Молекулярно-динамическое исследование интенсивной пластической деформации при отражении ударной волны от свободной поверхности металла с нанорельефом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Эбель Андрей Александрович

• Эбель Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Эбель Андрей Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУРНОЙ ДИНАМИКИ

1.1. Метод молекулярной динамики

1.2. Потенциалы межатомного взаимодействия

1.3. Ударные волны в твердых телах

1.4. Откольное разрушение металлов при ударном воздействии

1.5. Ударно-волновое компактирование нанопорошков

1.6. Молекулярно-динамические исследования ударно-волновых явлений в конденсированных средах

1.7. Выводы по главе

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ НАНОРЕЛЬЕФА СВОБОДНОЙ

ПОВЕРХНОСТИ НА ПОРОГ ТЫЛЬНОГО ОТКОЛА

2.1. Постановка молекулярно-динамической задачи о высокоскоростном соударении при наличии нанорельефа на

тыльной поверхности мишени

2.2. Влияние нанорельефа на откольную прочность

2.3. Влияние нанорельефа на поля напряжений

2.4. Развитие неустойчивости Рихтмайера-Мешкова при наличии нанорельефа на поверхности мишени

2.5. Скорость тыльной поверхности при ударном воздействии

2.6. Зависимость эффекта увеличений от порога откола от геометрии выступов

2.8. Эволюция пластической деформации и температуры при отражении импульса ударного сжатия от поверхности с нанорельефом

2.9. Выводы по главе

ГЛАВА 3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ВЫХОДЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТЬ МЕТАЛЛА С ОСАЖДЕННЫМИ НАНОЧАСТИЦАМИ

3.1. Постановка молекулярно-динамической задачи о высокоскоростном соударении при наличии осажденных

наночастиц на тыльной поверхности мишени

3.2. Влияние осажденных наночастиц на откольную прочность

3.3. Влияние осажденных наночастиц на поля напряжений

3.4. Развитие неустойчивости Рихтмайера-Мешкова при наличии осажденных наночастиц на тыльной поверхности мишени

3.5. Эволюция пластической деформации и температуры при отражении импульса ударного сжатия от поверхности с осажденными наночастицами

3.6. Выводы по главе

ГЛАВА 4. УДАРНО-ВОЛНОВОЕ КОМПАКТИРОВАНИЕ НАНОЧАСТИЦ НА МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПОДЛОЖКЕ В НАНОСТРУКТУРИРОВАННОЕ ПОКРЫТИЕ

4.1. Постановка молекулярно-динамической задачи по компактированию наночастиц на металлической подложке

4.2. Анализ параметров ударно-волнового воздействия, приводящих

к компактированию медных наночастиц на алюминиевой подложке

4.3. Влияние размера наночастиц на компактирование

4.4. Компактирование никелевых наночастиц на алюминиевой подложке

4.5. Баланс сил инерции и адгезии при компактировании наночастиц

4.6. Анализ параметров лазерного облучения, необходимых для компактирования наночастиц

4.7. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Молекулярно-динамическое исследование интенсивной пластической деформации при отражении ударной волны от свободной поверхности металла с нанорельефом»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время развиваются методы генерации ультракоротких ударных волн в твердых телах интенсивным лазерным излучением пико- и фемтосекундной длительности [1-6]. С точки зрения физики конденсированного состояния важно, что такое излучение может создавать импульсы ударного сжатия длительностью десятки пикосекунд и амплитудой от единиц до десятков гигапаскалей [3-6]. Импульс ударного сжатия представляет собой ударную волну и следующую за ней волну разрежения. Интерес представляет взаимодействие таких импульсов с тыльной поверхностью облучаемого твердого тела, которое может сопровождаться явлением откола [4-8], а также выбросом частиц вещества за счет развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова [9-13]. Откольное разрушение твердых тел наблюдается при отражении импульса ударного сжатия от свободной поверхности, когда возникает импульс растяжения, характеризующийся отрицательным давлением. Отрицательное давление инициирует образование, рост и объединение микро- или наноразмерных полостей. При отражении импульсов сжатия длительностью в десятки пикосекунд скорости деформации достигают величин порядка обратных наносекунд, что обеспечивает значения откольной прочности близкие к теоретическому пределу [4,5,7]. Быстрота протекающих процессов и малая толщина мишени позволяют напрямую использовать метод молекулярной динамики (МД) для описания распространения и отражения импульсов сжатия [14-21].

При анализе устойчивости к тыльному отколу важным является как прочность материала по отношению к действию растягивающих напряжений, так и соотношение между амплитудами падающего и отраженного импульсов. Прочность металлов к растяжению интенсивно исследовалась при помощи МД моделирования, в том числе исследовалось влияние включений [14,22,23], полостей [17,24], границ зерен [16,20,21], двойников.

Проблема уменьшения амплитуды волны растяжения, формирующейся у свободной поверхности, также заслуживает внимания. Наличие нанорельефа или осажденных наночастиц на свободной поверхности может влиять на ослабление отраженной ударной волны за счет потерь энергии на пластическую деформацию. Существуют работы по МД моделированию выброса струй с наноструктурированной тыльной поверхности металлов под действием сильных ударных волн [11-13]. В то же время, актуальным остается проведение МД исследований влияния рельефа тыльной поверхности или осажденных наночастиц на порог откола.

Импульсы ударного сжатия могут использоваться для консолидации порошков металлов и других материалов [25,26]. Специфика сжатия ударной волной состоит в локализации зоны высоких температур вдоль поверхности компактируемых частиц, что позволяет сохранить микроструктуру их внутренних частей. Такое сжатие может приводить к формированию микро-или наноструктурированных металлов [27,28], неметаллических соединений [29-32] и композитов [33-36]. В настоящее время ударная волна для компактирования порошка генерируется детонацией заряда взрывчатого вещества [32-34], либо высокоскоростным ударником, ускоряемым газовой пушкой [27,28,31,35] или магнитным полем [29], либо мощным лазерным облучением слоя вспомогательного материала [31,37]. При этом сам порошок помещается в контейнер внутри ударно нагружаемой сборки, предотвращающей разлет частиц. При уменьшении размеров частиц сила адгезии становится достаточно существенной, чтобы предотвращать разлет частиц без использования контейнера. Актуальным является исследование возможности компактирования наночастиц, нанесенных на поверхность тонкой металлической фольги, ударными волнами инициированными облучением противоположной поверхности фольги.

Цель диссертационной работы составило молекулярно-динамическое исследование интенсивной пластической деформации при отражении

ударной волны от свободной поверхности металла с нанорельефом или осажденными наночастицами, а также ее влияния на порог откола и возможность ее использования для компактирования наночастиц в нанокристаллическое покрытие. Частными задачами работы были:

1. Исследование влияния нанорельефа свободной поверхности твердотельного образца на порог откола при отражении пикосекундных импульсов ударного сжатия от этой поверхности;

2. Исследование интенсивной пластической деформации при отражении импульса ударного сжатия от поверхности с осажденными наночастицами и их влияния на порог откола;

3. Анализ возможности компактирования наночастиц, свободно лежащих на подложке, ударными волнами, вышедшими из подложки.

Метод исследования. Исследование рассматриваемых в диссертации процессов проводилось при помощи численного эксперимента. В качестве метода расчетов был выбран метод классической молекулярной динамики. Молекулярно-динамическое моделирование осуществлялось с помощью пакета LAMMPS (Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator) [38]. Визуализация и анализ данных выполнялись при помощи программы OVITO (Open Visualization Tool) [39]. Визуализация дефектной структуры осуществлялась на основе центрально-симметричного параметра [40], который для идеальной ГЦК решетки равен нулю, а отличие от нуля показывает степень дефектности; также применялся алгоритм "Common neighbor analysis" [41,42]. Интенсивность сдвиговой деформации рассчитывалась по смещению атомов [43,44]. Площадь свободной поверхности, ограничивающей занятые атомами области от пустот, находилась при помощи алгоритма "Construct surface mesh" [45].

Научная новизна:

1. Впервые показано, что наличие нанорельефа свободной поверхности может приводить к увеличению порога откольного разрушения при

воздействии импульсов ударного сжатия пикосекундной длительности за счет ослабления отраженных импульсов растяжения вследствие потерь энергии на интенсивную пластическую деформацию элементов нанорельефа.

2. Показано, что наличие на поверхности осажденных наночастиц приводит при отражении ударных волн от поверхности к существенным потерям энергии на интенсивную пластическую деформацию, ослаблению отраженных импульсов сжатия и увеличению порога откола по отношению к импульсам ударного сжатия пикосекундной длительности.

