Моделирующие комплексы проектирования и управления системами индукционного нагрева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.10, доктор наук Чмиленко Федор Викторович

• Чмиленко Федор Викторович
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Чмиленко Федор Викторович

Список обозначений

Введение

1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИРУЮЩИХ КОМПЛЕКСОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА

1.1. Краткая история развития численного моделирования УИН

1.2. Физико-математическая структура численных моделей

1.3. Функциональная схема построения специализированных программ для задач ИН

1.4. Структура базы данных материалов

1.5. Основные направления развития моделирования УИН

1.6. Специализированный комплекс программ ШОНЕАТ

1.7. Выводы по главе

2. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛЕЙ УИН

2.1. Общие вопросы

2.2. Уравнения электромагнитного поля

2.2.1. Основные способы упрощения математических

моделей электромагнитного поля

2.2.2. Математические модели для задач ИН

2.3. Тепловая модель

2.4. Модели напряженно-деформированного состояния

2.4.1. Модель термоупругости

2.4.2. Модель термопластичности

2.5. Свойства материалов

2.5.1. Тензорные свойства

2.5.2. Нелинейные свойства материалов, зависящие от температуры

2.5.3. Нелинейные свойства магнитных материалов

2.5.4. Механические свойства для задач термоупругопластичности

2.6. Выводы по главе

3. ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ УИН

3.1. Общие вопросы

3.2. Принципы построения электротепловых моделей

3.3. Одномерные электротепловые модели для нагрева

цилиндров и тел плоской формы

3.4. Двумерные электротепловые модели в поперечном сечении

для индукторов с продольным магнитным полем

3.5. Электротепловые модели с импедансными граничными условиями

3.5.1. Двумерная электротепловая модель

индукционного нагрева цилиндрических тел Universal 2D

3.5.2. Квазитрехмерная электротепловая модель индукционного нагрева тел с прямоугольным сечением Universal 3D

3.5.3. Алгоритм связывания внешней и внутренней задачи

в моделях Universal 2D и Universal 3D

3.5.4. Основные недостатки комбинированных

моделей Universal 2D и Universal 3D

3.6. Электротепловая модель индукционного нагрева с учетом работы тиристорного преобразователя частоты с параллельным инвертором

3.7. Двумерная конечноэлементная электромагнитная модель относительно магнитного векторного потенциала

3.8. Трехмерная конечноэлементная электромагнитная модель относительно магнитного векторного потенциала

3.9. Упругопластическая модель

3.10. Выводы по главе

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ

ПЛОСКИХ ТЕЛ В МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

4.1. Общие вопросы

4.2. Моделирование индукционных нагревателей толстых слябов

в линиях непрерывной разливки-прокатки

4.2.1. Сравнение различных типов УИН для нагрева

толстых стальных слябов

4.2.2. Моделирование комплекса НРНП

4.2.3. Моделирование УИН в составе комплекса НРНП

4.2.4. Исследование продольной неравномерности температурных полей в УИН с возвратно-поступательным движением слябов

4.2.5. Перспективы применения УИН в линиях НРНП

4.3. Моделирование индукционных нагревателей тонких слябов

в линиях непрерывной разливки-прокатки

4.3.1. Исходные данные для моделирования

4.3.2. Моделирование остывания тонкого сляба

перед чистовой прокаткой

4.3.3. Три основные задачи для подогрева тонкого сляба

перед чистовой прокаткой

4.3.4. Анализ и выбор типа индуктора для подогрева

полосы подката

4.3.5. Исследование овальных индукторов для подогрева

тонких слябов

4.3.6. Исследование индукторов для подогрева

кромок тонкого сляба

4.4. Выводы по главе

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ ДЛЯ ТЕРМООБРАБОТКИ ЛЕНТЫ

5.1. Общие вопросы

5.2. Моделирование индукционных нагревателей

для термообработки ленты в продольном магнитном поле

5.3. Моделирование индукционного нагрева в линиях горячего цинкования стальной ленты

5.3.1. Описание технологической линии

5.3.2. Описание разработанных моделей

5.3.3. Принципы построения системы управления линии непрерывного цинкования с использованием УИН

5.4. Выводы по главе

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ ДЛИННОМЕРНЫХ ИЗДЕЛИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

6.1. Общие вопросы

6.2. Модульный принцип построения УИН

6.3. Моделирование переходных тепловых процессов

в модульной УИН с повышенной надежностью

6.4. Моделирование УИН в линии по производству проволоки

6.4.1. Двухзонная концепция УИН

для нагрева/подогрева прутков

6.5. Выводы по главе

7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА

ПРИ ТЕРМООБРАБОТКЕ ВАЛКОВ ПРОКАТНЫХ СТАНОВ

7.1. Индукционная закалка валков прокатных станов

7.2. Принципы проектирования индукторов

для закалки валков прокатных станов

7.3. Выбор частоты при закалке валков

7.4. Активное сопротивление витков индукторов

7.5. Исследования галетных индукторов для закалки

7.6. Внешнее магнитное поле и электромагнитные силы

7.7. Поличастотная закалка валков прокатных станов

7.8. Термонапряжения при закалке валка

7.9. Выводы по главе

Заключение

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1. Краткое описание комплекса программ INDHEAT

П.2. Некоторые из разработанных с участием автора УИН

П.3. Акты внедрения

П.4. Патенты на изобретения

П.5. Свидетельства о регистрации программ

Список обозначений

ИН - индукционный нагрев

КИН - кузнечный индукционный нагреватель

МИУ - метод интегральных уравнений

МКР - метод конечных разностей

МКЭ - метод конечных элементов

НДС - напряженно-деформированное состояние

НРНП - непрерывная разливка - непрерывная прокатка

ПК - персональный компьютер

ТПЧ - тиристорный преобразователь частоты

УИН - устройств индукционного нагрева

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирующие комплексы проектирования и управления системами индукционного нагрева»

1. ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень её разработанности. Опыт, накопленный со второй половины 30-х годов XX в., в областях металлообработки, таких как поверхностная закалка и сквозной нагрев металлов перед обработкой давлением, позволил уже в 50-е годы начать работы по крупномасштабному внедрению индукционного нагрева (ИН) в металлургическую промышленность и машиностроение. Тогда же или чуть позже появились первые книги по теории ИН металлов. И только с развитием вычислительной техники в середине 70-х годов появились первые статьи, посвящённые вопросам численного моделирования индукционных нагревателей. С тех пор самое большое распространение приобрели электротепловые модели, отражающие наиболее важные особенности ИН: взаимное влияние электромагнитных и температурных полей.

С развитием вычислительной техники менялись требования к программному обеспечению и принципы его разработки. Если в 70-е годы это были модели, которыми могли пользоваться только их разработчики, то уже в 80-е развитие персональных компьютеров привело к созданию моделей с «дружественным» интерфейсом, позволяющим пользователю, не знакомому с численными методами, только на основе физической постановки задачи вводить исходные данные и анализировать результаты расчетов. В 90-е годы происходил стремительный рост производительности компьютеров, созданных на платформе Intel, и широкое распространение системы Windows. Это позволило разрабатывать более сложные математические модели и повысить уровень информативности. Программы и программные комплексы стали неотъемлемым требованием при проектировании УИН. Появление 64-битных многопроцессорных персональных компьютеров в начале XXI в. характеризует очередной скачок в развитии вычислительной техники, снимая большое количество технических ограничений на разработку моделей. Исследователям стали доступны коммерческих пакеты общего назначения для расчета полевых задач, такие как ANSYS и т.п. К сожалению, появление коммерческих пакетов вызвало и негативную тенденцию - не выдержав конкуренции, начали закрываться многие перспективные разработки. Кроме того, ориентиро-

ванные на широкое применение в различных областях науки и техники коммерческие пакеты дают широкие возможности для исследовательской работы, но часто плохо подходят для проектирования УИН, не до конца учитывая особенности протекания технологического процесса. Таким образом, при проектировании УИН предпочтительно применять узкоспециализированные модели, которые отвечают всем современным необходимым требованиям к интерфейсу пользователя и адекватности полученных результатов, с минимальными затратами времени на освоение, постановку задачи и расчет.

Анализ международных тенденций применения ИН показывает, что постоянно расширяется область его использования, разрабатываются новые технологии с применением ИН, укрупняются мощности установок, расширяется диапазон используемых частот переменного тока. В то же время эти изменения значительно увеличивают роль численного моделирования при разработке новой техники и технологий. Уровень мощности установок ИН в металлургической промышленности доходит до нескольких десятков мегаватт. В таких установках ошибки в проектировании (выделяемое время на проектные работы имеет тенденцию сокращаться) приводят к чрезвычайно неприятным и слишком дорогостоящим последствиям. В результате появляется необходимость достаточно точного расчета не только электромагнитных и температурных полей, но и других сопутствующих явлений и процессов в системе, а также учета при моделировании влияния других агрегатов в технологических линиях. Большая конкуренция со стороны других технологий (газовые печи и т.д.) усиливает необходимость и значение оптимального проектирования, управления системами ИН, которые невозможно реализовать на современном уровне без компьютерного моделирования.

Применение математических моделей для моделирования УИН позволяет значительно развивать теорию индукционного нагрева. Этому способствует то, что благодаря численному моделированию появилась возможность исследовать не только отдельные аспекты проявления электромагнитных, тепловых и других эффектов в УИН, но и разрабатывать комплексные модели, учитывающие неразрывную связь разнообразных нелинейных сопряженных явлений и процессов.

