Моделирование структуры потоков подземных вод в многослойных водоносных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.27, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Данила Сергеевич

• Кузнецов, Данила Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Данила Сергеевич

Введение

Цели и задачи диссертационной работы.

Аннотация диссертационной работы по

главам.

Защищаемые положения

Личный вклад автора

Благодарности

1 Анализ методов численного моделирования движения подземных вод

1.1 Основные уравнения геофильтрации.

1.2 Моделирование массопереноса.

1.3 Специфика региональных моделей.

1.4 Эйлеровы методы моделирования массопереноса.

1.5 Эйлеро-лагранжевы методы моделирования массопереноса

1.6 Выводы.

2 Описание структуры потока матрицами сечений трубок тока

2.1 Основные определения

2.1.1 Тип жидкости и трубки тока.

2.1.2 Матрицы сечений трубок тока.

2.2 Операции над строками сечений.

2.2.1 Умножение на число.

2.2.2 Объединение.

2.2.3 Исключение

2.2.4 Сжатие строки сечений.

2.3 Операции над матрицами сечений.

2.3.1 Объединение.

2.3.2 Исключение

2.3.3 Транспонирование.

2.3.4 Сжатие матрицы сечений.

2.3.5 Преобразование поворота.

2.4 Выводы.

3 Метод моделирования структуры потока

3.1 Сохранение порядка линий тока.

3.2 Процедура эволюции

3.2.1 Частный пример процедуры эволюции

3.3 Классы модельных блоков.

3.4 Процедура эволюции в двумерной постановке.

3.4.1 Процедура эволюции для блоков класса I, в двумерной постановке.

3.4.2 Процедура эволюции для гиперболических блоков класса Н в двумерной постановке.

3.4.3 Процедура эволюции для блоков класса I, в двумерной постановке при наличии источника.

3.4.4 Процедура эволюции для гиперболических блоков класса Н в двумерной постановке при наличии в блоке источника.

3.4.5 Процедура эволюции для гиперболических блоков класса Н в двумерной постановке при наличии в блоке стока.

3.5 Процедура эволюции в многослойной постановке.

3.5.1 Процедура эволюции для блоков класса Ь без внутренних источников в многослойной постановке

3.5.2 Процедура эволюции для блоков класса Н без внутренних источников в многослойной постановке

3.5.3 Процедура эволюции для блоков с внутренними источниками или стоками в многослойной постановке

3.6 Общая схема решения задачи для всей модельной сетки и граничные условия.

3.7 Условия применимости метода.

3.8 Выводы.

4 Моделирование структуры потоков для тестовых задач

4.1 Два симметрично расположенных дуплета.

4.2 Дуплет в однородном потоке.

4.3 Профильная задача с переворотом потока

4.4 Многослойная задача с несовершенным дуплетом в однородном потоке.

4.5 Выводы.

5 Применение разработанного метода для решения практических задач

5.1 Геофильтрационная модель.

5.1.1 Схематизация гидрогеологических условий.

5.2 Прогноз качества подземных вод и оценка уязвимости водозаборов

5.2.1 Методика.

5.2.2 Оценка источников формирования подземных вод

5.3 Моделирование трехмерных зон захвата для скважин групповых водозаборов.

5.3.1 Методика моделирования зон захвата.

5.3.2 Результаты моделирования зон захвата.

5.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование структуры потоков подземных вод в многослойных водоносных системах»

Подземные воды являются важным компонентом окружающей среды, подверженным активному антропогенному воздействию.

Пространственные масштабы региональных потоков подземных вод достигают десятков и сотен километров. Региональные закономерности формирования подземных вод определяются геологическим строением, литолого-фациальными особенностями водовмещающих пород, условиями питания и разгрузки подземных вод. При пространственных масштабах, характерных для региональных потоков, параметры среды, определяющие фильтрационную способность подземных вод, обладают сильной изменчивостью. Величина одного и того же параметра может меняться на несколько порядков. Совокупность подобных факторов приводит к тому, что условия формирования подземных вод весьма сложны и использование аналитических методов для их изучения встречает значительные трудности. При таких пространственных и временных масштабах процессов математическое моделирование, как правило, является единственным средством прогнозирования движения подземных вод.

