Модельные представления процесса теплопроводности в области с движущейся границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кротов, Герман Сергеевич

• Кротов, Герман Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кротов, Герман Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение к работе

ГЛАВА 1. Современные аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях нецилиндрического типа

Введение

§1. Постановка краевых задач нестационраной теплопроводности

§2. Метод тепловых потенциалов

§3. Метод обощенного интегрального преобразования

§4. Метод дифференциальных рядов

§5. Метод функциональных преобразований. Новые законы движения

Выводы к главе 1

ГЛАВА 2. Интегральные представления аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности в канонических областях и в областях с движущейся границей

Введение

§1. Метод функции Грина для цилиндрических областей канонического типа

§2. Развитие метода функции Грина для областей нецилиндрического типа. Постановка

краевых задач. Интегральные представления

2.1. Интегральные представления аналитических решений краевых задач

теплопроводности в области 0 < х < ^ > О

2.2. Интегральные представления аналитических решений краевых задач

теплопроводности в области х>у(0> * ^ 0

Выводы к главе 2

ГЛАВА 3. Построение функции Грина и интегральных представлений решений задачи теплопроводности для полуограниченной области с границей, движущейся по корневой зависимости

Введение

§ 1. Постановка первой и второй краевых задач

§2. Об одном приёме сведения основной задачи к эквивалентным

§3. Построение функции Грина первой краевой задачи

§4. Построение функции Грина второй краевой задачи

§5. Корни функции параболического цилиндра при фиксированном значении аргумента

Таблица корней функции параболического цилиндра при различных фиксированных

значениях аргумента г

§6. Интегральные представления первой и второй задачи для области О, = {х > /?л/м > о}

и численные эксперименты

Выводы к главе 3

ГЛАВА 4. Метод обобщенных рядов при решении задача теплопроводности с границей, движущейся по параболическому закону [о,ул/2а7] и |ул/2а/,ао)* >

Введение

§ 1. Метод обобщенных рядов при решении краевых задач нестационарной

теплопроводности в области 0 < х < > 0

§2. Метод обобщенных рядов при решении краевых задач нестационарной

теплопроводности в области X > /V, t > 0

Выводы к главе 4

ГЛАВА 5. Проблема Стефана

Введение

§1. Метод дифференциальных рядов

§2. Решение одномерной задачи Стефана методом дифференциальных рядов

§3. Краевые задачи стефановского типа со свободной границей

§4. Численные эксперименты

Выводы к главе 5

ГЛАВА 6. Проблема теплового удара и динамическая термоупругость

Введение

§ 1. Проблема теплового удара и математическая формулировка задач динамической

темроупругости

§2. Задача темоупругости для упругого полупространства [/,со)

§3. Задача динамической темоупругости для упругого полупространства с равномерно

движущейся границей z>l + vt, t> 0, v = const

§4. Компоненты ctxx(z, Fo) и <5yy(z,Fo) тензора напряжений при температурном нагреве

для упругих полупространств z>l и z>l + vt, t> 0, v = const

§5. Задача термоупругости для упругих полупространств z>l + vt, t> 0, v = const и

z > ß~Jt, t > 0, ß = const в квазистатическом случае

Выводы к главе 6

ВЫВОДЫ К ДИССЕРТАЦИИ

Литература

Введение к работе

Краевые задачи для уравнений в областях с движущихся во времени границами представляют неисчерпаемое поле для исследований. С годами их поток не уменьшается, охватывая все новые математические объекты и все большее число самых разнообразных приложений. Помимо подробных обзоров прошлых лет [372] по данной тематике, в настоящей диссертации приводится обзор последних работ в этом направлении.

Решению задач в нецилиндрических областях, как плоских, так и многомерных, по-прежнему, уделяется большое внимание как со стороны российских, так и зарубежных исследователей [30], [66]—[69], [71], [94], [96]—[97], [107], [157], [181], [207], [230]—[231], [249], [251]—[252], [258], [268], [292], [299]—[300], [303]—[305], [307], [318]—[319], [324], [326], [329], [333], [335]—[336], [338], [342]—[346], [349], [351], [354]—[356], [361]. Здесь стоит отметить ряд работ [35], [347], посвященных построению комплексов программ и численных методов, для решения задач в нецилиндрических областях. Большое количество приложений в экологии [26], [93], [294], криомедицине [28], задачах кинетического переохлаждения [48], фильтрации [59], теплопереноса в процессе кристаллизации [145], о промерзании грунта [331], теории горения [311], биологии [302], медицине [307], [310], физиологии [321], делают решение задач по данной проблематике одной из важнейших целей современной прикладной математики. В работах [65], [70], [230], [235]—[237] рассматриваются вопросы динамического напряжения упругой нецилиндрической области.

Важное место занимают работы, посвященные качественной теории по данной проблематике [106], [136], [166], [252], [293]. Среди них можно выделить работы, рассматривающие вопросы существования и единственности решения одномерных и многомерных задач, [104], [309], [312], [330], [341]; устойчивости и асимптотического поведения решения задач [13], [195]—[196], [211], [310], [319]; устойчивости и

асимптотического поведения подвижной границы или поверхности [79], [199]; корректности постановки задачи [105]; регулярности решений и свободной границы [17]—[18], [323].

Нельзя не отметить работы, посвященные развитию новых методов решения задач в нецилиндрических областях [233], [252]—[253], таких как метод функции Грина [67], [268] и получение новых интегральных соотношений [126].

Как и прежде, большое внимание уделяется задачам о фазовых превращения (так называемой проблеме Стефана) и задачам типа Стефана [24], [27]—[28], [33], [48], [53], [75], [85], [108], [195], [200], [206], [215], [229], [288]—[290], [293], [295], [297], [306], [317], [322], [325], [332]—[334], [336], [348], [350], [359]—[360]; обратным задачам Стефана [54]—[56]. Уделяется внимание задаче Стефана с движущимся источником холода [84], а также исследуется асимптотическое поведение решения задачи о фазовом переходе и свободной границы [352].

Цель диссертации — развитие модельных представлений процессов теплопроводности в областях с движущимися во времени границами и приложение этих представлений к некоторым проблемам термоупругости, в частности к проблеме теплового удара в нецилиндрических областях. Это достигается получением новых функциональных конструкций в качестве аналитических решений для конкретных законов движения границы, построением точных решений в областях с движущимися границами, проведением соответствующих численных экспериментов, развитием численных методов и построения комплекса программ для нахождения корней ряда сложных трансцендентных уравнений, возникающих при нахождении аналитический решений в нецилиндрических областях, описанием особенностей температурного состояния этих областей.

Большое внимание в диссертации уделяется математическим моделям процессов нестационарной теплопроводности и термоупругости в областях с границей, движущейся по

закону = рл// • На примере задачи Стефана показывается, этот закон является очень важным для практики и наблюдается во многих природных явлениях.

Изученные в диссертации закономерности могут быть использованы при разработке методов применения лазеров в технологических операциях и при производстве самих лазероактивных материалов; при исследовании синтеза и свойств высокопрочных термостабильных полимеров и эластомеров; при изучении термоупругих и динамических эффектов в проводниках и диэлектриках; при изучении хрупкого разрушения органических и неорганических стекол и других материалов; при исследовании термических напряжений, возникающих в космических аппаратах при вхождении в плотные слои атмосферы и разработке термостойких покрытий для них, способных выдерживать экстремальные термические воздействия; в термомеханике почв, геологических пород, нефтеносных пластов; при изучении распространения термоупругих волн в мантии Земли; в реакторостроении и ядерной энергетике — как при проектировании реакторов, так и при математическом моделировании аварий на них; а также в ряде других фундаментальных и прикладных исследований.

ГЛАВА 1. Современные аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях нецилиндрического типа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модельные представления процесса теплопроводности в области с движущейся границей»

Введение

Первые результаты при решении краевых задач с движущимися границами были получены для частных случаев задания краевых условий (нулевые или постоянные) за счет применения искусственных приемов или удачных находок при проведении замены переменных или тождественных преобразований [128], при этом рассматривались простейшие законы движения границы в сочетании с узкими граничными условиями.

Дальнейшее развитие теории произошло за счет модификации классических методов математической физики применительно к случаю движения границы, при этом модификация была иногда настолько существенной, что от классического метода оставалась только идея, а весь математический аппарат создавался по существу заново. Таким образом, были модифицированы методы тепловых потенциалов [233], [234], контурного интегрирования [377], разложения в обобщенные степенные ряды, а также методы сведения к обобщенным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям, решить которые не удавалось вследствие сложности ядер уравнения, поэтому устанавливались лишь качественные результаты, доказывалось существование и единственность решения.

В 70-е был разработан аналитический метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами, основанный на специальном функциональном преобразовании, переводящем данную краевую задачу в подвижную систему координат таким образом, что преобразованное уравнение теплопроводности допускало точное аналитическое решение [376]. Это позволило расширить класс решаемых задач.

Параллельно с развитием практических методов решения краевых задач нестационарной

теплопроводности в областях с движущимися границами, шло исследование теоретических проблем, связанных с условиями существования, единственности и устойчивости решений этих задач. Эти задачи рассматривались в рамках качественной теории дифференциальных уравнений параболического типа в нецилиндрических областях фазового пространства [109], [110].

С математической точки зрения краевые задачи для уравнений параболического типа в области с движущейся границей принципиально отличны от классических (для областей цилиндрического вида). Вследствие зависимости границы области от времени к этому классу задач в общем случае не применимы методы разделения переменных и интегральных преобразований Фурье-Хенкеля-Лапласа [86], [117]—[120], [125], [221], так как, оставаясь в рамках классических методов математической физики [12], [14], [29], [44], [50], [90], [140], [150], [153], [173], [183], [198], [208], [219], [250], [255], [259], [267], не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса. Развитие этой проблемы шло, по-видимому, следующим образом. С одной стороны, точные решения задач подобного типа удалось получить при помощи удачных догадок, искусственных приемов, причем для весьма ограниченного числа случаев движения границы (вначале линейного в

области x>l + vt, t> 0, затем параболического х > ß-ft, t> 0, [128]) и для частного вида граничных условий: постоянных и первого рода. С другой стороны, на этих задачах при весьма их общей постановке отрабатывались классические методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики (и их модификации) [115]: тепловых потенциалов; контурного интегрирования; продолжений; функций Грина; вариационные; разложения искомой функции в ряд по обобщенным степеням; обобщение конечных интегральных преобразований на нецилиндрические области; функциональных преобразований Гринберга, а также методы, основанные на использовании интегральных, интегро-дифферен-

циальных или обыкновенных дифференциальных уравнений, разностные, асимптотические и численные [21], [45], [64], [81], [98]—[99], [101], [169]—[171], [174]—[176], [184]—[185], [187], [190]—[191], [194], [197], [214], [222]—[223], [243]—[244], [247]—[248], [269]—[271]. Объясним был и тот факт, что решения одного и того же класса задач применялись различные подходы. Это объясняется тем, что решение одной и той же тепловой задачи можно искать в различных классах функций, определяемых аналитическим подходом при решении задачи. Эти функции должны быть таковыми, чтобы они, во-первых, достаточно легко находились и, во-вторых, обеспечивали сходимость процесса настолько хорошо, чтобы можно было сделать требуемые в задаче заключения о свойствах полученного решения. Представление аналитического решения задачи в эквивалентных функциональных формах (тождественных в смысле числа) имеет большую практическую ценность, так как позволяет варьировать решением в зависимости от постановки задачи: например, решение в форме типа ряда Фурье, удобной для больших времен (находится интегральным преобразованием Фурье), или в виде формулы суммирования Пуассона, более подходящей для малых времен (находится операционным методом). Для областей с движущимися границами это обстоятельство имеет особенно важное значение, учитывая широкое применение этого класса задач. В то же время следует подчеркнуть, что несмотря на хорошо развитую аналитическую теорию нестационарного тепло- массопереноса и близких направлений [23], [58], [72], [86]—[87], [112], [117]—[120], [125], [133], [158]—[161], [186], [210], [221], [277], [74], [88]—[89], [102], [131], [134]—[135], [138]—[139], [143], [146]—[148], [154]—[155], [202], [205], [213], [216], [218], [239], [272], [274], [278], [280]—[281], [287], достигнутые за последние два десятилетия успехи в нахождении точных аналитических решений задач для различных законов движения границы весьма незначительны. По-видимому, одной из причин такого положения являются технические трудности вычислительного характера при нахождении точного аналитического

решения задачи и ослабленное внимание к этой области аналитической теории переноса. В то же время качественная теория дифференциальных уравнений параболического типа в нецилиндрических областях за это время ушла далеко вперед.

