Моделирование сеточно-характеристическим методом поведения элементов железнодорожной инфраструктуры в процессе эксплуатации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кожемяченко Антон Андреевич

• Кожемяченко Антон Андреевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Кожемяченко Антон Андреевич

Введение

Глава 1. Линейно-упругое тело

Глава 2. Сеточно-характеристический численный метод

2.1. Основы сеточно-характеристического метода

2.2. Сеточно-характеристический метод для изотропной линейно-упругой среды

2.2.1. Декартова сетка

2.2.2. Общий случай криволинейной структурированной сетки

2.2.3. Криволинейная структурированная сетка для объектов сложной формы с повторяющимся сечением в одной из плоскостей

2.3. Разностные схемы для решения одномерных уравнений переноса

Глава 3. Граничные и контактные условия

3.1. Основные граничные и контактные условия

3.2. Граничные условия в случае использования неявных расчетных схем

3.3. Граничное условие усилия в системе «колесо-рельс»

3.4. Граничное условие усилия в системе «колесо-рельс» с учетом ползуна

Глава 4. Математические постановки исследуемых задач

4.1. Движение подвижного состава в различных режимах эксплуатации

4.1.1. Движение подвижного состава по земляному балластному

железнодорожному пути

4.1.2. Движение подвижного состава в условиях отрыва шпалы от балласта

4.1.3. Движение подвижного состава по балластному и безбалластному мостам

4.1.4. Учет демпфирующего слоя между рельсовым полотном и шпалами в продольном сечении

4.2. Неразрушающий ультразвуковой контроль с правильной геометрией профиля рельса

4.2.1. Общая постановка

4.2.2. Алгоритм построения химерной сетки

4.2.3. Расчетные сетки

4.2.4. Интерполяция между прямоугольной и химерной расчетными сетками

4.3. Тестирование и использование неявных сеточно-характеристических схем бегущего счета в линейно-упругом приближении

4.3.1. Одномерные задачи

4.3.2. Двумерные задачи

Глава 5. Результаты численного моделирования

5.1. Используемый комплекс программ

5.2. Динамическое распределение нагрузки при движении подвижного состава в различных условиях эксплуатации

5.2.1. Движение подвижного состава по земляному полотну

5.2.2. Движение подвижного состава по балластному и безбалластному мостам

5.3. Ультразвуковой неразрушающий контроль

5.3.1. Исследование сходимости алгоритма

5.3.2. Применение модифицированного сеточно-характеристического метода в задаче ультразвукового неразрушающего контроля

5.4. Применение неявных сеточно-характеристических схем бегущего счета в случае линейно-упругой среды

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование сеточно-характеристическим методом поведения элементов железнодорожной инфраструктуры в процессе эксплуатации»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Исследование задач мониторинга и безопасности при совершении железнодорожных перевозок имеет существенное значение для развития высокоскоростного и тяжеловесного движений подвижных составов в различных условиях эксплуатации. Российская Федерация входит в число стран лидеров по общей протяженности эксплуатируемого железнодорожного сообщения, занимая третье место после США и Китая. Основным направлением развития железнодорожной инфраструктуры является увеличение её провозных и пропускных способностей в условиях постоянного роста объемом грузовых и пассажирских перевозок. При этом возникает набор задач, требующих новых технологических решений: повышение эффективности эксплуатационной деятельности инфраструктурных хозяйств, внедрение новых конструкций пути, повышение эффективности в обслуживании объектов инфраструктуры посредством автоматизации значительного объема работ. В формировании текущей научной повестки в интересах развития железнодорожного транспорта в России участвует множество различных подведомственных ОАО «РЖД» организаций и подразделений компании, отраслевых научно-исследовательских институтов, российских университетов, в их число входят: АО «ВНИИЖТ», АО «ВНИКТИ», ПКБ И, ЦДИ, ЦТЕХ, СГУПС, ПГУПС, РГУПС, ИПМех РАН, РУТ (МИИТ), МФТИ, ВНИИЭФ, СамГУПС, МЭИ, АО «ИЭРТ», ФГУ ФН НИИСИ РАН, АО «НИИЖТ», ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, ИМАШ РАН, ИПР РАН и другие. ОАО «РЖД» уделяет большую роль научным исследованиям, позволяющим автоматизировать системы управления железнодорожной инфраструктурой, совершенствовать конструкции и элементов для повышения уровня безопасности и снижения издержек содержания объектов инфраструктуры, создавать технические решения в целях прогнозирования состояния железнодорожного пути, замещать импортные компоненты в изделиях и технологии.

