Модельное исследование и оптимизация явлений переноса энергии и массы в конденсированных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, доктор наук Джураев Хайрулло Шарофович

• Джураев Хайрулло Шарофович
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Джураев Хайрулло Шарофович

Введение

ГЛАВА I СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗРАБОТОК НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1.1. Основные положения теории некорректно поставленных

задач математической физики

1.2. Анализ некоторых некорректно поставленных задач математической физики

1.3. Некорректно поставленная задача математической физики и проблема температурной зависимости излучательных характеристик полупроводниковых лазеров на основе гетеронаноструктур

ГЛАВА II МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ОДНОПАРАМЕТ-РИЧЕСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ

2.1. Исследование зависимости стационарного состояния распределения теплового потока от температуры

2.2. Исследование стационарного распределения тепла при нагреве внутренними температурно- зависимыми источниками

2.3. Стационарное распространение тепла в плоской среде

2.4. Распределение тепла в среде цилиндрической формы

2.5. Распределение тепла в среде сферической формы

ГЛАВА III ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ

3.1. Аналитическое решение задачи однородного

стационарного распространения тепла в бесконечной

полосе

90

3.2. Построение приближенных аналитических решений

3.3. Метод интегрального преобразования Фурье и его регуляризация

ГЛАВА IV МЕТОД АНАЛИЗА И ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ

4.1. Исследование потока тепла в неограниченной среде

4.2. Исследование распространение тепла в ограниченной

среде

4.3. Исследование распространения теплового потока в неограниченной среде при наличии внешнего постоянного источника

4.4. Моделирование лазерного нагрева твердых тел методом искусственной гиперболизации

4.5. Определение характерного времени релаксации теплового потока

ГЛАВА V ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СТРУКТУР

ГЕТЕРОНАНОЛАЗЕРОВ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОРОГОВОГО ТОКА 5.1. Методы анализа и алгоритмы численного расчета

однопараметрической волноводной задачи

5.1.1. Объект исследования

5.1.2. Анализ и методы численного расчета поля нанослойной волноводной структуры

5.1.3. Метод модулирующих функций и его применение при изучении волноводных свойств гетероструктур

5.1.4. Обратная задача и её применение при изучении волноводных свойств гетеронанолазеров

5.2. Численный расчёт и оптимизация температурной зависимости излучательных характеристик инжекционных лазеров на основе симметричных гетеронаноструктур

5.2.1. Температурная зависимость порогового тока и антиволноводное действие инжектированных носителей

в гетеронанолазерах

5.2.2. Поведение температурной зависимости порогового тока лазеров на основе симметричных гетероструктур

в зависимости от толщины и материала волноводного нанослоя

5.2.3. Оптимизация параметров нанослойных гетероструктур с целью улучшения температурной зависимости излучтельных характеристик гетеролазеров

5.3. Температурная зависимость излучательных характеристик квантоворазмерной асимметричной двойной гетеронанструктуры на основе AlGaAs/InGaAs/GaAs

5.3.1. Влияние асимметрии гетернаноструктуры на температурную зависимость излучательных характеристик гетеролазеров

5.3.2. Влияние толщины активного нанослоя на температурную зависимость порогового тока инжекционных лазеров

на основе асимметричных АЮаАвЛпОаАв/ОаАБ-гетеронаноструктур

5.3.3. Сравнение результатов расчета температурной зависимости излучательных характеристик инжекционных лазеров на основе асимметричных гетеронаноструктур

с экспериментом

ГЛАВА VI ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАССОПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ИСКУСТВЕННОЙ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ

6.1. Постановка задачи

6.2. Исследование потока вещества в среде плоской формы

6.3. Исследование потока вещества в среде

цилиндрической формы

6.4. Исследование потока вещества в среде сферической формы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Список использованных сокращений и обозначений Сокращения:

РА - регуляризирующий алгоритм;

УТС - управляемый термоядерный синтез;

ЛТУС-лазерный управляемый термоядерный синтез;

КПД - коэффициент полезного действия;

ММП - метод матриц переноса;

МОС- металлоорганические соединения;

ТЕ - поперечная электрическая волна;

ТМ - поперечная магнитная волна;

УМФ -уравнение математической физики;

ММ - математическое моделирование;

МФ - модулирующая функция;

ОВАРО -оптический волновод с антирезонансным отражением (ARROW -Anti-Resonant Reflection Optical Wave-guides ); СЗ - собственные значения; СФ -собственные функции; ДЛ - диодный лазер; К - градус Кельвина;

о

С - градус Цельсия. Обозначения:

t, т - переменные по времени, x, r - переменные по пространству, к, n, l - временной и пространственный индексы, h - длина, [м], R - радиус цилиндра или сферы, [м];

u(r, t) -произвольная функция координат и времени, например, p(r, t) -плотность, T(r,t) - температура среды, E(r,t) - поперечная электрическая волна, H(r,t) - поперечная магнитная волна. Физические величины:

Дж"

C - теплоемкость,

К

т - масса, [кг]; С - удельная теплоёмкость,

о

Т - температура, [Кили С]; р - плотность материала

кг • К

кг

м

, дТ

д = -Х — - поток тепла

дх

Вт

м2

X -коэффициент теплопроводности,

Вт м • К

} - поток массы вещества,

кг

Б - коэффициент диффузии,

м

кг

2

м • с

А - коэффициент массопереноса,

а - коэффициент релаксации (параметр регуляризации); 3 - коэффициент массоотдачи,

м с

^-коэффициент теплоотдачи,

Вт

(м2 • с)

с

с

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модельное исследование и оптимизация явлений переноса энергии и массы в конденсированных средах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. С полным основанием можно утверждать, что процессы энерго- (тепло-) и массопереноса лежат в основе всех явлений, наблюдаемых в природе. Понимание этих процессов и их описание является первостепенной задачей, без решения которой невозможно поступательное движение человеческого общества. Эта задача становится особенно актуальной на фоне прогресса в ряде областей производства сложных технических сооружений и устройств с применением новых материалов и технологических процессов. В качестве примера можно привести насущную потребность в описании физических явлений в неравновесных средах, высокотемпературных процессов, процессов тепло- и массопереноса в гетерогенных системах при фазовых и химических превращениях, природы взаимодействия тепловой составляющей электромагнитного излучения с веществом, например, лазерного излучения с твердым телом. Ждут своего фундаментального решения и многие другие практические задачи тепло- и массообмена, связанные с техническим применением компактных наноматериалов и традиционных материалов, модифицированных наночастицами.

