Мультипликаторы Фурье и Шура: [ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат наук Олевский, Виктор

• Олевский, Виктор
• кандидат наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат наук Олевский, Виктор

Содержание

Введение

Глава I

Глава II

Глава III

Глава IV

Литература

Аннотация

Настоящая работа посвящена исследованию классических понятий мультипликаторов Фурье и Шура.

В главе I дается точная оценка нормы матрицы как мультипликатора Шура в классах Шаттена Sp.

В главе II доказывается метрическое достаточное условие, при котором функция на окружности является мультипликатором Фурье в 1р.

В главе III содержится достаточно полное описание топологически инвариантных мультипликаторов Фурье.

В главе IV рассматривается связь между мультипликаторами Шура для интегральных операторов и мультипликаторами Фурье, и строится неожиданный контрпример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипликаторы Фурье и Шура: [»

ВВЕДЕНИЕ.

Данная работа посвящена исследованию мультипликаторов Фурье и

Шура.

1. Понятие мультипликатора Фурье является важным и естественным обобщением классического преобразования Гильберта (подробный обзор см. в [EG]).

Пусть функция / принадлежит пространству L^ на окружности Т = R/Z. Рассмотрим линейный оператор F в

F : и I—У / • ti,

где через " и " обозначаются прямое и обратное преобразования Фурье:

и н> u(t) = 5>пе2?гЫ; №) ^ fin) = I f {t)e~2™lt dt.

nez

Если при заданном p> 1 оператор F, рассматриваемый на множестве U^lp, ограничен в 1Р- норме, то он допускает единственное продолжение на все пространство 1Р.

Функция / в этом случае называется мультипликатором Фурье, в 1Р :

/ G Мр(Т) .

Пространство МР(Т) является банаховой алгеброй по отношению к поточечному умножению и операторной норме

||/||мр(Т) = ll^lilp^p-

Аналогично определяются мультипликаторы Фурье на двойственной группе Z и на группе вещественных чисел Е.

Фундаментальная важность понятия мультипликатора объясняется тем, что оператор F коммутирует с операторами сдвига в 1р, и обратно, каждый линейный оператор в 1Р, инвариантный относительно сдвигов, может быть записан в такой форме. Легко видеть, что

М2(Т) = L0oÇT).

Алгебра МЦТ) также допускает адекватное описание, в терминах преобразования Фурье. Она совпадает с алгеброй Винера

И/(Т)= {/: £|/(п)|<оо}.

пег

Нетрудно доказать, что

Мр(Т) С М9(Т), 1<P<CI<2., и, в силу двойственности,

Мр(Т) = М?У(Т), 1 + 1 = 1.

р р

Однако, для р, отличных от 1, 2 и оо, явного описания этих алгебр

не существует. Распознать, является ли данная ограниченная функция мультипликатором, или оценить ее норму в пространстве МР(Т), - весьма трудная проблема: какой-либо общий подход к ней неизвестен.

Следующие примеры мультипликаторов Фурье являются классическими.

1°. (М. Рисс). Характеристическая функция /(¿) = Х7 интервала I является мультипликатором в 1Р при всех 1 < р < оо. Соответствующий оператор ^ - аналог преобразования Гильберта на Е.

2°. (Литтлвуд - Пэли - Марцинкевич). Пусть функция / постоянна, или имеет равномерно ограниченную вариацию, на двоичных интервалах (р-, ^¿т), к —- 1,2,... Тогда / € Мр(Т) , причем, как и в предыдущем случае, при всех 1< р <оо.

Такая ситуация типична. Как отмечено в книге Стейна [Б^ гл. IV], „представляется необходимым создание более далеко идущей теории, предоставляющей достаточные условия принадлежности функции / к алгебре Мр при некотором р ф 2, которые, однако, не влекли бы ее принадлежности ко всем Мр."

Один из основных результатов данной работы представляет собой некоторый шаг в этом направлении.

Мы рассматриваем подалгебру топологически инвариантных мультипликаторов:

М!(Т) = { / : / о в е Мр(Т) для всех гомеоморфизмов в : Т ТГ} .

Оказывается, такие мультипликаторы допускают точную характери-зацию в явных метрических терминах.

Пусть число (5 > 1. Говорят, что функция / имеет ограниченную ¡5-вариацию, если

п

вд)= sup (x;i/(í»)-/(íí-i)H¿ <сх)-

t0<...<tn - = 1

Класс функций ограниченной [3 - вариации обозначается Vв (Т). Этот класс играет важную роль в теории рядов Фурье.

Мы доказываем следующий результат:

ТЕОРЕМА. Пусть q > 2. Непрерывная функция f принадлежит всем пространствам, М°(Т), — || < ^ , тогда и только тогда, когда / е v/(T) для всех (5 > q.

Этот результат доказан в главах II-III (теоремы 2.9 и 3.1). Мы даем также соответствующую версию этого результата без предположения непрерывности функции / (теорема 3.3).

