Модификация метода вихревых петель для моделирования движения вихревых структур в вязкой несжимаемой жидкости и его программная реализация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Коцур Олег Сергеевич

• Коцур Олег Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Коцур Олег Сергеевич

Введение

Глава 1. Обзор существующих подходов к моделированию вязких течений в вихревых методах

1.1. Постановка задачи

1.2. Вихревые методы гидродинамики

1.3. Модели вязкости в вихревых методах

1.4. Выводы по первой главе

Глава 2. Метод вихревых петель для невязкой жидкости

2.1. Основные определения

2.2. Приближение решений дифференциальных уравнений с помощью обобщённых функций

2.3. Дискретизация непрерывных полей с помощью петель

2.4. Дискретизация непрерывных функций с помощью отрезков

2.5. Дискретизация уравнения эволюции завихренности без учета вязкости

2.6. Выводы по второй главе

Глава 3. Моделирование вязких течений методом вихревых петель

3.1. Интегральная аппроксимация дифференциальных операторов первого порядка

3.2. Некоторые методы учёта вязкости в адаптации к вихревым петлям

3.3. О существовании и практическом поиске скорости переноса вихревых трубок в пространственных вязких течениях

Стр.

3.4. Модификация метода диффузионной скорости для метода вихревых петель (ВУМ-3Э)

3.5. Выводы по третьей главе

Глава 4. Программный комплекс УЕМ

4.1. Описание и состав программного комплекса

4.2. Описание алгоритма

4.3. Решатель УЕМ и описание основных классов

4.4. Структура файла исходных данных соПтоЮ1С;

4.5. Выводы по четвёртой главе

Глава 5. Математическое моделирование вихревых структур в

вязкой жидкости методом вихревых петель

5.1. Диффузия бесконечного прямолинейного вихря в вязкой жидкости131

5.2. Движение кругового вихревого кольца в вязкой жидкости

5.3. Эволюция эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости

5.4. Оценка влияния спиральности завихренности при эволюции вихревого эллипса

5.5. Выводы по пятой главе

Общие выводы и заключение

Литература

Приложение

Список сокращений и условных обозначений

AR — aspect ratio — отношение полуосей,

CGAL — The Computational Geometry Algorithms Library,

DPIV — Digital Particle Image Velocimetry,

DVM — Diffusion Velocity Method,

FFTW — Fastest Fourier Transform in the West,

LES — Large Eddy Simulation,

LIA — Local Induced Approximation,

MPI — Message Passing Interface,

OF — OpenFOAM,

PIC — Particle-In-Cell, метод «частиц в ячейке», PSE — Particle Strength Exchange, VIC — Vortex-In-Cell, метод «вихрей в ячейке», WM — Wolfram Mathematica,

БПФ — Particle-In-Cell, быстрое преобразование Фурье,

ВВД — метод вязких вихревых доменов,

ИД — исходные данные,

КР — модель Капланского — Руди,

МВП — метод вихревых петель,

МВЭ — Метод вихревых элементов,

МКО — метод контрольного объёма,

НФ — модель Норбери — Френкеля,

ОДУ — обыкновенные дифференциальные уравнения,

ОФ — обобщённая функция,

ПК — программный комплекс.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модификация метода вихревых петель для моделирования движения вихревых структур в вязкой несжимаемой жидкости и его программная реализация»

Введение

Актуальность темы исследования. В природе и технике существует ряд явлений и задач, связанных с движением вихревых структур типа вихревых трубок и вихревых колец в безграничном пространстве [137]. Такие явления могут иметь чисто естественный характер и наблюдаются в широком спектре атмосферных явлений [55]. Другими примерами являются генерация тороидальных вихрей при извержении вулканов (на Рис. 1 — газовое вихревое кольцо при извержении вулкана Этна, Италия), образование тороидальных вихревых колец при конвективном переносе некоторых видов семян — паппусов — имеющих особую зонтичную форму (семянка одуванчика). Особые вихревые кольца овальной формы образуются при работе левого желудочка сердца в области за митральным клапаном [85].

Подобные структуры зачастую возникают и в техногенной сфере либо как побочный эффект некоторого явления, либо как намеренно созданные с целью использования их свойств. В первом случае в качестве примеров можно привести генерацию системы вихревых колец при разрушении градирен в г. Стаффордшир, Великобритания (Рис. 2); распространение газопылевых облаков при взрывах; сход концентрированных вихревых жгутов с острых кромок самолёта при взлёте и посадке (см. Рис. 3) [21]. В некоторых случаях тороидальные вихри и, в особенности, эллиптические вихревые кольца могут способствовать интенсивному перемешиванию газовых масс, что можно использовать в камерах сгорания для ускорения гомогенизации смеси [66]. С другой стороны, движение круговых вихревых колец обладает устойчивостью на некотором интервале времени и характеризуется высокой скоростью распространения в пространстве и способностью переноса в собственном ядре некоторой газовой фазы. Эти особенности находят применение в некоторых видах оружия нелетального действия типа генераторов вихревых колец — вихревых пушек [47] (Рис. 4).

Вне зависимости от области применения, актуальной задачей является мо-

Рис. 2. Вихревые кольца при разрушении градирен

Рис. 3. Концевые вихри при посадке самолета

Рис. 4. Вихревая пушка

делирование динамики таких структур. В приложениях это может быть необходимо для оценки скорости конвективного переноса пылевого облака при разрушении объектов либо продуктов взрыва, сопровождающихся интенсивным вихреобразованием. В авиации изучение процессов генерации и распространения разгонных вихрей при взлёте или посадке самолётов и оценка времени их существования требуются для выбора безопасного временного интервала между последующими взлётами или посадками. При эксплуатации вихревых пушек

такими оцениваемыми параметрами являются скорость распространения, длина пробега кольца, а также величина потерь, обусловленных вязкой диффузией завихренности.

В некотором приближении в приведённых примерах допустимо рассматривать эволюцию вихревых структур отдельно, в отсутствии каких-либо тел в окрестности, что позволяет соответствующим образом упростить математическую модель течения жидкости, рассматривая течение в безграничном пространстве.

Для моделирования несжимаемых завихренных течений перспективным представляется класс вихревых методов вычислительной гидродинамики, в которых первичной расчётной величиной является завихренность. В частности, для моделирования структур типа вихревых трубок наиболее удобен метод вихревых петель (МВП), который относится к классу лагранжевых вихревых методов. Основным преимуществом таких методов является отсутствие сетки и относительно низкая вычислительная сложность. Особенность МВП среди других вихревых методов связана с отсутствием дополнительной завихренности, которая возникает в классических методах вихревых частиц из-за нарушения соленоидальности элементарных полей вихревых элементов.

