Моделирование течений жидкости и газа с поверхностью раздела сред, турбулентностью и стратификацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Яковенко, Сергей Николаевич

• Яковенко, Сергей Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Яковенко, Сергей Николаевич

Введение..........................................................4

Глава 1. Методы расчета течений с турбулентностью и стратификацией ... 19

1.1. Определяющие уравнения и иерархия методов моделирования ... 19

1.1.1. Прямое численное моделирование (DNS)...............22

1.1.2. Моделирование крупных вихрей (LES).................22

1.1.3. Осредненные по Рейнольдсу уравнения (RANS).........27

1.2. Иерархия моделей RANS-метода.............................28

1.3. Дифференциальные модели второго уровня замыкания..........36

1.3.1. Аппроксимации для диссипативных членов stJ и slf......37

1.3.2. Моделирование корреляций с пульсациями давления.....45

1.3.3. Параметризация «быстрых» членов я^ и л^...........52

1.3.4. Модельные представления для корреляции Ktf ..........56

1.3.5. Учет влияния свободной поверхности (стенки)..........59

1.3.6. Аппроксимации членов турбулентной диффузии........63

1.3.7. Моделирование скалярной диссипации sf..............68

1.4. Развитие, численная реализация и применение RANS-моделей ... 70

1.5. Выводы по главе 1.........................................78

Глава 2. RANS-расчеты течений со стратификацией и препятствием......79

2.1. Тонкие сдвиговые течения со стратификацией среды...........79

2.1.1. Определяющие уравнения модели второго порядка......81

2.1.2. Граничные условия и метод численного решения........87

2.2. Слой смешения двух потоков разной скорости (и плотности).....92

2.2.1. Моделирование слоя смешения постоянной плотности ... 93

2.2.2. Расчет слоя смешения с устойчивой стратификацией.....97

2.3. Течение в канале со свободной поверхностью, нагретой сверху . . 105

2.3.1. Моделирование развитого изотермического течения.....106

2.3.2. Средние величины в случае устойчивой стратификации . . 110

2.3.3. Турбулентные потоки в стратифицированном течении ... 114

2.4. Горизонтальная поверхностная плавучая струя................120

2.5. Особенности моделирования течений с препятствиями.........128

2.6. Обтекание выступа квадратного сечения в пограничном слое ... 137

2.6.1. Выбор границ и сетки, аппроксимационпая сходимость .. 138

2.6.2. Влияние толщины погранслоя на структуру течения.....147

2.7. Обтекание выступа квадратного сечения в плоском канале......151

2.8. Выводы по главе 2........................................162

Глава 3. Моделирование течений с поверхностью раздела текучих сред .. 164

3.1. Численный алгоритм разрешения поверхности раздела сред.....165

3.2. Течение при разрушении плотины..........................171

3.2.1. Выбор границ и сетки, аппроксимационная сходимость . . 172

3.2.2. Влияние условий на стенке..........................176

3.2.3. Эффекты численных схем и вязких членов.............179

3.3. Неустойчивость Рэлея-Тейлора в двухфазной среде...........183

3.3.1. Расчеты без поверхностного натяжения и с его учетом ... 187

3.3.2. Эволюция поверхности раздела вода-бензол............191

3.3.3. Эволюция поверхности раздела вода-воздух............195

3.3.4. Влияние перепада плотности, поверхностного натяжения . 199

3.4. Выводы по главе 3 .......................................204

Глава 4. Развитие турбулентности при обрушении внутренних волн.....205

4.1. Алгоритмы расчета и их верификация.......................208

4.1.1. Верификация алгоритма в течении в плоском канале .... 209

4.1.2. Генерация внутренних волн при введении препятствия . . 217

4.1.3. Влияние геометрических и физических параметров.....223

4.1.4. Введение слоев, поглощающих отраженные волны......232

4.2. DNS-расчет обтекания холма при Re = 4000, F/, = 0.6, Sc = 1.....234

4.2.1. Общая картина течения.............................238

4.2.2. Характеристики турбулентной области................241

4.2.3. Бюджет уравнения турбулентной кинетической энергии . 249

4.2.4. Спектральный анализ...............................257

4.2.5. Бюджет уравнений переноса напряжений Рейнольдса ... 261

4.2.6. Общие замечания по результатам моделирования.......266

4.3. LES-расчет обтекания холма при Re = 4000, F/, = 0.6, Sc = 700 ... 267

4.4. Изучение неустойчивости при обрушении внутренних волн.....272

4.4.1. Начальные этапы развития возмущений при Sc = 1......275

4.4.2. Промежуточные этапы роста возмущений при Sc = 1 . . . . 282

4.4.3. Спектральная информация и поздние стадии перехода ... 291

4.4.4. Развитие неустойчивости при Sc = 700 ................298

4.4.5. Общие замечания по результатам моделирования.......302

4.5. Выводы по главе 4.......................................304

Заключение......................................................307

Литература......................................................310

Введение

Нас окружает и пронизывает мир самых разнообразных течений жидкости и газа - в атмосфере, водоемах, мантии Земли, промышленных и транспортных устройствах, лабораторных установках, внутри живых организмов. Понимание физики происходящих процессов и способность воспроизвести основные характеристики движений частиц среды имеют чрезвычайно большое значение, приводя к заметному прогрессу науки и техники, то есть, в конечном итоге, к существенному улучшению качества жизни. Основными инструментами исследования являются измерения в лабораторных экспериментах и натурных условиях, теоретический анализ и численное моделирование.

В большинстве течений жидкости и газа присутствуют поверхности раздела, в качестве которых понимаются: (а) твердая стенка, обтекаемая жидкостью или газом; (б) поверхность в многофазном течении, разделяющая несме-шивающиеся текучие среды, например, две жидкости (вода-бензол) или жидкость и газ (вода-воздух). Ясно, что поверхности раздела сред, за исключением самых простых ситуаций, могут иметь весьма сложную геометрию. Кроме того, в окружающей среде, как правило, имеет место стратификация по плотности, обусловленная изменениями температуры и/или концентрации примеси (например, соли в водоемах). Отметим, что при некоторых условиях, в частности, при больших числах Рейнольдса (Яе), Прандтля, Шмидта, градиенты плотности в стратифицированной среде оказываются достаточно резкими, что приводит к образованию «поверхностей раздела» (лишь немного размытых диффузионными процессами) между слоями разной плотности однофазной среды. Также, в течениях почти всегда есть не только стратификация по плотности, но и сдвиги скорости, которые при больших числах Рейнольдса из-за малого влияния молекулярной вязкости, характеризуются резкими градиентами скорости в тонких сдвиговых слоях. Это имеет место как у твердой стенки (в пограничных слоях), так и в свободных сдвиговых течениях (слоях смешения, разделяющих области потока с разной скоростью).

Рассмотренные выше особенности течений жидкости и газа, безусловно, затрудняют их теоретическое, экспериментальное и численное исследование. Однако наиболее сложным вызовом является свойство течений к переходу от спокойного ламинарного состояния к нерегулярному хаотичному турбулентному состоянию (некоторые примеры показаны на рис. 0.1; подробнее о природе турбулентности см., напр., в [1-3]).

(а)

(б)

(е)

Eddy Viscosity Ratio

Рис. 0.1. Иллюстрации турбулентных течений, возможности их моделирования: (а) фотография обтекания тела жидкостью; (б) продольная компонента скорости в прямом численном моделировании течения за уступом [4]; (в) визуализация потока в DES-расчете со сферой при Re = 105 [5]; (г) мгновенные изолинии Q в ELES-расчете воздухозаборника с генерацией пульсаций на границе RANS-LES из базы данных (сверху), постановка ELES (снизу) - двумерная RANS-зона (красная) и трехмерная LES-зона (зеленая) [6]; (д) изоповерхности акустического источника вокруг автомобиля Ford Ка, вычисленные в DES [5]; (е) структура течения вокруг истребителя FA-5, полученная в SAS [7].

Большинство окружающих нас течений являются турбулентными: нелинейные эффекты при Ле » 1 оказываются гораздо сильнее эффектов молекулярной диффузии, приводя к росту неустойчивости и развитию турбулентности в упомянутых выше пограничных слоях у стенки и слоях смешения.

Проведение физических экспериментов, направленных на изучение структуры развитой турбулентности в течениях окружающей среды представляется в настоящее время чрезвычайно сложной задачей из-за очевидных ограничений возможностей измерительной аппаратуры в натурных условиях и упрощений в лабораторных условиях. Например, большинство попыток исследования турбулентности в крупномасштабной квазистационарной области обрушения гравитационных внутренних волн было предпринято [8,9] при использовании гидродинамических каналов с затопленным препятствием, двигаемым вдоль свободной поверхности. В таком канале естественным образом можно создать устойчивую стратификацию и, в частности, условия, приводящие к обрушению внутренних волн, согласно нелинейной теории [10]. Однако, продолжительность проведения такого опыта недостаточна для достижения стационарной структуры развитой турбулентности, поскольку через некоторое время после его начала появляются эффекты отражения внутренних волн от входной и выходной границы, искажающие реальную картину. Получается, что измерения в гидродинамических каналах конечной длины не могут воспроизвести в точности ситуацию обрушения внутренних волн в атмосфере и океанах (горизонтальные размеры которых много больше их высоты и глубины).

Теоретическое исследование течений жидкости и газа путем точного решения основных уравнений (законов сохранения массы, импульса, энергии для частиц среды) и анализа полученных результатов также весьма ограничено. Точные решения получены лишь в некоторых простых ситуациях, в основном, при малых числах Рейнольдса. Следовательно, неизбежным становится привлечение современных численных методов решения основных уравнений механики жидкости и газа для исследования механизмов неустойчивости и структуры турбулентности в интересующих течениях. Развитие компьютеров в последние полвека делает возможным проведение успешных численных экспериментов и получение недостающих данных о природе интересующих процессов и о характеристиках турбулентных течений. Применяемые методы расчета основываются на различных типах моделирования и изложены в монографиях (напр., [3,11]), обзорных статьях (напр., [12-14]), трудах конференций (напр., [15-16]) н многих других оригинальных и обзорных работах. Поскольку эти методы дают

все-таки некоторое приближение реальности, при решении практических задач приходится также использовать данные опытов и натурных наблюдений для проверки работоспособности моделей и построения новых модельных аппроксимаций. Таким образом, теория турбулентности как часть современной физики развивается в тесном контакте с численным и лабораторным экспериментом. Тем не менее, до сих пор не существует универсальной теории, метода или модели, способных с необходимой точностью воспроизвести детали интересующих течений и применимых к достаточно большому кругу задач.

К широко используемым способам расчета турбулентных потоков относятся: прямое численное моделирование (direct numerical simulation, DNS), моделирование крупных вихрей (large-eddy simulation, LES), решение осреднен-ных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (Reynolds-averaged Navier-Stokes, RANS), каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Различие методов можно видеть на рис. 0.2 (взято из [17]).

Рис. 0.2. Спектр турбулентной кинетической энергии: иллюстрация разрешения масштабов турбулентности в различных подходах моделирования

Подход DNS разрешает явно все турбулентные масштабы, от наиболее крупных до микромасштабов, но ограничен относительно небольшими числами Рейнольдса (весьма далекими от имеющих место в практических приложениях техники и окружающей среды) из-за повышенных требований к вычислительным ресурсам. Область его применимости нередко распространяют на высокие числа Re при помощи подходов неявного LES (implicit LES, ILES) или численного LES (numerical LES, NLES) [18], где эффекты движений на подсеточных

масштабах полагаются несущественными или описываются только за счет численной диссипации. Эффекты численной диссипации могут, действительно, способствовать воспроизведению реальных физических явлений, но очевидно вводят некоторую неопределенность и погрешность описания.

В противоположность DNS, модели RANS-метода предполагают осреднение по всем турбулентным масштабам и могут применяться как для небольших, так и очень больших Re. Однако, при этом, теряется информация о нестационарных свойствах турбулентных пульсаций. Только движения с весьма длительными периодами, превышающими все турбулентные масштабы, могут разрешаться явно в нестационарном подходе URANS (unsteady RANS). С другой стороны, знания осредненных величин обычно оказывается вполне достаточно при решении многочисленных практических задач механики жидкости и газа, и можно легко получить независимое от сетки решение RANS для распределений осредненных характеристик. Однако, полученные распределения часто отличаются от «эталонных» данных измерений и DNS, стимулируя различные полуэмпирические коррекции и модификации гипотез замыкания, например, независимые от геометрии модели с коррекцией на низкие Re для описания пристеночного поведения вектора средней скорости и тензора турбулентных напряжений [19,20]. В семидесятых-девяностых годах прошлого века происходило бурное развитие RANS-подхода, начиная с классических работ Лаундера и соавторов [21,22]. Вплоть до настоящего времени предпринимаются попытки дальнейшего усовершенствования моделей турбулентности, например, двухпа-раметрической модели вихревой вязкости с коррекцией на низкие Re [23], пристеночных замыканий на уровне моментов второго порядка [24].

Являясь промежуточным между DNS и RANS, подход LES (см., напр., [25,26]) явно разрешает только крупные масштабы, использует подсеточные модели для аппроксимации эффектов мелкомасштабных движений и позволяет воспроизвести течения при больших числах Re, чем DNS. Однако для LES возникают неопределенности, связанные с подсеточным моделированием и отсутствием адекватного обратного контроля возможных эффектов мелких масштабов на крупные, а также сильные требования к измельчению сетки в тонких пограничных слоях вблизи твердых поверхностей. В этих слоях динамика сплошной среды обусловлена множеством мелких полосчатых структур (оценки вы-

о

являют около 10 таких структур на крыле аэробуса Боинг-777 во время полета с крейсерской скоростью на постоянной высоте [6]). Построение сетки для разрешения этих структур не представляется возможным ни сейчас, ни в обозри-

мом будущем. Полный LES-расчет самолета или автомобиля потребовал бы ко-

11 7

личества узлов, намного превышающих 10 , и шагов по времени порядка 10 , что будет возможно [5] примерно в 2045 году. Еще более сильные требования возникают для задач гидрометеорологии в связи с большими линейными масштабами зданий в городской черте и элементов топографии рельефа. Кроме того, часто оказывается проблематичным получить независимое от сетки решение даже для небольших чисел Рейнольдса в DNS- и LES-расчетах.