2. Понятие мультипликатора Фурье естественным образом укладывается в рамки общей концепции мультипликаторов Шура.

Пусть (X. /л) - сепарабельное пространство с мерой. При р > 1. рассмотрим в гильбертовом пространстве Н = L-¿ (X, /л) класс Шаттена Sp линейных компактных операторов К, удовлетворяющих условию

\ШsP = ||А||гр < ос,

где А - последовательность сингулярных чисел оператора К, т. е. собственных чисел положительного самомопряженного оператора (К*К) з.

Класс S'2 состоит из интегральных операторов Гильберта-Шмидта

(Ки)(у)= [ ф, у) и(х)с1ф) JX

с квадратично суммируемым ядром:

||A||Sa = ||k||L2(XxX) < оо.

Пусть Lp - функция из пространства L^ на „квадрате" X х X. Через <р о К будем обозначать интегральный оператор с ядром ip(x, у) к(х, у).

Отображение

Ф : К м- ср о К представляет собой линейное преобразование в 52 с нормой

ll$l|.S2^2 = IMU» •

Если для заданного р > 1 оператор Ф, суженный на подпространство SzHSp , ограничен в Sp-норме, то существует единственное продолжение этого оператора на все пространство Sp.

Функция ср в этом случае называется мультипликатором Шура в Sp :

<р 6 М(Sp).

Пространство М(Sp) является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения и операторной нормы

IMIm(Sp) = 11Ф1!.5р->5р-

Как и ранее, справедливы следующие утверждения:

М(52) = Loo(X х X); М(Sp) С М(Sq) , 1 < р < q < 2 ;

М(Sp) = М(SV) , 1 + = 1 •

р р'

Алгебра мультипликаторов Шура в пространстве В(Н) всех линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Я = L2(X, /í) , определяется аналогичным образом и обозначается М.

Заметим, что

м = M(Si) = M(Seo) ,

поскольку ||ii ¡¡Seo " это обычная норма оператора К.

Полное описание алгебры М дается глубокой теоремой Гротендика (см. [Р, гл. V]).

Исследование пространств М(Sp) при р ф 1, 2, оо, представляет собой весьма сложную проблему. Важные оценки были получены М. Бирманом и М. Соломяком в рамках так называемой теории „двойных операторных интегралов" (см. по этому поводу обзор [BS5]).

Хорошо известно следующее фундаментальное соотношение между мультипликаторами Фурье и Шура. Пусть X = Т, и ¡л - мера Лебега. Зададим функцию <р равенством:

= f(x~y) ■

Рассмотрим действие Ф на операторы К с ядрами, зависящими от разности переменных: к(х,у) = к(х-у). Легко видеть, что

1№„ = 11*11»,,

и, следовательно,

Отсюда вывод: если <р - .мультипликатор Шура в Sp, то f - мультипликатор Фурье в 1р , причем

||/||мр(т) < IIvIImcs,,) •

Несложно проверить, что для р — 1,2 и ос верно и обратное. В силу этого факта естественно возникает следующая гипотеза:

/ € Мр(Т) f(x-y) е М(5р) Ур > 1.

Предположение о справедливости этого соотношения хотя бы для непрерывной / было высказано Ацмоном [А].

Заметим, что импликация немедленно вытекала бы, если бы пространства мультипликаторов образовывали бы интерполяционную шкалу.

Существует дополнительный аргумент в пользу указанной гипотезы. Именно, В. Мацаев доказал (см. [GK1, гл. IV]), что для функции / = хь отвечающей преобразованию Гильберта, функция f(x — y) принадлежит М(Sp) при всех 1 < р <ос.

Тем не менее оказывается, что приведенная выше гипотеза неверна. Контрпример строится нами в главе IV (теорема 4.8).

ТЕОРЕМА. Существует непрерывная функция / на окружности, обладающая следующими свойствами:

(i) f(t) - мультипликатор Фурье в 1Р при всех 1 <р <оо;

(ii) (р(х,у) = f(x — y) не является мультипликатором Шура в Sp ни при каком 1 < р < ею , р ф 2.

3. В главе I рассматривается дискретная версия мультипликаторов Шура. В качестве пространства (X, /¿) берется множество натуральных чисел N со „считающей" мерой.

Матрица А = (сц/) (которую мы отождествляем с соответствующим оператором в Н = U) - мультипликатор Шура в Sp, или в В(Н), если линейное преобразование

Q = {Qij) AoQ = (cnj qvj)

ограничено в соответствующем пространстве. Все указанные свойства алгебр М(5р) и М сохраняются в дискретном случае.

Существуют, однако, и специфические отличия. В частности, оценка Шура

|И||м < |И||й(Я) не имеет аналога для интегральных операторов.

Теория матричных мультипликаторов Шура в В(Н) восходит к классической работе Шура [S]. Она послужила предметом многочисленных исследований (см. обзор [Но]).

