Модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Гапонова, Елена Анатольевна

• Гапонова, Елена Анатольевна
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гапонова, Елена Анатольевна

ВВЕДЕНИЕ

1. Аналитический обзор информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа

1.1. Применение интервального подхода к исследованию систем

1.2. Основы интервальной математики

1.2.1. Интервальные векторы и матрицы

1.2.2. Исходные гипотезы интервальных измерений

1.2.3. Область возможных значений параметров модели

1.2.4. Интервальная модель выходной переменной

1.3. Постановки задач интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ)

1.4. Линейная интервальная задача о допусках

1.4.1. Грубое исследование разрешимости

1.4.2. Полное исследование разрешимости ИСЛАУ

1.4.3. Вычисление размеров бруса интервального решения

1.5. Обзор интервальных информационных систем

1.6. Выводы

2. Разработка методики оценки плотности распределения вероятностей случайной величины внутри ограниченного сегмента

2.1. Основные идеи статистики интервальных данных

2.2. Влияние погрешности измерения при исследовании объекта

2.2.1. Абсолютная погрешность измерений

2.2.2. Относительная погрешность

2.3. Линейный регрессионный анализ интервальных данных 58 2.3.1. Метод наименьших квадратов для интервальных данных

2.5. Интервальные данные в задачах проверки гипотез

2.5.1. Проверка гипотез о согласии по точечной выборке

2.5.2. Проверка простых гипотез по интервальной выборке

2.6. Методика нахождения смещенного центра интервальной величины относительно медианной оценки

2.7. Выводы

3. Модифицированный метод нахождениявнутренней оценки множества решений системы линейных интервальных уравнений

3.1. Объект исследования

3.2. Модифицированный метод

4. Результаты применения разработанного модифицированного подхода к решению ИСЛАУ

4.1. Иллюстрация разработанной модификации на примере решения интервальной системы Хансена

4.2. Исследование медицинских данных

4.3. Решение экономической задачи

4.4. Выводы 100 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 101 БИБЛИОГРАФИЯ 103 ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений»

Последние годы характеризуются значительным ростом информационных систем, предназначенных для анализа и обработки данных с учетом неопределенностей и неоднозначностей. К их числу относятся информационные системы, использующие методы интервального анализа, оперирующие с элементами пространства вещественных интервалов. Каждый интервальный параметр имеет вид ограниченного сегмента.

Интервальный анализ получил широкое распространение в качестве основы для доказательных, достоверных и надежных компьютерных вычислений с гарантированной точностью, а также в информационных системах поддержки принятия решений, оценивания параметров сложных систем и др. Развитию теории интервального анализа посвящены работы В.М. Брадиса, JI.B. Канторовича, Р.Е. Мура, Ю.И. Шокина, В.В. Шайдурова, З.Х. Юлдашева, Г.Г. Меньшикова, С.П. Шарого, Г. Алефельда, Ю.Херцбергера, А.П. Вощинина, Г.Р. Сотирова, А.И. Орлова и др.

Одними из разработанных и получивших распространение методов интервального анализа является решение интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).

В современном аппарате интервального анализа известно несколько видов множеств решений интервальных систем. Наиболее часто встречающимся способом оценивания множества решений интервальных систем являются внешнее и внутренне интервальное оценивание.

Задачи, возникающие в области математической экономики, технологического проектирования, автоматического управления часто требуют нахождения множества решений линейной вещественной системы, в которой коэффициенты матрицы известны неточно и требуется найти решения системы, удовлетворяющие для всех возможных значений матрицы заданным допускам на правую часть. Решение задачи подобного типа в рамках интервального анализа носит название решение линейной интервальной задачи о допусках и является задачей оценки допускового множества решений интервальной системы.

Если размерность интервальной системы линейных алгебраических уравнений велика, то прямое описание ее допускового множества решений, при котором выписываются все ограничивающие гиперплоскости, становится трудоемким и практически бесполезным. По этой причине для практических целей удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений рассматриваемой ИСЛАУ.

Построение бруса решений осуществляется на основе разрешимости линейной задачи о допусках. В случае применения центрового подхода к исследованию разрешимости, внутренняя оценка допускового множества решений интервальных систем заключаются в построении решений относительно центров ограниченных сегментов.