Для того, чтобы иметь возможность моделировать движение подвижного состава по железнодорожному пути необходимо создание корректного алгоритма по учету усилия в контакте между колесной парой и рельсами. Широкое распространение получили подходы, основанные на теории Герца, описывающей взаимодействие упругих тел с криволинейными поверхностями. К числу фундаментальных классических работ в этом направлении можно отнести [1], где проанализировано взаимодействие в системе «колесо-рельс» в рамках теории Герца и с учетом гипотезы об упругом полупространстве, её обобщение [2] для трехмерного случая, а также [3], в которой получена теория для системы «колесо-рельс» в трехмерном случае контакта катания. Для негерцианских задач используют такие численные методы для решения задач контактной механики, как транспонирование матриц и вариационные методы [4]. Данные методы адаптированы для моделирования систем «колесо-рельс» в [5]. Из-за скольжения колес

при торможении и плохого сцепления с участком пути в них может возникнуть усталостные дефекты, например, ползуны (скошенное колесо). С использованием пространственно -временных моделей для системы «колесо-вагон» в [6] спрогнозированы ударные взаимодействия вследствие ползунов, продемонстрирована обратная зависимость размера ползуна и радиуса колеса, более современная пространственно-временная модель взаимодействия «колесо-вагон» предложена в [7]. В работе [8] рассмотрена численная негерцианская модель контакта с использованием табличного метода, который требует большой диапазон варьирования и высокой степени точности, для изучения ударов от ползунов. Другой вариант моделирования негерцианского контакта в [9] с использованием пространственно-временной модели системы «колесо-рельс» использовался для прогнозирования вибраций вследствие ударов ползунов. Для классификации ползунов в [10, 11] предложено использовать минимум кривизны колеса, помимо глубины и длины плоского участка, также в [11] приведены этапы роста ползуна. В работе [12] проведено сравнение с моделью Герца и моделью контакта для квазистатического случая из [13] с использованием трехмерной конечно-элементной модели для учета динамического контакта в системе «колесо-рельс». В [14] обнаружено, что гибкость колесной пары влияет на поведение подвижного состава при движении. Численная негерцианская модель контакта и пространственно-временная модель системы «колесо-рельс» используется в [15] для прогнозирования шумов и вибраций от ударов ползунов. Используя уравнения Уфлянда-Миндлина, в [16] получены расчеты динамической нагрузки на рельс вследствие движения колеса без дефектов. С учетом вероятностей и оценки частотной характеристики системы проведен аналитический расчет взаимодействия колеса с несколькими ползунами и железнодорожного пути в [17]. Динамические воздействия на железнодорожный путь из-за наличия дефектов в колесных парах исследованы в [18], где также определены напряжения при наличии ползуна, навара, величины трещин в зависимости от размеров рассматриваемых дефектов. Для моделирования контакта использована теория Герца и выведенные на основе нее аналитические выражения. Аналитические подходы для описания системы «колесо-рельс» были применены также в работах [19, 20]. В [21] произведена Различные типы дефектов рассмотрены в работе [21], где железнодорожный путь представлен с использованием модели сосредоточенной массы, а для учета напряжений в грунте используется метод конечных элементов. В [22] предложена модель для двумерного и трехмерного случая по учету ползуна в колесной паре, соответствующего различным параметрам в условиях движения по высокоскоростному участку железнодорожного пути, исследовано динамическое воздействие колеса в системе «колесо-рельс».

