Мотивное интегрирование и инварианты алгебраических узлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Горский, Евгений Александрович

• Горский, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горский, Евгений Александрович

1. Введение.

2. Мотивные меры.

2.1 Кольцо Гротендика многообразий

2.2 Мотивные меры и мотивные интегралы.

2.3 Формула замены переменных и следствия из нее.

2.4 Число Милнора и дзета-функция особенности.

3. Функциональные ранения.

3.1 Уравнения.

3.2 Примеры.

3.3 Симметрии.

3.4 Дополнительные параметры.

3.5 Функциональное уравнение для индексов пересечения.

4. Соответствие между функциями и кривыми.

4.1 Степенные структуры.

4.2 Соответствие мер

4.3 Соответствие эйлеровых характеристик.

5. Мотивный ряд Пуанкаре.

5.1 Ряд Пуанкаре и его обобщения.

5.1.1 Ряд Пуанкаре особенности плоской кривой

5.1.2 Мотивный ряд Пуанкаре.

5.1.3 Неприводимый случай

5.1.4 Формула Кампильо, Дельгадо и Гусейн-Заде

5.2 Пример: неособая кривая.

5.3 Комбинаторика.

5.3.1 Предварительные упрощения

5.3.2 Приведение подобных слагаемых.

5.3.3 Алгоритм.

5.4 Примеры.

5.4.1 Один дивизор

5.4.2 Два дивизора.

5.4.3 Три дивизора.

5.5 Симметрии и функциональные уравнения.

5.5.1 Симметрии.

5.5.2 Аналог уравнения Капранова для кривых с проколами

6. Гомологии Хегора-Флосра.

6.1 Определение, структура и свойства.

6.1.1 Относительные 5ртс-структуры

6.1.2 Диаграммы Хегора.

6.1.3 Определение гомологий.

6.1.4 Свойства.

6.2 Связь с мотивным рядом Пуанкаре.

6.2.1 Сравнение ответов.

6.2.2 Сравнение фильтрованных комплексов.

6.2.3 Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мотивное интегрирование и инварианты алгебраических узлов»

Настоящая диссертация посвящена вычислению и описанию свойств мсь тивных интегралов, связанных с инвариантами особых точек плоских комплексных алгебраических кривых. Эти интегралы связаны как со структурой нормирований на локальной алгебре особенности, изучавшихся ещё в работах О. Зарисского, так и с топологическими инвариантами алгебраических узлов — многочленом Александера и гомологиями Хегора-Флоера, введёнными П. Ожватом и 3. Сабо сравнительно недавно.

Мотивное интегрирование было введено М. Л. Концевичем в 1995 году для доказательства гипотезы Ватырева о совпадении чисел Ходжа у бирационально эквивалентных многообразий Калаби-Яу. Вскоре после этого Я. Денеф и Ф. Лозер ввели мотивную меру на пространстве дуг на многообразии и доказали для него формулу замены переменных в полной общности, а также связали мотивные интегралы с р-адическими.

С другой стороны, в 1994 году А. Кампильо, Ф. Дельгадо и К. Кийек при исследовании наборов нормирований на локальной алгебре особенности, определяемых неприводимыми компонентами, ввели понятие ряда Пуанкаре мультииндексной фильтрации и установили свойство симметрии для этого ряда. Затем в серии работ А. Кампильо, Ф. Дельгадо и С. М. Гусейн-Заде обнаружили и доказали связь этого ряда Пуанкаре с топологическими инвариантами особенности. Пересечение комплексной кривой со сферой малого радиуса — это узел или зацепление, для которого определён многочлен Александера. Оказывается, ряд Пуанкаре фильтрации на локальной алгебре с точностью до множителя совпадает с этим полиномом Александера, что, в частности, даёт эффективный геометрический способ его вычисления.

