Модельные нелинейные системы с выраженной основной спектральной компонентой вблизи границы фазовой хаотической синхронизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Данилов, Дмитрий Игоревич

• Данилов, Дмитрий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данилов, Дмитрий Игоревич

Содержание

Содержание

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

Цель диссертационной работы

Научная новизна

Практическая значимость

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

Структура и объем работы

Достоверность полученных результатов

Апробация результатов и публикации

1 Динамика взаимодействующих хаотических осцилляторов

с позиции синхронизации спектральных компонент

1.1 Различные типы синхронизации как частные проявления синхронизации спектральных компонент

1.2 Поведение спектральных компонент вблизи границы режима фазовой хаотической синхронизации на примере связанных осцилляторов Ресслера

1.3 Отображение окружности

1.4 От отображения окружности — к системам Ресслера

1.5 Выводы по первой главе

2 Синхронизация спектральных компонент в пространственно-распределенных системах

2.1 Диод Пирса

2.2 Переход к режиму синхронизации с точки зрения спектральных компонент в пространственно-распределенных системах на примере однонаправленно связанных диодов Пирса

2.3 Закономерность поведения основных спектральных компонент для различных точек пространства взаимодействия

2.4 Диоды Пирса, системы Ресслера и отображение окружности

2.5 Выводы по второй главе

3 Перемежаемость в пространственно—распределенных си-

стемах на границе синхронного режима

3.1 Перемежаемость на границе фазовой хаотической синхронизации

3.2 Модифицированный метод выделения ламинарных и турбулентных фаз в пространственно-распределенных системах

3.3 Определение типа перемежаемости диодов Пирса

3.4 Выводы по третьей главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модельные нелинейные системы с выраженной основной спектральной компонентой вблизи границы фазовой хаотической синхронизации»

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

Нелинейные динамические системы, демонстрирующие сложное поведение, являются важнейшими объектами для изучения и привлекают пристальное внимание исследователей в самых разных областях науки и техники. Одним из наиболее интересных типов динамики для исследования является случай систем, находящейся под внешним воздействием [1,2], а также случай взаимосвязанных двух или нескольких систем [3-5]. В таких случаях может наблюдаться явление синхронизации [6-12] — подстройки ритмов колебаний взаимодействующих систем друг под друга. Синхронное поведение уже давно вызывает интерес у современных ученых; при этом изначально под синхронным режимом понималась синхронизация периодических колебаний. Впоследствии явление синхронизации было обнаружено в самых разных системах, демонстрирующих более сложные типы колебаний, в частности, хаотические колебания. Интерес к явлению синхронизации обусловлен широким кругом практических задач, для решения которых необходимо понимание синхронного поведения, — экологических [13], биологических и физических [14-17], астрономических [18], химических [19], задач скрытой передачи информации [20-24] и т.д.

В настоящее время известно и хорошо изучено несколько различных типов синхронного поведения взаимодействующих хаотических систем. К таким типам хаотической синхронизации относятся фазовая [25,26], обобщенная [27,28], синхронизация с запаздыванием [29,30] и полная [31,32] хаотическая синхронизация. Одним из интересных и важных вопросов, возникающих при исследовании сложной динамики взаимодействующих систем, является описание всех этих типов синхронного поведения с единых позиций. На данный момент для решения такой задачи было предложено несколько различных подходов [33-37], среди которых, в частности, можно назвать рассмотрение данных типов хаотической синхронизации с позиций теории информации [38,39], синхронизацию временных масштабов [36,40-43], а также синхронизацию спектральных компонент [37,44]. При помощи подхода, связанного с описанием поведения взаимодействующих систем с позиций синхронизации спектральных компонент, все вышеперечисленные типы синхронизации были изучены достаточно подробно, однако вопрос "А что происходит с точки зрения такого подхода при переходе от асинхронной динамики к режиму синхронизации?" до сих пор оставался открытым. Исследованию этого вопроса посвящена глава 1 настоящей работы.

Известно, что переход от асинхронного поведения к синхронному часто происходит через режим перемежаемости [34,45-48] — режим, при котором два различных типа колебательного поведения сосуществуют друг с другом и чередуются во времени при фиксированных значениях управляющих параметров. В частности, вблизи границы установления синхронного режима во временбй реализации исследуемой системы могут наблюдаться

участки синхронного поведения (так называемые "ламинарные фазы", чередующиеся с участками асинхронной динамики ("турбулентные фазы"). В главе 1 показывается, какие закономерности присущи режиму перемежаемости и режиму фазовой хаотической синхронизации, а также переходу между этими режимами с точки зрения спектральных компонент Фурье-спектров взаимодействующих систем. Также весьма важным представляется вопрос об универсальности подобных закономерностей, то есть о том, будут ли такие закономерности справедливы для различных типов систем, поэтому в качестве объектов для исследования рассматриваются системы принципиально разных классов — системы с потоковым и с дискретным временем.

Еще одним важнейшим для исследования классом систем являются пространственно-распределенные системы — системы с бесконечным числом степеней свободы. Многие реальные системы из самых разных областей науки и техники относятся к данному классу систем. Динамика в пространственно-распределенных системах зачастую принципиально отличается от динамики в конечномерных системах. Тем не менее, многие фундаментальные явления можно наблюдать как в пространственно-распределенных, так и в конечномерных системах. Поэтому интересно проверить, будут ли закономерности, выявленные для конечномерных систем, наблюдаться в случае пространственно-распределенных систем. В настоящей диссертационной работе проводится исследование динамики пространственно-распределенных систем на примере однонаправленно связанных диодов Пирса вблизи границы установления синхронного режима с точки зрения спектральных компонент и проводится сопоставление

полученных результатов с аналогичными результатами для конечномерных систем.

Как уже отмечалось выше, переход от асинхронной динамики к синхронной для хаотических систем, как правило, сопровождается перемежаемостью. Явление перемежаемости, как и хаотическая синхронизация, является фундаментальным нелинейным явлением, представляющим значительную важность для изучения. К настоящему времени известно несколько типов перемежающегося поведения: перемежаемость типов 1-1II [49,50] (возникающая в нелинейных системах при переходе от периодических колебаний к хаотическим), оп-оА: перемежаемость [51], перемежаемость игольного ушка [45], перемежаемость кольца [52]. Перемежающееся поведение, наблюдающееся вблизи границ установления синхронных режимов, в подавляющем большинстве случаев изучалось для систем с малым числом степеней свободы [34,45-48,53,54]. Очевидно, что возникает вопрос о том, будут ли закономерности, выявленные для систем с сосредоточенными параметрами, наблюдаться в случае пространственно-распределенных систем. В частности, следует отметить, что, для связанных диодов Пирса (процессы вблизи границы фазовой хаотической синхронизации которых изучены в главе 2 диссертационной работы с позиции синхронизации спектральных компонент) тип перемежающегося поведения до настоящего времени не был известен, несмотря на то, что диод Пирса — это классическая радиофизическая модельная система. Соответственно, этот вопрос рассмотрен в главе 3.