При рассмотрении контактных задач в системе «колесо-рельс» большое развитие получило направление, связанное с оценкой остаточных напряжений в колесе и рельсе, формированием

моделей контактно-усталостных повреждений (КУП) вследствие циклического нагружения взаимодействующих тел при наличии трения качения, в том числе в колесных парах, рельсовом полотне. Большое распространение для решения этого класса задач получили конечно- и бесконечно-элементные подходы в моделировании. Например, в работах [23, 24] использовался метод конечных элементов для оценки остаточных напряжений в системе «колесо-рельс» в различных условиях. Пределы системы «колесо-рельс» при постепенном увеличении осевых нагрузок, скорости движения с использованием разработанных критериев стойкости к КУП и изнашиванию исследованы в [25], дана оценка допустимой осевой нагрузки в идеальных условиях. Модели образования КУП рассмотрены в [26], а именно: модель возрастания касательных напряжении, анализ приспосабливаемости материалов к циклическому нагружению, применение конечно-элементного моделирования. Численно-аналитические способы расчета контактно-усталостных повреждений взаимодействующих тел в условиях трения качения приведены в исследованиях [27, 28]. Отдельного внимания заслуживают вероятностные методы, которые используются в задачах динамики и прочности рельсовых экипажей в [29]. На основе проведенных опытов с использованием модельных роликов в [30] предложена методика пересчета на железнодорожные колесные пары.

При анализе качения колесной пары при движении подвижного состава анализируются пятна контакта колес, возникающие при взаимодействии с рельсовым полотном. В [31] использовались данные о контакте колеса с рельсом при различных прогнозируемых состояниях износа профиля для оценки усталостных процессов в ходовой части подвижного состава. С использованием экспериментальных данных в [32] проведено моделирование контакта качения колесной пары и рельса в местах сварного соединения, учитывающее неоднородные прочностные свойства материала рельса в окрестности сварного шва, деформации формы рельса и износ. При изучении пятен контактов особое значение приобретает разработка профилей рабочих поверхностей колес и рельсов, соотносящихся между собой, что показано в работах [33, 34, 35], в которых предложены подходы по проектированию специальных профилей колес для грузовых вагонов и отмечается важность поиска оптимального значения пятна контакта. В исследовании [36] приведен анализ нескольких видов пятен контактов: интенсивный одноточечный, интенсивный двухточечный, конформный - отмечается, что несогласованность поверхностей колес и рельсов увеличивает их износ, приводит к изломам.

При проектировании железнодорожного пути, прежде всего, рассматривается два принципиальных типа устройства: с ездой на балласте (балластный путь) и с ездой по плитам жесткого пути (безбалластный путь) - сам железнодорожный путь может быть проложен в условиях земляного полотна, мостовых сооружений, иных уникальных сооружений. При этом балластное устройство пути является более распространенным в связи с низкой себестоимостью

