Модификация и исследование метода Т-матриц в задачах рассеяния электромагнитного излучения телами вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Лоскутов, Андрей Александрович

• Лоскутов, Андрей Александрович
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лоскутов, Андрей Александрович

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. Анализ основных подходов к решению проблемы рассеяния электромагнитного излучения телами несферической формы

1.1. Дифференциальные и интегральные постановки задачи рассеяния

1.2. Строгие методы решения задачи рассеяния

1.2.1. Метод разделения переменных

1.2.2. Метод Т-матриц (расширенных граничных условий)

1.2.3. Применение сферического базиса и гипотеза Релея

1.2.4. Другие строгие методы

1.3. Приближенные методы решения задачи рассеяния

1.3.1. Приближение Релея

1.3.2. Приближение Релея-Ганса

1.3.3. Квазистатическое приближение

1.3.4. Другие приближения

1.4. Выводы

РАЗДЕЛ 2. Дифракция поля вертикального диполя на осесимметричном абсолютно проводящем теле

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Вывод интегральных уравнений

2.4. Вывод бесконечных алгебраических систем

2.5. Исследование бесконечных алгебраических систем

2.6. Тесты и результаты численных расчетов

2.7. Выводы

РАЗДЕЛ 3. Решение осесимметричной задачи рассеяния электромагнитного излучения диэлектрическими телами

3.1. Введение

3.2. Стандартная схема решения задачи

3.3. Модифицированная схема решения задачи

3.4. Метод диаграммных уравнений

3.5. Аналитическое исследование бесконечных алгебраических систем

3.6. Численный анализ области применимости метода Т-матриц

3.7. Выводы

РАЗДЕЛ 4. Рассеяние плоской электромагнитной волны абсолютно проводящими телами с осевой симметрией

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи

4.3. Решение осесимметричной задачи

4.4. Решение неосесимметричной задачи

4.5. Аналитическое исследование бесконечных алгебраических систем

4.6. Характеристики рассеянного излучения

4.7. Тесты и результаты численных расчетов

4.8. Выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модификация и исследование метода Т-матриц в задачах рассеяния электромагнитного излучения телами вращения»

Актуальность проблемы. При решении многих реальных проблем радиофизики, оптики атмосферы и океана, геофизики, астрофизики, биофизики и т.д. требуются надежные сведения о характеристиках электромагнитного излучения тел, возбужденных точечными источниками, либо о характеристиках излучения, рассеянного отдельными объектами и их совокупностями. Так, дифракция поля электрического (магнитного) диполя в присутствии абсолютно проводящего или диэлектрического тела служит широко распространенной моделью в теории антенн [5,8,9,16,26,50,83,88], распространении волн в волноводе Земля - ионосфера и т.д. Рассеяние электромагнитного излучения отдельными частицами и их ансамблями играет важную роль в локации [50,89], при исследовании распространения излучения в дисперсных средах [7,8,10,31,51-53,69,74,76,77,83](анализ влияния естественных и искусственных аэрозолей, метеообразований и т.п.), радиационного баланса атмосферы Земли [25] и т.д. В последние годы большое значение придается оптическим методам контроля за состоянием биосферы на основе мониторинга окружающей среды и дистанционного зондирования атмосферы в различных регионах [20,21].

Обычно моделью рассеивающих объектов являются однородные шары [7,31,51-53,77,83]. Однако реальные объекты и частицы имеют несферическую форму и, как правило, достаточно хорошо могут быть аппроксимированы аксиально симметричными телами [10,2022,31,77,83]. Важнейшим частным случаем подобных рассеивателей является вытянутый или сплюснутый сфероид (эллипсоид вращения). Модель сфероидов дает возможность исследовать основные эффекты, возникающие при отклонении формы рассеивателей от шарообразной. В этом случае появляется дополнительный, по сравнению с шаром, геометрический параметр - отношение большой полуоси сфероида к малой а/Ь, варьируя который можно рассматривать тела от близких по форме к сферическим до игл (вытянутые сфероиды) и дисков (сплюснутые сфероиды). Привлечение других моделей несферических объектов (конечные круговые цилиндры, чебышевские частицы (многолистники) и т.д.) позволяет более полно исследовать возникающие эффекты [77,83,86].

