Моделирование тепловых и усадочных процессов при затвердевании отливок из высокопрочных алюминиевых сплавов и разработка системы компьютерного анализа литейной технологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.16.04, кандидат технических наук Тихомиров, Максим Дмитриевич

• Тихомиров, Максим Дмитриевич
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тихомиров, Максим Дмитриевич

Введение.

Литературный обзор.

Гпава 1. Тепловые процессы в затвердевающей отливке. Учет и экспериментальное определение тепловыделения в интервале затвердевания.

Гпава 2. Исследование физических процессов на границе между отливкой и формой. Формулирование физической модели граничной теплопередачи.

Глава 3. Экспериментальное определение параметров граничной теплопередачи для различных способов литья.

Гпава 4. Численный метод решения

Метод конечных элементов).

Гпава 5. Усадочно-фильтрационные процессы в затвердевающей отливке.

Гпава 6. Применение системы компьютерного моделирования литейных процессов в условиях реального производства.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование тепловых и усадочных процессов при затвердевании отливок из высокопрочных алюминиевых сплавов и разработка системы компьютерного анализа литейной технологии»

К свойствам сплавов работающих в сложных или особо ответственных условиях, предъявляются специальные требования. Одним из таких требований является высокий уровень прочности при низком удельном весе. В целях удовлетворения таких требований, разработчиками сплавов (в том числе в ЦНИИМ) были разработаны литейные алюминиевые сплавы, которые относят к группе так называемых высокопрочных алюминиевых сплавов: AJI9M, АЛ 24С, АЛ 24П, ВАЛ 10, АЛ 23-1 [1] и др. (см. табл 1.1). Эти сплавы относятся к разным системам и обладают разными механическими характеристиками, но объединены общим свойством - в рамках своих систем каждый из этих сплавов имеет относительно высокую прочность [1,2,3].

Табл. 1.1

Химический состав некоторых высокопрочных алюминиевых сплавов

Сплав Состав,%

АЛ 23-1 Mg 6.0-7.0; Ti 0.05-0.15; Be 0.02-0.1; Zr 0.05-0.2

АЛ 24 П Zn 3.4-4.0; Mg 3.5-4.5; Mn 0.3-0.7; Ti 0.1-0.3; Be 0.01-0.1; В 0.1-0.1

АЛ24С Zn 3.4-4.0; Mg 2.0-3.0; Ti 0.15-0.25; Be 0.02-0.05; Cr 0.15-0.25; Zc 0.15-0.25; В 0.015-0.025

АЛ9М Si 7.2-8.8; Mg 0.4-0.7; Cu 0.5-0.8; Ti 0.1-0.2; В 0.01-0.03

АМХ605 Cu 5.6-6.4; Mn 0.2-0.6; Ti 0.1-0.45; Zr 0.02-0.25; Cr 0.2-0.6

ВАЛ 10 Cu 4.5-5.1; Mn 0.35-0.8; Ti 0.15-0.35; Cd 0.07-0.25

Актуальность работы. Изначально требования к сплаву определяются требованиями к эксплуатационным характеристикам деталей. Однако, свойства сплава, определяемые на специальных образцах, далеко не всегда удается реализовать в детали. В наибольшей мере это относится к изделиям, получаемым литьем. При затвердевании происходят сложные физикохимические процессы, существенно влияющие как на качество отливки, так и на структурные характеристики, определяющие свойства в различных частях отливки. Часто дело осложняется тем, что достижение специальных свойств сплава происходит за счет ухудшения его литейной технологичности. В полной мере это относится к высокопрочным алюминиевым сплавам. Обладая высокими прочностными характеристиками, многие высокопрочные алюминиевые сплавы склонны к повышенной микропористости, кристаллизационным трещинам [4,5,6] и другим дефектам, что затрудняет проектирование надежной и устойчивой литейной технологии для отливок из этих сплавов. Для достижения высоких механических свойств необходимо добиваться измельчения структуры [7] путем достижения высоких скоростей охлаждения, которые возможно получить только при применении металлических форм. Для получения высокой плотности металла и дополнительного измельчения структуры часто необходимо использовать различные специальные способы литья [1]. В частности хорошо известно положительное влияние на свойства в отливках таких способов литья как ЛПД, ЛНД, ЛКД (жидкая штамповка) [8,9,10,11]. ВПФ с вакуумированными холодильниками [12,13], литье при всестороннем газовом давлении [14], различных способов литья обеспечивающих направленное затвердевание [15] и т.п. Металлические формы и дополнительное воздействие обеспечиваемое специальными способами литья, дает высокие скорости затвердевания, высокую плотность, и как следствие высокие механические свойства сплава, но при этом существенно ужесточаются условия формирования отливки. Кроме того, применение металлических форм делает процесс изменения геометрии отливки в процессе технологического опробования дорогим и длительным.

Все это приводит к тому, что традиционные методы разработки литейной технологии не всегда позволяют обеспечить требуемое качество изделия. Такое положение делает применение в литых деталях высокопрочных сплавов крайне затруднительным и иногда ставит под вопрос как способ получения детали (литье), так и применение сплава. Литье, однако, часто является самым предпочтительным способом, т.к. обеспечивает получение заготовок сложной конфигурации в большом количестве. Кроме того, литье - один из самых гибких способов изготовления детали, который предоставляет возможность реализации разнообразных технологических режимов формирования материала. В силу этого, почти всегда есть надежда на существование технологических режимов, позволяющих получать бездефектные отливки в большом количестве при сравнительно небольших затратах. Весь вопрос в том, как отыскать эти режимы. Метод проб и ошибок малоэффективен, поскольку область бездефектной технологии достаточно узкая, а стоимость литейной оснастки высока. Именно такая ситуация характерна для литья высокопрочных алюминиевых сплавов.

Таким образом, при разработке литейной технологии для деталей с особыми требованиями по качеству, целесообразно применять на этапе проектирования [16,17,18,19] процедуры прогнозирования дефектов [20,21,22,23]. Наиболее универсальным и эффективным способом требуемого анализа в настоящее время является компьютерное моделирование литейных процессов [24,25,26]. В 1989 г. в связи с тем, что ЦНИИМ проводил внедрение группы высокопрочных алюминиевых сплавов для ряда отливок специального назначения, была выполнена данная работа по обеспечению моделирования литейных технологий.

Целью этой работы является обеспечение качества литых деталей из высокопрочных алюминиевых сплавов путем использования процедур моделирования при разработке и оптимизации литейной технологии. Для реального применения компьютерного моделирования при проектировании литейной технологии необходимо задействовать некоторую систему автоматизированного моделирования литейных процессов (САМ ЛП)

27,28,29,30]. Причем, такая система должна отвечать специфике используемых сплавов и способов литья [31]. В силу этого была поставлена задача создания САМ ЛП, удовлетворяющей ряду необходимых требований.

В рамках решения этой задачи, были сформулированы общие требования [32] к системе моделирования для промышленного применения:

- обеспечение адекватности моделирования;

- автоматизированность использования;

- максимальная универсальность по сплавам и способам литья.

Решение задач анализа для высокопрочных алюминиевых сплавов предъявляет ряд требований к моделям литейных процессов, используемым в САМ ЛП. Высокопрочные алюминиевые сплавы и их вероятные способы литья характеризуются следующими особенностями, которые должны быть учтены в моделях соответствующих процессов:

- наличие широкого интервала затвердевания;

- наличие существенных тепловыделений при постоянной температуре на ликвидусе и солидусе); крайняя неравномерность тепловыделений в интервале затвердевания;

- возможность применения высокотеплопроводных (металлических) и охлаждаемых форм;

- возможность применения малотеплопроводных (песчаных) форм;

- возможность применения комбинированных форм (с внешними холодильниками) форм; возможность существенного влияния внешнего давления (разряжения) на процесс граничной теплопередачи (ЛКД,ЛПД,ВПФ и т.п.);

- активное протекание процессов питания на разных масштабных уровнях (развитая микропористость, макропористость и раковины);

- широкая двухфазная зона (весь объем отливки может находиться в интервале затвердевания);

- возможность существенного влияния внешнего давления на процесс питания (ЛНД и т.п.);

- возможность влияния временных параметров технологического цикла (формы многоразовые).

Разнообразие и обилие характеристик связано с тем, что понятие «высокопрочные алюминиевые сплавы» не относится к какой-то одной системе или способу литья. Таким образом, необходимо обеспечить адекватное моделирование широкого класса алюминиевых сплавов и способов литья. Решение этой задачи возможно только при применении таких моделей, которые базируются на описании реальной физики протекающих процессов. Однако формирование отливки определяется большим количеством разномасштабных и сложных физико-химических процессов, влияющих друг на друга, что делает учет абсолютно всех действующих факторов невозможным. Поэтому помимо общефизических постановок, модели процессов должны быть достаточно специализированы для того, чтобы по возможности учесть влияние действительно определяющих параметров. При описании физических процессов всегда встает вопрос об исходных физических свойствах материалов. Учитывая специализированный характер моделей и требование адекватности, встает задача об определении специальных (или даже эффективных) значений, используемых в моделях как исходные характеристики материалов и процессов.

Таким образом, для достижения поставленной цели встала задача разработки моделей основных литейных процессов и создания САМ ЛП для широкого класса алюминиевых сплавов и способов литья, ориентированную на технолога-литейщика и содержащую в себе свойства большой группы высокопрочных алюминиевых сплавов, обеспечивающие адекватность моделирования. Эта задача была выполнена в ходе данной работы.