Одной из основных задач современного естественнонаучного исследования является обеспечение непрерывного роста производства продукции высокого качества и долговечности, что обеспечивается внедрением новых технологических процессов в конкурентоспособные высокоприбыльные производства в соответствии с требованиями энерго- и ресурсосбережения, а также экологической и аварийной безопасности. Как правило, это сложные и многоэтапные физическо-химические процессы. При этом важно знать конкретные механизмы, лежащие в основе этих процессов и явлений, причины устойчивости/неустойчивости создаваемых систем.

Например, одним из наиболее интересных направлений практического

применения достижений полупроводниковой техники (лазеры и гетеролазе-

ры непрерывного действия с генерацией при комнатных условиях) является

создание гетеролазеров на основе наноструктурированных полупроводнико-

8

вых материалов. Такие технологии могут иметь широкое применение при обработке материалов, в системах записи и передачи информации, медицине, научных исследованиях и системах специального назначения.

Одним из самых эффективных путей точного описания процессов тепло- и массопереноса в твёрдых телах является построение физико-математической модели, основанной на физических законах и адекватно отражающей содержание наблюдаемого явления. Результатом такого подхода должна быть формулировка соответствующих уравнений математической физики (УМФ), описывающих исследуемое явление. Как правило, эти уравнения формулируются относительно определенного числа произвольных (искомых) функций, характеризующих свойства физической среды. Если свойства среды известны, то УМФ, в сочетании с краевыми и начальными условиями, позволяют предсказать развитие процессов в пространственно-временном масштабе. Подобный подход годится не только для решения теоретических задач, но и для решения многочисленных проблем, возникающих при практическом использовании методов и результатов моделирования, в частности, в случае, когда большое внимание приходится уделять вопросам переноса энергии, массы и оптимизации их температурной зависимости в различных средах.

Такое рассмотрение будет эффективным, если описание физических процессов в системе обеспечивает достоверность получаемых результатов. Это особенно важно, потому что задачи тепло- и массопереноса часто являются так называемыми некорректно поставленными задачами. Анализ литературы в этом направлени показывает, что в основу новейших разработок по этой проблеме лежит поиск методов корректной формулировки некорректно поставленных задач переноса энергии, массы и оптимизация их температурных зависимостей. В частности, анализ волноводных свойств нанослойных гетероструктур с учетом температурной зависимости излучательных характеристик гетеролазеров стимулировал развитие новых методов анализа и численого расчёта многослойных активных волноводов. Соответственно, од-

ной из поставленных целей настоящей диссертации являлось совершенствование метода анализа и численного расчёта волноводов гетеронанострукту-ры, позволяющего оптимизировать температурную зависимость излучатель-ных характеристик инжекционных лазеров при разных параметрах наноструктур.

В свете вышесказанного представляется актуальной проблема построения физико-математических, численных и компьютерных моделей явлений переноса энергии и массы с помощью корректной формулировки некорректно поставленных задач путем введения параметров регуляризации в качестве пробных математических параметров.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании и создании математических моделей (ММ) процессов тепло- и массопереноса в конденсированных средах, предусматривающих регуляризацию начальных и граничных условий с приданием полученным решениям свойства устойчивости к малым изменениям начальных возмущений.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие основные задачи:

-создание ММ стационарных и нестационарных тепловых процессов в конденсированных средах с учетом регуляризации теплового потока и температурной зависимости теплофизических характеристик на основе стационарной и нестационарной теории переноса тепла и массы;

-усовершенствование приближенных аналитических методов решения краевых и начальных задач для стационарных и нестационарных УМФ, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям начальных возмущений с помощью интегрального преобразования и суммирования рядов Фурье, а также аналитический и численный анализ закономерностей стационарного и нестационарного распространения тепла в конденсированных средах;

-создание ММ процессов горения и взрыва в конденсированных средах с учетом теплообмена с окружающей средой и аналитическое исследование

критических условий примере практических модельных задач типа распределение тепла в плоской пластине, тепловой взрыв в телах цилиндрической и сферической форм;

-разработка ММ нанослойных оптических волноводов для исследования температурной зависимости излучательных характеристик многослойных инжекционных лазеров;

-создание программ по численному моделированию оптимизации влияния параметров гетеронаноструктуры на температурную зависимость порогового тока инжекционных лазеров и оптимизация параметров наноструктуры для улучшения температурной зависимости излучательных характеристик гетеролазеров;

-численный расчёт характеристик реальных гетеронаноструктур с использованием оптимизированной ММ инжекционного лазера и определение температурной зависимости пороговых токов симметричных и асимметричных гетеролазеров, сравнение результатов численного расчёта влияния параметров гетеронаноструктур на температурную зависимость излучательных характеристик инжекционных лазеров с экспериментом;

-исследование скорости распространения тепла в ограниченных и неограниченных средах в отсутствие и при наличии внешнего источника;

-создание ММ лазерного нагрева твердых тел на основе волнового уравнения теплопроводности;

-исследование потока вещества в сосудах плоской, цилиндрической и сферической формы;

-определение характерного времени релаксации (параметра регуляризации) теплового и массового потока, условий стабилизации и согласования параметра регуляризации с погрешностью, выбор сглаживающей и модулирующей функций (МФ).

Научная новизна диссертационного исследования заключается в том, что впервые:

-найдены приближенные аналитические решения стационарного и нестационарного УМФ для различных сред с учетом регуляризации начального и граничного условий в зависимости от физических характеристик.

