscillator. // Physica D 241 (2012) 372-381

76. Luzyanina T., Engelborghs K., Lust K., Rose D. Computation, continuation and bifurcation analysis of periodic solutions of delay differential equations // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. V. 7, No. 11. P. 2547-2560.

77. Balanov A.G., Janson N.B., Scholl E. Delayed feedback control of chaos: Bifurcation analysis // Phys. Rev. E. 2005. V.71, 016222(9).

78. Shigaev A.M., Dmitriev B.S., Zharkov Y.D., Ryskin N.M. Chaotic dynamics of delayed feedback klystron oscillator and its control by external signal // IEEE Trans. Electron Devices. 2005. Vol. 52, No. 5. Р. 790-797.

79. Pyragas V., Pyragas K. Act-and-wait time-delayed feedback control of nonautonomous systems // Physical Review E. 2016. Vol. 94. URL: http://link.aps.org/ doi/10.1103/PhysRevE.94.012201 (дата обращения: 31.03.2020).

80. Xu J., Chung K. W. Effects of time delayed position feedback on a van der PolDuffing oscillator // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2003. Vol. 180. P. 17-39.

81. Risau-Gusman S. Effects of time-delayed feedback on the properties of selfsustained oscillators // Physical Review E. 2016.

Vol.94. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.94.042212 (дата обращения:31.03.2020).

82. Hu H. Y., Dowell E. H., Virgin L. N. Resonances of a harmonically forced Duffing oscillator with time delay state feedback // Nonlinear Dynamics. 1998. Vol. 15. P. 311-327.

83. Maccari A. The resonances of a parametrically excited van der Pol oscillator to a time delay state feedback // Nonlinear Dynamics. 2001. Vol. 26. P. 105-119.

84. Yanchuk S., Ruschel S., Sieber J., Wolfrum M. Temporal Dissipative Solitons in Time-Delay Feedback Systems // Physical Review Letters. 2019. Vol. 123. P. 053901.

85. Choe C. U., Dahms T., Hovel P., Scholl E. Controlling synchrony by delay coupling in networks: from in-phase to splay and cluster states // Physical Review E. 2010. Vol. 81. P. 025205.

86. Baba N., Amann A., Scholl E., Just W. Giant improvement of time-delayed feedback control by spatio-temporal filtering // Physical Review Letters. 2002. Vol. 89. P. 074101.

87. Huang B., Tian X., Liu F., Wang F. Impact of time delays on oscillatory dynamics of interlinked positive and negative feedback loops // Physical Review E. 2016. Vol. 94.

88. Bertram M., Betav, Pollmann M., Mikhailov A. S., Rotermund H. H., Ertl G. Pattern formation on the edge of chaos: Experiments with CO oxidation on a Pt (110) surface under global delayed feedback // Physical Review E. 2003. Vol. 67. P. 036208.

89. Erneux T., Weicker L., Bauer L., Hovel P. Short-time-delay limit of the self-coupled FitzHugh-Nagumo system // Physical Review E. 2016. Vol. 93. P. 022208.

90. Deng W. H., Li C. P., Lu J. H. Stability analysis of linear fractional differential system with multiple time delays // Nonlinear Dynamics. 2007. Vol. 48. P. 409416.

91. Gauthier D. J., Sukow D. W., Concannon H. M., Socolar J. E. S. Stabilizing unstable periodic orbits in a fast diode resonator using continuous time-delay autosynchronization // Physical Review E. 1994. Vol. 50. P. 2343.

92. Erneux T., Javaloyes J., Wolfrum M., Yanchuk S. Introduction to Focus Issue: Time-delay dynamics // Chaos. 2017. Vol. 27. P. 114201. DOI: 10.1063/1.

93. Kuznetsov S.P., Sedova J.V. Robust Hyperbolic Chaos in Fronde Pendulum with Delayed Feedback and Periodic Braking // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2019. Vol. 29. No. 12. P. 1930035. DOI: 10.1142/S0218127419300350.