Единство дифференциальных уравнений, описывающих различные природные процессы, позволяет использовать для моделирования движения подземных вод богатый опыт численного решения уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов, накопленный в различных областях за время развития численных методов.

Численное моделирование является повседневным инструментом для большого числа исследователей, занимающихся изучением подземных вод, каждый из которых так или иначе касается этого вопроса в своих работах. Различные распространенные в настоящее время на практике методы, позволяющие моделировать рассматриваемые в данной работе потоки подземных вод с неизменной плотностью в насыщенной зоне и массоперенос с потоком подземных вод, разработали H.-J.G. Diersch, Е.О. Frind, Н.М. Haitjema, A.W. Harbauh, W. Kinzelbach, L.F. Konikow, M.G. McDonald, S.P. Neuman, S.S. Papadopulos, T.A. Prickett, A.A. Рошаль, T.F. Russell, O.D.L. Strack, C. Zheng и многие другие исследователи. Различные аспекты моделирования движения подземных вод, связанные с названными задачами, рассмотрены в работах С.Н. Антонцева, И.К. Гавич, A.A. Кашеварова, A.B. Лехова, Л. Лукнера, В.А. Миронен-ко, В.Н. Озябкина, И.С. Пашковского, С.П. Позднякова, В.Г. Румынина, В.М. Шестакова и других.

Для широкого круга задач моделирование движения подземных вод естественным образом разделяется на два этапа: моделирование геофильтрации - собственно потоков подземных вод, и моделирование мас-сопереноса - переноса вещества с потоком подземных вод.

В численном решении дифференциальных уравнений геофильтрации достигнуты существенные успехи. Создан ряд программных продуктов, например [59, 43, 25], позволяющих решать практические задачи с использованием готовых алгоритмов, не прибегая к программированию.

Однако между результатами аналитического и численного решения уравнений геофильтрации есть существенная разница. Если для геофильтрационной задачи найдено аналитическое решение, то это означает, что известно положение линий тока в пространстве и расходы трубок тока, то есть, известна пространственная структура потока. В случае же численного решения уравнений геофильтрации, как правило, известно только дискретное поле напоров и интегральные расходы потоков через грани модельных блоков. Это не является полным решением задачи геофильтрации. Решение будет полным, если, используя имеющиеся данные численного решения уравнений геофильтрации, определить структуру потока.

Для решения различных технологических и экологических задач, например, прогноза качества воды, поступающей в водозаборы, добычи полезных ископаемых и многих других, важным является вопрос состава подземных вод. При этом существенным является не только прогноз распространения техногенных загрязнений, но и прогноз движения подземных вод, некондиционный состав которых может быть обусловлен и естественными факторами. Для решения подобных задач обычно применяют методы моделирования массопереноса.

В то же время явление массопереноса тесно связано со структурой потока. С одной стороны, конвективный перенос нейтрального вещества полностью определяется потоком и в этом случае известная пространственная структура потока дает стационарное решение для задачи массопереноса. С другой стороны, нейтральное вещество может являться индикатором структуры потока. В этом смысле моделирование конвективного переноса нейтрального вещества можно рассматривать, как моделирование структуры потока.

К настоящему времени развит ряд методов численного моделирования массопереноса в подземных водах, описанных, например, в [55, 73, 42] и других работах, которые позволяют решать многие практические задачи. Однако все они обладают существенными недостатками [73, 12, 45]. Главной проблемой при использовании существующих методов являются свойственные им нежелательные вычислительные эффекты, такие как численная диффузия и возникающий при использовании ряда методов дисбаланс массы. Механизмы возникновения этих эффектов различны для разных численных методов, но последствия сходны — искажение решения, которое в ряде случаев приводит к принципиально неправильному результату. Это, в свою очередь, может привести к возможным ошибкам в прогнозах.