-разработан метод приближенного аналитического решения прямой и обратной задач математической физики путём использования интегрального преобразования, разделения переменных и разложения в ряды с помощью методов регуляризации;

-разработана обобщённая ММ для описания стационарных физических процессов в различных средах с учетом регуляризации теплового потока и температурной зависимости теплофизических характеристик;

-установлена закономерность стационарного распространения температуры в конденсированной среде, определены условия теплообмена и состояния равновесия в конденсированной среде, при которых тепловой поток и температура в фазовой плоскости перемещаются и разлагаются на устойчивую и неустойчивую области;

-предложен новый математический аппарат, отличающийся от ранее известных тем, что с его помощью можно решать существенно новые прикладные задачи на основе стационарного УМФ с переменным и постоянным коэффициентами;

-разработаны методы расчета и компьютерные программы для определения распределения температуры и теплового потока в осесимметричных конденсированных средах в окрестностях особых точек- в критических условиях горения и взрыва;

-предложена возможность применения аналитического метода построения семейства регуляризирующих алгоритмов (РА) начальной и граничной задач для стационарного и нестационарного УМФ на основе суммирования рядов и интегрального преобразования Фурье;

-предложен удобный метод численного расчёта плоского активного оптического волновода лазеров на основе многослойных гетеронаноструктур с привлечением метода МФ и оптимизации параметров инжекционных лазе-

ров на основе гетеронаноструктур с целью улучшения температурных зависимостей излучательных характеристик гетеролазеров;

-проведён численный расчёт температурной зависимости излучатель-ных характеристик инжекционных лазеров на основе наноструктур от параметров гетероструктуры и установлена зависимость температурного поведения порогового тока инжекционных лазеров на основе асимметричных А1-ОаАв/1пОаА8-/ОаА8 гетеронаноструктур с одной и двумя квантовыми ямами в зависимости от толщины и состава нанослоёв;

-показано, что температурная зависимость порогового тока лазеров на основе асимметричных гетеронаноструктур по сравнению с лазерами на основе симметричных гетеронаноструктур меняется в сторону ухудшения;

-предложены новая ММ, описывающая восстановление начальных рас-пределений температуры и потока вещества, приближенное аналитическое решение уравнения гиперболического типа, описывающего распределение температуры и перенос массы в средах с различной геометрией;

-разработана ММ лазерного нагрева твердых тел на основе метода искусственной гиперболизации и установлена непрерывная зависимость распределения температуры и потока вещества от их начального распределения;

-предложены условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для этих задач, способы выборов МФ, а также зависимость параметра регуляризации от погрешности.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что полученные в диссертации результаты в аналитическом виде могут быть использованы при разработке компьютерных моделей физическо -технических и других научно-прикладных задач, а также в образовательном процессе, при разработке принципиально новых, более эффективных технологий создания теплотехнических устройств.

Представленная работа является обобщением теоретических исследований, выполненных автором на кафедре вычислительных машин, систем и сетей Таджикского национального университета. Исследования проводились

согласно планам госбюджетных тематик ТНУ, зарегистрированных под № 0107ТД648 (01.01.2006-31.12.2010) «Аналитическое исследование и численное решение некоторых задач математической физики и информационной технологии» и №0110РК15084(а) (01.01.2011-31.12.2015) «Исследование физических основ информационных процессов и методов регуляризации некоторых задач математической физики», а также проекта Президентского фонда фундаментальных исследований «Метод устойчивых решений некоторых задач математической физики», № 0108ТД745, 2008-2010 гг.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов теоретической и математической физики, теории дифференциальных уравнений, теории обратных и некорректно поставленных задач, а также методов, используемых в теплофизике и теплотехнике.

Основные положения, выносимые на защиту: -решение прямой и обратной задач математической физики путём использования разложения в специальные ряды, интегрального преобразования и разделения переменных с помощью методов регуляризации;

-решение дифференциального уравнения второго порядка по времени для прямой и обратной задач математической физики, устойчивое к начальным возмущениям;

-ММ для описания стационарных физических процессов в различных конденсированных средах с учетом регуляризации теплового потока и температурной зависимости теплофизических характеристик;

-закономерность стационарного распространения температуры и тепла в среде, условия их устойчивости/неустойчивости, при которых очаг теплового потока перемещается с ростом температуры;

-аналитический метод построения семейств регуляризирующих алгоритмов для начальной и граничной задачи для стационарного и нестационарного УМФ на основе интегрального преобразования и суммирования рядов Фурье;

-аналитический математический аппарат, отличающийся от известных ранее тем, что с его помощью можно решать существенно новые прикладные задачи на основе стационарного УМФ с переменными и постоянными коэффициентами;

-программы реализации численных расчетов распределения температуры и теплового потока в осесимметричных конденсированных средах в окрестностях особых точек- критических условиях горения и взрыва.

-нелинейный характер изменения температуры в ограниченных и неограниченных конденсированных средах с ростом линейных размеров образца, плотности потока массы со временем в сосудах различной геометрической формы, а также уменьшение температуры по мере проникновения тепла вглубь тела и его переход к постоянному значению в предельном случае;

-линейная зависимость температуры тела от длины образца при наличии внешнего источника и экстремальная временная зависимость температуры тела в условиях лазерного нагрева;

-методика численного расчёта плоского активного оптического волновода гетеронанолазеров, базирующаяся на методе МФ, а также температурной зависимости излучательных характеристик лазеров на основе многослойных гетеронаноструктур;

-температурная зависимость порогового тока гетеронанолазеров от параметра асимметрии гетероструктур для лазеров с одной и двумя квантовыми ямами; зависимость излучательных характеристик лазеров на основе гетеронаноструктур от толщины и материального состава нанослоёв; высокоэффективная методика оптимизации конструкции гетеролазера для улучшения температурной зависимости излучательных характеристик гетеронанола-зеров;

-условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для исследуемых задач, способы выбора сглаживающих функций и МФ, а также зависимость параметра регуляризации от погрешности.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием ММ, адекватных реальным физическим процессам, применением обоснованных методов построения приближенных аналитических решений прямой и обратной задач математической физики, которые непрерывно зависят от начального потока энергии, плотности вещества, плотности потока вещества, скорости распространения температуры и зависимости распределения температуры от критических условий, теоретической обоснованностью результатов работы, согласованностью полученных результатов с данными, полученными другими методами исследования.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на: Международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» (Душанбе, 2007, 2010, 2011); Семинаре-совещании «Наука - производству» (Душанбе, 2007); Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, Россия, 2008, 2010, 2012, 2014); Международной конференции «Современные проблемы физики конденсированных сред и астрофизики» (Душанбе, 2010); Международной конференции «Современные вопросы молекулярной спектроскопии конденсированных сред» (Душанбе, 2011); Научно-теоретической конференции профессорского -преподавательского состава ТНУ (ежегодно в период 2008-2018 гг.); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 2012, 2016); Международной конференции «Перспектива развития физической науки» (Душанбе, 2017); Международной конференции «Актуальные проблемы современной физики» (Душанбе, 2018); Конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, и аспирантов (с международным участием) БГТУ (Минск, 2017); научных семинарах физического факультета и кафедры вычислительных машин, систем и сетей ТНУ.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликованы 54 научных труда, в том числе 4 монографии и 27 статей в рецензируемых

изданиях из Перечня ВАК Российской Федерации.