3. Впервые продемонстрирована возможность ударно-волнового компактирования слоя наночастиц, лежащих на поверхности подложки и связанных с ней только силами адгезии, в нанокристаллическое покрытие при воздействии серии ударных волн, вышедших из подложки. Найдены условия лазерного облучения противоположной поверхности подложки, которые могут использоваться для генерации серии ударных волн и компактирования наночастиц.

Практическая значимость работы. Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что обнаруженный механизм повышения устойчивости к отколу может использоваться при разработке защитных конструкций. Предложенный метод компактирования наночастиц на поверхности подложки может использоваться для нанесения защитных и функциональных покрытий.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обусловлена использованием хорошо апробированного метода МД и потенциалов межатомного взаимодействия, а также хорошо апробированных комплексов программ для проведения расчета и анализа результатов, соответствием значений откольной прочности алюминия и меди при отражении ударной волны от плоской свободной поверхности экспериментальным данным. Помимо этого, обнаруженные явления и закономерности могут быть полностью объяснены на основе существующих

теоретических представлений в области физики конденсированного состояния.

Личный вклад автора состоит в участии в формулировке цели и задач исследования, в выборе метода решения задач, поставленных в работе, в моделировании процесса интенсивной пластической деформации при отражении ударной волны от свободной поверхности металла с нанорельефом и от поверхности с осажденными наночастицами, включая проблему компактирования наночастиц, анализе полученных результатов, подготовке научных публикаций по результатам работы, апробации результатов на научных конференциях, в формулировке выводов по результатам исследования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство того, что наличие нановыступов на поверхности металла способно увеличить порог тыльного откола по отношению к импульсам ударного сжатия пикосекундной длительности из-за ослабления отраженной волны растяжения вследствие интенсивной пластической деформации выступов. Увеличение порога может достигать 40% по амплитуде ударной волны и является наибольшим при сопоставимости высоты нановыступов и ширины импульса сжатия, а также при отношении поперечного сечения выступа к общей площади поверхности порядка 0,3-0,4.

2. Заключение о том, что осажденные на поверхность металла наночастицы повышают порог откольного разрушения по отношению к пикосекундным импульсам ударного сжатия. Наиболее сильно на величину эффекта влияет размер ближайших к поверхности наночастиц. Максимальный эффект наблюдается при соприкосновении соседних столбцов наночастиц, то есть при плотном покрытии поверхности наночастицами.

3. Развитие неустойчивости Рихтмайера-Мешкова при большой высоте (превышающей ширину импульса сжатия) или площади поперечного сечения нановыступов, а также при большом диаметре наночастиц ограничивает

увеличение порога тыльного откола. Неустойчивость приводит к нарушению целостности мишени за счет выброса струй вещества.

4. Заключение о том, что воздействие последовательных импульсов ударного сжатия на поверхность подложки со слоем наночастиц, удерживаемых адгезией, может привести к постепенному компактированию слоя в наноструктурное покрытие. Отсутствие выброса наночастиц связано с действием силы адгезии и развитием интенсивной пластической деформации под действием импульса ударного сжатия.

5. Результаты МД моделирования ударно-волнового компактирования наночастиц меди с диаметрами 6 нм и 12 нм и наночастиц никеля диаметром 6 нм. Для создания необходимого ударно-волнового нагружения можно использовать серии последовательных субпикосекундных импульсов мощного лазерного излучения, действующего на поверхность подложки, противоположную наночастицам.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены и обсуждены на следующих научных конференциях: 29th Nordic Seminar on Computational Mechanics (Гётеборг, Швеция, 2016), VI Всероссийской конференции по наноматериалам (Москва, 2016), XXXI International Conference on Equations of State for Matter (Эльбрус, 2016), 21st European Conference on Fracture (Катания, Италия, 2016), XXXII International Conference on Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter (Эльбрус, 2017), LVIII международной конференции «Актуальные проблемы прочности» (Пермь, 2017), 14th International Conference on Fracture (Родос, Греция, 2017), LIX международной конференции «Актуальные проблемы прочности» (Тольятти, 2017), 1st ECCOMAS Thematic Conference on Simulation for Additive Manufacturing (Мюнхен, Германия, 2017), 30th Nordic Seminar on Computational Mechanics (Копенгаген, Дания, 2017).

Публикации. Результаты, приведенные в диссертации, опубликованы в 13 работах, из которых 3 публикации в изданиях рекомендованных ВАК

РФ для публикации результатов диссертационных работ и приравненных к ним [А1-А3], 1 глава в монографии [А4], 9 тезисов и статей в сборниках трудов и докладов международных и всероссийских научных конференций [А5-А13].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка авторских публикаций по теме диссертации и списка цитируемой литературы. Объем диссертационной работы составляет 162 страницы, включая 43 рисунка, 7 таблиц, и 173 источников в списке цитируемой литературы.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУРНОЙ ДИНАМИКИ

1.1. Метод молекулярной динамики

Метод молекулярной динамики (МД) - это метод, отслеживающий изменение системы взаимодействующих атомов или частиц по времени с помощью численного интегрирования их уравнений движений [46-48]. Метод основан на математическом моделировании поведения системы частиц или атомов с заданным условием взаимодействия. В результате численного решения уравнений движения находятся динамические траектории частиц, а затем, средние от любых динамических переменных.

Впервые метод МД впервые был предложен Олдером и Вайнврайтом [49]. Данное название метод получил, так как под твердыми сферами понимались молекулы, а в дальнейшем только атомы [50,51]. В первых работах исследовалось выполнение общих закономерностей движения классической системы многих частиц [51,52]. Метод МД применяется для качественного исследования фазовых переходов [53,54] и метастабильных состояний жидкости [55], а также и для исследования количественных характеристик систем, например определения уравнения состояния, расчета внутренней энергии и корреляционных функций [56,57]. С помощью МД для жидкостей и расплавов солей проводился анализ временных корреляционных функций скорости, вязких потоков импульса, тепла и др. [58,59]. МД применим для вычисления коэффициентов переноса сжиженных газов и жидкостей [58-60].

МД применяется в физике твердого тела для изучения дефектов в кристаллах, варьирующихся от точечных (вакансии, дефекты внедрения) до линейных (дислокации) и плоских (межфазные, междоменные границы и т.д.) [61]. С помощью МД исследуют поверхности кристалла с учетом

тепловых эффектов [62]. Также МД применяется для изучения кластеров, величина которых варьируется от нескольких атомов до нескольких тысяч [63,64]. Среди прочего исследуется столкновение кластеров и наночастиц с поверхностью твердых тел [22,23].

Основной принцип метода МД состоит в компьютерной реализации динамического поведения каждой частицы и их взаимодействия. Применение вычислительных систем параллельной архитектуры и многопроцессорных вычислительных систем позволило применять метод МД для систем, содержащих 107 -109 частиц [65]. В основе метода МД лежат модельные представления, такие как рассмотрение частиц в качестве материальных точек с фиксированной массой и описание их движения классическими уравнениями Ньютона. Существует модификация метода, в которой учитывается решение уравнений квантовой механики Шредингера [66]. Такая модификация называется квантовой молекулярной динамикой и рассматриваться здесь не будет.

Рассмотрим консервативную систему из N частиц с массами т{,

которые характеризуются в момент времени ? радиус-вектором г и

скоростью V\ = —. Запишем гамильтониан в следующем виде: &

н (г, Р)=Х

N ((Р, )2 Л

I=1

2т,

+ и(Г), (1.1)

где р1 = тV - импульс частицы, и(Г) - потенциальная энергия системы. Заметим, что в консервативной системе гамильтониан не зависит от времени и его значение равно полной энергии.

Согласно уравнениям движения Гамильтона:

дН (г, р)

& дрг

(1.2)

АКг _ дН (г, р) А дг

(1.3)

получаем

Аг__К

А тг '

ф, _ ди (г;) А дгг

Сила, действующая на частицу определяется как

ди (гг)

(1.4)

(1.5)

К

дг

(16)

тогда из (1.4) и (1.5) получаем второй закон Ньютона

_ К,

А2 т г '

(1.7)

или

т

А

К.

(1.8)

Уравнения движения также можно получить через функцию Лагранжа

Ь

г дг Л 1 ^ (дг ^

Г,

1

_2I т} -и(г)'

дг у

А дЬ

А

д

дг удг у

дЬ дг

(19) (1.10)

Траектории частиц получаются интегрированием уравнений движения, используя начальные условия для координат частиц и их скоростей:

г*(0) _ г;, (1.11)

^ (0) _ ?г°. (1.12)

Существуют различные методы интегрирования уравнения движения, например, метод предиктора-корректора [49] и др. Все методы основаны на конечных разностях, то есть время изменяется дискретно с некоторым шагом

At. В МД, как правило, используется алгоритм Верле (неявная симметрическая разностная схема) [48,56]. Также для решения уравнений движений используется метод Эйлера с полушагом, что применено в работах [67,68]. Для уменьшения ошибки дискретизации возможно применение методов более высокого порядка. Рассчитываемые далее статистические величины (температура, энергия и др.) не зависят от выбранного метода. Для уменьшения погрешности порой предпочтительнее не замена метода интегрирования, а уменьшение временного шага интегрирования At. Одной из проверок достоверности полученных результатов является проверка выполнения закона сохранения энергии [67].