Метод доказательства теоремы Кампильо-Дельгадо-Тусейн-Заде основан на интегрировании по эйлеровой характеристике, введенном О. Я. Виро. Ряд Пуанкаре оказывается равным некоторому интегралу по эйлеровой характеристике по нроективизации пространства функций. В последующих работах было предложено естественное обобщение этого интеграла — мотивный интеграл по пространству функций, конструкция которого аналогична конструкции Концевича. Вычислению обобщённого интеграла и его аналогов и посвтцена настоящая диссертация.

Другим естественным обобщением многочлена Александера является теория гомологии Хегора-Флоера, построенная в 2004 году П. Ожватом и 3. Сабо и затем развитая ими и их школой в большом количестве работ. Градуированная эйлерова характеристика этой теории гомологии совпадает с многочленом Александера зацепления, для этой теории выполняется аналог двойственности Пуанкаре, можно построить большое количество естественных спектральных последовательностей. Кроме того, вскоре после ее открытия оказалось, что гомологии Хегора-Флоера несут в себе большое количество глубокой геометрической информации об узле. Так, Ожват и Сабо доказали, что род узла равен наибольшему номеру ненулевых гомологии Хегора-Флоера, что, например, дало новое доказательство гипотезы Милнора о роде торического узла. Отметим, что до того Дж. Расмуссен доказал гипотезу Милнора при помощи оценок, получающихся из другой теории гомологий узлов - гомологий Хованова. Для гомологий Хегора-Флоера аналогичные оценки оказываются точными. Далее, Йи Ни в 2007 году доказал, что узел является расслоенным тогда и только тогда, когда размерность гомологий с максимальным номером равна единице. Кроме того, П. Ожват, 3. Сабо, К. Манолеску, С. Саркар и Д. ТЕрстон построили комбинаторную конструкцию для гомологий Хегора-Флоера, которая впоследствии упрощалась в работах А. Беляковой и П. Дроза.

Структура, диссертации

Глава 2 содержит основные понятия и факты теории особенностей и теориимотивного интегрирования, используемые в дальнейшем. В ней вводится кольцо Гротендика комплексных квазипроективных многообразий. Затем в параграфе 2.2 вводятся мотивные меры и мотивные интегралы на различных пространствах, принимающие значения в пополненной локализации кольца Гротендика многообразий по классу комплексной прямой, приводятся простейшие примеры вычисления мотив-ных интегралов. Следующий параграф 2.3 посвящен основному техническому средству в теории мотивного интегрирования - формуле замены переменных в мотивном интеграле, доказанной Денёфом и Лозером. Приводятся примеры вычисления естественных мотивных интегралов по пространству дуг, подсчёт которых напрямую был бы весьма тяжёлым без применения формулы замены переменной. Также приводится доказательство гипотезы Батырева, принадлежащее Концевичу. Оно показывает, что теория мотивного интегрирования может быть успешно примекена в естественных и важных задачах, формулировка которых не использует кольца Гротендика.

В параграфе 2.4 вводятся основные понятия топологической теории особенностей: число Милнора особенности, линк, расслоение Милнора, дзета-функция монодромии. Формулируется теорема А' Кампо, выражающая число Милнора и дзета-функцию особенности через её вложенное разрешение.

Глава 3 посвящена функциональным уравнениям на различные мо-тивные интегралы по пространству дуг, связанным с формулой замены переменной. Основными результатами главы являются теоремы 4 (стр. 29) и 5 (стр. 31), в которых доказывается функциональное уравнение на мотивный интеграл, соответствующий числу Милнора, и единственность решения этого уравнения.

Теорема. Пусть /х — число Милнора, a vx и vy — индексы пересечения дуги с осями координат. Рассмотрим мотивный интеграл

I{t,a,b, с, dj) = J ^а^Ь^с"*^ fv*dx9.

Имеет место функциональное уравнение:

I(t, а, Ь, с, d, /) = I{1, t-1a6L-1, Ь, tcdf, df2, f) + F(t, t'labL"\ a, tcdf, dcc)+

I(t, i-1a&L1,1, tcdf, 1,1) ■ (L - 1).