Однако, если внутри каждого интервала системы и ограниченной допусковой области решений интервальной системы, на основании имеющихся данных, построить функцию плотности распределения величин, то можно столкнуться с тем, что математическое ожидание, не всегда соответствует медианной оценке. А распределение случайных величин внутри интервального измерения в общем случае не будет симметричным.

Согласно вышесказанному, в сопоставление гипотезе о совпадении центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному закону распределения, предлагается ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента.

Таким образом, развитие интервальных методов внутреннего оценивания на основе использования теории вероятности и математической статистики с целью нахождения центра бруса решений внутри ограниченного допускового множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений является важной и актуальной задачей.

Целью диссертации является разработка модифицированного метода внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений, основанного на:

- статистических методах и использовании интервального представления данных;

- учете неопределенности данных в задачах идентификации параметров;

- гипотезе соответствия эмпирического распределения данных, полученных в условиях неопределенности измерений бета-распределению.

Для достижения цели диссертационной работы были поставлены следующие задачи:

1. Провести аналитический обзор информационных систем, использующих методы интервального анализа.

2. Провести обзор методов оценивания решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

3. Сформулировать задачу внутренней оценки решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе известных допусков на систему с учетом специфики интервальных данных.

4. Реализовать в виде программных модулей построение теоретической плотности вероятности случайной величины в интервальном измерении.

5. Разработать методику нахождения центра интервальной величины, возможно смещенного относительно медианной оценки.

6. Модифицировать метод нахождения внутренней оценки допускового множества решений системы линейных интервальных уравнений с учетом анализа характера данных.

7. Решить интервальные задачи на основе модифицированного метода.

8.Провести анализ результатов и выявить области эффективного использования.

Методы исследования.

В работе используются методы интервального анализа, теории вероятности, вычислительной математики и современные информационные технологии.

Новые научные результаты.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем.

1. Разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи идентификации параметров, позволяющий учитывать неравномерность внутри интервальных данных.

2. Введена гипотеза о соответствии ассиметричной плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.

3. Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного бруса решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных модулей в среде MATLAB, реализующий модифицированный метод решения линейной интервальной задачи идентификации параметров.

Комплекс теоретических и практических результатов предназначен для использования при создании информационных систем различного назначения, оперирующих с интервальными данными. Реализация результатов.

Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Московского государственного университета печати в рамках дисциплины «Программные средства обработки информации».

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на 4 научных конференциях:

-VIII международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики» (Сочи, 2005);

-конференция молодых ученых «Приборостроение» (Москва, 2006); -IX всероссийской научной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008);

-конференции молодых ученых и аспирантов Московского государственного университета печати (Москва, 2008), а также на регулярном научно-методическом семинаре кафедры «Прикладная математика и моделирование систем» МГУП.

Структура диссертации

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и поставлены задачи исследования, научная новизна и практической ценность проведенных исследований, изложены сведенья об апробации и публикациях по теме диссертации.

В первой главе представлены теоретические основы интервальной математики. Выяснено, что одним из основных инструментов интервального анализа является описание интервальных параметров функционирования систем с помощью линейной системы алгебраических уравнений. Рассмотрены основные способы оценивания и виды множеств решений интервальных систем уравнений.

В работе проведен анализ алгоритмов, применяющихся при решении задач внутреннего и внешнего оценивания ограниченного множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).

В результате проведенного обзора интервальных методов оценивания множеств решений ИСЛАУ выяснено, что одной из важных задач, часто возникающей в областях: математической экономики, технологического проектирования и автоматического управления, является решение линейной интервальной задачи о допусках и нахождении допускового множества решений системы.

В результате сделан вывод о том, что для описания допускового множества решений интервальных систем большой размерности, удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений. В случае применения грубого исследования разрешимости (без привлечения процедур оптимизации функций), описание допустимого множества решений интервальных систем заключаются в построении бруса решений относительно центров ограниченных сегментов.

Представлены результаты обзора современных информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа и существующих работ по практическому применению интервальных методов в информационных системах.

