Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа Woodpile методом инвариантного погружения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Рудковский, Антон Сергеевич

• Рудковский, Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Рудковский, Антон Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ФОТОННЫЕ КРИСТАЛЛЫ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Особенности взаимодействия поля с периодическими структурами и типы ФК

1.2. Основные методы исследования характеристик ФК

1.3. Выбор метода инвариантного погружения в качестве метода исследования

1.4. Уравнения метода инвариантного погружения для исследования характеристик ФК

ГЛАВА 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОБ УЕДИНЕННОМ СЛОЕ ЗВ ФК

2.1. Рассеяние плоской поляризованной ЭМВ на элементарном слое ЗБ ФК. (ц, г)-представление

2.2. Функция Грина в поляризационном базисе горизонтально и вертикально поляризованных волн

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2Б ФК С ЗБ ЭМП

3.1. Математическая модель 2Б ФК

3.2. Процедура усечения бесконечных матричных коэффициентов Я и Т. Роль неоднородных мод

3.3. Исследование характеристик 2Б ФК

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ В ГИБРИДНОЙ СИСТЕМЕ 2Б ФК - ЗБ ФК. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ

4.1. Классификация мод ЭМП в исследуемой системе

4.2. Эффект аномального поведения коэффициентов отражения и прохождения на примере однородной пластины

4.3. Исследование возможности физического наблюдения эффектов

аномального поведения коэффициентов отражения и прохождения

4.4. Модификация метода инвариантного погружения для сглаживания резонансных эффектов на неоднородных модах в спектре ЭМП

4.5. ФК типа Woodpile и расчет его характеристик модифицированным методом инвариантного погружения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа Woodpile методом инвариантного погружения»

ВВЕДЕНИЕ

Большой интерес к исследованию фотонных кристаллов (ФК) - структур, диэлектрическая проницаемость которых является пространственно - периодической функцией с периодом, сопоставимым с длинной волны воздействующего излучения, объясняется тем, что они (ФК) обладают уникальными физическими свойствами, открывающими широкий спектр применений. Основная особенность фотонных кристаллов заключается в том, что в процессе взаимодействия электромагнитного поля (ЭМП) с периодической структурой у поля формируется зонный спектр, т.е. зависимость частоты собственных мод от волнового вектора [1]. В 1987 году появились две публикации [2,3], которые впервые указали, что следствиями такого поведения ЭМП являются: подавление электронно-дырочной рекомбинации при попадании частоты ЭМП в запрещенную зону ФК и возможность локализации фотонов на диэлектрических дефектах ФК с появлением необычных фотонных состояний, включая связанные атомно-фотонные состояния. Эти работы инициировали активное исследование свойств ФК, которое продолжается до текущего момента. За время исследования было показано, что данные структуры имеют ряд практических применений [4-7]: на их основе построены антиотра-жающие покрытия [8], разрабатываются элементы оптического компьютера [9] и улучшаются характеристики волноводов [10]. Эти прикладные задачи предъявляют свои специфические требования к характеристикам ФК, поэтому на первый план выходит задача определения параметров ФК, обладающего запрещенной зоной в заданном диапазоне частот.

В первое время для решения такой задачи пробовали использовать аналогию зонного спектра ЭМП после взаимодействия с ФК и зонного энергетического спектра электронов в кристаллах [11]. Однако попытки построения зонной теории фотонных кристаллов на основе теоретического расчета столкнулись с рядом проблем, связанных с существенным усложнением задачи: если распространение

электронов в кристаллах может быть описано скалярными уравнениями, то задача о взаимодействии ЭМП и ФК является векторной. Более того, запрещенная зона Бриллюэна в 2Б или ЗБ ФК может возникнуть только в том случае, если запрещенные зоны для каждого пространственного направления в ФК имеют ненулевое перекрытие в каком-либо диапазоне частот, что также накладывает дополнительные требования к решаемым уравнениям. Полученная таким образом задача оказалась слишком сложной для получения общего решения. В результате, вместо исследования вопроса какими характеристиками должен обладать ФК, чтобы в нем существовала запрещенная зона с заданными характеристиками, исследователи перешли к решению прямой задачи, в которой ЭМП и структура ФК заданы, а требуется определить характеристики запрещенной зоны.

В такой постановке для проведения исследований требуется проводить перебор различных параметров ФК до тех пор, пока характеристики его запрещенной зоны не начнут удовлетворять исходным требованиям. Практическая значимость ФК породила большое число теоретических работ, позволяющих провести необходимые расчеты и использующих различные подходы к описанию поля в периодических структурах. На данный момент среди основных методов расчета характеристик ФК следует отметить РБТЕ) (и его различные модификации) [12 -14], метод разложения по плоским волнам [15, 16], метод матрицы переноса [17, 18] и метод согласования мод [19]. Каждый из приведенных методов имеет свои достоинства и ограничения. Так, например, метод разложения по плоским волнам не применим к описанию кристаллов конечных размеров, метод матрицы переноса (трансфер-матрицы) встречает серьезные трудности при переходе от трансфер-матрицы к обычно используемым коэффициентам отражения и прохождения. В последнее время наиболее широкое распространение получил метод РБТЕ). В рамках расчета он позволяет вычислить характеристики дифрагированного поля с широким частотным спектром. Однако для этого требуются значительные вычислительные ресурсы.