Научная новизна работы заключается в разработке более сложных и адекватных представлений об особенностях моделируемых процессов на базе проведенных экспериментальных и численных исследований, формулировке соответствующих физических моделей, модификации численных алгоритмов в соответствии с особенностями физических постановок, а также в экспериментальном определении физических параметров используемых сплавов. В частности:

- экспериментально исследован процесс формирования поверхности затвердевающей отливки, соприкасающейся с формой и выявлено обязательное наличие и существенное влияние равномерно распределенных пятен плотного контакта на процесс затвердевания;

- сформулирована модель теплопередачи между отливкой и формой, предполагающая одновременное существование пятен плотного контакта, газового зазора и межконтактных прослоек, учитывающая кондукционную, конвекционную и лучистую теплопередачу;

- в численные алгоритмы метода конечных элементов (МКЭ) введен способ более адекватного учета быстро изменяющихся температур сопряженных поверхностей отливки и формы путем вычисления прогнозируемых изменений температур с помощью трехслойной временной схемы;

- экспериментально определены параметры граничной теплопередачи (площадь контакта и толщина зазора) и их зависимость от технологических факторов (величина давления) для группы высокопрочных алюминиевых сплавов в условиях литья в кокиль, ВПФ, ЛНД, ЛКД;

- разработан (и зарегистрирован) способ исследования кинетики затвердевания в условиях ЛКД;

- для учета сложного характера выделения скрытой теплоты в интервале затвердевания сформулирована модель в виде спектра тепловыделения, а в численные алгоритмы МКЭ введен энтальпийный метод учета, позволяющий задавать любые спектры тепловыделения - с наличием локальных тепловыделений как в интервале температур, так и при постоянных температурах;

- экспериментально определены теплофизические параметры для группы высокопрочных алюминиевых сплавов — интервал затвердевания в неравновесных условиях, скрытая теплота затвердевания, спектр выделения скрытой теплоты, теплоемкость при высоких температурах;

- сформулированы модели образования усадочных дефектов по двум принципиально разным, но одновременно и совместно действующим механизмам - механизму образования микропористости при недостатке давления и механизму формирования макропористости (и раковин) при недостатке питания с учетом сложного изменения структурированности затвердевающего металла;

- численно реализованы в рамках МКЭ взаимовлияющие алгоритмы образования микропористости с расчетом полей давлений по всему объему отливки при фильтрационных процессах в затвердевающей отливке и макропористости с учетом кинетики движения зеркал расплава в каждой возникающей изолированной зоне питания;

- экспериментально определены усадочно-фильтрационные параметры для группы высокопрочных алюминиевых сплавов - коэффициент объемной фазовой усадки и коэффициент пропорциональности для зависимости коэффициента фильтрации от доли жидкой фазы.

Практическая ценность работы состоит в разработке САМ ЛП "Полигон" [33,34,35,36,37], которая была неоднократно и успешно применена при отработке литейных технологий на ряд отливок общего и специального назначения. Кроме того, данная система получила широкое распространение на различных литейных производствах России и СНГ [15,21,22,38,39,40,41]. Помимо этого, система «Полигон» успешно используется на литейных и металлургических кафедрах ВУЗов в целях обучения [26,42].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Физико-математическая модель теплопередачи между отливкой и формой (экспериментально исследованная и математически сформулированная) предполагающая одновременное существование равномерно распределенных пятен относительного плотного контакта и теплопередачи через газовый зазор.

2. Физико-математические модели образования усадочных дефектов по двум одновременно и совместно действующим механизмам — механизму образования микропористости и механизму образования макропористости;

3. Экспериментальное определение теплофизических и усадочно-фильтрационных параметров группы высокопрочных алюминиевых сплавов, а также параметров граничной теплопередачи для ряда специальных способов литья.

4. Реализация уточненных моделей и алгоритмов в рамках МКЭ и разработка системы компьютерного моделирования литейных процессов для широкого класса сплавов и способов литья.

Литературный обзор

Большинство прикладных задач моделирования литейных процессов не имеет строгого аналитического решения. При принятии ряда допущений, обычно, возможно построение достаточно адекватных аналитических моделей для конкретных условий, например, для тел простейшей конфигурации [43,44,45,46].

Однако, в настоящее время наиболее универсальным и мощным способом решения задач моделирования сложных физических процессов, протекающих в жидком и затвердевающем металле, является применение численных методов [47,48]. Аналитические решения задач теории литейных процессов (ТЛП), как и задач большинства других разделов прикладной физики, судя по общему характеру публикуемых работ, сейчас чаще всего встраиваются в те или иные численные алгоритмы. Системы численного компьютерного моделирования литейных процессов в настоящее время стали коммерческим продуктом [49,50,51,52,53,54,55,56], который активно применяют в реальных заводских условиях и зарубежные, и отечественные технологи. По степени востребованности конечным пользователем (заводским специалистом) системы моделирования являются наиболее эффектным и впечатляющим достижением ТЛП.

Сравнение относительно современных публикаций посвященных расчетам литейных процессов [57,58,59,60,61] с публикациями пятидесятых-семидесятых годов [62,63,64,65] показывает, что применение численных методов диктует определенные подходы к формулированию физических и математических моделей и алгоритмов их решения. С одной стороны, численные методы не требуют специальных упрощений исходных постановок, с другой стороны обычно для численного решения приходится формулировать внутренние подмодели с учетом того конкретного численного метода, который предполагается применить. Это несколько снижает универсальность моделей [66] применяемых для численного моделирования, но зато позволяет наиболее полно применить представления о физике процесса.

На первой стадии формирования моделей для численного решения (как и для аналитического) чаще всего требуется выделение условно независимых (автомодельных) процессов [67]. В принципе для численного решения нет ограничений на количество одновременно моделируемых процессов. При достаточно мелкой дискретизации по времени легко выстроить задачи в таком порядке, чтобы независимо моделируемые процессы при учете результатов моделирования на каждом временном шаге могли рассматриваться как одновременные и взаимовлияющие [68]. Однако, на практике это может привести к такому увеличению времени моделирования, что сделает его бессмысленным [48]. Выделение автомодельной области индивидуально для каждого процесса и условий его протекания, зависит от сплава, способа литья, вида отливки и т.п. В самом приблизительном виде можно выделить следующие процессы, которые в ряде случаев можно моделировать последовательно без учета влияния последующих на предыдущие [69]:

- заполнение формы;

- охлаждение в процессе заполнения;

- затвердевание и охлаждение после затвердевания. Далее на базе уже известных тепловых полей:

- образование раковин, макропористости, микропористости;

- развитие деформаций;

- формирование структуры;

- прогноз механических свойств.

При этом, однако, большинство авторов отмечают, что совместное решение различных задач в ряде случаев может существенно повысить адекватность моделирования. Например, при литье массивных стальных отливок , в процессе доливки доливаемый жидкий металл может расплавить мост и залечить нижние изолированные раковины, но этого может и не произойти. Дальнейший ход затвердевания будет различным для этих двух случаев. Таким образом, для рассмотренного случая следует одновременно решать тепловую и усадочную задачу с учетом изменения геометрии за счет образования и залечивания раковин. Аналогичные проблемы возникают при расчете заполнения, когда гидродинамические характеристики расплава существенно зависят от температуры, а тепловые процессы в свою очередь регламентируются ходом заполнения. Для учета этого необходимо совместное решение тепловой и гидродинамической задачи. Совместные решения также необходимы для расчета структуры, процесс образования которой обычно называют кристаллизацией [70,71]. Кристаллизация зависит от хода охлаждения и затвердевания [68]. Сам по себе процесс перехода из жидкого состояния в твердое рассматривается в рамках задачи затвердевания (тепловые макро процессы). Однако для ряда сплавов тепловыделения в процессе затвердевания зависят от хода кристаллизации, что приводит к зависимости затвердевания от кристаллизации. В этом случае необходим совместный расчет затвердевания и кристаллизации.

Определяющей основой для всех остальных литейных процессов являются тепловые процессы [44,72,73,74,75,76,77], т.е. наиболее важным моментом моделирования литейных процессов является решение задачи охлаждения и затвердевания [74,45]. Численные методы позволяют решить эту задачу на основе исходного (т.е. без упрощений характерных для аналитических моделей) уравнения нестационарной теплопроводности с соответствующими граничными условиями [78]. Как показывает анализ результатов расчетов различных моделирующих систем, при решении задачи затвердевания, наиболее важное значение имеет то, насколько адекватно организован учет выделения скрытой теплоты и теплопередачи через границу сопряжения отливки и формы [79].

Экспериментальные данные ряда авторов показывают, что для многих сплавов величину скрытой теплоты и зависимость выделившейся доли твердой фазы от температуры можно считать относительно консервативной характеристикой сплава. Т.е. величина скрытой теплоты и характер ее выделения мало меняется в зависимости от скорости охлаждения (затвердевания).

Это характерно для алюминиевых сплавов, магниевых сплавов, большинства видов сталей и др.

Однако, для ряда сплавов, например для серых чугунов [80,77,81] величина выделяющейся скрытой теплоты зависит от хода охлаждения. Для сплавов с зависимостью количества выделившейся теплоты от характера охлаждения необходимо формулировать модель учета абсолютного количества теплоты от параметров затвердевания и кристаллизации.

Величину скрытой теплоты и вид графика относительного тепловыделения при затвердевании некоторые авторы пытаются различным образом рассчитывать. Однако, сравнение результатов таких расчетов с экспериментально определенными величинами скрытой теплоты и темпа ее выделения показывает, что применение различных функциональных зависимостей связывающих количество твердой фазы с диаграммами состояния сплавов чаще всего малоэффективно и крайне неадекватно отражает действительный характер тепловыделения для реальных неравновесных условий. Помимо всего прочего, большинство приводимых экспериментальных кривых охлаждения содержат различные неравномерности, которые в настоящее время объясняются крайне невнятно. Например, широко известное стояние на ликвидусе. Хотя все авторы согласны, что оно наблюдается, и объясняют его неравновесностью затвердевания или влиянием переохлаждения (единого мнения тут нет), но при этом расчетные алгоритмы либо труднореализуемы, либо расчетные значения плохо соответствуют действительности, либо методы расчета вообще в явном виде не формулируются авторами.