Во второй главе рассмотрены основные идеи статистического анализа интервальных данных и приведены примеры их возникновения на основе анализа абсолютной и относительной ошибки измерений.

В соответствии с тем, что многие приборы могут иметь различное документированное отклонение в «плюс» и в «минус», т.е. прибор измеряет величину с точностью вида: чД, -Д2 (Д, ф Д2), было сделано предположение о том, что центр интервала не всегда совпадает с медианной оценкой. Таким образом, если ввести распределение случайных величин внутри интервального измерения, то оно в общем случае не будет являться симметричным.

Согласно вышесказанному, на основе вероятностного подхода предложено в сопоставление гипотезе о совпадении центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному (или равномерному) закону распределения, ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента. В качестве альтернативной гипотезе предложено использовать соответствие бета-распределению.

Сделан вывод, что зависимость данного вида распределения от двух величин СС и Р дает возможность выбирать эмпирическое распределение так, что оно практически полностью будет соответствовать теоретическому распределению.

На основе использования возможностей MATLAB разработан комплекс программных модулей, предназначенных для проверки ассиметричного расположения центра интервала на основе статистической обработки исходных данных.

Сделан вывод о том, что в случае справедливости нулевой гипотезы, центр совпадает с медианной оценкой и применение известных методов целесообразно, в случае справедливости альтернативной возникает необходимость в разработке методик, учитывающих специфику ассиметричного расположения центра.

В целях увеличения точности нахождения центра ограниченного сегмента, если вероятность попадания в ограниченный интервал не удовлетворяет исследователя, необходимо решить задачу оценки моментов распределения с выбранной надежностью, на основе определения доверительных интервальных оценок математического ожидания и дисперсии.

Разработана методика нахождения центра ограниченного сегмента, смещенного относительно медианной оценки.

Применение разработанной методики позволяет расширить интервальные методы математической статистики. На основе найденного центра, не медианного характера, возможно более точное построение интервальных зависимостей между измеряемыми параметрами.

В третьей главе разработан модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений системы линейных интервальных уравнений, основанный на оценке распределения плотности вероятности случайной величины внутри заданного интервала и применении разработанной методики нахождения смещенного центра интервальной величины относительно медианной оценки.

Показано, что предложенный метод позволяет расширить существующие подходы аппарата интервального анализа, заключающиеся в использовании при решении интервальных уравнений только центров ограниченных сегментов, совпадающих с медианой оценкой, до возможности вычисления естественного центра, являющегося в общем случае смещенным относительно медианы интервала.

Все шаги метода реализованы в виде программных модулей, работающих в среде MATLAB. Тексты приведены в приложении к диссертации.

В четвертой главе проведен анализ результатов применения модифицированного метода внутреннего оценивания для решения различных интервальных систем.

В заключении приведены основные выводы и результаты работы.

В приложении представлены фрагменты программ, написанных в системе MATLAB в виде m-файлов, позволяющих реализовывать модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Гапонова, Елена Анатольевна

Результаты работы могут служить основой для создания интервальных информационных систем:

- идентификации линейных моделей (таких как системы оценки качества и надежности выпуска изделий, конструирование систем в условиях интервально заданных ограничений, и других);

- интервальная оценка весовых коэффициентов в интегральных критериях качества функционирования систем;

- сужение априорного множества решений до наиболее вероятного с выбранным уровнем надежности;

- построение аппроксимирующих моделей в условиях несоответствия измеряемых данных «симметричному» закону распределения. Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Московского государственного университета печати в рамках дисциплины «Программные средства обработки информации».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены теоретические основы интервальной математики, которую можно рассматривать как совокупность в пространстве вещественных интервалов, а каждый интервальный параметр в виде ограниченного сегмента.

Составлен обзор современных подходов к решению интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Проведен обзор современных информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа и существующих диссертационных работ по практическому применению интервальных методов в информационных системах.

Основным результатом работы в соответствии с поставленной целью являются разработанная методика и алгоритм модифицированного метода, позволяющего решать задачи внутреннего оценивания интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе нахождения естественного центра внутри ограниченного множества.