Большинство современных методов расчета рассеяния электромагнитного излучения несферическими телами конечных размеров являются универсальными, т.е. могут быть применены к рассеивателям произвольной формы. Наиболее известными из них являются: метод Т-матрицы [31,57,77,84,91-94], различные варианты метода интегральных уравнений [9,24,69,95], включая метод дискретных диполей [63,64,77] и близкий к нему метод вторичных источников [16,17]. Чаще всего они применяются при изучении рассеяния света осесимметричными частицами (сфероиды, чебышевские частицы, конечные круговые цилиндры и т.д.). Однако даже для таких частиц с размерами, сравнимыми с длиной волны падающего излучения, расчеты характеристик рассеянного излучения требуют значительного компьютерного времени [70,77]. Исключение составляет, до некоторой степени, метод Т-матрицы, но он неудовлетворительно работает при значительном отклонении формы частицы от сферической. С другой стороны, в случае тел сфероидальной формы хорошо себя зарекомендовал метод разделения переменных [54,77,86].

Цель работы. Основной целью диссертации является развитие, а также аналитическое и численное исследование модифицированного метода Т-матриц для решения задачи рассеяния электромагнитного излучения аксиально симметричными телами при помощи специально выбранных скалярных потенциалов.

Задачи работы. 1. Решение модифицированным методом Т-матриц осесимметричных задач дифракции электромагнитных волн на абсолютно проводящих и диэлектрических телах вращения с использованием скалярных потенциалов, связанных с азимутальными компонентами электромагнитных полей.

2. Аналитическое и численное исследование построенных решений, включающее анализ разрешимости бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и численное тестирование.

3. Решение неосесимметричной задачи дифракции плоской электромагнитной волны на абсолютно проводящих телах вращения модифицированным методом Т-матриц. Аналитическое и численное исследование, итогом которого является определение области применимости метода Т-матриц и его модификаций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математической физики, теории функций комплексного переменного, линейной алгебры и вычислительной математики. Для численного тестирования рассматриваемых задач, а также для расчета характеристик рассеянного излучения используется язык FORTRAN.

Научная новизна работы. 1. Предлагается новый подход к решению рассматриваемых задач дифракции электромагнитных волн на осесимметричных телах, который соединяет преимущества метода разделения переменных для сфероидов (выбор скалярных потенциалов) и метода Т-матрицы (интегральная постановка задачи и представление полей в виде разложений по волновым сферическим функциям).

2. Проведенное аналитическое и численное исследование решений задач дифракции на абсолютно проводящих и диэлектрических телах вращения позволило сделать строго обоснованные выводы относительно области применимости метода Т-матриц и его модификаций.

Научная и практическая значимость работы. Особую практическую и научную ценность имеет аналитико-численное исследование области применимости модифицированного метода Т-матриц в задачах рассеяния электромагнитного излучения абсолютно проводящими и диэлектрическими телами вращения. Это тем более важно, что полученные результаты справедливы не только для этой конкретной модификации, но и в отношении метода Т-матриц в целом, включая рассеяние света дисперсными системами. Практический интерес представляет комплекс программ, которые реализуют построенные алгоритмы расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы (см. website http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS).

Содержание диссертации. Во введении показана актуальность исследований, проведенных в диссертации, сформулирована цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, их новизна и практическая ценность.

Первый раздел посвящен обзору различных строгих и приближенных методов и подходов к решению проблемы рассеяния электромагнитного излучения отдельными телами. Сначала приводятся диффренциальные и интегральные формулировки задачи, а также формулы для характеристик рассеянного излучения, включая интегральные сечения ослабления и рассеяния, факторы эффективности радарного рассеяния и диаграммы направленности. Во втором подразделе рассматриваются строгие методы решения задачи дифракции: разделение переменных, метод Т-матриц (или расширенных граничных условий), различные варианты метода интегральных уравнений, аппроксимация дискретными диполями и метод вспомогательных источников, метод возмущений. Здесь отмечаются их основные достоинства и недостатки, в частности, приводится таблица сравнительных характеристик методов разделения переменных и Т-матриц.

Основными моментами метода Т-матриц являются: 1) формулировка задачи в виде поверхностных интегральных уравнений с использованием функции Грина волнового уравнения, 2) применение волновых сферических функций в качестве базиса для разложений электромагнитных полей (или скалярных потенциалов) и 3) определение неизвестных коэффициентов разложений из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Наша модификация метода Т-матриц относится к первому шагу. Электромагнитные поля выражаются через специальным образом выбранные скалярные потенциалы, относительно которых и формулируется задача. Эти потенциалы полностью оправдали себя при решении электромагнитной задачи дифракции на сфероидах методом разделения переменных.