Таким образом, наиболее надежным методом определения скрытой теплоты и зависимости ее выделения от температуры является экспериментальное определение этих характеристик для каждого конкретного сплава. Модель тепловыделения для многих сплавов (алюминиевые, магниевые, стали и др.) можно свести к некоторому постоянному спектру выделения твердой фазы и величине скрытой теплоты, которые лучше всего определять экспериментально для каждого сплава.

Анализ публикуемых алгоритмов решения задачи затвердевания показывает, что при решении тем или иным численным методом уравнения нестационарной теплопроводности важно каким способом в решение вводиться скрытая теплота затвердевания, т.к. в явном виде она в этом уравнении не содержится.

В полной формулировке уравнения нестационарной теплопроводности присутствует член, учитывающий мощность внутренних источников тепла [78,82,83]. Однако для случая затвердевания зависимость тепловыделения от времени неизвестна и может быть лишь приближенно аппроксимирована по предыдущему временному шагу. Поэтому способ эффективного внутреннего источника может быть применен только к случаю малых скоростей охлаждения и больших интервалов затвердевания при равномерном темпе выделения твердой фазы. Такой случай в реальной практике литья практически не встречается, поэтому использовать такой способ для моделирования нерационально.

Иногда для учета скрытой теплоты используют метод эффективной теплоемкости [84]. В этом случае материалу сплава приписывают переменную теплоемкость с учетом внутреннего теплосодержания. Такой способ не позволяет адекватно учесть тепловыделения при постоянной температуре, т.к. теплоемкость не может быть бесконечно большой. Кроме того, при наличии слишком маленьких температурных интервалов в спектре затвердевания при сравнительно больших величинах тепловыделения, этот метод делает вычислительный процесс неустойчивым. Таким образом, этот метод применим для сплавов со сравнительно большим интервалом затвердевания при отсутствии эвтектических площадок и отсутствии стояния на ликвидусе. К этому случаю можно отнести затвердевание широкоинтервальных сплавов типа твердого раствора при небольших скоростях охлаждения. Эти условия охватывают сравнительно узкую область литья. При применении этого сравнительно узкую область литья. При применении этого метода для широкого класса сплавов и процессов используют искусственно задаваемые температурные интервалы при наличии площадок. Это, естественно, снижает адекватность моделирования.

Вероятно, наиболее адекватным способом учета скрытой теплоты являются различные модификации энтальпийного [84] учета тепловыделения. Энтальпийные методы позволяют адекватно рассчитывать затвердевание для широкого класса сплавов и способов литья. К наиболее легко реализуемым, устойчивым и скоростным модификациям этого метода можно отнести метод эффективного подъема температур в соответствии с энтальпией [84]. При этом методе решение проходит в два этапа. На первом этапе рассчитываются энтальпия для каждого узла без учета тепловыделения. Это дает возможность определить новое значение доли твердой фазы. На втором этапе по рассчитанным изменениям доли твердого вычисляются новые температуры с учетом тепловыделения.

Помимо скрытой теплоты затвердевания, на результаты решения тепловой задачи также существенно влияет учет условий граничной теплопередачи, т.е. интенсивности теплового взаимодействия отливки и формы. Хотя возможны различные способы приближенного учета тепловых процессов в форме [43,44,73], но все авторы в настоящее время сходятся в том, что для адекватного учета контактного теплообмена в большинстве случаев необходимо моделировать тепловые поля в форме так же «подробно», как и в отливке.

В зависимости от особенностей того или иного способа учета граничных условий, например, расчетное время затвердевания, может изменяться в разы [43,72]. В литературе можно обнаружить самые различные представления о том, как следует учитывать теплопередачу между отливкой и формой.

В некоторых случаях авторы расчетных методик предполагают, что между отливкой и формой существует абсолютно плотный контакт, что для аналитических расчетов существенно упрощает решение, хотя при численных расчетах это упрощение не существенно. Более того, сравнение результатов численных расчетов с опытными данными, для тех систем моделирования, которые используют модель «плотного контакта» в некоторых случаях показывает хорошее совпадение расчетных и экспериментальных температурных кривых. Модель с плотным контактом относительно неплохо подходит для условий литья в песчаные формы. Кроме того, удовлетворительное совпадение расчетных результатов и опытных данных наблюдается также в тех случаях, когда массивная отливка простой конфигурации заливается в металлическую форму с быстро прогревающимися «тонкими» по сравнению с отливкой стенками. Такие характеристики соответствуют производству крупногабаритных стальных цилиндрических слитков. Очевидно, что это связано с тем, что в этих случаях тепловые процессы на границе между отливкой и формой мало влияют на процесс охлаждения. В песчаных формах из-за их малой теплопроводности происходит быстрый разогрев слоя формы, прилегающего к отливке. В дальнейшем процесс охлаждения в основном связан с отводом тепла не от отливки в форму, а от единого разогретого теплового «блока» состоящего из отливки и прилегающей к ней области формы. В «тонких» металлических форм также происходит быстрый прогрев стенки формы и в дальнейшем процесс охлаждения регламентируется охлаждением единого теплового «блока» отливки и формы в воздух. В обоих этих случаях, очевидно, будет отсутствовать температурный скачок на границе между отливкой и формой. Вернее, этот температурный скачок достаточно быстро исчезнет. Следует отметить, однако, что в начальные моменты времени, когда температура поверхности формы прилегающей к отливке еще низка, модель с плотным контактом неизбежно будет приводить к существенным по-грешнВотригивоположность модели «плотного контакта» в теории литейных процессов достаточно давно разработана т.н. модель «зазора» [43,72,85,86].

Эта модель предполагает, что между отливкой и формой по всей сопряженной поверхности присутствует газовый (воздушный) зазор некоторой толщины. При этом величина зазора может быть рассчитана [43,86] исходя из размеров отливки, т.к. предполагается, что появление зазора связано с линейной термической усадкой. Зная величину зазора и теплопроводность воздуха можно легко вычислить тепловое сопротивление или коэффициент теплопередачи на границе между отливкой и формой. Коэффициент теплопередачи будет равен отношению теплопроводности зазора к его толщине. Действительно, многочисленные публикации показывают, что модель теплопередачи предполагающая наличие теплового сопротивления между отливкой и формой позволяет получить хорошее совпадение расчетных и опытных данных, как в случае песчаных форм, так и в случае использования металлических форм или наружных металлических холодильников. Анализ показывает, что эта модель позволяет адекватно рассчитывать тепловые процессы в условиях, когда на границе между отливкой и формой есть температурный скачок. Такой скачок присутствует в процессе всего затвердевания для высокотеплопроводных (металлических) форм. Однако, по публикуемым данным видно, что чаще всего используемая в расчетах величина теплового сопротивления на границе, гораздо ниже, чем, если бы его рассчитывали исходя из представлений о непрерывном газовом зазоре. Хорошее соответствие представлений о непрерывном зазоре с наблюдаемыми данными присутствует только для случаев затвердевания крупногабаритных стальных слитков [85,86]. Нетрудно предположить, что в действительности для подавляющего большинства номенклатуры отливок и способов литья никакого непрерывного зазора между отливкой и формой не образуется. Исключение видимо составляют крупногабаритные отливки простейшей конфигурации (т.е. слитки), где действительно линейная термическая усадка затвердевшей наружной области слитка приводит к тому, что по большой части поверхности сопряжения формируется непрерывный зазор.

Таким образом, хотя введение теплового сопротивления на границе позволяет существенно повысить адекватность моделирования, но обе модели, как модель «плотного контакта», так и модель «зазора» в общем случае не соответствуют реальному положению вещей и могут применяться только для каких-то конкретных условий.

Более сложной «интегральной» моделью является модель предполагающая одновременное существование равномерно распределенных пятен плотного контакта и теплопередачи через зазор, что соответствует самому общему случаю теплообмена между сопрягаемыми поверхностями [87,88]. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по определению относительной площади контакта и толщины зазора по неконтактной поверхности показывает, что «зазорно-контактная» модель позволяет оперировать величинами приближающимся по своим значениям к реальным физическим величинам [89,90]. В тех областях, где формируется газовый зазор, необходимо производить учет теплопередачи тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и лучеиспусканием [82,83]. Кроме того, на поверхности раздела отливки и формы могут присутствовать различные литейные краски [91] и окислы [92], которые также влияют на величину теплового сопротивления между отливкой и формой. Таким образом, для учета всех вышеперечисленных факторов и параметров, необходимо формулировать относительно сложную модель граничной теплопередачи. Подобную модель можно применять к самому широкому спектру способов литья, в том числе литью фасонных отливок сложной конфигурации с использованием как песчаных, так и металлических, графитных и других высокотеплопроводных форм. Однако такая более сложная модель содержит в себе дополнительные параметры -помимо средней толщины зазора, в ней присутствуют также относительная площадь плотного контакта, что существенно затрудняет определение этих параметров по косвенным данным типа температурных кривых. Полный же физический расчет этих параметров с учетом всех реально действующих факторов для условий литья крайне затруднен.