§1. Постановка краевых задач нестационарной теплопроводности

Пусть Q, — нецилиндрическая область в фазовом пространстве (п +l) измерений, сечение которой плоскостью-характеристикой t = const > /0 > 0, есть выпуклая область д(д е Л") изменения М(х1,х2,...,хп), S, — кусочно-гладкая поверхность, зависящая от времени t > 0 и ограничивающая область Dt, п — внешняя нормаль к S,, так что Q, = \м е Dt = Dt +St,t >о|. Пусть T{M,t) — температурная функция, удовлетворяющая условиям задачи

— = aAT(Mj)+f{M,t),M G D,,t > 0; (1.1.1)

dt

T{M,t\=0 = Ф0(м),м € D,=o; (1.1.2)

р 8T(M,t) + ^ м (1 j 3)

дп

Здесь

f(M,t)е С0(q, }ф0(м)еС')(р{М,t)eC°(Stxt> О),Д2 + (32г > 0. Искомое решение

T{M,t) € С2 (П, )п С0(а }gvadMT(M,t) е C°(f2,). (1.1.4)

Хотя излагаемый подходы касаются краевых задач для уравнения (1.1.1), фактически могут быть рассмотрены и уравнения вида (при п = 3)

— = аАТ(М, t) - ЪгТ{М, t) + v ■ grad мТ(М, t) + f{M, t), (1.1.5)

dt

так как постановкой

1__( 13 л

Т(М,г) = и(М,г)ехр - —г-у- Ь2+ — У у,2 * ,

2а ^ 4а ,=1 ' ^

где М = М(х1, х2, х3); у = v, / + у2 У + у3 к = сопэ (1.1.5) сводится к случаю (1.1.1)

л); Ъ1 - сопзг; г = гх1 + г2] + гък, уравнение

ЛТ г

— = аАи{М,г)+Р(Ма).

Ы

Здесь Р{М,1) — новая (известная) функция.

Ниже рассмотрены преимущественно линейные тепловые задачи (п = 1) в декартовой системе координат и плоские (п = 2) — в цилиндрической (цилиндрическое поле) и сферической (сферическое поле) системах координат — к настоящему времени наиболее изученные случаи. Что касается пространственных областей, то решение многомерной задачи для областей канонического вида можно представить в виде произведения одномерных задач (например, при построении функции Грина). Метод функциональных преобразований, рассмотренный ниже, также позволяет изучать (1.1.1)—(1.1.3) в пространственных областях, сохраняющих и не сохраняющих подобие.

В областях с движущимися границами, как и в случае цилиндрических областей, также можно говорить о первой (Д =0), второй (/?2 =0) или третьей (Д >0,1 = 1,2) краевых задач. Однако указанная эквивалентность в записи граничных условий сохраняется не всегда. В частности, условие теплоизоляции движущейся границы области х е [0, >'(/)],/ > 0, где >>(/) при ^ > 0 — непрерывно-дифференцируемая с конечными производными любого порядка, имеет вид

(1.1.6)

и для скорости движения v(i) = — = 0 {y{t) = const) выражение (1.1.6) совпадает с

dt

классической записью тепловой изоляции неподвижной границы, вытекающей из закона Фурье в скалярной форме [160]. Специфические особенности области с движущейся границей проявляются и в постановке краевых задач для соответствующих функций Грина [126], [369]. Особое внимание следует проявлять при нахождении функций Грина для второй и третьей краевых задач, о чём более подробно будет сказано ниже [369J.

В отношении каждой из краевых задач (1.1.1)—(1.1.3) возникают вопросы корректности их постановки: 1) существования решения, 2) единственность решения, 3) устойчивость решения. Как указывалось, эти вопросы рассматриваются в качественной теории уравнений параболического типа в областях с криволинейными границами. Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям 1)—3), называются некорректно поставленными. В 1962 году А.Н. Тихонов разработал новые подходы к решению некорректно поставленных задач, в основе которых лежало фундаментальное понятие регуляризирующего оператора [267]. Этим вопросам посвящены также исследования [266], в том числе работы по обратным задачам теплопроводности, являющимися некорректными по постановке [4], [132].

Ниже предполагается, что краевые функции в (1.1.1)—(1.1.3) и законы перемещения

границы — гладкие функции, для которых существуют все преобразования, вытекающие по

ходу действия. Эти функции задаются практикой многочисленных приложений задач (1.1.1)—

(1.1.3). Аналитическое решение последних принадлежат классу функций (1.1.4). В 30-х годах

C.J1. Соболев разработал теорию обобщенных решений для уравнений в частных производных.

В дальнейшем получила развитие качественная теория краевых задач для параболических

уравнений в обобщенной постановке в пространствах Соболева и других функциональных

пространствах и теория этих пространств для решения задач (теоремы вложения, теоремы о

следах, компактность вложения в теории усреднения и т.д.) и др. Эти вопросы детально

13

рассмотрены в книге [173].

Дадим краткую характеристику методов, их особенности и область приложения. Сформулируем соответствующие проблемы.

§2. Метод тепловых потенциалов

Тепловые потенциалы являются удобным аналитическим аппаратом для решения краевых задач теплопроводности в области с движущейся границей, так как позволяют сводить решение дифференциального уравнения в частных производных, каким является уравнение теплопроводности, к решению интегрального уравнения Вольтерра и, как указывается в [14], [128], является незаменимым при решении краевых задач теплопроводности обобщенного типа. Однако следует отметить сложность и громоздкость этого метода особенно в случае второй и третьей краевой задач. Разумеется, эта громоздкость может быть ликвидирована путем тождественных преобразований, но это требует длительных и трудоемких выкладок. В [125] и [378] главе предложена модификация метода тепловых потенциалов, благодаря которой в значительной степени уменьшилась громоздкость и сложность в окончательной записи решения задачи. В этой главе мы продолжим рассмотрение этого вопроса.

Рассмотрим основные принципы метода тепловых потенциалов. Пусть

О, = {(г,/): 2 е > 0} нецилиндрическая область в фазовом пространстве (г,*).

Обозначим ее границу через 5,.

Определение. Обобщенным тепловым потенциалом простого слоя по кривой г =у(0

называется интеграл

где I)/(0 >0 — неизвестная плотность потенциала, считается непрерывной функцией на отрезке

(1.2.1)

[0Л

Тепловой потенциал (1.2.1) вне границы области 0.( является решением однородного

дТ д2Т

уравнения теплопроводности —— - а —г-, дважды непрерывно-дифференцируемым по

от дг

пространственной координате г и непрерывно-дифференцируемым по времени t [379], удовлетворяет нулевому начальному условию, а на границе области ЗД обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Тепловой потенциал является непрерывной функцией при г у(/)+О, т.е.

ПМ~«>«=ПЫО,0- (1.2.2)

Теорема 2. Тепловой потенциал допускает скачок производной на движущейся границе, при этом

&

чЧО | Ш(у(О,О (123)

1 дг '

где д^СКО^) — результат формального дифференцирования функции Щг,1) в точке (у(/),0 под дг

знаком интеграла в (1.2.1).

Доказательство теорем 1 и 2 основывается на исследовании поведения интеграла зависящего от параметра.

Доказательство теоремы 1. Интеграл в (1.2.1) несобственный, т.к. значение ( = т является особым для подынтегральной функции. Покажем, что этот интеграл сходится

равномерно по г в области . По определению несобственного интеграла имеем

ГТ/ г Л* 7 УСО

П(г,/) = 1ип—г= г—-ехр ^°2Л/71 I л/^-т

(^-Ях))2)' 4 а(г - т)

¿/т.

Рассмотрим функцию

т, \ 4 а V i|/(x) I(z,t,4) = —r f -p^exp

2л/Л n yjt-T

Aa(t - x)

dx,

тогда

n(z,i) = lim/(z,i,r|).

ri-»0

Докажем, что функция I(z,t,r\) сходиться к своему пределу равномерно по z в области Qt ■ Для этого достаточно показать, что функция I(z,t,r\) ограничена и монотонна по г| на отрезке [о,/]. Заметим, что функция \|/(/) предполагается непрерывной функцией на отрезке [О,/], следовательно существует константа М0 такая, что < М0 для любого х е [0,г], тогда

|/(z,Ml)| =

4а V ц/(х)

J "т=ехр

2л/л о Vi-x

(z-y(x))2 4a(t - х)

dx

<

VöM„

/-Т] 0

VöM0 I Г /7Ь VÖM0 г S7t л/я-

Ограниченность доказана.

Пусть г|!< Г12, покажем, что /(г,/,77,) > . Для этого рассмотрим разность

7/ N Г/ Ч Va ' г1 ч/(х) /(z,i,Ti1)-/(z,i,ri2) = :rT= J ]—-—ехр

4a(t - х)

dx>0.

(1.2.4)

2л/й ,_П2 л/^-х

(Здесь мы учли, что под знаком интеграла стоит неотрицательная функция). Из (1.2.4) следует, что функция 1{г,1,г\) не возрастает. Монотонность доказана, следовательно предел существует

равномерно по 2 в области . Далее, учитывая, что функция г|) непрерывна по г,

имеем

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 в случае^) = /+у*

Найдем производную теплового потенциала

дг

4а 2 ГУСО(г-/-УО

г J " • ^

г—>/+у/+о 4а | л|(/-т)3

(г-1-у%У 4 а((-х)

с1х

:->/+тГ+О

v г 1|/(т)

--?= -г—ехР

4Уш^ОЛ/0-т)

(г -/-ух)2

¿/х

1 гу(т)0-/-у0

4л/ал о д/с^-х)3

ехр

йх

Как было показано в утверждении 1, первый интеграл сходится равномерно по г в

области ОI, поэтому можно сделать подстановку г = 1 + под знаком интеграла, таким образом, этот интеграл будет равен формальной производной обобщенного теплового потенциала по пространственной переменной 2 при г = / + VI.