В связи с этим актуальной становится задача развития методов, позволяющих более эффективно рассчитывать электродинамические характеристики ФК.

Одним из методов, претендующих на эту роль, является метод инвариантного погружения [20 - 22]. Он позволяет свести краевую задачу для поля в ФК к решению начальной задачи Коши для коэффициентов отражения и прохождения, т.е. может быть интерпретирован как разновидность метода прогонки. Другим достоинством метода погружения является то, что результатом расчета является обобщенная матрица рассеяния, представляющая собой некую универсальную структуру для вычисления дифрагированных полей при различных инициирующих полях.

Методом погружения решена задача о рассеянии 2D поля на 2D фотонном кристалле [23]. Расширение размерности, т.е. переход к описанию 3D векторного электромагнитного поля в 3D ФК представляет собой достаточно трудоемкую задачу, потребовавшую, как будет показано ниже, модификацию метода инвариантного погружения.

Из изложенного выше следует, что задача развития метода инвариантного погружения для моделирования дифракции векторного электромагнитного поля на 3D фотонном кристалле является актуальной как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Цели и задачи исследования. Цель исследования заключается в разработке модифицированного метода инвариантного погружения, адекватного классу задач о взаимодействии векторного электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом, и демонстрации его работоспособности на примере структуры типа Woodpile.

Для достижения указанной цели были рассмотрены и решены следующие задачи.

1. Используя идеологию метода погружения построить математическую модель взаимодействия 2D ФК с произвольно ориентированным в пространстве векторным электромагнитным полем.

2. Проанализировать особенности применения метода инвариантного погружения при описании взаимодействия ЭМП с гибридной системой 2D-3D ФК. Исследовать роль эванесцентных мод и резонансные эффекты для коэффициентов отражения и прохождения, соответствующих этим модам.

3. Разработать модификацию метода погружения, позволяющую дэмпфировать эффекты «аномального» роста коэффициентов отражения и прохождения для группы эванесцентных мод углового спектра поля.

4. Используя разработанную модификацию метода погружения, рассчитать электродинамические характеристики 3D ФК типа Woodpile.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

• впервые в рамках метода инвариантного погружения с учетом эффектов некомпланарной дифракции решена задача о взаимодействии произвольно ориентированного в пространстве векторного поля с 2D фотонным кристаллом;

• обнаружены эффекты «аномального» роста коэффициентов отражения и прохождения для группы эванесцентных мод углового спектра поля и дана физическая интерпретация этого результата;

• показано, что при анализе эффектов (результата) воздействия эванесцент-

(

ных мод на среду необходимо учитывать влияние отраженного поля на источник излучения, т.е. в этом случае для расчета дифрагированного поля необходимо рассматривать самосогласованную задачу о взаимооблучении в системе источник - среда;

• разработана модификация метода инвариантного погружения, позволяющая демпфировать «аномальное» поведение элементов матричных коэффициентов отражения и прохождения, соответствующих группе эванесцентных мод углового спектра поля.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты развивают перспективный, но относительно редко используемый подход к описанию взаимодействия поля с пространственно-периодической средой. Развиваемая теория и разработанный пакет программ позволяют корректно, с учетом эффектов многократного рассеяния и поляризации поля, вычислять электродинамические характеристики трехмерных фотонных кристаллов.

Идейная простота метода, основанного на решении универсального уравнения погружения - уравнения Риккати для обобщенной матрицы рассеяния с коэффициентами, определяемыми из задачи взаимодействия поля с бесконечно тонким слоем кристалла в борновском приближении, позволяет легко распространить результаты на многокомпонентные ФК.

Основные результаты работы. В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:

• на основе метода инвариантного погружения построена и исследована математическая модель 2D ФК для описания дифракции падающего ЭМП, пред ставимого в виде суперпозиции плоских волн произвольной поляризации, с волновыми векторами, совпадающими с точностью до векторов обратной решетки ФК;

• впервые получен аналитический вид матричных коэффициентов в уравнениях инвариантного погружения для блочной четырех индексной обобщенной матрицы рассеяния с учетом векторного характера поля и эффектов некомпланарной дифракции;

• выявлен подкласс эванесцентных мод, для которых компоненты обобщен-

А

ной матрицы рассеяния S испытывают «аномальный» рост при определенных значениях толщины 2D ФК, предложен механизм этого эффекта;

• впервые, с учетом механизма «аномального» роста компонент §, предложена и реализована модификация метода инвариантного погружения, обеспечившая сглаживание резонансных эффектов и позволившая получить результаты для 3D ФК типа Woodpile конечной толщины, согласующиеся с экспериментом.

Достоверность научных результатов. На теоретическом уровне достоверность полученных результатов обеспечивается применением универсального уравнения метода инвариантного погружения [24], относящегося к классу строгих

методов расчета поля, и хорошо зарекомендовавшего себя в других прикладных задачах электродинамики.