Очевидно, что при анализе перемежающегося поведения важное значение имеет способ определения типа перемежаемости. Определение того,

какой именно тип перемежаемости реализуется в системе, как правило, осуществляется с помощью анализа статистических характеристик, таких как распределение длительностей ламинарных фаз при фиксированных значениях управляющих параметров, а также зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности1. Очевидно, что для получения подобных статистических характеристик необходимы эффективные методы выделения ламинарных фаз из временной реализации рассматриваемой системы (например, [53,57]), при этом, как правило, для каждого типа перемежаемости приходится использовать отдельный класс методов, поскольку колебательные режимы, чередующиеся во временной реализации, оказываются различными для различных систем и различных типов перемежаемости.

В работе [58] предложен метод выделения ламинарных и турбулентных фаз для перемежающегося поведения осцилляторов, находящихся вблизи границы фазовой хаотической синхронизации, на основании результатов которого затем можно определить тип перемежаемости по виду распределения длительностей ламинарных фаз и зависимости средней длительности ламинарной фазы от параметра надкритичности. Как было установлено в ходе проведения исследований, этот метод дает хорошие результаты при анализе систем с малым числом степеней свободы, однако он не всегда корректно работает в случае пространственно-распределенных систем со сложной динамикой, как, например, пространственно-распределенная система, рассмотренная в главах 2 и 3 (диод Пирса). Диод Пирса явля-

1 Определение типа перемежающегося поведения на основе статистических характеристик является, конечно, не единственным способом, в частности, иногда для определения типа перемежаемости используют вид отображения последования [55,56], полученного, например, с помощью построения сечения Пуанкаре.

ется важнейшим объектом для исследования, так как это классическая модельная радиофизическая система, часто используемая в современных исследованиях. Соответственно, важным представляется создание метода, при помощи которого можно было бы успешно определять тип перемежающегося поведения в сложных хаотических системах, таких как диод Пирса. В главе 3 предлагается такой метод, являющийся модификацией метода, предложенного в работе [58].

Таким образом, на основании вышеизложенного можно утверждать, что в области сложного поведения нелинейных хаотических систем круг вопросов, требующих дальнейшего изучения, достаточно широк. Детальному изучению описанных выше вопросов и посвящена настоящая диссертационная работа. Соответственно, с учетом сказанного, можно сделать вывод о том, что тема диссертационной работы является актуальной и важной для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории нелинейных колебаний и волн.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является выявление закономерностей поведения связанных хаотических осцилляторов вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации с точки зрения спектральных компонент, а также определение типа динамики вблизи перехода к режиму фазовой хаотической синхронизации в пространственно-распределенных системах на примере двух однонаправленно связанных диодов Пирса. При этом основными вопросами, рассмотренными в данной работе, являются следующие:

• изучение связанных классических конечномерных систем (как с потоковым, так и с дискретным временем) при переходе от асинхронного поведения к синхронному с точки зрения синхронизации спектральных компонент;

• изучение поведения пространственно-распределенных систем вблизи границы фазовой хаотической синхронизации;

• сопоставление полученных результатов для различных классов систем — пространственно-распределенных и конечномерных, выявление общих закономерностей;

• создание метода выделения ламинарных и турбулентных фаз в режиме перемежаемости для пространственно-распределенных хаотических систем,- находящихся вблизи границы фазовой синхронизации, для которых известные методы дают некорректные результаты;

• определение типов перемежаемости, наблюдаемых в однонаправленно связанных диодах Пирса.

Изучение данных вопросов, проведенное в настоящей работе, позволяет продвинуться в понимании того, каким образом происходит переход от асинхронного режима к синхронному с точки зрения поведения спектральных компонент для систем различных классов, характеризующихся выраженной основной спектральной компонентой, а также прояснить некоторые вопросы, связанные с перемежаемостью пространственно-распределенных систем, находящихся вблизи границы режима фазовой хаотической синхронизации.

Научная новизна

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. В частности, в рамках настоящей работы впервые получены следующие новые результаты:

• установлена закономерность поведения спектральных компонент эталонных конечномерных и пространственно-распределенных систем при переходе от асинхронной динамики к режиму фазовой хаотической синхронизации, заключающаяся в инвариантности зависимости дисперсии распределений разности фаз, вводимых при помощи преобразования Фурье на основной спектральной компоненте, от величины, определяемой параметром надкритичности и длительностью анализируемого временного ряда; показано, что системы, обладающие ярко выраженной основной частотой в Фурье-спектре, подчиняются одной и той же закономерности;

• предложен модифицированный метод выделения ламинарных и турбулентных фаз в режиме перемежаемости для пространственно-распределенных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, находящихся вблизи границы фазовой хаотической синхронизации, заключающийся во введении в рассмотрение скользящего среднего разности мгновенных фаз взаимодействующих осцилляторов;

• получены зависимости средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности для двух однонаправленно связанных диодов Пирса, проведено сопоставление с теоретическими зависимостями, соответствующими различным типам перемежающегося поведения;

• определены типы перемежающегося поведения, наблюдающиеся в од-нонаправленно связанных диодах Пирса; показано, что данное поведение может быть описано и как перемежаемость игольного ушка, и как перемежаемость типа I в присутствии шума.

Представленные в диссертации результаты получены лично соискателем, им проведены все аналитические и численные расчеты. Постановка задач, разработка методов их решения, а также объяснение результатов были осуществлены автором совместно с научным руководителем.

Практическая значимость

Диссертация решает важную научную задачу, состоящую в определении закономерностей поведения неавтономных хаотических колебательных систем с выраженной основной спектральной компонентой вблизи границы установления режима фазовой синхронизации. Исследования в работе проводились на примере эталонных нелинейных динамических систем, таких как система Ресслера, отображение окружности, диод Пирса. Благодаря тому, что полученные результаты являются довольно общими, можно ожидать, что они окажутся справедливыми для других систем, в частности, для различных реальных систем — радиофизических, биологических, физиологических и т.д. Результаты данной диссертационной работы позволяют продвинуться в понимании особенностей поведения нелинейных хаотических систем с выраженной основной спектральной компонентой, демонстрирующих синхронное или перемежающееся поведение. В частности, исследования динамики пространственно-распределенных систем имеют

большое как теоретическое, так и практическое значение, поскольку ис-

12

следуемая система — диод Пирса — является базовой радиофизической моделью, и это позволяет, предполагать, что полученные для данной системы результаты будут также справедливы для подобных реальных радиофизических систем (например, для низковольтных виркаторов). Тот факт, что были выявлены одинаковые закономерности для пространственно-распределенных и для конечномерных систем, означает, что найденная закономерность обладает большой степенью общности, и, следовательно, применима к широкому кругу сложных систем.