Предложенный еще в 70-х годах прошлого века и разработанный такими исследователями как A. Leonard, G. Winckelmans, МВП, в основном, применялся для моделирования невязких течений без границ. Отсутствие механизма генерации петель на поверхности тел, сложности, связанные с перезамыканием петель, а также отсутствие адекватной и практически реализуемой модели вязкости не привели в то время к широкому распространению МВП в практике инженерных расчётов. В работах современных исследователей (С.А. Дергачев, Г.А. Щеглов, И.К. Марчевский) уделяется внимание инженерным приложениям МВП применительно к моделированию обтекания тел, однако вопросы, связанные с учётом влияния вязкости, остались открытыми. Отсутствие математической модели учёта эффектов вязкой диффузии завихренности не позволяет

использовать МВП и для моделирования вихревых структур типа трубок в пространстве без границ.

Таким образом, разработка математических моделей вязкости для метода вихревых петель и создание новых алгоритмов и программной платформы, реализующей моделирование вязких течений с использованием МВП, является актуальным направлением исследования.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью работы является разработка математической модели и алгоритмов расчёта течения вязкой несжимаемой жидкости в пространстве без границ с помощью метода вихревых петель, а также их программная реализация.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи.

1. Проведён анализ существующих математических моделей учёта вязкости, применяемых в классических вихревых методах и в гибридных сеточно-бессеточных методах.

2. Проведено теоретическое обобщение моделей вихревых элементов (вор-тон, отрезок, петля) для адаптации существующих методов учёта вязкости к модели вихревых отрезков.

3. Разработан численный метод учёта вязкости для модели вихревых петель с целью учёта эффектов вязкой диффузии завихренности в трёхмерном течении.

4. Разработан программный комплекс, реализующий метод вихревых петель с различными моделями вязкости.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.

1. Доказано, что в классе течений с ненулевой спиральностью завихренности имеются как течения, для которых не существует локального способа вычисления скорости переноса вихревых трубок, так и течения, для которых такой способ существует. Это обосновывает сложность практической реализации алгоритмов поиска поля диффузионной скорости для течений общего вида

аналогично применяемым для моделирования двумерных течений вязкой жидкости в методе вязких вихревых доменов (ВВД).

2. Доказана теорема об интегральной аппроксимации дифференциальных операторов первого порядка.

3. Разработан аналог метода диффузионной скорости для учёта влияния вязкости при моделировании пространственных течений жидкости методом вихревых петель при допущении об отсутствии спиральности завихренности.

4. Разработан программный комплекс VEM для моделирования трёхмерного течения вязкой жидкости в пространстве без границ с использованием метода вихревых петель с применением технологии параллельного программирования MPI.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости в пространстве без границ, в частности, вихревых структур типа вихревых трубок, не претерпевающих перезамыканий. Предложенная модель учёта вязкости на основе аналога диффузионной скорости может быть также использована в существующих алгоритмах МВП для моделирования движения вихревых петель в пристеночном слое, что, в свою очередь, позволит уточнить методики расчёта гидродинамических нагрузок, действующих на обтекаемые тела.

Результаты работы использованы при выполнении НИР «Стена» и НИР «Фронтон» совместно с АО «ВПК «НПО машиностроения».

Положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель учёта вязкости для моделирования безграничных пространственных течений с помощью МВП, основанная на применении аналога диффузионной скорости при допущении об отсутствии спиральности завихренности.

2. Теорема об интегральной аппроксимации дифференциальных операторов первого порядка.

3. Модификация алгоритма МВП для расчёта вязких несжимаемых течений без границ.

4. Программный комплекс VEM для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости с использованием МВП и различных моделей вязкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: «Mechanics 2016 International School-Conference of Young Scientists» (Цахкадзор, Армения, 2016), «V, VII International Conference on Topical Problems of Continuum Mechanics» (Цахкадзор, Армения, 2017, 2021), III-я Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы физико-математических наук» (Орел, 2017), «Фундаментальные и прикладные задачи механики» (Москва, 2017), «31-st Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences» (Белу-Оризонти, Бразилия, 2018), «8th International Conference on Vortex Flow Mechanics» (Сиань, Китай, 2018), «VI International Conference on Particle-based Methods: Fundamentals and Applications (Particles)» (Барселона, Испания, 2019), Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.М. Белоцерковского под рук. А.И. Желанникова, В.В. Вышинского (Москва, 2017, 2021).

Диссертационная работа является составной частью исследований, проведённых в рамках грантов РФФИ 17-08-01468 «Моделирование нелинейной динамики стабилизаторов расхода для энергетических установок летательных аппаратов вихревыми методами», 18-31-20051 «Разработка новых алгоритмов моделирования обтекания профилей и решения сопряженных задач гидроупругости на основе вихревых методов и их эффективная программная реализация для многопроцессорных ЭВМ различных архитектур», 20-08-01076 «Моделирования аэроавтоупругой динамики дозвуковых летательных аппаратов с учетом нестационарного вихревого характера обтекания»; проекта 0705-2020-0047 Министерства науки и высшего образования РФ «Теория дифференциальных уравнений, краевые задачи, связанные задачи анализа и теории приближений и некоторые их приложения».

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в том числе в 3 статьях в журналах, входящих в Перечень российских рецензируемых научных изданий, и 3 научных публикациях в изданиях, индексируемых в международных базах цитирования Scopus и Web of Science.

Личный вклад автора. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в текст диссертационной работы включен лишь материал, непосредственно принадлежащий соискателю.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, выводов, списка литературы и 2 приложений. Общий объём диссертации 193 страницы, содержит 155 иллюстраций и 11 таблиц. Список литературы включает 149 наименований.

Глава 1. Обзор существующих подходов к моделированию вязких

течений в вихревых методах

1.1. Постановка задачи

Рассматривается модель вязкой ньютоновской несжимамой жидкости в пространстве без границ. Движение такой жидкости описывается уравнением неразрывности и уравнением Навье — Стокса [35]:

V- V = 0, (1.1)

dV VÜ

Ц- + (V • V) V = -V± + ^AF, (1.2)

где V = V(x,t) — поле скоростей, p = p(x,t) — давление, p = const — плотность жидкости, v — коэффициент кинематической вязкости, х £ R3 — пространственная координата в какой-либо заданной системе координат, t — время. Символами Vф (V 0 ф), V • а и Vx b здесь и в дальнейшем обозначаются, соответственно, градиент поля ф, дивергенция поля а и ротор поля Ь.