Для того, чтобы вычислить второй интеграл, сделаем в нем замену переменных

2 (г-1-гт)2 (г-/-уг)2 , (2-/-уг)2 , й

У - . -~, тогда т = t — —-—, ат = -—-—-~—ау, а сам интеграл будет

4 а(1 - т)

преобразован следующим образом

4ау

2 ау

4~1ак ._{

I

(г-I- у^) 4 ау2

2 \

(4a)2yг(z-l-vtУ

2л/О7

{г -1 - у^)32<ау3

~т ]

2л[а1

(г-1- у;): 4я_у2

¿Л

-у1--\z-l-vt)—*-г-у-

■е 2а 16аУ ¿у

/

Переходя к пределу при г / + уГ + 0, используем обозначение г = г-1-vt 0 и получим

Нт Г ш I / -

£->° л/я { I

-2 л

Е

2 4а1

4 ау2

ехр

2 V уе

-У--е-

2 а 16 а2у2

й'у.

Интеграл сходится равномерно по ? и по е. Переходя к пределу, получим, что он равен

Таким образом, теорема 2 доказана.

| со | со

г Г \|/(0 ехр[- у2 = у (О Г ехр[- у2 = л/тс п л/я о

ч/(0

Замечание. Для области = {(г^): г е > 0} можно показать, что

ЗП(г,0

&

| эп(Я4о 2 &

§3. Метод обобщенного интегрального преобразования

Первые результаты получены автором в [274] и затем в [125]. Однако, ряд вопросов требуют дополнительного рассмотрения. Для отыскания решения уравнения

дТ д Т

— = <3!-Г-+ /(х,0, 0 < X < ^(0, Я0) = > г > 0

сл Эх

рассмотрим интегральное преобразование

№

(1.3.1)

(1.3.2)

где р=о+т - комплексное число с Яе р > Р > 0,

С помощью преобразования

(1.3.2) получим прежде всего общую формулу для Т(х,1), удовлетворяющую уравнению (1.3.1) в невырожденной области. В пространстве изображения (1.3.2) решение преобразованного уравнения (1.3.1) имеет вид

— у° /

Т(р,() = еар' \ Т(х,0)*Цху[р)<Ь + \е[ар{'~х)\ ] о

дТ_

. )х=у(х)

+

+

йх

^(>'(0^) + ал[рТ{0,х) + /(р,тПй?т? (1.3.3)

где

X/)

АР»0= | /(х,фЫ.Ху[р)<Ьс.

В соотношении (1.3.3) входят граничные значения функции Г(х,/) и ее производной. Формула обращения для преобразования (1.3.2) строится в зависимости от типа граничных условий. В случае задания граничных условий первого рода формулу обращения ищем в виде ряда типа Фурье, соответствующего классическому решению первой краевой задачи для уравнения (1.3.1):

п=1

\[апк

БШ-

У1Т1Х

яо"

(1.3.4)

К соотношению (1.3.4) применим преобразование (1.3.2), что дает

п=1

л[апп

т(р,0у(0

р+

2 2 П П

У (О

[яо^]'

(1.3.5)

где Т(р,0 - функция (1.3.3). Выражение (1.3.5) позволяет вычислить неизвестные коэффициенты ап{С). Для этого проинтегрируем обе части (1.3.5) по контурам уьу2,...,у«,... .

2

Контур у„ состоит из вертикали а>0, двух горизонтальных прямых = ±(2и + 2« +1)

к

2/(0.

2

и полуокружности радиуса

71

2/(0

с центром в начале координат. Находим

последовательно

-1ап

№

V /

Т(р,1)с1р

71

— Г

(1.3.6)

„м НГЫО,

ал(0 =-е

л[апп

~уй)

ПП

1 г т(р,Мр 1 г Т(р1)ф

_ г 1 кр,чар__1_ г

Г1 » / / __ 1 ОтГ1 *

>, п>2.

(1.3.7)

Вычисляя в (1.3.6), (1.3.7) контурные интегралы, приходим к искомым коэффициентам а„(0 в следующем виде:

«»(0 =

яо

Г 12 уапп

I Т(х, 0) бш йх +1 е

АО

г дт\

№

. плу(х) ,

81П-———— й?Т +

V 7(0

4ап

2 ^

Ф(х) з1п ппу(х) ппа /сту(т) ¿х у{0 У(0 ЯО .

л/аи

.ко

^ ^Г(_у(т),т)г/т +

_ _-> N

( О

■1а пп

у

•у(т) тлес [ /Тх.тЪт-сЬс

о ^(0

, п> 1.

(1.3.8)

Таким образом, все необходимые соотношения для рассмотрения ряда тепловых задач для уравнения (1.3.1) в области хе [0,^(0], / > 0, обобщающие классические случаи,

получены.

§4. Метод дифференциальных рядов

Метод дифференциальных рядов для области £1, = {(х,/): х е [0, >{/)],/ > 0} с произвольно

движущейся границей основан на использовании следующего базового соотношения [128], [380]

00 1

дп

^ап(2 п)\д?

дх

п у(о

Х=у(!)

(1.4.1)

со 1 р,п У\Ч

У—-——

вытекающего из пикаровского процесса для уравнения

дТ д2Т — -а— а/ дх

= + (1.4.2)

Метод особенно эффективен при рассмотрении обратных задач Стефана и дает возможность получить замкнутые решения для ряда законов движения границы. Метод применим для ограниченных областей вырожденного типа (стягивающихся в точку в начальный момент времени при у(0) = 0), однако при рассмотрении обратных задач (в том числе и для уравнения (1.4.2) со свободной границей) могут быть рассмотрены области невырожденного типа. Проблема, требующая рассмотрения: установление скорости сходимости рядов в (1.4.1). Соотношение (1.4.1) построено для уравнения (1.1.1) при п = 1. Подробнее об этом методе и способе его применения говорится в 5 главе диссертации, которая посвящена проблеме Стефана.

§5. Метод функциональных преобразований. Новые законы движения.

Г.А. Гринбергом были предложены эффективные функциональные преобразования перевода областей с движущимися границами в области с неподвижными границами, значительно расширяющие число конкретных законов движения границы, для которых возможно получить точное аналитическое решение задачи [376]. Учитывая исключительную важность преобразований Гринберга для нецилиндрических областей, рассмотрим последовательно следующие случаи: изменение области с сохранением подобия х1 е [0, у(0\ / > О, (/ = 1,2,3) ; без сохранения подобия х, е [0, у1 (7)1 * ^ 0, (/ = 1,2,3) ; области

х1 е [у^СО.^СО] , [>>,(/),со), />0, (/=1,2,3). Все - непрерывно-дифференцируемые

функции до второго порядка включительно.

Для расширяющихся или сжимающихся областей с сохранением подобия уравнение

М = М(х},х2,х3),

О <х,<ЯФ>0, (1.5.1)

последовательно преобразуется

и(Р^=[у(<)Р^ехр

. 3 (1-5-3)

--гЯ'МОЦб2 Ил/).

™ 1=1

Здесь п = 3 — для пространственной, п = 2 — для плоской и п = 1 — для одномерной задач. Уравнение (1.5.1) переходит в следующее:

д1 4 а ^ )

I

где Р{Р,{) — новая (известная ) функция. Если ввести «новое» время г = ^, учитывая,

dr

что — > 0 и т возрастает вместе с t, то (1.5.3) примет вид dt

^^»aAH^rJ+^/irV'ir/s^2 V(p,r)+F(p,r), 0<£ < 1, г > 0, (1.5.4)

дт 4а ^ )

и в такой форме отличается от исходного уравнения (1.5.1) только наличием справа второго слагаемого (но в области с неподвижными границами). В частном случае, когда /'(i)=0, т.е. y(t)= At + В, различие этих уравнений вообще исчезает. Однородное уравнение (1.5.3) допускает разделение переменных (в декартовых, цилиндрических и сферических координатах). Используя этот метод, решение первой краевой задачи находится в известных функциях для равномерно расширяющихся или сжимающихся областей, принимающих в (1.5.3) форму неограниченной пластины (п = 1), прямоугольника (п = 2), прямоугольного параллелепипеда (п = 3), цилиндра конечной длины, шара или шарового слоя и т.д. Что касается второй и третьей краевых задач, то здесь в исходной области целесообразнее строить функции Грина, так как преобразование (1.5.2) переводит граничные условия второго и третьего родов в граничное условие третьего рода с переменным во времени относительным коэффициентом теплообмена. Точные решение такого класса задач весьма громоздки [380]. При построении функции Грина в пространственной области может быть использован метод произведения решений одномерных задач. В случае, когда (1.5.3) y3(t)y"(t) = -ос = const Ф 0,

т.е. y(t)= ^(At + В)2-—, (А,В = const), уравнение (1.5.3) также допускает разделение переменных, при этом для него могут быть решены все те же задачи, что и для равномерного

закона движения границы. Следует отметить особо важный случай y(t) = 4Mt + N при

yW'(0=-

V 4 у

, когда возможно решение исходной задачи с граничными условиями

любого рода.

Для областей, изменяющихся со временем без сохранения подобия, уравнение (1.5.1) преобразуется с помощью соотношений

т(м,1)=и(р,г), р =

уХч

и(р,1)=

т(0

¡=1

-к

ехр

4а 7^1

(1.5.5)

и переходит в следующее:

д!У(Р,г) ± 1

Я* ^„2,

д£ 4 а

+ (1.5.6)

Если _у,3(/)><"(0 = -а, = сопа*0, т.е. у,(е)= 1(А,е +В,)2, (Д, Д = соп^,/ = 1,2,3), то

Д

уравнение (1.5.6) (при ^ = 0) также допускает разделение переменных, что позволяет найти

точное решение первой краевой задачи. Здесь также следует выделить случай у1 (/) = -/М/ + ^ >

позволяющий получить решение исходной задачи при граничных условиях любого рода на подвижных границах.

В цилиндрических координатах М{хх,(р,х2) уравнение

ЛГТТ

— = аАТ(М,г) + /{м,0,0<X, <у,(0,0 <х2<у2(*),0<р<2я^>0, (1.5.7) 81

преобразованиями

Т{М,{)=и{Р,{), Р =

УАЧ

U(p,t) = -

exp

-Г±£У,(*)УЛ<)

4a tf

W(P,t).

(1.5.8)

сводится к виду

ldW(P,t)_y 1

a 8t

1 dW 1 d2W ч

6 $ дер2 О < £ < 1,0 < £ < 1,0 < <p < 2к, t > 0 .

(1.5.9)

Если, как и выше, _у(3 " (/) = -а, = const, т.е. у, (t) = |(Д f + В/ )2 - -^у , (Д, В, = const, i = 1,2,3),

А.

а в частных случаях этой общей зависимости у,^)= Д* + В,, = + , то уравнение (1.5.9) может быть решено известными подходами.