Рассмотрим алгоритм Верле. Разложим в ряд Тейлора положения частицы г ^ - At) и г ^ + At) вблизи момента времени t:

г, (Г -А) = п «) А +

дt

1 д2ги-At) д 2 1 д3Я(t-АО д 3 4л

+--^—- At2---^—At3 + О (At4), (1.13)

2 дt2 6 дt3

а«+At)=? ^)+ ^+

дt

1 д2 г и + At ).2 1 д3г ^ + Ы). 3 4л /11/1Л +--^—- At2 +--^—- At3 + О (At4). (1.14)

2 д^ 6 д^

В - дг _ д 2Гг г д3г С

Введем для частицы скорость = —-, ускорение а1 = —2- и рывок о, = —3-. С

дt дt дt

учетом этого перепишем уравнения (1.13) и (1.14):

г,^ - At) = тт1 ^) - V, (t)At +1 аг ^)At2 -1 Ьг ^)At3 + О^4), (1.15)

2 6

^ ^ + At) = ^ ^) + V, ^ )At +1 а ^ )At2 +10 ^ ^3 + O(At4). (1.16)

2 6

Сложим уравнения (1.15) и (1.16):

гг ^ - At) + ^(t + At) = 2^(г) + аг ^)At2 + О^4). (1.17)

Преобразовав, получим

Гг (г + Аг) _ 2гг (г) - Гг (г - Аг) + аг (г )Аг2 + 0( Аг4). (1.18)

Таким образом, для вычисления положения частицы г (г + Аг) не требуется знание значения скорости. При этом скорость частицы, необходимую для расчета кинетической энергии и температуры, можно получить из центральной разностной схемы:

гг (г + Аг) - ^ (г - Аг)

V (г)

2Аг

(1.19)

На практике используется модифицированный алгоритм Верле, преимущество которого состоит в том, что он является самостартующим. Выразим из уравнения (1.19) положение частицы г (г - Аг):

гг (г - Аг) _ гг (г + Аг) - 2ц (г)Аг, (1.20)

и подставим в (1.18):

к (г + Аг) _ 2п (г) - (г (г + Аг) - 2?. (г)Аг) + аг (г)Аг2 + 0(Аг4). (1.21) Отсюда выразим положение частицы г (г + Аг):

гг (г + Аг) _ гг (г) + V. (г )Аг +1 аг (г )Аг2 + 0(Аг4).

(1.22)

Для вычисления скорости воспользуемся выражением для ускорения через правую разностную схему:

V,

а (г) _

Аг г + —

V (г)

Аг 2

(1.23)

Из уравнения (1.23) получаем расчетные формулы для скорости частицы:

Аг г + —

(г) + 2 а (г )Аг,

(г + Аг)

V,

Аг" г + —

1 _

+ — а . 2

г

Аг г + —

V 2 у

Аг.

(1.24)

(1.25)

Найдем ускорение частицы а(г):

ад(126)

Подставим (1.7) в формулу (1.26)

а, а)=т. (1.27)

т,.

С учетом (1.6), получаем

а, (t) = . (1.28)

тг

Итак, программная реализация МД заключается в следующих этапах: задание начальных параметров и граничных условий; нахождение результирующей силы, действующей на частицы; решение уравнений движения частицы; вычисление средних величин; дополнительные исследования с использованием вспомогательных программ.

На первом этапе задаются начальные и граничные параметры моделирования, то есть начальные координаты и скорости частиц и граничные условия для расчетной области. Координаты задаются в зависимости от структуры вещества в соответствие с типом кристаллической решетки. Выбор размеров и формы образца определяется с одной стороны подробным рассмотрением моделируемого явления, с другой стороны тем, что увеличение числа частиц приводит к возрастанию времени расчетов. В начальный момент времени для каждой частицы скорость задается суммой из макроскопической скорости и случайной компоненты, например определяемой по распределению Максвелла [70,71]:

/ (V) = 4п где кв - постоянная Больцмана.

3

í V

т

V 2пкВТг У

2квТ, (1.29)

В зависимости от рассматриваемой задачи моделирования используют различные типы граничных условий расчетной области: жесткие, гибкие, вязкие, свободные, периодические.

При жестких граничных условиях координаты граничных частиц фиксируются, например в узлах идеальной решетки или в узлах упруго-искаженной решетки. При этом предполагается, что достаточно большое количество подвижных приграничных слоев частиц компенсирует влияние неподвижных внешних слоев [67].

В гибких граничных условиях реализуется упругая реакция поверхностных частиц на смещение [67,72]. Для этого к каждой частице поверхностного слоя прикладывается упругая сила, пропорциональная смещению. В случае вязких граничных условий прикладывается вязкая сила, пропорциональная скорости смещения частиц [73].

Для свободного типа граничных условий частицы поверхностного слоя не фиксируются, и прикладываемая сила равна нулю, то есть частицы поверхностного слоя контактируют с вакуумом [69,74,75].

Периодический тип граничных условий реализуется при условии наличия в данном направлении полной идентичности исследуемого объекта с некоторым периодом [67,74]. С базовой ячейкой соседствуют ячейки, в которых атомы движутся точно так же, как и в ячейках на противоположной поверхности базовой ячейки. В этом направлении размер расчетной области равен соответствующему размеру базовой ячейки, то есть периоду идентичности, что позволяет имитировать бесконечную протяженность образца в рассматриваемом направлении.

На втором этапе по формуле (1.6) вычисляются силы, действующие на частицы. На третьем этапе проводится численное интегрирование уравнений движений. Вычисляются радиус-вектор частицы по формуле (1.21), скорость частицы по формулам (1.24), (1.25), ускорение частицы по формуле (1.27) или (1.28). По второму и третьему этапам осуществляется цикл, пока не

достигнут соответствующий момент времени. При этом шаг по времени составляет 10-13 -10-15 с, он выбирается так, чтобы не накапливались ошибки округления.

Для ускорения расчета применяется распараллеливание, при этом применяются алгоритмы декомпозиции по пространству [76,77]. Осуществляется расчет сетки и разбивка на пространственные участки, которые распределяются между процессорами. После этого обрабатываются граничные и смежные им ячейки, происходит обмен информацией между процессорами, затем происходит расчет в остальных ячейках, производится пересчет координат и привязка частиц к новым ячейкам.

В МД моделировании применяются различные пакеты. LAMMPS (Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator) нашел широкое применение в МД моделировании [38]. В рамках LAMMPS реализованы различные дополнительные утилиты, в частности учтены различные аспекты многочастичных потенциалов [78], различные способы расчета тензоров деформаций и напряжений [79] и многое другое. В пакете LAMMPS реализовано различное распараллеливание расчетов МД [38,80,81].

На четвертом этапе вычисляются средние значения физических величин. На основе полученных траекторий частиц r (t), pt (t) вычмисляются термодинамические и кинетические данные системы частиц за счет усреднения по времени вдоль классической траектории системы. Например, среднее по Гиббсу соответствующей функции динамических переменных, r (t), p (t):

1 t0 +At

f=]& 17 J f ((t)' p('))' (1'30)

t0

где At - интервал усреднения. При этом предполагается, что рассматривается эргодическая система, то есть фазовые средние совпадают с временными.

В МД температура системы вводится через удельную среднюю кинетическую энергию по ансамблю частиц. Значение кинетической энергии для данного момента времени:

1 М

Е ^) = ™ I т^«). (1.31)

2 м ,=1

Воспользуемся связью кинетической энергии системы и температуры из статистической физики:

Е ^) = 3 квТ ^). (1.32)

Далее выразим температуру из (1.31)

2

Т ($) = —Е ^) (1.33)

3кв

и подставим кинетическую энергию (1.31), получаем температуру в качестве макроскопической характеристики системы N частиц:

1 N

Т а) = ——У ту2и). (1.34)

^7 3ЖВ £ 1 Л) у )

Проведем усреднение по времени по (1.30), получаем значение температуры в МД:

<T(t) >= ш-Ь • (1-35)

В расчетах применяются различные замкнутые системы, например, постоянны по времени энергия E, объем системы V и число частиц N (NVE - статистический ансамбль частиц) или температура T, объем системы V и число частиц N (NVT - статистический ансамбль частиц) [82,83]. Также применяется в МД ансамбль, в котором постоянно число частиц N, давление P и энтальпия H (NPH - ансамбль) [84]. В изучении структурных фазовых и полиморфных переходов в твердых телах, аморфизации и других структурных преобразований применяются ансамбли

t0+Дг n

статистической механики с постоянным приложенным тензором напряжения с: NaH [85], NaT [66].