Некоторые существующие методы анализа движения подземных вод позволяют прослеживать отдельные, дискретно расположенные в пространстве линии тока [63]. Подобные методы подвержены тем же нежелательным вычислительным эффектам, приводящим в ряде случаев к ошибкам в решении, что и использующие аналогичные подходы методы моделирования массопереноса. Проблемы связаны с дискретностью прослеживаемых линий тока, и с получением непрерывного поля скоростей, необходимого для прослеживания. Помимо этого, методы прослеживания отдельных линий тока не дают информации о составе потоков.

Таким образом, существующие методы не всегда позволяют получить информацию о структуре потоков подземных вод в необходимом объеме. Кроме того, результаты моделирования массопереноса и структуры потоков существующими численными методами не всегда обладают необходимой для решения практических задач точностью и достоверностью.

Для решения этих проблем в диссертации развит качественно новый подход к описанию и моделированию структуры потоков подземных вод. Для описания потока предложен метод матриц сечений трубок тока, позволяющий описывать структуру потока и состав жидкости в каждой структурной единице. Используя принцип сохранения порядка линий тока и формализм операций над матрицами сечений трубок тока разработан новый метод моделирования пространственной структуры и состава потоков подземных вод.

Цели и задачи диссертационной работы

Цель работы — разработка метода моделирования движения подземных вод, позволяющего определять пространственную структуру и состав потоков подземных вод непрерывно во всей области моделирования.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

• Разработка метода описания пространственной структуры потоков, позволяющего оперировать при численных расчетах такими объектами, как трубки тока.

• Разработка метода математического моделирования, позволяющего рассчитывать параметры структуры потоков подземных вод на основе данных численного решения задачи геофильтрации.

• Разработка алгоритмов для численной реализации метода моделирования пространственной структуры потоков подземных вод.

• Практическое использование разработанного метода для оценки источников формирования подземных вод и получения трехмерных зон захвата подземных вод водозаборами Домодедовского района Московской области.

Аннотация диссертационной работы по главам

В первой главе диссертационной работы рассмотрены и проанализированы существующие модели движения подземных вод и массопереноса в подземных водах. Рассмотрена специфика региональных моделей. На основе решения тестовых задач продемонстрировано проявление нежелательных вычислительных эффектов, существенно искажающих результаты, при использовании как эйлеровых, так и эйлеро-лагранжевых методов моделирования массопереноса.

Во второй главе рассмотрен новый метод описания структуры потока подземных вод. Для идентификации жидкости, поступающей из разных источников, предлагается использовать понятие виртуальной жидкости и рассматривать поток как непрерывно заполняющую модельное пространство совокупность трубок тока, таких, что каждая трубка тока содержит виртуальную жидкость единственного типа. При этом структура потока описывается матрицами сечений трубок тока на гранях модельных блоков. Вводятся операции над матрицами сечений, позволяющие формализовать определение структуры потока и построить соответствующие алгоритмы расчета структуры потока по результатам сеточного решения задачи фильтрации.

Третья глава содержит построение метода моделирования структуры потоков подземных вод. Для каждой из ограниченного числа возможных комбинаций направлений потоков в модельном блоке построена процедура получения неизвестных матриц сечений трубок тока на выходных гранях блока по известным матрицам сечений на входных гранях блока. Такие процедуры эволюции матриц сечений построены исходя из сохранения порядка линий тока и формализма операций над матрицами сечений. Процедуры эволюции построены в двумерной и многослойной постановках. Рассмотрены условия применимости метода.

Четвертая глава посвящена тестированию разработанного метода моделирования структуры потоков на задачах имеющих аналитическое решение. Приведены решения для различных двумерных и многослойных задач, в том числе рассмотренных при анализе других методов моделирования массопереноса. Продемонстрировано хорошее совпадение модельных решений с аналитическими и отсутствие вычислительной диффузии.

В пятой главе рассматривается методика и результаты решения практических задач оценки источников формирования и опасности загрязнения подземных вод, поступающих на водозаборы Домодедовского района Московской области, расчета трехмерных зон захвата подземных вод для групповых водозаборов.