Мультипликаторы в классах Шаттена изучены далеко не так полно.

Нами получены точные оценки для М(,9р)-норм (теорема 1.4).

Пусть {cij}, j е N - столбцы матрицы А. При г > 1, определим пространство 1М матриц с конечной нормой

11^11 ММ = SUP \\aj\\lr • 3

ТЕОРЕМА. Пусть г > 2 и - < Тогда для любой матрицы A G loo(lr) имеет место неравенство:

|И||м(5р) < 1ИНыМ'

В „крайних" случаях j = \ ± \ константа 1 в правой части - точная.

Кроме того, оценка точна по параметру р: если > \ , то мат-

рица А Е loo{lr), вообще говоря, не принадлежит, пространству M(SP).

Последнее замечание используется, в частности, при построении упомянутого выше контрпримера главы N.

ГЛАВА I.

Матричные мультипликаторы Шура в классах Шаттена.

1. Основное определение. Произведением Шура двух бесконечных матриц А = (ау) и А' = (х^) называется матрица их поэлементных произведений

А о X = (а^Су).

Данное понятие, впервые исследованное И. Шуром в его классической работе [8], появляется затем в различных областях анализа. Подробный обзор и обширную библиографию можно найти в [Но].

В дальнейшем мы будем отождествлять матрицу с соответствующим оператором в гильбертовом пространстве Н = 12. Фиксируя матрицу А, рассмотрим линейное отображение

Ма \ х I—у Аох.

Изучением свойств этого преобразования в различных пространствах операторов и занимается теория мультипликаторов Шура. Для данного

класса 5 определим множество

М(5) = {Л: ЦМдЦ^ < оо} .

Матрица А е М(5) называется мультипликатором Шура в 3.

Исследованию мультипликаторов Шура в пространстве В(Н) всех линейных ограниченных операторов посвящено множество работ. Далее мы приведем наиболее важные результаты.

Нас же будут интересовать условия на матрицу А, обеспечивающие ограниченность отображения МА как оператора, действующего в классах Шаттена компактных операторов.

2. Мультипликаторы Шура в В(Н). Обозначим через ЦАЦ норму Ма как оператора в В(Н); обычная операторная норма обозначается ЦАЦ. Тогда, по определению,

М = М(В(Я)) = {А : IIЛII < со}.

Пусть теперь a,j = {ац.ащ,...}, j = 1.2,... - столбцы матрицы А. Для каждого г б [1,оо] определим класс ¿oc (¿г) матриц с конечной "смешанной" нормой

INLcM = suPINk-j

Так как операторная норма А не меньше нормы любого столбца, имеем:

P!L(72)<II-4|I- (i-i)

Приведем некоторые важные результаты теории мультипликаторов Шура в В(Н). Наиболее известно классическое неравенство Шура:

1И1 < 1И11 • (1.2)

Нам понадобится следующая оценка, полученная в работе [Ong]:

1И1 < • (1-3)

Ввиду (1.1) данное неравенство сильнее, чем (1.2).

Фактически, оно непосредственно вытекает из формулы для нормы IA ¡I, выведенной Хаагерупом в неопубликованной рукописи [На]:

1И111 = : В*С = А} . (1.4)

Критерий Хаагерупа является мощным инструментом в исследовании мультипликаторов Шура в В{Н). Доказательства и различные следствия (1.4) имеются в [АО], [PPS], [М] и [CDS],

3. Классы Шаттена. Напомним определение и основные факты: подробное изложение можно найти в [GK1],

Пусть А : Н Н - компактный оператор. Его сингулярными числами называются элементы последовательности {Aj} собственных значений компактного положительного самосопряженного оператора \А\ = (Л*Л)з, занумерованной по убыванию с учетом кратностей:

Всякий компактный оператор допускает разложение Шмидта вида

3

где и {г/^} - некоторые ортонормальные системы.

Классом Шаттена - фон Неймана порядка р, р Е [1,оо), называется пространство Бр всех компактных операторов ,4 с конечной нормой

3

Наиболее

важными в шкале <5^ являются класс ¿>оо всех компактных операторов, класс ядерных операторов б'х, и класс Гильберта-Шмидта

6'2 = {А е 5«, : ||А||2 = = (][>,|¥ < «>}■

3 V

4. Предварительные сведения. Обозначим через ||| А|||р норму МА как оператора в Sp:

|И|р = 8ир{|ИоХ!!Р:||Х||г,<1}.

По определению.

M (Sp) = {А : ||Л|р < оо} - соответствующее пространство мультипликаторов Шура.

Ясно, что M (Sp) и M с умножением Шура являются коммутативными банаховыми алгебрами. Некоторые их элементарные свойства описаны в следующих двух предложениях. Как обычно, р' = ^ - сопряженный показатель.