В соответствующих ансамблях для поддержания температуры применяются методы термостатирования Берендсена [86], Нозе-Гувера [66,87] или пересчета скоростей [88]. Метод Берендсена [86] корректирует скорость изменения температуры по времени:

d^Vil (1.36)

dt т т

где T0 - заданное значение температуры, тт - временная постоянная.

Согласно (1.34) температура пропорциональна квадрату скорости, поэтому контролируется не температура, а скорость с помощью умножения на коэффициент:

Я

\

л At 1 + —

т

T т0 -1

T

(1.37)

т У1

В данном алгоритме скорость теплообмена может регулироваться для достижения конкретных целей, например, для уравновешивания системы в начальном состоянии. Но при этом подавляется флуктуация кинетической энергии, что приводит к нарушению канонического ансамбля, поэтому выборка неточная.

Метод масштабирования скоростей [88], в отличие от термостата Берендсена, за счет дополнительного стохастического члена позволяет использовать термостат с корректным каноническим ансамблем:

dE = (E0 - E) * + 2 EE0 *W, (1.38)

тт V nf Фт

где Е0 - заданное значение кинетической энергии, соответствующее температуре Т0, п^ - число степеней свободы, йШ - винеровский случайный процесс.

Если требуется применения термостата не при расчете начального состояния, а в процессе изменения параметров, то применяется метод Нозе [66], модифицированный Гувером [87]. Здесь учитываются потери на трение. Сила трения пропорциональна скорости частицы:

?тр = Л, (1.39)

где ¡л - коэффициент трения, изменение по времени которого определяется следующим образом:

^ = Е - Ео. (1.40)

т

Для поддержания давления применяются баростаты. Баростат Берендсена [86] применяется для поддержания постоянного давления, аналогично термостату Берендсена:

тр р - р

тр=(1.41)

т тр

где тр - временная постоянная. Здесь давление Р0 в общем случае тензорная величина, которая вычисляется как

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Эбель Андрей Александрович, 2018 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Qian, Z. Pulsetrain-burst mode, ultrafast-laser interactions with 3D viable cell cultures as a model for soft biological tissues / Z. Qian, A. Mordovanakis, J.E. Schoenly, A. Covarrubias, Y. Feng, L. Lilge, R.S. Marjoribanks // Biomedical Optics Express. - 2014. - V. 5, №1. -P. 208-222.

2. Starikov, S.V. Laser ablation of gold: Experiment and atomistic simulation / S.V. Starikov, V.V. Stegailov, G.E. Norman, V.E. Fortov, M. Ishino, M. Tanaka, N. Hasegawa, M. Nishikino, T. Ohba, T. Kaihori, E. Ochi, T. Imazono, T. Kavachi, S. Tamotsu, T.A. Pikuz, I.Y. Skobelev, A.Y. Faenov // Letters to Jounal of Experimental and Theoretical Physics. -2011. - V. 93, №11. - P. 642-647.

3. Inogamov, N.A. Electron-ion relaxation, phase transitions, and surface nano-structuring produced by ultrashort laser pulses in metals / N.A. Inogamov, V.V. Zhakhovsky, Yu.V. Petrov, V.A. Khokhlov, S.I. Ashitkov, K.V. Khishchenko, K.P. Migdal, D.K. Ilnitsky, Yu.N. Emirov, P.S. Komarov, V.V. Shepelev, C.W. Miller, I.I. Oleynik, M.B. Agranat, A.V. Andriyash, S.I. Anisimov, V.E. Fortov // Contributions to Plasma Physics. - 2013. - V. 53, №10. - 2013. - P. 796-810.

4. Ashitkov, S.I. Behavior of aluminum near an ultimate theoretical strength in experiments with femtosecond laser pulses / S.I. Ashitkov, M.B. Agranat, G.I. Kanel, P.S. Komarov, V.E. Fortov // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. - 2010. - V. 92, №8. - P. 516-520.

5. Ashitkov, S.I. Achievement of ultimate values of the bulk and shear strengths of iron irradiated by femtosecond laser pulses / S.I. Ashitkov, P.S. Komarov, M.B. Agranat, G.I. Kanel, V.E. Fortov // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. - 2013. - V. 98, №7. -P. 384-388.

6. Ashitkov, S.I. Mechanical and optical properties of vanadium under shock picosecond loads / S.I. Ashitkov, P.S. Komarov, E.V. Struleva, M.B. Agranat, G.I. Kanel // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. - 2015. - V. 101, №4. - P. 276-281.

7. Kanel, G.I. Shock waves in condensed-state physics / G.I. Kanel, V.E. Fortov, S.V. Razorenov // Physics Uspekhi. - 2007. - V. 50, №8. -P. 771-791.

8. Kanel, G.I. Stress relaxation in vanadium under shock and shockless dynamic compression / G.I. Kanel, S.V. Razorenov, G.V. Garkushin, A.S. Savinykh, E.B. Zaretsky // Journal of Applied Physics. - 2015. -V. 118, №4. - P. 045901.

9. Chen, Y. Experimental study of ejecta from shock melted lead / Y. Chen, H. Hu, T. Tang, G. Ren, Q. Li, R. Wang, W.T. Buttler // Journal of Applied Physics. - 2012. - V. 111, №5. - P. 053509.

10. Georgievskaya, A. Estimation of spectral characteristics of particles ejected from the free surfaces of metals and liquids under a shock wave effect / A. Georgievskaya, V.A. Raevsky // AIP Conference Proceedings. - 2012. -V. 1426, №1. - P. 1007-1010.

11. Shao, J.L. Atomistic simulations of shock-induced microjet from a grooved aluminium surface / J.L. Shao, P. Wang, A. He, S.Q. Duan, C.S. Qin // Journal of Applied Physics. - 2013. - V. 113, №15. - P. 153501.

12. Ren, G. Ejecta production from shocked Pb surface via molecular dynamics / G. Ren, Y. Chen, T. Tang, Q. Li // Journal of Applied Physics. - 2014. -V. 116, №13. - P. 133507.

13. Dyachkov, S.A. Shock-produced ejecta from tin: Comparative study by molecular dynamics and smoothed particle hydrodynamics methods / S.A. Dyachkov, A.N. Parshikov, V.V. Zhakhovsky // Journal of Physics: Conference Series. - 2015. - V. 653. - P. 012043.

14. Kuksin, A. Dynamic fracture kinetics, influence of temperature and microstructure in the atomistic model of aluminum / A. Kuksin, G. Norman, V. Stegailov, A. Yanilkin, P. Zhilyaev // International Journal of Fracture. -2010. - V. 162, №1-2. - P. 127-136.

15. Stegailov, V.V. Structural transformations in single-crystal iron during shock-wave compression and tension: molecular dynamics simulation / V.V. Stegailov, A.V. Yanilkin // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 2007. - V. 104, №6. - P. 928-935.

16. Dongare, A.M. Atomic scale studies of spall behavior in nanocrystalline Cu / A.M. Dongare, A.M. Rajendran, B. LaMattina, M.A. Zikry, D.W. Brenner // Journal of Applied Physics. - 2010. - V. 108, №11. - P. 113518.

17. Huang, L. Shock-induced consolidation and spallation of Cu nanopowders / L. Huang, W.Z. Han, Q. An, W.A. Goddard III, S.N. Luo // Journal of Applied Physics. - 2012. - V. 111, №1. - P. 113508.

18. Fensin, S.J. Influence of grain boundary properties on spall strength: Grain boundary energy and excess volumes // S.J. Fensin, S.M. Valone, E.K. Cerreta, G.T. Gray III // Journal of Applied Physics. - 2012. - V. 112, №8. - P. 083529.

19. Shao, J.L. Molecular dynamics study on the failure modes of aluminium under decaying shock loading / J.L. Shao, P. Wang, A. He, S.Q. Duan, C.S. Qin // Journal of Applied Physics. - 2012. - V. 113, №16. - P. 163507.

20. Liao, Y. Molecular dynamics studies of the roles of microstructure and thermal effects in spallation of aluminum / Y. Liao, M. Xiang, X. Zeng, J. Chen // Mechanics of Materials. - 2015. - V. 84. - P. 12-27.

21. Mackenchery, K. Dislocation evolution and peak spall strengths in single crystal and nanocrystalline Cu / K. Mackenchery, R.R. Valisetty, R.R. Namburu, A. Stukowski, A.M. Rajendran, A.M. Dongare // Journal of Applied Physics. - 2016. - V. 119, №4. - P. 044301.