Для преодоления трудностей описания отрывных течений при высоких числах Re, предложены гибридные RANS-LES подходы, поскольку ни LES, ни RANS не способны в одиночку справиться с такими задачами. Гибридные методы в областях, где LES требует очень мелкой сетки, подключают RANS-модель (хорошо откалиброванную для пристеночных слоев), что уменьшает требования к сетке и приводит к обнадеживающим результатам (см., напр., [57,18]). Это достаточно новое направление уже продемонстрировало работоспособность для некоторых течений простой и сложной геометрии (рис. 0.1 в-е) при Re ~ 105 - 106 и числе узлов сетки порядка 104 106. Такое моделирование может быть реализовано как при помощи параллельных алгоритмов на кластерах, так и в однопроцессорном расчете на персональных компьютерах.

К настоящему моменту предложено множество различных методов в рамках упомянутой выше гибридной концепции. Согласно обзорам [5-7] выделим следующие основные подходы: моделирование отсоединенных вихрей (detached eddy simulation, DES) [27]; модифицированный метод DES с «задержкой» (delayed DES, DDES) [28]; подход LES с пристеночным моделированием (Wall Modelled LES, WMLES) [29]; усовершенствованный DDES (Improved DDES, IDDES) [30,31], объединяющий методы DDES and WMLES; моделирование с адаптируемыми масштабами (Scale-Adaptive Simulation, SAS) [32]; модель частично-осредненных уравнений Навье-Стокса (partially averaged Navier-Stokes, PANS) [33]; зональный LES (zonal LES, ZLES), или встроенный LES (embedded LES, ELES), или раздельное моделирование [5-7,18]; унифицированная модель турбулентности в «методе расчета течения» (flow simulation methodology, FSM) [34]. Особенности различных подходов, их возможности и недостатки рассмотрены в [5-7] и других оригинальных и обзорных работах.

Несмотря на обилие предложенных методов, остается открытым вопрос развития эффективного инструмента для адекватного воспроизведения течений в задачах техники и окружающей среды. В настоящее время и в обозримом будущем классические DNS- и LES-подходы не будут способны описать случаи

высоких чисел Рейнольдса с пристеночными слоями, а классические RANS-модели дают недостаточную и/или некорректную информацию. Обзор гибридных подходов показывает их перспективность, но они все еще находятся в стадии «младенчества», продолжая совершенствоваться [5]. В частности, сложность эмпирических функций в IDDES делает его (по сравнению с простотой исходного DES) менее привлекательным. ZLES имеет очевидные проблемы подходящих поверхностей раздела в сложных течениях, a SAS концептуально непрозрачен. PANS и FSM представляются весьма удобными для применения из-за плавного переключения от RANS- к LES-моде без поверхностей раздела, но они не получили внедрение в широко используемые CFD-пакеты, что предполагает наличие неких «подводных камней» для этих методов. В обозримом будущем гибридные RANS-LES методы и модифицированные URANS-методы будут все еще оставаться концептуально трудоемкими, а попытки их улучшения продолжатся путем тщательного тестирования для подтверждения достоверности результатов и разграничения областей применения [6].

Кроме того, при развитии гибридных концепций требуют особого внимания вопросы тепломассопереноса: например, неточное описание пристеночных слоев может привести к некорректным тепловым потокам на стенке. Только в малом числе работ представлены предварительные результаты по применению гибридных подходов в задачах тепломассопереноса (см., напр., [35-37]), т.е. разработка гибридных подходов для численного решения уравнений сохранения массы и энергии (тепла) также весьма актуальна в будущем.

Другая сложная проблема - постановка подходящих условий между областями RANS и LES. Это важно не только в ZLES с фиксированными «поверхностями раздела» этих подобластей, но и для методов с плавным переключением между RANS и LES, где в любом случае (как и в "чистом" LES) необходимы входные условия, учитывающие нестационарные свойства течений. Детали различных способов задания входных данных и условий сшивки для ZLES можно найти, напр., в [6,36]. Наиболее продвинутыми представляются методы генерации синтетической турбулентности [36,38].

Еще один важный вопрос - влияние конечно-разностных схем численной дискретизации. Схемы, развитые для RANS-метода, предполагают подавление численной неустойчивости (например, за счет введения противопоточных свойств), а для LES и DNS предпочтительными являются низко-диссипативные схемы, позволяющие малой неустойчивости развиваться в турбулентные пульсации. Поэтому идеальная схема должна быть некоторым компромиссом или

переключаться вместе с моделью при переходе от стационарной (RANS) моды или области к нестационарной (LES или DNS) моде.

Кроме того, внимания заслуживает проблема адекватного сравнения численного решения гибридными методами с данными измерений: необходимо учитывать вклад не только разрешаемых явно величин, но и моделируемых, что является затруднительным в ряде гибридных подходов. Например, остается неясным, насколько точно эффектная визуализация, типа той, что показана на рис. 0.1 (в-е), воспроизводит реальное течение. С другой стороны, в случае применения DNS данные вычислений после осреднения можно непосредственно использовать для сравнения с измеренными аналогами (см. пример на рис. 0.16, где результаты расчетов [4] и опытов хорошо согласуются). Сходимость решений при измельчении сетки в гибридных подходах, как и в классических методах LES и DNS, также представляется весьма сложным вопросом.

Приведенный выше обзор «классических» подходов RANS, LES, DNS и различных гибридных методов, а также сопутствующих проблем численной реализации и адекватного представления данных показывает, что в настоящее время развитие эффективного и точного инструмента для воспроизведения характеристик течений жидкости и газа в практических задачах по-прежнему, как и столетие назад, является нерешенной актуальной проблемой. По существу, математически все рассматриваемые методы моделирования (DNS, LES, RANS, гибридные подходы) идентичны, поскольку используют одни и те же основные уравнения, которые отличаются лишь способом осреднения (фильтрования) и количеством дополнительных замыкающих алгебраических выражений и/или дифференциальных уравнений. Способ осреднения при численном моделировании всегда присутствует неявно, т.е. фактически не играет никакой роли на конечном этапе дискретизации основных уравнений и формулировке численных схем и алгоритмов, реализуемых на компьютерах. Эти особенности, подмеченные многими исследователями (см., напр., [17]), являются побудительным мотивом построения унифицированной модели турбулентности, которая (в зависимости от цели исследований, требуемой точности, разрешения сетки и т.д.) могла бы переходить из RANS- в LES- и DNS-формулировку, а также в обратном направлении. В перспективе можно ожидать прорыва в создании такой модели, однако в настоящее время успехи в этой области пока весьма ограничены даже при описании простых течений, далеких от практических приложений. Поскольку гибридные подходы находятся на ранней стадии своего развития (на этапе верификации для простых канонических течений), использование

«классических» подходов является оправданным для решения большинства задач механики сплошной среды, которые могут также усложняться за счет эффектов поверхностей раздела, стратификации среды, закрутки потока, фазовых переходов, химических реакций, радиационного переноса и т.д.

В настоящей работе для исследования течений жидкости и газа с поверхностью раздела, стратификацией и турбулентностью принимаются на вооружение все три «классических» метода (RANS, LES, DNS). Несмотря на ограниченность RANS для воспроизведений нестационарных мгновенных характеристик турбулентных движений, имеет смысл проверка возможностей моделей RANS для различных случаев, сравнение работоспособности различных версий замыкающих соотношений, в том числе и для дальнейшего применения в гибридных RANS-LES подходах и подсеточпых моделях LES. Также очевидно, что привлечение LES и DNS (там, где это возможно), позволило бы получить недостающие данные, которые не удается получить из теоретических оценок, лабораторных опытов, натурных наблюдений и RANS-моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование течений жидкости и газа с поверхностью раздела сред, турбулентностью и стратификацией»

Цели работы:

- развитие иерархии адекватных RANS-моделей уравнений переноса для моментов второго порядка, их верификация в канонических тестовых течениях с устойчивой стратификацией, свободной поверхностью жидкости, твердой стенкой, отрывом и рециркуляцией из-за наличия препятствия;

- исследование путем DNS и LES процесса обрушения внутренних волн в стратифицированном течении с препятствием, развития неустойчивости и турбулентности; анализ величин, найденных при осреднении мгновенных полей скорости и плотности, их сравнение с результатами RANS-моделей;

- развитие адекватных способов, позволяющих получить разрешение поверхности раздела несмешивающихся текучих сред, и апробация этих способов в задачах обрушения плотины и неустойчивости Рэлея-Тейлора;

- эффективная организация серий предварительных и параметрических расчетов, усовершенствование алгоритмов решения и способов обработки полученных данных для повышения качества (точности) моделирования.

В рассматриваемой задаче обрушения внутренних волн имеется поверхность раздела между генерирующим внутренние волны препятствием и обтекающей его средой. Во входном потоке задается устойчивая стратификация, и при обрушении волн возникает квазистационарная зона развитой турбулентности. Некоторый опыт расчета подобных течений [39,40] свидетельствует о том, что простые RANS-модели могут воспроизвести зону турбулентности, возни-

кающую над препятствием, хотя и при гораздо больших числах Re, чем в сопутствующих измерениях [8]. С другой стороны, очевидно, что в рамках подхода RANS невозможно предсказать механизмы возникновения неустойчивости и сценарии развития турбулентности в области обрушения волн. Кроме того, как отмечено выше, лабораторные эксперименты в гидродинамических каналах не могут воспроизвести в точности ситуацию при обрушении волн в атмосфере и океанах, а полученных данных оказывается совершенно недостаточно для выяснения тонкой структуры течения при развитии неустойчивости. При этом, теоретический анализ, как правило, также не способен адекватно описать движение не только внутри турбулентной области обрушения волн, но и снаружи нее. Таким образом, подробные характеристики неустойчивости и турбулентности в этой области остаются практически не изученными.

В последние годы были сделаны первые шаги по использованию прямого численного моделирования процесса обрушения внутренних волн. В частности, в [41] при помощи DNS, хотя и при очень низком числе Рейнольдса Re = 200, основанном на высоте обтекаемого препятствия и скорости входного потока, исследованы особенности подобных течений, обнаруженные в сопутствующих экспериментах [9]. Кроме того, предпринимались попытки изучения поведения турбулентности, возникающей после обрушения, в ряде работ по моделированию LES-методом специфических атмосферных явлений (см., напр., [42]) и в подобных исследованиях в океанографическом контексте (см., напр., [43]). Однако такие работы обычно имеют слишком низкие числа Re (гораздо меньшие, чем в практических ситуациях) или включают подсеточные коррекции и относительно крупномасштабные (грубые) сетки, порождая проблемы неточного описания, связанные с применяемыми моделями.

Отметим, что рассматриваемое явление представляет несомненный практический интерес — его анализ даст ключ к пониманию механизмов возникновения и поддержания геофизической турбулентности, наблюдаемой на больших высотах от подстилающей поверхности и элементов топографии. Подобные области турбулентности появляются в результате конвективного опрокидывания высокоамплитудной внутренней волны. Это может происходить в однородно стратифицированной среде или в ситуациях с приподнятыми зонами инверсии и/или несколькими критическими слоями между более однородными стратифицированными областями (см., напр., [44] в контексте подветренных волн или [45] в случае уединенной поверхностной волны над элементами топографии).

В настоящей работе числа Рейнольдса в DNS- и LES-расчетах имеют зна-

чения на порядок больше, чем в [41], и соответствуют фактически тем, что имели место в относительно крупномасштабных экспериментах в каналах с буксируемыми телами [8,46,47], генерирующими внутренние волны. Для обеспечения адекватного разрешения использованы значительные ресурсы суперкомпьютеров, что позволило воспроизвести детали перехода, начиная с появления неустойчивости Рэлея-Тейлора (НРТ) внутри области опрокидывания волны, предшествующей обрушению. Следует отметить, что в физических и численных экспериментах предшественников [9,41,45] детали и механизмы развития неустойчивости практически не были воспроизведены. Только в [48] обнаружено нечто похожее на НРТ, но при более грубом разрешении: в частности, получено, что неустойчивые слои приводят к формированию рядов грибопо-добных конвективных структур в поперечном сечении. В настоящей работе будут подробно исследованы такие структуры при рассмотрении эволюции течения во времени до появления полностью развитой турбулентной области. В связи с этим представляется полезным сравнение развития ITPT при опрокидывании внутренних волн с эволюцией неустойчивости в двухфазном течении на поверхности раздела двух несмешивающихся текучих сред [49,50], изучение которой также является одной из целей настоящей работы.

Исследование квазистационарной области развитой турбулентности, возникающей при обрушении волн, проводится в терминах осредненных по периоду квазистационарности и трансверсальной координате (по размаху двумерного «холма») величин, например, турбулентной кинетической энергии, напряжений Рейнольдса и статей баланса соответствующих уравнений переноса. Поэтому, уместным будет сравнение распределений, полученных при осреднении данных прямого численного моделирования, с результатами расчета по приближенным аппроксимациям RANS-моделей второго порядка, которые верифицировались при расчете канонических течений в настоящей работе.

Явление НРТ при различных условиях активно исследовалось, начиная с классических работ Тейлора [49] и Льюиса [50], в том числе и отечественными авторами. В частности, Руев, Федоров, Фомин [51] и Демьянов, Долуденко, Иногамов, Сон [52] изучали некоторые режимы НРТ в аномальных условиях трехкомпонентпой и вязкопластичной сред, соответственно, тогда как Герцен-штейн и др. [53] моделировали НРТ в ячейке Хеле-Шоу, а Анучина и др. [54] выполнили расчеты развития НРТ для задачи термоядерного синтеза.

Вопросы численного моделирования обрушения внутренних волн в отечественной литературе не представлены (насколько известно автору), что сви-

детельствует о сложности проблемы для численной реализации. С другой стороны, имеется множество работ по более общей тематике численного моделирования стратифицированных течений (в том числе и с внутренними волнами) различными методами. В частности, Чашечкин, Байдулов, Гущин, Матюшин и др. провели ряд численных, аналитических и экспериментальных исследований в течениях с внутренними волнами вокруг кругового цилиндра [55], сферы [56,57], наклонной пластины [58], вертикального барьера [59] и в других конфигурациях. Черных, Воропаева, Мошкин, Фомина, Дружинин и др. занимались вопросами RANS- и DNS-моделирования применительно к турбулентным стратифицированным следам и другим задачам (см., напр., работы [60-61] и ссылки в них на более ранние работы). Ткаченко, Гурьев и др. выполнили цикл работ по численному моделированию стратифицированных течений, в том числе, в морской среде с подводной возвышенностью и внутренними приливными волнами [62], при использовании современных методов URANS и LES.