Для обеспечения достоверности численных результатов на всех этапах расчетов проводилась проверка энергетического баланса, которая показала, что погрешность вычислений не превышает величины 3 • 10~".

Корректность математической модели тестировалась в частном случае для 2D ФК. Сравнение с результатами других методов моделирования ФК показало высокую степень совпадения.

Возникновение резонансных значений элементов матрицы рассеяния для группы эванесцентных мод при некоторых толщинах ФК было проанализировано для вырожденного случая — однородной плоскопараллельной пластины. Полученные аналитические формулы совпали с приведенными в классической монографии М.Борна и Э.Вольфа «Основы оптики», эффект имеет место и в случае плоской пластины.

Результаты численного расчета характеристик отражения и прохождения для 3D ФК типа Woodpile, полученные с помощью алгоритма модифицированного метода погружения, показали хорошее совпадение с результатами физического эксперимента.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Progress in Electromagnetic Research Symposium (Стокгольм 2013, Москва 2009), Научный семинар «Математическое моделирование волновых процессов» под руководством Д. С. Лукина, РосНоУ (Москва 2012), Международная научно-образовательная конференция «Наука в ВУЗах: математика, физика, информатика» РУДН (Москва 2009), Международная молодежная научная конференция «XXXV Гагаринские чтения» МАТИ (Москва 2009), Международная научно-техническая конференция в МГТУ ГА «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества» МГТУГА (Москва 2013, 2006).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 12 работ, включая 6 статей в журналах перечня ВАК.

Структура и объём диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 101 наименования. Общий объем работы составляет 126 страниц, включая 48 рисунков.

Краткое содержание по главам. Первая глава диссертации посвящена обзору текущего состояний исследований в области расчета электродинамических характеристик (отражения и прохождения) ФК. В ней кратко обсужден вопрос о появлении запрещенных зон внутри ФК и проведена аналогия с формированием таких зон в физических кристаллах.

Обсуждаются достоинства и ограничения методов, наиболее часто используемых для исследования физических свойств ФК, таких как БЭТО-метод и метод разложения по плоским волнам.

Метод разложения по плоским волнам, который наиболее часто используется среди методов в частотной области, позволяет эффективно строить зонную диаграмму ФК, однако не предназначен для расчета ФК конечных размеров. Достоинством РОТБ-метода, который является наиболее часто используемым методом во временной области, является то, что он позволяет получать результаты для достаточно сложных периодических структур. Однако он обладает и рядом недостатков, основным из которых является высокое требование к вычислительным ресурсам.

Также в первой главе диссертации приведено описание метода инвариантного погружения, с помощью которого было проведено исследование характеристик ФК. Его важное достоинство заключается в том, что он сводит краевую задачу для поля, решение которой бывает весьма затруднительным, к решению начальной задачи Коши для коэффициентов отражения и прохождения. Это дает повод рассматривать его как одну из разновидностей метода прогонки.

Суть метода можно представить следующим образом. Рассматривается множество (пространство) решений поставленной задачи, отличающихся друг от друга значениями различных параметров. В таком пространстве выбираются два решения (две точки), отличающиеся значениями только одного параметра. Первое решение содержит значение параметра, соответствующее постановке исходной задачи, а второе - значению параметра при котором явный вид решения известен, либо легко определяем. Такой параметр называется параметром погружения, и мы будем обозначать его - ¡л. При последовательном изменении /л меняется и решение - соответствующая точка прочерчивает траекторию в пространстве решений. Уравнение, описывающее эволюцию решения при движении вдоль этой траектории, называется уравнением погружения. Параметр погружения при этом играет роль времени.

Интегрирование уравнения погружения с начальными условиями, соответствующими известному (простому) решению задачи, позволяет определить решение исходной задачи.

Отметим, что при решении электродинамических задач, связанных с описанием взаимодействия электромагнитных волн (ЭМВ) с материальными объектами, удобно в качестве параметра погружения использовать такой геометрический параметр, как, например, толщина «усеченного» объекта [25]. При этом увеличение значения параметра погружения соответствует дополнению усеченного объекта новым элементарным слоем.

Интерпретация параметра погружения как времени накладывает определенные ограничения на представление искомых решений - они должны удовлетворять принципу динамической причинности по параметру погружения (толщине ФК). Такому условию удовлетворяют коэффициенты прохождения и отражения Т{г) и и соответственно уравнения погружения были построены относи-

тельно этих параметров.