22. Pogorelko, V.V. Influence of copper inclusions on the strength of aluminum matrix at high-rate tension / V.V. Pogorelko, A.E. Mayer // Materials Science and Engineering: A. - 2015. - V. 642. - P. 351-359.

23. Pogorelko, V.V. Influence of titanium and magnesium nanoinclusions on the strength of aluminum at high-rate tension: Molecular dynamics simulations / V.V. Pogorelko, A.E. Mayer // Materials Science and Engineering: A. -2016. - V. 662. - P. 227-240.

24. Krasnikov, V.S. Plasticity driven growth of nanovoids and strength of aluminum at high rate tension: Molecular dynamics simulations and continuum modeling / V.S. Krasnikov, A.E. Mayer // International Journal of Plasticity. - 2015. - V. 74. - P. 75-91.

25. Gourdin, W.H. Dynamic consolidation of metal powders / W.H. Gourdin // Progress in Materials Science. - 1986. - V. 30, №1. - P. 39-80.

26. Meyers, M.A. Shock consolidation: microstructurally-based analysis and computational modeling / M.A. Meyers, D.J. Benson, E.A. Olevsky // Acta Materialia. - 1999. - V. 47, №7. - P. 2089-2108.

27. Fredenburg, D.A. Shock consolidation of nanocrystalline 6061-T6 aluminum powders / D.A. Fredenburg, N.N. Thadhani, T.J. Vogler // Materials Science and Engineering: A. - 2010. - V. 527, №15. - P. 33493357.

28. Ahn, D.-H. Plastic deformation and microstructural evolution during the shock consolidation of ultrafine copper powders / D.-H. Ahn, W. Kim, M. Kang, L.J. Park, S. Lee, H.S. Kim // Materials Science and Engineering: A. - 2015. - V. 625. - P. 230-244.

29. Boltachev, G.Sh. Shock-wave compaction of the granular medium initiated by magnetically pulsed accelerated striker / G.Sh. Boltachev, N.B. Volkov, V.V. Ivanov, A.S. Kaygorodov // Acta Mechanica. - 2009. - V. 204. -P.37-50.

30. Dai, C. Shock-compression response of magnetic Fe3O4 nanoparticles / C. Dai, N.N. Thadhani // Acta Materialia. - 2011. - V. 59, №2. - P. 785796.

31. Molian, P. Laser shock wave consolidation of micropowder compacts of fully stabilised zirconia with addition of nanoparticles / P. Molian, V.R. Baerga // Advances in Applied Ceramics. - 2011. - V. 110, №2. -P. 120-123.

32. Beck, J. Shock-wave consolidation of nanostructured bismuth telluride powders / J. Beck, M. Alvarado, D. Nemir, M. Nowell, L. Murr, N. Prasad // Journal of Electronic Materials. - 2012. - V. 41, №6. - P. 1595-1600.

33. Vorozhtsov, S.A. The application of external fields to the manufacturing of novel dense composite master alloys and aluminum-based nanocomposites / S.A. Vorozhtsov, D.G. Eskin, J. Tamayo, A.B. Vorozhtsov, V.V. Promakhov, A.A. Averin, A.P. Khrustalyov // Metallurgical and Materials Transactions A. - 2015. - V. 46, №7. - P. 2870-2875.

34. Kulkov, S. Structure, phase content and mechanical properties of aluminium with hard particles after shock-wave compaction / S. Kulkov, S. Vorozhtsov, I. Turuntaev // Journal of Physics: Conference Series. - 2015. - V. 602. -P. 012019.

35. Atrian, A. Evaluation of tensile strength of Al7075-SiC nanocomposite compacted by gas gun using spherical indentation test and neural networks / A. Atrian, G.H. Majzoobi, S.H. Nourbakhsh, S.A. Galehdari, R. Masoudi Nejad // Advanced Powder Technology. - 2016. - V. 27, №4. -P.1821-1827.

36. Tavakol, M. Shock wave sintering of Al/SiC metal matrix nano-composites: A molecular dynamics study / M. Tavakol, M. Mahnama, R. Naghdabadi // Computational Materials Science. - 2016. - V. 125. - P. 255-262.

37. Li, C. Structural evolution of nanoparticles under picosecond stress wave consolidation / C. Li, K. Burney, K. Bergler, X. Wang // Computational Materials Science. - 2016. - V. 95. - P. 74-83.

38. Plimpton, S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics / S. Plimpton // Journal of Computational Physics. - 1995. - V. 117, №1. -P. 1-19.

39. Stukowski, A. Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVITO-the Open Visualization Tool / A. Stukowski // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2010. - V. 18, №1. -P. 015012.

40. Kelchner, C.L. Dislocation nucleation and defect structure during surface indentation / C.L. Kelchner, S.J. Plimpton, J.C. Hamilton // Physical Review B. - 1998. - V. 58, №17. - P. 11085.

41. Honeycutt, J.D. Molecular dynamics study of melting and freezing of small Lennard-Jones clusters / J.D. Honeycutt, H. C. Andersen // Journal of Physical Chemistry. - 1987. - V. 91, №19. - P. 4950-4963.

42. Stukowski, A. Structure identification methods for atomistic simulations of crystalline materials / A. Stukowski // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2012. - V. 20, №4. - P. 045021.

43. Subramaniyan, A.K. Continuum interpretation of virial stress in molecular simulations / A.K. Subramaniyan, C.T. Sun / International Journal of Solids and Structures. - 2008. - V. 45, №14-15. - P. 4340-4346.

44. Falk, M.L. Dynamics of viscoplastic deformation in amorphous solids / M.L. Falk, J.S. Langer // Physical Review E. - 1998. - V. 57, №6. -P.7192-7205.

45. Stukowski, A. Computational analysis methods in atomistic modeling of crystals / A. Stukowski // Journal of the Minerals, Metals, and Materials Society. - 2014. - V. 66, №3. - P. 399-407.

46. Haile, J.M. Molecular Dynamics Simulation: Elementary Methods / J.M. Haile. - Chichester: Wiley, 1992. - 489 p.

47. Allen, M.P. The Art of Molecular Dynamics Simulation / M.P. Allen, D.J.D.C. Rapaport. - Cambridge: Cambridge University Press, 1996. -564 p.

48. Allen, M.P. Computer Simulation of Liquids / M.P. Allen, D.J. Tildesley. -Oxford University Press, 2002. - 385 p.

49. Alder, B.J. Phase Transition for a Hard Sphere System / B.J. Alder, T.E. Waingwright // Journal of Chemical Physics. - 1957. - V. 27, №5. -P.1208-1209.

50. Gibson, J.B. Dynamics of radiation damage / J.B. Gibson, A.N. Goland, M. Milgram, G.H. Vineyard // Physical Review. - 1960. - V. 120, №4. -P.1229-1253.

51. Rahman, A. Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon / А. Rahman // Physical Review. - 1964. - V. 136, №2А. - P. 405-411.

52. Alder, B.J. Free-path distribution for hard spheres / B.J. Alder, T. Einwohner // Journal of Chemical Physics. - 1965. - V. 43, №9. - P. 3399-3400.

53. Alder, B.J. Studies in molecular dynamics. I. General method / B.J. Alder, T.E. Wainwright // Journal of Chemical Physics. - 1959. - V. 31, №2. -P. 459-466.

54. Alder, B.J. Studies in Molecular Dynamics. II. Behavior of a Small Number of Elastic Spheres / B.J. Alder, T.E. Wainwright // Journal of Chemical Physics. - 1960. - V. 33, №5. - P. 1439-1451.

55. Байдаков, В.Г. Устойчивость переохлажденного аргона в молекулярно-механической модели / В.Г. Байдаков, А.Е. Галашев, В.П. Скрипов // Физика низких температур. - 1976. - Т. 2, №8. - с. 957-961.

56. Verlet, L. Computer "Experiments" on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules / L. Verlet // Physical Review. -1967. - V. 159, №1. - P. 98-103.

57. Verlet, L. Computer "Experiments" on Classical Fluids. II. Equilibrium Correlation Functions / L. Verlet // - Physical Review. - 1968. - V. 165, №1. - P. 201-214.

58. Лагарьков, А.Н. Вычисление коэффициентов переноса плотных газов и жидкостей методом молекулярной динамики / А.Н. Лагарьков,

B.М. Сергеев // Теплофизика высоких температур. - 1970. - Т. 8, вып. 6. - С. 1309-1311.

59. Wainwright, T.E. Decay of time correlations in two dimensions / T.E. Wainwright, B.J. Alder, D.M. Gass // Physical Review A. - 1971. -V. 4, №1. - P. 233-237.