прокладки. Пример модели проложенного по земляному полотну балластного пути, состоящего из рельса, подкладки, шпалы, балласта (щебень), песчаной подушки и суглинка, в рамках исследования вибродемпфирующих свойств земляного полотна представлен в работах [37,38]. В [39] для оценки влияния колебательных процессов и волновых эффектов балластный путь представлен в виде многослойной (рельс-прокладка-шпала-балласт-земляное полотно) квазиупругой ортотропной среды с цилиндрической анизотропией и характерной слою жесткостью, нагрузки между слоями которой передаются через линейно-упругое основание. Рассматривая насыпь в качестве упругого ортотропного двумерного элемента Уфлянда-Миндлина, в [40] было исследовано поведение железнодорожного пути при динамической нагрузке колесной пары с учетом упругих, вязкоупругих, упруго-пластических свойств контакта в системе «колесо-рельс», из них наилучшее совпадение с экспериментальными данными зависимости усилия в системе «колесо-рельс» от времени показал упругий контакт. На основе экспериментальных данных, полученных при движении подвижного состава на участке Ковдор -Пинозеро Октябрьской железной дороги в условиях земляного полотна с различными параметрами, в [41,42] получены и усовершенствованы математические модели, позволяющие описывать нагрузку на рельсы и грунтовое полотно. Широкое распространение путь с ездой на балласте получил в Европе [43], в том числе при организации движения по мостам. В [44] с учетом наличия балласта проведено моделирования поведения балочных виадуков при движении подвижного состава, отмечена важность корректно поставленных граничных условий. При движении подвижного состава на балластных мостах с малой и средней длиной пролетных строений из [45] установлено влияние на движение сил трения между несущей конструкцией моста и балластом. Под действием естественных факторов, в том числе климатических [46], техногенных факторов [47]: неправильная трамбовка, загрязнение, недостаточная толщина, проблемы с дренажной системой, усталостные ползучие явления вследствие недопустимых нагрузок и увеличения циклов нагружения, дефекты колес - в балластном пути возникают повреждения, в частности образуются воздушные прослойки между насыпью и шпалами. Влияние наличия воздушных прослоек между шпалами и насыпью изучено в [48] с использованием динамической модели взаимодействия подвижного состава и железнодорожного пути: разрушения в конструкции пути возрастают, если под соседствующими с рассматриваемой шпалами также есть воздушные прослойки. Из сравнительного анализа балластного пути и безбалластного пути в [49] можно сделать выводы, что балластный путь имеет относительно низкую стоимость при его прокладке, ремонту после чрезвычайных происшествий, в то же время безбалластный путь удобен при эксплуатации пути в условиях уникальных сооружений (мосты, тоннели и пр.) и прокладки бесстыкового рельсового соединения, обеспечивает низкие затраты на текущее содержание. Схожие выводы получены в [50], где исследовалось изменение

геометрии балластных и безбалластный путей при скоростях 200 км/ч и 300 км/ч. Показано, что балластный путь демонстрирует более высокую дифференциальную осадку, вызванную движением подвижного состава, по сравнению с ездой по плитам, и при более высоких линейных скоростях ухудшение геометрии пути становится все более выраженным для балластного пути.

Для достижения долговечности эксплуатации железнодорожного пути, высоких показателей износостойкости, развития высокоскоростного движения [51, 52] во многих современных проектах новых железнодорожного магистралей, в том числе и в Российской Федерации [43], планируется использование бетонных плит при прокладке пути, то есть организации движения подвижных составов по безбалластному пути. В разных странах разработаны различные типы устройства пути с ездой по бетонным и железобетонным плитам: RHEDA и Zublin [53], Bogl [51], БВСП CRTS тип III [43], «Плавающая лестница» [54] и др. В работах [55-58] исследована проблема устойчивого движения по мосту подвижного состава на высокоскоростных магистралях, показано, что при движении подвижного состава по безбалластному пути возможно падение усилия в системе "колесо-рельс" ниже допустимого предела [58-60]. Это приводит к отрыву колеса и последующему его возращению на рельс в условиях ударного взаимодействия, эквивалентного ударному взаимодействию от незакатанного ползуна. Отрыв колеса от железнодорожного полотна обусловлен колебаниями пролетных строений и параметрами демпфирования конструкции пути, которые существенно отличаются в безбалластном пути в отличие от балластного устройства, в котором присутствуют сильные демпферы: земляное полотно, насыпь. Таким образом, достижение проектной скорости, ускорения подвижного состава [54, 61, 62] на том или ином пролетном сооружении оказывается небезопасным, так как в том числе достигается критическая скорость, при которой наступает резонанс соответствующих сооружений, приводящих к эффекту галопирования (поочередные отрывы колес от рельса).