Подробный обзор литературы по тематике работы дан ниже, в главах 1-4. В главе 1 рассмотрены различные методы моделирования турбулентных течений. В главе 2 представлены результаты RANS-расчетов течений со стратификацией и препятствием. В главе 3 сформулированы методы разрешения поверхности раздела несмешивающихся сред, применяемые к задачам разрушения плотины и развития НРТ. В главе 4 при помощи DNS/LES исследовано развитие неустойчивости и турбулентности при обрушении внутренних волн.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 375 наименований. Общий объем работы составляет 340 страниц, включая 126 рисунков и 4 таблицы.

Личный вклад автора. Результаты, представленные в работе, получены лично автором. Автор написал программы расчета, провел численные исследования, участвовал в постановке задач, анализе литературных ссылок и полученных данных, подготовке публикаций к печати. Исследования, результаты которых представлены в диссертации, выполнены в соавторстве с А.Ф.Курбацким (главы 1 и 2), В.В.Ларичкиным (раздел 2.6.2), K.C.Chang (глава 3), I.P.Castro (глава 4), T.G.Thomas (глава 4). Имеются другие совместные работы автора (с Б.Б.Илюшиным, С.В.Поросевой и другими коллегами), их результаты не вошли в диссертацию из соображений разумного объема и целостности материала.

Научная новизна.

1. Развита иерархия аппроксимаций метода RANS, основанного на осред-ненных по Рейнольдсу уравнениях, и проведена их верификация в канониче-

ских течениях с устойчивой стратификацией, свободной поверхностью, твердой стенкой, отрывом и рециркуляцией, вводимой препятствием. Показано, в частности, что модифицированная модель второго порядка описывает противогра-диентный характер турбулентных потоков тепла и импульса, наблюдаемый в устойчиво стратифицированном течении в открытом канале.

2. Путем решения уравнений Навье-Стокса и уравнения для функции объемной фракции, с помощью континуальной модели поверхностного натяжения, адекватно воспроизведена эволюция неустойчивости Рэлея-Тейлора (НРТ) на поверхности раздела несмешивающихся текучих сред, в том числе, для реальных случаев - «вода-воздух», «вода-бензол». Показано, что при небольшом перепаде плотности на нелинейном этапе наблюдаются эффекты вторичной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (НКГ) с грибовидными конвективными структурами, а при большом перепаде плотности более плотная среда тонкими струями проникает глубоко вниз между толстыми колоннами менее плотной среды, поднимающимися вверх. Полученные новые результаты моделирования НРТ подтверждают и уточняют данные предшествующих работ.

3. Выполнено прямое численное моделирование (DNS) и моделирование крупных вихрей (LES) явления обрушения внутренних гравитационных волн, инициированных препятствием в устойчиво стратифицированном течении при числе Шмидта 1 < Se < 700 и числе Рейнольдса Re = 4000 - намного большем, чем в предыдущих работах. Впервые показано, что в начальной стадии происходит рост мелкомасштабных возмущений НРТ с длиной волны, зависящей от числа Шмидта и согласующейся с теоретическим значением для наиболее неустойчивой моды на поверхности раздела слоев разной плотности.

4. Изучена сложная структура течения в области опрокидывания внутренних волн, с изогнутыми квазидвумерными элементами, генерирующими ряд вихревых трубок на поверхности цилиндра, который опоясывает эту область и содержит резкие градиенты плотности. Сложное взаимодействие матрицы структур НРТ и НКГ в области обрушения волн порождает развитую турбулентность с протяженным инерционным интервалом «—5/3» на спектрах полей скорости и скаляра. На поздних стадиях развития идентифицированы долгожи-вущие тороидальные вихри, которые соответствуют крупномасштабной моде, представляющей собой наиболее неустойчивое возмущение исходной системы двумерной ламинарной пары вихрей в области опрокидывания волн.

5. Показано, что возникающая при обрушении волн турбулентная область является квазистационарной, имея баланс порождения сдвигом, адвекции и

диссипации энергии турбулентности. В рассматриваемой области выполнен анализ статистических моментов, полученных из данных DNS, с априорной проверкой RANS-моделей уравнений напряжений Рейнольдса. Это позволило сделать оценки геофизически важных величин, в частности, эффективности перемешивания, равной 0,2, как и в океанологических приложениях.

Полученные в диссертации сценарии развития неустойчивости и характеристики квазистационарной перемешанной области, формирующейся при обрушении внутренних волн, дают ключ к пониманию природы возникновения и поддержания геофизической турбулентности в стратифицированной среде вдали от подстилающей поверхности.

Достоверность полученных результатов подтверждена при сравнении с аналитическими решениями, данными измерений и расчетов других авторов.

Практическая значимость работы состоит в применимости развитых моделей и методов к самым разнообразным приложениям техники и окружающей среды, в частности, в задачах гидрометеорологии па микромасштабах (с обтеканием сооружений и рельефа местности) и мезомасштабах (с учетом физико-химических процессов в атмосфере и водоемах), прогнозирования изменений в биосфере под воздействием антропогенных нагрузок, проектирования различных технических устройств с проточными трактами, нефте- и газопроводов, летательных и плавательных аппаратов, автомобилей, ж/д транспорта.

Основные положения, выносимые на защиту:

— результаты развития аппроксимаций RANS-метода и их верификации в канонических течениях со стратификацией, свободной поверхностью, стенкой, в частности, воспроизведение модифицированной моделью второго порядка противоградиентных турбулентных потоков тепла и импульса в устойчиво стратифицированном течении в открытом канале;

— результаты эволюции неустойчивости Рэлея-Тейлора на поверхности раздела несмешпвающихся текучих сред, в том числе, и для реальных случаев -«вода-воздух», «вода-бензол», показывающие эффекты влияния перепада плотности сред и поверхностного натяжения;

— результаты DNS/LES-моделирования обрушения внутренних гравитационных волн, инициированных препятствием в устойчиво стратифицированном течении при 1 < Sc < 700 и Re = 4000;

— сценарий развития неустойчивости при обрушении волн, который включает рост мелкомасштабных возмущений неустойчивости Рэлея-Тейлора в начальной стадии, появление вытянутых и изогнутых квазидвумерным элемен-

тов на поверхности цилиндра (опоясывающего область опрокидывания волн) и ряда соответствующих вихревых трубок в промежуточной стадии, цепочки долгоживущих тороидальных структур на поздних стадиях;

— получение состояния развитой турбулентности с протяженным инерционным интервалом в возникающей при обрушении волн квазистационарной области, где имеется глобальный баланс скорости порождения сдвигом, адвекции и диссипации энергии турбулентности, а эффективность перемешивания согласуется с наблюдаемой в геофизических приложениях.

Публикации. По теме диссертации имеется 108 печатных работ, в том числе, 29 статей в рецензируемых журналах из списка ВАК [339-367] и 79 работ в периодических изданиях, препринтах, трудах конференций, а также 8 рукописных работ и 17 работ в электронных изданиях (кроме статей в журналах приведены только работы [368-375], на которые даны ссылки в главах 1-4).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТПМ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИГиЛ СО РАН, ИВЭП СО РАН, ИПМ РАН, НИИМ МГУ, МФТИ, университета Саутгемптона, видеосеминаре по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ - НИИМ МГУ, а также на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (1991, 2001, 2011), Международных конференциях по методам аэрофизических исследований (1992-2014), вычислительной гидродинамике (1999, 2002), на Европейских конференциях по турбулентности (2000, 2009, 2011, 2012, 2013), гидромеханике (2008, 2010), Международных симпозиумах по тепломас-сопереносу (2000, 2009), вычислительному теплопереносу (2012), 1-м Международном симпозиуме по явлениям турбулентности и сдвиговых течений (1999) и других научных мероприятиях. Работа по теме диссертации поддержана интеграционными проектами СО РАН, грантами РФФИ, Инженерно-физического научно-исследовательского совета Великобритании и других научных фондов. Соискатель получил премию СО РАН им. Н.Н.Яненко (1995) за цикл работ в области прикладной и вычислительной математики, стипендию Московского центра фундаментальной физики в Москве (1995-1996), государственную научную стипендию (1997-2000).

Автор выражает благодарность проф. А.Ф.Курбацкому за поддержку и внимание к вопросам RANS-моделирования, проф. К.С.Чану за мотивацию к развитию способов разрешения поверхности раздела сред, проф. И.П.Кастро и д-ру Т.Г.Томасу за помощь в получении данных DNS/LES и их обсуждение.

Глава 1

Методы расчета течений с турбулентностью и стратификацией

1.1. Определяющие уравнения и иерархия методов моделирования

Для описания течений жидкости и газа используются поля скорости ик(хг,(), давления р(х,,1), плотности р(х,,/), температуры Т(х1,(), где х, - пространственная координата (/ = 1,2,3; к - 1,2,3), / - время. Эти функции определяются законами сохранения (приведены ниже для случая несжимаемой среды, рассматриваемого в настоящей работе). Законам сохранения массы и импульса в дифференциальной форме соответствуют [2,63] уравнение неразрывности

(1.1)

и уравнение Навье-Стокса

г /

1 др

ди, ди,и 1

<Э/ дх} р дх}

М

Г ди, ди Л —'- + —-

КдХ; дх, у

рдх,

+ gl ■ (1-2)

Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, gl - вектор ускорения внешней объемной силы (силы тяжести), // - коэффициент динамической вязкости. Изменения последней величины в пространстве и времени (связанные, например, с зависимостью от температуры) обычно оказываются незначительными. В таком случае, (1.2) редуцируется к виду:

д1 дxJ дх] р дх1

где V = ц/р - коэффициент кинематической вязкости. Если плотность среды постоянна (/? = /?„), то уравнения (1.1) и (1.3) оказываются замкнутыми и могут использоваться для определения полей скорости и давления. В течениях окружающей среды имеют место малые отклонения плотности от постоянного значения (\рх\ = \р — р0, где р0 — характерная плотность в рассматриваемой

области), которые, тем не менее, заметно влияют на структуру течения. Это влияние в (1.3) учитывается в приближении Буссинеска [2,11,63]:

ди дии д2и 1 др. р. „ ..

—+ = у—±---— + , (1.4)

д1 дх / дxJ р0 дх1 р0

где величина р{= р- р0 представляет динамическое давление, т.е. отклонение

от гидростатического давления р0, определяемого условием (ф0/сЬс() = р0£(.

Уравнение (1.4) можно записать в безразмерном виде [63]:

д( дх, Ие дх] дх, ¥г1' где п1 = gl|g - единичный вектор в направлении внешней силы = числа Рейнольдса Ке^и^^/у и Фруда = являются мерой воздействия вяз-

ких и внешних (архимедовых) сил, соответственно, и0, /0 и р0 - характерные масштабы скорости, длины и плотности, взятые для обезразмеривания:

",="|/"о> *,=*,/'<>. ^ = Р\ Р о) КРйио)> а=(р-ро)/а-

В некоторых работах применяются и другие формы числа Фруда: например, для Гг* =[«о/(^о)]'(/7оМ/7) [^4], где Ар - характерный перепад плотности в рассматриваемой области течения, (1.5) имеет следующий вид:

, д1Ь1 = 1 д\\ ад | \(р-р*)п 5 (1>6)

д1 дх} Яе дх^ дх1 Бг Ар

Для замыкания системы определяющих уравнений (1.1) и (1.4), записанной в приближении Буссипеска для течений с небольшими изменениями плотности (стратификацией), необходимы дополнительные соотношения. Например, при неизотермических условиях с небольшими отклонениями температуры = |Г-Г0|«:Г0 от характерного значения температуры Т0 (что обычно имеет место в течениях окружающей среды) выполняется линейный закон р{ =-рйрТх, где /3 = -р~\др/дТ)р - коэффициент теплового расширения. Изменения плотности также могут быть обусловлены различной концентрацией примеси, которая определяется как с = -(р — р0)/Ар, например, для массовой

доли пресной воды плотности р0 - Ар в морской воде плотности р0. Можно также ввести функцию плавучести, связанную с плотностью и концентрацией примеси как B = -g(p-p0)/pi) [64]. Видно, что все рассматриваемые здесь величины связаны с плотностью по одному и тому же линейному закону:

р/Ро=(р~ а)/Ро=~а/ > С1-7)

где а — коэффициент объемного расширения, равный величине /?, если в качестве /рассматривать Тх (или а = 1/& если/= В, или а = Ар/р0, если/ = с). Отметим, что случай двойной диффузии (изменения плотности обусловлены одновременно изменениями температуры и концентрации) в настоящей работе не рассматривается, и (1.7) используется как «уравнение состояния» для рассмат-

риваемых ниже задач. Подстановка (1.7) в (1.4) приводит к единому виду уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска для любой функции /:

ди дыр д2и, 1 др

—- +-]- = у—^---— (1.8)

д1 дх] 6х/ р дх1

где величина р здесь и далее (в главах 1-2) обозначает динамическое давление рх, а р - постоянную плотность р0. Для замыкания (1.1), (1.8) вводят дополнительное уравнение (теплопроводности или диффузии) для скаляра / [2,63]:

^ + = (1.9)

д1 дх1 дх~

где X - коэффициент молекулярной диффузии (если/= В или с) или температуропроводности (если/ = Т\), а в правой части могут появляться источниковые члены, обусловленные, например, химической реакцией.

Уравнения свободной конвекции (1.1), (1.8), (1.9) описывают течения со стратификацией в поле внешней силы, где плотность испытывает небольшие изменения, зависящие от / Если число Фруда стремится к бесконечности, то стратификация течения оказывается нейтральной и примесь/будет пассивной, т.е. не влияющей на поле скорости из-за пренебрежимо малого члена плавучести в (1.8). В противном случае / непосредственно влияет на поле скорости. При этом среда по-прежнему полагается несжимаемой, поскольку изменения плотности обусловлены только изменениями функции / (но не давления, т.к. характерный масштаб скорости много меньше скорости звука) [2].