Таким образом, для адекватного моделирования тепловых процессов в затвердевающей отливке необходимо формулировать некоторую «зазорно-контактную» модель граничной теплопередачи. Для этой модели необходимо определять требуемые для расчетов параметры, и (или) сформулировать некоторые методики расчета этих параметров в зависимости от технологических условий. Это особенно важно для способов литья предполагающих непосредственное влияние технологических факторов (давление, вакуумирова-ние и т.п.) на граничную теплопередачу. К таким способам литья относятся ВПФ, ЛПД, ЛНД, ЛКД (жидкая штамповка) и др.

Так же как и для учета скрытой теплоты, для учета теплопередачи между отливкой и формой достаточно важно то, как именно в расчетную схему встраиваются параметры, регламентирующие граничную теплопередачу. У разных авторов можно встретить описание разных способов ввода в расчет граничных тепловых потоков. Причем, эти способы существенно зависят от применяемого численного метода. Например, при использовании метода конечных разностей, чаще всего всю область отливки и формы разбивают единой непрерывной сеткой, а между сопряженными элементами отливки и формы «включают» дополнительное тепловое сопротивление. Однако в этом случае скачок температур между отливкой и формой учитывается лишь приближенным образом, кроме того, сам по себе метод конечных разностей содержит погрешности при учете граничных потоков на поверхностях сложных фасонных геометрий. В случае применения более адекватного и современного метода конечных элементов обычно область отливки и формы описывают разными сетками, учет теплообмена между которыми происходит на уровне задаваемых граничных условий для каждой сетки. Это позволяет адекватно учитывать разницу температур между сопрягаемыми поверхностями, а, кроме того, метод конечных элементов гораздо лучше подходит для описания сложных геометрий фасонных отливок.

При вводе в расчет соответствующих граничных условий также могут применяться разные способы. Граничные условия в общей формулировке [78] содержит два члена, которые формально можно использовать для этой цели - задаваемый граничный тепловой поток и т.н. конвективную теплопередачу в среду. В обоих случаях в расчет вводиться разница температур граничащих элементов из разных сеток.

В случае теплового потока, его величину назначают как отношение разницы температур поверхности отливки и формы к тепловому сопротивлению между ними. При этом соответственно предполагается, что разница этих температур за один расчетный шаг по времени меняется мало и граничный тепловой поток в течение этого шага постоянен. Таким образом, тепловой поток никак не учитывает изменения температур сопрягаемых поверхностей отливки и формы за один шаг по времени. Поэтому использование задаваемого теплового потока возможно только при малых скоростях охлаждения и небольших начальных перепадах температур между отливкой и формой. В большинстве способах литья перепады и скорости изменения поверхностных температур в начальные моменты времени очень велики. Таким образом, ввод теплообмена между отливкой и формой посредством задаваемого теплового потока приведет к значительным погрешностям. В случае граничных условий типа конвективного теплообмена предполагается, что через заданное тепловое сопротивление происходит теплопередача от поверхности тела в некую условную среду с постоянной температурой. В данном случае этой условной средой с постоянной температурой будет являться сопрягаемая поверхность «противоположного» тела. Для отливки «противоположным» телом будет форма, для формы - отливка. Таким образом, для каждого из тел одна из температур, регламентирующих граничный тепловой поток будет постоянной, однако суммарный тепловой поток будет переменным в течение расчетного шага по времени, т.к. уравнение нестационарной теплопроводности предполагает переменными температуры во всем теле, в т.ч. и на его поверхности. При граничных условиях типа конвективной теплопередачи результирующий теплообмен зависит от поверхностной температуры тела, изменение которой (в том числе и в зависимости от интенсивности теплообмена) учтено в исходном уравнении. В некоторых алгоритмах помимо этого, в разрешающую систему уравнений одной сетки вводят не только температуру поверхности сопряженных элементов другой сетки, но и температурные и теплофизические параметры во всем граничном элементе. В этом случае появляется возможность приближенно учесть и изменение температуры поверхности «противоположного» тела за расчетный временной шаг. Таким образом, ввод теплопередачи между отливкой и формой в численное решение через условия конвективной теплопередачи позволяют учесть быстрые изменения поверхностной температуры, что делает этот способ предпочтительным для литейных постановок решения тепловой задачи.

При решении задач прогноза дефектов в отливках, одной из основных проблем является прогноз пористости, рыхлот и концентрированных усадочных раковин. Как указывалось выше, основой для моделирования большинства литейных процессов, в т.ч. и моделирование процессов образования усадочных дефектов является решение тепловой задачи. Анализ публикуемых алгоритмов решения усадочных задач в литейных моделирующих системах показывает, что в настоящее время в отличие от тепловой задачи, в большинстве моделирующих систем усадочная задача решается на основе крайне упрощенных моделей, которые не соответствуют современным возможностям численного моделирования.

Чаще всего под расчетом усадочных дефектов в таких системах подразумевают обработку тепловых полей по относительно простым критериям типа критерия Наямы [93] или, в лучшем случае, проводят упрощенный расчет без учета фильтрационных процессов для микропористости и сложной структурированности двухфазной зоны для макропористости. Следует отметить, что отечественные авторы достаточно подробно исследовали возможность применения различных критериев для прогноза возникновения пористости и в отличие от [93], предложили не один, а целое семейство возможных критериев, которые могут применяться для различных характерных случаев [94].

При упрощенных расчетах часто используют понятие т.н. «границы прекращения питания». При этом по результатам решения тепловой задачи определяют геометрическое положение изоповерхности, соответствующее этой границе, например изоповерхности 50% жидкой фазы. Затем в замкнутых областях, изолированных этой поверхностью, проводят назначение процента пористости в соответствии с величиной объемной усадки и оставшейся на этот момент долей жидкого. Иногда также вводят понятие «длинны канала питания» и затем на основе результатов решения тепловой задачи чисто геометрически решают задачу определения «локальных каналов». Если длина канала превышает некоторую критическую величину, которую иногда тоже рассчитывают геометрически для каждой локальной области на основе тепловых полей, то предполагают, что там возможно появление усадочного дефекта в соответствии с оставшейся доли жидкого [95].

В то же время, в силу важности задач связанных с предотвращением пористости и раковин, проблемам анализа физики процессов приводящих к образованию усадочных и газо-усадочных дефектов традиционно посвящено достаточно много как отдельных публикаций [96,97,98,99,100,101,102,103], как и специальных разделов в монографиях [44,73,75,76,77,104,105,106].

Механизм образования пористости в различных сплавах принципиально различается. Так, для сплавов с ярко выраженными процессами объемного расширения, образование пористости чаще всего связано с совместным течением процессов затвердевания, кристаллизации и деформации. К таким сплавам относят, например, некоторые виды серых чугунов [77,81]. Это достаточно специфические процессы и их следует рассматривать отдельно. В большинстве же сплавов образования пористости и раковин связано с существенным влиянием объемной усадки при затвердевании и несущественном влиянии деформационных процессов. К таким сплавам относят стали, некоторые виды чугунов, А1- и Mg-сплавы, бронзы, латуни и т.д. Для таких сплавов образование пористости зависит от объемной усадки в каждой точке в каждый момент времени. Коэффициент усадки может быть различен для разных фаз, выделяющихся при затвердевании, что при численном моделировании легко учесть, хотя вероятно эта неравномерность не имеет решающего значения для адекватности прогноза усадочных дефектов. В некоторых публикациях обращается внимание на то, что помимо усадки при затвердевании, на формирование раковин может оказывать влияние термическая объемная усадка в жидком состоянии при падении температуры расплава от температуры заливки до температуры ликвидуса.

Образование концентрированных раковин обычно связывают с последовательным падением уровня расплава за счет объемной усадки при затвердевании [44,76,104]. Предполагается, что при этом отливка затвердевает последовательно от стенок, в центральных областях остается жидкий металл, окруженный твердой коркой. При этом затвердевшая корка становиться все толще, за счет этого площадь зеркала расплава и область формирования раковины последовательно уменьшается. Так формируется классическая воронкообразная наружная раковина или веретенообразная внутренняя. С точки зрения численного расчета этого процесса, при наличии уже вычисленных тепловых полей достаточно просто определить как площадь зеркала на каждом временном шаге, так и общую величину объема усадки в каждой изолированной зоне. Соответственно величина падения зеркала за шаг будет равна отношению объема усадки к площади зеркала. Такой механизм формироваt ния раковин хорошо подтверждается экспериментально с применением метода выливания. Кроме того, его можно просто наблюдать визуально на слитках из относительно низкотемпературных сплавов типа сплавов на основе алюминия.

Однако данные по термометрированию отливок показывают, что достаточно часто значительные области отливки, а иногда и вся отливка находятся в интервале затвердевания, так что говорить о явной границе между твердой коркой и жидким металлом затруднительно. В связи с этим ряд авторов выделяют некоторое значение доли жидкого внутри интервала затвердевания и считают его условной границей между условно «твердым» и условно «жидким» металлом. Достаточно часто эту границу относят к т.н. «температуре начала линейной усадки». При этом предполагается, что те области отливки, в которых при температуре начала линейной усадки образовался непрерывный дендритный каркас, начинают вести себя как единое твердое тело и изменяют линейные размеры в соответствии с термической усадкой. Применительно к образованию усадочных дефектов температура или доля жидкого на момент начала линейной усадки по смыслу полностью соответствует упоминаемой выше «границе прекращения питания».