Пусть теперь (1.5.1) задано в области х1 е » С помощью

соотношении

£ 7,(0= T(M,t) = U(P,t);

1,

U{P,t) = W(P,t)Ylrj/2{t)Qxp

1=1

J_ 4a

(1.5.10)

уравнение (1.1.1) преобразуется к виду

dW(P,t)_af 1

¿ч2(0

+ -

4a

+ F(p,t),0<4,<l,t>0, (1.5.11)

и в такой форме допускает точное решение в известных функциях, если для всех t > О одновременно выполняются условия ?7,377,"= const yfy^ = const. Это означает:

если = const, то >';0) = Д/2 + Bf + С,;

(1.5.12)

если Г], = т]а;2+В; + С , то >>(0) = Д ^А;2 + В; + С / + М/ + Ы,; (1.5.13)

если /7, = А,I + В,, то у?1 = С, (Д* + В, Г + Дг + Е,. (1.5.14)

Частные случаи движения (1.5.12)—(1.5.14) рассмотрены выше. В цилиндрических координатах М{хх,(р,х2) при хх е [>>,(/), «у, (/)] {а > 1), х2 е [>2°)(/)>.У21)(0]> 9 е [0,2тг],/ >0, вводятся преобразования

УАЧ Щ)

U{P,t)=W{P,t )yxl (t У/ ^2(t) ехр

_1_ 4а

4\У\У\ +7lr}' <?2 + 2т]^2у2^ + J [у^ (т)| dr

V о у

(1.5.15)

Уравнение (1.5.1) переходит в следующее:

1 5W{P,t) __ 1 (d2W | 1 8W | 1

a dt

4a

l д2нл

dcp2

+

( * 2

+ -

Ц

aw

(1.5.16)

4 a

1 < < a,0 < < 1,0 < (p < 2к, t > 0

и допускает точное решение в известных функциях, если одновременно имеют место условия J;|3(/)_y1"(0 = const, T]3(t)r]"= const, rj3(t)y\0) = const, при yXt)=^Alt2 + Bit + C] функции y^it)

и y2\t) удовлетворяют уравнениям движения вида (1.5.12)—(1.5.14). Таким образом, для исходного уравнения (1.5.1) решается первая краевая задача: а) для параллелепипеда, одна пара параллельных граней которого движется в направлении своей оси по закону (1.5.12), другая — по закону (1.5.13) и третья — по закону (1.5.14); б) для ограниченного полого цилиндра, боковые поверхности которого перемещаются по закону, приведенному выше для _y,(V) и ayx{t), аторцы — по любому из законов (1.5.12)—(1.5.14).

Что касается полуограниченной области х, >у1(^),о0 (/ = 1,2,3) для уравнения (1.5.1), то здесь вводятся преобразования

[/(р,г)=рг(р,;)ехр

2 а

,=1 1 о '=1

(1.5.17)

позволяет представить (1.5.1) следующим образом:

= + Г(Р,г), Е,1 > 0,/ > 0, (1.5.18)

2 а ^ ^

Из (1.5.18) следует, что при у,"(()= 0, т.е. у1({)= Л* + 5,, имеем классический случай; при

>',"(/) = а, Ф 0, _у,(/) = + Д/ уравнение допускает разделение переменных. Соотношения

(1.5.5) и (1.5.17) дают возможность рассмотреть также и комбинацию областей с движущимся границами: ограниченные области по одним пространственным переменным и полуограниченные — по другим. Здесь можно указать также некоторые частные случаи разрешимости пространственных задач в известных функциях. Например, при

— = аАТ , = + ^ + 0<х, <у^), t>0, (/ = 2,3),

<Э/ 2

применяем по х, выражение (1.5.17) (/ = 1) и переходим к (1.5.18).

Разделяем далее переменные, полагая Ж = )©(х2, х3, . Находим:

-Я |// = 0, £ >0, ^ = аД©(х2,х3Д 0 < х, <у,(0> '>0'

у 2 а2 ;

Спектральная задача для /./(^) рассмотрена ниже; уравнение для ©(х2,х3,/)

преобразуется с помощью (1.5.5)—(1.5.6). В частности, при .}>,(/) = д/Д/2 + В{ + С (/ = 1,2,3)

(1.5.6) примет вид

^ , 0<£ <1, / >0. (1.5.19)

у

В этом уравнении переменные разделяются, если положить IV = (§2 УРз, (<зз ) и подчинить

функцию (рг условиям

ЪгУЛЧ. V 4а )

етМ;

-о

где Я1 (г = 1,2) — переменные разделения. Решения этих уравнений выражаются через

вырожденные гипергеометрические функции. Если у2 (/) = у3 (?) (однородное расширение или сжатие), то уравнение (1.5.20) упрощается

И в такой форме допускает разделение переменных не только в декартовых, но и в полярных координатах. При этом задача решается точно для круговых областей. В каждом из рассмотренных случаев движения границы, когда преобразование уравнения допускает разделение переменных, решение задачи до конца может быть доведено по следующей схеме. На первом этапе решается соответствующая задача на собственные значения и собственные функции; затем на основе найденного решения вводится интегральное преобразование, его формула обращения и изображение второй частной производной. Таким образом, предварительно конструируется необходимый математический аппарат, позволяющий выписать искомое решение. На этом пути могут быть получены представляющие интерес результаты для теории специальных функций при решении спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим один из таких характерных примеров нахождения решения первой краевой задачи для уравнения (1.5.1) в области х>у/(г), ? > 0, в одномерном случае (при / = 0). Преобразования (1.5.17)—(1.5.18)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кротов, Герман Сергеевич, 2013 год

Литература

1 Алексашенко A.A., Кошмаров Ю.А., Молчадский И.С. Тепломассоперенос при пожаре. М., 1982.

2 Алексеев А.Е. Линейная теория упругого деформирования слоя переменной толщины. Новосибирск, 1996 (Препринт/Институт гидродинамики СО РАН, № 6).

3 Алексеев Б.В., Грушин И.Т. Процессы переноса в реагирующих газах и плазме. М., 1994.

4 Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М., 1988.

5 Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М., 1988.

6 Андреева Т.А., Березовская Л.М., Богуславская С.Г. // Нелинейные краевые задачи математической физики. Киев, 1992. С. 4-7.

7 Анисимов С.И., Йиас Я.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М., 1970.

8 Антимиров М.Я. // Латвийский математический ежегодник. Сер. Дифференциальные уравнения, 1976. № 17. С. 70-99.

9 Антимиров М.Я. Решение общих краевых задач для одномерного уравнения параболического типа при движении границы по закону рл/7 // Латвийский математический ежегодник, 12. Рига, 1973г.

10 Аполлонов В.В., Карташов Э.М., Шмаков В.А. Динамические эффекты в твердых телах при взаимодействии с интенсивными тепловыми потоками. М., 1990. (Препринты/ИОФАН СССР, № 110, 111).

11 Араи Н., Карасима К. // Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 12, № 2. С. 81-86.

12 Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., 1969.

13 Аргатов И.И. Асимптотическое решение котактной задачи с полунеизвестной границей области контакта // Прикл. мат. и мех. (Москва), 2000. 64, №3, с. 462-466.

14 Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М., 1984.

15 Аттетков A.B., Волков И.К. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки, 1998. № 1. С. 40-48.

16 Базалий Б.В. // Функциональные и численные методы математической физики. Киев, 1988. С. 20-23.

17 Базалий Б.В., Краснощек Н.В. О регулярности решения задачи сщ свободной границей для уравнения // Алгебра и анал. - 2000. 12, №2. - С. 100-130.

18 Базалий Б.В., Краснощёк Н.В. Регулярность решений многомерной задачи со свободной границей для уравнения пористой среды // Мат. тр. Ин-т мат. СО РАН. 2002. 5, №2 с. 38-91.

19 Барвинок В.А. Управление напряженным состоянием и свойства плазменных покрытий. М., 1990.

20 Бахарев М.С., Миркин Л.И., Шестериков С.А., Юмашева М.А. Структура и прочность материалов при лазерных воздействиях. М., 1988.

21 Бахвалов Н.С. Численные методы. М., 1973.

22 Бегматов А. // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент, 1973. № З.С. 135-144.

23 Беляев Н.М., Рядно A.JI. Методы теории теплопроводности. Ч. 1,2. М., 1982.

24 Берегова F.I., Кирилич В.М. Про один вар1ант гшербол1чноУ задач1 Стефана в криволшшному секторУ/ BicH. Лыпв. Ун-ту. Сер. Мех.-мат. - 1998. - №51. - С. 99107, 144.

25 Берегова Г.И., Кирилич В.М. // Украинский математический журнал. 1997. Т. 49, № 12. С. 1684-1689.

26 Березовский H.A. Задача со свободными границами и нелокальными условиями в проблемах экологии// Асимптотич. та якюш методи в теор'й нелшшн. коливань: М1жнар. конф. 3 Боголюб.читання, Ки!в, 18-23 серпня, 1997: Тез. доповщей-Кшв, 1997.-С. 21-22.

27 Бижанова Г.И., Сахауева М.А. Об одной задаче Стефана // 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980): Тезисы докладов. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат. СО РАН. 2000, с. 45.

28 Битиев Х.Р. Задачи типа Стефана в проблемах криомедицины// Асимптотич. та яюсш методи в теор'й нелшшн. коливань: М1жнар. конф. 3 Боголюб.читання, КиТв, 18-23 серпня, 1997: Тез. доповщей-Кшв, 1997. С. 26-27.

29 Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М., 1982.

30 Бокало М.М., Дмитр1в В.М. Задача Фур'едля нелшшних параболичних р1внянь в нецшпндричних областях // Дифференщальш та штегральш р1вняння: Тез. доп. М1жнар. конф., Одеса, 12-14 верес., 2000. Одеса. 2000. С. 35-36.

31 Борисов В.Т., Любов Б.Я., Темкин Д.Е. // ДАН СССР. 1955. Т. 104, № 2. С. 223-226.

32 Брычков Ю.А., Прудников A.II. Интегральные преобразования обобщенных функций. М., 1977.

33 Буздов Б.К. Об одной двумерной начально-краевой задаче типа Стефана // Вестник Кабард.-Балк. гос. ун-та. Серия Математические науки. 1998, №2, с. 124-126.

34 Бутковский A.F., Малый С.А., Андреев Ю.И. Управление нагревом металла. М., 1981.

35 Быстров П.И., Гончаров В.Ф. // ТВТ. 1978. Т. 16, № 2. С. 390-395.

36 Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М„ 1971.

37 Васильев Л.Л., Вааз С.Л. Замораживание и нагрев грунта с помощью охлаждающих устройств. Минск, 1986.

38 Васин И.А., Камынин В.Л. // Вестник Российского ун-та дружбы народов. Сер. Математика. 1996. № 3, вып. 1. С. 15-26.

39 Вера Николаевна Масленникова (персоналий в связи с юбилеем) // Вестник Российского ун-та дружбы народов. Серия Математика. 1996. № 3, вып. 1. С. 3-14.

40 Веригин Н.И. // Динамика жидкости со свободными границами. Киев, 1980. № 46. С. 23-32.

41 Винников В.В., Ревизников Д.Л. Комплекс программ для численного решения уравнений переноса в областях с подвижными границами // 4 Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) и 19 Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям, Санкт-Петербург, 24-28 июня, 2002: Тезисы докладов. М.: Изд-во МАИ. 2002, с. 132133.

42 Вирак В.М. // ДАН Украины. 1994. № 8. С. 57-60.

43 Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М., 1979.

44 Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1971.

45 Волевич Р.Л., Гиндикин С.Г. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с квазиоднородной старшей частью. М., 1999.

46 Волковицкий О.А., Седунов Ю.С, Семенов Л.П. Распространение интенсивного лазерного излучения в облаках. Л., 1982.

47 Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., 1959.

48 Гётц И.Г., Мейрманов A.M. Обобщённое решение задачи Стефана с кинетическим переохлаждением// Сибирский журнал индустриальной математики - 2000. 3, №1. -С. 66-86.

49 Глытенко А.Л., Шмаков В. А. // ДАН СССР. 1984. Т. 276, № 6. С. 1392-1396.

50 Годунов С.К. Уравнения математической физики. М., 1971.

51 Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., 1973.

52 Голов Г.Г.//Инженерно-физический журнал. 1966. Т. 10, № 5. С. 660-667.