Для применения описанной методики к задаче о взаимодействии ЭМП с ФК, последний был представлен как совокупность слоев толщины Аг, разделенных виртуальными бесконечно тонкими зазорами, в которых производилось «ре-

гистрация» характеристик ФК. Введение зазора между ФК и добавляемым слоем имеет важное значение в применяемом подходе по двум причинам:

• внутри зазора среда однородна и не возникает проблем, связанных с разделением поля на волны, распространяющиеся во встречных направлениях;

• в общем случае функция Грина в смешанном представлении имеет сингулярность вида где г - точка наблюдения, а г' - точка истока поля. При вычислении полей в зазоре эта сингулярность не проявляется. Центральным моментом в рассматриваемом методе является вывод уравнений погружения для матричных коэффициентов отражения и похождения. Известны различные подходы к этой задаче. В работе приведен наиболее простой способ, основанный на правиле «суммирования» характеристик двух неоднород-ностей [26], и дальнейшем предельном переходе Дг->0. В этом случае для добавляемого элементарного слоя ФК справедливо борновское приближение, дающее в указанном предельном переходе точное выражение. Исключением является ситуация, когда волновой вектор какой-либо из угловых компонент дифрагированного поля станет параллельным верхней грани ФК. В этом случае наблюдается вудовский резонанс, и борновское приближение перестает работать. В дальнейшем не будем рассматривать такие случаи, что является одним из ограничений, накладываемых на создаваемую математическую модель.

Следует отметить, что, несмотря на то, что для каждого отдельного элементарного слоя расчеты проводятся в борновском приближении, учет в решении всей совокупности слоев (с учетом переотражений между ними) позволяет корректно описать эффекты многократного рассеяния поля внутри ФК.

В заключительной части главы на основе сделанных предположений были построены уравнения погружения, которые представляют собой уравнение Рик-кати для обобщенной матрицы рассеяния §*рт, и полностью совпадают с результатами, полученными впервые в работе [24] с помощью другого метода.

Постановка задачи Коши завершается заданием начальных условий или, согласно идеологии метода погружения - решением какой-либо простой задачи. В нашем случае это ФК нулевой толщины, для которого к^*(0) = 0; (0) = /.

Важной особенностью метода инвариантного погружения является то, что структура уравнения погружения при выборе в качестве параметра толщины объекта универсальна. Такой же вид имеет уравнение, используемое при описании, например, нерегулярных волноводов [27]. Отличие заключается лишь в выборе базисных функций: если для ФК это плоские волны углового спектра, то для волноводов это собственные моды.

Вся информация об объекте содержится в явном виде коэффициентов уравнения - в характеристиках элементарного слоя р^ и tsnpm±.

Вторая глава диссертации посвящена решению вспомогательной задачи о дифракции поля на уединенном тонком слое ФК и вычислению его электродинамических характеристик Д^* и .

Для их получения в работе предложено рассмотреть более общую задачу о дифракции поля на элементарном слое ЗЭ ФК, сформированного из кубических вставок. Это сделано, поскольку впоследствии можно легко получить выражения для интересующих нас слоев поленницы Вуда с помощью предельных переходов и с1у —^ А. , где с1х и с1у характеризуют длину и ширину вставок, а Ах и

Ау представляют собой периоды структуры вдоль осей ОХ и ОУ.

В работе показано, что аналитический вид характеристик р^ и удалось найти на основе анализа волнового уравнения, после того как оно было представлено в смешанном (¿7, г) -представлении. Однако полученные таким образом уравнения содержат в себе шестииндексные матрицы, использование которых приводит к существенному замедлению расчетов. Для того чтобы уменьшить размерность задачи был рассмотрен вопрос о выборе базиса, в котором описывается ЭМП. Было отмечено, что элементы множеств {£} и {г}, связанные отображением Ё = Ё{?), могут быть записаны в несовпадающих базисах, по-разному

ориентированных в пространстве. Так, если точку наблюдения или истока поля удобно записывать в системе отсчета, жестко связанной с ФК, то ЭМП проще разложить в угловой спектр, после чего описать каждую компоненту (с учетом поперечности поля) в собственном поляризационном базисе.

Такой переход к новому базису удалось осуществить за счет умножения волнового уравнения в смешанном г) -представлении на матричные операторы

поворота. После этих преобразований шестииндексные матрицы и

(а, Р принимают значения х,у,г) понизили свою размерность до четырехин-дексных матриц блочной структуры. Анализ полученных уравнений показал, что в результате перехода к новому поляризационному базису объем вычислений снижается более чем в два раза.

Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств 2Б ФК с помощью построенной математической модели. Для расчетов был выбран 2Б ФК, состоящий из шести слоев, цилиндрических вставок радиусом 2.5мм и периодом структуры 9мм. Значение диэлектрической проницаемости вставок было установлено £• = 4.2, что соответствует широкому классу диэлектриков в гигагерцовом диапазоне частот. Выражения для характеристик отражения и прохождения элементарного слоя в таком 2Б ФК были получены при предельном переходе с/ —^ Л .

у у

Заметим, что все матрицы, фигурирующие в уравнении погружения - бесконечные, поэтому при численных расчетах естественным вынужденным шагом была процедура усечения всех матричных элементов. Вопрос об аналитическом исследовании сходимости такой процедуры в общем случае вызывает серьезные трудности. Поэтому этот вопрос решался с помощью серии численных экспериментов, в которых варьировалось число учитываемых мод. Если, начиная с некоторого п - числа учитываемых мод, результаты расчета стабилизировались и при этом с высокой точностью выполнялись условия энергетического баланса, то полагалось, что п - необходимое число учитываемых мод, определяющее минимальную границу усечения. Было показано, что в выбранных для исследования

структурах вычисления стабилизируются при учете 11-15 мод углового спектра (8-12 эванесцентных мод).