Как сказано во Введении, при достаточно больших числах Рейнольдса Яе, характеризующих отношение нелинейных инерционных и вязких членов в (1.5), течения жидкости и газа становятся турбулентными. В большинстве потоков в лабораторных и промышленных установках Яе ~ 103 - 106, а в атмосфере и оке-

7 9

ане Яе достигает значений из-за больших масштабов длины. При та-

ких условиях (Яе > 10 ) движение частиц среды теряет устойчивость и оказывается нерегулярным, турбулентным независимо от геометрии течения [2,63]. Точные решения основных уравнений, приведенных выше, получены лишь в некоторых простых ситуациях, в основном, при малых Яе. Несмотря на более чем столетнее изучение, общее решение нелинейных дифференциальных уравнений движения не удается получить даже в стационарных (по средней скорости) течениях несжимаемой жидкости. Это связано с очень сложным взаимодействием вязких и нелинейных инерционных членов в (1.5), порождающим неустойчивость течения и возникновение турбулентности при больших Яе.

1.1.1. Прямое численное моделирование (DNS)

Прямые численные методы способны воспроизвести детали крупномасштабного турбулентного движения, в частности, когерентные структуры и другие характеристики мгновенных полей скорости и скаляра. Однако, численное решение трехмерных нестационарных уравнений движения методом DNS далее на современных суперкомпьютерах оказывается возможным при относительно

3 4

небольших числах Рейнольдса, Re~ 10 -МО . Это связано, в первую очередь, с необходимостью разрешения всех турбулентных масштабов от наибольших (порядка размера течения L) до наименьших (порядка колмогоровского дисси-пативного микромасштаба tj). Число пространственных степеней свободы (узлов вычислительной сетки) составляет в одном из направлений в пространстве N > (L/l) « Re", где ReL = ûL/v - турбулентное число Рейнольдса, и - масштаб

скорости крупных турбулентных вихрей, п ~ 3/4 (если / = /7) или п ~ 1 (если I -толщина вязкого подслоя у стенки) [11]. Полное число шагов по времени и пространству должно быть порядка N4 > Re^, что предъявляет высокие требования к памяти и быстродействию компьютерной техники, означая быстрый рост стоимости расчетов при небольшом увеличении ReL.

Трудностями DNS также являются проблемы получения устойчивой статистики, выбора начальных условий, разработки экономичных алгоритмов решения основных уравнений [3,11] и обработки больших (четырехмерных) массивов полученных данных. Тем не менее, точность метода позволяет использовать его в виде дополнения к опытам и в качестве самостоятельного средства изучения и моделирования физических свойств течений, в частности, мелкомасштабной турбулентности, а также для тестирования подсеточных моделей в LES-методе и замыкающих аппроксимаций в RANS-подходе.

1.1.2. Моделирование крупных вихрей (LES)

Метод LES может применяться к течениям с более высокими числами Рейнольдса, чем DNS, поскольку использует более грубые сетки с размером ячейки Ах » /. Крупные турбулентные вихри размера L > Ах в LES разрешаются явно благодаря процедуре фильтрования (осреднения по ячейке сетки) [11]. При этом отношение L/Ax должно быть достаточно велико (N > LI Ах » 1), чтобы выполнялась гипотеза Колмогорова об изотропности мелкомасштабных движений, с которыми практически не взаимодействуют крупномасштабные вихри. Поэтому для LES остаются те же проблемы, что и для DNS (плюс слож-

+ = 4--^, (1.12)

ности в тонких пристеночных слоях, отмеченные во Введении).

«Отфильтрованные» уравнения (1.1), (1.8), (1.9) имеют следующий вид

дй1/дх1 =0, (1.10)

^ + = , (1.11)

д1 дхк 8x1 дхк р дх1

д/ | ди,/^ лд2/ дд, дt дх1 дх2 дх:

после применения операции фильтрования, где (...) обозначает отфильтрованную величину, а дополнительные члены представляют собой подсеточные (Б1^пс1-5са1е, БОБ) напряжения и потоки скаляра (тепла или вещества)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яковенко, Сергей Николаевич, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Хинце И.О. Турбулентность. -М.: Физматгиз, 1963.

[2] Моннн А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть I. - М.: Наука, 1965. 640 с.

[3] Курбацкий А.Ф. Введение в моделирование турбулентного переноса импульса и скаляра. - Новосибирск: Акад. изд-во «Гео», 2007. 332 с.

[4] Le Н., Moin P., Kim J. Direct numerical simulation of turbulent flow over a backward-facing step // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 330. P. 349-374.

[5] Spalart P.R. Detached-eddy simulation // Ann. Rev. Fluid Mech. 2009. Vol. 41. P. 181-202.

[6] Frohlich J., von Terzi D. Hybrid LES/RANS methods for simulation of turbulent flows // Progress in Aerospace Sciences. 2008. Vol. 44. P. 349-377.

[7] Menter F.R., Schutze J., Kurbatskii K.A., Garbaruk A.V., Gritskevich M.S. Scale-resolving simulation techniques in industrial CFD // 6th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Conference (27 - 30 June 2011, Honolulu, Hawaii). - AIAA Paper 2011-3474. - P. 1-12.

[8] Castro I.P., Snyder W.H. Experiments on wave breaking in stratified flow over obstacles//J. Fluid Mech. 1993. Vol. 255. P. 195-211.

[9] Eiff O.F., Bonneton P. Lee-wave breaking over obstacles in stratified flow // Phys. Fluids. 2000. Vol. 12. P. 1073-1086.

[10] Long R.R. Some aspects of flow of stratified fluids. III. Continuous density gradients // Tellus. 1955. Vol. 7. P. 341-357.

[11] Методы расчета турбулентных течений. -М.: Мир, 1984. 464 с.

[12] Lumley J.L. Turbulence modeling // J. Appl. Mech. 1983. Vol. 50. P. 10971103.

[13] Rodi W. Exampls of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids // J. Geoph. Res. 1987. Vol. 92. P. 5305-5328.

[14] Speziale C.G. Analytical methods for the development of Reynolds-stress closures in turbulence //Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. Vol. 23. P. 107-157.

[15] Турбулентные сдвиговые течения 1.-M.: Машиностроение, 1982.

[16] Турбулентные сдвиговые течения 2. -М.: Машиностроение, 1983.

[17] Perot J.В., Gadebusch J. A stress transport equation model for simulating turbulence at any mesh resolution // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2009. Vol. 23. P. 271-286.

[18] Tucker P., Jefferson-Loveday R., Tyacke J., Vadlamani N. Zonal RANS-LES modeling for turbine aeroengines // Computational Thermal Sciences. 2012. Vol. 4. P. 497-506.

[19] Craft T.J., Launder B.E. A Reynolds-stress closure designed for complex geometries // Int. J. Heat Fluid Flow. 1996. Vol. 17. P. 245-254.

[20] So R.M.C., Yuan S.P. A geometry independent near-wall Reynolds-stress closure // Int. J. Engng Sci. 1999. Vol. 37. P. 35-57.

[21] Jones W.P., Launder B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1972. Vol. 15. P. 301314.

[22] Hanjalic K., Launder B.E. A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows // J. Fluid Mech. 1972. Vol. 52. P. 609-638.

[23] Rahman M.M., Siikonen T. An eddy viscosity model with elliptic relaxation approach // Int. J. Heat Fluid Flow. 2009. Vol. 30. P. 319-330.

[24] Gerolymos G.A., Lo C., Vallet I., Younis B.A. Term-by-term analysis of near-wall second-moment closures // AIAA Journal. 2012. Vol. 50. P. 2848-2864.

[25] Lesier M., Metais O., Comte P. Large-eddy simulations of turbulence. - Cambridge University Press, 2005. 232 p.

[26] Sagaut P. Large eddy simulation for incompressible flows: An introduction. -Springer, 2006. 556 p.

[27] Spalart P.R., Jou W.H., Strelets M., Allmaras S.R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach // Advances in DNS/LES: Proceedings of the First AFOSR International Conference on DNS/LES. - Columbus: Greyden Press, 1997. - P. 137-147.

[28] Spalart P.R., Deck S., Shur M.L., Squires K.D., Strelets M.Kh., Travin A.K. A new version of detached-eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 2006. Vol. 20. P. 181-195.

[29] Nikitin N., Nicoud F., Wasistho В., Squires K., Spalart P. An approach to wall modeling in large-eddy simulations // Phys. Fluids. 2000. Vol. 12. P. 16291632.

[30] Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M., Travin A. A hybrid RANS-LES approach with delayed-DES and wall-modelled LES capabilities // Int. J. Heat Fluid Flow. 2008. Vol. 29. P. 1638-1649.

[31] Gritskevich M.S., Garbaruk A.V., Schutze J., Menter F.R. Development of DDES and IDDES formulations for the k-co shear stress transport model // Flow, Turbulence and Combustion. 2012. Vol. 88. P. 431-449.

[32] Menter F.R., Egorov Y. Scale-adaptive simulation method for unsteady flow predictions. Part 1: Theory and model description // Flow, Turbulence and Combustion. 2010. Vol. 85. P. 113-138.

[33] Girimaji S.S. Partially-averaged Navier-Stokes model for turbulence: a Reynolds-averaged Navier—Stokes to direct numerical simulation bridging method // Journal of Applied Mechanics. 2006. Vol. 73. P. 413-421.

[34] Fasel H.F., Seidel J., Wernz S. A methodology for simulation of complex turbulent flows // Journal of Fluids Engineering. 2002. Vol. 124. P. 933-942.

[35] Frank Т., Lifante C., Prasser H.-M., Menter F. Simulation of turbulent and thermal mixing in T-junctions using URANS and scale-resolving turbulence models in ANSYS CFX // Nuclear Engineering and Design. 2010. Vol. 240. P. 2313-2328.

[36] Грицкевич M.C. Расчет турбулентных пристенных течений с использованием зонного RANS-LES подхода с объемным источником турбулентных пульсаций. - Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Санкт-Петербург, 2012. 120 с.

[37] Gritskevich M.S., Garbaruk A.V., Frank Т., Menter F.R. Investigation of the thermal mixing in a T-junction flow with different SRS approaches // Proceedings of CFD4NRS-4, Conference on Experimental Validation and Application of CFD and CMFD Codes in Nuclear Reactor Technology, OECD/NEA and IAEA Workshop. - 2012. - 11 p.

[38] Адамьян Д.Ю., Травин A.K. Усовершенствованный метод генерации синтетических вихрей для задания нестационарных входных граничных условий при расчете турбулентных течений // Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49, № 5. С. 728-736.

[39] Paisley M.F., Castro I.P. Numerical experiments of stratified flow over three-dimensional obstacles // Numerical Methods for Fluid Dynamics V / Eds. Morton K.W., Baines M.J.-Oxford University Press, 1995.-P. 523-531.

[40] Paisley M.F., Castro LP. A numerical study of wave-breaking in stratified flow over obstacles // Dyn. Atmos. Oceans. 1996. Vol. 23. P. 309-319.

[41] Gheusi F., Stein J., Eiff O.F. A numerical study of three-dimensional orographic gravity-wave breaking observed in a hydraulic tank // J. Fluid Mech. 2000. Vol. 410. P. 67-99.

[42] Doyle J.D., Shapiro M.A., Jiang Q., Battels D.I. Large-amplitude mountain wave breaking over Greenland // J. Atmos. Sci. 2005. Vol. 62. P. 3106-3126.

[43] Smyth W.D., Moum J.N., Caldwell D.R. The efficiency of mixing in turbulent patches: inferences from direct simulations and microstructure observations // J. Phys. Oceanogr. 2001. Vol. 31. P. 1969-1992.

[44] Doyle J.D., Durran D.R. Rotor and subrotor dynamics in the lee of three-dimensional terrain // J. Atmos. Sci. 2007. Vol. 64. P. 4202-4221.

[45] Sveen J.K., Guo Y., Davies P.A., Grue J. On the breaking of internal solitary waves at a ridge // J. Fluid Mech. 2002. Vol. 469. P. 161 -188.

[46] Castro I.P., Snyder W.H., Marsh G.L. Stratified flow over three-dimensional ridges // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 135. P. 261-282.

[47] Eiff O., Iiuteau F., Tolu J. High-Reynolds-number orographic wave-breaking experiments // Dyn. Atmos. Oceans. 2005. Vol. 40. P. 71-89.

[48] Afanasyev Y.D., Peltier W.R. The three-dimensionalisation of stratified flow over two-dimensional topography// J. Atmos. Sci. 1998. Vol. 55. P. 19-39.

[49] Taylor G.I. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. I // Proc. R. Soc. Lond. A. 1950. Vol. 201. P. 192-196.

[50] Lewis D.J. The Instability of Liquid Surfaces when Accelerated in a Direction Perpendicular to Their Planes. II // Proc. R. Soc. Lond. A. 1950. Vol. 202. P. 81-96.

[51] Руев Г.А., Федоров A.B., Фомин B.M. Описание аномальной неустойчивости Рэлея-Тейлора на основе динамики трехскоростной трехкомпо-нентной смеси // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 1. С. 58-67.

[52] Демьянов А.Ю., Долуденко А.Н., Иногамов Н.А., Сон Э.Е. Нейстойчи-вость Рэлея-Тейлора вязкопластичной жидкости // ТВТ. 2009. Т. 47, № 6. С. 830-834.

[53] Герценштейн С.Я., Козлов И.И., Прокофьев В.В., Резниченко Н.Т., Черный Г.Г., Чернявский В.М. Нейстойчивость Рэлея-Тейлора в ячейке Хеле-Шоу: влияние начальных возмущений // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 3. С. 12-18.

[54] Анучина Н.Н., Волков В.И., Илютина О.С., Козырев О.М. Численное моделирование нейстойчивости Рэлея-Тейлора в сферически сжимающихся системах по комплексам программ МАХ // Труды VII Международной конференции «Забабахинские научные чтения». - Снежинск, 2003.

[55] Гущин В.А., Миткин В.В., Рождественская Т.И., Чашечкин Ю.Д. Численное и экспериментальное исследование тонкой структуры течения стратифицированной жидкости вблизи кругового цилиндра // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. № 1. С. 43-54.

[56] Байдулов В.Г., Матюшин П.В., Чашечкин Ю.Д. Эволюция течения, индуцированного диффузией на сфере, погруженной в непрерывно стратифицированную жидкость // Изв. PAFI. МЖГ. 2007. № 2. С. 119-132.

[57] Гущин В.А., Матюшин П.В. Математическое моделирование и визуализация трансформации вихревой структуры течения около сферы при увеличении степени стратификации жидкости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т.51, № 2. С. 268-281.

[58] Чашечкин Ю.Д., Загуменный Я.В. Структура течения, индуцированного диффузией на наклонной пластине // Докл. РАН. 2012. Т. 444. С. 165-171.