Это уравнение имеет единственное с точностью до умножения на константу решение в классе формальных степенных рядов, делящихся на abcdf.

В теореме 6 (стр. 36) дается явно выражение для компонент функции /(£, а, Ь, с, d, /).

Теорема. Пусть а —НОД(к,т). Тогда

J {Ordz(t)=fc,Ordy(t)==m}

- ЛГ -1V» I(*-1)(™-1)тг -fc— ^ ГТ „(А-Л (L - a,b j= 1 ' v где суммирование ведётся по всевозможным наборам

1 = «о < bi < ах < . < аг 1 < 6Г < аг = а) таким, что ttji|bj, bjloj и bj < cij для всех j (г не фиксировано).

В левой части ц обозначает число Милнора, а в правой части - функцию Мёбиуса, но появление одного и того же обозначения для двух разных объектов не должно вызывать непонимания.

Замечание. Из определения видно, что Gfcjjn(t,]L) действительно являются компонентами функции I(t,a,b,c,d, /), а именно, имеет место равенство оо

I{t,a,b,c,d,f)= GKm{t,V)akbmck2dkmr' (1-1) к,т= 1

Приводятся примеры вычисления этих компонент, в простейших из них результат теоремы б сравнивается с прямым вычислением. Теорема 6 позволяет также доказать неожиданное свойство симметрии для функции I и её компонент.

Следствие 1: адгМ--1) = r2<*-1Km-1>Ь2к+2т'2 ■ Gk>m(t,L).

Следствие 2: Имеет место соотношение

I(t,L;a,b,c,d,e) = РЪ21{Г1,1Г1; аГ2Ь~2, bt~2h~2, с, dt2, е).

В параграфе 3.4 рассматривается естественная деформация функционального уравнения на /(i, а, Ь, с, d, /) с бесконечным числом дополнительных параметров, в теореме 7 (стр. 38) доказывается аналог теоремы 6 для деформированной задачи. Решение по-прежнему удовлетворяет свойству симметрии, однако введение дополнительных параметров выявляет новые функционально-дифференциальные соотношения, доказанные в теореме 8 (стр. 39).

Кроме того, в главе 3 приведено аналогичное функциональное уравнение для мотивного интеграла, соответствующего индексу пересечения кривых.

В главе 4 обсуждается связь между мотивными мерами на пространствах параметризованных кривых и функций на плоскости. В параграфе

4.1 вводится понятие степенной структуры, введённое Гусейн-Заде, Лу-энго и Мелье-Эрнандезом, и описывается степенная структура на кольце Гротендика многообразий. При помощи степенной структуры вводится естественное продолжение мотивной меры на объединение всевозможных симметрических степеней пространства дуг. Основными результатами этой главы является теоремы 9 (стр. 50) и 10 (стр. 55), в которых описывается универсальные множители, описывающие переход между мерами.

Теорема. Пусть /7,(7) — число Милнора, а г (7) - число неприводимых компонент ростка кривой 7, обозначим 5(7) = + г(7) — 1). Пусть а(7) — произвольная измеримая функция на пространстве UkSkB. Тогда

Здесь О - пространство формальных ростков функций на плоскости в начале координат, PC - его проективизация, £ - пространство ростков параметризованных формальных кривых (дуг) на плоскости в начале координат, В = C*/Aut(С,0), a Z : РО —» UkSk{£*/C*) - произвольная параметризация компонент кривой {/ = 0}.

В параграфе 4.3 приводятся примеры, в которых независимо вычисляются левая и правая меры, а также коэффициент перехода. В частности, из теоремы 10 следует формула Габриэлова-Хованского-Купширенко для модальности торической особенности.