В заключение работы приведена общая характеристика работы и основные выводы по результатам диссертации.

Защищаемые положения

На защиту выносятся:

• Метод описания пространственной структуры потоков подземных вод матрицами сечений трубок тока.

• Правила операций над матрицами сечений трубок тока, позволяющие построить алгоритмы расчета структуры потоков подземных вод.

• Метод численного моделирования пространственной структуры и состава потоков подземных вод, использующий принцип сохранения порядка линий тока и формальные операции над матрицами сечений.

• Оценка источников формирования подземных вод, поступающих на водозаборы Домодедовского района Московской области.

• Обоснование необходимости учета трехмерности зон захвата при прогнозе подтягивания некондиционных вод к водозаборам в многослойных системах.

Личный вклад автора

Автором непосредственно разработаны методы и алгоритмы моделирования структуры потоков подземных вод, проведены численные и аналитические расчеты. Кроме того, автор участвовал в постановке проблемы, обсуждении и интерпретации полученных результатов.

Благодарности

Автор благодарен д.г.-м.н. И.С. Зекцеру и д.ф.-м.н. Е.В. Венецианову, а также всем сотрудникам ИВП РАН и компании Геолинк Консалтинг.

Особенно мне бы хотелось выразить глубочайшую признательность идеологу данной работы к.г.-м.н. A.A. Рошалю за постановку задач, обсуждения, советы, создание всех необходимых для работы условий и неизменную поддержку на протяжении всей работы.

Заключение диссертации по теме «Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия», Кузнецов, Данила Сергеевич

Основные результаты

Использование понятия виртуальной жидкости позволило разработать новый метод описания пространственной структуры потока подземных вод матрицами сечений трубок тока и построить алгоритмы операций над матрицами сечений.

Построен метод численного моделирования, позволяющий рассчитывать параметры структуры и состав потоков подземных вод на основе формальных операций над матрицами сечений, и алгоритмы его численной реализации.

На основе анализа методов численного моделирования движения подземных вод и решения тестовых задач показано, что предложенный метод позволяет избежать численной диффузии и дисбаланса массы.

Разработанный метод позволяет решать задачи стационарного конвективного массопереноса в многослойных водоносных системах.

Путем апробации предложенного метода на тестовых задачах, имеющих аналитическое решение, показано, что результаты моделирования хорошо согласуются с результатами аналитических методов и демонстрируют отсутствие вычислительной диффузии.

Кроме чисто теоретических результатов методом моделирования структуры потоков решены практические задачи определения источников формирования и оценки опасности загрязнения подземных вод, поступающих на водозаборы Домодедовского района Московской области. Для групповых водозаборов получены трехмерные зоны захвата подземных вод.

Разработанный метод математического моделирования структуры потока в дальнейшем может быть использован для создания новых методов моделирования нестационарного массопереноса неконсервативного вещества в подземных водах, обладающих большей функциональностью, менее подверженных нежелательным вычислительным эффектам и дающих более точные результаты, чем методы существующие в настоящее время.

Научная новизна

• На основе понятия виртуальной жидкости определены формальные операции над матрицами сечений трубок тока.

• Для определения пространственной структуры и состава потоков подземных использован принцип сохранения порядка линий тока и операции над матрицами сечений трубок тока.

Практическая значимость

• Разработанный и программно реализованный метод, использующий результаты численного решения задачи геофильтрации, позволяет моделировать пространственную структуру и состав потоков подземных вод для реальных объектов.

• Предложенный метод дает возможность решать задачи стационарного конвективного массопереноса в подземных водах в многослойной постановке и является основой для решения задач нестационарного массопереноса неконсервативного вещества.