94. Tian K., Ren H.P. Grebogi C. Existence of Chaos in the Chen System with Linear Time-Delay Feedback // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2019. Vol. 29. No. 09. P. 1950114. DOI: 10.1142/S0218127419501141.

95. Guo W., Ning L. Vibrational Resonance in Fractional Order Quintic Oscillator System with Time Delay Feedback // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2020. Vol. 30. No. 02. P. 2050025.

96. Дмитриев А. С., Кащенко С. А., Асимптотика нерегулярных колебаний в модели автогенератора с запаздывающей обратной связью // Докл. РАН, 328:2 (1993), 174-17.

97. Кащенко С. А. Уравнение Гинзбурга-Ландау - нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 38:3 (1998), 457-465.

98. Кащенко С. А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями // Фундамент. и прикл. матем., 5:4 (1999), 1027-106.

99. Григорьева Е. В., Кащенко И. С., Кащенко С. А. Мультистабильность в модели лазера с большим запаздыванием // Модел. и анализ информ. систем, 17:2 (2010), 17-27.

100. Kashchenko D. S., Kashchenko S. A. Dynamics of a System of Two Simple Self-Excited Oscillators with Delayed Step-by-Step Feedback // Нелинейная динам., 16:1 (2020), 23-43.

101. Olyaei A. A., Wu C. Controlling chaos using a system of harmonic oscillators // Physical Review E. 2015. Vol. 91. P. 012920.

102. Pyragas V., Pyragas K. Relation between the extended time-delayed feedback control algorithm and the method of harmonic oscillators // Physical Review E. 2015. Vol. 92. P. 022925.

103. Kal'yanov E. V. Controlled chaos in an oscillator with additional oscillatory circuit // Technical Physics Letters. 2004. Vol. 30. P. 633-634.

104. Kwuimy C. K., Woafo P. Experimental realization and simulations a selfsus-tained macro electromechanical system // Mechanics Research Communications. 2010. Vol. 37. P. 106-110.

105. Belogortsev A., Poliashenko M., Tretyakov O. Routes to chaos in bistable systems during multiple crossings of a region of hysteresis // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 03. P. 405-415.

106. Lee Y. S., Vakakis A. F., Bergman L. A., McFarland D. M. Suppression of limit cycle oscillations in the van der Pol oscillator by means of passive non-linear energy sinks // Structural Control and Health Monitoring. 2006. Vol. 13. P. 4175.

107. Fotsin H. B., Woafo P. Design of a nonlinear observer for a chaotic system consisting of Van der Pol oscillator coupled to a linear oscillator // Physica Scripta. 2005. Vol. 71. P. 241. URL: http://stacks.iop.org/1402-4896/71/i=3/a=004 (дата обращения: 31.03.2020).

108. Ngouonkadi E. B. M., Fotsin H. B., Fotso P. L. Implementing a memristive van der Pol oscillator coupled to a linear oscillator: synchronization and application to secure communication // Physica Scripta. 2014. Vol. 89. P. 035201. URL: http://stacks.iop.org/1402-4896/89/i=3/a=035201 (дата обращения: 31.03.2020).

109. Kovaleva M. A., Manevich L. I. Superradiant transition and its classical analogue // Russian Journal of Physical Chemistry B. 2013. Vol. 7. P. 534539. URL: http://dx.doi.org/10.1134/S1990793113050291 (дата обращения: 31.03.2020).

110. Pankratova E., Belykh V. Synchronization of self-sustained oscillators inertially coupled through common damped system // Physics Letters A. 2012. Vol. 376. P. 3076-3084. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960112009425 (дата обращения: 31.03.2020).

111. Petrov V.S., Osipov G.V., Kurths J. Distant synchronization through a passive medium // Physical Review E. 2010. Vol. 82. P. 026208.

112. Skibarko, A., Strelkov, S. Qualitative investigations of processes in a generator with complex circuit // Zh. Tekh. Fiz. 1938, 4, 158.