[59] Houcine Н., Chashechkin Yu. D., Fraunie P., Fernando H.J.S., Gharbi A., Lili T. Numerical modeling of the generation of internal waves by uniform stratified flow over a thin vertical barrier // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2012. Vol. 68. P. 451-466.

[60] Chernykh G.G., Druzhinin O.A., Fomina A.V., Moshkin N.P. On numerical modeling of the dynamics of turbulent wake behind a towed body in linearly stratified medium // J. Eng. Therm. 2012. Vol. 21, No. 3. P. 1-12.

[61] Воропаева О.Ф., Дружинин О.А., Черных Г.Г. Численные модели динамики безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 5. С. 41-57.

[62] Ткаченко И.В. Моделирование взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды методом крупных вихрей. - Дисс. докт. техн. наук. -Санкт-Петербург, 2012. 316 с.

[63] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1970. 904 с.

[64] Chu V.K., Baddour R.E. Turbulent gravity-stratified shear flow // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 138. P. 353-378.

[65] Thomas T.G., Williams JJ.R. Development of a parallel code to simulate skewed flow over a bluff body // J. Wind Engng Ind. Aerodyn. 1997. Vol. 6768. P. 155-167.

[66] Zhou X., Luo K.H., Williams JJ.R. Study of density effects in turbulent buoyant jets using large-eddy simulation // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 2001. Vol. 15. P. 95-120.

[67] Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations: I. The basic experiment // Mon. Weather Rev. 1963. Vol. 91. P. 99-164.

[68] Lilly D.K. The representation of small-scale turbulence in numerical simulation experiments // Proceedings of the IBM Scientific Computing Symposium on Environmental Sciences. - White Plains, NY, IBM Data Processing Division, 1967.-P. 195-210.

[69] Mason P.J. Large-eddy simulation: A critical review of the technique // Q. J. R. Meteorol. Soc. 1994. Vol. 120. P. 1-26.

[70] Mason P.J., Brown A.R. On subgrid models and filter operations in large eddy simulations//J. Atmos. Sci. 1999. Vol. 56. P. 2101-2114.

[71] Germano M., Piomelli U., Cabot W.H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3. P. 1760-1765.

[72] Moin P., Squires K.D., Lee S. A dynamic subgrid-scale model for compressible turbulence and scalar transport//Phys. Fluids. 1991. Vol. 3. P. 2746-2757.

[73] Porte-Agel F. A scale-dependent dynamic model for scalar transport in large-eddy simulations of the atmospheric boundary layer // Boundary-Layer Meteorol. 2004. Vol. 112. P. 81-105.

[74] Stoll R., Porte-Agel F. Large-eddy simulation of the stable atmospheric boundary layer using dynamic models with different averaging schemes // Boundary-Layer Meteorol. 2008. Vol. 126. P. 1-28.

[75] Wan F., Porte-Agel F. Large-eddy simulation of stably-stratified flow over a steep hill // Boundary-Layer Meteorol. 2011. Vol. 138. P. 367-384.

[76] Yoshizawa A. A statistical theory of thermally-Driven turbulent shear flows, with the derivation of a subgrid model // J. Phys. Soc. Japan. 1983. Vol. 52. P. 1194-1205.

[77] Liu N., Lu X., Wang S., Zhuang L. Large-eddy simulation of stratified channel flow// ActaMechanica Sinica (English Series). 1997. Vol. 13. P. 331-338.

[78] Хонькин А.Д., Воротников П.П., Плоцкий А.И. Турбулентные течения в пограничном слое (4.1: Феноменологические подходы и новые направления в исследовании турбулентности) // Обзоры ЦАГИ. 1979. № 553.

[79] Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1942. Т.6, № 1/2. С. 56-58.

[80] Bradshaw P., Ferriss D.H., Atwell N.P. Calculation of boundary-layer development using the turbulent energy equation // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 28. P. 593-616.

[81] Nee V.W., Kovasznay L.S.G. Simple phenomenological theory of turbulent shear flows // Phys. Fluids. 1969. Vol. 12. P. 473-484.

[82] Глушко Г.С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в несжимаемой жидкости // Изв. AFI СССР. Механика. 1965. № 4. С. 13-23.

[83] Saffman P.G. A model for inhomogeneous turbulent flows // Proc. Roy. Soc. Ser.A. 1970. Vol. 317. P. 417-433.

[84] Ng K.H., Spalding D.B. Turbulence model for boundary layers near walls // Phys. Fluids. 1972. Vol. 15. P. 20-30.

[85] Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flow // Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1974. Vol. 3. P. 269-289.

[86] Hossain M.S. Mathematishe modellirung von turbulenten auftriebstromungen. - Ph.D.Thesis. - University of Karlsruhe, 1979.

[87] Курбацкий А.Ф. Моделирование нелокального турбулентного переноса

импульса и тепла. - Новосибирск: Наука, 1988.

[88] Komori S., Ueda H., Ogino F., Mizushina T. Turbulence structure in stably stratified open-channel flow // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 130. P. 13-26.

[89] Rotta J.C. Statistische theorie nichthomogener turbulenz // Z. Physik. 1951. Bd 129. P. 547-572; Bd 131. P. 51-77.

[90] Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. Progress in development of a Reynolds-stress turbulent closure // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 68. P. 537-566.

[91] Lumley J.L. Computational modeling of turbulent flows // Advances in Appl. Mech. 1978. Vol. 18. P. 124-176.

[92] Craft T.J., Launder B.E. Computation of impinging flows using second-moment closure // Proc. 8th Symp. on Turb. Shear Flows. - Munich, 1991. -Paper 8.5.

[93] Hanjalic K., Launder B.E. Contribution towards a Reynolds-stress closure for low-Reynolds-number turbulence // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 74. P. 593-610.

[94] Feiereisen W.J., Shirani E., Ferziger J.H., Reynolds W.C. Direct simulation of homogeneous turbulent shear flows on the Illiac IV computer: Applications to compressible and incompressible modeling // Turb. Shear Flows 3. - Berlin: Springer-Verl., 1982. - P.309-319.

[95] Lumley J.L., Newman G.R. The return to isotropy of homogeneous turbulence //J. Fluid Mech. 1977. Vol. 82. P. 161-178.

[96] Fu S., Launder B.E., Tselepidakis D.P. Accomodating the effects of high strain rates in modelling the pressure-strain correlation. - UMIST, Manchester, Dept. of Mech. Eng. -Rept. TFD/87/5, 1987.

[97] Rodi W. Recent developments in turbulence modeling // 3rd Int. Symp. of Refined Flow Modelling and Turbulence Measurements: Proceedings. - Tokyo, 1988.-P. 1-15.

[98] Gilbert N., Kleiser L. Turbulence model testing with the aid of direct numerical results // Proc. 8th Symp. on Turb. Shear Flows. Munich, 1991. Paper 26-1.

[99] Kim J., Moin P., Moser R. Turbulence statistics in fully developed turbulent channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 177. P. 133166.

[100] Launder B.E., Reynolds W.C. Asymptotic near-wall stress dissipation rates in a turbulent flow// Phys. Fluids. 1983. Vol. 26. P. 1157.

[101] Launder B.E., Tselepidakis D.P. Progress and paradoxes in modeling near-wall turbulence // Proc. 8th Symp. on Turb. Shear Flows. Munich, 1991. Paper 29-1.

[102] Tagawa M., Nagano Y., Tsuji T. Turbulence model for the dissipation components of Reynolds stresses // Proc. 8th Symp. on Turb. Shear Flows. Munich, 1991. Paper 29-3.

[103] Shicazono N., Kasagi N. Modeling Prandtl number influence on turbulent scalar flux // Proc. 8th Symp. on Turb. Shear Flows. Munich, 1991. Paper 27-2.

[104] Celic I., Rodi W. Simulation of free surface effects in turbulent channel flow // Physico-Chemical Hydrodynamics. 1984. Vol. 5, No. 3/4. P. 217-227.

[105] Komori S., Ueda H., Ogino F., Misushina T. Turbulence structure and transport mechanism at the free surface in an open channel flow // Int. J. Heat Mass Transfer. 1982. Vol. 25. P. 513-521.

[106] Thomas N.H., Hancock P.E. Grid turbulence near a moving wall // J. Fluid Mech. 1977. Vol. 82. P. 481-490.

[107] Chou P.Y. On velocity correlations and the solution of the equation of turbulent fluctuation // Quart. Appl. Math. 1945. Vol. 3, No. 1. P. 38-54.

[108] Shih T.-H., Lumley J.L. Second-order modeling of near-wall turbulence // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29, No. 4. P. 971-975.

[109] Lumley J.L. A model for computation of stratified turbulent flows // Int. Symp. on Stratified Flow. - Novosibirsk, 1972. - Paper 14.

[110] Donaldson C.P., Sullivan R.D., Rosenbaum H. A theoretical study of the generation of atmospheric-clear air turbulence // AIAA J. 1972. Vol. 10, No. 2. P. 162-170.

[111] Meroney R.N. An algebraic stress model for stratified turbulent shear flow // Computers and Fluids. 1976. Vol. 4. P. 93-107.

[112] Gibson M.M., Yonis B.A. Calculation of swirling jets with a Reynolds stress closure // Phys.Fluids. 1986. Vol. 29, No. LP. 38-48.

113] Gerz T., Schumann U. The pressure-strain correlation of a turbulent homogeneous shear flow under strongly-stable stratification // Advances in Turbulence. -Berlin: Springer-Verl., 1986. P. 105-110.

114] Mansour N. N., Kim J., Moin P. Reynolds-stress and dissipation-rate budgets in a turbulent channel flow // J. Fluid Mech. 1988. Vol. 194. P. 15-44.

115] Schumann U. Realizability of Reynolds-stress turbulence models // Phys. Fluids. 1977. Vol. 20, No. 5. P. 721-725.

116] Launder B.E., Shima N. Second-moment closure for the near-wall sublayer: development and application// AIAA J. 1989. Vol. 27, No. 10. P. 1319-1325.

117] Weinstock J. Theory of pressure-strain-rate correlation for Reynolds-stress turbulence closures. Part 1. Off-diagonal element // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 105. P. 369-396.

118] Weinstock J. Theory of pressure-strain-rate. Part 2. Diagonal elements // J, Fluid Mech. 1982. Vol. 116. P. 1-29.

119] Weinstock J. Comparison of a pressure-strain rate theory with simulation // J. Fluid Mech. 1989. Vol. 205. P. 195-214.

120] Weinstock J., Burk S. Theoretical pressure-strain term, experimental comparison, and resistance to large anisotropy // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 154. P. 429443.

121] Sarkar S., Speziale C.G. A simple nonlinear model for the return to isotropy in turbulence // Phys.Fluids A. 1990. Vol. 2,No. l.P. 84-93.

122] Launder B.E. Second-moment closure and its use in modeling turbulent industrial flows // Int. J. Numer. Meth. in Fluids. 1989. Vol. 9. P. 963-985.

123] Speziale C.G., Gatski T.B., Mhuiris N.M.G. A critical comparison of turbulence models for homogeneous shear flows in a rotating frame // Phys. Fluids A. 1990. Vol. 2, No. 9. P. 1678-1684.

124] Crow S.C. Viscoelastic properties of fine-grained incompressible turbulence // J. Fluid Mech. 1968. Vol. 33. P. 1-20.

125] Naot D., Shavit A., Wolfshtein M. Interactions between components of the turbulent velocity correlation tensor // Israel J. Techn. 1970. Vol. 8. P. 259.

[126] Launder B.E. On the effect of gravitational field on the turbulent transport of heat and momentum // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 67. P. 569-581.

[127] Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer//J. Fluid Mech. 1978. Vol. 86. P. 491-511.

[128] Weinstock J. Theoretical pressure-strain term in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 172. P. 17-31.

[129] Монин A.C. О свойствах симметрии турбулентности в приземном слое воздуха // Изв. АН СССР. ФАО. 1965. Т. 1, № 1. С. 45-54.

[130] Shih Т.-Н., Lumley J.L., Chen J.-Y. Second-order modeling of a passive scalar in a turbulent shear flow // AIAA J. 1990. Vol. 28, No. 4. P. 610-617.

[131] Launder B.E. Heat and mass transport // Turbulence. - Berlin: Springer-Verl., 1976. Chapter 6.

[132] Dakos Т., Gibson M.M. On modelling pressure terms of the scalar flux equations // Turbulent Shear Flows 5. - Berlin: Springer-Verl., 1987. - P. 7-18.

[133] Shir C.C. A preliminary numerical study of atmospheric turbulent flows in the idealized planetary boundary layer // J. Atmos. Sci. 1973. Vol. 30. P. 13271339.

[134] Lai Y.G., So R.M.C. On near-wall turbulence flow modeling // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 221. P. 641-673.

[135] So R.M.C., Lai Y.G., Zhang H.S., Hwang B.C. Second-order near-wall turbulence closures // AIAA J. 1991. Vol. 29, No. 11. P. 1819-1835.

[136] Launder B.E. Second-moment closure: present... and future // Int. J. Heat Fluid Flow. 1989. Vol. 10, No. 4. P. 282-300.

[137] Daly B.J., Harlow F.H. Transport equations in turbulence // Phys.Fluids. 1970. Vol. 13, No. 11. P. 2634-2649.

[138] Hanjalic K., Launder B.E. Asymmetric flow in a plane channel // J. Fluid Mech. 1972. Vol. 51. P. 301-335.

[139] Андрэ Ж.П., Moop Г., Лакарер П., Терри Дж., Ваша Р. Усеченная аппроксимация и моделирование неоднородной турбулентности // Турбулентные сдвиговые течения 1. -М.: Машиностроение, 1982. С. 322-334.

[140] Ettestad D., Lumley J.L. Parametrization of turbulent transport in swirling

flows //Turbulent Shear Flows 4. - Berlin: Springer-Verl., 1985. P. 87-101.

[141] Elghobashi S.E., Launder B.E. Turbulent time scales and dissipation rate of temperature variance in the thermal mixing layer // Phys. Fluids. 1983. Vol. 26, No. 9. P. 2415-2419.

[142] Wyngaard J.C. Modelling the planetary boundary layer extension to the stable case // Boundary Layer Meteorology. 1975. Vol. 9, No. 4. P. 441-460.

[143] Tamanini F. An improve version of the k-e-g model of turbulence and its application to axisymmetric forced and buoyant jets. - Fatory Mutual Res., Tech. Rep. 22360-4/RC 77-BT-4. - Mass., 1977.