Кроме того, доказывается теорема 11 (стр. 57), описывающая связь между эйлеровыми характеристиками подмножеств в проективизации пространства функций и пространстве неупорядоченных наборов дуг. Так как множество нулевой мотивной меры может иметь ненулевую эйлерову характеристику, теорема 11 немного отличается от теорем 9 и

Глава 5 составляет техническое ядро диссертации. В ней строится алгоритм вычисления мотивного интеграла по проективизации пространс-ва функций, аналогичного ряду Пуанкаре особенности. Пусть С — Цг=1 Ci — росток плоской кривой, униформизации его неприводимых компонент. Если / € О — росток функции на (С2,0), положим

10.

7t: (С,0) - {Си 0)

Ч(Л = Ordofbi(t)), и ряд Пуанкаре кривой С определяется ([14]) как интеграл по эйлеровой характеристике по проективизации пространства функций:

Pc(tl,.,tr)= [ с (1-2)

Jvo

Например, если С неприводима, можно определить убывающую фильтрацию

О Э Ji Э J2 Э ., Jn = {f£ 0\vi{f) > n}, (1.3) и оо

P°(t) = dim Jn/Jn+l. (1.4) n=0

Через Ac(ti,., tn) обозначим полипом Александера пересечения С с маленькой сферой с центром в начале координат. Теорема Кампильо, Дельгадо и Гусейн-Заде утверждает, что если г = 1, то

1-«)Рс(0 = Дс(«), (1.5) а если г > 1, то

P°(l1,.,tr) = Ac(h,.,tr).

В [15] была предложена следующая естественная деформация ряда Пуанкаре. Рассмотрим мотивный интеграл, обобщающий (1.2):

Ff(h,.,tr)= [ С (1-6)

Jvo

Если г = 1, можно переписать (1.6) как деформацию (1.4):

00 „codimj„ ,,codim./„H

-гЛ-. (1-7) п—0 4 и в этом случае ряд Pg(t) легко определяется по P(t). Если г > 1, ситуация усложняется: мотивный ряд Пуанкаре не определяется Р(/,), и метод его вычисления существенно сложнее. Тем не менее, в диссертации приводится явный алгоритм его вычисления. Кроме того, оказывается полезным использовать следующее выражение.

Определение 1: Приведённым мотивным рядом Пуанкаре назовём ряд Pg(tu . = (1 ~ qti) •.•(!- qtr) ■ Pg(tu ., Lr). (1.8)

В диссертации доказываются следующие свойства приведённого мо-тивного ряда Пуанкаре.

1. Полиномиальность. Pg(ti,. ,tn;q) является многочленом от переменных ti,., tn и q. Дается оценка для его степени по переменным ti,., tn.

2. Сведение к многочлену Александера. Если п = 1, то

Pff(£;9=l) = A(t), где Д обозначает многочлен Александера линка соответствующей особенности плоской кривой. Если п > 1, то

TL

Pg(tu ., tn; q = 1) = A (tb .,tn)- JJ(1 - U). i—1

3. Забывание компонент. Пусть С - росток плоской кривой с п компонентами, а С\ - неприводимая кривая. Тогда tn+1 = 1) = (1 - q)P;(tu • ■ •, tn). (1.9) Если у С только одна компонента, то

P^(t = 1) = 1

Это свойство легко вывести из выражения (1.6), но, тем не менее, оно кажется интересным и, например, не выполняется для многочлена Александера.

4. Симметрия. Пусть fia - число Милнора кривой Са, (Са о Ср) -индекс пересечения кривых Са и Ср, ц(С) - число Милнора ростка С. Положим la = /X» + 52(Са о Ср), 6(C) = (/1(C) + п - 1)/2.

Рфа

Известно, что многочлен Александера симметричен в том смысле, что выполнено следующее равенство: при п > 1, и при п = 1.

В диссертадии доказвается обобщение этого равенства, а именно,

На более топологическом языке, fia равняется удвоенному роду узла - линка кривой Са, а (Са о Ср) равняется коэффициенту зацепления соответствующих узлов. Отметим также, что имеет место тождество

5. Связь с гомологиями узлов. Для неприводимых кривых доказывается, что Pg{t) можно связать посредством несложной процедуры с многочленом Пуанкаре для гомологий Хегора-Флоера соответствующего узла. Так как симплектическая топология, стоящая за определением гомологий Хегора-Флоера, весьма далека от алгебраической конструкции ряда Пуанкаре, равенство ответов кажется неожиданным.