Момент и температуру начала линейной усадки можно зафиксировать экспериментальными методами. Ряд авторов приводят разнообразные опытные и расчетные данные по значениям доли жидкого на момент начала линейной усадки для различных сплавов, а также ее зависимости от химического состава и параметров структуры. В [96] приводятся данные, что в бинарных сплавах Al-Si доля жидкого на момент начала линейной усадки изменяется от 90% до 60% при росте содержания кремния от 1% до 10%. Для бинарного сплава Pb-15%Sn доля жидкого на момент начала линейной усадки в различных опытах изменяется в приделах 70%-65% [97]. В сталях по данным [98] доля жидкого на моментначала линейной усадки составляет 15%. Доля жидкого на момент начала линейной усадки в бронзе БрОЮ в различных опытах изменяется в приделах 45%-40% для мелкозернистой структуры и в приделах 85%-80% для крупнозернистой столбчатой структуры. Не смотря на то, что подобные данные весьма полезны, анализ значительного статистического разброса характера и вида реальных усадочных дефектов в одинаковых отливках приводит к выводу о том, что попытки «зафиксировать» некоторую устойчивую критическую характеристику типа «границы прекращения питания» не отражают реальной физики образования этих дефектов. Судя по всему, подобные критические точки, регламентирующие образования дефектов весьма неконсервативные и статистическим образом меняются в достаточно широких приделах. Вероятно, при моделировании таких неконсервативных процессов как образование усадочных дефектов, надо варьировать подобные характеристики, чтобы делать ответственные прогнозы того, в каких приделах в реальности может изменяться картина процесса.

Представления о «зеркале расплава», его перемещении в процессе затвердевания и прямом влиянии этого процесса на образование раковин и рыхлот хорошо соответствуют наблюдаемым фактам. Однако изменение структурированности сплава в интервале затвердевания вряд ли можно адекватно описать только одной критической величиной типа доли жидкого начала линейной усадки. Соответственно и процесс образование усадочных дефектов имеет более сложный характер, чем просто «питание-непитание». Более адекватное описание структурированности двухфазной области расплава будет при введении как минимум трех критических точек: доля жидкого при образовании дендритного каркаса, доля жидкого при прекращении гравитационного течения и доля жидкого при полном перекрытии междендритных каналов [107,108]. Тогда в зависимости от структурированности той или иной области отливки, оказавшейся в условиях прекращения питания выше зеркала расплава (или его условного эквивалента в двухфазной зоне) пористость будет образовываться по разным принципам. Либо концентрированная раковина - 100% пористости, либо значительная рыхлота 10%-50% равная «вытекшей» доле жидкого, либо относительно незначительная пористость 0.1%-3% соответствующая объемной усадке оставшейся доли жидкого. Такая модель позволяет адекватно описать процесс образования макропористости любой величины — от раковины до осевой рыхлоты [107,108].

Однако, помимо механизма образования макропористости и раковин, в различных публикациях обсуждается принципиально другой механизм, связанный с фильтрационными процессами и приводящий к образованию усадочной и газо-усадочной микропористости. В определенной мере упомянутый выше критерий Наямы и другие критерии подобного рода базируются на попытках аналитического решения фильтрационной задачи в упрощенной постановке. Чаще всего при введении понятия фильтрации используют известное уравнения Дарси [105,106], связывающее давление и проницаемость некоторой среды. Коэффициент фильтрации в интервале затвердевания, входящий в это уравнение в свою очередь зависит от доли жидкого в двухфазной зоне. Коэффициент фильтрации для фильтрационных процессов по смыслу аналогичен теплопроводности для тепловых процессов. Ряд авторов по различным методикам пытались экспериментально определить значение этого коэффициента для разных сплавов при разных долях жидкой фазы и вывести зависимость этого коэффициента от доли жидкой фазы [105,106,100,101,102]. Эмпирически установлено, что с определенной долей приближения этот коэффициент пропорционален доле жидкого в некоторой степени. У разных авторов эта степень колеблется от полутора до двух с половиной. Если принять степень равной двум, то это будет соответствовать пропорциональности среднему проходному сечению канала, сквозь который фильтруется жидкий расплав, что в некоторой степени отражает физику процесса. Однако, как отмечено в некоторых публикациях, опытным путем установлено, что в действительности лучше соответствует функция, в которой вместо доли жидкой фазы используется отношения доли жидкого к доле твердого. Во всяком случае, при постоянной степени, например равной двум, коэффициент пропорциональности имеет смысл фильтрационных характеристик данного сплава и является его некоторым эффективным свойством. Так или иначе, попытки применения сугубо аналитического анализа фильтрационных процессов в затвердевающей отливке неизбежно приводят к использованию более или менее сложных критериев типа того же критерия На-ямы.

Более современный подход к решению задачи фильтрационного течения состоит в численном решении дифференциального уравнения фильтрационного течения. Это уравнение выводиться при совместном решении уравнения Дарси и уравнения неразрывности потока [109]. Уравнение фильтрационного течения является дифференциальным уравнением эллиптического типа и по общему виду не отличается от уравнения стационарной теплопроводности. Возможна и нестационарная постановка фильтрационной задачи с использованием понятия "упругоемкости" [78]. Однако в случае потоков, характерных для фильтрационного течения при усадке, задачу можно считать стационарной. При решении, помимо «внутренних стоков» за счет усадки необходимо также учитывать высоту зеркала расплава, дающее дополнительное металлостатическое давление. Это уравнение с граничными условиями, соответствующими наличию внешнего (атмосферного или повышенного) давления, так же как и уравнение нестационарной теплопроводности может быть решено одним из известных численных методов. Вероятно, впервые такой подход при расчете микропористости был применен для алюминиевых сплавов в 1986-1987 гг. [103] на базе метода конечных элементов в двумерной постановке. При численном решении этого уравнения находят поля распределения давления в затвердевающей отливке. Там, где давление упало ниже некоторой критической величины, соответствующей парциальному давлению растворенных газов или в более общей постановке прочности жидкого на разрыв, образуются зародыши микропор. В дальнейшем эти зародыши растут и образуют микропористость, которая достигает максимума равного произведению доли жидкого при образовании зародыша на величину объемной усадки при затвердевании. Поскольку давление в отливке зависит от уровня расплава (высоты зеркала), то задачи формирования микропористости и макропористости необходимо решать совместно [108]. Следует отметить, что адекватное моделирование образования микропористости требует экспериментального определения упомянутого выше коэффициента пропорциональности, являющегося важной фильтрационной характеристикой сплава [108]. Желательно это делать в тех же условиях, в которых готовится сплав для реальных отливок, так как известно, что микропористость существенно зависит от особенностей модифицирования, рафинирования и т.п.

Таким образом, для моделирования процессов образования усадочных дефектов необходимо совместно рассматривать как минимум два совершенно различных механизма. По одному из этих механизмов, связанному с расчетом кинетики продвижения зеркала расплава и учетом сложной структурированности двухфазной зоны образуется макропористость и раковины. По другому механизму, связанному с решением задачи фильтрационного течения и расчетом полей давлений образуется микропористость.

Одним из наиболее современных и часто применяемых численных методов для решения задач моделирования физических процессов является метод конечных элементов. Метод конечных элементов (МКЭ) является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. По данным [78] возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1950г.) и впервые он опубликован в работе [110]. Широкое распространение МКЭ и превращение его в общий метод численного решения инженерных задач во многом связано с исследованиями в области МКЭ опубликованными в [111]. Хотя существует большое разнообразие в формулировках, МКЭ может быть охарактеризован следующими свойствами [78,112,113]:

- Физическая область задачи делится на подобласти (конечные элементы);

- Искомое непрерывное распределение (зависимая переменная) аппроксимируется кусочно-непрерывными функциями на каждом конечном элементе. Совокупность таких аппроксимаций считается приближенным описанием искомого распределения. Параметры этих аппроксимаций становятся неизвестными параметрами задачи, определяемые в вершинах (узлах) конечных элементов;

- Подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения (или эквивалентные им при вариационном подходе) дает систему уравнений с неизвестными узловыми параметрами. Решение системы относительно этих параметров позволяет получить приближенное решение задачи.

Теоретически при стремлении размеров элементов к нулю численное решение должно сходится к точному.

В настоящее время практически все универсальные пакеты для моделирования тепловых, деформационных, электродинамических и т.п. процессов используют МКЭ. Это такие системы как ANSYS, NASTRAN, PATRAN, COSMOS и др. Наиболее продвинутые пакеты для моделирования литейных процессов (ProCAST, WinCAST и др.) также используют МКЭ. Анализ литературных источников показывает, что результаты решения тепловых задач в этих пакетах хорошо совпадают друг с другом [114], что свидетельствует о надежности и устойчивости решений в МКЭ. Однако ряд литейных пакетов, таких как MagmaSofit и др. используют другой численный метод решения -метод конечных разностей (МКР). Анализ исходных постулатов этих методов и ряд публикаций показывают, что МКР является относительно устаревшим, менее скоростным, более ресурсоемким и менее адекватным методом, а кроме того при решении тепловых задач применительно к условиям литья содержит в своей основе систематическую погрешность, связанную со способом разбиения и решения [115].

Несмотря на вышесказанное, у ряда авторов можно встретить утверждение, что МКЭ более «медленный» метод, чем метод конечных разностей (МКР) [56]. Для большинства литейных процессов это утверждение совершенно неверно. При требовании равной адекватности (например, отклонении от точного решения) расчет по МКЭ будет быстрее, чем по МКР в силу того, что исходные постулаты МКЭ точнее соответствует реальным физическим уравнениям и он «удовлетворится» гораздо более грубой дискретизацией, чем МКР [115]. Практически сравнивать скорость разных численных методов затруднительно, однако некоторые сравнительные расчеты [115] подтвердили существенное «скоростное» преимущество МКЭ (по меньшей мере в разы, а в ряде случаев на порядки). Авторы, высказывающие мнение о высокой скорости счета при МКР вероятнее всего не учитывают следующее. Очень часто с помощью МКР решают задачи при явно неудовлетворительной степени дискретизации из-за ограниченности вычислительных ресурсов. В этих случаях скорость расчета действительно будет относительно высокой, за счет низкой адекватности. Для тепловой задачи (затвердевание), задачи фильтрационного течения (пористость), деформационных процессов (трещины) МКЭ является, вероятно, наиболее выгодным методом.