Предложенная модификация метода выделения ламинарных и турбулентных фаз позволяет эффективно проводить анализ временных реализаций сложных пространственно-распределенных систем, демонстрирующих режим перемежаемости. С учетом того, что изучение перемежающегося поведения систем (прежде всего, систем с бесконечномерным фазовым пространством) является важнейшей задачей, находящей применение в различных практических исследованиях, например, при анализе активности головного мозга [56,59], можно ожидать, что предложенный модифицированный метод будет востребован при исследовании систем с бесконечномерным фазовым пространством, демонстрирующих явление перемежаемости.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Поведение основных спектральных компонент эталонных конечномерных и пространственно-распределенных систем, обладающих выраженной основной спектральной частотой, вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации подчиняется одной

13

и той же универсальной закономерности. Данная закономерность заключается в инвариантности вида зависимости дисперсии распределений разности фаз, вводимых при помощи преобразования Фурье на основной спектральной компоненте, от величины, определяемой параметром надкритичности и длительностью анализируемого временного ряда.

2. При помощи анализа скользящего среднего разности фаз взаимодействующих осцилляторов возможно выделить ламинарные и турбулентные фазы из временных реализаций связанных хаотических осцилляторов, демонстрирующих перемежающееся поведение вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации.

3. Система двух однонаправленно связанных диодов Пирса при значении параметра надкритичности из области, прилегающей к области синхронной динамики, демонстрирует перемежающееся поведение, которое подчиняется закономерностям, свойственным как для перемежаемости игольного ушка, так и для перемежаемости типа I в закритиче-ской области в присутствии шума.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 158 источников.

Во Введении обоснована актуальность темы данной диссертации, сформулирована цель работы, описаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Также введение содержит основные

положения и результаты, выносимые на защиту, и сведения об апробации результатов и публикациях.

Первая глава диссертационной работы посвящена изложению результатов исследования перехода от асинхронного режима к синхронному с точки зрения синхронизации спектральных компонент в эталонных конечномерных системах. В первом разделе главы рассматриваются основные типы синхронного поведения и методы их описания с единых позиций, а также некоторые связанные с этими понятиями важные моменты, в частности, различные способы введения фазы колебаний. Эта информация необходима для понимания и логичного изложения дальнейшего материала. В разделе 1.1 также описывается современное состояние изучаемой в данной главе проблемы и формулируются основные вопросы, решению которых посвящены следующие разделы.

В разделе 1.2 рассматривается поведение основных спектральных компонент связанных нелинейных систем с потоковым временем на примере двух однонаправленно связанных систем Ресслера, находящихся вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации. Как следует из проведенного рассмотрения, распределение разностей фаз основных спектральных компонент Фурье-спектров взаимодействующих систем (полученных по временным рядам конечной длины) имеет вид функций Гаусса, что обусловлено конечной длиной анализируемого временного интервала и хаотической динамикой рассматриваемых систем. Показано, что с уменьшением величины параметра связи между взаимодействующими системами вблизи порога возникновения режима фазовой хаотической синхронизации распределения разности фаз основных спектральных ком-

понент Фурье-спектров взаимодействующих осцилляторов также имеют аналогичную форму распределений Гаусса. Установлено также, что чем больше интенсивность параметра связи, тем меньшей величиной дисперсии характеризуются данные распределения. При этом, пересечение границы фазовой хаотической синхронизации не приводит ни к каким видимым качественным изменениям анализируемой величины, поскольку как выше, так и ниже порога фазовой синхронизации виды распределений оказываются качественно эквивалентны. В то же время очевидно, что происходят количественные изменения в анализируемых распределениях разностей фаз. Тем не менее ответить на вопрос, существуют ли здесь какие-либо количественные закономерности, к сожалению, в рамках аналитического решения этой задачи для связанных осцилляторов Ресслера представляется невозможным из-за достаточной сложности анализируемой системы. Однако можно провести соответствующее исследование на более простых модельных примерах, допускающих в то же самое время аналитическое рассмотрение.

Раздел 1.3 посвящен исследованию этого вопроса на примере систем другого класса — систем с дискретным временем. В качестве исследуемой системы рассматривается отображение окружности, которое является очень удобной модельной системой для описания широкого ряда процессов, происходящих вблизи границы возникновения синхронного режима в динамических системах с потоковым временем. В этом случае переменная х играет роль фазы анализируемого сигнала. Фактически, можно говорить о том, что переменная х представляет собой фазу сигнала в анализируемой системе с потоковым временем, взятую через характерный временной

интервал внешнего воздействия. Аналогом разности фаз основных спектральных компонент спектров Фурье взаимодействующих хаотических осцилляторов с потоковым временем является усреднение динамической переменной х по некоторому интервалу дискретного времени. В этом разделе показывается, что распределения значений переменной х имеют вид распределений Гаусса, как это наблюдалось для систем с потоковым временем, рассмотренных в разделе 1.2, и, точно также, при увеличении параметра надкритичности величина дисперсии, которой характеризуются данные распределения, уменьшается.

Для выявления количественных закономерностей в поведении рассматриваемой системы в этом же разделе проведено аналитическое рассмотрение, на основании которого предложены нормировки, в которых следует ожидать проявления универсального характера в эволюции рассматриваемых распределений при изменении значений управляющего параметра. Показано, что, действительно, с учетом предложенных нормировок поведение нормированной дисперсии рассматриваемых распределений оказывается количественно идентичным для различных значений параметра надкритичности.

Для того, чтобы убедиться в едином характере поведения систем с потоковым и с дискретным временем вблизи границы синхронизации, в разделе 1.4 проводится сопоставление полученных в предшествующих разделах результатов. Рассматриваемые системы принадлежат к разным классам, однако известно, что потоковые системы можно привести к отображениям при помощи сечения Пуанкаре, и, соответственно, свойства потоковых систем связаны со свойствами отображений. В данном разделе показывает-

ся, что полученные для исследуемых систем зависимости хорошо ложатся на определенную кривую, которая, очевидно, является универсальной и описывает как поведение осцилляторов с потоковым временем, так и динамику систем с дискретным временем при любом значении управляющего параметра, принадлежащем изучаемой области значений.

Во второй главе рассматривается поведение пространственно-распределенных систем вблизи границы фазовой хаотической синхронизации с точки зрения синхронизации спектральных компонент. В качестве модельной пространственно-распределенной системы с бесконечномерным фазовым пространством выбрана эталонная модель нелинейной динамики и электроники сверхвысоких частот — диод Пирса. Целью подобного изучения является рассмотрение вопроса о том, наблюдается ли в системах с бесконечномерным фазовым пространством закономерность синхронизации основных спектральных компонент, подобная той, которая была рассмотрена в первой главе диссертационной работы.

В разделе 2.1 описывается выбранная модельная система — диод Пирса, при этом описание дается на примере автономной системы. В разделе 2.2 рассматриваются два однонаправленно связанных диода Пирса, и на их примере изучается вопрос о закономерностях, которые будут наблюдаться для основных спектральных компонент при установлении синхронного режима. Показывается, что полученные распределения разности фаз, введенных при помощи преобразования Фурье, как и в случае систем с малым числом степеней свободы, имеют вид распределений Гаусса и демонстрируют те же самые тенденции при изменении интенсивности связи, которые наблюдались для систем с малым числом степеней свободы. С учетом того,

что при анализе поведения систем использовались временные реализации, полученные в одной точке пространства системы (выбранной произвольно), и гипотетически существует возможность того, что результаты могут отличаться для разных точек пространства исследуемой системы, для подтверждения общности результатов в разделе 2.3 проведено аналогичное рассмотрение для другой точки пространства и показано, что полученные результаты не зависят от того, из какой точки пространства системы снимается временная реализация.