В параграфе 5.1 определяется ряд Пуанкаре особенности плоской кривой, и затем мотивный ряд Пуанкаре. Для неприводимых кривых доказывается формула, выражающая мотивный ряд Пуанкаре через обыкновенный ряд Пуанкаре. В заключение в разделе 5.1.4 приводится общая формула для мотивного ряда Пуанкаре, принадлежащая Кампильо, Дельгадо и Гусейн-Заде. Она записана в терминах вложепного разрешения особенности и включает большое количество суммирований по вспомогательным переменным. Остаток главы 5 посвящен упрощению этой формулы, построению алгоритма для эффективного вычисления мотивного ряда Пуанкаре, а также описанию свойств этого ряда.

В параграфе 5.2 во всех подробностях описывается процесс применения формулы Кампильо-Дельгадо-Гусейн-Заде к неособой кривой. Хотя ответ легко вычислить, прямая подстановка в формулу оказывается технически не совсем очевидной, и этот пример может служить моделью для вычислений в общем случае, рассматривающихся в дальнейшем. п

Параграф 5.3 содержит, в основном, комбинаторные утверждения технического характера. Итогом комбинаторной работы служит теорема 14 (стр. 71), описывающая явный алгоритм, позволяющий за конечное время вычислить мотивный ряд Пуанкаре. В важном семействе частных случаев алгоритм немного упрощается, как описывается в лемме 18 (стр. 72). К сожалению, неизвестно, существует ли компактная явная формула для мотивного ряда Пуанкаре, поэтому структура ответа в теореме 14 довольно сложна: он выражен через величины dp(n), производящая функция для которых может быть выписана явно, хотя и не очень компактно. Другая форма записи ответа предлагается в леммах 14 (стр. 67) и 15 (стр. 68): мотивный ряд Пуанкаре выражен через величины ск{п), производящая функция для которых сравнительно простая и разлагается в произведение.

Одна из технических сложностей состоит в том, что ненулевых значений ск{п), вообще говоря, бесконечное количество, поэтому, после их подстановки в лемму 15, получится бесконечное число слагаемых, все из которых, за исключением конечного числа, сократятся. Чтобы сделать алгоритм конечным, необходимо учесть все эти сокращения, что существенно усложняет вид производящей функции.

В параграфе 5.4 алгоритм из теоремы 14 применяется к особенностям, разрешение которых содержит одну, две или три компоненты исключительного дивизора. В ряде частных случаев ответ сравнивается с данными, полученными напрямую.

В параграфе 5.5 доказывается свойство симметрии (теорема 15, стр. 77) для мотивгтого ряда Пуанкаре, обобщающее свойство симметрии, доказанное Кампильо, Дельгадо и Кийеком. Проводится аналогия между теоремой 15 и функциональным уравнением для дзета-функции Капранова. Кроме того, свойство симметрии дает явную оценку для степени приведённого мотивного ряда Пуанкаре по каждой неременной.

Глава 6 посвящена сравнительно новым мощным инвариантам узлов — гомологиям Хегора-Флоера, введённым П. Ожватом и 3. Сабо. Параграф 6.1 содержит основные определения и свойства этой теории гомо-логий, в частности, связь градуированной эйлеровой характеристики с многочленом Алсксандера от нескольких переменных. Свойства полинома Пуанкаре для гомологии Хегора-Флоера имеют много общего со свойствами мотивного ряда Пуанкаре особенности — оба они удовлетворяют свойству симметрии, одинаково ведут себя при забывании компонент зацепления и при специализации в эйлерову характеристику. Эта формальная аналогия наталкивает на мысль о сравнении соответствующих многочленов.