Наиболее наглядное преимущество МКЭ перед разностными методами состоит в более правильном описании геометрии. В рамках МКЭ геометрия обычно задается набором неправильных многогранников, например неправильных тетраэдров. Конечно-элементная расчетная геометрическая модель (ГМ) позволяет достаточно точно описывать сложную фасонную конфигурацию реальных отливок. Хорошее совпадение поверхности ГМ с поверхностью реальной геометрии позволяет в рамках МКЭ без затруднений правильно учитывать граничные потоки, например, граничную теплопередачу. Граничная теплопередача, как уже отмечалось выше, один из основных параметров, определяющий адекватность решения тепловой задачи применительно к литейным процессам.

При МКР дискретизация геометрии обычно состоит в представлении ее в виде параллелепипедов с гранями параллельными координатным плоскостям. В таком случае участки поверхности геометрии не могут быть ориентированы произвольным образом и их приходится представлять в ступенчатом виде. Внешняя поверхность отливки при этом существенно искажается, что приводит к неизбежным ошибкам при учете граничной теплопередачи. Кроме того, при МКР чаще всего координаты можно задавать лишь с точностью до дискретности разностной сетки, что приводит к ошибкам в объемных соотношениях геометрии.

В качестве ошибок, к которым приводит разностное описание геометрии, можно привести следующий пример. Для «выпуклых» геометрий площадь поверхности в разностном представлении независимо от конфигурации всегда будет равна удвоенной сумме площадей трех взаимно ортогональных проекций на координатные плоскости сетки. Это правило будет выполняться независимо от степени измельчения разностной сетки. Очевидно, что в реальности площадь поверхности или периметр совсем другие, а это неизбежно должно привести к ошибкам при решении тепловой задачи. Собственно, широко известная «приведенная толщина», которая определяет время затвердевания и есть отношение объема к теплоотводящей поверхности. Для борьбы с такого рода погрешностями в разностные алгоритмы необходимо включать специальные процедуры, которые бы корректировали граничные потоки. Однако без восстановления исходных поверхностей в общем виде эта задача не решаема. Поэтому чаще всего разработчики разностных алгоритмов как бы «забывают» о том, что теплопередача через любые поверхности непараллельные осям разностной сетки, строго говоря, в МКР всегда учитывается неправильно. В принципе, одного этого было бы достаточно, чтобы безоговорочно отказаться от МКР в пользу МКЭ, т.к. соотношение объема и теплоотводящей поверхности один из главных параметров определяющих процесс затвердевания. Понятно, что в МКЭ увеличение дискретности однозначно улучшает геометрическое соответствие дискретной элементной модели и реальной геометрии отливки, так что этот метод не содержит в своей основе таких геометрических несоответствий, какие заложены в МКР.

Однако, главное преимущество элементного подхода даже не в точности описания геометрии, хотя и это очень важно. В МКЭ на уровне исходных положений при выводе всех уравнений предполагается, что искомая функция (например, температура) имеет некоторое распределение внутри элемента, например линейное. В МКР же на уровне исходных положений в явном или неявном виде декларируется ступенчатое распределение искомой функции, причем размер «ступеньки» равен шагу разностной сетки. Из этого следует два вывода. Во-первых, исходные положения МКЭ гораздо лучше соответствуют действительному распределению температурных полей в отливках, чем исходные положения МКР. Во-вторых, для адекватного использования МКР, в самой тонкой части отливки должно помещаться не менее десятка узлов разностной сетки. С формальной точки зрения говорить о расчете распределения температур при наличии всего двух-трех «ступенек» - просто бессмысленно.

Кроме того, шаг разностной сетки должен быть таким, чтобы не искажались объемные параметры реальной геометрии. В конечно-элементных сетках все поверхностные узлы сетки могут совпадать непосредственно с реальной поверхностью независимо от густоты сетки. При разностной сетке узлы не могут располагаться произвольно, и их положение определяется шагом разностной сетки. В общем случае ошибка разностной ГМ составляет половину шага сетки в данной области. Понятно, что при грубой разбивке сдвиг поверхности на половину шага может существенно исказить, например, толщину какой-то стенки. При моделировании реальных отливок с помощью МКР перечисленные выше правила чаще всего не могут быть выполнены из-за ограниченности вычислительных ресурсов. Чтобы как-то скомпенсировать недостаточную дискретность разностной сетки, иногда после решения проводят операцию сглаживания ступенчатого температурного распределения. Это позволяет в конечном итоге предъявить гладкие температурные поля с аппроксимацией температур внутри разностного «кирпичика». Математически такая операция достаточно проста и не требует больших ресурсов. Однако следует помнить, что при МКР непрерывные температурные распределения получены не решением уравнения нестационарной теплопроводности, а последующей обработкой решения, что естественно снижает достоверность результатов.

Однако когда физика задачи требует очень мелкой или динамической дискретности, МКР действительно более выгоден чем МКЭ. Видимо, к таким задачам следует отнести гидродинамические процессы.

Помимо МКЭ и МКР можно упомянуть метод граничных элементов (МГЭ). К литейным процессам этот метод практически не применяется, т.к. не смотря на свои положительные качества, он в основном ориентирован на геометрию с однородными свойствами в пределах достаточно крупных областей. В случае же задачи затвердевания всегда присутствуют области перехода от свойств жидкой фазы к свойствам твердой с динамическими (движущимися) границами.

Заключение диссертации по теме «Литейное производство», Тихомиров, Максим Дмитриевич

Выводы

В силу того, что сами по себе литейные процессы сложные, многофакторные и многоуровневые, кроме того, геометрия отливок чаще всего достаточно сложная, простые аналитические зависимости и рекомендации имеют ограниченный характер и не могут учесть многие существенные особенности литейных процессов. В связи с этим при проектировании литейных технологий целесообразно применять процедуры компьютерного моделирования литейных процессов с применением адекватных физических моделей ориентированных на численные методы решения, позволяющие учесть сложную геометрию отливок. На основании проведенной работы можно сделать следующие выводы.

1. Экспериментально установлено, что процессы граничной теплопередачи между отливкой и формой связаны с одновременным существованием как равномерно распределенных пятен плотного контакта, так и газового зазора в течение всего времени затвердевания фасонных отливок.

2. С помощью численного моделирования доказано, что для металлических форм даже небольшие относительные площади плотного контакта от 1% до 3%, характерные для литья в кокиль, существенно влияют на тепловые процессы, уменьшая время затвердевания как минимум в полтора раза.

3. С помощью численного моделирования доказано, что при относительных площадях плотного контакта более 10%, что характерно для ЛПД, ЛНД, ЖД и т.п., влияние теплопередачи через газовый зазор несущественно по сравнению с теплопередачей через области плотного контакта.

4. Сформулирована модель граничной теплопередачи, предполагающая одновременное существование пятен плотного контакта, газового зазора и межконтактных прослоек, учитывающая кондукционную, конвекционную и лучистую теплопередачу.

5. Применение прогнозирования граничных температур и трехслойной временной схемы при численных расчетах на основе МКЭ позволяет уменьшить влияние величины шага по времени на адекватность расчетов и более адекватно учесть наличие больших перепадов температур между отливкой и формой в начальные моменты времени.

6. На основе проведенных экспериментов и обработки экспериментальных данных с помощью численного моделирования установлены параметры граничной теплопередачи и их зависимость от давления для литья в кокиль, ВПФ, ЛНД, ЛКД.

7. Сформулирована модель учета выделения скрытой теплоты и применен энтальпийный метод ее ввода в вычислительные алгоритмы на базе МКЭ, что позволяет адекватно моделировать процессы затвердевания как в период затвердевания в интервале температур при формировании твердого раствора, так и при тепловыделениях при постоянных температурах при затвердевании эвтектики.

8. Для группы высокопрочных алюминиевых сплавов экспериментально определены теплофизические параметры необходимые для моделирования тепловых процессов в отливках из этих сплавов.

9. Сформулированны модели формирования усадочных дефектов по совместно действующим механизмам образования микропористости и макропористости, которые позволяют адекватно учесть как влияние фильтрационных процессов и падение давления, так и кинетику движения зеркал расплава во всех формирующихся зонах изолированного питания.

10. Показано, что для адекватного моделирования образования микропристости необходимо численное решение эллиптического дифференциального уравнения фильтрационного течения в трехмерной постановке и расчет полей давлений в объеме отливки с учетом зависимости коэффициента фильтрации от доли жидкой фазы и металлостатического напора определяемого при решении задачи формирования макропористости.

11. Установлено, что для адекватного моделирования образования макропористости и раковин необходимо численными методами определять все формирующиеся изолированные зоны питания с учетом наследования, рассчитывать для каждой зоны кинетику движения зеркала расплава и эквивалентной зеркалу поверхности в двухфазной зоне.

12. Показано, что в двухфазной зоне механизм формирования макропористости связан с разной степенью структурированности двухфазной зоны, которая может быть определена с точки зрения образования пористости тремя критическими точками — доля жидкого при схватывании дендритного каркаса, доля жидкого при прекращении гравитационного течения, доля жидкого при полном перекрытии каналов.

Т' 13. Показано, что такие усадочные характеристики сплавов, как критические точки, являются неконсервативными параметрами, что отражается на статистическом характере формирования макропористости и при моделировании литейных технологий их необходимо варьировать, чтобы получить полный набор появляющихся в реальности зон с макропористостью.