В разделе 2.4 проводится сопоставление результатов, полученных для конечномерных и для пространственно-распределенных систем. Показано, что для всех трех рассмотренных систем разных классов, а именно, для осцилляторов Ресслера, отображения окружности и диодов Пирса, полученные зависимости ложатся на некоторую кривую, которая является универсальной. На основании этого можно утверждать, что поведение основных спектральных компонент сосредоточенных конечномерных систем и пространственно-распределенных систем с бесконечномерным фазовым пространством при любом значении управляющего параметра, принадлежащем изучаемой области значений, подчиняется универсальной закономерности.

Третья глава посвящена рассмотрению перемежающегося поведения в системах с бесконечномерным фазовым пространством вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации. В качестве модельной системы снова выбрана система двух однонаправленно связанных диодов Пирса.

В разделе 3.1 рассматриваются основные закономерности, характерные для перемежаемости игольного ушка (и, соответственно, для перемежаемости типа I в присутствии шума), что является необходимым для рассмотрения и классификации результатов, полученных при изучении перемежающегося поведения в однонаправленно связанных диодах Пирса, изложенных в следующих разделах настоящей главы. Раздел 3.2 посвящен описанию метода выделения ламинарных и турбулентных фаз в пространственно-распределенных системах. Предлагаемый метод позволяет осуществлять выделение ламинарных и турбулентных фаз в пространственно-распределенных системах со сложной динамикой, что потенциально дает возможность применения данного метода для анализа различных систем, демонстрирующих перемежающееся поведение. В разделе 3.3 описаны результаты изучения перемежающегося поведения в однонаправленно связанных диодах Пирса вблизи границы фазовой хаотической синхронизации. Результаты этого раздела были получены с применением метода, описанного в разделе 3.2. Показано, что перемежающееся поведение двух связанных диодов Пирса может быть описано и как перемежаемость игольного ушка, и как перемежаемость типа I в присутствии шума в закритической области, при этом в обоих случаях наблюдается отличное соответствие численных данных и теоретических зависимостей. Это позволяет утверждать, что в пространственно-распределенных системах вблизи границы фазовой хаотической синхронизации реализуется тот же самый тип перемежающегося поведения, что и в системах с малым числом степеней свободы. Также полученные результаты являются дополнительным доказательством того, что перемежаемость игольного ушка и

перемежаемость типа I с шумом являются одним и тем же типом динамики нелинейных систем. Заключительные выводы по настоящей главе диссертационной работы содержатся в последнем разделе 3.4.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы и сформулированы основные результаты.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в данной диссертационной работе результатов обеспечивается использованием математических процедур, уравнений, методов и подходов, строго обоснованных в научной литературе, апробированных при проведении научных исследований. Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью, сопоставлением аналитических и численных результатов, а также отсутствием противоречий с общепризнанными достоверными результатами, опубликованными в известной научной литературе.

Апробация результатов и публикации

Настоящая диссертационная работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского" на кафедре физики открытых систем факультета нелинейных процессов.

Представленные результаты неоднократно докладывались на всероссийских и международных научных конференциях и семинарах и опубликованы в сборниках тезисов докладов: IX Международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур" — ХАОС-2010 (Сара-

тов, октябрь 2010) [60], XII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн (Волны-2011)" (Звенигород, май 2011) [61], XV Международной школы-семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике (Саратов, февраль 2012) [62], XIII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн (Волны-2012)" (Звенигород, май 2012) [63], III Всероссийского научно-практического форума "Экология: синтез естественно-научного, технического и гуманитарного знания" (Саратов, октябрь 2012) [64], XIV Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн (Волны-2013)" (Можайск, май 2013) [65], всего 6 публикаций в трудах конференций. Результаты, изложенные в диссертационной работе, обсуждались на расширенных научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ.

Результаты работы опубликованы в реферируемых научных журналах, таких как "Известия РАН. Серия физическая" [66,67], "Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика" [68], всего 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских работ по проектам Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашения № 14.В37.21.0751 от 27 августа 2012 г. и № 14.В37.21.1207 от 18 сентября 2012 г.).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Данилов, Дмитрий Игоревич

3.4 Выводы по третьей главе

Итак, в настоящей главе диссертационной работы был рассмотрен вопрос о классификации перемежающегося поведения, наблюдающегося вблизи границы хаотической фазовой синхронизации в двух однонаправленно связанных хаотических пространственно-распределенных системах — диодах Пирса. Разработанный ранее для сосредоточенных систем метод выделения ламинарных и турбулентных фаз был модифицирован и с успехом применен к пространственно-распределенным системам с бесконечным числом степеней свободы. С помощью данного метода были проанализированы временные реализации взаимодействующих диодов Пирса и выделены участки синхронной и асинхронной динамики. Показано, что распределение ламинарных фаз для взаимодействующих диодов Пирса подчиняется экспоненциальному закону. Также в настоящей главе получена и изучена зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра над-критичности в пространственно-распределенных системах, находящихся вблизи границы фазовой хаотической синхронизации. На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что в пространственно-распределенных системах вблизи границы фазовой хаотической синхронизации реализуется тот же самый тип перемежающегося поведения, что и в системах с малым числом степеней свободы. Кроме того, полученные результаты могут рассматриваться как дополнительный аргумент в пользу того, что перемежаемость игольного ушка и перемежаемость типа I с шумом являются одним и тем же типом динамики нелинейных систем. Как и в случае систсм с малым числом степеней свободы [128], различие между данными типами перемежаемости заключается только в характере внешнего сигнала, воздействующего на систему. В случае перемежаемости типа I с шумом на систему оказывается случайное воздействие, в то время как для перемежаемости игольного ушка используется сигнал хаотической динамической системы, который влияет на динамику ведомого хаотического осциллятора. Вместе с тем, механизмы, отвечающие за поведение системы, равно как и характеристики динамики системы, одни и те же в обоих случаях. 0

Заключение

В настоящей диссертационной работе приведены результаты исследования динамики связанных хаотических осцилляторов вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации. В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты:

1. Установлена закономерность поведения спектральных компонент эталонных конечномерных систем при переходе от асинхронной динамики к режиму фазовой хаотической синхронизации, заключающаяся в следующем: дисперсия распределений разности фаз двух связанных хаотических осцилляторов убывает с увеличением параметра связи; при этом фазы колебаний рассчитываются при помощи преобразования Фурье на основной частоте Фурье-спектра каждой системы. Распределения разностей фаз в данном случае имеют вид распределений Гаусса. Зависимости дисперсии распределений от длины временного интервала, по которому рассчитывается преобразование Фурье, нормированного на величину параметра надкритичности, практически совпадают при любом значении параметра связи вблизи границы установления синхронного режима для систем различных классов — с дискретным временем (отображение окружности) и с потоковым временем (система Ресслера), и ложатся на некоторую кривую, которую можно считать универсальной для конечномерных систем с потоковым и с дискретным временем.