Лемма 1.1. (i) M (Sp) = M (S?) (1 <p< oo), M = M(5X) = M(S!X), включая равенство соответствующих норм;

(ii) M(S2) = IM, 1|Л||2 = |И||ММ;

(iii) M(SP) С M(Sq) (q e (pf,p), p > 2), ¡A\lg < IAIp .

Доказательство, (i) вытекает из соображений двойственности, (ii) очевидно, (iii) выводится с помощью комплексной интерполяции (см. [GK2], Теорема 3.5.2). •

Заметим, что лемма 1.1 представляет собой частный случай [BS5, §8].

Определим теперь для всяких матрицы А и натурального числа п усеченную матрицу

АЫ = (а%>), =

Лемма 1.2. Последовательности норм А^ как мультипликаторов Шура в Sp и В(Н) возрастают, и

(i) ¡,4¡p = suppW|p, 1<р<оо:

п

(Ü) IАII =sup |И(п)||. 11

Доказательство, (i) Обозначим К^ = {Аг : А" = Х^}. Множество К = Уп К^ всюду плотно в Sp, 1 < р < со. Отсюда

|И|Р = sup{||A о Х\\р : X £ К, \\Х\\Р < 1} .

Зафиксируем с < |||А|||р, и выберем такой X £ К, ЦА'Цр < 1, чтобы ||А о Х\\р > с. X € К^ для некоторого п. Очевидно, А о X = А^ о X, откуда ЩА^Цр > с, из чего немедленно вытекает неравенство "<" в (i). Обратное неравенство тривиально. С учетом леммы 1, (И) следует из (i) при р = ос. •

Для полноты изложения приведем также доказательство неравенства (1.3) из [Ong].

Лемма 1.3. ||А||| < \\A\\loo(h).

Доказательство. Заметим, что ||А о А|| = ЦА7' о АГТ||. Пусть а = IHILfe) и С = ||*TIL(b>- Ввиду (1.1) имеем £ < ||А||. Тогда для любого

U = {Uj} £ 12

i 3

^ Е(Еы2-Еы2ы2)

i j 3

3 i

СЩ fox i,j<n 0 otherwise.

5. Основной результат. Мы дадим точную верхнюю оценку нормы матрицы А как мультипликатора Шура в классах Шаттена 5Р. Результат опубликован в работе [ОБ].

Теорема 1.4. Пусть г > 2 и

\--т;\<-' (1-5)

р 2 г

Тогда УАе 1^{1Г)

1И11Р < 1И||М!,.;). (1.6)

Для крайних значений ~ = | ± ^ константа 1 в неравенстве (1.6) точна. Кроме того, эта оценка точна по паралтпрур: если — > ^ то матрица А Е 1оо{1г), вообще говоря, не является мультипликатором.; Шура в

Доказательство. Ввиду леммы 1.1, достаточно рассмотреть случай А = | — Вследствие леммы 1.2, можно ограничиться конечномерным случаем. Рассмотрим билинейное отображение

Г : (А, X) • > ,1 о Л". действующее на множестве матриц размера п х п. Согласно лемме 1.3,

Г: 1<£>(1^)хВ^В,

а по лемме 1.1 (И),

Г: гН(/Н)х52^52.

Здесь В = В(4'^) и 52 = 52(4'^)- Обе константы в соответствующих неравенствах для норм равны единице. Используя метод комплексной

билинейной интерполяции (см. [ВЬ], теорема 4.4.1), V 9 Е (0,1) получаем:

Г: х [В, 52]{? и- [В,32]е,

где - стандартное обозначение для интерполяционного функтора. Соответствующая постоянная опять же равна единице. Как известно (см. [Т], 1.19.7); 9

[£,52]е = 5р, р = -,

включая равенство норм.

Далее,

&(&)]* = Ш = , (1-7)

1 _ 1 - в _ 1 1

г ~~ 2 ~ 2 ~ р '

также с равенством норм. Первое неравенство в (1.7) есть немедленное следствие результата Кальдерона ([С], 13.6), второе - хорошо известно. Таким образом,

||г(дх)|!р = ЦАохЦр <

что доказывает оценку (1.6).

Заметим, что переход к усеченным матрицам был нужен лишь во избежание трудностей, связанных с нерефлексивностью пространств ¿оо(^) и ¿сс(/со) в бесконечномерном случае.

Докажем теперь точность неравенства (1.6). Рассмотрим матрицы размера п х п

А = (е^) и .V • • .

Тогда А о X = ■], где ■] - матрица, состоящая из одних единиц. Ее ранг

равен 1, единственное ненулевое собственное значение равно п, поэтому ||,/||р = п. Матрица ^А" унитарна, что влечет \\Х\\Р = п2 ? . Наконец,

Н^Нм'О = пг при всех г.