Личный вклад соискателя заключается в его непосредственном участии на всех этапах научного исследования, начиная с постановки и планирования задач исследования, выполнения аналитических исследований, численных расчётов, получения исходных данных, кончая обсуждения, обобщения и апробации полученных результатов и подготовки основного материала к публикации. В диссертации использована только та часть опубликованного совместно с другими материала, в которую автором внесён равноценный вклад.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и списка цитируемой литературы из 304 наименования. Общий объем диссертации составляет 254 страницы, включая 221 страниц текста, 72 рисунка и 10 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы. Определена научная и практическая значимость проведённых исследований, указан личный вклад автора, приведены основные положения, выносимые на защиту, дана информация об апробации основных результатов работы.

Первая глава диссертации посвящена анализу современного состояния исследуемой проблемы. Рассматриваются задачи, возникающие при исследовании процессов переноса энергии и массы в различнных конденсированных средах. Кратко обсуждаются различные математические методы, применяемые при решении прямой и обратной задач переноса энергии и массы, в особенности, преимущества методов специальных рядов и регуляризации.

Обсуждается проблема высокотемпературной генерации в лазерах на основе гетероструктур и температурной зависимости излучательных характеристик инжекционных лазеров. Рассмотрены различные аспекты моделей и методов расчёта гетеронанослойных оптических волноводов и температурной зависимости излучательных характеристик инжекционных лазеров.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию зависимости стационарного распределения теплового потока от температуры в конденсированных средах методом регуляризации. Объектом исследования являются процессы стационарного переноса тепла в различных конденсированных средах.

В третьей главе диссертации приведены результаты исследования стационарного распространения тепла в бесконечной полосе. Найдено приближенное аналитическое решение начальной задачи для двухпараметрического эллиптического уравнения методом интегрального преобразования Фурье, специальных рядов и регуляризации.

Четвёртая глава диссертации посвящена исследованию процессов прямого и обратного распространения тепла в неограниченных и ограниченных средах методами регуляризации.

В пятой главе представлено описание методов анализа и алгоритмов расчёта параметров полупроводниковых лазеров на основе гетеронанострук-тур, а также результаты численых расчётов и оптимизации температурной зависимости излучательных характеристик нанослойных инжекционных лазеров на основе симметричных гетероструктур. Проведен численый расчёт температурной зависимости порогового тока гетернанолазеров и их связь с антиволноводным действием инжектированных носителей в активную область. Приведены результаты численного расчёта температурной зависимости порогового тока лазеров от толщины нанослоёв и других параметров наноструктуры с целью улучшения излучательных характеристик гетерола-зеров и получения больших мошностей.

Описаны результаты теоретического анализа и оптимизации параметров квантоворазмерной асимметричной двойной гетеронаноструктуры Al-GaAs/InGaAs/GaAs. Приведены результаты численых расчётов влияния асимметрии гетеронаноструктуры на температурную зависимость излуча-тельных характеристик гетеролазеров. Показано, что излучательные характеристики лазеров зависят от состава нанослоёв. Произведено сравнение экспериментальных данных с результатами численного расчёта температурной за-

висимости порогового тока гетеронанолазеров на основе асимметричных Л1-ОаАвЛпОаАв/ОаАв-гетероструктур от толщины и состава слоёв.

Шестая глава диссертации посвящена исследованнию потоков вещества и волнового процесса переноса массы в средах с различной геометрией методами регуляризации.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

Ключевые слова: прямая и обратная задачи, корректность/некорректность, устойчивость, тепло- и массоперенос, температура, ограниченные и неограниченные среды, параметр регуляризации, время релаксации, лазер, гетероструктура, пороговый ток, оптимизация, генерация, модовое усиление, диэлектрическая проницаемость.

ГЛАВА I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗРАБОТОК НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1.1. Основные положения теории некорректно поставленных задач математической физики

Явления переноса энергии и массы вещества в различных средах находятся в центре внимания исследователей в течении многих десятилетей. Успешное решение возникающих проблем даст возможность совершенствования и оптимизации существующих технологических процессов, изыскания и разработки новых производств, включающих в себя автоматизированные высокопроизводительные поточные линии и агрегаты. Эффективность, долговечность и надежность деталей и узлов систем и механизмов можно анализировать и оптимизировать с помощью методов управления процессами и причинными связями, описываемыми краевыми задачами уравнений математической физики. При этом к причинным характеристикам процессов в системах, в соответствии с принятым подходом, отнесем граничные и начальные условия, свойства и геометрические характеристики системы. Следствием решения задачи будет то или иное состояние системы, определяемое взаимодействием исследуемого объекта с окружающей средой.

Математическое моделирование, то есть установление причинно-следственных связей, составляет цель прямых и обратных задач математической физики. Это относится не только к теоретическим вопросам, но и к многочисленным проблемам переноса энергии и массы, возникающим при практическом использовании методов и результатов моделирования, когда большое внимание приходится уделять проблеме переноса энергии и массы в окружающей среде.

Такой подход будет эффективным в том случае, если математическое моделирование обеспечит достоверность представления физически реализуемых событий. Анализ сегодняшнего состояния проблем математической фи-

зики показывает, что важным направлением развития математического, физического и компьютерного моделирования, прогресс в котором обеспечит достоверность представления событий и, тем самым, способствовать расширению возможностей и сферы внедрения моделирования, есть разработка методов корректной формулировки прямых и обратных задач переноса энергии и массы.

Понятие корректности при постановке задач стационарного и нестационарного переноса тепла в конденсированных средах было сформулировано в начале XX века известным французским математиком Ж.Адамаром [1]: «Аналитическая задача всегда корректно поставлена в смысле существования и единственности решения, непрерывной зависимости от данных задачи, когда есть механическое или физическое истолкование вопроса». По определению Ж.Адамара корректно поставленной задачей называется любая задача математической физики, у которой решение: 1) существует; 2) единственно; 3) непрерывно зависит от исходных данных. А все остальные задачи Ж. Ада-мар называл некорректными. Идея о корректности краевых задач математической физики была сформулирована также Д.Гильбертом и Р.Курантом [2].