• Разработанный метод моделирования позволяет определять источники формирования и оценивать опасность загрязнения подземных вод, поступающих на водозаборы, рассчитывать трехмерные зоны захвата.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах Института Водных Проблем РАН, на следующих конференциях и симпозиумах:

• II конференция пользователей и партнеров "Геолинка" (Москва, 2001)

• Современная гидрогеология на рубеже веков (Новочеркасск, 2001)

• Современные проблемы гидрогеологии и гидрогеомеханики (Санкт-Петербург, 2002)

• ModelCARE 2002 Calibration and Reliability in Groundwater Modelling (Prague, 2002)

• Экватек 2002 (Москва, 2002)

• Конференция молодых ученых ИВП РАН (Москва, 2002)

• Проблемы гидрогеологии XXI века: наука и образование. (Москва, 2003)

Программная реализация развитого в работе метода моделирования структуры потоков внедрена в систему гидрогеологического моделирования ModTech компании Геолинк Консалтинг и используется для решения различных задач.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Данила Сергеевич, 2004 год

1. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. — М.: Мир, 1971. — 452 с.

2. Геоинформационная система СеоЫпк. Версия 2.хх Руководство пользователя / Геолинк Консалтинг. — М.: Геолинк Консалтинг, 2002.- 619 с.

3. Гиранский Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод // Гидрогеол. и инж. геол. — 1947. — № 9. — С. 3-102.

4. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). — 2-е изд. — М.: Наука, 1977. — 440 с.

5. Головизнин В. М., Карабасов С. А. Нелинейная коррекция схемы Кабаре // Мат. моделирование. — 1998. — Т. 10, № 12. — С. 107— 123.

6. Головизнин В. М., Самарский А. А. Некоторые свойства разностной схемы "кабаре" // Мат. моделирование. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 101-116.

7. Головизнин В. М., Самарский А. А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Мат. моделирование. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 86-100.

8. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

9. Кузнецов Д. С., Рошаль А. А. Разработка программных средств моделирования процессов региональной миграции веществ в подземных водах // II конференция пользователей и партнеров "Геолинка" (доклады и сообщения). — М.: Инфоком-Гео, 2001. — С. 97-102.

10. Кузнецов Д. С., Рошаль А. А. Новый метод регионального моделирования стационарного конвективного массопереноса // Современные проблемы гидрогеологии и гидрогеомеханики. — СПб.: СПбГУ, 2002. С. 431-441.

11. Кузнецов Д. С., Рошаль А. А. Анализ методов численного решения региональных задач массопереноса // Водные ресурсы. — 2003. — Т. 30, № 3,- С. 312-318.

12. Куликовский А. Г., Погорелое Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

13. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987. — 840 с.

14. Лукнер Л., Шестаков В. М. Моделирование геофильтрации. — М.: Недра, 1976. 407 с.

15. Макрокинетика процессов в пористых средах / Ю. А. Чизмаджев, В. С. Маркин, М. Р. Тарасевич, Ю. Г. Чирков. — М.: Наука, 1971. — 364 с.

16. Мироненко В. А., Румынии В. Г. Опытно-миграционные работы в водоносных пластах. — М.: Недра, 1986. — 240 с.

17. Мироненко В. А., Румынии В. Г. Проблемы гидрогеоэкологии. — М.: МГГУ, 1998.- Т. 1.-610 с.

18. Мятиев А. Н. Напорный комплекс подземных вод и колодцы // Изв. АН СССР, Отд. техн. н. 1947. - Т. 9. - С. 1069-1088.

19. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — 2-е изд. — М.: Наука, 1977. — 664 с.

20. Программная система гидрогеологического моделирования ModTech. Руководство пользователя. — М.: ЗАО "Геолинк Консалтинг", 2003.— 149 е. — Internet resource, http://www.geoli.nk-ltd.com/download/mdluser.pdf.

21. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 688 с.

22. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616 с.

23. Рошаль А. А. Методы определения миграционных параметров. — ВИЭМС, 1980. 62 с.

24. Рошаль А. А., Кузнецов Д. С. К вопросу о региональном моделировании миграции веществ в подземных водах // Современная гидрогеология на рубеже веков: Материалы междунар. конф. — Новочеркасск Ростов-на-Дону: НПИ, 2001.- С. 21-23.