Констатируя этот факт, школа индукционного нагрева СПбГЭТУ ЛЭТИ в начале XXI в. выдвинула тезис: «уровень развития моделирования индукционных нагревателей и технологических процессов с использованием индукционного нагрева определяет уровень развития теории индукционного нагрева».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка теоретических основ математического моделирования нелинейных сопряженных электромагнитных и температурных полей, напряженно-деформированного состояния при электромагнитной обработке металлов и их сплавов и исследования на базе разработанных программных комплексов технологических линий с применением ИН.

Для достижения указанной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Разработаны математические модели нелинейных сопряженных электромагнитных и тепловых полей, а также напряженно-деформированного состояния при электромагнитной обработке металлов и их сплавов;

2. Разработаны методы и алгоритмы программной реализации математических моделей технологических комплексов с применением индукционного нагрева;

3. Создан комплекс программ для исследования, проектирования и управления непрерывными процессами электромагнитной обработки стальных изделий с произвольной формой поперечного сечения;

4. Экспериментальная верификация разработанных моделей и программных средств;

5. Внедрение результатов в производство, исследовательскую работу и учебный процесс.

Научная новизна результатов исследования.

- Разработан комбинированный метод моделирования трехмерных электромагнитных и температурных полей в линиях непрерывной обработки металлов и их сплавов с произвольной формой поперечного сечения с учетом изменяющейся частоты источника питания;

- Разработаны математические модели нелинейных сопряженных электромагнитных и тепловых полей, а также напряженно-деформированного состояния при электромагнитной обработке металлов и их сплавов;

- Разработаны математические модели для анализа переходных процессов в линиях непрерывной обработки металлов и их сплавов с применением индукционного нагрева;

- Разработана методика проектирования и управления технологическими комплексами индукционного нагрева с использованием разработанных моделей;

- Разработан и теоретически обоснован способ индукционного нагрева длинномерных изделий с возвратно-поступательным движением заготовки.

Теоретическая значимость работы определяется созданием теоретической базы для исследований систем индукционного нагрева, встроенных в технологические комплексы термообработки, а также разработкой на этой базе математических моделей для проектирования, управления и оптимизации комплексами индукционного нагрева. Применение компьютерных моделей с расчетом электромагнитных, температурных полей и напряженно-деформируемого состояния позволило на строгой математической основе решить сложные задачи исследования, проектирования, управления и оптимизации индукционными системами, выявить основные факторы, которые влияют на качество нагрева и энергетические характеристики индукционных нагревателей в технологических комплексах термообработки.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

- Создан комплекс программ для исследования, проектирования и управления процессами электромагнитной обработки металлов и их сплавов с произвольной формой поперечного сечения, который апробирован и вошел в практику многих проектных организаций, получив ряд свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ;

- Создан комплекс программ для исследования переходных процессов в линиях непрерывной обработки металлов и их сплавов с применением индукционного нагрева, получивший ряд свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ;

- Разработана методика проектирования и управления технологическими линиями с применением индукционного нагрева, и на ее основе выработаны рекомендации по оптимальному проектированию установок индукционного нагрева в технологических комплексах термообработки;

- Разработан способ индукционного нагрева длинномерных изделий, подтвержденный патентом РФ №2333618;

- Разработаны новые конструкции индукторов для подогрева стального сляба, подтвержденные патентами РФ №2272367 и №2286394;

- Разработано устройство для поверхностной закалки кольца подшипников, подтвержденное патентом РФ №2477757;

- На основе проведенных исследований создана дисциплина «Численные методы в теории электромагнитной обработки материалов» для подготовки магистров по направлению 13.04.02 - «Электроэнергетика и электротехника» по программе «Электротехнологии».

Методология и методы исследования.

Исследования электромагнитных, температурных полей и напряженно -деформированного состояния, а также интегральных параметров систем индукционного нагрева проводилось методами математической физики и вычислительной математики. Разработанные математические модели основываются на численных методах конечных элементов, конечных разностей и интегральных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов, представленных в диссертационной работе, подтверждается сравнением полученных результатов с экспериментальными и опубликованными в научной печати, перекрестными расчетами с применением различных сертифицированных программ, а также внедрением в производство разработанных на их основе индукционных установок.

Научные положения, выносимые на защиту.

Научные результаты и выводы обоснованы теоретически и подтверждаются результатами исследований при помощи численного моделирования и практическим внедрением установок.

1. Теория моделирования нелинейных, сопряженных электромагнитных и температурных полей, напряженно-деформированного состояния при электромагнитной обработке металлов и их сплавов.

2. Метод моделирования трехмерных электромагнитных и температурных полей в линиях непрерывной обработки стальных изделий с произвольной формой поперечного сечения с учетом изменяющийся частоты источника питания.

3. Моделирование и исследование электромагнитных и температурных полей в технологических комплексах термообработки с применением индукционного нагрева.

4. Методика проектирования и управления технологическими комплексами индукционного нагрева с использованием разработанных моделей.

Внедрение результатов. Полученные в работе теоретические закономерности и практические результаты диссертационной работы применялись в рамках НИР межотраслевой лаборатории «Современные электротехнологии» (МОЛ СЭТ) СПбГЭТУ «ЛЭТИ»:

- При выполнении НИР по заданию Министерства по образованию 20042006 гг. «Разработка теоретических основ и математических моделей воздействия высокочастотных электромагнитных полей на сложные анизотропные структуры». Регистрационный номер НИР 1.9.04;

- При выполнении НИР по заданию Федерального агентства по образованию на 2006-2007 гг. «Разработка общей теории взаимодействия электромагнитного поля с веществом при различных агрегатных состояниях в диапазоне частот колебаний от десятков герц до десятков мегагерц» Регистрационный номер НИР 1.12.06;

- При выполнении НИР по заданию Федерального агентства по образованию на 2007-2008 гг. «Разработка обобщенной теории взаимодействия высокочастотного электромагнитного поля на вещество при условии высоких уровней передаваемой энергии и нестационарных процессах в веществе». Регистрационный номер НИР 1.6.07;

- При выполнении НИР в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по темам «Энергоэффективные инновационные технологии и оборудование прецизионного индукционного нагрева изделий из титановых и алюминиевых сплавов для аэрокосмической отрасли» (Государственный контракт №14.740.11.0951) и «Разработка теоретических основ устойчивости процессов бесконтактной передачи высокоинтенсивных потоков электрической энергии в вещество» (Государственный контракт №14.740.11.0824);

- При выполнении НИР по хозяйственному договору СЭТ-38 от 01.06.2016 -31.12.2016 «Разработка электротепловых моделей в среде проектирования и управления индукционной закалкой валков прокатных станов».

Созданное программное обеспечение применялось в процессе проектирования индукционного оборудования ООО «РТИН» совместно с ФГУП «ВНИИТВЧ» при внедрении следующих установок с участием автора:

- Установка для нагрева изделий из сплавов титана, внедрена на ОАО "Корпорация ВСМПО-АВИСМА" (г. В. Салда);

- Индукционная установка для нагрева прутков перед пластической обработкой, внедрена на предприятии ООО «ММК-Метиз» (г. Магнитогорск);

- Индукционная установка для нагрева стальной холоднокатаной ленты, внедрена на предприятии ООО «Строй-Профиль» (г. Орел).

Разработанное программное обеспечение для расчета и проектирования индукционных нагревателей используется или использовалось в проектно-конструкторских организациях и промышленных предприятиях: ФГУП ВНИИТВЧ, АО «ВНИИТВЧ», ООО «НПП Новтех-СПб», ЗАО РЭЛТЭК, ООО РТИН, ООО ИНТЕРМ.

Результаты работы используются в учебном процессе для подготовки магистров по направлению 13.04.02 - «Электроэнергетика и электротехника» по программе «Электротехнологии» в дисциплине «Численные методы в теории электромагнитной обработки материалов» (СПбГЭТУ «ЛЭТИ»).

Разработанное программное обеспечение для расчета и проектирования УИН используется или использовалось ведущими зарубежными компаниями: Ajax Tocco Magnethermic Corp., Inductotherm Corp., Inductoheat Corp., Radyne Corp., Estel и т.д.