Существовало мнение, что корректно поставленные задачи встречаются только при решении физических задач. В реальных исследованиях физических задач исключительно в корректной постановке встречаются такие имена, как А. Пуанкаре, Д. Гильберт, В. А. Стеклов, С. Л. Соболев, В. В. Новожилов, И. Г. Петровский, И. Пригожин, Р. И. Хемминг [3-8] и другие.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Джураев Хайрулло Шарофович, 2019 год

- А

/% / %

«ЛГ-1 а и, Е:

N Ацф О, 0

Рис. 5.2. Схема слоев гетероструктуры.

Согласно [199, 218] и рис. 5.2, электрическое поле для ТЕ-мод имеет только одну ненулевую компоненту Еу(х,у,2). Для волноводных решений

зависимость от 2 выражается множителем ехр(ipzz). Постоянную распространения /г в дальнейшем будем представлять в виде /г = к0(Р + iy), где ? 2п

к0 = —, Р - постоянная распространения и распределения поля в структуре, Л

у -мнимая часть постоянной распространения и распределения поля в структуре. Структура считается бесконечно протяженной в поперечном направле-

нии по оси у, так что — = 0. Поэтому распределение поля описывается од-

Ф

ной скалярной функцией и(х) и имеет вид [199, 218]

Еу( х,у,2,г) = ехр(-¡юг )ехр( ¡Р2г )и(х). Аналогично, в случае ТМ-моды таким же образом через функцию и(х) в волноводе выражается у -компонента магнитного поля Ну [185, 199, 218].

Согласно [261, 262], решение волнового уравнения зависит от времени по гармоническому закону Е = Е(г) ехр(гюг) с частотой ю, где i- мнимая единица. Используя метод разделения переменных, решение волнового уравнения представим в виде Е = Е(г) ехр(гюг), где Е(г) - функция только пространственных координат и является решением уравнения Гельмгольца

2

V 2 + — е(г )

с2

Е( г ) = 0.

В многослойных лазерных структурах рассматривают только моды ТЕ поляризации. Это обусловлено тем, что ТМ моды имеют значительно большее затухание, чем ТЕ моды [262, 265,266]. В модах ТЕ поляризации отлична от нуля единственная пространственная компонента Еу [218].

Учитывая, что волна излучения распространяется вдоль оси ъ [Еу(г) = у(х)ехр(-¡Р г)], а по оси у волновод однородный (дЕу / ду = 0),

одномерное уравнение Гельмгольца для мод ТЕ поляризации записывается в форме [199, 218, 260-265]

й У( х) + dх 2

С 2 \

— е(х) -Р2

V ^

у( х) = 0, (5.1.1)

где х - координата по поперечной к слоям оси, ю - частота оптического излучения, е(х) = п2(х) - комплексная диэлектрическая проницаемость, н(х) -комплексный показатель преломления, Р - комплексная продольная (по оси ъ) постоянная распространения волны, у( х) - амплитудные профили мод -собственные функции (СФ) [199, 218]. Граничные условия для уравнения

(5.1.1) в зависимости от конкретной структуры могут быть выбраны двух видов [199, 218].

Первый вид- это условия равенства нулю СФ и их первых производных на бесконечности, что соответствует локализованным (волноводным) СФ [218]

\(±ю) = 0; ^ (±до) = 0. (5.1.2).

dх

Второй вид - условия излучения

И ~ \( ±<ю) = 0, (5.1.3)

й -г — ± ¡к± йх

где к± - поперечные постоянные распространения волны в полупространствах, ограничивающих многослойную структуру [218].

Условия (5.1.3) более удобны в расчетах, так как, во-первых, позволяют использовать меньший интервал области определения \(х), и во-вторых, допускают незатухающие на бесконечности решения, что соответствует вытекающим модам [199, 218].

Собственными значениями уравнения (5.1.1) будут постоянные распространения Р, число которых определяется типом гетероструктуры, и их число предварительно не известно. Для решения задачи распространения лазерного излучения в оптическом резонаторе гетероструктуры (активный волновод) необходимо найти СЗ волнового уравнения (5.1.1). Для решения этой задачи используются методы, обобщающие результаты различных простых методов [191, 199, 205, 218, 261]. Одним из таких методов является метод обратной задачи и модулирующих функций. На основе этого метода исследуется стационарное распространение лазерного излучения в оптическом резонаторе гетероструктуры, то есть определение Р - комплексной продольной (по оси ъ) постоянной распространения волны как СЗ уравнения (5.2.1).

Согласно [24, 56, 59], собственное значение Р для задачи (5.1.1)-(5.1.3) является положительным. Для продольного распространения волны как СЗ

уравнения (5.1.1) выполняется условие р < ^ 1 + —— е(Ь) в слоях оси.

Следующие разделы посвящены эффективным методам численного расчёта и оптимизации параметров многослойных гетероструктур, а также определению свойств волноводных мод. Эти способы основаны на методе решения обратной задачи и модулирующих функций и численного расчета распределения амплитуды электромагнитного поля внутри оптического резонатора многослойных гетероструктур. Методы обеспечивают высокую скорость численного расчёта и позволяют использовать их в моделях полупроводниковых гетеролазеров, где для численного расчёта электромагнитных полей, а так же постоянных распространения, необходимо многократное повторение процедур.

5.1.3. Метод модулирующих функций и его применение при изучении волноводных свойств гетероструктур

Известно [59, 263, 264], что волновые процессы физического явления, подчиняющегося тем или иным закономерностям, могут быть представлены в виде уравнения

д 2м дм 1 Ам = ап—— + а,--ь , (5.1.4)

0 дг2 1 дг 2

где а0, а1, а2 -постоянные.

Используя метод разделения переменных, решение уравнения (5.1.4) представим в виде

м = м(т,г) = и(г) • у(г), (5.1.5)

где и(г) - функция только пространственных координат, а у(г) - функция только времени. Подставив выражение (5.1.5) в (5.1.4), получим

Аи + к2и = 0, (5.1.6)

a0 d—V + 2a.— + (a2 + k2)v = 0, (5.1.6а)

dt2 dt

где k2 -некоторое число.

Уравнение эллиптического типа (5.1.6) называется уравнением Гельм-гольца. Оно играет важную роль в математической физике ввиду своей простоты и удобства при решении многих физических задач [261-266] (волновые процессы, теплопроводность, диффузия и другие).

Из формулы (5.1.5) следует, что уравнение Гельмгольца непосредственно определяет меняющуюся от точки к точке интенсивность процессов, происходящих во всех точках изучаемой области по одному и тому же временному закону. В частном случае, когда функция v(t) = exp(-iœt) постоянна (меняется по гармоническому закону), оно определяет статическое состояние. Суперпозицией решений вида (5.1.5) можно охватить практически любые пространственно-временные зависимости.