Поле скоростей удовлетворяет условию затухания возмущения на бесконечности [34]:

lim V(x,t) = Vn, lim VV(x,t) = 0, (1.3)

|ж|—^^o |ж|—^^o

где — некоторое однородное векторное поле. В начальный момент поле скоростей V представлено заданной функцией координат:

V(х, 0) = Vo(x), V • Vo(®) = 0. (1.4)

В рамках построения вихревых методов для описания движения вязкой несжимаемой жидкости вместо поля скоростей V используют поле завихренности ш = Vx V как первичную характеристику течения. Взяв ротор от левой и правой части (1.2), при условии достаточной гладкости полей V и р, уравнение Навье — Стокса можно представить в форме уравнения эволюции завих-

ренности, которое имеет вид [75]:

д ш

— + (У • V)ш = (ш • V) V + рАш.

(1.5)

Поле завихренности в начальный момент времени задано полем

ш(х, 0) = Шо(х) = V X У0, (ж), V • Уо(х) = 0,

(1.6)

а на бесконечности из (1.3) должно удовлетворять условию

Нш ш(х, £) = 0.

(1.7)

Усиливая это условие требованием экспоненциального убывания завихренности на бесконечности, а также учитывая несжимаемость жидкости (V • V = 0), можно показать [15], что из условия V х V = ш скорость V можно единственным образом выразить через поле завихренности с помощью интеграла Био — Савара [75]:

где V« в данной работе принимается равным нулю.

Итак, уравнения (1.5) и (1.8) совместно с начальным условием (1.6) и условием экспоненциального убывания завихренности (1.7) дают интегро-диффе-ренциальную постановку задачи, которую в дальнейшем будем называть вихревой постановкой в отличие от классической постановки, состоящей из уравнений неразрывности (1.1) и Навье — Стокса (1.2), граничных условий на бесконечности (1.3) и начальных условий (1.4).

1.2. Вихревые методы гидродинамики

Вихревая постановка задачи в отличие от классической имеет следующие две особенности:

1) поле скоростей, вычисленное с помощью интеграла Био — Савара (1.8), автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности (1.1);

(1.8)

2) правая часть уравнения эволюции завихренности (1.5) не содержит члена, зависящего от давления. В результате, задача поиска полей скоростей и давления, связанных через уравнение Навье — Стокса, сводится к последовательному поиску поля скоростей с помощью уравнения (1.5) и поля давления с помощью обобщения интеграла Коши-Лагранжа для вихревых течений [1].

Вычислительные методы гидродинамики, основанные на решении задачи в вихревой постановке, называются вихревыми методами [75, 1, 145, 122]. Среди них выделяют два основных класса:

• гибридные вихревые методы (сеточно-бессеточные);

• лагранжевы вихревые методы (бессеточные).

1.2.1. Гибридные вихревые методы

Одним из недостатков сеточных методов при численном решении задач механики сплошной среды является искусственная «схемная» вязкость, возникающая при аппроксимации дифференциальных операторов на сетке [46]. Для повышения точности расчётов часто требуется использовать мелкую сетку, что сопряжено с увеличением затрат вычислительных ресурсов. Одним из источников схемной вязкости является конвективный член (V • V)*, отвечающий за перенос завихренности, энергии, массы и т.п. c течением жидкости со скоростью V.

Впервые идея моделирования конвективного переноса с помощью лагран-жевых частиц внутри сетки для борьбы со схемной вязкостью была предложена в работе [72]. Метод предназначался для решения уравнений Навье — Стокса и был первым гибридным алгоритмом, названным в дальнейшем методом «частиц в ячейке» (Particle-In-Cell, PIC). Реализация данной идеи для решения уравнения эволюции завихренности породила гибридный вихревой метод «вихря в ячейке» (Vortex-In-Cell, VIC) [75, 77, 145]. Подобно PIC метод VIC состоит в дискретизации членов, входящих в правую часть уравнения (1.5), с помощью

любых известных сеточных алгоритмов (методы контрольных объемов, конечных элементов, конечных разностей). Конвективный член аппроксимируется с помощью набора вихревых частиц, перемещающихся внутри сетки по полю скоростей. Важным отличием от лагранжевых методов является также способ вычисления скорости на сетке. Вместо затратной процедуры вычисления скорости в каждом узле с помощью интеграла Био — Савара (1.8), на сетке решается уравнение Пуассона

Д^ = -ш (1.9)

относительно векторного потенциала поля скоростей ф с дальнейшим вычислением самого поля по формуле V = V х ф.

Общий алгоритм расчёта течения вязкой жидкости в методе VIC состоит из следующих шагов [75]:

1) проецирование завихренности с частиц на узлы сетки,

2) решение уравнения Пуассона Дф = — ш и вычисление скорости V и ее градиента VV на сетке,

3) проецирование V и VV с сетки на частицы,

4) перемещение частиц по полю скоростей за шаг по времени Д£,

5) повторное проецирование завихренности с частиц на узлы сетки,

6) аппроксимация диффузионного члена иДш на сетке,

7) переход к шагу 2.

Если используется равномерная сетка, часто пользуются свойствами быстрого преобразования Фурье (БПФ) для решения уравнения Пуассона (1.9) [65]. Важным при этом является выбор адекватных граничных условий для ф и размера расчётной области. Для моделирования неограниченных непериодических течений её размер должен быть таким, чтобы нивелировать влияние условий на границе расчётной области на течение в интересующей зоне, что может свести на нет преимущества от использования БПФ [65].

Примером применения метода БПФ может служить работа [74], в кото-

рой в рамках VIC-подхода вместо прямого решения уравнения Пуассона для получения поля скоростей используется мультипольное разложение векторного потенциала 'ф — техника, пришедшая из лагранжевых методов [59, 92]. Другой пример — прямое численное моделирование (DNS) спутного следа самолёта при больших числах Рейнольдса — описан в работе [64]. Для расчёта используется более миллиарда вихревых частиц, населяющих сетку, на которой решается уравнение Пуассона (1.9) методом БПФ [136].

В целом, несмотря на то, что перенос вихревых частиц сам по себе не является причиной схемной вязкости, выполняемое на каждом шаге множественное двухстороннее проецирование между сеткой и ячейками путем восстановления непрерывного поля завихренности по известным её значениям в заданных точках методами интерполяции, часто является причиной ее появления. Как отмечается в работе [110], существующие гибридные методы типа VIC и его различные модификации лишены главного преимущества лагранжевых методов — отсутствие сетки. В связи с этим возникает закономерный вопрос об эффективности и конкурентоспособности гибридных вихревых методов типа VIC по отношению к существующим и хорошо отработанным сеточным методам вычислительной гидродинамики для решения уравнения Навье — Стокса [99].