Результаты работы были использованы при проектировании индукционной установки подогрева толстых стальных слябов для Geneva Steel (Provo, Utah, USA) мощностью 42 МВт и агрегата горячего цинкования производительностью 350000 тон/год на Hertland Steel (Terre Haute, Indiana, USA).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XIV International Conference on Computational Plasticity. Fundamentals and Applications COMPLAS 2017, 5-7 September 2017, Barcelona; 18th International Congress UIE, Hanover, 6-9 June, 2017; 2nd International Scientific Symposium. SPITSE, St.Petersburg, 2015; Proceedings of the 6th International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering COUPLED PROBLEMS 2015; 6th International Conference on Electromagnetic Processing of Materials (EPM 2009), Dresden (Germany), 19-23, октябрь, 2009; APIH-09 Актуальные проблемы индукционного нагрева, С.Петербург, Май, 2009; International Symposium Heating by Electromagnetic Sources (HES-07), Padua (Italy), June 19-20-21-22, 2007; Актуальные проблемы ресурсо- и энергосберегающих технологий, Екатеринбург, 2006; CEM 2006 - Sixth International Conference on Computation in Electromagnetics, Aachen (Germany), 4 - 6 April 2006; APIH-05 Actual problems of induction heating (research and applications), С.Петербург, Май, 2005; Международная техническая конференция "Технология, Оборудование, Автоматизация, Неразрушающий Контроль Процессов Нагрева и Упрочнения Деталей На Машиностроительных Предприятиях", Минск, 2005; Aims for future of engineering science 2004, proceedings, Paris; Международная научно-техническая конференция "Современные проблемы и достижения в области сварки, родственных технологий и оборудования", СПб, 26-27 мая 2004 г.; Политехнический симпозиум Молодые Ученые - Промышленности СевероЗападного Региона, СПб 2004 г.; International Semposium on Heating by Electromagnetic Sources, Padua (Italy), June 22-25, 2004; Материалы конференции "Мате-

риалы в автомобилестроении", Тольятти, 2003 г; Политехнический симпозиум Молодые Ученые - Промышленности Северо-Западного Региона, СПб 2003 г.; 6th international symposium on electric and magnetic fields (EMF 2003), Aachen (Germany), 6-9 October 2003; Международная научно-практическая конференция «Рациональное использование природного газа в металлургии», МИСиС, 2003; Международная научно-техническая конференция ЭЛТЕХ-2003. - С.-Петербург, Апрель, 2003г; 2-я Международная научно-практическая конференция "Автоматизированные печные агрегаты и энергосберегающие технологии в металлургии", Москва, МИСиС, 2002г.; Международная техническая конференция "Технология, Оборудование, Автоматизация, Неразрушающий Контроль Процессов Нагрева и Упрочнения Деталей На Машиностроительных Предприятиях", Минск, 2002; International Seminar Heating by Internal Sources, Padua (Italy), September, 2001; EL-TECH-01, С.-Петербург, Апрель, 2001; Proceedings of the 9th International IGTE Symposium on Numerical Field Calculation in Electrical Engineering, September 2000, Graz, Austria; Proceedings of 5th International Symposium on Electric and Magnetic fields (From Numerical Models to Industrial Applications), Ghent (Belgium), 17-19, May, 2000; Электротермия-2000, Технологический университет, июнь, Санкт-Петербург, 2000; EMP2000, Japan, april,2000; ВЭЛК, Москва, июнь, 1999; International Colloquium Modelling of Material Processing,Riga, May 28-29, 1999; 43rd International Scientific Colloquium Technical University of Ilmenau September 21-24, 1998; International Induction Heating Seminar, Padua, May 1998; Надежность механических систем, Самара, 1995.

Работа над диссертацией поддержана грантами правительства Санкт-Петербурга:

- «Теоретические и экспериментальные исследования систем индукционного нагрева заготовок для технологии твердожидкой формовки» (2003 г.);

- «Исследование технологии улучшения сварных швов трубопроводов атомных электростанций» (2004 г.)

и советом по грантам президента Российской Федерации:

- «Численное моделирование трехмерных сопряженных электромагнитных и термомеханических полей в нелинейных проводящих средах» (2005-2006 гг.).

Публикации по теме диссертации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 58 научных работах, среди которых: 16 статей - в изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 24 работ - в материалах и трудах международных и всероссийских научно -технических конференций, 4 патента на изобретение и 11 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ, также 4 монографии. Из перечисленных выше 4 статьи индексируется в базе данных SCOPUS.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав с выводами, заключения, списка литературы, включающего 159 наименований и 5 приложений. Работа изложена на 298 листах машинописного текста, содержит 134 рисунка и 14 таблиц.

Во введении кратко рассматриваются основные этапы в развитии численного моделирование установок индукционного нагрева, обосновывается актуальность исследований, формулируется цель проведения и задачи диссертационной работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, и объясняется структура диссертационной работы.

В первой главе показано, как менялась концепция моделирование УИН с развитием численных моделей и вычислительной техники. Рассматривается структура численных моделей с точки зрения вычислительной математики. Приведена функциональная схема построения современных специализированных программ для моделирования УИН. Особое внимание уделяется проблеме нежелательного ограничения потенциальной возможностей математической модели на этапе синтеза модели и ее реализации. Обозначены основные пути развития баз данных с физическими свойствами материалов. Сформулированы и обоснованы основные направления развития численного моделирования УИН. Дано краткое описание основных программ специализированного пакета INDHEAT для моделирования УИН.

Во второй главе рассмотрены основные физические явления и процессы различной природы, протекающие при ИН твердых тел, и их взаимосвязь.

Особое внимание уделено физико-математическим основам электромагнетизма, в особенности, путям упрощения математических моделей. Приведены основные формулировки математических моделей для задач с наведенными токами. Разобраны их преимущества и недостатки, при построении численных моделей УИН. Приведены способы связи полевых задач с внешними линейными цепями.

Рассмотрены физико-математические основы построения тепловых моделей. Приведены способы упрощенного учета потерь через футеровку, а также методика расчета угловых коэффициентов для решения задач с учетом вз а-имооблучения.

Рассмотрена модель упругости и показаны способы ее сопряжения с задачей теплопроводности и структурных превращений. Приведены основы теории пластического течения и базирующаяся на ней термоупругопластическая модель.

В дополнение к рассмотренным моделям физических явлений рассмотрены модели представления нелинейных свойств материала, характерные для задач ИН. Особое внимание уделено нелинейным свойствам ферромагнитных материалов.

В третьей главе рассмотрены принципы построения электротепловых моделей с учетом фазовых превращений и НДС. Приведены алгоритмы схем сопряжения нелинейных электромагнитной и тепловой задач, а также дан анализ их применения.

Приведены разработанные одномерные и двумерные электротепловые модели в поперечном сечении для нагрева цилиндров и тел плоской формы.

Приведены разработанные электротепловые модели с импедансными граничными условиями для индукционного нагрева цилиндрических тел и тел прямоугольного сечения в индукторах овальной формы. Разработан сопряженный с электротепловыми моделями алгоритм для учета работы тиристор-ного преобразователя частоты с параллельным инвертором во время процесса индукционного нагрева.

Приведена разработанная двумерная конечноэлементная электромагнитная модель относительно магнитного векторного потенциала. Особое внимание уделено сопряжению с внешними цепями. Также показан способ расчета коэффици-

ентов линейного уравнения для трехмерной конечноэлементной электромагнитной модели относительно магнитного векторного потенциала, построенной на основе симплекс-элементов.

Приведена упругопластическая модель на основе теории пластического течения с условием текучести Мизисса, на основе которой разработаны дополнительные программные модули для расчета напряжений и деформаций к электротепловым моделям.

В четвертой главе рассматривается моделирование индукционных нагревателей плоских тел в металлургическом производстве на основе разработанных автором моделей.

Приведено исследование проблемы подогрева толстых слябов перед прокаткой в линиях НРНП. На примере существующих УИН дана классификация и проведен сравнительный анализ основных типов индукционных нагревателей для подогрева толстых слябов. Представлены результаты моделирования температурных полей толстого сляба во всей линии НРНП, начиная от выхода кристаллизатора и заканчивая входом в прокатный стан.

Приведено исследование УИН с возвратно-поступательным движением толстого сляба. На основе результатов моделирования дана оценка неравномерности температурного поля по длине от количества возвратно-поступательных циклов и от точности выдержки шага каждого цикла.

Приведено исследование проблемы подогрева тонких слябов на участке от черновых клетей до входа в чистовые клети прокатного стана. Рассматриваются три основные задачи подогрева тонких слябов перед прокаткой, которые невозможно решить одним типом индукторов. Представлены результаты моделирования температурных полей тонкого сляба при подогреве в овальных индукторах для поднятия общего уровня температуры и для выравнивания температурной неравномерности по длине сляба.

Рассмотрены основные конструкции УИН для подогрева кромок тонких слябов. На основе исследования и анализа предложены две новые конструкции индукторов, на которые получено два патента РФ.

В пятой главе рассматривается моделирование индукционных нагревателей для термообработки ленты на основе разработанных автором моделей.

Приведено исследование нагрева стальной ленты в УИН с продольным магнитным полем. В связи с тем, что задача характеризуется как сильно нелинейная, расчеты проведены не по первой гармонике, а во временной области. Представленные результаты позволяют оценить влияние на КПД индуктора таких параметров, как толщина ленты, входная и выходная температура ленты, частота тока, особо отмечается влияние удельной мощности.

На основе численного моделирования подтверждено существование «особой точки» в линиях непрерывной термообработки ленты. В системе управления для того, чтобы оптимизировать тепловые переходные режимы в линии, вызванные сменой сортамента, и снизить брак, требуется поддержание температуры для всей номенклатуры ленты в «особой точке» на постоянном уровне.

Разработан алгоритм программы для расчета переходных процессов в линиях термообработки ленты, вызванных сменой сортамента.

Представлены результаты моделирования тепловых переходных процессов в линии и показаны способы уменьшения их влияния на качество конечного продукта.

В шестой главе рассматривается моделирование нагрева длинномерных изделий цилиндрической формы в кузнечном производстве на основе разработанных автором моделей.

Особое внимание уделено влиянию развития источников питания на куз-нечно-индукционные нагреватели. Показаны преимущества модульного принципа построения УИН.

Проведено исследование и представлены результаты моделирования температурных переходных процессов в модульной индукционной установке с повышенной надежностью.

На основе УИН для нагрева/подогрева прутков из широкого сортамента магнитных и немагнитных сплавов показаны и проанализированы разнообразные проблемы, стоящие на этапе разработки современных УИН для кузнечного про-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Чмиленко Федор Викторович, 2018 год

е - е

Рисунок 2.10. Кривая деформирования

На Рисунке 2.10 показана типичная кривая деформаций с характерными для пластичности пределами, где предел пропорциональности апц - максимальная величина напряжения, при котором выполняется ещё закон Гука; предел упругости ау - напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторого значения, характеризуемого определенным допуском, устанавливае-

мым техническими условиями (например, 0,001; 0,005; 0,03 %); предел текучести ат - для материалов, не имеющих площадку текучести, определяется условный предел, при котором остаточные деформации достигают величины 0,2 %; предел прочности ав - механическое напряжение, выше которого происходит разрушение материала.