2. Показано, что полученная для конечномерных систем закономер ность также справедлива для принципиально другого класса систем — пространственно-распределенных. При этом в качестве исследуемой системы были выбраны два однонаправленно связанные диода Пирса. Распределения разности фаз в этом случае также имеют вид распределений Гаусса, дисперсия которых убывает с увеличением параметра связи. При этом полученные зависимости дисперсии совпадают при различных значениях связи и ложатся на кривую такого же вида, как и кривая, полученная ранее для конечномерных систем.

3. Проведено сопоставление выявленных закономерностей для всех классов систем (конечномерных — с потоковым и с дискретным временем, а также пространственно-распределенных); показано, что полученные закономерности для конечномерных и пространственно-распределенных систем совпадают друг с другом. Таким образом, обнаружена универсальная закономерность, описывающая поведение систем различных классов, обладающих ярко выраженной основной частотой в Фурье-спектре, вблизи границы установления синхронного режима. Данная закономерность заключается в инвариантности вида зависимости дисперсии распределений разности фаз, вводимых при помощи преобразования Фурье на основной спектральной компоненте, от величины, определяемой параметром надкритичности и длительностью анализируемого временного ряда.

4. Предложен модифицированный метод выделения ламинарных и турбулентных фаз в режиме перемежаемости для систем, демонстрирующих сложное поведение, в частности, для пространственно-распределенных систем. Данный метод анализирует скользящее среднее разности мгновенных фаз колебаний взаимодействующих систем, что позволяет успешно диагностировать ламинарную или турбулентную динамику в системах, где применение других методов может давать некорректные результаты.

5. Получены зависимости средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности для двух однонаправленно связанных диодов Пирса; проведено сопоставление с теоретическими экспоненциальными зависимостями, соответствующими различным типам перемежающегося поведения — перемежаемости игольного ушка и перемежаемости типа I в присутствии шума. Показано, что численные результаты находятся в хорошем соответствии с аналитическими. Это позволяет утверждать, что однонаправленно связанные диоды Пирса вблизи границы фазовой хаотической синхронизации демонстрируют перемежающееся поведение, которое можно трактовать и как перемежаемость игольного ушка, и как перемежаемость типа I в присутствии шума. Данный факт можно считать дополнительным подтверждением того, что перемежаемость игольного ушка и перемежаемость типа I в присутствии шума являются, по сути, одним типом поведения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данилов, Дмитрий Игоревич, 2013 год

Список литературы

[1] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, Г. И. Стрелкова, Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний // М.-Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2008.

[2] Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов, И. В. Сысоев, Е. П. Селезнев, Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ 29 (2003), N0. 19, 69-76.

[3] В. В. Астахов, Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Е. П. Селезнев, Мультистабилъность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью // Радиотехника и электроника 36 (1991), N0. 11, 2167-2171.

[4] В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Нелинейные явления в системе взаимосвязанных устройств фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника 38 (1993), N0. 4, 711-720.

[5] В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Динамические свойства двух-контурной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника 29 (2006), N0. 6, 1125-1133.

[6] И. И. Блехман, Синхронизация динамических систем // М.: Наука, 1971.

[7] И. И. Блехман, Синхронизация в природе и технике // М.: Наука, 1981.

[8] П. С. Ланда, Ю. С. Рендель, В. Ф. Шер, Синхронизация колебаний в системе Лоренца // Изв. вузов. Радиофизика 32 (1989), No. 9, 1172.

[9] П. С. Ланда, М. Г. Розенблюм, О синхронизации распределенных автоколебательных систем // Доклады Академии Наук 324 (1992), No. 1, 63-38.

[10] P. S. Landa, М. G. Rosenblum, Synchronization, chaotization of oscillations in coupled self-oscillating systems // Appl. Mech. Rev. 46 (1993), No. 7, 414-426.

[11] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций. // Издательский Дом "Интеллект", 2009.

[12] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, и др., Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах // М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[13] В. Blasiusc, L. Stone, Chaos, phase synchronisation in ecological systems // Int. J. Bifurcation, Chaos 10 (2000), No. 10, 2361-2380.

[14] L. Glass, Synchronization, rhythmic processes in physiology // Nature (London) 410 (2001), 277-284.

[15] Д. Э. Постнов, С. К. Хан, Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов // Письма в ЖТФ 25 (1999), No. 4, 11-18.

[16] V. S. Anishchenko, A. G. Balanov, N. В. Janson, N. В. Igosheva, G. V. Bordyugov, Entrainment between heart rate, weak nonlinear forcing // Int. J. Bifurcation, Chaos 10 (2000), No. 10, 2339-2348.

[17] P. S. Landa, A.- Rabinovitch, Exhibition of intrinsic properties of certain systems in response to external disturbances // Phys. Rev. E 61 (2000), No. 2, 1829-1838.

[18] M. Palus, J. Kurths, U. Schwarz, D. Novotna, I. Charvatova, Is the solar activity cycle synchronized with the solar inertial motion? // Int. J. Bifurcation, Chaos 10 (2000), No. 11, 2519-2526.

[19] P. Parmananda, Generalized synchronization of spatiotemporal chemical chaos // Phys. Rev. E 56 (1997), 1595-1598.

[20] K. Murali, M. Lakshmanan, Transmission of signals by synchronization in a chaotic van der Pol-Duffing oscillator // Phys. Rev. E 48 (1993), No. 3, 1624-1626.

[21] T. Yang, C. W. Wu, L. O. Chua, Cryptography based on chaotic systems // IEEE Trans. Circuits, Syst. 44 (1997), No. 5, 469-472.

[22] V. S. Anishchenko, A. N. Pavlov, Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys. Rev. E 57 (1998), 2455-2457.

[23] K. Murali, M. Lakshmanan, Drive-response scenario of chaos syncronization in identical nonlinear systems // Phys. Rev. E 49 (1994), No. 6, 4882-4885.

[24] K. Cuomo, A. V. Oppenheim, Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications // Phys. Rev. Lett. 71 (1993), No. 1, 65-68.

[25] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences // Cambridge University Press, 2001.

[26] V. S. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman, T. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier, Nonlinear dynamics of chaotic, stochastic systems, tutorial, modern developments // Springer-Verlag, Heidelberg, 2001.

[27] N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, H. D. I. Abarbanel, Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E 51 (1995), No. 2, 980-994.

[28] L. Kocarev, U. Parlitz, Generalized synchronization, predictability, , equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 11, 1816-1819.

[29] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 78 (1997), No. 22, 4193-4196.