Принципиально новая идея гибридного метода была недавно предложена Н.В. Корневым [109, 110]. Она основана на предположении, что мелкомасштабные структуры в турбулентных течениях могут быть представлены набором концентрированных осесимметричных вихрей. В отличие от VIC, использующего комбинацию сетки и метода частиц для разрешения различных частей уравнения (1.5), в подходе Н.В. Корнева сеточный метод контрольного объема [99, 45] используется для разрешения крупномасштабных структур течения, а мелкомасштабные (подсеточные) вихри моделируются с помощью частиц, которые играют роль подсеточной LES-модели турбулентности.

На каждом временном шаге между сеткой и вихревыми частицами происходит двухсторонний обмен энергией: крупные вихри, разрешаемые на сетке,

утоняются и в момент, когда их размеры становятся сопоставимыми с размером ячейки, переносятся на уровень вихревых частиц. И обратно: в случае кластеризации частиц в вихревую структуру размером больше нескольких ячеек, они переносятся на уровень сетки. Расчётный код данного метода [110] реализован на базе открытого пакета вычислительной гидродинамики OpenFOAM [130].

Существуют и другие примеры гибридных методов, объединяющих сетку и метод частиц, дополняющих друг друга [75, 131], однако они обычно разрабатываются под конкретные задачи и поэтому лишены универсальности.

Известную сложность для любых сеточных методов (в том числе и гибридных) представляет моделирование взаимодействия упругого или твердого движущегося тела и жидкости. Современные методы вычислительной гидродинамики предлагают ряд решений этой задачи, основанных на использовании динамических сеток. Один вариант, реализуемый в современных пакетах вычислительной гидродинамики (OpenFOAM, Fluent) [139], состоит в использовании деформируемой сетки, отслеживающей положение или форму твердого тела в процессе движения. Для такой сетки на каждом шаге решается уравнение Лапласа относительно перемещения ее узлов [100]. Это требует дополнительных вычислительных затрат и проецирования полей между сетками, приводящего к схемной вязкости. Кроме того, величина возможного перемещения тела обычно ограничена способностью сетки деформироваться без потери качества. Большие взаимные перемещения тел, в особенности, связанные с изменением топологии области течения (например, процесс отделения ракеты от самолёта-носителя при воздушном старте, [26]) являются сложной задачей для метода деформируемых сеток.

Другое альтернативное решение основано на методе погруженных границ [78, 77]. Неподвижная сетка равномерно заполняет всю расчётную область, заполненную жидкостью, в том числе в месте нахождения твердого тела. При этом в ячейках, пересекающих границу тела, определяются параметры течения, удовлетворяющие условию непротекания (прилипания). К недостаткам такого

подхода следует отнести неточности аппроксимации дифференциальных операторов в усеченных ячейках на границе тело — жидкость, геометрия которых постоянно меняется при движении тела.

Примеры моделирования тестовых задач и расчёты промышленного уровня демонстрируют пригодность и эффективность гибридных методов, обладающих в целом большей численной устойчивостью и точностью по сравнению с лагранжевыми вихревыми методами. Последние являются более чувствительными к градиентам скорости и подвержены кластеризации и разрежению вихревых частиц, что ухудшает качество аппроксимации производных в уравнении (1.5). В то же время, для решения большого ряда задач взаимодействия течения с телами, совершающими большие перемещения, чисто лагранжевы бессеточные методы являются практически безальтернативными, что обосновывает их актуальность и необходимость их дальнейшего развития и анализа.

1.2.2. Лагранжевы вихревые методы

Лагранжевы вихревые методы основаны на лагранжевом представлении уравнения эволюции завихренности (1.5). Они наследуют идею методов частиц, применяемых для решения широкого класса задач, в которых присутствует конвективный перенос вещества [123, 67, 134, 135]. В самой общей постановке лагранжевы методы не требуют сетки. Используя оператор материальной производной

В = Ж + (у ^

уравнение эволюции завихренности (1.5) можно переписать в виде

Ви

— = (ш •V) V + VАш. (1.10)

В Ь

Левая часть (1.10) имеет смысл изменения завихренности в жидкой частице, перемещающейся с течением по полю скоростей V. Строя численный метод по принципу перемещения материальных элементов (вихревых частиц, отрезков, нитей и т.п.), с помощью которых дискретизируется течение, можно избавиться

от необходимости аппроксимировать конвективный член и выполнять проецирование различных полей с сетки и на сетку — основные источники схемной вязкости [123]. Такие методы называют методами вихревых элементов (МВЭ).

В общем случае лагранжевых вихревых методов механизм поиска решения (1.10) — аппроксимация поля завихренности ш(х,Ь) в виде суперпозиции конечного числа п функций фк(х,Ь) с векторными весовыми коэффициентами ак(£):

п

и(х,г) ак(1)^к(х,1)- (1.11)

к=1

Функции = акфк называют полем завихренности вихревого элемента к; ак — вектор интенсивности и фк — базовая функция вихревого элемента к.

Поскольку поле завихренности по определению соленоидально, от полей ^к желательно также потребовать выполнения условия соленоидальности. Нарушение этого требования приводит к возникновению при расчётах дополнительной завихренности — векторного поля, дополняющего исходное до соленои-дального. При выборе несоленоидальных вихревых элементов дополнительная завихренность играет, в основном, деструктивную роль: во-первых, она изменяет предполагаемое приближённое поле завихренности (1.11), во-вторых, ее неучёт в алгоритме вихревого метода будет приводить к накоплению численных ошибок, в-третьих ее наличие в окрестности поверхности обтекаемого тела вносит существенную погрешность в определение гидродинамической нагрузки [37].

Аналитический вид дополнительной завихренности можно получить из исходной функции шк, применив к ней теорему разложения Гельмгольца, в соответствии с которой любое непрерывно дифференцируемое и экспоненциально убывающее на бесконечности векторное поле (¿к можно представить в виде суммы соленоидального (¿1 и потенциального ^ векторных полей [98, 93]:

шк = +

р

где потенциальная часть , взятая со знаком минус, и есть дополнительная

завихренность, дополняющая исходное поле Шк до соленоидального. Можно показать [3, 58], что соленоидальная часть поля завихренности вихревого элемента к имеет вид

1 Г х — у

— (у) • ,-^

\х - у[

"к(х) = &к(х) У^к(У) • , |3<1уу =

- ,, I 1 ( (3(Х - У)("к(У) • (х - У)) Шк(У) \ < ( )

- (ж) + ^Д-\x-yf--<4, (112)

м3

где уу обозначает элемент объёма и переменную, по которой производится интегрирование.