Если решение уравнения (5.1.4) зависит от времени по гармоническому закону W = u(r)exp(iœt) или W = u(r)exp(-iœt), где œ - круговая частота колебаний, а u(r) - комплексная функция пространственных координат, получаем уравнение (5.1.6) с параметром k , имеющим, в общем случае, ком-

2 2

плексное значение: к = œ a0 - a 2 + 2a1i.

Вещественная часть этих выражений определяет в каждой точке r одно и то же гармоническое колебание Re[u(r)exp(±iœt)] = \u(r)\cos(œt + 3) с амплитудой |u(r) и фазой 3, являющимися корнями уравнений

± Imu Reu

sm( 3) = --т, cos( 3) = --г.

\u(r)\ \u(r)\

Символы Re и Im означают, что берется соответственно вещественная или мнимая часть стоящей за ними функции. Знак плюс или минус перед Im выбирается в зависимости от того, используется ли выражение u( r )exp(iœt ) или u( r )exp(-iœt ). Поэтому обе подстановки эквивалентны, вследствие чего

можно пользоваться только одной из них. Мы в дальнейшем будем приме-

154

нять подстановку u( r )exp(ict).

Далее, дадим описание теоретической модели многослойных квантово-размерных лазерных гетероструктур. Самым распространенным типом полупроводникового лазера является гетеролазер с квантоворазмерной активной областью. Сегодня эти лазеры применяются для накачки твердотельных лазеров, в волоконно-оптических линиях связи, компьютерной технике, медицине, лазерной дальнометрии и ряде других приложений.

Идеальная полая многослойная лазерная гетероструктура представляет собой колебательную электродинамическую систему, в которой возможны незатухающие собственные колебания. Каждое колебание (так называемая мода) характеризуется определенной структурой поля, то есть пространственным распределениям комплексных амплитуд электрического E(r) и магнитного Н(r) полей и собственной частотой т. Волноводные моды для немагнитной среды в отсутствие сторонних зарядов и токов на основе уравнений Максвелла [265, 266] при /л = 1 описываются следующими волновыми уравнениями:

S д 2Е

АЕ + — = 0 (для электрического поля), (5.1.7) s д 2 Н

АН н—-—— = 0 (для магнитного поля).

с2 dt2

Здесь с - скорость света в вакууме, s - комплексная диэлектрическая проницаемость.

Рассмотрим плоский волновод [191, 261], в котором возможно разделение мод различной поляризации. В случае ТЕ-поляризованной волноводной моды электрическое поле имеет только одну ненулевую компоненту, положим Е (x,y,z). Поэтому распределение поля описывается одной скалярной

функцией Еу = u(x) и имеет вид [191, 199, 218, 260, 5а 261]

Еу(x,y,z,t) = еуЕу(x) ■ exp(i(fiz - cot)).

Здесь еу - единичный орт, направленный вдоль оси оу (рис.5.3), Еу(х)

-амплитуда вектора напряженности электрического поля, с - частота ее колебаний. В этом случае УЕ = 0 и волновое уравнение электрических векторов может быть преобразовано к скалярному виду [191, 199, 218, 260, 261]

й2 Ел, ? с -^ + к е(х)Еу =Р2Еу, к = с. (5.1.8)

йх2 у у с

Здесь у(х) = Еу - амплитудные профили мод - собственные функции (СФ),

с

х -координата по поперечной к слоям оси, к = —, ю - частота оптического

с

2

излучения, с - скорость света в вакууме, е = е(х) = п (х) - комплексная диэлектрическая проницаемость, п(х) - комплексный показатель преломления, в - продольная (по оси 2) постоянная распространения - собственные значения (СЗ) (см.[185, 199, 218]).

Рис.5.3. Вариант многослойной структуры ДЛ: 1- металлизация р-стороны; 2-ограничительный слой со стороны р-типа; 3- активный слой; 4- волновод-ная область; 5-ограничительный слой со стороны п-типа; 6-подложка п-типа; 7- металлизация п-стороны.

Граничные условия для уравнения (5.1.8) в зависимости от конкретных задачи и структуры могут быть выбраны двух видов: вид (5.1.2) и вид (5.1.3) [218].

В общем случае лазерная гетероструктура со сложным распределением диэлектрической проницаемости вдоль оси х (0 < х < Ь) заключена между

о

подложкой (х < 0) с тензором диэлектрической проницаемости е и металлическим контактом (х > Ь), который предполагается идеальным, то есть

полностью отражающим свет. В области 0 < х < Ь решения волнового уравнения (5.1.7) могут быть найдены с помощью численного интегрирования. Внешними граничными условиями для уравнения являются

дЕу _у

дх

х = 0: Е = Ч8Еу; х = Ь: Еу = 0, (5.1.9)

где д28 = р2 - к2 •е5 для ТЕ-моды [218]. Граничные условия при х = 0 учитывают тот факт, что поле направляемой моды экспоненциально затухает в подложке. Граничные условия при х = Ь соответствуют обращению в нуль электрического поля на поверхности идеального металла с бесконечной проводимостью.

В уравнении (5.1.4), полагая Ж = Ж(г,г) -электрическая составляющая

" е

электромагнитного поля оптической моды, а а0 = -—, аг = 0, а2 = 0, име-

е2'

ем волновое уравнение для неоднородной изотропной среды, то есть волновое уравнение для электрических векторов [59, 191, 218, 261-264]

- е д2Ж

- — ^Ж = 0,

е2 дг2

которое соответствует уравнению для электрического поля (5.1.7). Здесь е = е(г) - комплексная диэлектрическая проницаемость среды, с - скорость света в вакууме, г - радиус-вектор.

Согласно раздела 5.1.2 и результатам работ [199, 218], в каждом слое гетероструктуры диэлектрическая проницаемость постоянна, поэтому в пределах одного т -го слоя уравнение (5.1.8) является обыкновенным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами и имеет решение в виде [191, 199, 218, 261]

(Pm(X) = Ап еХР( qmX - Х0) + ВП eXP(-qmX - ^т^ m = 0,1>2> — ,М , где qm -x -компонента волнового вектора в m -м слое, x0m -координата начала m -го слоя (рис. 5.1, для полубесконечного слоя m = 0 надо положить х°т = xm = 0), постоянные Am,Bm и qm в общем случае комплексные. Для всех qm берется ветвь корня с положительной мнимой частью.