14. Для группы высокопрочных алюминиевых сплавов экспериментально определены усадочно-фильтрационные параметры необходимые для моделирования процессов формирования усадочных дефектов в отливках из этих сплавов.

15. Разработана система компьютерного моделирования литейных процессов (СКМ ЛП) «Полигон», которая в настоящее время широко распространена на литейных производствах СНГ (около 50 предприятий) и используется для моделирования литейных процессов для самого широкого спектра сплавов и способов литья. Кроме того, данная система широко используется в учебных целях на литейных и металлургических кафедрах ВУЗов СНГ (около 10 ВУЗов).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тихомиров, Максим Дмитриевич, 2004 год

1.Абрамов А. А. Высокопрочные литейные алюминиевые сплавы. Достижения и перспективы. <<ЦНИИМатериалов-90 лет в материаловедении». Научно-технический сборник. Вып.2. Изд. СПбГПУ, 2004, с.38-62.

2. Кишкина С.И. Сопротивление разрушению алюминиевых сплавов. М., Металлургия, 1981, 280 с.

3. Г.Б. Строганов, В.А. Ротенберг, Г.Б. Гершман. Сплавы алюминия с кремнием. М. — Металлургия 1977 г. — 271 с.

4. Баландин Г.Ф., Каширцев Л.П. Структурно-механические свойства сплавов Al-Si в интервале кристаллизации и анализ их жидкотекучести: Сб. Теплообмен между отливкой и формой. -Минск: Высшая школа.-1967.- с 59.

5. Новиков И.И. Горячеломкость цветных металлов и сплавов. М.,1966. 298 с.

6. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х. Численное моделирование образования горячих трещин в отливках из алюминиевых сплавов. — М.: Литейное производство. 1992, No 6, с.32-33

7. Sohes Н. Microstructure of Rapidly Solidificed Materials. Mater. Sci. and Engin. 1984-V. 65-p. 145-156

8. Абрамов A.A., Паутов Д.М., Боричева И.К., Зазерская Т.О. Влияние высокого давления при кристаллизации на структуру и свойства алюминиевых сплавов. М.: Литейное производство 1989. No 3 с.5-6.

9. Батышев А.И., Любавин А.С., Беспалько В.И., Шрамко Т.Я. Влияние давления и интенсивности контактного теплообмена на макроструктуру отливок. М.: Литейное производство 1989. No 3 с.5-6.

10. Батышев А.И. Кристаллизация металлов и сплавов под давлением. — М. 1977, 151 с.

11. Тихомиров М.Д. Определение давления в расплаве при литье с кристаллизацией под давлением. М.: Литейное производство. - 1990, No 5, с.18-19.

12. Кузнецов В.П. Технологические особенности литья методом вакуумной формовки: Материалы научно-практического семинара «Новые подходы к подготовке производства в современной литейной промышленности». -СПб., 2004, с.94-96.

13. Белоусов Н.Н. Затвердевание отливок из цветных сплавов в условиях приложения давления: Сб. Затвердевание металлов-М., 1958, с.176-214.

14. Калюкин Ю.Н., Мальцева Ю.Ю., Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х. Высокоэффективная технология литья крупногабаритных лопаток ГТД.- М.: Литейное производство.- 2001, No 11, с.7-9.

15. Ишханов А.Е.,Фролов М.М.,Пулит В.В.,Тихомиров М.Д. Итерированная САПР литейной технологии . Структура, функции, перспективы.- М.: Литейное производство 1991. No 10 с.23-24.

16. Тихомиров М.Д. САПР технологических процессов литья в СССР и за рубежом (обзор) : Сб. Автоматизация проектирования и управления качеством отливок. Материалы IV научно-технической конференции. Санкт-Петербург, ЛДНТП, 1991, с.66-71.

17. Норенков И.П. С АПР.Кн. 1 .Принципы построения и структура. М.,Высшая школа, 1986, 123 с.

18. Федорук В.Г.,Черненький В.М. САПР.Кн.З.Информационное и прикладное программное обеспечение. М.,Высшая школа, 1986, 158 с.

19. Кузнецов В.П., Абрамов А.А., Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Кузин Л.А. Проект "Карат": от моделирования процессов литья до литейных моделей. -М.: Литейное производство. 1995, No 4-5, с.69-70.

20. Тихомиров М.Д., Некрасов В.К., Петриков А.В. Принципы поэтапного развертывания САПР ТПЛ. М.: Литейное производство. - 1992, No 12, с.22-23.

21. Голод В.М., Ишханов А.Е., Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Фролов М.М., Морозов Б.М., Сивко В.И., Бех Н.И. Интегрированная САПР литейной технологии. М.: Литейное производство. - 1994, No 10-11, с.44-47.

22. Тихомиров М.Д. Основы моделирования литейных процессов. Системы синтеза литейной технологии и их отличие от систем моделирования литейных процессов- М.: Литейное производство.- 2004, No 2, с.28-31.

23. Тихомиров М.Д., Десницкая Л.В.Суханова В.П., Емельянов В.О. Автоматизированное моделирование литейных процессов. Учебное пособие.-СПб.:СЗПИ, 2000, 80 с.

24. Тихомиров М.Д., Голод В.М., Морозов Б.М. Моделирование технологических процессов литья. М.: Литейное производство. - 1992, No 10-11, с.48-50.

25. Тихомиров М.Д., Голод В.М. Современная САПР литейной технологии. -М.: Литейное производство. 1996, No 10, с.29-30.

26. Тихомиров М.Д. Основы моделирования литейных процессов. Важные особенности систем моделирования- М.: Литейное производство,- 2004, No 5, с.24-30.

27. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Голод В.М. Модели и оценка систем моделирования литейных процессов. М.: Литейное производство. - 1995, No 4-5, с.68,

28. Тихомиров М.Д., Ермакова С.В. Обоснование выбора литейной моделирующей системы: Материалы научно-практического семинара «Новые подходы к подготовке производства в современной литейной промышленности». СПб., 2004, с.37-41.

29. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Абрамов А.А. Пакет прикладных программ "Полигон" для моделирования процессов литья алюминиевых сплавов. М.: Литейное производство. - 1991, No 10, с.6-7.

30. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Абрамов А.А., Голод В.М. Очередная версия и перспективы развития ППП "Полигон": Тезисы V Международной научно-технической конференции "Кристаллизация и компьютерные модели". Ижевск, 1992, с. 101-102.

31. Тихомиров М.Д. Назначение, возможности и перспективы развития САМ ЛП "Полигон": Тезисы всероссийского научно-практического семинара "Литейное производство сегодня и завтра". ЛенАЛ, Санкт-Петербург, 2000, с.54-56.

32. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Агроскин А.Р. Моделирование достижения и проблемы. Игра для взрослых «Полигон».- М.: Литейное производство.- 2001, No 6, с.33-35.

33. Тихомиров М.Д., Бройтман О.А. Система компьютерного моделирования литейных процессов «Полигон»: Материалы научно-практического семинара «Новые подходы к подготовке производства в современной литейной промышленности». СПб., 2004, с.29-36.

34. Молчанюк Р.А. Применение системы автоматизированного моделирования «Полигон» на ЗАО «РУСТ-95»: Материалы научно-практического семинара «Новые подходы к подготовке производства в современной литейной промышленности». СПб., 2004, с.60-62.

35. Максимова Н.В. О внедрении САМ ЛП «Полигон» на ОАО «ТМЗ»: Материалы научно-практического семинара «Новые подходы к подготовке производства в современной литейной промышленности». СПб., 2004, с.68-77.

36. Гиршович Н.Г., Нехендзи Ю.А. Аналитические решения простейших задач о затвердевании отливок разной конфигурации. Литейное производство.-1956, N 3, С.14-19; N 4, С.13-17; N 6, С.13-17; N 12, С.13-18.

37. Гуляев Б.Б. Теория литейных процессов. Л., 1976, 216 с.

38. Г.Ф.Баландин. Основы теории формирования отливки. М., ч.1, 1976 -328 с.,ч.2, 1979 - 336 с.

39. Вейник А.И. Приближенный метод решения задач теплопроводности. М., Инженерно-физический журнал 1958, No 2, с.28-33.

40. Тихомиров М.Д., Абрамов А.А., Кузнецов В.П. Современный уровень теории литейных процессов. Литейное производство.- 1993, N 9, С.3-5.

41. Sahm P.R., Hansen P.N. Numerical Simulation and Modelling of Casting and Solidification Processes for Foundry and Cast-House, International Committee of Foundry Tehnical Assotiations, 1984. p.253.

42. Кузнецов В.П., Абрамов A.A., Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х. Компьютеризация и автоматизация процесса проектирования отливок и изготовления оснастки. Литейное производство.- 1997, N 4, С. .

43. Estrin L. A deeper look at casting solidification software. Modern Casting, GIFA 94, June, 1994.

44. Тихомиров М.Д. Модели литейных процессов в САМ ЛП "Полигон": Сборник трудов ЦНИИМ, Литейные материалы, технология, оборудование, выпуск I.- Санкт-Петербург, 1995. С.21-26.

45. Тихомиров М.Д. Сравнительный обзор наиболее известных систем компьютерного моделирования литейных процессов: Материалы научно-практического семинара «Новые подходы к подготовке производства в современной литейной промышленности». СПб., 2004, с. 14-28.

46. Аннотированный указатель прграммных продуктов: Тезисы V Международной научно-технической конференции "Кристаллизация и компьютерные модели",- Ижевск, 1992, с. 107-131.

47. Васькин В.В., Кропотин В.В., Обухов А.В. и др. ЛВМ- автоматизация технологии литья.- М: Литейное производство.-1990, No 10, с.3-4.