[30] S. Taherion, Y. C. Lai, Observability of lag synchronization of coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E 59 (1999), No. 6, R6247-R6250.

[31] L. M. Pecora, T. L. Carroll, Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 64 (1990), No. 8, 821-824.

[32] L. M. Pecora, T. L. Carroll, Driving systems with chaotic signals // Phys.

^ Rev. A 44 (1991), No. 4, 2374-2383.

133

[33] R. Brown, L. Kocarev, A unifying definition of synchronization for dynamical systems // Chaos 10 (2000), No. 2, 344-349.

[34] S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, C. S. Zhou, The synchronization of chaotic systems // Physics Reports 366 (2002), 1.

[35] S. Boccaletti, L. M. Pecora, A. Pelaez, Unifying framework for synchronization of coupled dynamical systems // Phys. Rev. E 63 (2001), 066219.

[36] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, An approach to chaotic synchronization // Chaos 14 (2004), No. 3, 603-610.

[37] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, О. I. Moskalenko, Synchronization of spectral components, its regularities in chaotic dynamical systems // Phys. Rev. E 71 (2005), No. 5, 056204.

[38] A. Shabunin, V. Demidov, V. Astakhov, and V. S. Anishchenko, Information theoretic approach to quantify complete and phase synchronization of chaos // Phys. Rev. E 65 (2002), No. 5, 056215.

[39] А. В. Шабунин, В. E. Демидов, В. В. Астахов, and В. С. Анищенко, Количество информации как мера синхронизации хаоса // Письма в ЖТФ 27 (2001), No. 11, 78-85.

[40] А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования // Письма в ЖЭТФ 79 (2004), No. 7, 391-395.

[41] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Новый тип универсальности при хаотической синхронизации динамических систем // Письма в ЖЭТФ 80 (2004), No. 1, 25-28.

[42] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, Time scale synchronization of chaotic oscillators // Physica D 206 (2005), No. 3-4, 252-264.

[43] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, I. S. Rempen, Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves // Chaos 15 (2005), No. 1, 013705.

[44] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Синхронизация спектральных компонент связанных хаотических осцилляторов // Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 18, 56-64.

[45] A. S. Pikovsky, G. V. Osipov, М. G. Rosenblum, М. Zaks, J. Kurths, Attractor-repeller collision, eyelet intermittency at the transition to phase synchronization // Phys. Rev. Lett. 79 (1997), No. 1, 47-50.

[46] S. Boccaletti, D. L. Valladares, Characterization of intermittent lag synchronization // Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 7497-7500.

[47] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Intermittent generalized synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators // Europhysics Lett. 70 (2005), No. 2, 169-175.

[48] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Y. Levin, Synchronization of chaotic oscillator time scales // JETP 127 (2005), No. 4, 886-897.

[49] P. Bergé, Y. Pomeau, С. Vidal, L'ordre dans le chaos // Hermann, Paris, 1988.

[50] M. Dubois, М. Rubio, P. Berge, Experimental evidence of intermiasttencies associated with a subharmonic bifurcation // Phys. Rev. Lett. 51 (1983), 1446-1449.

[51] N. Piatt, E. A. Spiegel, C. Tresser, On-off intermittency: a mechanism for bursting // Phys. Rev. Lett. 70 (1993), No. 3, 279-282.

[52] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, S. Boccaletti, Ring intermittency in coupled chaotic oscillators at the boundary of phase synchronization // Phys. Rev. Lett. 97 (2006), 114101.

[53] M. Zhan, G. W. Wei, С. H. Lai, Transition from intermittency to periodicity in lag synchronizarion in coupled Rossler oscillators // Phys. Rev. E 65 (2002), 036202.

[54] N. Tsukamoto, S. Miyazaki, H. Fujisaka, Synchronization, intermittency in three coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E 67 (2003), No. 1, 016212.

[55] П. Берже, И. Помо, К. Видаль, Порядок в хаосе // М.: Мир, 1991.

[56] J. L. Perez Velazquez, et al., Type III intermittency in human partial epilepsy // European Journal of Neuroscience 11 (1999), 2571-2576.

[57] А. А. Короновский, A. E. Храмов, Об эффективном анализе перехода к хаосу через перемежаемость с помощью вейвлетного преобразования /1 Письма в ЖТФ 27 (2001), No. 1, 3-11.

[58] М. О. Журавлев, М. К. Куровская, О. И. Москаленко, Метод выделения ламинарных и турбулентных фаз в перемежающихся вре-

менных реализациях систем, находящихся вблизи границы фазовой синхронизации // Письма в ЖТФ 36 (2010), No. 10, 31-38.

[59] Е. Sitnikova, А. Е. Hramov, V. V. Grubov, A. A. Ovchinnkov, А. А. Koronovsky, On-off intermittency of thalamo-cortical oscillations in the electroencephalogram of rats with genetic predisposition to absence epilepsy // Brain Research 1436 (2012), 147-156.

[60] Д. И. Данилов, О. И. Москаленко, Спектры связанных хаотических осцилляторов, находящихся в режиме перемежаемости игольного ушка // Материалы IX Международной школы «ХАОС-2010», 2010, 115-116.

[61] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, О поведении основной спектральной компоненты хаотических осцилляторов, находящихся в режиме перемежаемости игольного ушка // Труды школы-семинара «Волны-2011», 2011, 7-11.

[62] Д. И. Данилов, Синхронизация спектральных компонент связанных диодов Пирса в области границы фазовой синхронизации // Материалы XV международной школы-семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике, 2012, 33-33.

[63] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, Пространственные аспекты поведения спектральных компонент связанных диодов Пирса // Труды школы-семинара «Волны-2012», 2012, 11-14.

[64] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, Модифицированный метод выделения ламинарных и турбулентных фаз в перемежающихся

временных реализациях // Материалы III Всероссийского научно-практического форума «Экология: синтез естественно-научного, технического и гуманитарного знания», 2012, 321-322.

[65] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, Перемежаемость типа г с шумом и перемежаемость игольного ушка в пространственно-распределенных системах // Труды школы-семинара «Волны-2013», 2013, 17-19.

[66] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, Универсальная закономерность синхронизации основных спектральных компонент взаимодействующих осцилляторов // Известия РАН. Серия физическая. 75 (2011), No. 12, 1709-1712.

[67] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, Закономерности поведения спектральных компонент в пространственно-распределенных системах, находящихся вблизи границы фазовой синхронизации // Известия РАН. Серия физическая. 76 (2012), No. 12, 1500-1502.

[68] Д. И. Данилов, А. А. Короновский, Поведение спектральных компонент связанных диодов Пирса вблизи границы фазовой синхронизации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 20 (2012), No. 1, 105-111.

[69] Ю. И. Кузнецов, И. И. Мигулин, И. И. Минакова, Б. А. Сильнов, Синхронизация хаотических колебаний // Доклады Академии Наук СССР 275 (1984), No. 6, 1388.

[70] В. С. Афраймович, Н. Н. Веричев, М. И. Рабинович, Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Радиофизика XXIX (1986), No. 9, 1050.