25. Рошаль А. А., Кузнецов Д. С. Проблемы моделирования конвективного массопереноса в подземных водах // Проблемы гидрогеологии XXI века: наука и образование. — М.: МГУ, 2003. — С. 184-191.

26. Савельев А. Ф., Штенгелов А. и др. Переоценка эксплуатационных запасов пресных подземных вод действующих групповых водозаборов Московской области (Домодедовский район): Отчет ГРН 34-01-135/12, — М.: Геолинк Консалтинг, 2003.

27. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 654 с.

28. Фрид Ж. Загрязнение подземных вод. — М.: Недра, 1981. — 304 с.

29. Хейгеман Л. А., Янг Д. М. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир, 1986. 446 с.

30. Шейдеггер А. Е. Физика течения жидкости через пористые среды. — М.: Гостоптехиздат, 1960. — 249 с.

31. Шестаков В. М. Гидрогеодинамика. — М.: МГУ, 1995. — 368 с.

32. Boris J. P., Book D. L. Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that work 11 J. of Comput. Phys. — 1973. — Vol. 11, no. 1.- Pp. 38-69.

33. Boris J. P., Book D. L. Flux-corrected transport. III. minimal-error ACE algorithms I I J. of Comput. Phys. — 1976. — Vol. 20, no. 4. — Pp. 397-431.

34. Boris J. P., Book D. L., Haiti K. Flux-corrected transport. II. Generalization of the method 11 J. of Comput. Phys.— 1975.— Vol. 18, no. 3. Pp. 248-283.

35. Burnett R., Frind E. O. Simulation of groundwater contaminant transport in three dimensions, I. The alternating direction galerkin technique // Ground Water. — 1987. — Vol. 23, no. 4. — Pp. 683-694.

36. Cheng R. Т., Casulli V., Milford S. N. Eulerian-Lagrangian solution of the convection-dispersion equation in natural coordinates 11 Water Resources Research. — 1984.

37. Diersch H.-J. G. FEFLOW Physical Basis of Modeling.- Berlin: WASY, 1999. - 87 pp.

38. Diersch H.-J. G. Feflow 5.1 User's Manual. Berlin: WASY, 2004,168 pp.

39. Feflow 4.9: Finite Element Subsurface Flow and Transport Simulation System / WASY. Berlin: WASY, 2001. - 360 pp.

40. Feflow White Papers. Berlin: WASY, 2004. - 366 pp.

41. A Finite-Volume ELLAM for Three-Dimensional Solute-Transport Modeling / T. F. Russell, C. I. Heberton, L. F. Konikow, G. Z. Hornberger // Ground Water. — 2003. Vol. 41, no. 2. - Pp. 258-272.

42. Frind E. O., Muhammad D. S., Molson J. W. Delineation of Three-Dimensional Well Capture Zones for Complex Multi-Aquifer Systems 11 Ground Water. 2002. - Vol. 40, no. 6. - Pp. 586-598.

43. Garder A. O., Peaceman D. W., Pozzi A. L. Numerical calculation of multidimensional miscible displacement by the method of characteristics 11 Soc. of Petrolium Eng. Journal. — 1964. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 175-182.

44. Harbauh A. W., McDonald M. G. User's Documentation for MODFLOW-96, an update to the U.S. Geological Survey Modular Finite-Difference Ground-Water Flow Model: Open-File Report 96485. — Reston, Virginia: U.S. Geological Survey, 1996.

45. Harten A. High resolution schemes fore hyperbolic conservation laws // J. of Comput. Phys. 1983. - Vol. 49, no. 3. - Pp. 357393.

46. Healy R. W., Russell T. F. A finite-volume Eulerian-Lagrangian localized adjoint method for solution of the advection-dispersion equation 11 Water Resources Research. — 1993. — Vol. 29, no. 7. — Pp. 23992413.

47. Hemker C. J., de Boer R. G. MicroFEM for Windows: Finite-Element Program for Multiple-Aquifer Steady-State and Transient Ground-Water Flow Modeling. — Internet resource: http://www.microfem.com. — 2000.