В общем случае остаточная деформация зависит от температуры, напряжений и времени действия напряжений. Величина остаточной деформации, соответствующая условно времени «ноль», называется пластической деформацией ер, а изменение с течением времени остаточной деформации- деформацией ползучести

ес . Для каждого материала есть область напряжений и температур, ниже которых деформация ползучести почти не развивается независимо от времени действия

е ^ е р сост ~ с •

В теории термопластичности в отличие от теории термоупругости рассматриваются более сложные явления. Все термопластические свойства материалов охватить в рамках единой теории на данный момент - задача трудноосуществимая. Поэтому для решения технических задач целесообразно пользоваться частными вариантами, такими как деформационная теория пластичности [58], [59] или теория пластического течения [56].

Теория течения принадлежит к основным теориям пластичности, основу которой при условии текучести Мизеса составляют уравнения Прандтля-Рейса. Ее особенностью является установление связи между приращениями пластических деформаций и приращениями напряжений. Данная теория позволяет более полно отразить историю нагружения (по сравнению с деформационной теорией), что довольно важно в задачах термопластичности. Однако, как показывает работа [59] на базе деформационной теории, особенно для случаев приближенных к простому нагружению, могут быть получены вполне удовлетворительные результаты для задач ИН. Кроме того, так как в этом случае оперируют полными значениями напряжений и деформаций, а не приращениями, то расчет НДС может быть вынесен из электротеплового блока и помещен в постпроцессор. Тогда расчет может про-

водиться в режиме "по требованию" с достаточной точностью для предварительной оценки результатов.

Теория пластического неизотермического течения с изотропным упрочнением основывается на следующих основных положениях [56], [60].

1. Приращение полной деформации представляется в виде суммы

d8ij = d8(¡j + d8jp + Ъijd8t.

Приращение упругой деформации и приращение напряжений связано соотношениями упругости

а

Рисунок 2.11. Кривые деформирования при одноосном растяжении с постоянной температурой

dаjj = + Ьу .

Компоненты вектора приращения температурных деформаций равны

Му = .

Предполагается также, что изменение объема мало и является упругой деформацией, следовательно,

I еР = 0.

2. Приращение пластической деформации пропорционально составляющим девиатора напряжений и рассчитывается следующим образом:

(2.39)

где с1к - скалярная величина, одинаковая для всех направлений. Компоненты девиатора напряжений можно представить через компоненты тензора напряжений следующим образом

dеР = siidk, и и

= ач- % ао; ао = (а х + а у + а z)/3.

Из соотношения (2.39) вытекает, что в общем случае интенсивность приращений пластической деформации не равна приращению интенсивности пластиче-

ской деформации. Равенство возможно только для простого нагружения, когда соотношения между приращениями деформаций в разных направлениях остаются неизменными во время всего процесса деформаций. В таком случае теория пластического течения совпадает с деформационной теорией.

3. Накопленная интенсивность пластических деформаций ер для любых

напряженных состояний при активном нагружении и постоянной температуре определяется одной и той же функцией текучести, зависящей от интенсивности напряжений о,- и температуры

о,, е Р,Т ) = 0.

/ (о/,ер,Т ) =

Функция текучести характеризует переход материала из упругого состояния в пластическое. При значении / < 0 материал деформируется по упругому закону, при / = 0 наступает состояние текучести, а значение / > 0 считается недопустимым.

Таким образом, данная функция текучести совпадает с уравнениями обычных кривых одноосного растяжения (Рисунок 2.11), что позволяет использовать эти кривые для построения модели. Сами кривые при постоянной температуре

будут совпадать с функцией о, = оТ (ер, Т), произведенной от /.

4. При меняющейся температуре скалярная величина дХ зависит от интенсивности напряжений о- и температуры и может быть представлена в виде:

дХ = (о,,Т)до, + ^ (о,,Т)дТ. (2.40)

Из уравнений (2.39) и (2.40) вытекает основное уравнение теории неизотермического пластического течения:

дер = (о/, Т) + Р1 (о-, Т) дТ] .

Применяя его, согласно работе [31], для случая одноосного напряжения и обобщая для сложных напряженных состояний, а также учитывая, что в большинстве инженерных задач можно считать, что при активном нагружении пластиче-

ская деформация не зависит от последовательности изменений напряжений и температуры, получим:

^(«ъТИяЪт ^ -1 , Р1 (а,,т) = -

'1 1л

2о7-

V ^ Е

ъ

2о7-

^ -11

V ^ Е У

дot

дТ'

где Ek - касательный модуль, который определяется по обычным кривым одноосного растяжения дат/ д е.

Таким образом, основное уравнение теории течения принимает вид:

dе Р =:Д

дat ^

у 2о,-

_ 1 1

Обычно для решения упругопластических задач применяются итерационные методы [56], [57], в которых путем последовательных приближений на каждом шаге по времени удовлетворяется условие состояния текучести (f = 0) для зон с пластическими деформациями.

2.5. Свойства материалов

В дополнение к рассмотренным моделям следует привести математическое описание макроскопических свойств среды. В зависимости от используемых материалов величины, характеризующие их физические свойства: удельная проводимость, магнитная проницаемость, теплопроводность, коэффициент линейного расширения, модуль упругости, коэффициент Пуассона и т.п. - могут быть либо скалярами, для случая изотропных материалов, либо тензорами, для случая анизотропных материалов. Кроме того, свойства материалов могут быть нелинейными и зависеть от температуры или, как в случае магнитной проницаемости, также зависеть от величины магнитного поля.

2.5.1. Тензорные свойства

Соотношение между индукцией и напряженностью магнитного поля с использованием тензорной записи имеет следующий вид:

В = Н н, (2.41)

где ||ц|| - тензор магнитной проницаемости, который можно представить в следующем виде

М XX 0 0

= М0 0 М уу 0

0 0 М zz _

Тогда выражение (2.41) будет соответствовать следующей записи:

Вх = М- ххНх, Ву = М-ууНу, Bz = М zzHz.

В приведенном примере тензор имеет ненулевые члены только на диагонали, что соответствует ортотропному материалу. В более общем случае, когда Вх зависит от всех компонент вектора Н, тензор уже не будет диагональным. Все вышесказанное также относиться и ко всем другим анизотропным свойствам.

2.5.2. Нелинейные свойства материалов, зависящие от температуры

При решении электротепловых и механических задач требуется учитывать нелинейность, вызванную зависимостью макроскопических свойств среды (теплопроводность, плотность, теплоемкость, удельная проводимость, механические свойства и т.п.) от температуры. Для задач ИН, как правило, достаточно использовать модели с изотропной нелинейностью. Однако в некоторых случаях решение может быть получено с учетом тензорной нелинейности. Нестационарное уравнение теплопроводности (2.36) тогда примет следующий вид:

г(Т) С (Т )§=У-(||ЧГ )||УГ)+д.

Законы изменения физических величин, описывающих зависимость свойств среды (а, X, у, С и т.п.) от температуры для большого количества материалов плохо известны. Эта проблема рассматривалась в первой главе. Для вычислений их лучше задавать табличным способом, нежели разнообразными полиномами. Во время расчетов интерполировать значения физических свойств можно с помощью сплайнов Акимы, наиболее устойчивых к выбросам, в отличие от простых кубических сплайнов. На Рисунке 2.12 приведены зависимости тепло-электрофизических свойств стали марки 40 от температуры [23]. Часто вместо

СУ, Дж ь, Г Вт р • ю4 Ом •см - 1,2

см3 • К 12 см • К - 0,6

10 - 0,5 - 1,0

8 - 0,4 - 0,8

6 - 0,3 - 0,6

4 - 0,2 - 0,4

2 " 0,1 " 0,2

150 100

0 200 400 600 800 1000 1200 г, °С

Рисунок 2.12. Теплофизические свойства стали марки 40 двух свойств - удельной теплоемкости и плотности - используют их произведение - удельную объемную теплоемкость Су.

2.5.3. Нелинейные свойства магнитных материалов

Для ферромагнитных тел характерна нелинейность, выраженная кривой В(Н). В 250 этом случае магнитная проницаемость не 200 является константой, а зависит от поля Н (Рисунок 2.13) [61]. Для ферромагнитных 50 -анизотропных материалов иногда задаются

0 250 500 750 Н, А/см две (для трехмерного случая три) В(Н) Рисунок 2.13. Усредненные магнитные

свойства конструкционной стали

кривые в виде диагонального тензора.

В задачах ИН, как правило, не применяются ферромагнитная тензорная нелинейность [38, 43, 62, 63], поэтому вполне достаточно использовать следующую изотропную нелинейную формулировку:

В = ц(Я)Н.

При расчете квазистационарных полей в ферромагнитных телах правомерно понятие комплексной относительной магнитной проницаемости, которая позволя-

В синусоидальное Н синусоидальное

Рисунок 2.14. Принцип расчета эффективной кривой В(Н)

ет в некоторой степени учесть потери на гистерезис [43, 65]. Однако для проблем ИН потери на гистерезис в нагреваемых телах не являются значимыми, а в магни-топроводах их можно вычислить с достаточной точностью аналитическими методами на основе полученного численного решения [42, 65].