48. Сироткин С.В. Автоматизированное моделирование технологических процессов в литейном производстве (система SIMTEC).- М: Литейное производство.- 1992, No 12, с. 16-18.

49. Злыгостев С.Н. Компьютерное моделирование литейных процессов: состояние и перспективы развития: Сб. Труды VI съезда литейщиков Россиию.-2003.-том второй.-С.251-260.

50. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Абрамов А.А. Физико-математические основы компьютерного моделирования литейных процессов. Система моделирования «Полигон»: Сб. ЦНИИ Материалов — 90 лет в материаловедении. Юбилейный выпуск.- СПб., 2002, с.151-176.

51. Голод В.М. Применение ЭВМ для анализа процессов первичной кристаллизации сплавов.: Сб. научных трудов ЛПИ. Металловедение в металлургической технологии. Л.,1985, No 404, с.56-63.

52. Фролов М.М., Литвинов Н.Р. Численное исследование развития зоны затвердевания в отливках: Сб. ЛДНТП. Применение ЭВМ и повышение эффективности литейного производства. — Л., 1983, с. 16-19.

53. Койнов И.Л. Метод расчета систем питания фасонных отливок из высокопрочных алюминиевых сплавав. Авиационная промышленность. М., 1990, No 6, с. 37-38.

54. Тихомиров М.Д. Физико-математические основы моделирования литейных процессов: Материалы 3-й Всероссийской научно-практической конференции «Литейное производство сегодня и завтра».- СПб., 2002, с. 135-138.

55. Гидродинамика расплавленных металлов. Труды первого совещания по теории литейных процессов. М., АНСССР, 1958, 529 с

56. Затвердевание металлов. Труды второго совещания по теории ли- тейных процессов. М., 1958, 533 с.

57. Кристаллизация металлов.Труды четвертого совещания по теории литейных процессов. М., 1960, 326 с.

58. Теплообмен между отливкой и формой. Сб.под ред. Вейника А.И., Минск, 1967, 332 с.

59. Тихомиров М.Д. Модели литейных процессов в САМ ЛП "Полигон": Сборник трудов ЦНИИМ, Литейные материалы, технология, оборудование, выпуск I.- Санкт-Петербург, 1995. С.21-26.

60. Голод В.М., Галенко П.К. Системный анализ литейных процессов. Литейное производство.- 1989, N 10, С.4-7.

61. Голод В.М., Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х. Системный анализ процесса формирования отливки (прикладные аспекты): Сборник трудов ЦНИИМ, Литейные материалы, технология, оборудование, выпуск I . Санкт-Петербург, 1995, с.26-30.

62. Тихомиров М.Д. Система автоматизированного моделирования литейных процессов.- М.: Литейное производство.- 1993, No 9, с.32-35.

63. П.К.Галенко, В.А.Журавлев. Физика дендритов. М.СОФТ- Москва, 1993 - 181 с.

64. Ю.А.Самойлович. Системный анализ кристаллизации слитка. Киев, 1983 - 247 с.

65. Вейник А.И. Теплообмен между слитком и изложницей. М., 1959, 358 с.

66. Вейник А.И. Тепловые основы теории литья. М., Машгиз,1953.

67. Тихомиров М.Д., Основы моделирования литейных процессов. Тепловая задача. М: Литейное производство. - 1998, No 4, с.30-34

68. Куманин И.Б. Вопросы теории литейных процессов. М., 1976, 216 с.

69. Нехендзи Ю.А. Стальное литье.-М., Металлургиздат, 1948.

70. Гиршович Н.Г. Чугунное литье.-М., Металлургиздат, 1949.

71. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 392 с.

72. Тихомиров М.Д. Основные аспекты решения тепловой задачи при моделировании литейных процессов: Сборник трудов ЦНИИМ, Компьютерное моделирование литейных процессов, выпуск 3. Санкт-Петербург, 1998, с.30-57.

73. Голод В.М., Дьяченко С.А. Численный расчет затвердевания чугунных отливок: Сб. Кристаллизация. Теория и эксперимент.- Ижевск:УдГУ, 1987. С.26-33.

74. Гиршович Н.Г. Кристаллизация и свойства чугуна в отливках.- М., 1976.

75. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М., Энергия, 1977. 344 с.

76. Григорьев В.А., Зорин В.М. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. М., 1982, 512 с.

77. Nakagawa Т., Takebayashi Y. Solidification simulation of light alloy casting. Keikinzoku, 1986, No 7, p.445-452.

78. Китаев E.M. Затвердевание стальных слитков. M., 1982, 168 с.

79. Ефимов В.А. Стальной слиток. М., 1961, 358 с.

80. Карножицкий В.Н. Контактный теплообмен в процессах литья.- К.: 1978. 300 с.

81. Тихомиров М.Д., Голод В.М. Численный анализ теплообмена в системе отливка-форма при наличии зазора: Тезисы V Международной научно-технической конференции "Кристаллизация и компьютерные модели". -Ижевск, 1992, с.61-63.

82. Тихомиров М.Д. Теплопередача через границу "отливка-форма" при затвердевании алюминиевых сплавов. Литейное производство.- 1990, N 6, С.18-19.

83. Вейник А.И. Испытания кокильных красок на теплопроводность. М.,1956, 158 с.

84. Рыжонков Д.И., Арсентьев П.П., Яковлев В.В., Пронин J1.A., Крашенни-ков М.Г., Дроздов Н.Н. Теория металлургических процессов. М., 1989, 392 с.

85. Niyama Е., Vchida Т., Morikawa М., Sairo S., CIAF-Chicago, USA, 1982, paper No 10.

86. Голод В.М. Проблема оптимизации питания отливок-Сб.науч.тр. ИПЛ АН СССР Теплофизика процессов затвердевания стали.-К., 1979.-С. 139-153.

87. Daves V., Мое R. Solidification and Casting of Metals. London, 1977.

88. Siegfrid E., Leonhard H. Interdendrische speisung und warmrissverhalten am Beispiel von Aluminium — Silicium Legierungen. Giessereiforschung.1973. -25, No 3, sl01-l 13

89. Бондарев B.A. Вейник А.И. Связь диаграммы состояния и условий питания отливки.: Сб. Литейные свойства металлов и сплавов. М., 1967, с. 173178.

90. Долбенко Е.Т., Побежинов Е.И., Смирнов А.П. Условия получения плотных крупных отливок.- М: Литейное производство.- 1979, No 12, с.18-19.

91. Тимофеев Г.И. Механика сплавов при кристаллизации слитков и отливок. М., 1977 160 с.

92. Борисов В.Т., Колядина Н.Ю., Матвеев Ю.Е. Метод определения проницаемости двухфазной зоны затвердевающего сплава. Киев.: Заводская лаборатория. 1980-46, No 10, с.911-913.

93. Бондарев В.А. Исследование процесса формирования усадочной пористости.: Сб. Теплофизика в литейном производстве, Минск, 1963, с. 284-295.

94. Ефимов В.А. Разливка и кристаллизация стали.: М., 1976, 552 с.

95. Койнов И.Л. Компьютерное исследование процессов питания в отливках из алюминиевых сплавов при литье в кокиль и песчанные формы: Сб. Кристаллизация и компьютерные модели.- УдГУ,Ижевск: 1991. С. 115-124.

96. Гуляев Б.Б., Затвердевание и неоднородность стали. М., Металлургиз-дат, 1950. 227 с.

97. Борисов Г.П. Давление в управлении литейными процессами. К: Нау-кова думка, 1988. 272 с.

98. Котлярский Ф.М. Формирование отливок из алюминиевых сплавов. К: Наукова думка, 1990. 230 с.

99. Тихомиров М.Д., Сабиров Д.Х., Абрамов А.А. Физико-математические основы компьютерного моделирования литейных процессов. Система моделирования «Полигон»: Сб. ЦНИИ Материалов — 90 лет в материаловедении. Юбилейный выпуск.- СПб., 2002, с. 151-176.

100. Тихомиров М.Д. Основы моделирования литейных процессов. Усадочная задача.- М.: Приложение к журналу Литейное производство.- 2001, No 12, с.8-14.

101. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика.-М., Наука, 1988.-736 с.

102. Turner M.J., Clough R.W., Martin Н.С., Торр L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures, J.Aeronaut. Sci.23, 805-824, 1956.

103. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.544 с.

104. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. сангл. М.: Мир, 1981. 304 с.

105. Мяченков В.И.,Мальцев В.П.,Майборода В.П. и др. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов.- М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

106. Тихомиров М.Д. Сравнение тепловых задач в системах моделирования литейных процессов "Полигон" и ProCast : Сборник трудов ЦНИИМ, Компьютерное моделирование литейных процессов, выпуск 2 .- Санкт-Петербург, 1996, с.22-38.

107. Тихомиров М.Д., Комаров И.А. Основы моделирования литейных процессов. Что лучше — метод конечных элементов или метод конечных разностей?- М.: Литейное производство.- 2002, No 5, с.22-28.

108. Голод В.М., Нехендзи Ю.А. Определение некоторых теплофизических свойств сплавов по кривым охлаждения: Сб. Теплообмен между отливкой и формой.- Минск: Высшая школа, 1967, с. 179-183.

109. Голод В.М. Теория литейных процессов. Учебное пособие. Л.: ЛПИ, 1983,88 с.

110. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. М: Наука, 1980, 208 с.

111. А.с. No 1537367 СССР от 15.09.89, Способ определения скорости затвердевания металла при литье с кристаллизацией под давлением. Абрамов

112. A.А., Зайцев Е.В., Батышев А.И., Тихомиров М.Д., Любавин А.С., Беспалько1. B.И.