[144] Rodi W. The prediction of free turbulent boundary layers by use of a 2-equation model of turbulence. - Ph.D.Thesis. - University of London, 1972.

[145] Гибсон M.M., Лондер Б.Е. О расчете свободных горизонтальных турбулентных течений со сдвигом в условиях влияния естественной конвекции // Теплопередача. Серия С. 1976. Т. 98, № 1. С. 86-94.

[146] Beguier С., Dekeyser I., Launder B.E. Ratio of scalar and velocity dissipation time scales in shear flow turbulence // Phys. Fluids. 1978. Vol. 21, No. 3. P. 307-310.

[147] LaRue J.C., Libby P.A. Thermal mixing layer downstream of half-heated turbulence grid // Phys. Fluids. 1981. Vol. 24, No. 4. P. 597-603.

[148] Ma Bai-Kun, Warhaft Z. Some aspects of the thermal mixing layer in grid turbulence//Phys. Fluids. 1986. Vol. 29, No. 10. P. 3114-3120.

[149] Sreenivasan K.R., Tavoularis S. Henry R., Corrsin S. Temperature fluctuations and scales in grid-generated turbulence // J. Fluid Mech. 1980. Vol. 100. P. 597-621.

[150] Yeh T.T., Van Atta C.W. Spectral transfer of scalar and velocity fields in heated-grid turbulence // J. Fluid Mech. 1973. Vol. 58. P.233-261.

[151] Kistler A.L., O'Brien V. Corrsin S. Double and triple correlations behind a heated grid // J. Aero. Sci. 1956. Vol. 23. P. 96.

[152] Warhalf Z., Lumley J.L. An experimental study of the decay of temperature fluctuations in grid-generated turbulence // J. Fluid Mech. 1978. Vol. 88. P. 659-684.

[153] Eswaran V., Pope S.B. Direct numerical simulations of the turbulent mixing of a passive scalar // Phys. Fluids. 1988. Vol. 3, No. 3. P. 506-520.

[154] Chen C.-J., Rodi W. A mathematical model for stratified turbulent flow and its application to buoyant jets // Proc.l6th Congress, IAHR. - Sao Paulo, 1975.

[155] Launder B.E., Morse A.P., Rodi W., Spalding D.B. The prediction of free-shear flows - a comparison of the performance of six turbulence models // Proc. Langley Free Shear Flows Conf. 1973. Vol. 1. NASA SP 320.

[156] Owen R.G. An analytical turbulent transport model applied to non-isotermal fully developed duct flows: Ph.D.Thesis. - The Pensylvania State Univ., 1973.

[157] Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие. - СПб: БГТУ, 2001.- 107 с.

[158] Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows. - AIAA Paper 1992-0439.

[159] Gulyaev A.N., Kozlov V.E., Secundov A.N. A universal one-equation model for turbulent viscosity // Fluid Dynamics. 1993. Vol. 28, No. 4, pp. 485-494.

[160] Menter F.R. Zonal two-equation k-co turbulence models for aerodynamic flows/ -AIAA Paper 1993-2906.

[161] Гарбарук A.B., Стрелец M.X., Шур M.JI. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений: Учебное пособие. - СПб: Изд-во Политехи, ун-та, 2012.-88 с.

[162] Kurbatskii A.F., Poroseva S.V. Modelling turbulent diffusion in a rotating cylindrical pipe flow// Int. J. Heat Fluid Flow. 1999. Vol. 20. P. 341-348.

[163] Craft T.J. Developments in a low-Reynolds-number second-moment closure and its application to separating and reattaching flows // Int. J. Heat Fluid Flow. 1998. Vol. 19. P. 541-548.

[164] Gerolymos G.A., Vallet I.Wall-normal-free Reynolds-stress closure for three-dimensional compressible separated flows // AIAA J. 2001. Vol. 39, No. 10. P. 1833-1842.

[165] Yakinthos K., Vlahostergios Z., Goulas A. Modeling the flow in a 90° rectangular duct using one Reynolds-stress and two eddy-viscosity models // Int. J. Heat Fluid Flow. 2008. Vol. 29. P. 35-47.

[166] Илюшин Б.Б., Курбацкий А.Ф. Новые модели для вычисления моментов третьего порядка в планетарном пограничном слое // Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34, № 6. С. 772-781.

[167] Ilyushin В.В. Higher-moment diffusion in stable stratification // Closure Strategies for Turbulent and Transition Flows / Eds. Launder B.E., Sandham N.D. -Cambridge: University Press, 2001. - P. 424-448.

[168] Chernykh G.G., Ilyushin B.B., Voropaeva O.F. Anisotropy decay of turbulence in a far momentumless wake in a linearly stratified medium // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. Vol. 18, No. 2. P. 105-116.

[169] Launder B.E., Li S.-P. On the elimination of wall-topography parameters from second-moment closure // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, No. 2. P. 999-1006.

[170] So R.M.C., Aksoy H., Yuan S.P., Sommer T.P. Modeling Reynolds-number effects in wall-bounded turbulent flows // Transactions of the ASME. J. Fluid Engng. 1996. Vol. 118. P. 260-267.

[171] Hanjalic K., Jakirlic S., Hadzic I. Expanding the limits of "equilibrium" second-moment turbulence closures // Fluid Dynamics Research. 1997. Vol. 20. P. 25-41.

[172] Shima N. Low-Reynolds-number second-moment closure without wall-reflection redistribution terms // Int. J. Heat Fluid Flow. 1998. Vol. 19. P. 549-555.

[173] Speziale C.G., Sarkar S., Gatski T.B. Modeling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical systems approach // J. Fluid Mech. 1991. Vol. 227. P. 245-272.

[174] Durbin P. A. A Reynolds stress model for near-wall turbulence // J. Fluid Mech. 1993. Vol. 249. P. 465-498.

[175] Manceau R., Hanjalic K. A new form of the elliptic relaxation equation to account for wall effects in RANS modelling // Phys. Fluids. 2000. Vol. 12, No. 9. P. 2345-2351.

[176] So R.M.C., Yuan S.P. Near-wall two-equation and Reynolds-stress modeling of backstep flow// Int. J. Engng Sci. 1998. Vol. 36. P. 283-298.

[177] Craft T.J., Gerasimov A.V., Iacovides H., Launder B.E. Progress in the generalization of wall-functions treatments // Int. J. Heat Fluid Flow. 2002. Vol. 23, No. 2. P. 148-160.

[178] Utyuzhnikov S.V. Some new approaches to building and implementation of wall-functions for modeling of near-wall turbulent flows // Computers and Fluids. 2005. Vol. 34. P. 771-784.

[179] Utyuzhnikov S.V. The method of boundary condition transfer in application to modeling near-wall turbulent flows // Computers and Fluids. 2006. Vol. 35. P. 1193-1204.

[180] Utyuzhnikov S.V. Interface boundary conditions in near-wall turbulence modeling // Computers and Fluids. 2012. Vol. 68. P. 186-191.

[181] Utyuzhnikov S.V. Towards development of unsteady near-wall interface boundary conditions for turbulence modeling // Computer Physics Communications. 2014. Vol. 185. P. 2879-2884.

[182] Исаев C.A., Баранов П.А., Жукова Ю.В., Усачов А.Е., Харченко В.Б. Коррекция модели переноса сдвиговых напряжений с учетом кривизны линий тока при расчете отрывных течений несжимаемой вязкой жидкости // Инженерно-физический журнал. 2014. Т. 87, №4. С. 966-979.

[183] Lykossov V., Platov G. A numerical model of interaction between atmospheric and oceanic boundary layers // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1992. Vol. 7, No. 5. P. 419-440.

[184] Платов Г.А. Численное моделирование взаимодействия пограничных слоев атмосферы и океана: Автореферат дисс. на соискание ученой степени кандидата физ- мат наук. - Новосибирск, 1993. 16 с.

[185] Платов Г.А. Численное моделирование формирования глубинных вод Северного Ледовитого океана. Часть I: Идеализированные тесты // Физика атмосферы и океана. 2011. Т. 47, № 3. С. 393-408.

[186] Mellor G.L., Yamada T. Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems // Rev. Geophys. Space Phys. 1982. V. 20, No. 4. P. 851-875.

[187] Белов И.А., Исаев C.A., Коробков B.A. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. - Л.: Судостроение, 1989. 256 с.

[188] Исаев С.А., Баранов П.А., Усачов А.Е. Многоблочные вычислительные технологии в пакете VP2/3 по аэротермодинамике. - Саарбрюкен: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 316 с.

[189] Ferziger J.IL, Peric M. Computational methods for fluid dynamics. - Berlin: Springer, 2002. 423 p.

[190] Mizushina T., Ogino F., Uega H., Komori S. Buoyancy effect on eddy diffusiv-ities in thermally stratified flow in an open channel // Heat Transfer. - Hemisphere, 1978.-Vol. l.P. 91-96.

[191] Naot D., Rodi W. Calculation of secondary currents in channel flow // J. Hydr. Div. ASCE, 1982. Vol. 108, No. HY8. P. 948-967.

[192] Champagne F.H., Harris V.G., Corrsin S. Experiments on nearly homogeneous turbulent shear flow // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 41. P. 81-139.

[193] Bradshaw P., Ferris D.H., Johnson R.F. Turbulence in the noise-producing region of a circular jet // J. Fluid Mech. 1964. Vol. 19. P. 591-625.

[194] Wygnanski I.J., Fiedler H.E. The two-dimensional mixing region // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 41. P. 327-361.

[195] Champagne F.H., Pao Y.H., Wygnanski I.J. On the two-dimensional mixing region // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 74. P. 209-250.

[196] Nezu I., Rodi W. Open-channel flow measurements with a laser Doppler anemometer // J. Hydr. Engng, ASCE. 1986. Vol. 112, No. 5. P. 335-355.

[197] Nakagawa H., Nezu I., Ueda H. Turbulence of open channel flow over smooth and rough beds // Proc. Japan Soc. Civil Engrs. 1975. Vol. 241. P. 155-168.

[198] Patankar S.V., Spalding D.B. A finite-difference procedure for solving the equation of the two-dimensional boundary layer // Int. J. Heat Mass Transfer. 1967. Vol. 10. P. 1389-1411.

[199] Spalding D.B. GENMIX: a general computer program for two-dimensional parabolic phenomena. - Pergamon Press, 1977.

[200] Koop C.G., Browand F.K. Instability and turbulence in a stratified fluid with shear // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 93. P. 135-159.

[201] Rodi W., Spalding D.B. A two-parameter model of turbulence, and its application to free jets // Warme- and Stoffubertragung. - Berlin: Springer-Verl., 1970. Vol. 3. P. 85-95.

[202] Shih T.-H., Lumley J.L., Janicka J. Second-order modeling of a variable-density mixing layer // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 180. P. 93-116.

[203] Batt R.G. Turbulent mixing of passive and chemically reacting species in a low-speed shear layer// J. Fluid Mech. 1977. Vol. 82. P. 53-95.

[204] Hasel P. Numerical studies of the stability of inviscid stratified shear flows // J. Fluid Mech. 1972. Vol. 51. P. 39-61.

[205] Dimotakis P. Two-dimensional shear-layer entrainment // AIAA J. 1986. Vol. 24, No. 11. P. 1791-1796.

[206] Browand F.K., Winant C.D. Laboratory observations of shear-layer instability in a stratified fluid // Boundary Layer Meteorology. 1973. Vol. 5. P. 67-77.

[207] Staquet C., Riley J.J. A numerical study of a stably-stratified mixing layer // Turbulent Shear Flows 6. - Berlin: Springer-Verl., 1989. P. 381-397.

[208] Comte-Bellot G., Corrsin S. The use of a contraction to improve isotropy of grid turbulence // J. Fluid Mech. 1966. Vol. 25. P. 657-682.

[209] Young S.T.B. Turbulence measurements in a stably-stratified turbulent shear flow. - Queen Mary Coll. Lond. Rep. QMC-EP 6018, 1975.

[210] Jobson H.E., Sayre W.W. Vertical transfer in open-channel flow // J. Hydr. Div., ASCE. 1970. Vol. 96, N HY3. P. 703-724.

[211] Komori S., Ueda H., Ogino F., Mizushina T. Turbulence structure in unstably-stratified open-channel flow // Phys.Fluids. 1982. Vol. 25, No. 9. P. 1539-1546.

[212] Вукалович М.П., Ривкин С.П., Александров А.А. Таблицы теплофизиче-ских свойств воды и водяного пара. - М.: Изд-во стандартов, 1969.

[213] Schiller E.J., Sayre W.W. Vertical temperature profiles in open-channel flow // J. Hydr. Div., ASCE. 1975. V. 101, No. HY6. P. 749-761.

[214] Chu V.K., Vanvary M.R. Experimental study of turbulent stratified shearing flow// J. Hydr. Div., ASCE. 1976. Vol. 102, No. HY6. P. 691-706.

[215] Монин A.C., Озмидов P.B. Океанская турбулентность. - Ленинград: Гид-рометеоиздат, 1981.

[216] Schwarz W.H., Cosart W.P. The two-dimensional turbulent wall jet // J. Fluid Mech. 1961. Vol. 10. P. 481-495.

[217] Gutmark E., Wygnanski I.J. The planar turbulent jet // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 73. P. 465-495.

[218] Терехов В.И., Ярыгина Н.И., Жданов Р.Ф. Особенности течения и теплообмена при отрыве потока за уступом и ребром. 2. Теплообмен в отрывном течении // ПМТФ. 2003. Т. 44, № 4. С. 83-94.

[219] Дурст Ф., Растоги А.К. Теоретические и экспериментальные исследования турбулентных течений с отрывом // Турбулентные сдвиговые течения 1. -М.: Машиностроение, 1982. С. 214-227.

[220] Дурст Ф., Растоги А.К. Турбулентное течение за двумерными перегородками // Турбулентные сдвиговые течения 2. - М.: Машиностроение, 1983. С. 229-246.

[221] Антониу Дж., Берджелес Г. Развитие течения после присоединения за двумерным прямоугольным препятствием на поверхности // Современное машиностроение. Серия А. 1989. № 3. С. 8-15.

[222] Лоуган Е., Фатарафрук П. Среднее течение за двумерными перегородками // Современное машиностроение. Серия А. 1990. № 1. С. 35-40.