Таким образом, для любого р > 2 имеем:

114

11 111

1И||р > = п*-? = ||А||1оо(,г). (1.8)

ПА Нр

Отсюда следует, что константу 1 в неравенстве (1.6) нельзя улучшить для ^ = | - 1, равно как, тем самым, и для А = \ + А . Кроме того, (1.8) показывает, что оценка типа (1.6), пусть и с другим постоянным множителем в правой части, невозможна вне интервала (1.5). •

Следствие 1.5. Для каждого р £ [1, оо] и любого натурального п найдется матрица А размера п х п такая, что = 1 и

ii_.ii

IА Цр = п'2 р1.

6. В заключение, докажем следующее утверждение. Пусть h = {hj}, j £ Z, - числовая последовательность. Обозначим Ah = {hj — /ij_i}, и введем матрицу Ah = (a¿¿), a¿¿ = -pj1' ^ an = 0 (частный случай так называемых матриц Левнера).

Лемма 1.6. Пусть г > 2, — || < и последовательность h такова, что Ah е /,•. Тогда

ПАЯ, < ^ || .

Доказательство. По теореме 1.4, достаточно проверить аналогичное неравенство с левой частью, равной ||A||loo(|r). Но оно непосредственно вытекает из хорошо известного дискретного неравенства Харди ([HLP], теорема 326):

00 оо

£|-Г < (^-У £ k - «n-i|r («о = 0). .

п г - 1 ^

ГЛАВА И.

Ограниченная вариация и мультипликаторы Фурье

1. Основное определение. Пусть f(t) - ограниченная измеримая функция на окружности: / е L^(Т), Т = M/Z. Для последовательности и = {ип} £ h П 1Р (Z) положим

(Fu)n = f if(t) ]Г uke2*ikt] er2'ninidt, (2.1)

к

и рассмотрим линейное отображение

и и» Fu = / • й ,

где и ' обозначают, соответственно, прямое и обратное преобразование Фурье на окружности. Если для некоторого р > 1 существует константа с = с(р) такая, что для всех и 6 1-2 П 1Р

\\Ри\\1р < с||и||гр)

то преобразование Р продолжается единственным образом до линейного ограниченного оператора на всем пространстве 1р, а функция / в этом случае называется мультипликатором Фурье в 1Р:

/ е М,(Т).

Наименьшее из таких чисел с определяет норму / в пространстве МДТ) и обозначается ||/||р.

Описание всех таких функций представляет собой предмет так называемой тригонометрической проблемы мультипликаторов - классической задачи, по-видимому, не имеющей исчерпывающего решения.

Известны различные достаточные условия, при которых функция / будет мультипликатором Фурье в 1р. Некоторые важные результаты мы приведем ниже; подробный обзор читатель найдет в монографии [ЕС].

В настоящей работе мы дадим характеристику пространств МР(Т) в терминах ¡3 - вариации.

Это понятие играет важную роль в теории мультипликаторов Фурье. Напомним, что /3- вариация (/3 > 1) функции / определяется формулой

п

w)= sup с

to<...<tn=to + l

При ¡3 = 1 получаем обычное пространство функций ограниченной вариации. Класс функций с ограниченной ¡5 - вариацией обозначается через

V^T) = {/ : Vptf) < оо} .

2. Классические результаты. Начнем с двух основополагающих утверждений (из которых второе есть обобщение первого). Как обычно, Xj обозначает характеристическую функцию множества J.

Теорема 2.1 (М. Рисс). Каждому р Е (1,оо) соответствует число Ср такое, что для любого интервала / на окружности

iXiip < Ср ■

Теорема 2.2 (Стечкин). Всякая функция ограниченной вариации на Т является мультипликатором Фурье в 1р для всех р G (1, оо).

Для формулировки дальнейших результатов введем следующие обозначения.

Пусть Е С Т - замкнутое множество меры нуль, a {h}, к = 1,2,... -интервалы, образующие его дополнение Т \Е. Для последовательности и составим квадратичное выражение

Аи = Е

к

и определим некоторые свойства разбиения {h}'-

Свойство Литтлвуда-Пэли LP (р): существует константа Ср такая, что У и £ 1р

Свойство Марцинкевича Маг(р): если для функции / выполнено

sup Vi(/ • xik) < с» , то / € Мр(Т). k

Множество интервалов, дополнительных к Ео = {2 к}, к = 0,1,..., называется диадическим.

Теорема 2.3 (Литтлвуд-Пэли). Диадическое разбиение обладает свойством ЬР(р) для всех 1 < р < оо.

Теорема 2.4 (Марцинкевич). Диадическое разбиение обладает свойством Маг(р) для всех 1 < р < оо.

Заметим, что второе выводится из первого благодаря следующему утверждению:

Предложение 2.5. Свойства ЬР(р) и Маг(р) эквивалентны.

Приведенные результаты, их версии и обобщения представляют собой важнейший инструмент исследования мультипликаторов Фурье.

3. Постановка задачи. Напомним вначале некоторые элементарные свойства интересующих нас объектов. Первое утверждение доказывается аналогично лемме 1.1, второе - очевидно.