Приближения Релея, Релея-Ганса, ван де Хюлста (аномальной дифракции) и ВКБ (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна), квазистатическая аппроксимация и Э-аппроксимация обсуждаются в последнем подразделе. Изложение основывается на едином подходе, при котором характеристики рассеянного излучения находятся по внутреннему полю, которое аппроксимируется либо из физических соображений, либо при помощи решений более простых задач.

Во втором разделе рассматривается дифракция поля электрического или магнитного диполя на абсолютно проводящем теле вращения в осесимметричном случае, т.е. предполагается, что диполь находится на оси вращения тела и направлен вдоль нее.

Для решения задачи вводятся скалярные потенциалы, связанные с азимутальными компонентами напряженностей электрического и магнитного полей.

Все компоненты электромагнитных полей выражаются через эти скалярные потенциалы, поэтому их использование позволяет свести исходную векторную задачу электромагнитной дифракции к скалярной задаче относительно потенциалов.

Скалярные потенциалы удовлетворяют волновому уравнению, граничным условиям и условию излучения на бесконечности. Учитывая свойства решений волнового уравнения, выводятся поверхностные интегральные уравнения относительно скалярных потенциалов. Каждый из двух потенциалов определяется независимо от другого.

На следующем этапе потенциалы представляются в виде разложений по волновым сферическим функциям. Принимая во внимание аналогичное разложение для функции Грина и ортогональность угловых сферических функций на любой сфере, поверхностные интегральные уравнения сводятся к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (Б СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложений потенциалов рассеянного излучения.

Полученные БСЛАУ аналогичны системам, к которым приходят при использовании метода диаграммных уравнений (МДУ) для решения скалярной задачи дифракции [28,30]. Результаты аналитического исследования разрешимости БСЛАУ, возникающих в рамках МДУ, справедливы и в нашем случае. В диссертации показано, что МДУ является модификацией метода Т-матриц, когда рассеянное поле определяется только в дальней зоне относительно рассеивателя ((г —> сю)). Тела, для которых можно обоснованно применять метод Т-матриц в дальней зоне, предлагается называть "слабо релеевскими". Заметим что "релеевскими"называются тела, для которых справедлива гипотеза Релея: разложения полей по волновым сферическим функциям сходятся вплоть до границы рассеивателя. Для этого необходимо и достаточно, чтобы особенности аналитического продолжения рассеянного поля находились внутри сферы, полностью содержащейся внутри рассеивающего тела [2]. Для того, чтобы сфероид был релеевским телом, необходимо и достаточно, чтобы отношение его полуосей удовлетворяло условию а/Ъ < у/2. Для того, чтобы тело было "слабо релеевским "необходимо и достаточно, что области сходимости аналитических продолжений решений внутренней и внешней задач имели бы общее кольцо с центром в начале координат. Последнее условие значительно более слабое, чем гипотеза Релея, в частности, ему удовлетворяют все выпуклые тела с аналитическими границами, в том числе любые сфероиды.

Для тестирования используется закон сохранения энергии и оптическая теорема при условии, что падающим излучением является не зависящая от азимутального угла часть плоской волны. Это утверждение справедливо, так как оператор, соответствующий задаче дифракции, и оператор Ьг = д/д(р коммутируют. Численные расчеты, проведенные для сфероидов и чебышевских частиц (образующие их поверхности описываются полиномами Чебышева), подтверждают справедливость полученных ранее аналитических результатов.

В заключение раздела приводятся диаграммы направленности излучения, рассеянного вытянутыми и сплюснутыми сфероидами, чебышевскими частицами и конечными круговыми цилиндрами, когда источником падающего излучения является диполь, расположенный на оси вращения тела и направленный вдоль нее.

Осесимметричная задача дифракции электромагнитного излучения на диэлектрическом теле вращения рассматривается в третьем разделе. Сначала излагается стандартная схема решения задачи, когда на первом шаге определяется поле внутри тела, а затем по внутреннему полю определяется рассеянное. В модифицированной схеме рассеянное поле определяется непосредственно. Кроме того, излагается метод диаграммных уравнений применительно к данной задаче. Данный метод является модификацией метода Т-матриц, когда рассматривается только поле в дальней зоне. Следует отметить, что БСЛАУ, получающиеся в рамках МДУ и в модифицированной схеме, совпадают.