Новые научные результаты состоят в следующем:

1. Разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи идентификации параметров, позволяющий учитывать неравномерность внутри интервальных данных.

2. Введена гипотеза о соответствии ассиметричной плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.

3. Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного бруса решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных модулей в среде MATLAB, реализующий модифицированный внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гапонова, Елена Анатольевна, 2008 год

1. Брадис В.М. Приближенные вычисления в школьном курсе математики// Сб. «Вопросы математики и ее преподавания» под ред. И. Чистякова и Н. Соловьева.- М.: ГИЗ, 1923. - с. 87-117.

2. Брадис В.М. Средства и способы элементарных вычислений. Москва: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1948.

3. Шарый С. П. Интервальный алгебраические задачи и их численное решение: Дис. . доктора физ.-мат. наук: 01.01.07 / Шарый Сергей Петрович. -Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2000. 327 с.

4. Алефельд Г., Херцбергер Ю Введение в интервальные вычисления.- М.: Мир, 1987.

5. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Ю. Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986 г.

6. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Интервальный метод калибровки // Датчики и системы. 2000. - №9. - с. 52-60.

7. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Обработка неточных данных как неопределенных чисел // Вестник МЭИ 2005. - №3. - с. 95-107.

8. Brown Р J. Multivariate calibration // J. R. Statist.Soc.B. 1982. - 44, N3.

9. Канторович Л.В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962 г. - Т.З, №5. - с.701-709.

10. Матиясевич Ю.В. Вещественные числа и ЭВМ // Кибернетика и вычислительная техника. 1986. - №2. - с. 104 - 133.

11. Нариньяни А.С. Неопределенность в системе представления и обработки знаний // Техническая кибернетика. 1986. - №5. - с. 3 - 28.

12. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления / Институт прикладной математики ДВО РАН. — М.: Наука, 2006 г.

13. Добронец Б.С. Интервальная математика. — Учеб. пос./ Б.С. Добронец, Краснояр. гос. ун-т. — Красноярск, 2004.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. —4-е изд., перераб. и доп. М.: БИНОМ. Лаборатория изданий, 2006.

15. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1978.

16. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений: Конспект лекций. Выпуск: 1-12. СПб: ООП НИИХ СПбГУ, 1996 3003 г.

17. Меньшиков Г.Г. Локализирующие вычисления: Конспект лекций. Выпуск: 1- 4. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.

18. Меньшиков Г.Г., Орлов В.Б. Методы вычислений. Программа основного курса // Программы общих и специальных курсов факультета прикладной информатики процессов управления. — СПб: НИИ Химии СПбГУб, 2001. - с. 84-90.

19. Шайдуров В.В., Шарый С.П. Некоторые методы решения линейной задачи о допусках // Информационное оперативный материал (интервальный анализ). -Красноярск, 1989. - (Препринт ВЦ СО АН СССР; №9) - с. 38-41.

20. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. -Изд-во МЭИ (СССР); «Техника» (НРБ), 1989 г.

21. Вощинин А.П., Бочков А.Ф., Сотиров Г.Р. // Заводсткая лаборатория. — 1990 г.-Т. 56, № 7. -с.76 -95.

22. Walter Е. (Ed.) Spesial issue on parameter identification with error bound // Math. And Comput. In Simulation. 1990. - c. 32.

23. Norton J.P. (Ed.) Special issues on bounded-error estimation, 1,2// Intern. Journ. Of Adaptive Control and Signal Proc. 1994. - 8, N.l; 1995. - 9, N.2.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М: Наука, 1970 г.

25. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. -Новосибирск: Наука, 1990.

26. Sunaga Т. Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis // RAAG Memoirs. 1958. - Vol. 2, Misc. II. - p.574 - 564.

27. Добронец Б.С. Интервальная математика. — Красноярск: КГУ, 2004.

28. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. — М.:Ижевск:Ин-т компьютерных исследований, 2005.

29. Куржацкий А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1977.

30. Н. Дрейпер, Г. Смит. «Прикладной регрессионный анализ» //перевод с английского Ю.П. Адлера и В.Г. Горского. М.: Финансы и статистика, 1986.

31. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. Том 1. М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

32. Елтаренко Е.А. Оценка и выбор решений по многим критериям. — М.: МИФИ, 1995.

33. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: МНИИПУ, 1990 г.

34. Петрушин В.Н., Картечина Н.В. Нормальное и бета распределение в оценке ограниченных случайных величин. М.:МГУП, 2007, 63 - 70 с.

35. Кремер И.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003 г.

36. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

37. Абергауз Г.Г., Тронь А.П., Копенкин Ю.Н., Коровина И.А., Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат, 1966.

38. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука. Главная редакция физико математической литературы, 1981г.

39. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. -М.: Сов. радио, 1975 г.

40. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.

41. Розен В.В. Цель-оптимальность-решение. М.: Радио и связь, 1982 г.

42. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ.— М.: Радио и связь, 1993 г. —320 е.: ил.

43. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006 г.

44. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений: Сб.статей. -М.: Статистика, 1979.

45. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986 г.

46. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

47. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения.: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992.

48. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления стабилизации. Красноярск, 1994. - 13 с. - (Препринт / ВЦ СО РАН; №7)

49. Шарый С.П. Решение интервальной линейной задачи о допусках. // Вычислительные Технологии /Сборник научных трудов ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2004. 147-162 с.

50. Шарый С.П. Оптимальное внешнее оценивание множеств решений интервальных систем уравнений. Часть 1 // Вычислительные Технологии. -2002. Т. 7, №6.-С. 90-113.

51. Шарый С.П. Оптимальное внешнее оценивание множеств решений интервальный систем уравнений. Часть 2 // Вычислительные Технологии. 2003. -Т. 8, № 1.-С. 84- 109.

52. Поляк Б.Т., Назин С.А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интервальной неопределенностью // Проблемы управления и информатики. 2006. - №1. - с. 70-91.

53. Сошникова JI.A., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шеффер М. Многомерный статистический анализ в экономике. М.: ЮНИТИ, 1999.

54. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. М.: Финансы и статистика, том 1 (1983), том 2 (1985), том 3 (1989).

55. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2002.

56. Грачева М.В., Фадеева Л.Н., Черемных Ю.Н. Количественные методы в экономических исследованиях. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2004.

57. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально — экономических процессов. М.: Наука, 1992.

58. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002.

59. Moor R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs, N. J. : Prentice - Hall, 1996.

60. Hansen E.R. Global optimization using interval analysis. N.Y.: Marcel Dercel, 2004.

61. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. // Электронный вариант находится на сервере ИВТ СО РАН по адресу http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/Shary/SharyBook.pdf

62. Хлебалин Н.А. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта // Аналитические методы синтеза регуляторов. — Саратов: Саратовский политехнический институт, 1981.-е. 123 -127.

63. Oettli W. On the solution set of a linear system with inaccurate coefficients // SIAM J. Numer. Analysis. 1965. - Vol. 2, No. 1. - P. 115 - 118.

64. Moor R.E. Methods and Applications of Interval Analysis. SIAM, Philadelphia, 1979.

65. Молодцов Д.А. Экстремальные интервальные задачи (достаточные условия). М.: Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2003 г.

66. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. М.: Мир, 1982.

67. Hoskuldsson A. Predicction Methods in Science and Technology. Vol. 1. Thor Publishing, Copenhegen, Denmark, 1996.

68. Kearfott R. B. Rogorous global search: continuous problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

69. Neumaier A. Interval Method for Systems of Equation. Cambridge: Cambrige University Press, 1990.

70. Barth W., Nuding E. Optimale Losung von Intrvallgleichungssystemen // Computing. 1974. - Vol. 12. - P. 117 - 125.

71. Jaulin L., Kiefer M., Didrit O., Walter E. Applied Interval Analysis. London, Berlin: Springer, 2001.

72. Rohn J. Input-output model with interval data. // Econometrica. 1980. - Vol. 48. - p. 767 - 769.

73. Jasson C.A. global minimization method using interval arithmetic // Computer Arithmetic and enclosure Methods / Atahassova L. And Herzbeger J., eds.