Полученный результат показал, что эванесцентные моды оказывают существенное влияние на формирование распространяющихся мод дифрагированного поля. Для дополнительной проверки этого утверждения в рамках исследования модели 2D ФК был проведен расчет его характеристик без учета эванесцентных мод. Это привело к сильному отклонению результатов расчетов от зависимостей, полученных другими методами, а также к нарушению энергетического баланса.

Дальнейшие численные расчеты исследуемого 2D ФК показали наличие запрещенной зоны в диапазоне 11-16 ГГц и хорошо совпали с расчетами, сделанными другими авторами с помощью метода FDTD и метода согласования мод. Дополнительно была проведена серия экспериментов, соответствующих случаям падения ЭМП под разными углами на поверхность ФК, и когда ФК сформирован из брусьев с квадратным сечением. Сравнение результатов разных экспериментов показало, что изменения решения в зависимости от условий эксперимента соответствуют физическим ожиданиям.

Для проверки корректности результатов счета на каждом этапе вычислений осуществлялась проверка выполнимости теоремы Пойнтинга. В работе было показано, что во всех экспериментах погрешность вычислений не превышает величины 3-1(ГП.

Четвертая глава диссертации посвящена разработке модифицированного метода инвариантного погружения для расчета характеристик ФК типа Woodpile.

В первой части главы было проведено исследование гибридной системы -2D-3D ФК. Такая система может быть получена, например, при представлении ФК типа Woodpile, состоящего из N слоев, в виде двух подсистем: нижнего слоя, представляющего собой 2D ФК и расположенного сверху 3D ФК, содержащего (JV — 1) слоя.

Целесообразность такого представления заключается в следующем. Нижний слой представляет собой, казалось бы, хорошо исследованный (в частности, в предыдущей главе) 2D ФК, и каких-либо особенностей ожидать не следует. Одна-

ко, тем не менее, некоторые нюансы есть. При экспериментальных и теоретических исследованиях, как правило, предполагается, что на ФК падает распространяющееся (не эванесцентное) поле. В методе погружения рассматриваемый угловой спектр падающего поля расширяется, в него включаются и эванесцентные моды. Но по умолчанию полагается, что все моды этого поля связаны между собой (и с распространяющимися модами) вектором обратной решетки. Другое дело, когда над 2Э ФК расположен ЗЭ ФК. В этом случае угловой спектр падающего поля существенно расширяется. Внутри него присутствуют эванесцентные моды, не взаимодействующие с распространяющимися в 2Т> ФК. Такие моды мы будем называть изолированными эванесцентными модами. Дальнейшее изложение связано с исследованием роли этих мод.

Учет связанных мод не приводит к каким-либо особенностям в зависимости от толщины ФК - этот случай был рассмотрен в предыдущей главе. Другое дело группа изолированных эванесцентных мод. В работе показано, что в этом случае для них имеет место аномальное поведение коэффициентов отражения и прохождения как функций толщины кристалла, появляются сингулярности.

Для проверки корректности наблюдаемых результатов в работе был рассмотрен простой пример взаимодействия эванесцентной моды однородной плоскопараллельной пластиной. В этом случае уравнение погружения для коэффициента отражения упрощается до скалярного уравнения Риккати и может быть решено аналитически. В работе было показано, что решение распадается на 3 части. Первая, соответствующая случаю падения однородной волны 0 < д' < 1, дает понятные результаты: коэффициент отражения не превышает единицы и периодически меняется по мере увеличения толщины пластины. Не вызывает удивления и поведение коэффициента отражения в третьей части, где д' > л/гг. Здесь присутствуют только неоднородные моды как вне, так и внутри пластины, поведение коэффициента отражения монотонное.

Наибольший интерес представляет вторая часть решения, которая соответствует случаю 1 < д' < . Здесь отчетливо прослеживается «аномальное» поведе-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рудковский, Антон Сергеевич, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. -М.:ИЛ, 1959.-457 с.

2. Yablonovitch Е. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics //Phys. Rev. Lett., 1987. Vol. 58. p. 2059.

3. John S. Strong Localization of Photons Certain Disordered Dielectric Superlattices // Phys. Rev. Lett., 1987. vol. 58. p. 2486.

4. Yasumoto K. Electromagnetic Theory and Applications for Photonic Crystals. -Taylor & Francis, 2006. - 444 p.

5. Johnson S.G. Photonic Crystals: From Theory to Practice. - MIT, 2001. - 165 p.

6. Prather D.W. et all. Photonic Crystals: Theory, Applications and Fabrication. -Willey, 2009. - 405 p.

7. Joannopoulos J.D., Villeneuve P.R., Fan S. Photonic Crystals: Putting a New Twist on Light // Nature, 1997. Vol. 386. p. 143.

8. Ohtera Y., Kurniatan D., Yamada H. Antireflection coatings for multi-layer type photonic crystals // Optics Express, 2010. Vol. 18. p. 12249.