Центральное положение в данном разделе занимает исследование БСЛАУ, которые возникают при решении рассматриваемой задачи. С помощью метода перевала оцениваются матричные элементы и свободные члены БСЛАУ. Найденные оценки позволяют сделать вывод о том, что для бесконечных систем, как и в скалярном случае (см. раздел 2), справедлива альтернатива Фредгольма и решение может быть найдено методом редукции при условии ai < сг2, где а\ - расстояние от начала координат до наиболее удаленной особой точки рассеянного излучения, <72 - расстояние от начала координат до ближайшей особой точки излучения внутри частицы. Таким образом, области применимости метода Т-матриц и его модификаций различны для релеевских и "слабо релеевских"рассеивателей и определяются только их геометрией. В первом случае метод можно применять во всей области вне рассеивающего тела, во втором - область применимости ограничивается дальней зоной, т.е. можно вычислять сечения ослабления, рассеяния и поглощения, а также индикатрисы рассеянного излучения, но нельзя достоверно вычислять интенсивности излучения на конечном расстоянии от рассеивателя. Сфероиды являются релеевскими рассеивателями при а/Ъ < \/2 и слабо релеевскими - при а/Ь < сю.

Численный анализ подтверждает выводы теории, в том числе область применимости метода Т-матриц, действительно, слабо зависит от химического состава (диэлектрической проницаемости) рассеивающей частицы и ее ориентации. Расчеты показали, что для сфероидов предложенное решение имеет некоторое преимущество перед классической схемой в области больших отношений а/Ъ.

В последнем разделе рассматривается рассеяние плоской электромагнитной волны абсолютно проводящим осесимметричным телом. По сравнению с предыдущими задачами данная является неосесимметричной, т.е. падающее и рассеянное электромагнитные поля зависят от азимутального угла. Для ее решения используются скалярные потенциалы, которые наиболее эффективны для сфероидов в рамках метода разделения переменных [37, 40], особенно при значительном отклонении их формы от сферической [86,87].

Аналитическое и численное исследование области применимости метода Т-матриц в рассматриваемой неосесимметричной задаче дает результаты аналогичные тем, которые получаются для осесимметричных задач. В качестве теста на правильность получающихся численных результатов можно рассматривать сходимость разложений для внутреннего и внешнего излучений на поверхности рассеивателя и поточечное выполнение граничных условий. Если рассматривается только рассеянное поле в дальней зоне, то в качестве теста наряду со сходимостью в дальней зоне самих разложений можно использовать закон сохранения энергии для непоглощающих частиц.

Результаты исследований по теме диссертации были получены при выполнении НИР по двум грантам Центра фундаментальных исследований (СПбГУ) и гранту фонда концерна "Фольксваген"(1998 -2000 гг.), а также госбюджетного НИР кафедры прикладной математики ГУАП.

Апробация диссертации. Основные научные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на трех международных конференциях "Естественные и антропогенные аэрозоли"(С-Петербург, 1997, 1999 и 2001гг.), двух международных семинарах "Day on Diffraction" (С-Петербург, 2000 и 2001 гг.), Межрегиональной конференции "Экология космоса" (С-Петербург, 2002), а также докладывались на научных семинарах в С-Петербургском отделении математического института РАН им. А.В.Стеклова, Астрофизическом институте Университета Йены (Германия), кафедры прикладной математики СПбГУАП.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано семь печатных работ, в том числе пять статей [6,32,33,47,67] и тезисы докладов

Farafonov V.G., IPin V.B., Loskutov А.А. On applicability of T-matrix-like methods. // Day on Diffraction '2001. Abstract. Universitas Petropoli-tana, p.29, 2001.

Фарафонов В.Г., Ильин В.Б., Лоскутов А.А., Прокопьева М.С. О применимости метода Т-матриц для расчета рассеяния несферическими частицами. // Межрегиональная конференция "Экология космоса" (С-Петербург, 2002). Тезисы докладов. Изд-во НИИХ СПбГУ, 2002. С. 1617.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лоскутов, Андрей Александрович

4.8. ВЫВОДЫ

В последнем разделе были получены следующие результаты.