74. Amsterdam: Elsevier, 1992. p. 259 -267. -( IMACS Computing and Applied Mathematics)

75. Hansen E., Walster G.W. Global optimization using interval analysis. New York: Marsel Dekker, 2003.

76. Kearfott R.B. Rigorous global search: continuous problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

77. Skelboe S. Computation of rational function // BIT. 1974. - Vol. 14. - p.87-95.

78. Ким B.M. Формальное описание показателей электропунктурной диагностики и их структурная факторизация для популяционных задач. М.: ПАИМС, 1998.

79. Лакин В.В. Метод электропунктурной диагностики по Накатани и компьютерный комплекс «Диакомс». Учебно-методическое пособие, - М.: РГМУ, 2003.

80. Видяпина Е.А. Разработка методики нахождения Парето — оптимальных решений в условиях интервальной неопределенности критериев качества. М.: МГУП, 2007.-с. 31 -39.

81. Никульчев Е.В., Петрушин В.Н., Гапонова Е.А. Модифицированный метод решения системы линейных интервальных уравнений. М.: МГУП, 2008. с. 5260.

82. Cerone V. Feasible parameter set for linear models with bounded errors in all variables // Automatica, 1993. 29. - p. 15 51 -15 5 5.

83. Вегнер Г. Исследование операций. Т. 1-3. М.: Мир, 1977.

84. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск: 1,2. М.: Мир, 1974.

85. Когаловский М.Р. Перспективные технологии информационных систем. -М.: АйТи пресс, ДМК - пресс, 2002. - 286 с.

86. Белов В.М., Суханов В.А, Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. Новосибирск: Наука, 1995.

87. Кулиш У., Рац Д., Хаммен Р., Хокс М. Достоверные вычисления. -Издательство РХД: Москва Ижевск, 2005.

88. Музыкин С.Н., Радионов Ю.М. Системный анализ. М.:МГАПИ, 2003.

89. Коллац JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969.

90. Кунцевич В.М. Об одновременном построении гарантированных оценок векторов состояния и параметров дискретных систем управления при ограниченных возмущениях и помехах // Кибернетика и вычислю. Техника. — 1990.-№6.-с. 1-10.

91. Кунцевич В.М., Лычак М.М., Никитенко А.С. Решение системы линейных уравнений при наличии неопределенности в ее обеих частях // Кибернетика. — 1988.-№4. с. 42-49.

92. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. M.:ACADEMIA. -2001.

93. Экономическая информатика: Учебник / Под.ред. В.П. Косарева, Л.В. Еремина. М.:Финансы и статистика, 2001.

94. Beynon-Davies P. Information system. An Introduction to Informatics in Organisation. Palgrave 2002.

95. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E., (Eds) Bounding approaches to system identification. New York: Plenum, 1996.

96. С.П. Соколов, Л.А. Соколова Иммунокомпьютинг для сложных интервальных систем // Труды V международной конференции «Перспективы систем информатики». Новосибирск: Институт систем информатики им. Ершова СО РАН, 2003. - с. 13-18.

97. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.:Мир, 1980.

98. Barth W., Nuding Е. Optimale Losung von Intervallgleichungssystemen // Computing. 1974. - Vol.12, p.l 17 - 125/

99. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910с.109. http://vvovw.nsc.ru/interval/Library/Thematic/DataProcs/ILeastSquares.tif

100. Сборник трудов Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (ИНТЕРВАЛ-92). Тт. 1,2. М.: МЭИ, 1992, 216 с. + 152 с.

101. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения. М.: Изд-во стандартов, 1984, 53 с.

102. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ. В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Пермский государственный университет, 1993, с.149-158.

103. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

104. Van Hentenryck P., Michel L. and Deville Y. Numerica: a modeling language for global optimization, Cambridge: MIT Press, 1997.

105. A. Semenov, D.Petunin, A.Kleymenov. GMACS the general-purpose module architecture for building cooperative solvers. In: Proceedings of the 2000 ERCIM/ Compulog Net Workshop on Constraints. Padova, Italy, June, 2000.

106. Н.Г. Видуев, Г.С. Кондра Вероятностно-статистический анализ погрешностей измерений. М.: Изд-во Недра, 1969.

107. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.