В теореме 20 (стр. 89) доказывается, что для неприводимых особенностей многочлен Пуанкаре для гомологий Хегора-Флоера связан с приведённым мотивным рядом Пуанкаре несложной заменой переменных. Это утверждение следует из того факта, что оба многочлена одним и тем же образом могут быть получены из многочлена Александера и им полностью определяются. Для гомологий Хегора-Флоера алгебраических узлов это было установлено Ожватом и Сабо при помощи разрешения особенностей и пламбинг-конструкции, а для мотивного ряда Пуанкаре неприводимой особенности это вытекает из его определения. Оказывается, совпадение многочленов Пуанкаре не совсем случайно. В диссертации строится фильтрованнный цепной комплекс, тесно связанный с мотивным рядом Пуанкаре, свойства которого полностью аналогичны свойствам комплекса Хегора-Флоера для соответствующего узла. Более того, описанный в утверждении 14 (стр. 93) набор этих свойств полностью определяет градуированные числа Бетти как данного комплекса, так и всех естественно связанных с ним комплексов. Таким образом, конструкция такого комплекса дает более прозрачное доказательство теоремы 20.

Для особенностей с большим количеством компонент (соответственно, зацеплений) гомологии Хегора-Флоера и мотивный ряд Пуанкаре уже нельзя напрямую получить из многочлена Александера, поэтому их связь не удается установить. Тем не менее, в разделе 6.2.3 для серии особенностей ь имеющих две неприводимые компоненты, явно вычисляются как гомологии Хегора-Флоера, так и мотивные ряды Пуанкаре. Ответы получаются похожими, что указывает на возможную связь между ними.

Благодарности

Я благодарен моему научному руководителю Сабиру Меджидовичу Гусейн-Заде за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку, интересные и продуктивные обсуждения и интерес к моей научной работе. Хотел бы выразить благодарности Игнасио Луэнго и Алехандро Мелье-Эрнандесу (университет Комплутеисе, Мадрид), Аптонио Кампи-льо и Феликсу Дельгадо (университет Вальядолида), а также В. Вейсу, А. Лемайе, X. X. Мойяно, Ф. Эрнандо, Е. Кобо, Р. Бланко, Е. Эллис за гостеприимство и многочисленные дискуссии; В. Эбелингу, Ф. Хейнлот и А. Беляковой за возможность прослушать их увлекательные доклады, во многом определившие направленность данной диссертации. Я благодарен всем людям, научившим и привившим мне интерес к математике, н особенности А. Я. Канелн>Белову, С. А. Дориченко, Ю- В. Чеканову, А. Б. Сосинскому, Б. Л. Фейгину, И. М. Парамоновой и А. Л. Городенце-ву. Большое спасибо Г. Гусеву, А. Кустареву, М. Берштейну, Г. Мерзону, С. Шадрину, А. С. Лосеву, В. Н. Рубцову, С. Гукову, А. Буряку, беседы с которыми много для меня проясняли. В заключение хотелось бы поблагодарить всех родных и знакомых за их терпение и понимание, проявленное в процессе моей работы над диссертацией.

2. МОТИВНЫЕМЕРЫ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горский, Евгений Александрович, 2009 год

1. D. Abramovich, К. Karu, К. Matsuki, J. Wlodarczyk. Torification and Factorization of Birational Maps. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no.3, 531-572.

2. N. A'Campo. La fonction zeta d'une monodromie. Comment. Math. Helv., 50 (1975), 233-248.3} В. И. Арнольд, A. H. Варченко, С. M. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. М. Наука, 1984.

3. V. Batyrev, D. Dais. Strong McKay correspondance, string-theoretic Hodge numbers and mirror symmetry. Topology 35 (1996), no. 4, 901929.

4. V. Batyrev, L. Borisov. Mirror duality and string-theoretic Hodge numbers. Invent. Math. 126 (1996), no. 1, 183-203.

5. A. Beliakova. Simplification of combinatorial knot Floer homology. arXiv:math.GT/0705.0669.

6. F. Bittner. The universal Euler characteristic for varieties of characteristic zero. Compos. Math. 140 (2004), no. 4, 1011-1032.