Лемма 2.6. (1) М2(Т) = ¿^(Т);

(И) Мр (Т) = МР,(Т), ¿ + £ = 1; (ш) Мр(Т) С М9(Т), <1 е (р',р), р > 2.

Лемма 2.7. ¥Л(Т) С %(Т) при 1 < А < р2 ■

В 1958 г. Хиршман получил следующий результат:

Теорема 2.8 [Ш]. (1) Пусть / - функция ограниченной ¡5 - вариации на Т, 3 > 2. Тогда / является мультипликатором Фурье в 1Р при

'р 21 2Р { >

(11) Если, к тому же, / е Ыр а для некоторого а > 0, то / е МР(Т) щм Д 1, 1

Утверждение (¿) представляет собой „интерполированную версию" теоремы Стечкина, однако не является ее формальным следствием, т.к. пространства мультипликаторов не образуют интерполяционной шкалы. Данный факт будет проиллюстрирован в главе IV.

Вопрос, являются ли границы интервала (2.2) точными, оставался открытым. В этой главе мы покажем, что даже и без условия Липшица, заключение теоремы 2.8 выполняется для всех р из большего интервала (2.3), который уже не может быть расширен (см. [Hi]).

Теорема 2.9. / е Yg(T) => / е МР(Т), /3>2.

В частности, любая функция ограниченной второй вариации будет мультипликатором Фурье в 1Р для всех 1 < р < оо.

Этот результат опубликован в работе [ОХ]; как я узнал впоследствии, аналогичное утверждение было доказано в [CRFS]. Улучшение основано на неравенстве, полученном Рубио де Франсиа в 1985 г.

4. Предварительные сведения. Понятие мультипликатора Фурье можно рассматривать не только на окружности, но и на двойственной группе целых чисел Z, а также для преобразования Фурье Т на Е.

По определению, МР(К) - класс функций g из Ь.Х(Ж), для которых оператор

г; ^ T(g-^l{v))

ограничен в Lp(R).

Аналогично определяется пространство MP(Z) последовательностей, являющихся мультипликаторами Фурье в Lp(Т). Все результаты, перечисленные в пункте 2, сохраняются (в соответствующем виде - см. [EG]).

Следующие факты устанавливают соотношения между периодическим и непериодическим случаями. Пусть h - функция на окружности. Обозначим ее периодическое и нулевое продолжение на действительную ось через

h(ar) = /ф]) и Л (/г) = h • Х[од) •

Предложение 2.10 [dL]. ||^||мр(Т) = ||Ь||мр(Е), 1 < р < оо .

Предложение 2.11 [Во]. Для любого р > 1 существует константа с(р) такая, что

Лемма 2.12. Нормы ||/г||мг,(т) и ]|Л(/г)||мр(н) эквивалентны.

Доказательство (в одну сторону: в обратную - аналогично). Пусть ||Л||мр(т) = 7- Тогда для и е ЬР(Ж) имеем:

^[Л^-^Н^ < с(р) ||(А-1[Л(^) -^ИО'Игр =

= с(р) || (Л ■ А"1^1^) • Х[од)]) " [|1„ <

< 7Ф)1!(Л-1Г1(^)-Х[од)])^|||г) <

Последнее неравенство - теорема М. Рисса для Е. •

Напомним теперь фундаментальное неравенство Рубио де Франсиа ([ИР]; см. также [В]), распространяющее часть теории Литтлвуда-Пэли на произвольные разбиения.

Теорема 2.13 [ВР]. Для каждого р е [2, ос) существует такая константа С(р), что для любого набора {1к} непересекающихся интервалов на К

II (Е Н^ < С(р)Мьр V» 6 ЬР(Ж).

к

Предложение 2.11 позволяет нам „перевести" эту теорему на язык последовательностей.

Лемма 2.14. Для каждого р е [2, оо) существует такая константа С'(р), что для любого набора непересекающихся интервалов на X

||Ди||гр < С(р)1к11гР Уие 1р.

С помощью этого неравенства можно следующим образом оценить мультипликаторную норму характеристической функции объединения конечного числа интервалов:

Лемма 2.15. Пусть - набор из N попарно непересекающихся

интервалов на окружности, и пусть = 1. Тогда

¡у

1<Р<оо.

к-1

Доказательство. По лемме 2.6 (ii), достаточно рассмотреть случай р > 2. Согласно неравенству Шварца, для любой последовательности и = {ип} G lp имеем:

N N

| Q2 CkXh ■ û)n I = I Вещ • й)~ I <

k=1 A-=l

N

<VN(J2\i)Or^')n?)k2 = \/iV(A«)n. k=1

Лемма 2.14 завершает рассуждение. •

В заключение, отметим еще одно свойство мультипликаторов Фурье: мультипликаторная норма инвариантна относительно сжатия.