48. Kiipp K. Guide to the Revised Heat and Solute Transport Simulator: HST3D Version 2: Water-Resources Investigations Report 974157. - Denver, CO: USGS, 1997.

49. Kinzelbach W. Groundwater Modelling. — Amsterdam: Elsevier, 1986. 333 pp.

50. Konikow L. F., Bredehoeft J. D. Computer Model of Two-Dimensional Solute Transport and Dispersion in Ground Water. — Wash.: USGS, 1984. 90 pp.

51. Konikow L. F., Goode D. J., Hornberger G. Z. A Three- Dimensional Method-of-Characteristics Solute-Transport Model (MOC3D): Water-Resources Investigations Rep. 96-4267. — Reston: USGS, 1996.

52. LaBolle E. M., Fogg G. E., Tompson A. F. B. Random-walk simulation of transport in heterogeneous porous media: Local massconservation problem and implementation methods 11 Water Resources Research. — 1996. Vol. 32, no. 3. - Pp. 583-593.

53. McDonald M. G., Harbauh A. W. A Modular Three-Dimensional Finite-Difference Ground-Water Flow Model: Open-File Report 83875. — Denver, Colorado: U.S. Geological Survey, 1988.

54. Neuman S. P. A eulerian-lagrangian numerical scheme for the dispersion-conversion equation using conjugate space-time grids 11 Journal of Computational Physics. — 1981. — Vol. 41, no. 2. — Pp. 270-294.

55. A numerical model for water flow and chemical transport in variably saturated porous media / T. C. J. Yeh, R. Srivastava, A. Guzman, T. Harter // Water Resources Research. — 1993.— Vol. 31, no. 4.— Pp. 634-644.

56. Pollock D. W. Semianalytical computation of path lines for finite difference models 11 Ground Water. 1988. - Vol. 26, no. 6. - Pp. 743750.

57. Pollock D. W. User's Guide for MODPATH/MODPATH-PLOT Version 3: Open-File Report 94-464. Reston, Virginia: USGS, 1994.

58. Prickett T. A., Naymik T. G., Lonnquist C. G. A "Random-Walk" Solute Transport Model for Selected Groundwater Quality Evaluations. — Champaign, IL: Illinois State Water Survey, 1981. — 103 pp. — Bulletin 65.

59. Strack O. D. L. Groundwater Mechanics. — New Jersey: Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1989. 675 pp.

60. Strack O. D. L., Haitjema H. M. Modeling double aquifer flow using a comprehensive potential and distributed singularities: 1. solution forhomogeneous permeabilities 11 Water Resources Research. — 1981. — Vol. 17, no. 5. Pp. 1535-1549.

61. Strack 0. D. L., Haitjema H. M. Modeling double aquifer flow using a comprehensive potential and distributed singularities: 2. solution for homogeneous permeabilities // Water Resources Research. — 1981. — Vol. 17, no. 5,- Pp. 1551-1560.

62. Voss C. I., Provost A. M. SUTRA, A model for saturated-unsaturated variable-density ground-water flow with solute or energy transport: Water-Resources Investigations Report 02-4231: U.S. Geological Survey, 2002.

63. Yager R. M., Neville C. J. GFLOW 2000: An Analytical Element Ground Water Flow Modeling System (Software Spotlight) 11 Ground Water. 2002. - Vol. 40, no. 6. - Pp. 574-576.

64. Yeh G. T. A Lagrangian-Eulerian method with zoomable hidden finemesh approach to solving advection-dispersion equations 11 Water Resources Research. — 1990,— Vol. 26, no. 6.— Pp. 1133-1144.

65. Zheng C. Extension of the method of characteristics for simulation of solute transport in three dimensions 11 Ground Water. — 1993. — Vol. 31, no. 3. Pp. 456-465.

66. Zheng C., Wang P. P. MT3DMS, documentation and user's guide: Contract Rep. SERDP-99-1.— Vicksburg: U.S. Army Engineer Research and Development Center, 1999.