53 Гольдман Н.Л. Классическое и обощённое решение двухфазной граничной обратной задачи Стефана// Вычисл. методы и программир. 2002. 3, №2, с. 40-50,164.

54 Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана // М.: Изд-во МГУ, 1999. - 294 с.

55 Гольдман Н.Л. Свойства решений граничной обратной задачи Стефана // Дифференциальные уравнения. 2003. 39, №1, с. 63-69, 142.

56 Гольдман Н.Л. Свойства решений граничной обратной задачи Стефана // Обратные и некорректно поставленные задачи: 7 конференция, посвященная памяти академика Андрея Николаевича Тихонова в связи с 95-летием со дня рождения, Москва, 26-28 июня, 2001: Тезисы докладов. М.: МАКС Пресс. 2001, с. 20.

57 Горяинов Л.А. // Труды МИИЖТ. 1972. № 398. С. 105-114.

58 Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л., 1948.

59 Губкина Е.В. О корректности прикладных задач фильтрации жидкости в пористых средах со свободными границами: Автореферат диссертации на соискание уч. Степ, канд. Физ.-мат. Наук // Новосиб. Гос. Ун-т, Новосибирск, 2001, 20 с.

60 Гуль В.Е., Кулезнев В.Н. Структура и механические свойства полимеров. М. 1994.

61 Гусаков В.Н., Данилюк И.И., Костиков А.А. // Математическая физика и нелинейная механика. Киев, 1989. №11.С. 40-43.

62 Данилюк И. И. // ДАН УССР. Сер. А. 1983. № 3. С. 9-14.

63 Данилюк И. И. // Успехи математических наук. 1983. Т. 40, вып. 5. С. 133-185.

64 Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М, 1988.

65 Джемесюк И.А., Карташов Э.М., Рубин А.Г. Динамические напряжения в упругом полупространстве с равномерно движущейся теплоизолированной границей// Сб. трудов XIII школы-семинара "Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепло- массообмена в энергетических установках". Санкт-Петербург. 2001. Т.2, С.176-178.

66 Джемесюк И.А., Карташов Э.М., Рубин А.Г. Решение краевых задач теплопроводности для полупространства с движущейся границей // Труды 2 международной конференции "Повышение эффективности теплообменных процессов и систем". Вологда, 2000,4.1. С. 12-15.

67 Джемесюк И.А., Карташов Э.М., Рубин А.Г. Решение краевых задач теплопроводности для полупространства с равномерно движущейся границей методом функций Грина// Труды Второй международной научно-технической конференции "Повышение эффективности теплообменных процессов и систем". Вологда, 1999.

68 Джемесюк И.А., Карташов Э.М., Рубин А.Г. Термические напряжения в массивном твердом теле с теплоизолированной движущейся границей// Труды 3-й международной конференции "Повышение эффективности теплообменных процессов и систем". Вологда, 2001, 4.1. С. 13-15.

69 Джемесюк И.А., Карташов Э.М., Рубин А.Г. Физические закономерности температурного нагрева массивного твердого тела с изменяющейся границей при наличии внутренних источников теплоты// Сб. "Механика деформируемых тел и конструкций". Уфа. 1998. С.97-103.

70 Джемесюк И.А., Карташов Э.М., Рубин А.Г., Очеретяная Н.Ю. Проблема термического удара и динамическая термоупругость// Труды 2-й российской национальной конференции по теплообмену. Москва. 1998. Т.7, С.12-1 А.

71 Джураев Т.Д., Тахиров Ж.О. Некоторые задачи со свободной границей для нелинейных параболических уравнений // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С. JI. Соболева (1908-1989), Новосибирск, 1998: ИНПРИМ-98: Тезисы докладов. Ч. 4. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. 1998, с. 15-16.

72 Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.,1965.

73 Домалевский С.С. // Уравнения с разрывными коэффициентами и их приложения. Алма-Ата, 1986. С. 18-24.

74 Дрейцер Г.А., Калинин Э.К., Ярхо С.А. Интенсификация теплообмена в каналах. М., 1990.

75 Дьяконов С.Н., Никольский А.Н. Влияние коэффициента испарения на термофоретическое движение летучей высоковязкой сферической капли в бинарной газовой смеси с учётом термодиффузных и стефановских эффектов // Тр. 9-го Междунар. симп. «Методы дискрет, особенностей в задачах мат. физ.» (МДОЗМФ-2000), посвящ. 80-летию со дня рождения проф. С.М. Белоцерковского, Орел, 29 мая - 2 июня, 2000. - Орел, 2000. С. 205-209.

76 Дюмаев K.M., Маненков A.A., Маслюков А.П. и др. // Труды ИОФАН РФ. 1991. Т. 33. С. 3-144.

77 Ентов В.М., Новожилов В.Б., Храмцов М.М. Математическое моделирование задач механики сплошной среды. М., 1989. С. 11-17.

78 Ерохин Б.Т. Теоретические основы проектирования РДТТ. М., 1982.

79 Железина E.B. О регулярности свободной границы в задаче с препятствием в окрестности точек контакта // Пробл. мат. анал. — 1999. - №19. С. 101-104,248.

80 Жибер A.B., Цирельман Н.М. // Инженерно-физический журнал. 1988. Т. 54, № 1. С. 144-145.

81 Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М., 1993.

82 Жуков М.Ф., Солоненко О.П. // Известия АН СССР. Сер. Технические науки. 1987. №11, вып. 3. С. 69-86.

83 Задачи со свободной границей - резюме докладов, прочитанных на конференции в Обервольфах (10-16 июля 1994. // Math. Forschundsinst. Oberwolfach, 1994. N 30. P. 113.

84 Зайнуллин Р.Г., Шафеев М.Н. Одномерная задача теплообмена с фазовым переходом при движущемся источнике холода // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научный сборник. Уфим. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа: Изд-во Уфим. гос. авиац. техн. ун-та. 2002, с. 69-72.

85 Зайнуллин Р.Г., Шафеев М.Н. Решение одной плоской нестационарной задачи Стефана методом вырожденных гипергеометрических преобразований при обобщённых условиях // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвящённый памяти С. J1. Соболева (1908-1989), Новосибирск, 1998: ИНПРИМ-98: Тезисы докладов. Ч. 4. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. 1998, с. 17-18.

86 Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными. Точные решения. М., 1996.

87 Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М., 1983.

88 Зарубин B.C. Расчет и оптимизация термоизоляции. М., 1991.

89 Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович Б.В. и др. Математическая теория горения и взрыва. М., 1980.

90 Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М., 1973.

91 Зингерман A.C. // Известия вузов. Электромеханика. 1960. № 5. С. 87-98.

92 Золотарев П.П., Рошаль A.A. // Инженерно-физический журнал. 1973. Т. 24, № 5. С. 921-928.

93 Ибраев P.A. Диагноз климатической сезонной циркуляции Черного моря// Тез. науч. докл. отчёт, сес. 1995,1994 г. Ин-та вычисл. мат. РАН. Ч. 1-2. - М., 1996. С. 50-51.

94 Иванов М.В. Вторая краевая задача для уравнения типа Соболева в нецилиндрической области. Случай расширяющихся областей // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тезисы докладов международной научной конференции, Челябинск, 22-26 июня, 1999. Челябинск: Изд-во ЧелГУ. 1999, С. 52.

95 Иванов Н.С, Филиппов П.М. Теплопроводность твердых тел и дисперсных сред при фазовых превращениях. Иркутск, 1988.

96 Иванова М.В. О гладкости решения второй краевой задачи для уравнения соболевского типа в нецилиндрических областях // 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980): Тезисы докладов. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат. СО РАН. 2000, С. 58-59.

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

Иванова M.B. Об одной паре взаимосопряжённых задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрических областях // Дифференщальш та штегральш р1вняння: Тез. доп. М1жнар. конф., Одеса, 12-14 верес., 2000. Одеса. 2000, С. 113-114.

Ильин A.M. // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики: фундаментальные направления. М., ВИНИТИ. 1988. Т. 34. С. 175-213.

Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., 1989.

Ильин В.А. Математический сборник. 1958. Т. 45 (87), № 2. С. 195-232.

Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные

дифференциальные операторы. М., 1991.

Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М„ 1970.

Искакова К.С. // Уравнения с разрывными коэффициентами и их приложения. Алма-Ата, 1986. С. 34-43.

Истомина Н.Е. О единственности решения задачи для нелинейного параболического уравнения в нецилиндрической области // Дальневосточная математическая школа-семинар имени акдемика Е. В. Зотова, Владивосток, 25-31 авг., 2002, С. 21-22. Истомина Н.Е. О корректности первой краевой задачи для вырождающегося на решении параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Ин-т прикл. мат. Хабаровское отделение. Препр. 2000, №5, С. 1-24. РАН ДВО. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с нецилиндрическими границами // Дальневосточный математический журнал 2000. 1, №1, С. 63-73. Казёнкин К.О. Одномерная задача о заполнении объема с подвижной границей вязким теплопроводным газом // Вестник МЭИ. 1999. №6. С. 46-58.

Калиев И.А., Вагапова Э.В. Задача Стефана как коэффициентная обратная задача // Современные проблемы физики и математики: Труды Всероссийской научной конференции, Стерлитамак, 16-18 сент., 2004. Т. 1. Уфа: Гилем. 2004, С. 43-49.

Камынин JI. И. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4, №6. С. 1006-1024.

Камынин Л.И. // Дифференциальные уравнения. 1991. Ч. 1: Т. 27, № 2. С. 250-263; Ч. 2: Т. 27, №3. С. 487-496.

Камынин Л.И., Масленникова В.Н. // Сибирский математический журнал. 1966. Т. 7, № 1.С. 83-128.

Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., 1964. Карташов Э. М. // Известия РАН. Энергетика. 1997. № 4. С. 122-137. Карташов Э. М., Партон В.З. // Итоги науки и техники. Серия Механика деформируемого твердого тела. М. ВИНИТИ . 1991. Т. 22 С. 55-127.

Карташов Э. М.//Изв. РАН. Энергетика. 1999. № 5. С. 3-34. Карташов Э.М. // ДАН СССР. 1966. Т. 351, № 1. С. 32-36.

Карташов Э.М. // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1986. № 6. С. 116-129.

Карташов Э.М. // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1986. №5. С. 125-149. Карташов Э.М. // Известия РАН. Энергетика. 1993. № 2. С. 99-127. Карташов Э.М. // Известия РАН. Энергетика. 1993. № 3. С. 106-125. Карташов Э.М. // Инженерно-физический журнал. 1987. Т. 52, № 3. С. 495-505.

122 Карташов Э.М. // Инженерно-физический журнал. 1999. Т. 72, № 5. С. 825-836.

123 Карташов Э.М. // Итоги науки и техники. Сер. Химия и технология высокомолекулярных соединений. 1991. Т. 27. С. 3-112.

124 Карташов Э.М. // Итоги науки и техники. Серия Химия и технлогия высокомолекулярных соединений. М. ВИНИТИ . 1988. Т. 25 С. 3-84.

125 Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М., 1985.

126 Карташов Э.М. Новые интегральные соотношения для аналитических решений уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // Доклады РАН. 2000. 374, №2, с. 168-172.

127 Карташов Э.М., Любов Б.Я.//ЖТФ. 1971. Т. 61, № 1. С 3-16.

128 Карташов Э.М., Любов Б.Я. // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974. № 6. С. 83-111.

129 Карташов Э.М., Стомахин И.В. // Известия РАН. Энергетика. 1992. № 5. С. 138-147.