[223] Schofield W.H., Logan Е. Turbulent shear flow over surface mounted obstacles // Trans, of ASME, J.Fluid Engng. 1990. Vol. 112. P. 376-385.

[224] Larousse A., Martinuzzi R., Tropea C. Flow around surface-mounted, three-dimensional obstacles // Turbulent shear flows 8. - Berlin: Springer-Verl., 1993. P. 127-139.

[225] Castro I.P., Robins A.G. The flow around a surface-mounted cube in uniform and turbulent streams // J. Fluid Mech. 1977. Vol. 79. P. 307-335.

[226] Murakami S., Mochida A. 3-D Numerical simulation of airflow around a cubic model by means of k-g model // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1988. Vol. 31. P. 283-303.

[227] Murakami S., Mochida A., Hayashi Y. Scrutinizing k-e EVM and ASM by means of LES and wind tunnel for flowfield around cube // Proc. 8th Symp. on Turb. Shear Flows. - Munich, 1991.-Paper 17-1.

[228] Paterson D.A., Apelt C.J. Simulation of flow past a cube in a turbulent boundary layer // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1990. Vol. 35. P. 149-176.

[229] Сычев B.B., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 256 с.

[230] Гогиш JT.B., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения: Основные свойства и расчетные модели. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 382 с.

[231] Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. -М.: Наука, 1982. 392 с.

[232] Hwang R.R., Peng Y.F. Computation of backward-facing step flows by a second-order Reynolds stress closure model // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1995. Vol. 21. P. 223-235.

[233] Lai Y.G. Computation method of second-moment turbulence closures in complex geometries//AIAA J. 1995. Vol. 33, No. 8. P. 1426-1432.

[234] Зайков Л.А., Стрелец M.X., Шур М.Л. Сравнение возможностей дифференциальных моделей турбулентности с одним и двумя уравнениями при расчете течений с отрывом и присоединением. Течение в каналах с обратным уступом // ТВТ. 1996. Т. 34, № 5. С. 724-736.

[235] Pope S.B. A more general effective viscosity hypothesis // J. Fluid Mech. 1975. Vol.72. P. 331-340.

[236] Ying R., Canuto V.M., Ypma R.M. Numerical simulation of flow data over two-dimensional hills // Boundary-Layer Meteorology. 1994. Vol. 70. P. 401427.

[237] Gatski T.B., Speziale C.G. On explicit algebraic stress models for complex turbulent flows // J. Fluid Mech. 1993. Vol. 254. P. 59-78.

[238] Горин A.B., Сиковский Д.Ф. Модель турбулентного тепломассопереноса в пристенной зоне отрывных течений // ПМТФ. 1996. Т.37, № 3. С. 83-96.

[239] Бенодекар Р.В., Годдард А.Дж.Г., Госман Р.И., Исса Р.И. Численный расчет турбулентного обтекания выступов на плоскости // Аэрокосмическая техника. 1986. Т. 4, № 2. С. 125-134.

[240] Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8, No. 12. P. 2182-2189.

[241] Viecelli J.A. A computing method for incompressible flows bounded by moving walls//J. Comput. Phys. 1971. Vol. 8. P. 119-143.

[242] Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. — JI.: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

[243] Kelecy F.J., Pletcher R.H. The development of a free surface capturing approach for multidimensional free surface flows in closed containers // J. Corn-put. Phys. 1997. Vol. 138. P. 939-980.

[244] Chang C.-H. The development of a multi-fluid surface-capturing method for the computation of incompressible free surface flows. - Ph.D.Thesis. - Tainan: NCKU, 1998.

[245] Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // РГекоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. -Новосибирск: Наука, 1966. С. 186-192.

[246] Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. 616 с.

[247] Hunt J.C.R., Abell C.J., Peterka J.A., Woo H. Kinematic studies of the flows around free or surface-mounted obstacles: applying topology to flow vizualiza-tion // J.Fluid Mech. 1978. Vol. 86. P. 179-200.

[248] Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979. Vol. 19. P. 59-98.

[249] Zhu J., Leschziner M.A. A local oscillation-damping algorithm for higher-order convection schemes // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. Vol. 67. P. 355-366.

[250] Ларичкин B.B., Литвиненко M.B., Щербаков B.A. Экспериментальное исследование турбулентного течения в окрестности двумерного препятствия в пограничном слое // Теплофиз. и аэромех. 2002. Т. 9, № 1. С. 73-85.

[251] Корнилов В.И., Меклер Д.К. Исследование памяти турбулентного пограничного слоя на двумерные возмущения. Новосибирск, 1987. (Препр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. механики; № 32-87)

[252] Терехов В.И., Ярыгина Н.И., Жданов Р.Ф. Особенности течения и теплообмена при отрыве потока за уступом и ребром. 1. Структура течения // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 6. С. 126-133.

[253] Nigim H.H., Cockrell D.J. Effects caused by small discrete two-dimensional roughness elements immersed in turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 153. P. 17-30.

[254] Terekhov V.I., Yarygina N.I., Zhdanov R.F. Heat transfer in turbulent separated flows in the presence of high free-stream turbulence // Int. J. Pleat Mass Transfer. 2003. Vol. 46, No. 23. P. 4535-4551.

[255] Терехов В.И., Смульский Я.И., Шаров K.A. Интерференция отрывных потоков за обратным уступом при наличии пассивного управления // Письма в ЖТФ. 2012. Т. 38, Вып. 3. С. 46-53.

[256] Murakami S. Overview of turbulence models applied in CWE-1997 // Proc. of the 2nd European and African Conf. on Wind Engineering / Ed. G. Solari. -Padova: SGE, 1997. Vol. 1. P. 3-24.

[257] Исаев C.A., Лысенко Д.А. Расчет нестационарного обтекания кубика на стенке узкого канала с помощью URANS и модели турбулентности Спа-ларта-Аллмареса // ИФЖ. 2009. Т. 82, № 3. С. 492-499.

[258] Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // J. Comput. Phys. 1981. Vol. 39. P. 201-225.

[259] Rudman M. Volume-tracking method for interfacial flow calculations // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 1997. Vol. 24. P. 671-691.

[260] Yeh C.-L. Numerical investigation of liquid jet emanating from plain-orifice atomizers with chambered or rounded orifice // JSME Int. J., Ser. B. 2004. Vol. 47, No. 1. P. 37-47.

[261] Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // J. Comput. Phys. 1992. Vol. 100. P. 335-354.

[262] Williams M.W., Kothe D.B., Puckett E.G. Accuracy and convergence of continuum surface-tension method // Fluid Dynamics at Interface. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. - P. 294-305.

[263] Martin J.C., Moyce W.J. An experimental study of the collapse of liquid columns on a rigid horizontal plane // Phil. Trans. Royal Soc. of London, Ser. A. 1952. Vol. 224. P. 312-324.

[264] Dussan E.B.V. On the spreading of liquids on solid surfaces: Static and dynamic contact lines //Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. Vol. 11. P. 371-400.

[265] Cabot W.H., Cook A.W. Reynolds number effects on Rayleigh-Taylor instability with possible implications for type-la supernovae // Nature Phys. 2006. Vol. 2. P. 562-568.

[266] Abarzhi S.I. Review of theoretical modelling approaches of Rayleigh-Taylor instabilities and turbulent mixing // Phil. Trans. R. Soc. A. 2010. Vol. 368. P. 1809-1828.

[267] Dimonte G., Youngs D.L., Dimits A., Weber S., Marinak M., Wunsch S., Garasi C., Robinson A., Andrews M.J., Ramaprabhu P., Calder A.C., Fryxell B., Biello J., Dursi L., MacNeice P., Olson K., Ricker P., Rosner R., Timmes F., Tufo H., Young Y.-N., Zingale M. A comparative study of the turbulent Rayleigh-Taylor instability using high-resolution three-dimensional numerical simulations: The Alpha-Group collaboration //Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. P. 1668-1693.

[268] Voropayev S.I., Afanasyev Y.D., van Heijst G.J.F. Experiments on the evolution of gravitational instability of an overturned, initially stably stratified fluid // Phys. Fluids A. 1993. Vol. 5. P. 2461-2466.

[269] Daly B J. Numerical study of two-fluid Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. P. 297-307.

[270] Daly B.J. Numerical study of the effect of surface tension on interface instability//Phys. Fluids. 1969. Vol. 12. P. 1340-1354.

[271] Pullin D.I. Numerical studies of surface-tension effects in nonlinear Kelvin-Helmholtz and Rayleigh-Taylor instability // J. Fluid Mech. 1982. Vol. 119. P. 507-532.

[272] Youngs D.L. Numerical simulation of turbulent mixing by Rayleigh-Taylor instability// PhysicaD. 1984. V. 12. P. 32-44.

[273] Youngs D.L. Modelling turbulent mixing by Rayleigh-Taylor instability // Physica D. 1989. Vol. 37. P. 270-287.

[274] Tryggvason G. Numerical simulations of the Rayleigh-Taylor instability // J. Comput. Phys. 1988. V. 75. P. 253-282.

[275] Baker G.R., Meiron D.L, Orszag S.A. Vortex simulations of the Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids. 1980. Vol. 23. P. 1485-1490.

[276] Chandrasekar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. - Oxford: Clarendon Press, 1961.-§ 94.-P. 441-453.

[277] Emmons H.W., Chang C.T., Watson B.C. Taylor instability of finite surface waves // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 7. P. 177-193.

[278] Harlow F.H., Welch J.E. Numerical study of large-amplitude free-surface motions // Phys. Fluids. 1966. Vol. 9. P. 842-851.

[279] Clark T.L., Hall W.D., Kerr R.M., Middleton D., Radke L., Ralph F.M., Neiman P.J., Levinson D. Origins of aircraft-damaging clear-air turbulence during the 9 December 1992 Colorado downslope windstorm: numerical simulations and comparison with observations // J. Atmos. Sci. 2000. Vol. 57. P. 1105-1131.

[280] Grubisic V., Lewis J.M. Sierra wave project revisited: 50 years later // Bull. Am. Meteorol. Soc. 2004. Vol. 85. P. 1127-1142.

[281] Clark T.L., Peltier W. R. On the evolution and stability of finite-amplitude mountain waves // J. Atmos. Sci. 1977. Vol. 34. P. 1715-1730.

[282] Baines P.G. Topographic effects in stratified flows. - CUP, 1995.

[283] Lilly D.K., Klemp J.B. The effects of terrain shape on nonlinear hydrostatic mountain waves // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 95. P. 241-261.

[284] Kim J. Channel data at Res = 7890, Rex = 395, Re0 = 700 compiled from unpublished work // ERCOFTAC "Classic Collection" Database, 2D channel flows (http://cfd.me.umist.ac.uk/ercoftac/classif.htmn, 1989.

[285] Kuroda A., Kasagi N., Hirata M. A direct numerical simulation of the turbulent flow between two parallel walls: Turbulence characteristics near the wall without mean shear // 5th Symposium on Numerical Simulation of Turbulence. -IIS of the University of Tokyo, 1990. P. 1-5.

[286] Iwamoto K., Suzuki Y., Kasagi, N. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control // Int. J. Heat Fluid Flow. 2002. Vol. 23. P. 678-689.

[287] Kasagi N., Tomita Y., Kuroda A. Direct numerical simulation of passive scalar field in a turbulent channel flow // ASME J. Heat Transfer. 1992. Vol. 114. P. 598-606.

[288] Kasagi N., Nishimura M. Direct numerical simulation of combined forced and natural turbulent convection in a vertical plane channel // Int. J. Heat Fluid Flow. 1997. Vol. 18. P. 88-99.

[289] Kasagi N., Iida O. Progress in direct numerical simulation of turbulent heat transfer // Proceedings of the 5th ASME/JSME Joint Thermal Engineering Conference (in CD-ROM). - San Diego, 1999.

[290] Paisley M.F., Castro I.P., Rockliff N.J. Steady and unsteady computations of strongly stratified flows over a vertical barrier // Stably Stratified Flows: Flow and Dispersion over Topography / Eds. Castro I.P., Rockliff N.J. - Oxford: Clarendon Press, 1994. - P. 39-59.

[291] Castro I.P., Snyder W.H., Baines P.G. Obstacle drag in stratified flow // Proc. R. Soc. Lond. A. 1990. Vol. 429. P. 119-140.

[292] Paisley M.F. Multigrid computation of stratified flow over two-dimensional obstacles //J. Comp. Phys. 1997. Vol. 136. P. 411-424.

[293] Castro I.P. Weakly stratified laminar flow past normal flat plates // J. Fluid Mech. 2002. Vol. 454. P. 21-46.

[294] Rottman J.W., Broutman D., Grimshaw R. Numerical simulations of uniformly stratified flow over topography // J. Fluid Mech. 1996. Vol. 306. P. 1-30.

[295] Bodony D.J. Analysis of sponge zones for computational fluid mechanics // J. Comput. Phys. 2006. Vol. 212. P. 681-702.

[296] Franke P.M., Robinson W.A. Nonlinear behaviour in the propagation of atmospheric gravity waves // J. Atmos. Sci. 1999. Vol. 56. P. 3010-3027.

[297] Richard E., Mascart P., Nickerson E. On the role of surface friction in downslope windstorms // J. Appl. Meteorol. 1989. Vol. 28. P. 241-251.

[298] Ying Q., Baopu F. Turbulence in broken lee waves // Acta Mechanica Sin. 1993. Vol. 9. P. 210-222.

[299] Klemp J.B., Lilly D.K. Numerical simulation of hydrostatic mountain waves // J. Atmos. Sci. 1977. Vol. 35. P. 78-107.

[300] Smith R.B. On severe downslope winds // J. Atmos. Sci. 1985. Vol. 42. P. 2597-2603.

[301] Scinocca J., Peltier W.R. The instability of Long's stationary solution and the evolution toward severe downslope windstorm flow. Part I. Nested grid numerical simulation // J. Atmos. Sci. 1993. Vol. 50. P. 2245-2263.

[302] Townsend A.A. The structure of turbulent shear flow. - CUP, 1976.

[303] Zhou Y., Antonia R.A. Memory effects in a turbulent plane wake // Exp. Fluids. 1995. Vol. 19. P. 112-120.

[304] Ivey G.N., Imberger J. On the nature of turbulence in a stratified fluid. Part I. The energetics of mixing // J. Phys. Oceanogr. 1991. Vol. 21. P. 650-658.

[305] Dornbrack A. Turbulent mixing by breaking gravity waves // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 375. P. 113-141.