9. Choe Y.H., Mauree V. ITU-T Technology Watch Report // The Optical World, 2011.-19 p.

10.Zolla F. et. all. Foundations of Photonic Crystal Fibers. - London: Imperial College Press. 2005.-343 p.

11.Haeringen W., Lenstra D. Analogies in Optics and Microelectronics: Selected Contributions and Recent Developments. - Springer, 1990. - 262 p.

12.Taflove A., Hugnes S. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time Domain Method. - Artech House, 2005. - 1038 p.

13.Sullivan D.M. Electromagnetic Simulation Using the FDTD method. - NY.: IEEE press, 2000.- 165 p.

14.Yu W., Mittra R., Su Т., Liu Y., Yang X. Parallel Finite-Difference Time Domain Method. - Artech House, 2006. - 274 p.

15.Danner A.J. An Introduction to the Plane Wave Expansion Method for Calculating Photonic Crystal Band Diagrams. - University of Illinois, 2002.

16.Shi S.Y., Chen C.H., Prather D.W. Plane-wave expansion method for calculating band structure of photonic crystal slabs with perfectly matched layers // Journal of the Optical Society of America Optics Image Science and Vision, 2004. № 21(9). p. 1769.

17.Barnes C., Pendry J.B. Multiple Scattering of Waves in Random Media: a Transfer-Matrix Approach. // Proc. R. Soc. bond, 1991. A 437, p. 185.

18.Li M. et all. Higher-order incidence transfer matrix method used in three-dimensional photonic crystal coupled-resonator array simulation // Optics Letters, 2006. №31(23). p. 3498.

19.Gallagher D.F., Felici T.P. Eigenmode Expansion Methods for Simulation of Optical Propagation in Photonics - Pros and Cons // Photonics West, 2003.

20.Амбарцумян В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой. // ДАН СССР, 1943. №8. Т. 38. С. 257.

21.Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. - М.: Наука, 1986.-255 с.

22.Bellman R., Wing G.M. An Introduction to Invariant Imbedding. - NY.: Willey Interscience, 1975. - 250 c.

23.Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ, 2003. Т. 123. Вып. 4. С. 763.

24.Barabanenkov Yu.N., Barabanenkov M.Yu. Energy Invariants to Composition Rules for Scattering and Transfer Matrices of Propagating and Evanescent Waves in Dielectric Structures //PIERS 2006 Cambridge proceedings, 2006. P. 10.

25.Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L. Barabanenkov M.Yu. Transfer Relations for Electromagnetic Wave Scattering from Periodic Dielectric One-Dimension

Interface: ТЕ Polarization // Progress in Electromagnetic Research: PIER, 1999. Vol. 24. P. 39.

26.Митра P., Ли. С. Аналитические методы теории волноводов. - М.: Мир, 1974.-327 с.

27.Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнение погружения и малый параметр в задаче о нерегулярном волноводе // Радиотехника и электроника, 2011. т. 56, №9. С. 1087.

28.0zbay Е. Layer-by-layer photonic crystals from microwave to far-infrared frequencies // J. Opt. Soc. Am. В 13, 1996. P. 1945.

29.Ландау Л. Д., Лившец Е. М. Квантовая механика. -М.: Наука, 1989. - 768 с.

30.Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. -М.: Мир, 1968.-264 с.

31.Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. - М.: Наука, 1951. - 480 с.

32.Moroz A., Sommers С. Photonic Band Gaps of Three-Dimensional Face-Centered Cubic Lattices // J. Phys.: Condens. Matter, 1999. Vol. 11. P. 997.

33.Но K.M., Chan C.T., Soukoulis C.M. Existence of a Photonic Gap in Periodic Dielectric Structures // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65. № 25. P. 3152.

34.Vlasov Y., Во X., Sturm J., Norris D. On-chip Natural Assembly of Silicon Photonic Bandgap Crystals // Letters to Nature, 2001. vol. 414. p. 289.

35.Yablonovitch E., Gmitter Т., Leung K. Photonic Band Structure: The Face-Centered-Cubic Case Employing Non-spherical Atoms // Phys. Rev. Lett., 1991. Vol.67, no.17. P. 2295.

36.Шишкин И.И. и др. Инвертированный яблоновит, изготовленный методом лазерной нанолитографии, и его фотонная структура // Письма в ЖЭТФ, 2012. vol. 95. С. 518.

37.Но К.М., Chan С.Т., Soukoulis С.М., Biswas R., Sigalas M. Photonic Band Gaps in Three Dimensions: New Layer-by-Layer Periodic Structures // Solid State Comm. 1994. №89. P. 413.

38.Sozuer H.S., Dowling J.P. Photonic Band Calculations for Woodpile Structures // J. Mod. Opt., 1994. Vol. 43. P. 231.

39.Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Three-Dimensionally Periodic Dielectric Layered Structure With Omnidirectional Photonic Band Gap // Appl. Phys. Lett., 2000. Vol. 77. № 22. P. 3490.

40.Yee K. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media // IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1966. Vol. 14. №3. P. 302.