130 Кашкаха В.ЕЛ Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей. Киев, 1983. С. 60-63.

131 Коздоба Л. А. Решение нелинейных задач теплопроводности. Киев, 1976.

132 Коздоба Л. А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наукова думка, 1982. 358с.

133 Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. Минск, 1986.

134 Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. Киев, 1992.

135 Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1965-1976 гг. Ч. 1,2. Львов, 1980.

136 Комаров Г.Н. Неклассические спектральные задачи в проблемах теплопроводности// Асимптотич. та яюсш методи в теорй нелшшн. коливань: М1жнар. конф. 3 Боголюб.читання, Khi'b, 18-23 серпня, 1997: Тез. доповщей-Кшв, 1997. - С. 90-91.

137 Коненков А. Н. //Дифферепц. уравнения. 1997. Т. 33, Мд 8. С. 1139-1140.

138 Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. М., 1980.

139 Котляр Я.М., Совершенный В.Д., Стриженов В.Д. Методы и задачи тепломассообмена. М., 1987.

140 Кошляков Н.С, Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.

141 Кружков С. Н. //ДАН СССР. 1968. Т. 178, № 5. С. 1036-1038.

142 Кубийда B.C. // Физико-химическая механика материалов. 1986. Т. 22, № 4. С. 125128.

143 Кудинов В.А., Калашников В.В., Карташов Э.М., Лаптев Н.И., Сергеев С.К. Тепломассоперенос и термоупругость в многослойных конструкциях. М., 1997.

144 Кудинов В.В., Пекшев П.Ю., Белашенко В.Е. Нанесение покрытия плазмой. М., 1990.

145 Курганецкий М.В., HacTacis П.П. Розв'язання нестащонарно!' системи р1внянь тепломассопереносу, що описуепроцес кристалгзаци' // Диферещальш р1вняння i нелпийш коливання: Тези доповщей М1жнародно'1 конферецй як супутня Украшского математичного конгресу, Кшв, 27-29 серпня, 2001.

146 Кутателадзе С.С, Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М., 1985.

147 Кутателадзе С.С, Леонтьев А.И. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа. Новосибирск, 1962.

148 Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск, 1970.

149 Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М., 1980.

150 Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., 1978.

151 Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967.

152 Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1973

153 Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., 1971.

154 Леонтьев А.И. (под редакцией). Газовая динамика. Механика жидкости и газа. М., 1997.

155 Леонтьев А.И. (под редакцией). Теория тепломассопереноса. М., 1997.

156 Леонтьев Ю.В. // Математические проблемы энергетики. Киев, 1988. С. 130-137.

157 Луковський 1.0. Нелшшш математичш модел1 в теорп коливань обмеженого об'ему в' зко'1 рщини з вшьною поверхнею// Асимптотич. та яюсш методи в Teopi'i нелшшн. коливань: М1жнар. конф. 3 Боголюб.читання, Кшв, 18-23 серпня, 1997: Тез. доповщей-Кшв, 1997. С. 104-105.

158 Лыков A.B. // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1969.

159 Лыков A.B. Тепломассоперенос: Справочник. М., 1978.

160 Лыков A.B. Теория теплопроводности. М., 1967.

161 Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепломассопереноса.

162 Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. М., 1981.

163 Любов Б.Я. Кинетическая теории фазовых превращений. М., 1969.

164 Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М., 1975.

165 Любов Б.Я., Соболь Э.Н. // ФХОМ. 1979. № 1. С. 12-26.

166 Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Решение одной нелинейной задачи теплопроводности // Тр. 9-го Междунар. симп. «Методы дискрет. Особенностей в задачах мат. физ.» (МДОЗМФ-2000), посвящ. 80-летию со дня рожд. проф. С.М. Белорецкого, Орел, 29 мая - 2 июня, 2000. - Орел, 2000. - С. 293-296.

167 Мажукин В.И., Самохин A.A. // тМатематическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М., 1987. С. 191-244.

168 Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. // Известия вузов. Машиностроение. 1989. № 1. С. 5256.

169 Мартыненко О.Г., Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск, 1979.

170 Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М., 1992.

171 Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений. М., 1986

172 Масленникова В.Н. // Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики Новосибирск, 1972. С. 150-156.

173 Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1997.

174 Маслов В. П., Федорюк И.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М., 1976.

175 Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы, м., 1965.

176 Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур. М., 1987.

177 Матийчук М.И. // Нелинейные граничные задачи. Киев, 1990. № 2. С. 78-84.

178 Мейрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск, 1986.

179 Меламед В.Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. М., 1980.

180 Митропольский Ю.А., Березовский A.A. // Математическая физика и нелинейная механика. Киев, 1987. №7 С. 50-60

181 Митропольский Ю.А., Березовский A.A., Нетесова А.М. Об одной нелокальной задаче со свободной границей // Украинский математический журнал. 2001. 53, №7, с. 908-918.

182 Митропольский Ю.А., Березовский A.A., Плотницкий Т.А. // Украинский математический журнал. 1992. Т. 44, №1. С. 67-75.

183 Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.

184 Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. M., 1981.

185 Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

186 Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. М., 1970.

187 Мязья В. Г. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М., ВИНИТИ. 1988. Т. 27. С. 131-228.

188 Набоков Р.Ю. // Вестник МГУ. Сер. 1. 1990. № 2. С. 59-61.

189 Намитоков К.К. Электроэрозионные явления. М., 1978.

190 Неймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

191 Несененко Г.А. Пограничный слой в нелинейных температурных полях многослойных тел с подвижными границами. М, 1993.

192 Несененко Г.А. // Известия РАН. Энергетика. 2000. № 3. С. 83-96.

193 Несененко Г. А. Библиографический справочник по теме : Геометрооптический асимптотический метод решения нелинейных сингулярно возмущенных задач тепло-и массопереноса в многослойных средах с дефектами типа трещин. М., 1994.

194 Несененко Г. А. Пограничный слой в нестационарных температурных полях твердых тел. М., 1991.

195 Несенко Г.А. Асимптотика в смысле Пуанкаре решения сингулярно возмущённой задачи Стефана // 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980): Тезисы докладов. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат. СО РАН. 2000, с. 34.

196 Несенко Г.А. Геометрико-оптическая асмптотика решений многослойных сингулярно возмущённых краевых задач теплопроводности с нелинейными граничными условиями на подвижных границах // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвящённый памяти С. Л. Соболева (1908-1989), Новосибирск, 1998: ИНПРИМ-98: Тезисы докладов. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. 1998, с. 27-28.

197 Новиков B.C. // Промышленная теплотехника. 1989. Т. 11, № 5. С. 41-54.

198 Олейник O.A. Лекции об уравнениях в частных производных. М., 1976.

199 Омельянов Г.А., Трушков В.В. Динамика свободной границы в бинарной среде с переменными коэффициентами// Математические заметки. 1999 - 66, №2. С. 231241.

200 Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при фазовых переходах: Учебное пособие // Новосибирск: Изд-во ЯГУ. 2001, 55 с.

201 Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е., Левданский В.В., Лейцина В.Г., Рудин Г.И. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980.

202 Панасюк В.В., Аидрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Т. 1. Киев, 1988.

203 Панкратов Б.М. Спускаемые аппараты. М., 1984.

204 Парис, Клоснер // Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т. 3, № 4. С. 251-253.

205 Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М., 1988.

206 Петрашов В.И. Задачи типа Стефана в некоторых инженерных расчётах // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Ворнежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XIV», Воронеж, 3-9 мая, 2003. Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та. 2003, С. 112-113.

207 Петров А.Г. О движении частиц несжимаемой среды в области с периодически изменяющейся границей // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000, №4, С. 12-19.

208 Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961.

209 Петухов Б.С., Генин Л.Г. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М., 1974.

210 Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л., 1976.

211 Пинскер В.А. Аналитическое решение нестационарного уравнения теплопроводности в пространстве, содержащем бесконечную круговую цилиндрическую полость с движущимся в ней источником тепла // Доклады РАН. 2000. 372, №5, С. 604-607.

212 Плят Ш.И. Расчеты температурных полей бетонных гидросооружений. М., 1974.

213 Плят Ш.Н. Тепловые расчеты многослойных конструкций гидросооружений. М., 1978.

214 Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М., 1995.

215 Подгаев А.Г. Задача определения скрытой удельной теплоты плавления по величине зоны протаивания//Доклады РАН. 1997. 353, №3. С. 313-315.

216 Подстригая Я.С, Коляио Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев, 1976.

217 Подстригая Я.С., Коляно Ю.М., Громовых В.И., Лобзень В.Л. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. Киев, 1977.

218 Полежаев Ю.В., Юревич Б.В. Тепловая защита. М., 1976.

219 ПоложийГ. Н. Уравнения математической физики. М., 1964.

220 Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., 1977.

221 Полянин А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М., 1998.

222 Постольник Ю.С., Огурцов А.П. Нелинейная прикладная термомеханика. Киев, 2000.

223 Постольник Ю.С., Огурцов А.П., Решетник И.С. Основы металлургической термомеханики. Днепродзержинск, 1998.

224 Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложениях к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань, 1978.

225 Пухначев В.В. // Труды семинара С.Л. Соболева. Новосибирск, 1976. № 2. С. 69-82.

226 Радкевич Е.В., Меликов A.C. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент, 1988.

227 Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. Киев, 1978.

228 Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М., 1982.

229 Романовский Р.К., Стратилатотова E.H. Анализ одномерной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 5-10 июля, 2004: Тезисы докладов. Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та. 2004, С. 183-186.

230 Рубин А.Г, Джемесюк И.А. Физические закономерности термонапряженного состояния упругого полупространства с движущейся границей при температурном нагреве с конечной скоростью // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену "Теплопроводность и теплоизоляция". Т.7. Москва. МЭИ. 1998. С.199-201.

231 Рубин А.Г. Решение краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущейся границей при наличии источника теплоты // Вестник Челябинского университета, Серия Математика, механика, 1994, №1, С.108-111.

232 Рубин А.Г., Джемесюк И.А. Точные аналитические решения краевых задач нестационарного переноса в области с движущейся границей // Сб. "Механика деформируемых тел и конструкций". Уфа. 1998. С.112-119.

233 Рубин А.Г., Джемесюк И.А., Карташов Э.М. Модификация метода тепловых потенциалов Тихонова-Самарского для уравнения нестационарного переноса в областях с изменяющейся границей при наличии внутренних источников теплоты // Труды 2-й Российской национальной конференции по теплообмену. Москва. 1998. Т.7. С.202-205.

234 Рубин А.Г., Карташов Э.М. Модификация метода тепловых потенциалов для решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущейся границей// Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей, №16, Уфа, 1994, С.151-158.

235 Рубин А.Г., Карташов Э.М., Джемесюк И.А. Динамическая реакция твердого тела с теплоизолированной движущейся границей // Известия РАН, серия Энергетика, 2002. №6, С.72-80.

236 Рубин А.Г., Карташов Э.М., Джемесюк И.А. Термодинамические напряжения в массивном твердом теле с теплоизолированной движущейся границей // Труды 3-й Российской национальной конференции по теплообмену. Москва. 2002. Т.7. С. 248250.

237 Рубин А.Г., Карташов Э.М., Джемесюк И.А. Термонапряженное состояние упругого твердого тела с движущейся границей при импульсном термическом ударе // Сб. «Матем. модели физ. процессов и их свойства». Таганрог. 2002. С. 62-65.