[306] Pham H.T., Sarkar S., Brucker K.A. Dynamics of a stratified shear layer above a region of uniform stratification // J. Fluid Mech. 2009. Vol. 630. P. 191-223.

[307] Pham H.T., Sarkar S. Internal waves and turbulence in a stable stratified jet // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 648. P. 297-324.

[308] Smyth W.D., Hebert D., Moum J.N. Local ocean response to a multiphase westerly wind burst. Part 2. Thermal and fresh water responses // J. Geophys. Res. 1996. Vol. 101. P. 22513-22533.

[309] Nastrom G.D., Gage K.S. A climatology of atmospheric wavenumber spectra of wind and temperature observed by commercial aircraft // J. Atmos. Sci. 1985. Vol. 42. P. 950-960.

[310] Lilly D.K., Kennedy P.J. Observations of a stationary mountain wave and its associated momentum flux and energy dissipation // J. Atmos. Sci. 1973. Vol. 30. P. 1135-1152.

[311] Lumley J. The spectrum of nearly inertial turbulence in a stably stratified fluid // J. Atmos. Sci. 1964. Vol. 21. P. 99-102.

[312] Sreenivasan K.R. The passive scalar spectrum and the Obukhov-Corrsin constant//Phys. Fluids. 1996. Vol. 8. P. 189-196.

[313] Warhaft Z. Passive scalars in turbulent flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. Vol. 32. P. 203-240.

[314] Sreenivasan K.R. On the universality of the Kolmogorov constant // Phys. Fluids. 1995. Vol. 7. P. 2778-2784.

[315] Barri M., Khoury G.K.E1, Andersson H.I., Petterson B. DNS of backward-facing step flow with fully turbulent inflow // Intl J. Numer. Meth. Fluids. 2010. Vol. 64. P. 777-792.

[316] Pope S.B. Turbulent flows. - CUP, 2000.

[317] Dalziel S.B., Linden P.F., Youngs D.L. Self-similarity and internal structure of turbulence induced by Rayleigh-Taylor instability // J. Fluid Mech. 1999. Vol. 399. P. 1-48.

[318] Cook A.W., Cabot W., Miller P.L. The mixing transition in Rayleigh-Taylor instability // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 511. P. 333-362.

[319] Liu W., Bretherton F.P., Liu Z., Smith L., Lu H., Rutland C.J. Breaking of progressive internal gravity waves: convective instability and shear instability // J. Phys. Oceanogr. 2010. Vol. 40. P. 2243-2263.

[320] Andreassen 0., Wasberg C.E., Fritts D.C., Tsler J.R. Gravity wave breaking in two and three dimensions. 1. Model description and comparison of two-dimensional evolutions//J. Geophys. Res. 1994. Vol. 99. P. 8095-8108.

[321] Fringer O.B., Street R.L. The dynamics of breaking progressive interfacial waves // J. Fluid Mech. 2003. Vol. 494. P. 319-353.

[322] Barad M.F., Fringer O.B. Simulations of shear instabilities in interfacial gravity waves // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 644. P. 61-95.

[323] Troy C.D., Koseff J.R. The instability and breaking of long internal waves // J. Fluid Mech. 2005. Vol. 543. P. 107-136.

[324] Klaasen G., Peltier W. The onset of turbulence in finite-amplitude Kelvin-Helmholtz billows // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 155. P. 1-35.

[325] Caulfield C.P., Peltier W.R. The anatomy of the mixing transition in homogeneous and stratified free shear layers // J. Fluid Mech. 2000. Vol. 413. P. 1-47.

[326] Mashayek A., Peltier W.R. The 'zoo' of secondary instabilities precursory to stratified shear flow transition. Part 1. Shear aligned convection, pairing and braid instabilities // J. Fluid Mech. 2012. Vol. 708. P. 5-44.

[327] Mashayek A., Peltier W.R. The 'zoo' of secondary instabilities precursory to stratified shear flow transition. Part 2. The influence of stratification // J. Fluid Mech. 2012. Vol. 708. P. 45-70.

[328] Mashayek A., Peltier W.R. Shear-induced mixing in geophysical flows: does the route to turbulence matter to its efficiency? // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 725. P. 216-261.

[329] Fritts D.C., Isler J.R., Andreassen O. Gravity wave breaking in two and three dimensions. 2. Three dimensional evolution and instabiity structure // J. Geograph. Res. 1994. Vol. 99. P. 8109-8123.

[330] Isler J.R., Fritts D.C., Andreassen O., Wasberg C.A. Gravity wave breaking in two and three dimensions. 3. Vortex breakdown and transition to isotropy // J. Geograph. Res. 1994. Vol. 99. P. 8125-8137.

[331] Fritts D.C., Garten J.F. Wave breaking and transition to turbulence in stratified shear flows//J. Atmos. Sci. 1996. Vol. 53. P. 1057-1085.

[332] Andreassen O., Hvidsten P.O., Fritts D.C, Arendt S. Vorticity dynamics in a breaking internal gravity wave. Part 1. Initial instability evolution // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 367. P. 27-46.

[333] Fritts D.C, Arendt S., Andreassen O. Vorticity dynamics in a breaking internal gravity wave. Part 2. Vortex interaction and transition to turbulence // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 367. P. 47-65.

[334] Fritts D., Arendt S., Andreassen O. The vorticity dynamics of instability and turbulence in a breaking internal gravity wave // Earth Planets Space. 1999. Vol. 51. P. 457-473.

[335] Fritts D.C., Bizon C., Werne J.A., Meyer C.K. Layering accompanying turbulence generation due to shear instability and gravity-wave breaking // J. Ge-ophys. Res. 2003. Vol. 108, No. D8. # 8452. P. 1-13.

[336] Fritts D.C. Wang L., Werne J., Lund Т., Wan K. Gravity wave instability dynamics at high Reynolds numbers. Part I: wave field evolution at large amplitudes and high frequencies // J. Atmos. Sci. 2009. Vol. 66. P. 1126-1148.

[337] Leweke Т., Williamson C.H.K. Cooperative elliptic instability of a vortex pair // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 360. P. 85-119.

[338] Tryggvason G., Unverdi S.O. Computations of three-dimensional Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids A. 1990. Vol. 2. P. 656-659.

[339] Курбацкий А.Ф., Яковенко C.H. К моделированию турбулентного слоя смешения в устойчиво стратифицированной жидкости // Известия СО АН СССР, серия технических наук. 1989. Вып. 4. С. 59-65.

[340] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Моделирование слоя смешения перемен-

ной плотности (4.1: без учета перемежаемости) // Сибирский физико-технический журнал (Известия СО АН СССР). 1991. Вып.4. С. 69-76.

[341] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Моделирование слоя смешения переменной плотности (4.2: с учетом перемежаемости) // Сиб. физ.-техн. журнал (Известия СО АН СССР). 1991. Вып. 4. С. 77-84.

[342] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Моделирование турбулентного переноса импульса и тепла в устойчиво стратифицированном течении со свободной поверхностью // Сиб. физ.-техн. журнал (Известия СО РАН). 1992. Вып. 4. С. 55-63.

[343] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Моделирование турбулентной струи, распространяющейся по поверхности более плотной жидкости // Сиб. физ.-техн. журнал (Известия СО РАН). 1993. Вып. 1. С. 50-62.

[344] Яковенко С.Н. Верификация моделей второго порядка в развитом турбулентном течении в открытом канале // Теплофизика и аэромеханика. 1994. Т. 1, № 2. С. 151-158.

[345] Курбацкий А.Ф., Поросева C.B., Яковенко С.Н. Вычисление статистических характеристик турбулентного потока во вращающейся круглой трубе // Теплофизика высоких температур. 1995. Т. 33, № 5. С. 738-748.

[346] Курбацкий А.Ф., Поросева C.B., Яковенко С.Н. О моделировании поведения одноточечных моментов поля скорости четвертого порядка в развитом турбулентном потоке в круглой трубе // Теплофизика и аэромеханика. 1996. Т. 3,№ 1.С. 41-52.

[347] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Численное исследование турбулентного течения вокруг двумерного препятствия в пограничном слое // Теплофизика и аэромеханика. 1996. Т. 3, № 2. С. 145-163.

[348] Заец П.Г., Курбацкий А.Ф., Онуфриев А.Т., Поросева C.B., Сафаров H.A., Сафаров P.A., Яковенко С.Н. Экспериментальное изучение и математическое моделирование статистических характеристик турбулентного потока во вращающейся относительно продольной оси прямой круглой трубе // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39, № 2. С. 101-114.

[349] Зиновьев А.Т., Яковенко С.Н. Моделирование вертикального турбулентного обмена в пристенном стратифицированном водоеме // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39, № 6. С. 57-64.

[350] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Моделирование структуры турбулентного потока вокруг препятствия с острыми кромками в плоском канале. Модели турбулентности // Теплофизика высоких температур. 1998. Т. 36, № 6. С. 927-932.

[351] Яковенко С.Н., Курбацкий А.Ф. Моделирование структуры турбулентного потока вокруг препятствия с острыми кромками в плоском канале. Результаты численного моделирования // Теплофизика высоких температур.

1999. Т. 37, № 1.С. 98-105.

[352] Курбацкий А.Ф., Яковенко С.Н. Диффузия пассивной примеси от линейного источника в нейтральном атмосферном приземном слое // Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, № 4. С. 506-515.

[353] Kurbatskii A.F., Yakovenko S.N. Diffusion of passive contaminant from a line source in a neutrally stratified turbulent boundary layer // Wind and Structures.

2000. Vol. 3, No. 1. P. 11-21.

[354] Kurbatskii A.F., Yakovenko S.N. Turbulence closure schemes suitable for air pollution and wind engineering // Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2000. Vol. 87. P. 231-241.

[355] Kurbatskii A.F., Yakovenko S.N. Computational study of complex turbulent flows with sharp-edged boundary and passive scalar sources // Computational Fluid Dynamics JOURNAL. 2001. Vol. 9, Special Number. P. 459-469.

[356] Ilyushin B.B., Yakovenko, S.N. Testing of models for fourth-order cumulant, third- and second-moment models in stationary and rotating pipe flows // Journal of Engineering Thermophysics. 2002. Vol. 11, No. 1. P. 45-71.

[357] Ларичкин B.B., Яковенко C.FI. Влияние толщины пограничного слоя на структуру пристенного течения с двумерным выступом // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44, № 3. С. 76-84.

[358] Yakovenko, S.N., Chang, К.С. Performance examination of geometry-independent near-wall second-moment closures in simple and backstep flows // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 2007. Vol. 51, Issue 2. P. 179204.

[359] Яковенко C.H., Чан К.С. Аппроксимация потока объемной фракции в течении двух жидкостей // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15, № 2. С. 181-199.

[360] Яковенко С.Н., Чан К.С. Применение неразрывной модели для силы поверхностного натяжения к задаче неустойчивости Рэлея-Тейлора // Теплофизика и аэромеханика. 20И. Т. 18, № 3. С. 449-461.

[361] Yakovenko S.N., Thomas T.G., Castro I.P. A turbulent patch arising from a breaking internal wave // J. Fluid Mech. 2011. Vol. 677. P. 103-133.

[362] Яковенко C.H. Исследование неустойчивости Рэлея-Тейлора в задачах механики многофазных и стратифицированных сред // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4, Часть 3. С. 12801282.

[363] Яковенко С.Н. Бюджет уравнений для напряжений Рейнольдса в области турбулентности, возникающей при обрушении внутренних волн // Вестник Новосиб. гос. ун-та. Серия: Физика. 2012. Т. 7, Вып. 4. С. 87-95.

[364] Yakovenko S.N. Rayleigh-Taylor instability in two-fluid and stratified media // Computational Thermal Sciences. 2012. Vol. 4, Issue 5. P. 309-409.

[365] Яковенко C.H. Моделирование неустойчивости Рэлея-Тейлора в задачах механики многофазных и стратифицированных сред // Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56, № 6/3. С. 179-181.

[366] Яковенко С.Н. Влияние перепада плотности и поверхностного натяжения на поверхности раздела текучих сред на развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2014. № 6. С. 54-69.

[367] Yakovenko S.N., Thomas T.G., Castro I.P. Transition through Rayleigh-Taylor instabilities in a breaking internal lee wave // J. Fluid Mech. 2014. Vol. 760. P. 466-493.

[368] Курбацкий А.Ф., Яковенко C.H. Моделирование турбулентного слоя смешения за наполовину нагретой решеткой // Моделирование в механике. 1989. Т. 3(20), № 2. С. 115-123.

[369] Kurbatskii A.F., Yakovenko S.N. Numerical simulation of a turbulent flow around a sharp-edged obstacle in the boundary layer // VIII International Conference on the Methods of Aerophysical Research: Proceedings. - Novosibirsk, 1996. Part 2. P. 143-148.

[370] Yakovenko S.N. Reproducing the turbulent fluxes in a flow with a scalar plume emitting from a line source downstream of a quadratic rib // The Fourth Pacific

International Conference on Aerospace Science and Technology (PICAST 4) "Pathfinder to the 21st Century": Proceedings. - Tainan: National Cheng Kung University, 2001. P. 85-92.

[371] Yakovenko S.N., Chang K.C. On near-wall limiting behaviors of low-Reynolds-number Reynolds-stress models // Proceedings of the Fourth Cross-Strait CFD Workshop. - Yunnan, 2003. P. 189-198.

[372] Yakovenko S.N., Chang K.C. Geometry-independent low-Reynolds-number Reynolds-stress model: a modification // 9th International Conference on Stability and Turbulence of Homogeneous and Heterogeneous Flows / Ed. V.V.Kozlov. - Novosibirsk: "Nonparel", 2004. P. 160-161.

[373] Yakovenko S.N., Chang K.C. Performance of a new LRN Reynolds-stress model in a backstep flow // XII Int. Conference on Methods of Aerophysical Research: Proceedings. - Novosibirsk: "Nonparel", 2004. Part I. P. 222-227.

[374] Yakovenko S.N., Thomas T.G., Castro I.P. DNS of turbulence in breaking waves. Parts I-IV. - Internal reports, AFM08.3, 8.4, 9.1, 9.3. - University of Southampton, 2009.

[375] Yakovenko S.N., Thomas T.G., Castro LP. Sponge layer technique for internal wave studies // 15th International Conference on Methods of Aerophysical Research (ICMAR 2010): CD-ROM Proceedings. - Novosibirsk, 2010. 10 p.