[71] Z. Zheng, G. Ни, Generalized synchronization versus phase synchronization // Phys. Rev. E 62 (2000), No. 6, 7882-7885.

[72] K. Pyragas, Weak, strong synchronization of chaos // Phys. Rev. E 54 (1996), No. 5, R4508-R4511.

[73] H. D. I. Abarbanel, N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach // Phys. Rev. E 53 (1996), No. 5, 4528-4535.

[74] U. Parlitz, L. Junge, W. Lauterborn, L. Kocarev, Experimental observation of phase synchronization // Phys. Rev. E 54 (1996), No. 2, 2115-2117.

[75] S. Guan, С. H. Lai, G. W. Wei, Bistable chaos without symmetry in generalized synchronization // Phys. Rev. E 71 (2005), No. 3, 036209.

[76] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, Generalized synchronization iri coupled Ginzburg-Landau equations, mechanisms of its arising // Phys. Rev. E 72 (2005), No. 3, 037201.

[77] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, Р. А. Филатов, А. Е. Храмов, Исследование обобщенной синхронизации хаотических систем // Изв. РАН, сер. физич. 69 (2005), No. 12, 1741-1745.

[78] L. M. Pecora, Т. L. Carroll, J. F. Heagy, Statistics for mathematical properties of maps between time series embeddings // Phys. Rev. E 52 (1995), No. 4, 3420-3439.

[79] K. Pyragas, Conditional Lyapunov exponents from time series // Phys. Rev. E 56 (1997), No. 5, 5183-5188.

[80] Г. В. Осипов, Беседа на международном симпозиуме "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (NWP-2005) Nonlinear Dynamics: Theory , Applications // Санкт-Петербург — Нижний Новгород, 2-9 августа 2005, 2005.

[81] А. В. Шабунин, С. М. Николаев, В. В. Астахов, Двухпараметриче-ский бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов частичной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 13 (2005), No. 5-6, 40-55.

[82] М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 11, 1804-1807.

[83] G. V. Osipov, A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronization effect in a lattice of nonidentical Rossler oscillators // Phys. Rev. E 55 (1997), No. 3, 2353-2361.

[84] D. Y. Tang, R. Dykstra, M. W. Hamilton, N. R. Heckenberg, Experimental evidence of frequenct entrainment between coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E 57 (1998), No. 3, 3649-3651.

[85] E. Allaria, F. T. Arecchi, A. D. Garbo, R. Meucci, Synchronization of homoclinic chaos // Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 5, 791-794.

[86] I. Z. Kiss, J. L. Hudson, Phase synchronization, suppression of chaos through intermittency in forcing of an electrochemical oscillator // Phys. Rev. E 64 (2001), No. 4, 046215.

[87] C. M. Ticos, E. Rosa, W. B. Pardo, J. A. Walkenstein, M. Monti, Experimental real-time phase synchronization of a paced chaotic plasma discharge // Phys. Rev. Lett. 85 (2000), No. 14, 2929.

[88] E. Rosa, W. B. Pardo, С. M. Ticos, J. A. Walkenstein, M. Monti, Phase synchronization of chaos in a plasma discharge tube // Int. J. Bifurcation, Chaos 10 (2000), No. 11, 2551-2563.

[89] В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.

[90] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronisation in regular, chaotic systems // Int. J. Bifurcation, Chaos 10 (2000), No. 10, 2291-2305.

[91] V. S. Anishchenko, T. E. Vadivasova, Synchronization of self-oscillations, noise-induced oscillations // Journal of Communications Technology, Electronics 47 (2002), No. 2, 117-148.

[92] В. В. Шахгильдян, JI. H. Белюстина (eds.), Фазовая синхронизация // M.: Связь, 1975.

[93] П. С. Ланда, К вопросу о частичной синхронизации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 4, 48-59.

[94] Г. А. Леонов, В. Б. Смирнова, Математические проблемы теории фазовой синхронизации // СПб.: Наука, 2000.

[95] А. С. Пиковский, М. Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление // М.: Техносфера, 2003.

[96] А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного анализа // Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 14, 29-36.

[97] В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Статистические свойства динамического хаоса / / Успехи физических наук 175 (2005), No. 2, 163.

[98] А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, О'соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов // Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 19, 76-82.

[99] A. S. Pikovsky, М. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D 104 (1997), No. 4, 219-238.

[100] M. G. Rosenblum, J. Kurths, Analysis synchronization phenomena from bivariate data by means of the Hilbert transform // Nonlinear analysis of physiological data (H. Kantz, J. Kurths, eds.), Springer, Berlin, 1998, 91-99.

[101] D. A. Smirnov, M. B. Bodrov, J. L. P. Velazquez, R. A. Wennberg, B. P. Bezruchko, Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: Limitations, application to eeg data // Chaos 15 (2005), 024102.

[102] Д. А. Смирнов, М.Б. Бодров, Б. П. Безручко, Оценка связанности между осцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 6, 79-92.

[103] В. P. Bezruchko, V. I. Ponomarenko, М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, Characterizing direction of coupling from experimental observations // Chaos 13 (2003), No. 1, 179-184.

[104] В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Взаимосвязь частотных и фазовых характеристик хаоса. Два критерия синхронизации // Радиотехника и электроника 49 (2004), No. 1, 123.

[105] A. S. Pikovsky, М. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillaors // Europhysics Letters 34 (1996), No. 3, 165-170.

[106] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Locking-based frequency measurement, synchronization of chaotic oscillators with complex dynamics // Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 26, 264102.

[107] G. V. Osipov, В. Ни, C. S. Zhou, M. V. Ivanchenko, J. Kurths, Three types of transitons to phase synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 91 (2003), No. 2, 024101.

[108] S. P. Kuznetsov, I.R. Sataev, Universality, scaling for the breakup of phase synchronization at the onset of chaos in a periodically driven rôssler oscillator // Phys. Rev. E 64 (2001), No. 4, 046214.

[109] А. А. Короновский, A. E. Храмов, Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения // М.: Физматлит, 2003.

[110] I. Daubechies, Ten lectures on wavelets // SIAM, Philadelphia, 1992.

[111] G. Kaiser, A friendly guide to wavelets // Springer Verlag, 1994.

[112] B. Torresani, Continuous wavelet transform // Paris: Savoire, 1995.

[113] D. J. DeShazer, R. Breban, E. Ott, R. Roy, Detecting phase synchronization in a chaotic laser array // Phys. Rev. Lett. 87 (2001), No. 4, 044101.

[114] J. P. Lachaux, et al., Studying single-trials of the phase synchronization activity in the brain // Int. J. Bifurcation, Chaos 10 (2000), No. 10, 2429-2439.

[115] J. P. Lachaux, et al., Estimating the time-course of coherence between single-trial brain signals: an introduction to wavelet coherence // Neurophysiol. Clin. 32 (2002), No. 3, 157-174.

[116] M. L. V. Quyen, et al., Comparison of Hilbert transform, wavelet methods for the analysis of neuronal synchrony // J. Neuroscience Methods 111

(2001), 83-98.