60. Ашуров, А.К. Расчет кинетических коэффициентов в молекулярно-кинетической модели жидкого аргона / А.К. Ашуров, A.M. Евсеев, А.А. Адхамов // Доклады академии наук СССР. - 1975. - Т. 220, №2. -

C. 396-398.

61. Ercolessi, F. A molecular dynamics primer / F. Ercolessi. - Spring College in Computational Physics, ICTP, Trieste, 1997. - 49 p.

62. Liu, P. Theoretical study on the structure of Cu(110)-p2*1-0 reconstruction / P. Liu, Y. Wang // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2000. - V. 12, №7. - P. 3955-3966.

63. Webb, R. Comparison of gold and carbon cluster impacts on graphite using Molecular Dynamics simulation / R. Webb, M. Kerford, A. Way, I. Wilson // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. - 1999. - V. 153, №1-4. - P. 284-291.

64. Shimizu, A. Molecular dynamics simulation on diffusion of lithium atom pair in C150H30 cluster model for glassy carbon at very low temperatures / A. Shimizu, H. Tachikawa // Electrochimica Acta. - 2003. - V. 48, №12. -P.1727-1733.

65. Норман, Г.Э. Стохастическая теория метода классической молекулярной динамики / Г.Э. Норман, В.В. Стегайлов // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, №6. - С. 3-44.

66. Nose, S. A unified formulation of the constant temperature molecular dynamics methods / S. Nose // Journal of Chemical Physics. - 1984. - V. 81, №1. - P. 511-519.

67. Плишкин, Ю.М. Методы машинного моделирования в теории дефектов кристаллов / Ю.М. Плишкин. // Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ. - Л.: Наука, 1980. - С. 77-99.

68. Лихачев, В. А. Принципы организации аморфных структур / В.А. Лихачев, В.Е. Шудегов. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1999. - 228 с.

69. Валуев, А.А. Метод молекулярной динамики: теория и приложения / А. А. Валуев, Г. Э. Норманн, В. Ю. Подлипчук // Математическое моделирование: Физико-химические свойства вещества. - М.: Наука, 1989. - С. 5-40.

70. Чирков, А.Г. Динамические свойства Ni, Cu, Fe в конденсированном состоянии (метод молекулярной динамики) / А.Г. Чирков, А.Г. Понаморев, В.Г. Чудинов // Журнал технической физики. - 2004. -Т. 74, №2. - С. 62-65.

71. Старостенков, Д.М. Самоорганизация дефектных структур в металлах при нагреве / Д.М. Старостенков, М.Д. Старостенков, Б.Ф. Демьянов, Г.М. Полетаев // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2005. - Т. 2, №3. - С. 93-97.

72. Полетаев, Г.М. Определение температуры плавления и температурного коэффициента линейного расширения методом молекулярной динамики / Г.М. Полетаев, М.Д. Старостенков // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2004. - Т. 1, №1. - С. 8185.

73. Gumbsch, P. Molecular dynamics investigation of dynamic crack stability / P. Gumbsch, S.J. Zhou, B.L. Holian // Physical Review B. - 1997. - V. 55, №6. - P. 3445-3455.

74. Хеерман, Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Д.В. Хеерман; под ред. С.А. Ахманова. - М.: Наука, 1990. -176 с.

75. Upmanyu, M. Atomistic simulation of curvature driven grain boundary migration / M. Upmanyu, R.W. Smith, D.J. Srolovitz // Interface science. -1998. - №6. - P. 41-58.

76. Янилкин, А.В. Применение суперкомпьютеро для молекулярно-динамического моделирования процессов в конденсированных средах /

A.В. Янилкин, П. А. Жиляев, А.Ю. Куксин, Г.Э. Норман, В.В. Писарев,

B.В. Стегайлов // Вычислительные методы и программирование. -

2010. - Т. 11. - С .111-116.

77. Андреев, В.Вен. Определение наиболее эффективного метода параллельной обработки при решении задач методом молекулярной динамики / В.Вен. Андреев, В.Вяч. Андреев // Химическая физика и мезоскопия. - 2010. - Т. 12, №4. - С.458-466.

78. Plimpton, S.J. Computational Aspects of Many-body Potentials / S.J. Plimpton, A.P. Thompson // Materials Research Society Bulletin. -2012. - V. 37, №5. - P. 513-521.

79. Thompson, A.P. General formulation of pressure and stress tensor for arbitrary many-body interaction potentials under periodic boundary conditions / A.P. Thompson, S.J. Plimpton, W. Mattson // Journal of Chemical Physics. - 2009. - V. 131, №15. - P. 154107.

80. Brown, W.M. Implementing Molecular Dynamics on Hybrid High Performance Computers - Short Range Forces / W.M. Brown, P. Wang, S.J. Plimpton, A.N. Tharrington // Computer Physics Communications. -

2011. - V. 182. - P. 898-911.

81. Brown, W.M. Implementing Molecular Dynamics on Hybrid High Performance Computers - Particle-Particle Particle-Mesh / W.M. Brown, A. Kohlmeyer, S.J. Plimpton, A.N. Tharrington // Computer Physics Communications. - 2011. - V. 183. - P. 449-459.

82. Михайлин, А.И. Метод молекулярной динамики за пределами микроканонического ансамбля / А.И. Михайлин, И.А. Слуцкер // Моделирование на ЭВМ радиационных дефектов в металлах: тематический сборник. - Л.: Изд-во ФТИ, 1980. - С. 38-60.

83. Кулагина, В.В. Метод молекулярной динамики для различных статистических ансамблей / В.В. Кулагина, С.В. Еремеев, А.И. Потекаев // Известия вузов. Физика. - 2005. - №2. - С. 16-23.

84. Andersen, H.C. Molecular dynamics simulations at constant pressure and/or temperature / H.C. Andersen // Journal of Chemical Physics. - 1980. -V. 72, № 4. - P. 2384-2393.

85. Parrinello, M. Crystal Structure and pair potentials. A molecular dynamics study / M. Parrinello, A. Rahman // Physical Review Letters - 1980. - V. 45, №14. - P. 1196-1199.

86. Berendsen, H.J.C. Molecular-dynamics with coupling to an external bath / H.J.C. Berendsen, J.P.M. Postma, W.F. van Gunsteren, A. DiNola, J.R. Haak // Journal of Chemical Physics. - 1984. - V. 81, №8. - P. 36843690.

87. Hoover, W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions / W.G. Hoover // Physical Review A. - 1985. - V. 31, №3. - P. 1695-1697.

88. Bussi, G. Canonical sampling through velocity rescaling / G. Bussi, D. Donadio, M. Parrinello // Journal of Chemical Physics. - 2007. - V. 126, №1. - P. 014101.

89. Parrinello, M. Polymorphic transitions in single crystals: A new molecular dynamics method / M. Parrinello, A. Rahman, // Journal of Applied Physics. - 1981. - V. 52, №12. - P. 7182-7180.

90. Nose, S. Constant pressure molecular dynamics for molecular systems / S. Nose, M.L. Klein // Molecular Physics. - 1983. - V. 50, №5. - P. 10551076.

91. Lennard-Jones, J. Wave Functions of Many-Electron Atoms / J. Lennard-Jones // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1931. - V. 27, №3. - P. 469-480.

92. Buckingham, R.A. The Classical Equation of State of Gaseous Helium, Neon and Argon / R.A. Buckingham // Proceedings of the Royal Society, Series A, Mathematical and Physical Sciences. - V. 168, №933. - P. 264283.

93. Morse, P.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels / P.M. Morse // Physical Review. - 1929. - V. 34, №1. -P. 57-64.

94. Girifako, L.A. Application of the Morse potential function to cubic metals / L.A. Girifako, V.G. Weiser // Physical Review. - 1959. - V. 114, №3. -P. 687-790.

95. Roy, D. The application of the Morse potential function in ordered Cu3Au and Au3Cu alloys / D. Roy, A. Manna, S.P. Sen Gupta // Journal of Physics F: Metal Physics. - 1972. - V. 2, №6. - P. 1092-1099.

96. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. - М.: Наука, 1978. - 792 с.

97. Maeda, K. Interatomic potentials for atomistic studies of defects in binary alloys / K. Maeda, V. Vitek, A.P. Sutton // Acta Metallurgica. - 1982. -V. 30, №11. - P. 2001-2010.

98. Daw, M.S. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals / M.S. Daw, M.I. Baskes // Physical Review B. - 1984. - V. 29, №12. - P. 6443-6453.

99. Stillinger, F.H. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon / F.H. Stillinger, Т.А.Weber // Physical Review B. - 1985. - V. 31, №8. - P. 5262-5271.