1. Модифицированным методом Т-матриц построено новое решение задачи рассеяния электромагнитного излучения абсолютно проводящими телами в неосесимметричном случае. Все поля представлялись в виде суммы двух слагаемых, одно из которых не зависит от азимутального угла, а интегрирование другой по этому углу дает ноль. Для каждой части задача решается самостоятельно. В неосесимметричной задаче в качестве скалярных потенциалов использовались комбинации потенциалов Дебая и вертикальных компонентов векторов Герца. Первые из них применялись ранее в задачах для шаров, вторые - в задачах для бесконечных круговых цилиндров.

2. Проведено аналитическое исследование области применимости модифицированного метода Т-матриц в неосесимметричном случае рассеяния электромагнитных волн абсолютно проводящими телами вращения. Показано, что область применимости метода Т-матриц и его модификаций определяется формой частиц.

3. Численный анализ подтвердил теоретические выводы. Эффективность иетода Т-матриц в неосесимметричном случае примерно такая же, как и в осесимметричном. С ростом размерности решаемых систем линейных алгебраических уравнений они становятся плохо обусловленными, что приводит к значительной потере точности расчетов. Так как количество учитываемых слагаемых в разложениях полей (и размерность алгебраических систем) увеличивается с ростом размера рассеивателя, а также с отклонением его формы от шара, то эффективность метода в этих случаях ухудшается. Однако модифицированный метод эффективнее классического для вытянутых и сплюснутых сфероидов с большими отношениями а/Ь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации предложены новые решения задачи дифракции электромагнитных волн на абсолютно проводящих и диэлектрических телах вращения в осесимметричном случае, а также решение задачи рассеяния плоской электромагнитной волны абсолютно проводящими осесимметричными телами. Они являются модификациями метода Т-матриц, отличаясь специальным выбором скалярных потенциалов. Эти потенциалы оправдали себя при решении задачи для сфероидов методом разделения переменных. Показано, что метод диаграммных уравнений является модификацией метода Т-матриц при условии, что рассеянное поле рассматривается только в дальней зоне.

2. Аналитическое исследование области применимости метода Т-матриц и его модификаций показало, что она различна для релеевских и "слабо релеевских"рассеивателей (в этот класс входят все выпуклые тела с аналитическими границами). В первом случае метод можно применять всюду вне рассеивающего тела, во втором - только в дальней зоне. Показано, что область применимости метода Т-матриц и его модификаций определяется только формой частиц. Сфероиды (эллипсоиды вращения) являются релеевскими рассеивателями при а/Ь < \/2 и слабо релеевскими - при любых отношениях а/Ъ. В случае чебышевских частиц класс "слабо релеевских"рассеивателей также шире класса "релеевских"тел, в который, в свою очередь, входят все выпуклые чебышевские частицы.

3. Численный анализ подтвердил выводы теории. Область применимости метода Т-матриц и его модификаций действительно определяется, в основном, формой рассеивателей, и слабо зависит от их химического состава и ориентации. Эффективность метода ухудшается по мере отклонения формы рассеивателя от шара. Для сфероидов предложенное решение имеет преимущество перед классической схемой в области больших отношений а/Ъ в силу лучшей сходимости разложений по волновым сферическим функциям.

4. Практический интерес представляет комплекс программ для расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лоскутов, Андрей Александрович, 2003 год

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным рядам. М.: Наука, 1978.

2. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. М.: Изд-во МГУ, 1990.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие гранцендентные функции. Т. 1. -М.: Наука, 1973.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие транцендентные функции. Т. 2. -М.: Наука, 1974.

5. Белкина М.Г. Характеристики излучения вытянутого эллипсоида вращения. // В сб. "Дифракция электромагнитных волн на некоторых телах вращения". М.: Сов. радио, 1957. С. 126.

6. Борен К., Хафмен Д. Рассеяние и поглощение света малыми частицами. М.: Мир, 1986.

7. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957.

8. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

9. Волковицкий O.A., Павлова Л.Н., Петрушин А.Г. Оптические свойства кристаллических облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

10. Вощинников Н.В., Фарафонов В. Г. Рассеяние света диэлектрическими сфероидами.I. // Опт. и спектр. 1985. Т. 58. N 1. С. 135.