Лемма 2.16. Пусть / G МР(Т), и пусть g(t) = f{nt) для некоторого натурального п. Тогда для всех 1 < р < оо

IIMIIp = \lf\lp-

Доказательство. Для / G МР(Е) утверждение очевидно, и остается лишь применить предложение 2.10. •

5. Доказательство теоремы 2.9. Пусть / - функция ограниченной /3- вариации на Т, /5 > 2. Предположим вначале, что / непрерывна. Не уменьшая общности, считаем / вещественной, /(0) = 0 и Vp(f) = 1. Согласно лемме 2.6, достаточно рассматривать случай р > 2.

Для m = 0,1,... положим: = 0 ;

t™ = min{i G (4m),l) : \f(t) - /(4m))l = 2~m] ;

4m) = min{i G (i(/n), 1) : \f(t) - f(t(in]) \ = 2~m} ; etc.. Данный процесс конечен, так как Vp(f) < оо.

Определим теперь ступенчатую функцию, аппроксимирующую / с точностью до 2~та :

<Pm(t) = У: /(4-Î) ' X[t(»0)t('")) • j

Заметим, что tpo(t) = 0, так как |/(i)| < Vp(f) < 1.

Обозначим ij>m(t) = <pm{t) - <Pm-i(t) ■ m = 1,2,.... Тогда

00

f(t) = ^m(t),

m=l

и, следовательно,

со

1/1р<£ШР- (2.4)

m—1

Оценим m-й элемент этой суммы. Заметим, что фт имеет вид

N к=1

где ед, = ±1, а - конечный набор непересекающихся интервалов. Зафиксируем р > 2 и возьмем q > р. По лемме 2.15,

Ш\я < 2~mC{q)\/N. Кроме того, из способа построения Фт вытекает, что

2~m{2N)V = V'M'i/U < V0(ipm) + V0{ipm^) < 2 V$(f) < со,

поэтому g

îfmîq < C(q)2[-ïl)m.

С другой стороны, из теоремы Планшереля немедленно следует, что

IV-Vrailh = esssup \i>m(t)\ < 2~т. te т

Отсюда, по интерполяционной теореме Рисса-Торина (см. [BL]), имеем:

\li'm\l < C{q)2^m% где = J), т.е. J = ^ +

Таким образом, ряд в правой части (2.4) сходится, если 0 < в < |, то есть, при + Выбирая для каждого р, для которого

| — | < i < соответствующее q, мы окончательно получаем

III/III*. < С(Р) >

что и требовалось доказать.

Избавимся теперь от требования непрерывности функции /. Пусть а > 0. Введем непрерывную функцию

Для произвольного разбиения окружности точками {!/} имеем:

\МЬ) - =

2а ,]

1

[/(^+г)-/(^-1 + г)] с1т

г

1 га

У № + г)-/(^-1+г)|^г,

и

Отсюда Ур(/а) < УдЦ). Согласно первой части доказательства.

Ш\р < С(р)

при

1 4 < А < А . Далее, очевидно, что, в терминах (2.1),

2 в р

Нт(^и)п = (Ри)п.

О

По лемме Фату,

||^||гр< Ит1п£||ад|гр<С(р)|Н|гр.

ГЛАВА III.

Топологически инвариантные мультипликаторы

1. Описание полученных результатов. В предыдущей главе мы получили неулучшаемое достаточное условие, при котором функция на окружности является мультипликатором Фурье в пространстве 1Р для всех р в интервале — || < ^ (теорема 2.9). Основная цель настоящей главы - доказать утверждение, в некотором смысле обратное данному.

Указанное условие, выраженное в терминах 0 - вариации, не является необходимым: у отдельно взятой функции / с нормой в МР(Т), равной единице, Vp(f) может быть сколь угодно большой, и даже бесконечной, при любых р и /?.

Действительно, рассмотрим сильно осциллирующую гармонику

№ = е2*ш. (3.1)

Соответствующее мультипликатор - преобразование в 1Р - это сдвиг, так что I/Hp = "l.

Важно отметить, что понятие [3 - вариации является топологически инвариантным, а именно, для любого гомеоморфизма окружности в

Vp(foe)=Vp(f).

Поэтому при обращении теоремы 2.9 нам имеет смысл рассматривать лишь мультипликаторы, обладающие подобной инвариантностью - в отличие от функции 3.1, норма которой в МР(Т) существенно возрастает даже при гладкой замене переменной в экспоненте.

Обозначим множество всех гомеоморфизмов окружности через С(Т), и определим класс топологически инвариантных мультипликаторов:

м;(т) = { / : fade Мр(Т) V 9 € €(Т) } .

Теорема 3.1. Если непрерывная функция / на Т принадлежит всем М°(Т), для которых ¡^ - || < ^ q> 2, то f е Т) для всех (3 > q.