41.Keller J.B. Geometrical Theory of Diffraction // J. Optical Society of America, 1962. Vol. 52. P. 116.

42.Kouyoumjian R.G., Pathak P.H. A Uniform Geometrical Theory of Diffraction for an Edge in a Perfectly Conducting Surface // Proc. IEEE, 1974. Vol. 62. P. 1448.

43.Harrington R.F. Field computation by Moments Method. - NY.: Macmillan, 1968.-229 p.

44.Umashankar K.R. Numerical Analysis of Electromagnetic Wave Scattering and Interaction Based on Frequency-Domain Integral Equation and Method of Moments Techniques // Wave Motion, 1988. Vol. 10. P. 493.

45.Курант P., Фридрихе К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН, 1941, № 8, С. 125

46.Mur G. Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the Time-Domain Electromagnetic Field Equations // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 1981. Vol. 23. № 4. P. 377.

47.Berenger J. A Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves // Journal of Computational Physics, 1994. Vol. 114. №2. P. 185.

48.Roden J.A., Gedney S.D. Convolution PML (CPML): An Efficient FDTD Implementation of the CFS-PML for Arbitrary Media // Microwave and Optical Technology Letters, 2000. Vol. 27. № 5. P. 334.

49.Deinega A., John S. Effective Optical Response of Silicon to Sunlight in the Finite-Difference Time-Domain Method // Optics Letters, 2012. Vol. 37. № 1. P. 112.

50.Jurgens T.G., Taflove A., Umashankar K., Moore T.G. Finite-Difference TimeDomain Modeling of Curved Surfaces // IEEE Trans. Antennas Propag. 1992. №40. P. 357.

51.Madsen N.K., Ziolkovsky R.W. A Three-Dimensional Modified Finite Volume Technique for Maxwell's Equations//Electromagnetics, 1990. Vol. 10. P. 147.

52.Meade R.D., Brommer K.D., Rappe A.M., Joannopoulos J.D. Existence of a Photonic Band Gap in Two Dimensions // Appl. Phys. Lett., 1992. Vol. 61. № 4. P. 495.

53.Moroz A. Inward and Outward Integral Equations and the KKR Method for Photons // J. Phys.: Condens. Matter, 1994. №6. P. 171.

54.Борн M., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. - 720 с.

55.Masterman P.M. and Clarricoats P.J.B. Computer field match in solution of waveguide transverse discontinuities // Proc. Inst. Elec. Eng., 1971, vol. 118, no. 1, P. 51.

56.Patzelt H. and Amdt F. Double-plane steps in rectangular waveguides and their application for transformers, irises and filters // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1982. Vol.30, P. 771.

57.Pendry J.B., MacKinnon A., Calculation of photon dispersion relations // Physical Review Letters, 1992. Vol. 69, P. 2772.

58.Pendry J.B. Photonic band structures // Journal ofModern Optics, 1994. Vol. 41, P. 209.

5 9. Guida G., Stavrinou P.N., Parry G., Pendry J.B. Time-reversal symmetry, microcavities and photonic crystals // Journal ofModern Optics, 2001. Vol. 48, P. 581.

60.Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. - М.: Мир, 1984. - 616 с.

61.Ко D.Y., Inkson J.C. Matrix Method for Tunneling in Heterostructures: Resonant Tunneling in Multilayer System // Phys. Rev. B, 1988. Vol. 38. P. 9945.

62.Twersky V. On Scattering of Waves by Infinite Grating of Circular Cylinders // IRE Trans. Antennas. Propagat., 1962. Vol. 10, P. 737.

63.0taka K., Numata N. Multiple Scattering Effects in Photon Difraction for an Array of Cylindrical Dielectric // Phys. Lett., 1979. Vol. 73a. P. 411.

64.0htaka K., Ueta Т., Amemiya K. Calculation of Photonic Bands Using Vector Cylindrical Waves and Reflectivity of Light for an Array of Dielectric Rods // Phys. Rev. В., 1998. Vol. 57. P. 2550.

65.Марков Г.Т., Бодров В.В., Зайцев А.В. Алгоритм и численные результаты расчета периодической структуры из излучателей в виде ступенчатых рупоров при различных способах возбуждения // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике, М.: Высшая школа, 1980. Вып. 4. С. 132.

66.Скобелев С.П., Килдал П.С. Характеристики решеток прямоугольных ступенчатых рупоров со стенками, нагруженными диэлектриком в одной плоскости // Радиотехника и электроника, 2000. Т. 45, № 9. С. 1071.

67.Gallagher. D. Photonics CAD Matures. // IEEE LEOS Newsletter, 2008. p. 8

68.Chandrasekhar S. Radiative Transfer. - London: Oxford University Press, 1950. - 393 p.

69.Касти Дж., Калаба P. Методы погружения в прикладной математике. -М.: Мир, 1976.-223 С.

70.Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода инвариантного погружения в теории рупорных антенн // Антенны, 2001. Выпуск 2 (48). Серия Физика и математика. С. 17.

71.Belman R., Kalaba R., A Note on Hamilton's Equations and Invariant Imbedding // Quart. Appl. Math., 1963. Vol. 21. P. 166.