100. Watanabe, T. Modeling of Si02/Si(100) interface structure by using extended-Stillinger-Weber potential / T. Watanabe, I. Ohdomari // Thin Solid Films. - 1999. - V. 343-344, №1-2. - P. 370-373.

101. Apostol, F. Interatomic potential for the Al-Cu system / F. Apostol, Y. Mishin // Physical Review B. - 2011. - V. 83, №5. - P. 054116.

102. Abell, G.C. Empirical chemical pseudopotential theory of molecular and metallic bonding / G.C. Abell // Physical Review B. - 1985. - V. 31, №10. -P.6184-6196.

103. Tersoff, J. Empirical interatomic potential for silicon with improved elastic properties / J. Tersoff // Physical Review B. - 1989. - V .38, №14. -P .9902-9905.

104. Brenner, D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films / D.W. Brenner // Physical Review B. - 1990. - V. 42, №15. - P. 9458-9471.

105. Harrison, J. A. Properties of capped nanotubes when used as SPM tips / J.A. Harrison, S.J. Stuart, D.H. Robertson, C.T. White // Journal of Physical Chemistry B. - 1997. - V. 101. - P. 9682-9685.

106. Garg, A. Effect of chemical functionalization on the mechanical properties of carbon nanotubes / A. Garg, S.B. Sinnott // Chemical Physics Letters. -1998. - V. 295, №4. - P. 273-278.

107. Baskes, M.I. Modified embedded-atom potentials for cubic materials and impurities / M.I. Baskes // Physical Review B. - 1992. - V. 46, №5. -P. 2727-2742.

108. Finnis, M.W. A simple empirical N-body potential for transition metals / M.W. Finnis, J.E. Sinclair // Philosophical Magazine A. - 1984. - V. 50, №1. - P. 45-55.

109. Rafii-Tabar, H. Long-range Finnis-Sinclair potentials for fcc metallic alloys / H. Rafii-Tabar, A.P. Sutton // Philosophical Magazine Letters. - 1991. -V. 63, №4. - P. 217-224.

110. Daw, M.S. The embedded atom method: a review of theory and applications / M.S. Daw, S.M. Foiles, M.I. Baskes // Materials Science Reports. - 1993. -V. 9. - P. 251-310.

111. Johnson, R.A. Analytic nearest-neighbor model for fcc metals / R.A. Johnson // Physical Review B. - 1988. - V. 37, №8. - P. 3924-3931.

112. Ercolessi, F. Au (100) Surface Reconstruction / F. Ercolessi, E. Tosatti, M. Parrinello // Physical Review Letters. - 1986. - V. 57, №6. - P. 719-722.

113. Chen, S.P. Computer simulation of grain boundaries in Ni3Al: the effect of grain boundary composition / S.P. Chen, A.F. Voter, D.J. Srolovitz // Scripta Metallurgica. - 1989. - V. 20, №10. - P. 1389-1394.

114. Oh, D. Simple embedded atom method model for fcc and hcp metals / D. Oh, R. Johnson // Journal of Materials Research. - 1988. - V. 3, №3. -P. 471-478.

115. Ackland, G.J. An improved n-body semiempirical model for body-centered cubic transition-metals / G.J. Ackland, R. Thetford // Philosophical Magazine A. - 1987. - V. 56, №1. - P. 15-30.

116. Cleri, F. Tight-binding potentials for transition metals and alloys / F. Cleri, V. Rosato // Physical Review B. - 1993. - V. 48, №1. - P. 22-33.

117. Альтшулер, Л.В. Развитие в России динамических методов исследований высоких давлений / Л.В. Альтшулер, Р.Ф. Трунин, В. Д. Урлин, В.Е. Фортов, А.И. Фунтиков // Успехи физических наук. -1999. - Т. 169, №3. - С. 323-344.

118. Kanel, G.I. Shock-Wave Phenomena and the Properties of Condensed Matter / G.I. Kanel, S.V. Razorenov, V.E. Fortov. - New York: Springer, 2004. - 320 p.

119. Каннель, Г.И. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г.И. Каннель, С.В. Разоренов, А.В. Уткин, В.Е. Фортов. - М.: Янус-К, 1996. - 408 с.

120. Meyers, M.A. Dynamic Behavior of Materials / M.A. Meyers // New York: John Wiley & Sons, 1994. - 688 p.

121. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Теория упругости. Т. VII: учебное пособие / Л. Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - М.: Наука, 2003. - 264 с.

122. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

123. Зельдович, Я.Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. - М.: Наука, 1966. - 688 с.

124. Barker, L.M. Shock wave study of the a-e phase transition in iron / L.M. Barker, R.E. Hollenbach // Journal of Applied Physics. - 1974. -V. 45, №11. - P. 4872-4887.

125. Bloomquist, D.D. Optically recording interferometer for velocity measurements with subnanosecond resolution / D.D. Bloomquist, S.A. Sheffield // Journal of Applied Physics. - 1983. - V. 54, №4. -P.1717-1722.

126. Remington, B.A. Materials science under extreme conditions of pressure and strain rate / B.A. Remington, G. Bazan, J. Belak, E. Bringa, J.D. Colvin, M.J. Edwards // Metallurgical and Materials Transactions A. - 2004. -V. 35, №9. - P. 2587-2607.

127. Gourdin, W.H. Dynamic consolidation of metal powders / W.H. Gourdin // Progress in Materials Science. - 1986. - V. 30, №1. - P. 39-80.

128. Dai, C. Shock compression response of nanoiron powder compact / C. Dai, D. Eakins, N. Thadhani, J.P. Liu // Applied Physics Letters. - 2007. - V. 90, №7. - P. 071911.

129. Siegel, R.W. Nanostructured materials: mind over matter / R.W. Siegel // Nanostructured Materials. - 1994. - V. 4, №1. - P. 121-138.

130. Vaßen, R. Compaction mechanisms of ultrafine SiC powders / R. Vaßen, D. Stöver // Powder technology. - 1992. - V. 72, №3. - P. 223-226.

131. Mishra, R.S. Nanocrystalline alumina by high pressure sintering / R.S. Mishra, C.E. Lesher, A.K. Mukherjee // Materials Science Forum. -Trans Tech Publications. - 1996. - V. 225. - P. 617-622.

132. Bokov, A.A. Uniaxial compaction of nanopowders on a magnetic-pulse press / A.A. Bokov, G.S. Boltachev, N.B. Volkov, S.V. Zayats, A.M. Il'ina,

A.A. Nozdrin, S.N. Paranin, E.A. Olevskii // Technical Physics. - 2013. -V. 58, №10. - P. 1459-1468.

133. Belak, J.J. On the nucleation and growth of voids at high strain-rates / J.J. Belak // Journal of Computer-Aided Materials Design. - 1998. - V. 5, №1-2. - P. 193-206.

134. Seppälä, E.T. Effect of stress triaxiality on void growth in dynamic fracture of metals: A molecular dynamics study / E.T. Seppälä, J. Belak, R.E. Rudd // Physical Review B. - 2004. - V. 69, №13. - P. 134101.

135. Kuksin, A.Y. Standards for molecular dynamics modelling and simulation of relaxation / A.Y. Kuksin, I.V. Morozov, G.E. Norman, V.V. Stegailov, I.A. Valuev // Molecular Simulation. - 2005. - V. 31, №14-15. - P. 10051017.

136. Регель, В.Р. Кинетическая природа прочности твердых тел /

B.Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е. Томашевский // Успехи физических наук. - 1972. - Т. 106, №11. - С. 193-228.

137. Krivtsov, A.M. Relation between spall strength and mesoparticle velocity dispersion / A.M. Krivtsov // International Journal of Impact Engineering. -1999. - V.23, №1. - P. 477-487.

138. Srinivasan, S.G. Atomistic simulations of shock induced microstructural evolution and spallation in single crystal nickel / S.G. Srinivasan,

M.I. Baskes, G.J. Wagner // Journal of Applied Physics. - 2007. - V.101, №4. - P. 043504.

139. Luo, S.N. Spall damage of copper under supported and decaying shock loading / S.N. Luo, T.C. Germann, D.L. Tonks // Journal of Applied Physics.

- 2009. - V. 106, №12. - P. 123518.

140. Xiang, M.Z. Molecular dynamics simulations of micro-spallation of single crystal lead / M.Z. Xiang, H.B. Hu, J. Chen, Y. Long // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2013. - V. 21, №5. -P. 055005.

141. Xiang, M.Z. Spalling and melting in nanocrystalline Pb under shock loading: Molecular dynamics studies / M.Z. Xiang, H.B. Hu, J. Chen // Journal of Applied Physics. - 2013. - V. 113, №14. - P. 144312.