Формула (1.12) позволяет оценить дополнительную завихренность для различных типов вихревых элементов.

Метод вихревых частиц (вортонов)

Разнообразие существующих МВЭ определяется разнообразием типов вихревых элементов, использующихся для дискретизации поля завихренности. На практике наиболее часто применяют методы вихревых частиц (вортонов) [75, 145]. Частицы концентрируют завихренность в точке (см. Рис. 1.1), либо в некоторой сферической области (сглаженные вортоны, «блобы» [120]). Поле завихренности, аппроксимируемое набором классических точечных вортонов, не является соленоидальным. Для качественной аппроксимации поля завихренности, как показывают расчёты [56], требуется большое число таких вортонов, поскольку в трёхмерных течениях сама модель вихревой частицы плохо соответствует физической модели вихревых трубок, являющихся движущим элементом трёхмерного вихревого течения. В классическом методе вихревых частиц (вортонов) в качестве базовой функции выбираются трёхмерные (^-функции Дирака $(х) так, что поле завихренности представляется следующим образом (верхний индекс V (уоГюп) над ш обозначает дискретизацию поля завихренности с по-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Коцур Олег Сергеевич, 2022 год

Литература

1. Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. М.: Изд-во МГУ, 2006. 184 с.

2. Ахметов Д.Г., Луговцов Б.А., Тарасов В.Ф. Тушение пожаров на газонефтяных скважинах с помощью вихревых колец // Физика горения и взрыва. 1980. № 5. С. 8-14.

3. Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация поля завихренности в безграничном объеме // Журнал технической физики. 1994. Т. 64, № 11. С. 179-185.

4. Брутян М.А, Голубкин В.Н., Крапивский П.Л. Об уравнении Бернулли для осесимметричных течений вязкой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 1988. Т. 19, № 2. С. 98-100.

5. Брутян М.А. Диффузия вихревых колец в вязкой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. 38, № 3-4. С. 82-86.

6. Бэтчелор Д.К. Введение в динамику жидкости. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 800 с.

7. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.

8. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

9. Воскобойников Ю.Е., Гочаков А.В., Колкер А.Б. Фильтрация сигналов и изображений: Фурье и вейвлет алгоритмы (с примерами в Ма^са^. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. 188 с.

10. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018. 591 с.

11. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О некоторых свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия РАН. МЖГ. 1987. № 3. 176-178 с.

12. Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых доменов // Механика жидкости и газа.

2007. № 1. С. 3-14.

13. Дергачев С.А. Математическое моделирование гидродинамического нагру-жения летательного аппарата методом вихревых петель: дис. . . . канд. техн. наук. М., 2018. 173 с.

14. Дергачев С.А., Щеглов Г.А. Моделирование эволюции переплетенных вихревых нитей методом вихревых элементов // Научный Вестник МГТУ ГА.

2015. № 212. С. 18-25.

15. Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ. Том I. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 465 с.

16. Дынников Я.А., Дынникова Г.Я. О вычислительной устойчивости и схемной вязкости в некоторых бессеточных вихревых методах решения уравнений Навье — Стокса и теплопроводности // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2011. Т. 51, № 10. С. 1905—1917.

17. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двухмерных течениях вязкой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2003. № 5. С. 11-19.

18. Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье — Стокса // Доклады Академии наук. 2004. Т. 399, № 1. С. 1-5.

19. Дынникова Г.Я. Расчет трехмерных течений несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437, № 1. С. 35-38.

20. Ермаков А.В. Определение аэроупругих колебаний летательного аппарата, обусловленных вихреобразованием от порыва ветра на стартовой позиции : дис. . . . канд. техн. наук. М., 2017. 165 с.

21. Желанников А.И. К исследованию характеристик вихревого следа за самолетом А-380 на режимах взлета и посадки // Научный вестник МГТУ ГА.

2016. Т. 19, № 06. С. 51-57.

22. Желанников А.И. Метод дискретных особенностей в задачах моделирования вихревых следов за воздушными судами // Современные проблемы физико-математических наук: Материалы III Межд. науч. практ. конф. Орел, 2017.

С.157-164.

23. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. М.: Изд-во МЦНМО, 2012. 702 с.

24. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II. М.: Изд-во МЦНМО, 2012.818 с.

25. Капланский Ф. О диффузии круговой вихревой нити // Известия АН ЭССР. Физика, Математика. 1984. Т. 33, № 3. С. 372-374.

26. Короткий С.А. Анализ проектных параметров аэроупругой динамики старта аэрокосмической системы из самолета носителя с учетом интенсивного вихреобразования: дис. . . . канд. техн. наук. М., 2010. 121 с.

27. Коцур О.С. О существовании локальных способов вычисления скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности // Труды МФТИ. 2019. Т. 11, № 1. С. 76-85.

28. Коцур О.С. Математическое моделирование эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости методом вихревых петель // Математика и математическое моделирование. 2021. № 3. С. 46-59.

29. Коцур О.С. Модификация метода диффузионной скорости для моделирования вязких несжимаемых течений методом вихревых петель // Актуальные проблемы механики сплошной среды: Материалы VII межд. конф. Цахкад-зор, Армения, 2021. С. 145-149.

30. Коцур О.С., Щеглов Г.А. Реализация метода обмена интенсивностями вортонов-отрезков для учета вязкости в методе вихревых элементов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2018. № 3. С. 48-67.

31. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть

I. М: Физматгиз, 1963. 584 с.

32. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть

II. М: Физматгиз, 1963. 728 с.

33. Кузьмина К.С. Система алгоритмов для моделирования обтекания профиля в вихревых методах и программная платформа для расчета двумерных течений: дис. . . . канд. физ.-мат. наук. М., 2019. 152 с.

34. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимае-

мой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

35. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

36. Марков В.В., Сизых Г.Б. Эволюция завихренности в жидкости и газе // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2015. № 2. С. 8-15.

37. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Моделирование пространственного обтекания тела методом вихревых элементов с использованием симметричного вортона-отрезка // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: Труды XIV международного симпозиума. Харьков-Херсон, 2009. Ч. 1. С. 125-128.

38. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Модель симметричного вортона-отрезка для численного моделирования пространственных течений идеальной несжимаемой среды // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2008. № 4 (31). С. 62-71.

39. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Процедура определения интенсивности вихревого слоя при моделировании обтекания тела пространственным потоком несжимаемой среды // Математическое моделирование. 2019. Т. 31, № 11. С. 21-35.

40. Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. 660 с.

41. Моделирование и расчет контрвихревых течений / В.К. Ахметов и др. М.: МГСУ, 2012. 253 с.

42. Нелинейная теория крыла и ее приложения / Т.О. Аубакиров и др. Алматы: Гылым, 1997. 448 с.

43. Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) // Журнал экспериментальной и технической физики. 1983. Т. 84, № 3. С. 975-981.

44. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. Пространства Соболева (теоремы вложения). Учебное пособие. Казань: Казанский ун-т, 2010. 123 с.

45. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

46. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 553 с.

47. Селиванов В.В., Левин Д.П. Оружие нелетального действия. М: Изд-во МГ-ТУ, 2020. 700 с.

48. Сетуха А.В. О лагранжевом описании трехмерных течений вязкой жидкости при больших значениях числах Рейнольдса // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2020. Т. 60, № 2. C. 297-322.

49. Сизых Г.Б. Эволюция завихренности в закрученных осесимметричных течениях вязкой несжимаемой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2015. Т. 46, № 3. C. 14-20.

50. Смирнов С.К. Разложение соленоидальных векторных зарядов на элементарные соленоиды и структура нормальных одномерных потоков // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, № 4. С. 206-238.

51. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000. 376 с.

52. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

53. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы / С.М. Белоцер-ковский и др. М.: ЦАГИ, 2000. 267 с.

54. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1969. 800 с.

55. Хромов С.П., Петросянц М.А. Метеорология и климатология. М.: Изд-во МГУ, 2012. 584 с.

56. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов / Д.В. Богомолов и др. // Физика жидкостей и газов. 2008. № 4. С. 8-14.

57. Adhikari D. Some experimental studies on vortex ring formation and interaction // Master thesis. National University of Singapore, 2009. 209 p.

58. Alkemade A.J.Q. On vortex atoms and vortons // PhD Thesis. TU-Delft, 1994. 209 p.

59. Barnes J., Hut P. A hierarchical O(N log N) force-calculation algorithm //

Nature. 1986. V. 324, No. 6096. P. 446-449.

60. Beale J., Majda A. Vortex Methods. I: Convegence in Three Dimensions // Mathematics of Computation. 1982. V. 39, No. 159. P. 1-27.

61. Beale J., Majda A. Vortex Methods. II: Higher Order Accuracy in Two and Three Dimensions // Mathematics of Computation. 1982. V. 39, No. 159. P. 29-52.

62. Berker R. Sur quelques cas d'integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible // PhD thesis. Universite de Lille, 1936. 161 p.

63. Boost C++ Libraries [Электронный ресурс]. URL: https://www.boost.org (Дата обращения 02.03.2022).

64. Chatelain P., Curioni A., Bergdorf M., Rossinelli D., Andreoni W., Koumoutsakos P. Billion vortex particle direct numerical simulations of aircraft wakes // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2008. V. 197. P. 1296-1304.

65. Chatelain P., Koumoutsakos P. A Fourier-based elliptic solver for vortical flows with periodic and unbounded directions // Journal of Computational Physics. 2010. V. 229, No. 7. P. 2425-2431.

66. Cheng M., Lou J., Lim T.T. Evolution of an elliptic vortex ring in a viscous fluid // Physics of Fluids. 2016. V. 28, No. 3. P. 1-24.

67. Chertock A., Kurganov A. On a practical implementation of particle methods // Applied Numerical Mathematics. 2006. V. 56. P. 1418-1431.

68. Choquin J.P., Huberson S. Particles simulation of viscous flow // Computers & Fluids. 1989. V. 17, No. 2. P. 397-410.

69. Chorin A. Hairpin removal in vortex interactions // Journal of Computational Physics. 1990. V. 91, No. 1. P. 1-21.

70. Chorin A. Hairpin removal in vortex interactions II // Journal of Computational Physics. 1993. V. 107. P. 1-9.

71. Chorin A. Numerical study of slightly viscous flow // Journal of Fluid Mechanics. 1973. V. 57, No. 4. P. 785-796.

72. Christiansen J. Numerical solution of hydrodynamics by the method of point

vortices // Journal of Computational Physics. 1973. V. 13, No. 3. P. 363-379.

73. CMake [Электронный ресурс]. URL: http://cmake.org (Дата обращения 02.03.2022).

74. Cocle R., Winckelmans G.S., Daeninck G. Combining the vortex-in-cell and parallel fast multipole methods for efficient domain decomposition simulations // Journal of Computational Physics. 2008. V. 227, No. 4. P. 2263-2292.

75. Cottet G.-H., Koumoutsakos P. Vortex Methods. Cambridge: CUP, 2000. 326 p.

76. Cottet G.-H., Mas-Gallic S. A particle method to solve Navier — Stokes system // Numerische Matematik. 1990. V. 57. P. 805-827.

77. Cottet G.-H., Poncet P. Advances in direct numerical simulations of 3D wall-bounded flows by Vortex-In-Cell methods // Journal of Computational Physics. 2003. V. 193, No. 1. P. 136-158.

78. Cottet G.-H., Poncet P. Particle methods for direct numerical simulations of three-dimensional wakes // Journal of Turbulence. 2002. V. 3, No. 38. P. 2-9.

79. Dabiri J.O., Gharib M. Fluid entrainment by isolated vortex rings // Journal of Fluid Mechanics. 2004. V. 511. P. 311-331.

80. Danaila I., Helie J. Numerical simulation of the postformation evolution of a laminar vortex ring // Physics of Fluids. 2008. V. 20, No. 7. P. 1-15.

81. Degond P., Mas-Gallic S. The weighted particle method for convection-diffusion equations. Part 1 and Part 2 // Math. Comp. 1989. V. 53, No. 188. P. 485-525.

82. Degond P., Mustieles F.-J. A deterministic approximation of diffusion equations using particles // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1990. V. 11, No. 2. P. 293-310.

83. Dergachev S.A., Marchevsky I.K., Shcheglov G.A. Flow simulation around 3D bodies by using Lagrangian vortex loops method with boundary condition satisfaction with respect to tangential velocity components // Aerospace Science and Technology. 2019. V. 94. P. 1-15.

84. Dhanak M., De Bernardinis B. The evolution of an elliptic vortex ring // Journal of Fluid Mechanics. 1981. V. 109. P. 189-216.