Зависимости В(Н) лучше задавать табличным способом, а перед моделированием в комплексной области рассчитывать эквивалентную кривую В(Н), позволяющую учесть нелинейные свойства материала и повысить точность при расчете физических величин, связанных с энергией поля (электромагнитные силы, индуктивность и т.д.) [66]. Для построения эквивалентной кривой В(Н), в случае синусоидального напряжения (В синусоидальное) требуется найти эквивалентное значение Нэкв, а в случае синусоидального тока (Н синусоидальное) требуется найти эквивалентное значение Вэкв (Рисунок 2.14). Расчет основывается на балансе ко-энергии для реальной кривой В(Н) и для прямолинейной аппроксимации при расчете в комплексной области.

ГН (т) Л

„ т/4

к о»'=41

0

BdH

Н (0)

Ви Ни

Существуют различные модели для получения эквивалентной кривой В(Н). К примеру, в работе [67] приводится модель, рассчитывающая постоянное значение уэкв основанное на действующем значении V на полупериоде:

V

экв

( Т/2

I I V2(Ол

V 0 У

На рисунке 2.15 приведены эквивалентные кривые, рассчитанные разными способами. Для электромагнитных формулировок, основанных на магнитном векторном потенциале, энергетический подход [66] коррекции кривых В(Н) с точки зрения точности дает наилучшие результаты.

В, Тл 3

2,5

1,5

0,5

0

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 Н, Ам/м

Рисунок 2.15. Эквивалентные кривые: 1 - синусоидальное поле Н, 2 - эквивалентное V, 3 - синусоидальное поле В, 4 — оригинальная кривая

Зависимость магнитной проницаемости от температуры можно аппроксимировать одним из следующих выражений [11], [68]:

ц( н Т ) = 1 + (ц( н)-1)

ц( н Т ) = 1 + (ц( н)-1)

1 - ехр

Г \п Т_

1Тк У

гт - ТкЛ

V

с

УJ

п = 2,3,4.

с = 250,180,150,

(2.42)

2

1

1

где Т\ - температура точки магнитных превращений, п и с - коэффициенты, задающие степень кривизны ниспадающей кривой.

В научно-педагогической школе СПбГЭТУ «ЛЭТИ» «Высокочастотная электротермия» предпочтение отдается первой формуле, притом, если в середине 90-х годов использовали коэффициент п = 2, то в работе [69] показано, что наиболее целесообразно использовать коэффициент п = 4. Значения коэффициента с для второй формулы (применяется в пакете Flux2D и 3D) подобраны так, чтобы полученные значения наилучшим образом соответствовали значениям первой формулы.

Предложенное в работе [70] значение коэффициента п = 25 выглядит необоснованным с точки зрения фундаментальной физики. На рисунке 2.16 в нормированном виде приведены кривая для чистых металлов: железа, никеля и кобальта [71, 72], а также кривые, рассчитанные по формуле с разными коэффициентами. Кривые для ферромагнитных металлов, полученные на основе экспериментов и на основе законов квантовой механики, практически полностью совпадают. Наиболее близкое к ним значение, расчетные кривые принимают при значении п = 4.

2.5.4. Механические свойства для задач термоупругопластичности

В отличие от классических задач на прочность главная особенность задач термоупругопластичности для проблем ИН заключается в относительно большой температуре нагрева (до 1300оС при нагреве под ковку углеродистых сталей). Поэтому главной проблемой является недостаточное количество информации о таких свойствах как модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести, предел прочности, коэффициент линейного расширения для высоких

Рисунок 2.16. Кривые зависимости магнитных свойств от температуры: 1 - п=2, 2 - п=4, 3 - п=25, 4 - экспериментальная кривая для Бе, М и Со

температур. В связи с этим имеет От/о^ смысл сгруппировать стали по принципу близости механических свойств и произвести групповую полиноминальную аппроксимацию фрагменти-рованных данных. Пример такой обработки на основе данных справочника [73] приведен для предела текучести углеродистых сталей на Рисунке 2.17. Для аппроксимации использовался полином 5 степени:

у = 4е-15 • х5 - 1е-11 ■ х4 + 2е-08 • х3 - 9е-06 • х2 + 0,0007 • х + 0,9959.

Обработаны были данные для углеродистых сталей следующих марок: 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60.

2.6. Выводы по главе

1. В общем случае физико-математическое описание УИН представляет собой сопряженные нелинейные системы уравнений. Несмотря на развитие вычислительной техники, невозможно без существенных упрощений для большого количества задач ИН получить приемлемые результаты за приемлемое время. Таким образом, актуальным является постоянный поиск новых моделей, новых методов и путей упрощения.

2. Рассмотрены физико-математические основы электромагнитных явлений, протекающих при ИН. Показаны основные пути математических упрощений с их достоинствами и недостатками. Приведены основные модели, вытекающие из дифференциальной формулировки уравнений Максвелла. Уделено внимание согласованию полевых задач с внешними линейными цепями, расчету электромагнитных сил и комбинированному построению дифференциальных моделей.

3. Рассмотрена модель нестационарной теплопроводности с упрощенной возможностью расчета потерь на излучение и конвекцию. Показаны физические

0 200 400 600 800 1000 1200 г, °С

Рисунок 2.17. Аппроксимация зависимости

предела текучести от температуры для углеродистых сталей полиномом 5 степени

основы сопряжения задачи теплопроводности с задачей взаимооблучения нескольких тел.

4. Рассмотрена модель упругости. Показаны физико-математические пути ее сопряжения с задачей теплопроводности и структурных превращений. Рассмотрена модель термоупругопластичности на основе теории пластического течения.

5. В дополнение к рассмотренным моделям электромагнетизма, теплопроводности и упругопластичности рассмотрены модели представления нелинейных свойств материала, характерные для задач ИН. Особое внимание уделено нелинейным свойствам ферромагнитных материалов.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ УИН

3.1. Общие вопросы

В любом технологическом процессе ИН главная роль отведена электромагнитным и тепловым явлениям. Поэтому в первую очередь создаются электротепловые модели, которые основаны на численном решении связанных уравнений электромагнетизма и теплопроводности. Такие модели описывают нестационарные процессы УИН, которые учитывают взаимное влияние электромагнитного и температурного полей в течение нагрева и дают достаточно полную характеристику для индукционного нагревателя с точки зрения энергопотребления от внешнего источника питания и выделения энергии в загрузке. Также они позволяют рассчитывать температурные поля в системе на всех этапах технологического процесса.

По мере развития вычислительной техники модели претерпевали усложнение: для улучшения расчета электротепловых явлений, учета новых физических явлений и учета особенностей технологических линий. Однако, несмотря на это, основным в модели ИН остается модуль электротепловой задачи. Это объясняется тем, что для моделирования полей в УИН, как правило, требуется хорошее связывание нелинейных электромагнитной и тепловой задач, а все остальные явления учитываются исходя из решения тепловой задачи.

3.2. Принципы построения электротепловых моделей

Алгоритм для блока расчета электротепловой задачи с учетом фазовых превращений и НДС, реализующий типичную модель ИН с учетом нелинейных свойств материалов, показан на Рисунке 3.1 и состоит в следующем [22]:

1. Задается начальная температура, а также исходные данные для решения задач структурных превращений и НДС;

2. Исходя из метода расчета и дискретизации системы, определяются необходимые значения удельного сопротивления материала для решения электромагнитной задачи на основе текущего температурного распределения. В случае ферромагнитных материалов находится магнитная проницаемость или обратная ей

величина на основе зависимости кривой В от Н от распределения электромагнитного поля и температуры;

3. На основе одного из методов математической физики формируется линейное матричное уравнение и производится расчет электромагнитного поля;

4. На основе полученного распределения электромагнитного поля вычисляются источники теплоты для последующего решения тепловой задачи;

5. Исходя из метода расчета и дискретизации системы, определяются необходимые значения свойств материалов для решения тепловой задачи: теплопроводность, теплоемкость и плотность, а также, возможно, коэффициент черноты и коэффициент теплоотдачи для некоторых поверхностей на основе текущего температурного распределения;

6. На основе одного из методов математической физики формируется линейное матричное уравнение и производится расчет температурного поля;

7. Оценивается точность решения на заданном шаге по времени. Для этого проверяется сходимость решения для электромагнитной и тепловой задач. Если сходимость не достигнута, то необходимо перейти к п. 2 и применить температурное поле, полученное в п. 6, для расчета свойств материалов;

Рисунок 3.1. Алгоритм решения электротепловой задачи с учетом структурных превращений и НДС

8. На основе найденного в п. 6 температурного поля производится расчет фазовых превращений и других сопутствующих данных (размер зерна стали) на последнем шаге по времени;

9. Исходя из метода расчета и дискретизации системы, на основе полученного в п. 6 температурного распределения определяются необходимые значения свойств материалов для решения упругой задачи деформаций и напряжений: модуль Юнга, коэффициент Пуассона, коэффициент линейного расширения и для проверки обоснованности решения также еще предел текучести. В случае решения упругопластической задачи требуется также найти коэффициент упрочнения и для проверки на возможность разрушения предел прочности.

10. На основе одного из методов математической физики (как правило - МКЭ) формируется линейное матричное уравнение и производится расчет задачи упругости. В случае упругопластической задачи для ее решения можно воспользоваться одним из итерационных методов;

11. Если достигнуто окончание процесса моделирования, то следует завершить расчет, сохранить все нужные данные для постпроцессора и выйти из алгоритма.