72.Belman R., Kagiwada H., Kalaba R., Invariant Imbedding and Nonvariational Principles in Analytical Dynamics // Int. J. Nonlinear Mechanics, 1966. Vol. 1. P. 51.

73.Alspaugh D., Kagiwada H., Kalaba R., Dynamic Programming, Invariant Imbedding and Thin Beam Theory. - The RAND Corp. RM-5706-PR, 1968. - 26 p.

74.Casti J., Kalaba R., Murthy V., A New Initial Value Method for On-line Filtering and Estimation // IEEE Trans. Info. Theory, 1972. P. 515.

75.Kalaba R. Boundary Value Problems for the Integro-Differential Equation for Nonlocal Wave Interaction // J. Math. Phys., 1970. Vol. 11. P 1999.

76.0ртега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М., 1975. — 560 с.

77.Барабаненков Ю.Н., Кузнецов B.J1. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника, 1999. т. 44. № 6. С. 659.

78.Rino С. L. A spectral-domain method for multiple scattering in continuous randomly irregular media // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1988. Vol. 36. P. 1114.

79.Кузнецов В.JI., Буданов В.Г. Поляризационные характеристики электромагнитного излучения многократно рассеянного в облаке малых частиц // Известия ВУЗов. Радиофизика, 1988, Т. 31. С. 347.

80.Beenakker C.W.J. Random-Matrix Theory of Quantum Transport // Reviews of Modern Physics, 1997. Vol. 69. № 3. P. 731.

81. Wood R.W. On a Remarkable Case of Uneven Distribution of Light in a Diffraction Grating Spectrum // Proc. Phys. Soc. (London), 1902. P. 269

82.Schiffer R., Thielheim K. Light Scattering by Dielectric Needles and Disks // J. Appl. Phys., 1979. Vol. 50. P. 2476.

83.Tsang L., Kong J. Scattering of Electromagnetic Waves: Theories and Applications. -NY.: Willey Interscience. 2000. - 426 p.

84.Маделунг О. Физика твердого тела. - М.: Наука. 1980. - 416 с.

85.Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука. 1976.-319 с.

86.Рудковский А.С., Яровой Е.С. Исследование кроссполяризационных эффектов при рассеянии электромагнитной волны на элементарном слое квази 3D периодической структуры // Научный Вестник МГТУ ГА. 2006. № 110. С. 351.

87.Кузнецов B.JI., Рудковский А.С. Моделирование дифракции сфокусированного светового пучка на 2D фотонном кристалле // Научный Вестник МГТУ ГА. 2007. № 114. С. 75.

88.Барабаненков М.Ю., Вяткин А.Ф. Двумерные периодические структуры электрон-фотонных интегрированных систем: ионно-лучевой метод формирования, физика и инженерия фотонной запрещенной зоны // Поверхность. Рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. №9, 2007. С. 70.

89.Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Модель взаимодействия векторного 3D электромагнитного поля с 2D периодическими структурами // Компьютерные исследования и моделирование. Том 5, №2, 2013. С. 213.

90.Kelly Р.К., Maloney J.G., Shirley B.L., Moore R.L. Photonic bandgap structures of finite thickness: theory and experiment // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 1994. Vol. 2. P. 718.

91.Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Phys. Rev. Lett., 2000. Vol. 85. P. 3966.

92.Luo C., Johnson S.G., Joannopoulos J.D., Pendry J.B. All Negative Refraction Without Negative Effective Index // Phys. Rev. B, 2002. Vol. 65, 201104

93.Luo C., Johnson S.G., Joannopoulos J.D., Pendry J.B. Subwavelength Imaging in Photonic Crystals // Phys. Rev. B, 2003. Vol. 68., 045115

94.Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: И.Л., 1951. - 505 с.

95.Кузнецов В.Л., Рудковский А.С., Модификация метода погружения в задаче расчета 3D фотонного кристалла типа "Woodpile" // Компьютерные исследования и моделирование. Том 5, №3, 2013. С. 413.

96,Ozbay Е. et. all. Measurement of Three-Dimensional Photonic Band Gap in a Crystal Structure Made of Dielectric Rods // Phys. Rev. B, 1994. Vol. 50. P. 1945.

97.Lin S. et. all. A Three-Dimensional Photonic Crystal Operating at Infrared Wavelengths // Letters to nature, 1998. Vol. 394. P. 251.

98.Fleming J.G., Lin S.Y. Three-Dimensional Photonic Crystal with a Stop Band from 1.35 to 1.95 jim // Optics letters, 1999. Vol. 24. P. 49.

99. Wanke M. et. all. Laser Rapid Prototyping of Photonic Band-Gap Microstructures // Science, 1997. Vol. 275. P. 1284.

100. Peng Y. et. all. Fabrication of Three-Dimensional Photonic Crystals with Multilayer Photolithography// Optics express, 2005. Vol. 13. P. 2370.

101. Joannopoulos J., Johnson S., Winn J., Meade R. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. - Princeton. 2008. - 286 p.