85. Elbaz М., Calkoen E., Westenberg J., Lelieveldt B., Roest A., Van Der Geest

R. Vortex flow during early and late left ventricular filling in normal subjects: Quantitative characterization using retrospectively-gated 4D flow cardiovascular magnetic resonance and three-dimensional vortex core analysis // Journal of Cardiovascular Magnetic Resonance. 2014. V. 16, No. 1. P. 1-12.

86. Eldredge J., Leonard A., Colonius T. A general deterministic treatment of derivatives in particle methods // Journal of Computational Physics. 2002. V. 180, No. 2. P. 686-709.

87. FFTW Home Page [Электронный ресурс]. URL: http://fftw.org (Дата обращения 02.03.2022).

88. Fraenkel L.E. Examples of steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid // Journal of Fluid Mechanics. 1972. V. 51, No. 1. P. 119-135.

89. Fronteau J., Combis P. A Lie-admissible method of integration of Fokker-Planck equations with non-linear coefficients (exact and numerical solutions) // Hadronic Journal. 1984. V. 7, No. 5. P. 911-930.

90. Gambino G., Lombardo M.C., Sammartino M. A velocity-diffusion method for a Lotka — Volterra system with nonlinear cross and self-diffusion // Applied Numerical Mathematics. 2009. V. 59, No. 5. P. 1059-1074.

91. Golse F. Distributions, analyse de Fourier, equations aux derivees partielles. Paris: Ecole Polythech, 2020. 416 p.

92. Greengard L., Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations // Journal of Computational Physics. 1997. V. 135, No. 2. P. 280-292.

93. Gui Y., Dou W. A rigorous and completed statement on Helmholtz theorem // Progress In Electromagnetics Research. 2007. V. 69. P. 287-304.

94. Hastings C., Mischo K., Michael M. Hands-on start to Wolfram Mathematica and programming with the Wolfram Language. Wolfram Media, Inc., 2020. 324 p.

95. Hussain F., Husain H.S. Elliptic jets. Part 1. Characteristics of unexcited and excited jets // Journal of Fluid Mechanics. 1989. V. 208. P. 257-320.

96. Husain H.S., Hussain F. Elliptic jets. Part 2. Dynamics of coherent structures:

Pairing // Journal of Fluid Mechanics. 1991. V. 233, No. 439. P. 439-482.

97. Husain H.S., Hussain F. Elliptic jets. Part 3. Dynamics of preferred mode coherent structure // Journal of Fluid Mechanics. 1993. V. 248. P. 315-361.

98. Ingber M.S., Kempka S.N. A Galerkin Implementation of the Generalized Helmholtz Decomposition for Vorticity Formulations // Journal of Computational Physics. 2001. V. 169, No. 1. P. 215-237.

99. Jasak H. Error analysis and estimation for finite volume method with applications to fluid flow // PhD Thesis. Imperial Colledge. London, 1996. 394 p.

100. Jasak H.,Tukovic Z. Automatic mesh motion for the unstructured Finite Volume Method // Transactions of Famena. 2006. V. 30, No. 2. P. 1-20.

101. Kaplanski F.B., Rudi Y.A. A model for the formation of «optimal» vortex rings taking into account viscosity // Physics of Fluids. 2005. V. 17, No. 8. P. 1-7.

102. Kaplanski F., Rudi Y. Reynolds-number effect on vortex ring evolution in a viscous fluid // Physics of Fluids. 2012. V. 24, No 3. P. 1-20.

103. Kaplanski F., Rudi U. Dynamics of a viscous vortex ring // International Journal of Fluid Mechanics Research. 1999. V. 26, No. 5/6. P. 618-630.

104. Katz J., Plotkin A. Low-Speed Aerodynamics. Cambrige: CUP, 2001. 613 p.

105. Keiner J., Kunis S., Potts D. Using NFFT 3 — A software library for various nonequispaced fast fourier transforms // ACM Transactions on Mathematical Software. 2009. V. 36, No. 4. P. 1-23.

106. Kempka S., Strickland J. A method to simulate viscous diffusion of vorticity by convective transport of vortices at a non-solenoidal velocity. Technical report SAND93-1763. Engineering Sciences Center, Sandia National Laboratories. Albuquerque, 1993. 32 p.

107. Kiya M., Toyoda K. Ishii H., Kitamura M., Ohe T. Numerical simulation and flow-visualization experiment on deformation of pseudo-elliptic vortex rings // Fluid Dynamics Research. 1992. V. 10, No. 2. P. 117-131.

108. Kornev N., Denev J., Samarbakhsh S. Theoretical background of the hybrid WLES method for flows with variable transport properties // Fluids. 2020.

V. 5, No. 45. P. 1-16.

109. Kornev N. Hybrid method based on embedded coupled simulation of vortex particles in grid based solution // Computational Particle Mechanics. 2017. V. 5, No. 3. P. 269-283.

110. Kornev N., Samarbakhsh S. Large eddy simulation with direct resolution of subgrid motion using a grid free vortex particle method // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2019. V. 75. P. 86-102.

111. Kotsur O., Shcheglov G. Difficulties in implementation of viscosity models in the fragmenton-based vortex methods // 6th International Conference on Particle-Based Methods. Fundamentals and Applications: Book of proc. Barcelona, 2019. P. 579-589.

112. Kotsur O.S., Shcheglov G.A. Viscous fluid simulation with the vortex element method // 31st Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences: Book of proc. Belo Horizonte, Brasil, 2018. P. 1-10.

113. Kuzmina K., Marchevsky I., Ryatina E. Numerical simulation in 2D strongly coupled FSI problems for incompressible flows by using vortex method // AIP Conference Proceedings. 2018. V. 2027. Art. 040045.

114. Kuzmina K., Marchevsky I., Moreva V., Ryatina E. Cost-efficient numerical schemes for the boundary integral equation solution in 2D vortex methods // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1348, No. 1. Art. 012100.

115. Kuzmina K.S., Marchevskii I.K., Moreva V.S. Vortex sheet intensity computation in incompressible flow simulation around an airfoil by using vortex methods // Mathematical Models and Computer Simulations. 2018. V. 10. No. 3. P. 276-287.

116. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Ryatina E.P. On CPU and GPU parallelization of VM2D code for 2D flows simulation using vortex method // 6th European Conference on Computational Mechanics and 7th European Conference on Computational Fluid Dynamics: Book of proc. Glasgow, 2018. P. 2390-2401.

117. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Ryatina E.P. Open source code for 2D incompressible flow simulation by using meshless Lagrangian vortex methods // Ivannikov ISPRAS Open Conference: Book of proc. Moscow, 2017. P. 97-103.