113. Hramov A. E., Makarov V. V., Koronovskii A. A., Kurkin S. A., Gaifullin M. B., Alexeeva N. V., Alekseev K. N., Greenaway M. T., Fromhold T. M., Patane A., Kusmartsev F. V., Maksimenko V. A., Moskalenko O. I., and Balanov A. G. Subterahertz chaos generation by coupling a superlattice to a linear resonator // Phys. Rev. Lett. 112, 116603 (2014).

114. Ermentrout B. Simulating, Analyzing and Animating Dynamical Systems: A Guide to XPPAUT for Researchers and Students. Philadelphia, SIAM, 2002. 290 p.

115. Balanov A. G., Janson N. B., Astakhov V.V., and McClintock P. V. E. Role of saddle tori in the mutual synchronization of periodic oscillations // Phys. Rev. E 72, 026214 (2005).

116. Astakhov S.V., Astakhov O., Astakhov V.V., Kurths J.. BIFURCATIONAL MECHANISM OF MULTISTABILITY FORMATION AND FREQUENCY ENTRAINMENT IN A VAN DER POL OSCILLATOR WITH AN ADDITIONAL OSCILLATORY CIRCUIT// International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2016. Т. 26. № 7. С. 1650124

117. Астахов С.В., Астахов О.В., Астахов В.В.. БИФУРКАЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ ЗАТЯГИВАНИЯ ЧАСТОТЫ В ДВУХМОДОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ С ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ КОНТУРАМИ// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2015. Т. 3. № 1 (80). С. 13-22.

118. Astakhov O.V., Kurths J., Astakhov S.V., Krakhovskaya N.S., Astakhov V.V.. THE EMERGENCE OF MULTISTABILITY AND CHAOS IN A TWO-MODE VAN DER POL GENERATOR VERSUS DIFFERENT CONNECTION TYPES OF LINEAR OSCILLATORS// Chaos (Woodbury, N.Y.). 2018. Т. 28. № 6. С. 063118.

119. Астахов О.В., Астахов С.В., Селезнев Е.П., Астахов В.В.. ЗАТЯГИВАНИЕ ЧАСТОТЫ И ВОЗНИКНОВЕНИЕ ХАОСА В ГЕНЕРАТОРЕ ВАН ДЕР ПОЛЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ КОНТУРОМ// Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2016). Материалы XI Международной школы-конференции, 3-8 октября 2016, Саратов. 2016. С. 141-142.

120. Станкевич Н.В., Астахов О.В., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П.. ВОЗБУЖДЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В МНОГОКОНТУРНОМ ГЕНЕРАТОРЕ С ОБЩЕЙ СХЕМОЙ УПРАВЛЕНИЯ// Письма в Журнал технической физики. 2018. Т. 44. № 10. С. 46-54.

121. Астахов О.В., Краховская Н., Астахов С.В.. ДИНАМИКА ТРЕХМОДОВОГО ГЕНЕРАТОРА С ПЕРЕКРЕСТНОЙ СВЯЗЬЮ// Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Доклады XII Всероссийской конференции молодых ученых. 2017. С. 13.

122. Станкевич Н.В., Астахов О.В., Селезнев Е.П.. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В МНОГОМОДОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ С ОБЩЕЙ СХЕМОЙ УПРАВЛЕНИЯ// Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Доклады XII Всероссийской конференции молодых ученых. 2017. С. 270-271.

123. Stankevich N.V., Astakhov O.V., Seleznev E.P.. GENERATION OF CHAOTIC AND QUASI-PERIODIC OSCILLATIONS IN MULTI-CONTOUR SELF-GENERATOR// Progress in Electromagnetics Research Symposium. 2017. С. 3119-3121.

124. Галкина Ю.Ю., Астахов О.В., Селезнев Е.П., Станкевич Н.В.. КОНКУРЕНЦИЯ МОД В МНОГОКОНТУРНОМ АВТОГЕНЕРАТОРЕ//

Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. доклады XI Всероссийской конференции молодых ученых. 2016. С. 26-27.