238 Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига, 1967.

239 Рудобашта С.И. Массоперенос в системах с твердой фазой. М., 1980.

240 Рудобашта С.П., Карташов Э.М. Диффузия в химико-технологических процессах. М., 1993.

241 Рыкалин H.H. Расчеты тепловых процессов при сварке. М., 1951.

242 Рыкалин H.H., Углов A.A., Зуев И.В. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов. М., 1985.

243 Садовничий В.А. Теория операторов. М., 1986.

244 Самарский A.A. (под редакцией). Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса. Минск, 1982.

245 Самарский A.A. // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 2. С. 225-228.

246 Самарский A.A. Теория разностных схем. М., 1983.

247 Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М., 1999.

248 Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., 1987.

249 Сарсекеева A.C. Об одной задаче со свободной границей // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тезисы докладов международной научной конференции, Челябинск, 4-8 февраля, 2002. Челябинск: Изд-во ЧелГУ. 2002, С. 92-93.

250 Свешников А.Г., Богомолов А.Н., Кравцов В.З. Лекции по математической физике. М„ 1993.

251 Сильченко Ю.Т. Одна краевая задача для области с подвижной границей // Известия вузов. Математика. 1998. - №3. С. 44-46.

252 Сильченко Ю.Т. Дифференциальное уравнение второго порядка по времени в области с подвижной границей // Дифференц. Уравнения. 2001. 37, №2, С. 282-283, 288.

253 Сильченко Ю.Т. Об одном методе исследования краевых задач в нецилиндрических областях // Современные методы в теории краевых задач: Труды Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XI», Воронеж, 3-9 мая, 2000. Ч. 2. Воронеж: Центр-Чернозём, кн. изд-во. 2000, С. 117-124.

254 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

255 Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М., 1966.

256 Соболь Э.Н., Глытенко А.Д., Любов Б.Я. // Инженерно-физический журнал. 1990. Т. 58, № 3. С. 357-374.

257 Соболь Э.Н., Углов A.A. // ФХОМ. 1983. №2. С. 3-17.

258 Солтанов К.Н., Новрузов Э.Б. Об одной задаче со свободной границей // Известия РАН. Серия математическая. 2002. 66, №4, С. 155-176.

259 Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. 2-е изд. М., 1983.

260 Степанов А.Е., Кириллова Л.Г. Математическое моделирование процессов выращивания кристаллических полупроводниковых материалов. Киев, 1988.

261 Су, Рубински К. // Теплопередача. 1988. № 1. С. 156-163.

262 Темкин А.Г. Обратные задачи теплопроводности. М., 1973.

263 Темкин Д.Е. // Инженерно-физический журнал. 1962. Т. 5, № 4. С. 89-92.

264 Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М., Т. 1. 1960. Т. 2. 1961.

265 Тихонов А.Н. //ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

266 Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.

267 Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1966.

268 Ушаков В.И., Иванова М.В. Свойства функции Грина третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Известия ВУЗов. Математика. 2000, №10, С. 68-78.

269 Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. М., 1987.

270 Федорюк М.В. Метод перевала. М., 1977.

271 Формалев В.Ф. // Труды Минского международного форума по теплообмену. Теплопроводность. Минск, 1989. С. 21-31.

272 Франк-Каменецкий Д.Л. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М., 1967.

273 Хубиев Р.Н., Байрамукова З.Х. Об одной краевой задаче со свободной границей для телеграфного уравнения // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. Акад. Наук. 1997. - 2, №2. С. 31-33.

274 Цибин A.M. Некоторые вопросы расчета температурных полей, связанные со строительством и эксплуатацией гидросооружений, работающих в районах крайнего севера и вечной мерзлоты. Санкт-Петербург, 1995.

275 Цидин А.Г., Забелин В.В., Мухин Е.Б. // Тепломассообмен-ММФ-92: Вычислительный эксперимент в задачах тепломассообмена и теплопередачи. Т. 9. ч. 1. Минск, 1992. С. 193-196.

276 Цой Б., Карташов Э.М., Шевелев В.В., Валишин A.A. Разрушение тонких полимерных пленок и волокон М., 1997.

277 Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М., 1984.

278 Чалых А.Е. Диффузия в полимерных системах. М., 1987.

279 Чочиев Т.З. Изменение нелинейного температурного поля, связанное с коэффициентом теплопроводности // Владикавказский математический журнал. 2000. 2, №1-4, С. 3/42-3/51.

280 Шашков А. Г., Бубнов В.А., Яновский С.Ю. Волновые явления теплопроводности. Минск, 1993.

281 Шашков А.Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение. М., 1983.

282 Шевелев В. В. // Известия АН СССР. Металлы. 1988. Вып. 6. С. 57-60.

283 Шестаков Н.И., Запатрина И.В., Фогельзанг И.И. // Известия АН СССР. Металлы. 1991. №1. С. 72-75.

284 Шленский О.Ф., Афанасьев Н.В., Шашков А.Г. Терморазрушение материалов. М.,

1996.

285 Шрмга JI. Затвердение и кристаллизация стальных слитков. М., 1985.

286 Эйдельман С.Д. Параболические уравнения // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. М., 1990. Т. 63. С. 201-213.

287 Яворская О.Я., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Термомеханика. Указатель отечественной и зарубежной литературы за 1977-1981 гг. Кн. 1-3. Львов, 1986.

288 Aiki Toyohiko, Imai Hitoshi, Ishimura Naoyuki, Yamada Yoshio. One-phase Stefan problems for sublinear heat equations: asymptotic behavior of solutions // Commun. Appl. Anal. 2004. 8,№l,c. 1-15.

289 Aiki Toyohiko, Imai Hitoshi. Global existence of solutions to one-phase Stefan problems for semilinear parabolic equations// Ann. mat. pura ed appl. - 1998. - 175. C. 327-337.

290 Aiki Toyohiko, Imai Hitoshi. Stability of global solutions to one-phase Stefan problem for a semilinear parabolic equation // Czechosl. Math. J. 2000. 50, №1, C. 135-153.

291 Athanasopouols I., Cafarelli L.A. Salsa S. // Common Pureand Applied Math. 1998. Vol. 51, N 1. P. 77-112.

292 Bantsuri R. On problems with boundary motion conditions of the theory of elasticity and mathematical physics // Differential Equations and Mathematical Physics: Abstr. Int. Symp. Dedicat. 90th Birthday Anniv. Acad. I. Vekua, Tbilisi, 21-25 June, 1997. Tbilisi.

1997, c. 109.

293 Barletta Giuseppina. Parabolic equations with discontinuous nonlinearities // Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2001. 63, №2, c. 219-228.

294 Berezovsky S.A. Free boundary problems in Black sea physics// Асимптотич. та якюш методи в Teopi'í нелшшн. коливань: М1жнар. конф. 3 Боголюб, читання. Кшв, 18-23 серпня, 1997: Тез. доповщей. - КиТв, 1997. С. 22-23.

295 Borodin М.А. Existence of the global classic solution for a two-phase Stefan problem // SIAM J. Math. Anal. - 1999. 30, №6. - C. 1264-1281.

296 Cannon J.R., Yin H.H // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 1990. Vol. 15, N 7. P. 639-648.

297 Cellurale Elena. Problema di Stefan in spazi di Nikol'skij con peso // Bollettino della Unione Matematica Italiana. Sezione A. 1998. 1, прил., с. 89-92.

298 Chaves M., Vázquez J.L. Free boundary layer formation in nonlinear heat propagation // Commun. Part. Differ. Equat. 1999. 24, №11-12, C. 1945-1965.

299 Chen Gui-Qiang, Kratka Milan. Global solutions to the Navier-Stokes equations for compressible heat-conducting flow with symmetry and free boundary // Commun. Part. Differ. Equat. 2000. 27, №5-6, C. 907-943.

300 Chen H., Sleeman B.D. Estimates for the remainder term in the asymptotics of the counting function for domains with irregular boundaries // Rend. Semin. Mat. / Univ. e Politecn. Torino. - 1997 - 55, №3. C. 171-188.

301 Coleman C.J. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1987. Vol. 30, N 8. P. 1727-1732.

302 Dancer E.N., Du Yihong. On a free boundary problem arising from population biology // Indiana University Mathematics Journal. 2003. 52, №1, C. 51-67.

303 Daskalopoulos P., Hamilton R. Regularity of the free boundary for the porous medium equation // Journal of the American Mathematical Society. - 1998. 11, №4. C. 899-965.

304 Ebenfelt P., Khavinson D., Shapiro H.S. A free boundary problem related to Single-Layer potentials // Ann. acad. sci. fenn. Math. 2002. 27, №1, c. 21-46.

305 Ed. Delfour Michel C. Boundaries, Interfaces and Transitions: CRM Summer Sch., Banff, Aug. 6-18, 1995 // Journal of the American Mathematical Society, 1998 - XII, 343 c. (CRM Proc. And Lect. Notes; Vol. 13)

306 Escher Joachim, Simonett Gieri. Classic solutions for the quasi-stationary Stefan problem with surface tension: Int. Conf. "Part. Differ. Equat.", Potsdam, July 29- Aug. 3, 1996 // Math. Res.- 1996. - 100. - C. 98-104.

307 Ferreira Jorge, Benabidallah Rachid. Asymptotic behavior for the linear thermoelasticity system in domains with moving boundary // Commun. Appl. Anal. 2003. 7, №2-3, c. 335347.

308 Fey Y.C., Boles M.A. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1987. Vol. 30, N 4. P. 771-780.

309 Filo Jan, Pluschke Volker. A free boundary problem in dermal drug delivery // SI AM Journal on Mathematical Analysis. 2002. 33, №6, C. 1430-1454.

310 Friedman Avner, Reitich Fernando. Symmetry-breaking bifurcation of analytic solutions to free boundary problems: an application to a model of tumor growth // Transactions of the American Mathematical Society. 2001. 353, №4, C. 1587-1634.

311 Gatti Stefania. Una equazione parabolica in teoria della combustione: problemi diretti ed inversi// Boll. Unione mat. ital. A.-1998.-1, Suppl.- С. 117-120

312 Gilding Brain H., Natalini Roberto, Tesei Alberto. How parabolic free boundaries approximate hyperbolic fronts //Transactions of the American Mathematical Society. 2000. 352, №4. C. 1797-1824.

313 Givioli D. // Journal Thermal Stresses. 1990. Vol. 13, N 3. P. 263-279.

314 Groma I., Vemo B. // Int. J. Heat Mass Trnasfer 1986. Vol. 29, N 4. P. 549-554.

315 Gunter R.B. // Res. Notes Math. 1983. Vol. 78. P. 76-78.

316 Hantush M.S. // Advances in hydroscience. New York, 1964. Vol. 1. P. 281-432.

317 Hilhorst D., Issard-Roch F., Roquejoffre J.M. Large time behavior of the solutions to a one-dimensional Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary // European Journal of Applied Mathematics. 2004. 15, №3, c. 297-313.

318 Hofmann Steven, Lewis John L. The regularity problem for the heat equation in non-cylindrical domains // III. J. Math. 1999 - 43, №4 - C. 752-753.

319 Hulshof J., King J.R. Asymptotic analysis of some elliptic-parabolic moving boundary problems // Applied Mathematics Letters. 1999. 12, №2, c. 87-94.

320 Ivanchov M.I. Inverse problem for a multidimensional heat equation with an unknown source function // Мат. студп. 2001. 16, №1, с. 93-98.