118. Lacombe G., Mas-Gallic S. Presentation and analysis of a Diffusion-Velocity Method. The linear case // ESAIM: Proceedings. Vol. 7, 1999. P. 225-233.

119. Leonard A. Numerical simulation of interacting three-dimensional vortex filaments // Fourth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics. Lecture Notes in Physics: Book of proc. Berlin, 1975. Vol. 35. P. 245-250.

120. Leonard A. Vortex Methods for Flow Simulation // Journal of Computational Physics. 1980. V. 37. P. 289-335.

121. Marchevsky I., Shcheglov G. 3D vortex structures dynamics simulation using vortex fragmentons // 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering: Book of proc. Vienna, 2012. P. 5716-5735.

122. Mimeau C., Mortazavi I. A Review of Vortex Methods and Their Applications: From Creation to Recent Advances // Fluids. 2021. V. 6, No. 68. P. 1-49.

123. Monaghan J.J. Particle Method for Hydrodynamics // Computer Physics Reports. 1985. V. 3. P. 71-124.

124. Moukalled F., Mangani L. The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics. An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab. London: Springer, 2015. 791 p.

125. MPI Forum [Электронный ресурс]. URL: https://www.mpi-forum.org (Дата обращения 02.03.2022).

126. Mycek P., Pinon G., Germain G., Rivoalen E. A self-regularising DVM-PSE method for the modelling of diffusion in particle methods // Comptes Rendus — Mecanique. 2013. V. 341, No. 9/10. P. 709-714.

127. Mycek P., Pinon G., Germain G., Rivoalen E. Formulation and analysis of a diffusion-velocity particle model for transport dispersion equations // Computational and Applied Mathematics. 2016. V. 35, No. 2. P. 447-473.

128. Norbury J. A family of steady vortex rings // Journal of Fluid Mechanics. 1973. V. 57, No. 3. P. 417-431.

129. Ogami Y., Akamatsu T. Viscous flow simulation using the discrete vortex model — the Diffusion Velocity Method // Computers & Fluids. 1991. V. 19, No. 3/4. P. 433-441.

130. OpenFOAM — Official home of The Open Source Computational Fluid Dynamics (CFD) Toolbox. [Электронный ресурс]. URL: https://openfoam.com/ (Дата обращения 02.03.2022).

131. Ould-Salihi M.L., Cottet G.-H., El Hamraoui M. Blending finite-difference and vortex methods for incompressible flow computations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2001. V. 22, No. 5. P. 1655-1674.

132. ParaView [Электронный ресурс]. URL: http://paraview.org (Дата обращения 02.03.2022).

133. Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Third Mathematics Congress: Book of proc. Heidelberg, 1904. P. 484-491.

134. Raviart P.A. An analysis of particle methods // Numerical Methods in Fluid Dynamics. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1127. Berlin: Springer, 1985. P. 243-324.

135. Reboux S., Schrader B., Sbalzarini I.F. A self-organizing Lagrangian particle method for adaptive-resolution advection-diffusion simulations // Journal of Computational Physics. 2012. V. 231, No. 9. P. 3623-3646.

136. Sbalzarini I.F., Walther J.H., Bergdorf M., Hieber S.E., Kotsalis E.M., Koumoutsakos P. PPM — A highly efficient parallel particle-mesh library for the simulation of continuum systems // Journal of Computational Physics. 2006. V. 215, No. 2. P. 566-588.

137. Shariff K., Leonard A. Vortex rings // Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. V. 24. P. 235-279.

138. The Computational Geometry Algorithms Library [Электронный ресурс]. URL: http://cgal.org (Дата обращения 02.03.2022).

139. Tukovic Z., Jasak H., Karac A., Cardiff P., Ivankovic A. OpenFOAM finite volume solver for fluid-solid interaction // Transactions of Famena. 2018. V. 42, No. 3. P. 1-31.

140. Wang Z., Chen B. Numerical investigation of the evolution of elliptic vortex ring // Progress in Computational Fluid Dynamics. 2012. V. 12, No. 1. P. 19-26.

141. WeiBmann S., Pinkall U. Filament-based smoke with vortex shedding and variational reconnection // ACM Transactions on Graphics. 2010. V. 29, No. 4. P. 1-12.

142. Weyl H. On the volume of tubes // American Journal of Mathematics. 1939. V. 61, No. 2. P. 461-472.

143. Winckelmans G., Leonard A. Weak solutions of the threedimensional vorticity equation with vortex singularities // Physics of Fluids. 1988. V. 31, No. 7. P. 1838-1839.

144. Winckelmans G.S. Topics in vortex methods for the computation of three-and two-dimensional incompressible unsteady flows // PhD Thesis. California Institute of Technology. Pasadena, 1989. 290 p.

145. Winckelmans G.S. Vortex Methods. Encyclopedia of computational mechanics: in 6 vols. 2nd ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2017. Vol. 5: Fluids - Pt. 1. Ch. 10. P. 415-439.

146. Wu J.-Z., Ma H.-Y., Zhou M.-D. Vorticity and Vortex Dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 2006. 776 p.

147. Zabusky N.J., Hughes M.H., Roberts K.V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions // Journal of Computational Physics. 1979. V. 30, No. 1. P. 96-106.

148. Zhao Y., Shi X. Evolution of single elliptic vortex rings // Acta Mechanica Sinica. 1997. V. 13, No. 1. P. 17-25.

149. Zuhal L.R., Dung D.V., Sepnov A.J., Muhammad H. Core spreading vortex method for simulating 3D flow around bluff bodies // Journal of Engineering and Technological Sciences. 2014. V. 46, No. 4. P. 436-454.

Приложение

П.1 Пример файла исходных данных controlDict

# Описание расчетного случая

caseName caseType caseDescription runType restartFrom

# Настройки решателя startTime endTime timeStep writeInterval ddtScheme

# Модель вязкости viscModel nu

# Сглаживание петель eps

epsPse

nGaussPoints nSplinePoints FragFunction

ellipsetest ELLIPSE

Тест_эллиптического_кольца FULLRUN

filaments_25.000000.txt

0 60

0.05

0.5

RK2

DVM_PSE_MOD 0.0012

>

0.035 0.035 1 5

WGAUS

# Геометрия вихревой трубки

VR.circulation

VR.radius

VR.coreRadius

VR.nLayers

VR.nSegments

VR.ovalHalfLength

VR.coreFunction

VR.sectionType

VR.printGFrags

1 2 0.1

4

30 1

GAUSSIAN

EQUIAREAL

false