Согласно [218], для нахождения коэффициентов Ап, Вп во внутренних слоях используются рекуррентные соотношения, которые соответствуют последовательным умножениям на матрицы, обеспечивающие выполнение граничных условий (5.1.9) на плоскостях раздела слоев:

Ап+1 =

qп

А

+

qп

в„

qm+l еХР(2Чп+1 (ЬП+1 - ЬП)) - 1 qm+l еХР(2qm+l (ЬП+1 - )) - 1

Вп+1 =

qп

А

qп

в„

qm+l 1 - еХР(-2Чп+1 (ЬП+1 - )) qm+l 1 - ^ХР(-2ЧП+1 (ЬП+1 - ))

А =

п

£хР(Фп)

Г

2

qп

Л

1 +

V Чп +1

Вп =

ехР(-Фп )

Г

2

Чп

Л

1 -V Чп+1

п = 0,1, 2,

N■

При этом условия совместимости системы сводятся к следующему:

1 +

Чп+1

Чп

у _ т

Чп /V ЧП+1 у

1 -

Чп+1

\

г

Чп

\

1 +

/V Чп+1 у

exp(2qmLm); п = 0,1,2,3, —,Ы -1

Так как

чП + (к2егп-р2) = 0, п = 0,1,2,3,

(5.1.10)

то величины , +2 и р можно выразить через +1 (п = 0,1,2, —, N) и из равенства (5.1.10) определить +1 (п = 0,1,2, — ^) (см. [205, 208]).

Часто затруднения, связанные с описанием волноводных свойств многослойных квантоворазмерных гетероструктур, сводятся к тому, что не существуют теоретические предпосылки для построения соответствующей математической модели данного волноводного процесса. Поэтому, необходимо написать соответствующую систему уравнений, задать необходимые величи-

<

ны параметров рассматриваемой задачи и обеспечить наличии начальных и граничных условий. В данном случае применяют метод идентификации данной математической модели поставленной задачи. Эта процедура обеспечивает решение соответствующей обратной задачи и согласовать его с экспериментальными данными относительно исследуемого процесса; это позволяет выбрать необходимую модель, а также оценить параметры данной модели согласно поставленной задачи.

При моделировании волноводных свойств многослойных квантовораз-мерных гетероструктур в большинстве случаев структура модели заранее известна [191,268]. Следовательно, задача сводится к оценке соответствующих неизвестных параметров, то есть к задаче идентификации.

Известно, что одной из соответствующих задач волноводных свойств многослойных квантоворазмерных гетероструктур является задача определения параметров, методов исследования и оптимизации излучательных характеристик современных гетеролазеров. Именно эту задачу мы будем рассматривать в дальнейшем. Задаче определения параметров в - продольная (по оси 2) постоянная распространения - собственные значения (СЗ), у(х) - амплитудные профили мод - собственные функции (СФ) было посвящено множество работ, их обзор приведен в [269, 270]. Следует отметить, что в этих работах методы решения были различными.

Напомним, что задача определения параметров в пределах одного т -го слоя уравнения (5.1.8) является обратной задачей. Идея применения метода модулирующих функций при решении обратных задач была использована авторами [263, 264, 273, 274].

Цель настоящего раздела - это определение универсальной модулирующей функции для нахождения и оптимизации параметров гетеронанострук-тур с помощью начальных и краевых условий в виде (5.1.2) и (5.1.3) [263, 264].

Основная идея ММФ и реализации модели заключается в решении соответствующего одномерного скалярного уравнения Гельмгольца (5.1.1) при

выполнении условий (5.1.2) и (5.1.3), описывающего структуру оптической волны для ТЕ мод. Выбор ТЕ мод оправдан тем, что эти моды имеют меньшую величину потерь в оптическом резонаторе рассматриваемой многослойной структуры (рис. 5.3), чем моды ТМ типа (см. [275, 276]).

Согласно [263, 264], умножим обе части уравнения (5.1.1) на гладкую непрерывно дифференцируемую в интервале ( -да, да ) функцию р(х) = ехр(дх)И(х) . Полученное выражение проинтегрируем по х от - Ь до Ь ( Ь ^ да ):

ь Г 2 Л

(5.1.11)

¡¡т Г р(х) г л

Ь ^да

{* 2 2 а ¥(Х) - (Юе(х) -р2)—(х)

- ь

dx—

dx = 0.

Применив к первому слагаемому левой части равенства (5.1.11) формулу интегрирования по частям два раза, получим

¡¡т Г р(х)d—*i—(^X—dx = ¡¡т

Ь ^да

- Ь

dx—

г

= ¡¡т

Ь ^да

Р(х)

Ь ^да

d—( х )

Р(х)

d—( х )

V

dx

V Ь

-Ь

dx

ЬЬ

-Ь -Ь

| др'(х)

d—( х ) dx

dx

(5.1.12)

др'(х)—(х—Ьь - Гд2р"(х)—(х)dx

-Ь

Здесь д > 0 -некоторое число, которое характеризирует рост последовательных производных функции р(х).

Поскольку —(х) - модулирующая произвольная гладкая функция, выберем ее такой, что р(Ь) = р(-Ь) = р" (Ь) = р"(-Ь) = о. В (5.1.12), применяя условия (5.1.2) и (5.1.3), получим:

Ь 2

2 Ю

„ - (~Г £(

Ь с2

¡¡п Г (д2 - (Юе(х) - р2 ))—(х)р"(х)dx = 0

или

Дд2 - к2е(х) - р2^)ехр(дх)к(х)—(хх - " (х) - 2дк'(х))ехр(дх)—(хх

= 0

Это соотношение есть интегральный аналог дифференциального уравнения (5.1.1). Очевидно, что функции —(х) для любой ограниченной функции р(х) представляют ограниченное нетривиальное решение уравнения (5.1.1),

Ь

-да

-да

относящееся к слоистым средам для х е [-Ь, Ь ]. Поэтому последнее равенство выполняется, если

2

ч2 +^£(х) - Р2 = 0, к"(х) + 2чИ'(х) = 0 ,

с

A

где h(x) = — + B exp(—2qx), A, B = const.