7. M. Blickle. A shourt course in geometric motivic integration. arXivrmath. AG/0507404

8. С. M. Гусейн-Заде. О мотивном интегрировании и его аналогах.В "Глобус. Общематематический семинар. Выпуск 2. "под ред. М. А. Цфасмана и В. В. Прасолова. М.: МЦНМО, 2004.

9. С. М. Гусейн-Заде, Ф. Дельгадо, А. Кампильо. Интегралы по отношению к эйлеровой характеристике по пространствам функций и многочлен Александера. Тр. МИАН, 2002, 238, 144-157.

10. A. Campillo, F. Delgado, S. М. Gusein-Zade. Multi-index filtrations and motivic Poincare series. Monatshefte fur Mathematik. 150 (2007), no.3, 193-210.

11. С. M. Гусейн-Заде, Ф. Дельгадо, А. Кампильо. Расширенная полугруппа особенности плоской кривой. Тр. МИАН, 1998, 221, 149-167.

12. С. М. Гусейн-Заде, Ф. Дельгадо, А. Кампильо. О монодромии особенности плоской кривой и ряде Пуанкаре её кольца функций. Функц. анализ и его прил., 1999, 33:1, 66-68.

13. С. М. Гусейн-Заде, Ф. Дельгадо, А. Кампильо. Полином Александера особенности плоской кривой и кольцо функций на ней. УМН, 1999, 54:3 (327), 157-158.

14. С. М. Гусейн-Заде, Ф. Дельгадо, А. Кампильо. Интегрирование по эйлеровой характеристике по пространству функций и полином Александера особенности плоской кривой. УМН, 2000, 55:6 (336), 127-128.

15. A. Campillo, F. Delgado, S. М. Gusein-Zade. The Alexander polynomial of a plane curve singularity and integrals with respect to the Euler characteristic. Internat. J. Math. 14 (1) (2003), 47-52.

16. A. Campillo, F. Delgado, S. M. Gusein-Zade. Poincare series of a rational surface singularity. Inv. Math. 155 (2004), 41-53.

17. A. Campillo, F. Delgado, S. M. Gusein-Zade. Poincare series of curves on rational surface sigularities. Comm. Math. Helv. 80 (2005), 95-102.

18. S. M. Gusein-Zade, I. Luengo, A. Melle-Hernandez. An exponential function on the set of varieties.

19. S. М. Gusein-Zade, I. Luengo, A. Melle-Hernandez. A power structure over the Grothendieck ring of varieties. Math. Res. Lett. 11 (2004), no.l, 49-57.

20. С. M. Гусейн-Заде, И. Луенго, А. Мелье-Эрнандез Интегрирование по пространству непараметризованных дуг и мотивные аналоги дзета-функции монодромии. Тр. МИАН, 2006, 252, 71-82.

21. A. Campillo, F. Delgado, К. Kiyek. Gorenstein property and symmetry for one-dimensional local Cohen-Macaulay rings. Manuscripta Math. 83 (1994), no. 3-4, 405-423.

22. E. Casas-Alvero. Singularities of plane curves. LMS Lect. Notes Series 276, Cambridge University Press (2000).

23. F. Delgado, S. M. Gusein-Zade. Poincare series for several plane divisorial valuations. Proc. Edinburgh Math. Soc. 46 (2003), 501-509.

24. В. Данилов, А. Хованский. Многогранники Ньютона и алгоритм для вычисления чисел Ходжа-Делиня. Изв. АН СССР, Серия математическая, 1986, 50:5, 925-945.

25. P. Deligne. Theorie de Hodge I. Proc. Internat. Congress Math. (Nice, 1970), v.l, p. 425-430; II - Publ. Math. IHES, 1971, v. 40, p. 5-58; III - Publ. Math. IHES, 1972, v. 44, p. 5-77.

26. J. Denef, F. Loeser. Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration. Inventiones Math. 135 (1999), no.l, 201-232.