12. Если окончание расчета не достигнуто, то необходимо изменить текущее время расчета на величину шага по времени и принять рассчитанную температуру в п. 6 за исходную и перейти к началу итерационного цикла алгоритма в п. 2.

Алгоритм, представленный на Рисунке 3.1, реализует, так называемое, «слабое» связывание нелинейных электромагнитной и тепловой задач. Под этим понятием подразумевается то, что решения для электромагнетизма и теплопроводности производятся раздельно, и сопряженные задачи связанны только в итерационном цикле Рисунок 3.2. Алгоритм «слабого»

_ г„.п связывания нелинейной

(Рисунок 3.2) 1741.

4 -3 электротепловои задачи

При решении сопряженных задач существует также понятие «сильное» связывание (прямое связывание), которое подразумевает подход в решении, когда две или более задач можно объединить в одном матричном уравнении. К сожалению, объединение электромагнитной задачи с наведенными токами с тепловой задачей через «сильное» связывание [75] приводит к значительному увеличению требований к вычислительным ресурсам, и такие алгоритмы не нашли применения в практическом использовании.

Похожее на «сильное» связывание решение одномерной задачи представлено в работе [11], где решение объединялось в одну матрицу, после чего применялся метод матричной прогонки. Однако так как источники теплоты в этом случае берутся с предыдущей итерации, то фактически это реализация «слабого» связывания с запаздыванием источников теплоты на одну итерацию алгоритма, и, следовательно, объединение в одно матричное уравнение не имеет смысла.

На практике часто применяется другой вариант решения сопряженной электротепловой задачи, которое можно назвать «ультра слабое» связывание (Рисунок 3.3). Принципиальное отличие в этом алгоритме от «слабого» связывания заключается в том, что решение нелинейной тепловой задачи на текущем шаге по времени не воздействует на нелинейную электромагнитную задачу. Другими словами, влияние тепловой задачи на электромагнитную запаздывает на одну итерацию по времени. Это приводит к тому, что для получения одинаковой точности расчета при решении сильно нелинейной задачи для алгоритма «ультра слабого» связывания следует брать значения шага по вре-

Рисунок 3.3. Алгоритм «ультра слабого» связывания нелинейной электротепловой задачи

мени меньше, чем у алгоритма «слабого» связывания. Таким образом, данный алгоритм оказывается более дорогостоящим и применяется вынужденно в коммерческих пакетах общего назначения, так как он более удобен и подходит по структуре к алгоритмам данных пакетов для связывания различных физических явлений.

Следует обратить внимание на отличия в обозначениях на блок-схемах этих двух алгоритмов (Рисунки 3.2. и 3.3.), для «слабого» связывания используется понятие «проверка сходимости», а для «ультра слабого» связывания - «проверка точности». Под проверкой сходимости подразумевается оценка разности между решениями на последней и предпоследней итерации алгоритма для электромагнитной и для тепловой задачи. А под проверкой точности подразумевается проверка решения одной из нелинейных задач, как правило, через контроль невязки, так как алгоритм хорошо приспособлен к методу решения нелинейных систем уравнений Ньютона-Рафсона [76].

Оба алгоритма (Рисунки 3.2 и 3.3) следует упростить для моделирования систем без ферромагнитных тел. В алгоритме «ультра слабого» связывания цикл для электромагнитной задачи будет не востребован - свойства материалов будут постоянными, так как не зависят от электромагнитного решения, а температурное поле берется постоянным с предыдущего шага по времени. Для алгоритма «слабого» связывания, если есть основания считать, что изменение температуры не сильно влияет на электромагнитную задачу, можно обратную связь после расчета точности привести к началу тепловой задачи. Таким образом, для немагнитных систем оба алгоритма примут одинаковый вид. Желательно, чтобы программная реализация алгоритма «слабого» связывания делала это в автоматическом режиме, когда вся ферромагнитная загрузка будет нагрета выше температуры Кюри. Кроме всего прочего, основываясь на рекомендациях [11], можно для расчета УИН при нагреве немагнитных тел, таких как алюминий, выполнять расчет одной электромагнитной задачи через несколько шагов по времени, что не приведет к значительной потере точности.

Так как совместное решение сопряженных нелинейных задач не до конца математически обосновано, и есть теоретическая вероятность расходимости алгоритма «слабого» связывания (в практической работе автора такие случаи не встречались), то для разработки надежной схемы решения можно объединить эти два алгоритма (Рисунок 3.4). Как показывает опыт, при большей затрате времени на расчет такая схема не приводит к значительному улучшению точности в сравнении с алгоритмом «слабого» связывания. Объяснить это просто: итерации при решении несвязанных нелинейных задач требуют дополнительного времени, а точность при решении несвязанных нелинейных задач не всегда будет способствовать сходимости сопряженного нелинейного процесса. Поэтому возможно имеет смысл ограничивать количество итераций для каждой несвязанной нелинейной задачи или лучше сделать этот параметр модели адаптивным в зависимости от локальной невязки и общей сходимости решения. В случае, когда количество итераций несвязанных задач ограничено единицей, то алгоритм преобразуется к схеме «слабого» связывания.

Рассмотренную схему «слабого» связывания (Рисунок 3.2) можно применить и для случая, когда электромагнитная задача решается во временной области. Скорее всего это самый лучший вариант по соотношению «точность - вычислительные затраты», так как позволяет увеличить шаг по времени больше, чем другие схемы связывания. В коммерческих пакетах общего назначения применяется схема «ультра сла-

Рисунок 3.4. Алгоритм «слабого» связывания нелинейной электротепловой задачи с дополнительным улучшением сходимости

бого» связывания. Так как электромагнитная задача во временной области решается по более сложному алгоритму (решение параболического уравнения для некоторого количества периодов), блок-схема в этом случае претерпевает изменения: следует отказаться от проверки на точность и от нелинейного цикла для электромагнитной задачи.

3.3. Одномерные электротепловые модели для нагрева цилиндров и тел плоской формы

Пространственно одномерные модели расчета электромагнитных и температурных полей получили большое распространение с середины 70-х гг. XX в. за счет простоты реализации [6]. Росту популярности одномерных моделей способствовала их доступность, достаточная точность, быстрота расчета и хорошая информативность в начальной стадии исследования или проектирования УИН [11]. Безусловно, степень использования этих моделей значительно снизилась за последние десятилетия, однако не настолько, чтобы полностью потерять свою актуальность. Одномерные модели в настоящее время до сих пор используются в начальной стадии проектирования, незаменимы для объяснения многих положений теории ИН нагрева в учебном процессе, получили новое применение на производстве в качестве системы предсказаний для оператора, а также могут служить модулями при построении более сложных моделей [20], [22], [77].

Первоначально рассматриваемая модель была сформулирована для длинных индукционных нагревателей с продольным магнитным полем, когда регулярная зона магнитного поля значительно больше зоны краевых эффектов. В этом случае в поперечном сечении индуктора для внутренней загрузки можно корректно сформулировать задачу относительно напряженности магнитного поля (2.34 и 2.35). Так как в этом сечении напряженность магнитного поля имеет одну составляющую, то проблема векторная анализа преобразуется к скалярной задаче. В качестве граничных условий на поверхности загрузки могут выступать граничные условия первого рода, которые легко можно связать с током индуктора по закону полного тока (2.11). Для получения интегральных параметров индуктора данные модели очень эффективно связать с методом общего потока [11].

¿Üpxkf)=мщой; (31) í области

1 д ¡pxkдИ)_ мм дИ . (32)

XkдХГ ~дх)_мм0"дг' (3'2)

плопроводности для обеих моделей

Ycf"xk|KfX)_ (3-3)

Систему дифференциальных уравнений для сопряженной электротепловой задачи в одномерной постановке для нагрева в продольном магнитном поле длинного цилиндра или бесконечно широкой пластины можно представить в следующем виде:

модель 1 - для комплексной области

,pj

модель 2 - для временной области

¿дИ 1РХ _

одномерное уравнение теплопроводности для обеих моделей

— ^ кдТ)

где к - показатель геометрии системы, к _ 0 - плоская, к _ 1 - цилиндрическая; ю - круговая частота; q - удельная объемная мощность внутренних источников

теплоты; x - пространственная координата, x е[хп, хв]; хп - координата внешней поверхности загрузки; xв - координата центра или внутренней поверхности загрузки.

Уравнение (3.1) применяют при предположении синусоидальности магнитного поля внутри загрузки (синусоидальный источник питания и постоянная магнитная проницаемость материала). В случае моделирования ферромагнитной заготовки в диапазоне температур ниже точки Кюри ошибка может составлять до 20% по времени нагрева, так как рассчитанные источники теплоты будут ниже действительных [15], [78]. При моделировании сквозного нагрева под ковку расчет в горячей зоне (после точки Кюри) будет нивелировать ошибку холодной зоны, и применение этой модели более обосновано. После того, как напряженность магнитного поля найдена, распределение источников теплоты можно вычислить дифференцированием по формуле:

q _р

Í • * л дИ дИ

дx дx у

Применение уравнения (3.2) может оказаться более эффективным для сильно нелинейных процессов, возникающих из-за несинусоидальности источника питания или при нагреве ферромагнитной стали до температуры точки Кюри. Для этого, как правило, электромагнитный расчет осуществляется в течение нескольких периодов до тех пор, пока выделяемая на периоде мощность не придет к какому-то установившемуся значению. После этого источники теплоты определяются интегрированием по распределению поля на последнем рассчитанном периоде:

где Т - период электромагнитной задачи.