321 Kato Nobuyuki, Yamaguchi Toshiyuki. Nonlinear nonlocal transport-diffusion equations arising in physiology// Nihonkai Math J - 1999 10 №1. C. 1-30.

322 Kim Jongsung. Local existence of weak solution of a class of two-phase Stefan problems // Shuxue Zazhi=J. Math. 2000. 20, №3, c. 350-354.

323 Ko Youngsang. - regularity of interfaces for solutions of the parabolic p-Laplacian equation// Commun. Part. Differ. Equat. - 1999 - №5-6. C. 915-950.

324 Kobayashi Takayuki. On the local energy decay of higher derivatives of solutions for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive gases in an exterior domain in R3// Proc. Jap. Acad. A. - 1997. - 73, №7. C. 126-129.

325 Lacey A.A., Herraiz L.A. Macroscopic models for melting derived from averaging microscopic Stefan problems. I. Simple geometries with kinetic undercooling of surface tension // European Journal of Applied Mathematics. 2000. 11, №2, C. 153-169.

326 Lasiecka Irena, Triggiani Roberto. Analyticity of thermo-elastic semigroups with free boundary conditions// Ann. Sc. norm, super. Pisa. CI. sci. - 1998.- 27, №3-4. - C. 457-482.

327 Levin Harold. Partial differential equations// Providence (R.I.): Amer. Math. Soc.: Int. Press, 1997, - XVIII, 706 c. (AMS/IP Stud. Adv. Math.; Vol. 6)

328 Lin S., Kwok C.K. // Numeral Methods in Termal Problems. Proc. Fifth Int. Conf. Swasea: Pineridge Press, 1987. P. 176-186.

329 Liu Zuhan. The global existence of weak solutions for a reaction-diffusion equation with free boundary // Shuxue niankan. A=Chin. Ann. Math. A. 2000. 21, №3, c. 357-368.

330 Lii Xianrui, Du Zhongfu, Gao Yongjiu. Existence and uniqueness of solutions for a class of reaction-diffusion systems// Dongbei shuxue=Northeast. Math. J. 1999. 15, №3, c. 295300.

331 Lukaszewicz Grzegorz, Sadowski Witold. On a free boundary problem in ground freezing // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. 23, №12, c.1023—1035.

332 Luo Nanchen. One the classic solution of a Stefan problem with discontinuous coefficients // Jiangxi Shifan daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. Jiangxi Norm. Univ. Natur. Sci. Ed. 2000. 24, №3, c. 224-229.

333 Mamedov I.T. Boundary properties of solutions of the second order parabolic equations in non-cylindrical domains // Proc. Inst. Math, and Mech. Azerb. Acad. Sci. 1999. 11, c. 96107.

334 Mannucci Paola, Tarzia Domingo. The supercooled one-phase Stefan problem in S spherical symmetry // Demonstr. math. 1999. 32, №1, c. 67-76.

335 Matei Ana-Maria. The Neumann problem for free boundaries in two dimensions // C. r. Math. Acad, sci., Paris. 2002. 335, №7, c. 597-602.

336 Mazhukin V.I., Chuiko M.M. Solution of two-dimensional multi-interface Stefan problem by the method of dynamic adaptation // Math. Modell. and Anal. 2001. 6, №1, c. 129-137.

337 Obbink Bart Klein. Moving boundary problems in relation with equation of Lowner-Kufareev tupe: Proefschr. Doct.// Techn. Univ. Eindhoven, Eindhoven, 1995. - 161 c.

338 Padula M. Techniques for existence theorems in problems with free boundary // International Conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii (1901-1973): 20 Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society, Moscow, May 22-27, 2001: Book of Abstracts. Moscow: Moscow Univ. Press. 2001, c. 310-311.

339 Pavlyukevich N.V., Gorelik G.E., Leitsina V.G., Rudin G.I. Physical and Transfer Processes in Phase Transformations. Begell House. Inc. N.4. 1995

340 Peckover R.S. // Res. Notes Math. 1983. Vol. 78. P. 248-262.

341 Petrosyan Arshak. On existence and uniqueness in a free boundary problem from combustion // Commun. Part. Differ. Equat. 2002. 27, №3-4, c. 763-789.

342 Rodrigues J.F., Solonnikov V.A., Yi F. On a parabolic system with time derivative in the boundary conditions and related free boundary problems// Math. Ann. - 1999. - 315, №1. C. 150-156.

343 Sartori Elena. On a free boundary problem for the /»-Laplacian// Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1998. - 218, №1. С. 117-126.

344 Shamin R. Parabolic differential equations with nonlocal conditions on shifts on boundary// Int. Conf. Differ and Funct. Differ. Equat., Moscow, August 16-21, Abstr.-1999. C. 96-97.

345 Sheng Jianzhong, Yi Fahuai. A reaction-diffusion's free-boundary problem // Shuxue wuli xuebao. Ser. A= Acta Math. Sci. 2003. 23, №2, C. 183-192.

346 Shimura Jyo, Tanako Sumio, Hirashima Kenichi. Analytical solutions for semi-infinite problems under free and fixed surface boundary codifions (cases of anti-plane problems for isotropic and anisotropic elastic bodies) // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A =Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 2002. 68, №673, c. 1401-1406.

347 Solonnikov V.A. On quasistationary approximation in the problem of motion of a capillary drop // Top. Nonlinear Anal.: Herbert Amann Anniv. Vol. Basel etc. 1999, c. 643-671.

348 Solonnikov V.A., Fasano A. One dimensional problem for the flow in a porous medium with hydrophile grains// Int. Conf. Differ and Funct. Differ. Equat., Moscow, August 1621, Abstr.-1999-C. 106.

349 Soltanov K.N., Novruzov E.B. The free boundary value problem for a nonlinear equation of parabolic type// Proc. Inst. Math, and Mech. of Azerbaijan AS [бывш. Тр. Ин-та мат. и мех. АН Азербайджана]. - 1999. №10. С. 162-172, 277.

350 Souplet Philippe. Stability and continuous dependence of solutions of one-phase Stefan problems for semilinear parabolic equations // Port. math. 2002. 59, №3, c. 315-323.

351 Takhirov J. O., Ruziev Sh. N. Free boundary problem with nonlocal condition in an unknown boundary // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды Международной научной конференции, Стерлитамак, 24-28 июня, 2003. Т. 1. Уфа: Гилем. 2003, с. 234-238.

352 Tarzia Domingo Alberto, Turner Cristina Vilma. The asymptotic behavior for the two-phase Stefan problem with a convective boundary condition // Commun. Appl. Anal. 2003. 7, №2-3, C. 313-334.

353 Turland B.D. // Res. Notes Math. 1983. Vol. 78. P. 293-305.

354 Uraltseva Nina N. The behaviour of a free boundary problem near the prescribed boundary // Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка, Новосибирск, 30 авг. - 3 сент., 1999: Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. 1999, С. 116-117.

355 Urbano José Miguel. Continuous solutions for a degenerate free boundary problem // Ann. mat. pura ed appl. 2000. 178, C. 195-224.

356 Van den Berg M., Hollander F. Den. Asymptotics for the heat content of a planar region with a fractal polygonal boundary// Proceedings of the London Mathematical Society. -1999. - 78, №3. - C. 627-661.

357 Villa L.T. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. Vo 1. 142, N 2. P. 431-449.

358 Watanabe Hisako // Journal of the Mathematical Society of Japan. 1997. Vol. 49, N 3. P. 339-430.

359 Yang Fenglin, Zhang Dali, Gao Guanghong. Stefan problem in heat -conduction equation with an unknown coefficient and a nonlinear boundary condition // Hearbin gongye daxue xuebao=J. Harbin Inst. Technol. 1998. 30, №5, C.25-29.

360 Yang Fenglin, Zhang Dali, Gao Guanghong. The Stefan problem in nonlinear diffusion equation with an unknown coefficient // Hearbin gongye daxue xuebao=J. Harbin Inst. Technol.-1998.-30, №6.-C. 19-21.

361 Yi Fa-huai. A free boundary problem with nonlocal condition // Huanan shifan daxue xuebao.Ziran kexue ban= J. S. China Norm. Univ. Natur. Sci. 2002, №4, C. 1-6.

362 Zadrzynska E., Zajaczkowski W. M. Local existence of solutions of a free boundary problem for equations of compressible viscous heat-conducting capillary fluids // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2000. 6, №2, C. 227-250.

363 Zhicheng G., Muzeng S. // Booll. Union Math. Italian "B". 1988. Vol. 2. P. 163-176.

364 Кротов Г.С., Карташов Э.М. Метод решение краевых задач теплопроводности для области, движущейся по параболическому закону. Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей. Межвузовский научный сборник №18. Уфа. 2000. С. 113-119.

365 Кротов Г.С. Метод решение краевых задач теплопроводности для области, движущейся по параболическому закону. Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей. Третья Российская национальная конференция по теплообмену. Москва. 2002. Т. 7, стр. 161-163.

366 Кротов Г.С., Карташов Э.М. Задачи нестационарной теплопроводности в области с границей, движущейся по корневой зависимости. МНТК. Вологда. 2005.

367 Кротов Г.С. Корни функции параболического цилиндра при фиксированном значении аргумента. Ученые Записки МИТХТ. Москва. 2005. Выпуск 14. С. 41-48.

368 Кротов Г.С., Карташов Э.М. Функция Грина для области с движущейся границей. Математические модели физических процессов. Таганрог: Издательство Таганрогского государственного педагогического института. 2005. Том 1. С. 89-95.

369 Карташов Э.М., Кротов Г.С. Функции Грина в задачах нестационарной теплопроводности в области с границей, движущейся по корневой зависимости. Известия РАН, Энергетика, №4, 2006, стр. 134-149.

370 Карташов Э.М., Кротов Г.С. Аналитическое решение однофазной задачи Стефана. Математическое моделирование, 2008, том 20, 3, стр.77-86.

371 Карташов Э.М., Кротов Г.С. Проблема Стефана в вырожденной области. Математическое модели физических процессов. Таганрог: 2007. Том 1. С. 103-109

372 Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. Инженерно-физический журнал. 2001. Том 74. №2. С. 171-195.

373 Карташов Э.М., Цой Б., Шевелев В.В. Структурно-статистическая кинетика разрушение полимеров. М., 2002.

374 Карташов Э.М., Рубин А.Г., Джемесюк И.А. Модифицированный метод тепловых потенциалов для уравнения нестационарного переноса в областях с изменяющимися границами при наличии внутренних источников// Сб. «Матем. модели физ. процессов и их свойства». Таганрог. 2002.

375 Джемесюк И.А. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М., 2000

376 Гринберг Г. А. Об одном возможном методе подхода к рассмотрению задач теории теплопроводности, диффузии, волновых и им подобных при наличии движущихся границ и о некоторых иных его приложениях // Прикладная Математика и Механика. 1967. Т.31. №2. С.393-403.

377 Квальвассер В.И., Рутнер Я.Ф. Метод нахождения функции Грина краевых задач уравнения теплопроводности для отрезка прямой с равномерно движущимися границами // Доклады АН СССР. 1964. Т. 156. №6. С. 1273-1276.

378 Карташов Э.М., Рубин А.Г., Джемесюк И.А. Новые интегральные соотношения на основе потенциалов Тихонова-Самарского для аналитических решений краевых задач нестационарного переноса // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. №5. С. 119-127.

379 Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов // Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 2, № 11. С. 49-54.

380 Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001, 550с.