2q

Вдоль действительной оси проводится сканирование постоянной распространения в во всей области допустимых значений с малым шагом. Таким образом, определяя значения qm, при которых амплитуды полей на выходе имеют локальные минимумы, находим функционал Тихонова [19] в виде

F(q,p,a) = X

M С 2

2 — Г>2

qm +— Sm — Р

с2

m = 0

+ а

( м

X q4m +Р4

V m = 0

откуда

qam =—yl (2 — а) -Sm , Ра= .

ас с V а

Параметр регуляризации а определяется из условия совместимости

значений qm, то есть

1 +

qm

V

па

qm +1

1 —

qm—1

V

q

m у

f а ^

1 — qm

V

па qm+1

1 + qm—1

V

q

= exp(2q(mnLm), т = 1,2, ••• ,N — 1

m у

При этом параметр регуляризации а может быть определен в виде

1 + . 1 + 2 -

4ln d J

—ll s

m m

где

D =

1 —

S

S

m +1 у

1 +

V

S

m — 1

S

m у

1 +

S

S

f

m = 1,2, ••• ,N — 1.

1—

s

m—1

m +1 yV

S

m у

2

а

а

4

ос =

5.1.4. Обратная задача и её применение при изучении волноводных свойств гетеронанолазеров

Определим переменный коэффициент уравнения Гельмгольца (5.1.1). Задача нахождения этого коэффициента является обратной задачей [19, 6366, 263, 264, 273, 274].

Согласно 5.1.2, в многослойных полупроводниковых лазерных структурах рассматривают исключительно ТЕ моды. Это связано со значительными, по сравнению с ТЕ модой, потерями для ТМ моды [185, 199, 218]. Как известно, для ТЕ моды только составляющая Еу не равна нулю.

Поскольку электромагнитная волна распространяется только в направлении оси 02 Е(г) = —(х)(-7рг)| (в направлении оси оу волновод гетерострук-

туры однородный (дЕу /ду = о)), одномерное волновое уравнение для ТЕ моды

имеет вид (5.1.1).

Условие (5.1.3) достаточно удобно для численных расчетов в связи с узким интервалом определения — (х). Процедура нахождения СЗ уравнения (5.1.1) в многослойных гетероструктурах с активным волноводом была обоснована в вышеизложенных подпраграфах для решения задачи распространения электромагнитной волны. С целью сокращения времени численных расчётов при решения данной задачи была использована совокупность двух методов - метода модулирующих функций [263, 273] и метода обратной задачи [264, 274].

Согласно методике расчета [228], главы II и раздела 5.1.3, охарактеризуем электромагнитное поле в каждом слое структуры амплитудами — и р, пропорциональными электрическому и магнитному полю, соответственно [264]:

d—

= р-а—,

^ (5.1.13)

dр

-ар,

dx

<

где у = Е , (р = юцИ2, Еу и И2 - компоненты оптического поля ТЕ-моды, Л - магнитная проницаемость (полагается в полупроводниках равной едини-

це), а = Jn2k° — p2tg(.xJn2k2 — p2 ), k0 = — - волновое число в вакууме.

v ' с

Величины у и р описывают поперечное распределение поля в каждом отдельном слое с показателем преломления n. Общее решение волнового уравнения для такого слоя записывается следующим образом:

у = AcosUn2kt —p2 )+ Bsm^n2k2 ),

v 7 4n2k2o —Р2 (5.1.14)

С

( = -(¡22 ,

cosU^/n k2 — p )

где A, B и С = B амплитуды падающей и отраженной волны на границе раздела слоев, yln°k° — p2 - поперечная постоянная распространения в соответствующих слоях (m- номер слоя), или в подложке (s), или покрытии (с).

Теперь определим постоянные интегрирования A, B,C. Для нахождении этих коэффициентов используем граничные условия и из выражения (5.1.14) имеем

Acos L^Rkf—p ) B sirkL^2ko

4n2k2 —p2

С 0

cJ^n2^ — p2

. (5.1.15)

= 0

Из (5.1.15) следует, что решение задачи в виде (5.1.14) существует, ес-

¡22 2

ли Аф0, СВ ф 0, д/и к0 -р ф 0. Поэтому, для нахождении СЗ имеем

^{ь^п2^ -Р2 ) = 0. Отсюда следует, что СЗ будут такими:

pm =Л\n2k2 — m = 0,1,2, •. (5.U6)

Обозначим Ьп = dm (п = 1,2, — М) . На границе следующих двух слоев значения полей примут вид

)

—1 = А1 соз^Ь¡^п2к0) - ^-5

зп

Ь1^п12к0 - р1

4п12к2 -р2

(5.1.17)

р1 =

В,

Г Ь^п/к2-Р1

соз

Из этих соотношений получаем

А1 =

—1

р1

соз (Ь^п2^ -

2и2 г>2) ф.2^2 п2

п2К -Р2

1^1д/

зт^^п^к 2 - р1),

(5.1.18)

В1 = р1 соз(/ч4п1к2 - р2, ).

Подставляя выражения (5.1.17) и (5.1.18) в (5.1.14), получим уравнение для полей —1 и р1 на границе слоёв 1 и 2 через значения — 0 и р 0 на границе полупространства (с) и первого слоя:

V 0Л р0

зт

0

-¡п]к,2 -р

соз(ь^пЩ - Р/

—1Л р1

Далее, записываем эти процедуры, с помощью которых осуществляется пересчет полей — т и рт с одной границы на другую, исходя из системы уравнений:

—т-1 \ррт-1 У

1

со)з ^тл^кд- рт

зт^т^2^2-рт

0

) 4п2тк0> -Рт

Я

т

соз (Ь

(ь^П^2 -Р2т )

т

\9т У

или

V т рт У

соз \Ь

{Ьт^[птк0 Ргп)

зт(ьт4

\п2тк0 - р2п , т\птк0 - Рт }

0

~\[птк0 Рт

соз {ьт4птк0> -Рт

—т-1 \рт-1 У

где т - номер слоя в структуре.

Таким образом, получаем амплитуды полей на границе последнего слоя с показателем преломления пт и внешнего полупространства (подложки (8)).

<

<

1

)

)

)

1

)

Из условия р < у 1 + е(Ь) в слоях оси и выражения (5.1.26) следует,

что СЗ р имеет положительные значения, которые соответствует полученному методом модулирующих функций значению. Следовательно, для любой ограниченной функции (р(х) при х е [-Ь, Ь] существует ограниченное нетривиальное решение уравнения (5.1.1), относящееся к слоистым средам. Поэтому можно утверждать, что