27. J. Denef, F. Loeser. Motivic integration, quotient singularities and the McKay correspondence. Compositio Math. 131 (2002), no. 3, 267-290.

28. J. Denef, F. Loeser. Motivic Igusa zeta functions. J. Alg. Geom. 7 (1998), 505-537.

29. J.-M. Droz. Effective computation of knot Floer homology. arXiv:inath.GT/0803.2379.

30. N. Dunfield, S. Gukov, J. Rasmussen.The Superpolynomial for Knot Homologies. J. Experimental Math. 15 (2006), 129-159

31. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade. Monodromies and Poincare series of quasihomogeneous complete intersections. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 74 (2004), 175-179.

32. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade. On the arc filtration for the singularities of Arnold's lists. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 138 (2005), 307314.

33. В. Эбелинг, С. M. Гусейтг-Заде. Фильтрация, определённая дугами на пространстве. УМН, 2006, 61:2, 163-164.

34. D. Eisenbud, W. Neumann. Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities. Ann. of Math. Studies 110. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1985.

35. H. Gillet, C. Soule. Descent, Motives and K-theory. J. Reine Angew. Mathematik 478 (1996), 127-176.

36. F. Guillen, V. Navarro Aznar. Un critere d'extension d'un foncteur defini sur les schemas lisscs. Publ. math. IHES 95 (2002) 1, 1-91.

37. M. Iiedden. On knot Floer homology and cabling. PhD thesis, Columbia University, 2005.

38. M. Hedden. On knot Floer homology and cabling II. arXiv:0806.2172v2.

39. F. Heinloth. A note on functional equations for zeta functions with values in Chow motives. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 57 (2007), no. 6, 19271945.

40. X. Хиронака. Разрешение особенностей алгебраических многообразий над полями характеристики нуль. Математика, 1965, т. 9, вып. 6, с. 2-70; 1966, т. 10, вып. 1, с. 3-89; т. 10, вып. 2, с. 3-58.

41. A. Iqbal, N. Nekrasov, A. Okounkov, С. Vafa. Quantum Foam and Topological Strings. J. High Energy Phys. 2008, no. 4, 011, 47 pp.

42. M. Khovanov. A categorification of the Jones polynomial. Duke Math. J. 101 (2000), 359-426.

43. К. Кодаира. О компактных комплексных аналитических поверхностях, Т, Математика 6:6 (1962), 19-56.

44. P. Kronheimer, Т. Mrowka. Gauge theory for embedded surfaces, I. Topology 32 (1993), no. 4, 773—826.

45. A. G. Kouchnirenko. Polyederes de Newton et nombres de Milnor. -Invent. Math. 32 (1976), 1-31.

46. M. Kontsevich, Y. Soibelman. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations. arXiv:0811.2435.

47. M. Larsen, V. Lunts. Motivic measures and stable birational geometry. Mosc. Math. J. 3 (2003), no. 1, 85-95.

48. M. Larsen, V. Lunts. Rationality criteria for motivic zeta-functions. Compos. Math. 140 (2004), no. 6, 1537-1560.

49. A. Lemahieu. Poincare series and zeta functions. PhD thesis, Katholieke Universiteit Leuven, 2007.

50. R. Lipshitz. A cylindrical reformulation of Heegard Floer homology. Geom. Topol. 10 (2006), 955-1097.

51. F. Loeser. Fonctions d'Igusa p-adiques et polynomes de Bernstein. Amer. J. Math. 110 (1988), 1-22.

52. F. Loeser. Fonctions d'Igusa p-adiques, polynomes de Bernstein et polyedres de Newton. J. reine angew. Math. 412 (1990), 75-96.

53. E. Looijenga. Motivic measures. Seminaire Bourbaki, 1999-2000 (874), 2000.

54. I. G. Macdonald. The Poincare polynomial of a symmetric product. Proc. Camb. Phil. Soc. 58 (1962), 563-568.