Граничные условия определяются условиями нагрева. Для УИН характерны три основных режима [11]:

1) режим тока (задается ток индуктора);

2) режим напряжения (задается напряжение на индукторе);

3) режим мощности (может задаваться удельная мощность на поверхности заготовки, активная мощность, которая выделяется в индукторе или активная мощность, которая выделяется в загрузке).

Для модели 1 граничные условия для уравнения электромагнитного поля имеют следующий вид:

xim - внутреннее активное и реактивное сопротивления индуктора единичной длины; - реактивное сопротивление зазора между загрузкой и индуктором единичной длины; й - действующее витковое напряжение индуктора, П - периметр детали.

H (хп) = Hп = ImW/a - для режима тока;

д x

где Iи - ток индуктора; а - длина индуктора; W - число витков индуктора; /! и

Если принять, что напряженность магнитного поля на поверхности загрузки изменяется по синусоидальному закону, тогда для модели 2 граничные условия примут следующий вид:

H (хп ) = Hm sin (rat) - для режима тока;

í \ (xim + xs ) dH (хп) k д

riH(хп) + -----—- + П р—H(хп) = um sin(rat) - для режима напряжения,

ю dt dx

где ю - круговая частота; Hm - амплитуда напряженности электромагнитного поля на поверхности; um - амплитуда виткового напряжение индуктора. Режим тока

сходиться достаточно быстро: как правило, достаточно бывает трех периодов. Для режима напряжения сходимость на порядок хуже, иногда требуется рассчитывать нелинейный процесс в течение нескольких десятков периодов. Следует отметить, что на количество требуемых для сходимости периодов влияет дискретизация самого периода.

Режим мощности для двух моделей реализуется итерационным способом через подбор граничных условий режима тока или режима напряжения до обеспечения требуемых значений удельной или полной мощности. На каждой итерации следует проинтегрировать источники теплоты, рассчитать мощность и, если она не удовлетворяет заданной, то скорректировать граничные условия напряжения или тока, используя метод секущих для решения одного нелинейного уравнения.

При моделировании ИН труб имеет смысл производить расчет только для самой стенки трубы. В таком случае требуется задать граничные условия на внутренней поверхности, которые можно вывести из уравнений Максвелла. Запишем закон Фарадея следующим образом:

V х É = -jrnB = -/юццоН.

К полученному выражению применим формулу Стокса J V хÉdS = (Édl и получим

S l

(jj É dl = - jro^^o j H ds.

lS

Так как внутри полости трубы относительная магнитная проницаемость равна единице, а напряженность магнитного поля постоянна и равна Нв, то интегрируя предыдущее выражение, получаем

2тсЛв Ё = -/ю|тсЛ2Яв.

' дИ

Учитывая, что Ё = —р^2-, и сократив одинаковые величины, для модели 1 получаем

дR

Ц = ^^вИв/2 р.

Для модели 2 соответственно:

юЪЧт/2 Р.

дИ _.. R дИв

Обобщим полученные выражения на случай плоского тела с отверстием в середине:

Для сплошного цилиндра или половины пластины (хв = 0) граничные условия в центре примут следующий вид:

|tf W _ 0; |H(.B) _ 0.

Краевые условия для нестационарного уравнения теплопроводности (3.3) можно записать следующим образом:

T(x,0) _ ад; -х дт (Хп, t) _ Apo; X дт (Хв, t) _ Ap,

где ?н(х) - начальное распределение температуры в нулевой момент времени; Apo и Ap¡ - удельная мощность тепловых потерь с наружной поверхности и с внутренней (для случая полого цилиндра).

При свободном теплообмене можно учитывать тепловые потери излучением и конвекцией следующим образом:

Apo _ 8G(тп4 - T4) + а(Тп - Tc), (3.4)

где о - постоянная Стефана-Больцмана; е - коэффициент черноты; а - коэффициент теплообмена; Тп - температура поверхности заготовки; Тс - температура окружающей среды; здесь Тп и Тс заданы в кельвинах. Потери через футеровку

учитываются согласно п. 2.3.

Совместное решение электромагнитной и тепловой задачи для двух приведенных моделей лучше реализовать по схеме «слабого» связывания (Рисунок 3.2). По достижении горячего режима, если расчет шел во временной области, можно автоматически переходить в комплексную область.

При создании первых программ в 70-е годы для решения уравнения (3.1) комплексную величину Н предварительно представляли в виде Н = и + , где и и V - вещественная и мнимая составляющие напряженности магнитного поля соответственно [11]. В настоящее время с учетом развития вычислительной техники такие преобразования не требуются [20].

В большинстве случаев реализации рассмотренных моделей [11], [15], [71] применяется МКР для решения электрической и тепловой задач. Это обусловлено тем, что МКР легче для понимания благодаря вполне очевидной интерпретации, а также тем, что МКЭ, если при решении используются элементы первого порядка, не имеет видимых преимуществ над МКР. Существует только небольшое отличие, если в решаемой задаче иметься граница двух сред, в работе [80] для МКР рекомендуется не использовать узлы сетки точно на границе материалов, что для МКЭ является естественным условием при генерации сетки.

Как показывает опыт расчетов, для уравнений второго порядка наилучшим соотношением точность/вычислительные затраты обладают элементы второго порядка. И если в МКЭ используются квадратичные элементы, что соответствует пятиточечному разностному шаблону МКР, преимущества МКЭ становятся более выраженными. Это проявляется и в постановке граничных условий, и в расчете источников теплоты. Если раньше для получения результантов элемента (градиенты искомой функции на элементе) применялись различные методы усреднения, то теперь разработаны локальные алгоритмы на основе метода наименьших квадратов [81], [82], которые позволяют повысить степень полинома результантов до

степени полинома искомой функции. Для конечных элементов второго порядка данным способом источники теплоты можно восстановить до точности второго порядка. Кроме всего прочего, для МКЭ в последнее время хорошо разработан математический аппарат адаптивного разбиения сетки, а в одномерном случае есть возможность легко совмещать р- и А-адаптацию [83].

Таким образом, на современном этапе развития методов вычислительной математики одномерные модели имеет смысл реализовывать и на основе МКЭ, применяя элементы второго и большего порядка.

Необходимый функционал для решения уравнения (3.1) методом МКЭ в варианте Рица имеет следующий вид:

х=|2

/ р

кдл у

' 2

+ у'юццоН

ау.

Минимизация данного функционала или применения МКЭ в варианте метода Галер-кина к уравнению (3.1) приведет к одинаковой системе матричных уравнений [50]:

[[ Б ] + ую[Г ][ц]][ Н ] = ^

где [Б] и [Т] - это стандартные матрицы метода конечных элементов [57], [32]; [ц] - диагональная матрица со значениями магнитной проницаемости. Результирующая матрица будет комплексной, структурно симметричной, но численно несимметричной из-за диагональной матрицы [ц].

Для нестационарного уравнения теплопроводности (3.3) можно воспользоваться общепринятыми способами решения на основе следующего функционала, применив разностную схему по времени Кранка-Николсона [84] или Галеркина [85]:

X = 2 I А(1Х)2 - 2хк (ч - уС§)Т ау + | АроТ+2а(Т-Т„)2йБ + | Ар?®.

у Бп Бв

Для параболического уравнения (3.2) следует взять первый член функционала от задачи нестационарной теплопроводности:

,2

Х=21

у

хкР (Н + 2хк К дНН) Н

ау.

2

При решении проблем с нелинейными свойствами для рассматриваемых моделей очень хорошо себя зарекомендовал метод простой итерации, реализуемый внутри схемы "слабого" связывания. Так как на каждом шаге метода простой итерации решается линеаризованная задача, то можно применять приведенные выше функционалы для линейных задач без добавочных преобразований. Также следует отметить, что при качественно выбранной сетке конечных элементов можно, пренебрегая некоторой ошибкой, произвести усреднение магнитной проницаемости на элементе, что ликвидирует численную несимметрию матрицы для электромагнитной задачи.

В качестве одного из преимуществ данных моделей следует отметить то, что, пренебрегая влиянием одной заготовки на другую, они позволяют без дополнительных вычислительных затрат учитывать одновременный нагрев нескольких заготовок, расположенных параллельно в индукторе. Для этого, связывая внутреннюю задачу с внешней методом общего потока, надо учесть уменьшение реактивного сопротивления зазора и суммировать активную и реактивную мощность внутри загрузки по всем заготовкам.

3.4. Двумерные электротепловые модели в поперечном сечении для индукторов с продольным магнитным полем

Двумерные электротепловые модели относительно напряженности электромагнитного поля стали логическим развитием одномерных моделей, рассмотренных в предыдущем параграфе. Они эффективно применяются для индукционных нагревателей с продольным магнитным полем при моделировании нагрева слябов, блюмсов, ленты, а также заготовок более сложного поперечного сечения. Для получения интегральных параметров индуктора данные модели необходимо связать с методом общего потока [11]. Пренебрегая влиянием одной заготовки на другую, как и в одномерном случае, двумерные модели легко реализуют моделирование нагрева нескольких заготовок расположенных параллельно в индукторе.

Систему дифференциальных уравнений для сопряженной электротепловой задачи в двумерной постановке для нагрева протяженных тел в продольном маг-

нитном поле можно представить в следующем виде [11], [20]:

модель 1 - для комплексной области

Эх1

(*£)

+

а

ду[Ру ду.

дН

= уюц^оН;

(3.5)

модель 2 - для временной области:

_д Эх1

(рхдх)

+

а

ду [Р у ду

дН

= №о

дН . дt '

(3.6)

двумерное уравнение теплопроводности для обеих моделей

' дt дх\ дх! ду

ду [ у ду )

+ q.