11. Вощинников Н.В., Фарафонов В. Г. О применимости квазистатического и релеевского приближений для сфероидальных частиц. // Опт. и спектр. 2000. Т. 88. N 1. С. 78.

12. Вощинников Н.В., Фарафонов В.Г. Характеристики излучения, рассеянного вытянутыми и сплюснутыми абсолютно проводящимисфероидоми. // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33. N 7. С. 1364.

13. Вычислительные методы в электродинамике. Под редакцией Р.Митры. М.: Мир, 1977.

14. Дышко А. Л., Конюхова Н.Б. Численные исследования вынужденных электрических осесимметрических колебаний идеально проводящего вытянутого сфероида. // Ж. выч. математики и мат. физики. 1995. Т. 35. N 5. С. 753.

15. Еремин Ю.А. Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1992.

16. Еремин Ю.А. Захаров Е.В., Несмеянова Н.И. Метод фундаментальных решений в задачах дифракции электромагнитных волн на телах вращения. / / Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1980. Вып. 32. С. 28.

17. Захаров Е.В., Еремин Ю.А. О методе решения осесимметричных задач дифракции электромагнитных волн на телах вращения. // Ж. выч. математики и мат. физики. 1979. Т. 19. N 5. С. 1344.

18. Зоммерфельд А. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1951.

19. Ивлев Л.С. Моделирование оптических характеристик атмосферных аэрозолей. // Оптический журнал. 2001, Т. 68, С. 9.

20. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2000.

21. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах Т. 1. М.: Мир, 1981.

22. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962.

23. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

24. Кондратьев К.Я., Ивлев Л.С. Проблемы космической экологии и мониторинг аэрозолей // Оптический журнал. 2001, Т. 68, С. 3.

25. Красюк В.Н. Антенны с диэлектрическими покрытиями. М.: Радио и связь, 1986.

26. Комаров В.И., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальныеи кулоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976.

27. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров. // Докл. РАН. 1994. Т. 337. N 6. С. 728.

28. Кюркчан А.Г. Решение векторных задач рассеяния методом диаграммных уравнений. // Радиотехн. и электрон. 2000. Т. 45. N 9. С. 1078.

29. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений. // Радиотехн. и электрон. 1995. Т. 40. N 6. С. 897.

30. Лопатин В.Н., Сидько Ф.Я. Введение в оптику взвесей клеток. -Новосибирск: Наука, 1988.

31. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

32. Свешников А.Г., Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Исследование некоторых математических моделей в теории дифракции методом неортогональных рядов. // Радиотехника и электроника. 1985. Т. 30. N 4. С. 697.

33. Стреттон Дж. Теория электромагнетизма. М.: ОГИЗ, 1948.

34. Фарафонов В.Г., Славянов С.Ю. Дифракция плоской электромагнитной волны на абсолютно проводящем сфероиде. // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25. N 10. С. 2056.

35. Фарафонов В.Г. Дифракция на абсолютно проводящем сфероидеполя диполя. // Доклады академии наук СССР. 1980. Т. 255. N 5. С. 1088.

36. Фарафонов В. Г. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрическом сфероиде в осесимметричном случае. // Дифференц. уравн. 1982. Т. 18. N 9. С. 1599.

37. Фарафонов В.Г. Дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрическом сфероиде. // Дифференц. уравн. 1983. Т. 19. N 10. С. 1765.

38. Фарафонов В.Г. Рассеяние электромагнитных волн на абсолютно проводящем сфероиде. // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. N 10. С. 1857.

39. Фарафонов В.Г. Рассеяние электромагнитной волны сильно вытянутым абсолютно проводящим сфероидом. // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. N 3. С. 458.

40. Фарафонов В.Г. Рассеяние плоской электромагнитной волны сильно сплюснутыми абсолютно проводящими сфероидами. / / Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. N 8. С. 1443.

41. Фарафонов В.Г. Характеристики электромагнитного излучения, рассеяного отдельными и хаотически ориентированными тонкими абсолютно проводящими иглами. // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. N 2. С. 193.

42. Фарафонов В.Г. Рассеягие света многослойными эллипсоидами в релеевском приближении. // Опт. и спектр. 2000. Т. 88. N 3. С. 492.

43. Фарафонов В.Г. Новое рекурсивное решение задачи рассеяния электромагнитного излучения многослойными сфероидальными частицами. // Опт. и спектр. 2001. Т. 91. N 5. С. 826.