[117] О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N. H. Holstein-Rathlou, Bimodal oscillations in nephron autoregulation // Phys. Rev. E 66

(2002), No. 6, 061909.

[118] A. Grossman, J. Morlet, Decomposition of Hardy function into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 15 (1984), No. 4, 273.

[119] A. A. Koronovskii, A. E. Hramov, Wavelet transform analysis of the chaotic synchronization of dynamical systems // JETP Lett. 79 (2004), No. 7, 316-319.

[120] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency // Phys. Rev. E 73 (2006), No. 2, 026208.

[121] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, С. М. Николаев, А. В. Шабунин, Исследование хаотической синхронизации в системе симметрично связанных генераторов // Радиотехника и электроника 45 (2000), No. 2, 179-185.

[122] V. S. Anishchenko, Т. Е. Vadivasova, D. Е. Postnov, М. A. Safonova, Synchronization of chaos // Int. J. Bifurcation, Chaos 2 (1992), No. 3, 633-644.

[123] B. S. Dmitriev, A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, A. V. Starodubov, D. I. Trubetskov, Y. D. Zharkov, First experimental observation of generalized synchronization phenomena in microwave oscillators // Physical Review Letters 102 (2009), No. 7, 074101.

[124] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, Two types of phase synchronization destruction // Phys. Rev. E 75 (2007), No. 3, 036205.

[125] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, Zero Lyapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise // Phys. Rev. E 78 (2008), 036212.

[126] А. А. Короновский, M. К. Куровская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации // ЖТФ 77 (2007), No. 1, 21-29.

[127] А.Е. Hramov, А.А. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, О. I. Moskalenko, Type-i intermittency with noise versus eyelet intermittency // Phys. Lett. A 375 (2011), 1646-1652.

[128] А. А. Короновский, M. К. Куровская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Перемежаемость типа i в присутствии шума и перемежаемость игольного ушка // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 18 (2010), No. 1, 24-36.

[129] С. П. Кузнецов, Динамический хаос // серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2001.

[130] А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, Распределение длительностей ламинарных фаз для перемежаемости типа i в присутствии шума // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 17 (2009), No. 5, 43-59.

[131] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, А. А. Ovchinnikov, S. Boccaletti, Length distribution of laminar phases for type-I intermittency in the presence of noise // Phys. Rev. E 76 (2007), No. 2, 026206.

[132] С. М. Kim, О. J. Kwon, Е. Lee, Н. Lee, New characteristic relations in type-i intermittency // Phys. Rev. Lett. 73 (1994), No. 4, 525-528.

[133] С. M. Kim, G. Yim, J. Ryu, Y. Park, Characteristic relations of typeiii intermittency in an electronic circuit // Phys. Rev. Lett. 80 (1998), No. 24, 5317-5320.

[134] А. А. Короновский, А. В. Стародубов, A. E. Храмова, Взаимосвязь спектров, полученных по временным реализациям системы с потоковым временем и её отображениям возврата // Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 19, 86-94.

[135] Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков Т. 2. // М.: Физматлит, 2004.

[136] Т. Klinger, С. Schroder, D. Block, F. Greiner, A. Piel, G. Bonhomme, V. Naulin, Chaos control, taming of turbulence in plasma devices // Phys.Plasmas 8 (2001), No. 5, 1961-1968.

[137] В. B. Godfrey, Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode // Phys. Fluids 30 (1987), 1553.

[138] S. Kuhn, A. Ender, Oscillatory nonlinear flow, coherent structures in Pierce-type diodes // J.Appl.Phys. 68 (1990), 732.

[139] J. R. Pierce, Limiting currents in electron beam in presence ions // J.Appl.Phys. 15 (1944), 721.

[140] В. Г. Анфиногентов, Д. И. Трубецков, Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса / / Радиотехника и электроника 37 (1992), 2251.

[141] А. Е. Hramov, I. S. Rempen, Investigation of the complex dynamics, regime control in Pierce diode with the delay feedback // Int. J.Electronics 91 (2004), No. 1, 1-12.

[142] А. А. Короновский, P. А. Филатов, A. E. Храмов, Хаотическая синхронизация в. пучково-плазменных системах со сверхкритическим током // Радиотехника и электроника 52 (2007), No. 3, 362-372.

[143] Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Т. 1. // М.: Физматлит, 2003.

[144] П. Роуч, Вычислительная гидродинамика // М.: Мир, 1980.

[145] А. А. Короновский, А. Е. Храмов, О. И. Москаленко, П. В. Попов, Р. А. Филатов, А. В. Стародубов, Б. С. Дмитриев, Ю. Д. Жарков, Обобщенная хаотическая синхронизация в диапазоне сверхвысоких частот // vol. 2, ch. 9, Физматлит, 2008.

[146] R. A. Filatov, А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, Chaotic synchronization in coupled spatially extended beam-plasma systems // Phys. Lett. A 358 (2006), 301-308.

[147] П. В. Попов, P. А. Филатов, А. А. Короновский, A. E. Храмов, Синхронизация пространственно-временного хаоса в пучково-плазменных системах со сверхкритическим током // Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 6, 9-16.

[148] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, В. А. Максименко, А. Е. Храмов, О возникновении обобщенной синхронизации в пучково-

плазменных системах, связанных взаимно // Письма в ЖТФ 37 (2011), No. 13, 40-47.

[149] О. I. Moskalenko, A. A. Koronovskii, А. Е. Hramov, S. Boccaletti, Generalized synchronization in mutually coupled oscillators, complex networks // Phys. Rev. E 86 (2012), 036216.

[150] E. Rosa, E. Ott, M. H. Hess, Transition to phase synchronization of chaos // Phys. Rev. Lett. 80 (1998), No. 8, 1642-1645.

[151] K. J. Lee, Y. Kwak, Т. K. Lim, Phase jumps near a phase synchronization transition in systems of two coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 81 (1998), No. 2, 321-324.

[152] C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke, Fractal basin boundaries, long lived chaotic trancients, unstable-unstable pair bifurcation // Phys. Rev. Lett. 50 (1983), No. 13, 935-938.

[153] S. Boccaletti, E. Allaria, R. Meucci, F. T. Arecchi, Experimental characterization of the transition to phase synchronization of chaotic CO2 laser systems // Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 19, 194101.

[154] Y. Pomeau, P. Manneville, Inetrmittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Commun. Math. Phys. 74 (1980), 189.

[155] J. P. Eckmann, L. Thomas, P. Wittwer, Intermittency in the presence of noise // J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 3153-3168.

[156] W. H. Куе, С. M. Kim, Characteristic relations of type-I intermittency in the presence of noise // Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 6304-6307.

[157] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Detecting unstable periodic spatiotemporal states of spatial extended chaotic systems // Europhysics Letters 80 (2007), 10001.

[158] M. K. Kurovskaya, Distribution of laminar phases at eyelet-type interrnittency // Technical Physics Letters 34 (2008), No. 12, 1063-1065.