(3.7)

Также как и в одномерном случае (3.1) применение уравнения (3.5) математически обоснованно при предположении синусоидальности магнитного поля внут- ^ ри загрузки. В этом случае источники теплоты можно рассчитать следующим способом:

Я

' ГдН дН*Л

Р

х

Эх ЭХ

+ Р

Г дН дН *ЛЛ

у

ду ду

У)

Рисунок 3.5. Эскиз индукционной системы для нагрева тел прямоугольной формы: 1 - индуктор, 2 - загрузка, 3 - футеровка.

В случае, если задача является сильно нелинейной, имеет смысл применять решение во временной области (3.6). Тогда расчет осуществляется в течение нескольких периодов, пока выделяемая за период мощность, не достигнет какого-то установившегося значения. Источники теплоты получаются интегрированием по распределению поля на последнем рассчитанном периоде:

q

1т { =т^ Рх(

(дН )

2

дх) + Ру

ду

2 Л

Л.

0 V 4 """ V чг у )

В случае простого поперечного сечения заготовки, предполагая симметричное распределение электромагнитного и температурного полей по прямоугольному

сечению, имеет смысл рассматривать только четверть загрузки (Рисунок 3.5). Таким образом, значительно уменьшаются как объем вычислительных операций, так и общие требования к ресурсам ЭВМ. В этом случае при расчете в комплексной области краевые условия для режима тока записываются следующим образом:

дН

ду Н

_дН

у=0

дх

= 0

х=0

у=а/ 2 Н1х=Ь/ 2

Т (х У, 0) = Тн (х у) = 0

Н п (x, у)

дТ ду

-х дх

х

= дТ

у=0 дх х=Ь/2

дТ

ду

х=0

= АР0х (Т) = ЛР0у (Т)

у=а/ 2

Для расчета во временной области краевые условия записываются подобным способом.

Удельная мощность тепловых потерь при свободном теплообмене определяется по формуле (3.4) или по методике, описанной в п. 2.3. Совместное решение электромагнитной и тепловой задач реализуется по схеме «слабого» связывания (Рисунок. 3.2).

Моделирование режима напряжения или мощности можно свести к граничным условиям режима тока. В этом случае, как и для одномерных моделей, применяется метод секущих для подбора значения напряженности магнитного поля на поверхности так, чтобы удовлетворять заданному напряжению или мощности, выделяемой в УИН или только в заготовке.

Решение уравнений (3.5)-(3.7) можно осуществить как МКР, так и МКЭ. И в том, и в другом случае есть свои преимущества и недостатки.

Если применить МКР, то при решении уравнения (3.5) можно воспользоваться схемой переменных направлений. Однако для эллиптических уравнений этой схеме требуется определить итерационный параметр [11], который может существенно повлиять на сходимость процесса, особенно при решении нелиней-

ных задач. В качестве альтернативы схеме переменных направлений можно использовать пятиточечный шаблон, собрать пятидиагональную матрицу и применить для ее решения один из итерационных методов неполной факторизации [86]. Для решения параболических уравнений (3.6) и (3.7) хорошо себя зарекомендовали как схема Писмена-Рэкфорда, так и локально-одномерная схема [87]. Все рассмотренные способы решения поддаются хорошему распараллеливанию вычислений, особенно методы, основанные на идее переменных направлений, так как раскладываются на большое количество одномерных несвязанных задач.

Применение МКЭ для этих математических моделей скорее всего требует больше затрат вычислительных ресурсов, но дает неоспоримые преимущества. Во-первых, МКЭ позволяет проводить расчет для тел со сложной формой поперечного сечения и легко учитывает отверстия. Во-вторых, как и для одномерных моделей, перспективно использовать элементы второго порядка. МКЭ также позволит применить адаптивное улучшение сетки и даст возможность улучшить точность расчета градиента искомой функции до степени полинома элемента [81], [82]. Параллельные вычисления также возможны и для МКЭ: их, как правило, реализуют при сборке элементов и при решении систем линейных уравнений.

Таким образом, если требуется скорость решения и следует ограничиться простой формой поперечного сечения заготовки, то можно выбрать МКР, а если скорость решения не столь критична, то предпочтительнее выбрать МКЭ с элементами второго порядка. В обоих случаях, как и для одномерных моделей, в настоящее время не имеет смысла разделять комплексные переменные на мнимую и вещественную составляющие [20].

Функционалы для МКЭ в варианте Рица имеют схожий вид с функционалами для одномерных моделей, и их минимизация может быть приведена с применением стандартных процедур широко описанных в литературе [39], [84], [88]:

модель 1

модель 2

Х = 21

2у

уравнение теплопроводности

2

р х (дН)2+ру М+ Н Н

V эу у

йУ;

X = 11

У

Х

( дТ )2 л Эх/

+

Х

^ л2 Т

у

V эу у

2 (ч - уС^ )т

Э^

йУ +| Ар0Т+2а(Т-ТС)2йБ

Достаточно подробный анализ решения нелинейного уравнения (3.5) МКЭ приведен в работе [50]. Расчетная матрица имеет структурную симметрию и численную несимметрию, как в случае одномерной задачи в 3.3. Применение метода Ньютона-Рафсона для этой нелинейной задачи не имеет больших преимуществ перед методом простых итераций.

3.5. Электротепловые модели с импедансными граничными условиями

ИН заготовок из магнитных и немагнитных материалов перед обработкой давлением получил широкое распространение в промышленности. Как правило, для этих целей используются УИН периодического, непрерывного действия и непрерывного действия с дискретным перемещением заготовок.

Следует отметить, что разработка электротепловой модели ИН для кузнечного производства, отвечающей всем требованиям современного уровня проектирования и поддерживающая все режимы работы УИН, оказывается достаточно нетривиальной задачей. Объясняется это тем, что у всех численных методов есть свои недостатки, которые в той или иной степени проявляются при реализации этой модели.

Модель УИН периодического действия должна обеспечивать расчет нагрева заготовки от начальной температуры до необходимой конечной и последующий расчет температурного поля в процессе транспортировки заготовки к деформирующему оборудованию. В отличие от УИН периодического действия, в УИН непрерывного действия заготовки перемещаются в процессе нагрева и попадают в зоны с различным распределением источников теплоты и различными условиями теплообмена. Моделировать работу УИН необходимо, начиная с загрузки и за-

п

канчивая полной выгрузкой с дальнейшей транспортировкой к деформирующему оборудованию или выходом на установившийся ритмичный режим работы.

Первые осесимметричные электротепловые модели разрабатывались на основе МИУ [11], [12]. К сожалению, этот метод плохо подходит для задач с сильно нелинейной или неоднородной загрузкой, а также для задач с загрузкой большой протяженности. Если в начале 70-х годов прошлого века МКЭ уступал МИУ, то в связи с интенсивным ростом возможностей вычислительной техники теперь занимает лидирующие позиции при моделировании электромагнитных и тепловых полей. МКЭ хорошо подходит для задач с нелинейной и неоднородной загрузкой, его удобно использовать для расчета потерь в витках, в том числе и для индукторов с многослойными катушками, а также хорошо согласуется с внешними электрическими цепями. К недостаткам метода относиться то, что он требует ввести дискретизацию (построить сетку) не только в загрузке и индукторах, но и во внешней области. Если для нагревателей периодического действия это не представляет сложностей, то при моделировании установок непрерывного действия может накладывать ряд ограничений, вызванных либо регулярной сеткой в зоне загрузки, либо необходимостью перестраивать сетку.

На основе анализа численных методов можно предположить, что наиболее эффективным и экономичным подходом для рассматриваемой задачи будет применение комбинированных методов расчета. В этом случае общая задача делиться на внешнюю (расчет входных параметров индукторов и поля вне загрузки) и внутреннюю (расчет распределения электромагнитного и температурного поля в загрузке). Внешняя задача решается на базе интегральных уравнений, и для нее могут использоваться МИУ, а внутренняя - на базе дифференциальных уравнений, решаемых МКР или МКЭ. Такой подход к построению модели усложняет ее, но дает возможность использовать достоинства методов, пытаясь избежать их недостатков при решении задач относительно узкой направленности.

Решение методом конечных разностей (МКР или МКЭ)

Рисунок 3.6. Комбинированный алгоритм моделей Universal

На данный момент развития вычислительной техники одной из эффективных является комбинированная модель, основанная на сшивании внешней и внутренней электромагнитных задач на поверхности загрузки при помощи постановки импеданс-ных граничных условий [11],[12] (Рисунок 3.6). Внешняя задача решается МИУ, а внутренняя (область загрузки), решается МКР. Используя идею локально-одномерной схемы [87], внутреннюю задачу разбивают на две: электротепловую в поперечном сечении и тепловую в продольном сечении заготовки. Сшивание задач происходит с помощью импедансных граничных условий только на боковой поверхности, не затрагивая торцов.

3.5.1. Двумерная электротепловая модель индукционного нагрева цилиндрических тел Universal 2D

Использование двумерной осесимметричной электротепловой модели в большинстве случаев позволяет получать исчерпывающую информацию о процессе нагрева цилиндрических тел в овальных индукторах. В отличие от моделей в поперечном сечении, рассмотренных выше, учет конечной длины индуктора и загрузки дает возможность оценить влияние важнейших конструктивных параметров УИН и режимов нагрева на электромагнитные и тепловые характеристики индукционного нагревателя.