44. Фарафонов В.Г., Ильин В.Б., Лоскутов А. А. Область применимости метода Т-матриц: релеевские и слабо релеевские частицы // Международная конференция "Естественные и антропогенные аэрозоли. Ш". Тезисы. Изд-во НИИХ СПбГУ, С. 39-40, 2001.

45. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

46. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1962.

47. Фок В.А. Проблемы диффракции и распространения волн. М.:1. Сов. радио,, 1970.

48. Ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. М.: ИЛ, 1961.

49. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. М.: Гостехтеориздат, 1951.

50. Шифрин К.С. Введение в оптику океана. М.: Гидрометеоиздат, 1983.

51. Asano S. Light scattering properties of spheroidal particles. // Applied Optics. 1979. V. 18. N 5. P. 712.

52. Asano S., Sato M. Light scattering by randomly oriented spheroidal particles. // Appl. Opt. 1975. V. 19. P. 962.

53. Asano S., Yamamoto G. Light scattering by a spheroidal particle. // Appl. Opt. 1975. V. 14. N 1. P. 29.

54. Barber P.W., Hill S.C. Light Scattering by Particles: Computational Methods. Singapure: World Scientific, 1990.

55. Barber P., Yeh C. Scattering of electromagnetic waves by arbitrarily shaped dielectric bodies. // Appl. Opt. 1975. V. 14. N 12. P. 2864.

56. Dalmas J., Deleuil R. Diffusion d'une onde electromagnetique par un ellipsoide de revolution allonge et par un demi-ellipsoide pose sur un plan en incidence axiale. // Optica acta. 1980. V. 27. N 5. P. 637.

57. Dalmas J. Diffusion d'une onde electromagnetique par un ellipsoide de revolution allonge de conduction infinie en incidence non axiale. // Optica acta. 1980. V. 28. N 7. P. 933.

58. Dalmas J. Indicatrices de diffusion d'un ellipsoide de revolution allonge, conduction infinie, en incidence oblique. // Optica acta. 1980. V. 28. N 9. P. 1277.

59. Ding J., Xu L. Convergence of T-matrix approach for randomly oriented, nonabsorbing Chebyshev particles. //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1999. V. 63. N 2-6. P. 163.

60. Draine B.T. The discrete-dipole approximation and its application to interstellar graphite grains. // Astrophys. J. 1988. V. 333. P. 848.

61. Draine B.T., Flatau P.J. User Guide for the Discrete Dipole Approximation code DDSCAT (Version 5a). Princeton Observatory Preprint, POPe-695. 1997.

62. Farafonov V.G., II'in V.B., Henning T. A new solution of the scattering problem for axisymmetric particles. //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1999. V. 63, N 2-6. P. 205.

63. Farafonov V.G., Voshchinnikov N.V., Somsikov V.V. Light scattering by a core-mantle spheroidal particle // Applied Optics. 1996. V. 35. N 27. P. 5412.

64. Farafonov V.G., Il'in V.B., Loskutov A.A. Scattering of a plane electromagnetic wave by perfectly conducting bodies with axial symmetry. // Proceedings of Day on Diffraction'2001. Universitas Petropolitana, P. 80-86, 2001.

65. Gurwich I., Kleiman M., Shiloah N., Cohen A. Scattering of electromagnetic radiation by multilayered spheroidal particles: recursive procedure. // Applied Optics. 2000. V. 39. P. 470.

66. Holt A.R., Usunoglu N.K, Evans B.G. An integral equation solution to the scattering of electromagnetic radiation by dielectric spheroids and ellipsoids. // IEEE trans. 1978. V.AP-26, P. 706.

67. Hovenier J.W., Lumme K., Mishchenko M.I., Voshchinnikov N.V., Mackowski D.W., Rahola J. Computations of scattering matrices of four types of non-spherical particles using diverse methods. // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1996. V.55, P. 695.

68. Iskander M.F., Lakhtakia A. Extension of the iterative EBCM to calculate scattering by low-loss or loss less elongated dielectric objects. // Appl. Opt. 1984. V. 23. P. 948.

69. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering by highly as-pherical targets: EBCM coupled with reinforced orthogonalizations. // Appl. Opt. 1984. V. 23. P. 3502.