С учетом теоремы 2.9, мы получаем полное метрическое описание топологически инвариантных непрерывных мультипликаторов Фурье:

Теорема 3.2. Пусть / - непрерывная функция на Т, и пусть q > 2. Тогда следующие утверждения равносильны:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Олевский, Виктор, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

[A] A. Atzmon, частное сообщение

[АО] Т. Ando & К. Okubo, Induced norms of the Schur multiplier opera,tor, Linear Algebra к Appl. 147 (1991), 181=199

[B] J. Bourgain, On square functions on the trigonometric system, Bull. Soc. Math. Belg. Ser. В 37-1 (1985), 20-26

[BL] J. Bergh & J. Lofstrom, Interpolation spaces. An, introduction, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1976

[Bo] R. Boas, Entire functions, Academic Press, New York, 1954

[BSl] М.Ш. Бирман & M. 3. Соломяк, Двойные операторные интегралы Стилтьеса, Проблемы Мат. Физ. 1 (1966), 33-67

[BS2] М.Ш. Бирман & М. 3. Соломяк. Двойные операторные интегралы Стилтьеса II, Проблемы Мат. Физ. 2 (1967), 26-60

[BS3] М.Ш. Бирман & М.З. Соломяк, Двойные операторные интегралы Стилтьеса, III, Проблемы Мат. Физ. 6 (1973), 27-53

[BS4] М.Ш. Бирман & М.З. Соломяк, Двойные интегралы Стилтьеса и проблемы, мультипликаторов, Доклады Акад. Наук СССР 71 (1966), 1251-1254

[BS5] М. Ш. Бирман & М. 3. Соломяк, Оценки сингулярных чисел интегральных операторов, Успехи Мат. Наук .32-1 (1977), 17-82

[C] A. Calderón, Intermediate spaces and interpolation, the complex method, Studia Math. 24 (1964), 113-190

[CDS] C. Cowen, K. Debro & P. Sepanski, Geometry and the norms of Hadamará multipliers, Linear Algebra & Appl. 218 (1995), 239-249

[CRFS] R. Coifman, J. Rubio ele Francia & S. Semines, Multiplicateurs de Fourier de U}(R) et estimations quadratiques, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 306 (1988), 351-354

[EG] R. Edwards & G. Gaudry, Littlewood-Paley and Multiplier Theory, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1977

[G] A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Boll. Soc. Mat. Sao-Paulo 8 (1956), 1-79

[GK1] И. Ц. Гохберг & M. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва, 1965

[GK2] И. Ц. Гохберг & М.Г. Крейн, Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, Наука, Москва, 1967

[На] U. Haagerup, Decompositions of completely bounded maps on operator algebras, неопубликованная рукопись, 1980

[Hi] I. Hirschman, On multiplier transformations, Duke Math. J. 26 (1959), 221-242

[HLP] G. Hardy, J. Littlewoocl & G. Polia, Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1952

[Ho] R. Horn, The Hadamard product, Proc. of Symposia in Appl. Math. 40 (1990), 87-169

[J] M. Jodeit, Restrictions and extensions of Fourier multipliers, Studia Math. 34 (1970), 215-226

[dL] K. de Leeuw, On Lv multipliers, Ann. Math. 81 (1965), 364-379

[M] R. Mathias, Matrix completions, norms, and Hadamard products, Proc. of Amer. Math. Soc. 117-4 (1993), 905-918

[N] И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Наука, Москва, "1974

[Ong] S. Ong, On the Schur multiplier norm of matrices, Linear Algebra & Appl. 56 (1984), 45-55

[OS] V. Olevskii к M. Solomyak, An estimate for Schur multipliers in Sp-class es, Linear Algebra к Appl. 208/209 (1994), 57-64

[01] V. Olevskii, A note on multiplier transformations, Int. Math. Res. Notices 1 (1994), 13=18

[02] V. Olevskii, A connection between Fourier and Schur multipliers, Integral Equations к Operator Theory 25 (1996), 496-500

[03] V. Olevskii, Variation, homeomorphisms and Fourier multipliers, C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math. 325 (1997), 639-644

[P] G. Pisier, Similarity Problems and Completely Bounded Maps, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1996

[Ре] В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля в теории возмущений унитарных и самосопряженных операторов, Функц. анализ и его прил., 19-2 (1985), 37-51

[PPS] V. Paulsen, S. Power k R. Smith, Schur products and matrix completions, ,J. of Funct. Anal. 85 (1989), 151-178

[R] W. Ruclin, Some theorems on Fourier coefficients, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 855-859

[RF] J. Rubio cle Francia, Littlewood-Paley inequality for arbitrary intervals, Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), 1-14

[S] I. Schur, Bemerkurgen zur Theorie der beschrankten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen, J. Reine Angew. Math. 140 (1911), 1-28

[SS] P. Sjögren k P.Sjölin, Littlewood-Paley decompositions and Fourier multipliers with singularities on ceriain sets, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 31 (1981), 157-175

[St] E. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Univ. Press, 1970

[T] H. Tribel, Interpolation Theory. Functional Spaces. Differential operators, Veb Deutscher Verlag, Berlin, 1978

госудАтетшенйшл'И! j зди&девй&тпек» i