142. De Resseguier, T. Dynamic fragmentation of laser shock-melted tin: experiment and modeling / T. De Resseguier, L. Signor, A. Dragon, G. Roy // International Journal of Fracture. - 2010. - V. 163, №1-2. - P. 109-119.

143. Kraichikov, S.S. Molecular-Dynamics Investigation into Influence of Nano-Particles in Spall / S.S. Kraichikov, V.V. Dremov, Ph.A. Sapozhnikov // AIP Conference Proceedings. - 2006. - V. 845, №1. - P. 399-402.

144. Chen, X. Spall behavior of aluminum with varying microstructures / X. Chen, J.R. Asay, S.K. Dwivedi, D.P. Field // Journal of Applied Physics.

- 2006. - V. 99, №2. - P. 023528.

145. Luo, S.N. Anisotropic shock response of columnar nanocrystalline Cu / S.N. Luo, T.C. Germann, T.G. Desai, D.L. Tonks, Q. An // Journal of Applied Physics. - 2010. - V. 107, №12. - P. 123507.

146. Johnson, J.N. Dynamic fracture and spallation in ductile solids / J.N. Johnson // Journal of Applied Physics. - 1981. - V. 52, №4. - P. 2812.

147. Wu, X.Y. The effects of thermal softening and heat conduction on the dynamic growth of voids / X.Y. Wu, K.T. Ramesh, T.W. Wright //

International Journal of Solids and Structures. - 2003. - V. 40, №17. -P. 4461-4478.

148. Walsh, J.M. Limiting conditions for jet formation in high velocity collisions / J.M. Walsh, R.G. Shreffler, F.J. Willig // Journal of Applied Physics. -1953. - V. 24, №3. - P. 349-359.

149. Zaretsky, E.B. Yield stress, polymorphic transformation, and spall fracture of shock-loaded iron in various structural states and at various temperatures / E.B. Zaretsky, G.I. Kanel, // Journal of Applied Physics. - 2015. - V. 117, №19. - P. 195901.

150. Whitley, V.H. The elastic-plastic response of aluminum films to ultrafast laser-generated shocks / V.H. Whitley, S.D. McGrane, D.E. Eakins, A. Bolme, D.S. Moore, J.F. Bingert, // Journal of Applied Physics. - 2011. -V. 109, №1. - P. 013505.

151. Gnyusov, S.F. Simulation and experimental investigation of the spall fracture of 304L stainless steel irradiated by a nanosecond relativistic high-current electron beam / S.F. Gnyusov, V.P. Rotshtein, A.E. Mayer, V.V. Rostov, A.V. Gunin, K.V. Khishchenko, P.R. Levashov // International Journal of Fracture. - 2016. - V. 199, №1. - P. 59-70.

152. Yuan, F. Twin boundary spacing effects on shock response and spall behaviors of hierarchically nanotwinned fcc metals / F. Yuan, L. Chen, P. Jiang, X. Wu // Journal of Applied Physics. - 2014. - V. 115, №6. -P. 063509.

153. Kuksin, A.Yu. Atomistic simulation of plasticity and fracture of nanocrystalline copper under high-rate tension / A.Yu. Kuksin, V.V. Stegailov, A.V. Yanilkin // Physics Solid State. - 2008. - V. 50, №11. - P. 2069-2075.

154. Wagner, N.J. Molecular-dynamics simulations of two-dimensional materials at high strain rates / N.J. Wagner, B.L. Holian, A.F. Voter // Physical Review A. - 1992. - V. 45, №12. - P. 8457-8470.

155. Shao, J.L. Influence of voids or He bubbles on the spall damage in single crystal Al / J.L. Shao, P. Wang, A. He, S.Q. Duan, C.S. Qin // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2014. - V. 22, №2. -P.025012.

156. Lin, E. Effects of orientation and vacancy defects on the shock Hugoniot behavior and spallation of single-crystal copper /E. Lin, H. Shi, L. Niu // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2014. -V. 22, №3. - P. 035012.

157. Cai, J. Simple analytical embedded-atom-potential model including a longrange force for fcc metals and their alloys / J. Cai, Y.Y. Ye // Physical Review B. - 1996. - V. 54, №12. - P. 8398-8410.

158. Mishin, Y. Interatomic potentials for monoatomic metals from experimental data and ab initio calculations / Y. Mishin, D. Farkas, M.J. Mehl, D.A. Papaconstantopoulos // Physical Review B. - 1999. - V. 59, №1. -P. 3393-3407.

159. Moshe, E. Experimental measurements of the strength of metals approaching the theoretical limit predicted by the equation of state / E. Moshe, S. Eliezer, Z. Henis, M. Werdiger, E. Dekel, Y. Horovitz, S. Maman, I.B. Goldberg, D. Eliezer // Applied Physics Letters. - 2000. - V. 76, №12. - P. 1555.

160. Abrosimov, S.A. Study of mechanical properties of aluminum, AMg6M alloy, and polymethyl methacrylate at high strain rates under the action of picosecond laser radiation / S.A. Abrosimov, A.P. Bazhulin, V.V. Voronov, I.K. Krasyuk, P.P. Pashinin, A.Yu. Semenov, I.A. Stuchebryukhov, K.V. Khishchenko // Doklady Physics. - 2012. - V. 57, №2. P. 64-66.

161. Abrosimov, S.A. Specific features of the behaviour of targets under negative pressures created by a picosecond laser pulse / S.A. Abrosimov, A.P. Bazhulin, V.V. Voronov, A.A. Geras'kin, I.K. Krasyuk, P.P. Pashinin, A.Yu. Semenov, I.A. Stuchebryukhov, K.V. Khishchenko, V.E. Fortov // Quantum Electronics. - 2013 - V. 43, №3. - P. 246-251.

162. Popok, V.N. Energetic cluster ion beams: modification of surfaces and shallow layers / V.N. Popok // Materials Science and Engineering: R: Reports. - 2011. - V. 72, №7-8. - P. 137-157.

163. Purja Pun, G.P. Development of an interatomic potential for the Ni-Al system / G.P. Purja Pun, Y. Mishin // Philosophical Magazine. - 2009. -V. 89, №34-36. - P. 3245-3267.

164. Shimizu, F. Theory of shear banding in metallic glasses and molecular dynamics calculations / F. Shimizu, Sh. Ogata, J. Li // Materials Transactions. - 2007. - V. 48, №11. - P. 2923-2927.

165. Gawande, M.B. Cu and Cu-based nanoparticles: synthesis and applications in catalysis / M.B. Gawande, A. Goswami, F.-X. Felpin, T. Asefa, X. Huang, R. Silva, X. Zou, R. Zboril, R.S. Varma // Chemical Reviews. -2016. - V. 116, №6. - P. 3722-3811.

166. Dang, Th.M.D. Synthesis and optical properties of copper nanoparticles prepared by a chemical reduction method / Th.M.D. Dang, Th.T.Th. Le, E. Fribourg-Blanc, M.Ch. Dang // Advances in Natural Sciences: Nanoscience and Nanotechnology. - 2011. - V. 2, №1. - P. 015009.

167. Hou, Y. Size-controlled synthesis of nickel nanoparticles / Y. Hou, H. Kondoh, T. Ohta, S. Gao // Applied Surface Science. - 2005. - V. 241, №1. - P. 218-222.

168. Webb III, E.B. Liquid/vapor surface tension of metals: embedded atom method with charge gradient corrections / E.B. Webb III, G.S. Grest, // Physical Review Letters. - 2001. - V. 86, №10. - P. 2066-2069.

169. Zope, R.R. Interatomic potentials for atomistic simulations of the Ti-Al system / R.R. Zope, Y. Mishin, // Physical Review B. - 2003. - V. 68, №2. -P.024102.

170. Montross, Ch.S. Laser shock processing and its effects on microstructure and properties of metal alloys: a review / Ch.S. Montross, T. Wei, L. Ye,

G. Clark, Y.-W. Mai // International Journal of Fatigue. - 2002. - V. 24, №10. - P. 1021-1036.

171. Kadobnova, N.V. Handbook of Physical Quantities / N.V. Kadobnova, A.M. Bratkovsky; edited by I.S. Grigor'ev, E.Z. Meilihov. - Boca Ration: CRC Press, 1997. - 1568 p.

172. Donnelly, T. Dynamics of the plumes produced by ultrafast laser ablation of metals / T. Donnelly, J.G. Lunney, S. Amoruso, R. Bruzzese, X. Wang, X. Ni // Journal of Applied Physics. - 2010. - V. 108, №4. - P. 043309.

173. Volkov, N.B. The action of ultrashort high-power electron beam pulses on metal targets / N.B. Volkov, N.D. Kundikova, A.Y. Leyvi, A.E. Maier, A.P. Yalovets // Technical Physics Letters. - 2007. - V. 33, №1. - P. 69-72.