70. Lakhtakia A. General theory of the Purcell-Pennypacker scattering approach and its extension to bianisotropic scatterers. // Astrophys. J. 1992. V. 394. P. 494.

71. Lumme K., editor. Light scattering by non-spherical particles (special issue). // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1998. V. 60. P. 301-500.

72. Macke A., Mishchenko M.I., Muinonen K., Carlson B.E. Scattering of light by large nonspherical particles: ray-tracing approximation versus

73. T-matrix method. // Optics Letters. 1995. V. 20, N 19. P. 1934.

74. Mishchenko M.I., Travis L.D., Hovenier J.W., editor. Light scattering by non-spherical particles (special issue). //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1999. V. 63. N 2-6. P. 127-737.

75. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. Light Scattering by Nonspherical particles. San Diego: Academic Press, 2000.

76. Mishchenko M.I., Travis L.D., Mackowski D.W. // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1996. V.55. N5. P.535-75.

77. Onaka T. Light scattering by a spheroidal grains. // Ann. Tokyo Astron. Obs. 1980. V. 18. P. 1.

78. Purcell E.M., Pennypacker C.R. Scattering and Absorption of Light by non-spherical dielectric grains. // Astrophys. J. 1973. V. 186. N 2. P. 705.

79. Siegel K.M., Schulz F.M., Gere B.H. et al. The theoretical and numerical determinatoin of the radar cross section of a prolate spheroid. // Trans. IRE, 1956, V.AP-4, P. 266.

80. Schulz F.M., Stamnes K., Stamnes J.J. Scattering of electromagmetic waves by spheroidal particles: a novel approach exploiting the T matrix computed in spheroidal coordinates. // Applied Optics. 1998. Y. 37. N 33. P. 7875.

81. Tsang L., Kong J. A., Shin R.T. Theory of Microwave Remote Sensing. New York: Wiley, 1985.

82. Varadan V.K., Varadan V.V. (eds) Acoustic, Electromagnetic and Elastic Wave Scattering Focus on the T-matrix Approach. - New York: Pergamon Press, 1980.

83. Voshchinnikov N.V. Electromagnetic scattering by homogeneous and coated spheroids: calculations using the separation of variables method. // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1996. V. 55. P. 627.

84. Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. Optical properties of spheroidal particles. // Astrophys. & Space Sei., 1993. V. 204, P. 19.

85. Voshchinnikov N.V., Il'in V.B., Henning Th., Michel B., Farafonov V.G. Extinction and polarization of radiation by absorbing spheroids: shape/size effects and benchmark results. //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2000. V. 65. N 5. P. 877.

86. Wait J.R. Theories of prolate spheroidal antennas. // Radio sci. 1966. V. 1. N 4. P. 477.

87. Wang D.S., Barber P.W. Scattering by inhomogeneous nonspherical objects. // Appl. Opt. 1979. V. 18. P. 1190.

88. Wang D.S., Chen C.H., Barber P.W., WyattP.J. Light scattering by poly disperse suspensions of inhomogeneous nonspherical particles. // Appl. Opt. 1979. V. 18. P. 2672.

89. Waterman P.O. Matrixformulation of electromagnetic scattering. // Proc. IEEE. 1965. V. 53. P. 805.

90. Waterman P.O. Symmetry, Unitarity and Geometry in Electromagnetic Scattering. // Phys. Rev. 1971. V. D3. P. 825.

91. Waterman P.C. Numerical solution of electromagnetic scattering problems. //In "Computer Techniques for Electromagnetics" (R.Mittra, Ed.) -Oxford: Pergamon, 1973. V. 7. P. 97-157.

92. Waterman P.C. Matrix methods in potential theory and electromagnetic scattering. // J. Appl. Phys. 1979. V. 50. P. 4550.

93. Weil H., Chu C.M. Scattering and absorption of electromagnetic radiation by dielectric disks. // Appl. Opt. 1976. V. 15. P. 1832.

94. Wielaard D.J., Mishchenko M.I., Macke A., Carlson B.E. Improved T-matrix computations for large, nonabsorbing and weakly absorbing nonspherical particles and comparison with geometrical-optics approximation. // Appl. Opt. 1997. V. 36. N 18. P. 4305.

95. Zakharova N.T., Mishchenko M.I. Scattering properties of needlelike and platelike ice spheroids with moderate size parameters. // Appl. Opt. 2000. V. 39. N 27. P. 5052.