Важными параметрами при проектировании конструкции железнодорожного пути являются жесткость верхнего строения пути и демпфирование в нем [63,64], при этом роль демпфирования возрастает при организации движения в зоне мостов по безбалластному пути в виду отсутствия земляного полотна и балласта. Широкое применение для снижения динамического воздействия подвижного состава на путь получили различные упругие элементы, которые вводятся между конструкционными элементами пути: прокладки и подкладки между рельсом и шпалами, нашпальные прокладки, упругие слои между плитами и несущей конструкцией сооружений. В [65] приведен сравнительный анализ для изделий резины, полиуретана, термоэластопластов, в результате даны рекомендации по изготовлению подкладок под рельс из термоэластопластов, а под шпалы подкладок из полиуретана, также предложено использование дополнительной шероховатой алюминиевой пластины в зоне стыка рельса и

шпал. В современном устройстве пути используются бетонные и железобетонные шпалы, которые увеличивают жесткость подрельсового основания, особенно в зонах стыков, где происходит неравномерной накопление остаточных напряжений [66, 67]. Внедрение упругих элементов, рассмотренных в работах [68, 69], показало свою эффективность в задачах снижения жесткости подрельсового основания для улучшения работы стыка на железобетонных шпалах. Стоит отметить, что на показатель демпфирования влияют амплитуды колебаний пролетных строений [70], в связи с чем имеются сложности по расчету показателя демпфирования для нового пролетного сооружения, строго говоря, нельзя, поэтому необходимо проводить анализ уже возведенных конструкций.

В условиях длительной эксплуатации в материале рельсового полотна образуются разные КУП, в том числе микротрещины, дефекты, которые могут быть визуально не видны на рабочей поверхности рельса. Поэтому актуально использовать методы неразрушающего контроля [71], позволяющие следить за состоянием различных объектов мониторинга в условиях их длительного срока эксплуатации. Широкое распространение получили такие методы неразрушающего контроля как магнитные и/или электромагнитные [72], нейтронные [73], рентгеновской дифракции [74], рамановской спектроскопии [75] и ультразвуковые [76]. Из них ультразвуковые методы, основанные на линейной зависимости между временем прохождения волны и напряжением эластичного материала, просты в использовании и демонстрируют высокую эффективность при рассмотрении металлических объектов. Согласно [75] ультразвуковые методы при измерении внутренних напряжений подразделяются на три типа: с использованием только продольных волн [77], с использованием также поперечных волн [78] и с использованием продольных волн с критическим преломлением (LCR waves) [79].Несмотря на несовершенство теории и зависимости от множества параметров окружающей среды и материала [80], ультразвуковые методы неразрушающего контроля широко используются в задачах наблюдения за состоянием железнодорожного полотна благодаря их сильной проникающей способности и высокой чувствительности [81]. Излучаемые зондами ультразвуковые волны отражаются от контактных усталостных повреждений, а их переотражения, проекции и дифракция преобразуются и собираются в т.н. B-сканированных (B-scan) изображениях [82]. В настоящее время одним из перспективных направлений в этой области является создание автоматизированного интеллектуального алгоритма обработки изображений B-сканирования [83, 84] с целью точного и стабильного определения дефекта без необходимости ручной обработки.

Во всех описанных задачах мониторинга и безопасности на железнодорожном транспорте используются различные методы математического и численного моделирования. К уже упомянутым аналитическим подходам из [17-20, 27, 28] можно отнести и методы, основанные

на прямом и обратном преобразованиях Фурье [85], для описания динамики сооружений, прогибов балочных конструкций. В [29] использованы вероятностные методы для учета характеристик движения подвижных составов, отличающихся большим разбросом: неровности рельсового полотна, прочностные свойства несущих деталей, параметры рессорного подвешивания и пр. Среди численных методов большое распространение получили конечно -элементные подходы. Методы математического и численного моделирования активно используются в ряде задач безопасности на железнодорожном транспорте. Например, в [86] проведено сравнение метода конечных элементов и объединенных метода конечных элементов и безэлементного метода Галеркина для задачи ударопрочности железнодорожного транспорта. Для анализа образования усталостных трещин при постоянных и переменных нагрузках проводится численное моделирование с использованием метода граничных элементов, конечных элементов, безэлементного метода Галеркина, обобщенного метода конечных элементов [87-92]. Также возможно применение конечно-разностных подходов, например, методов центральных разностей [93].

В настоящем исследовании предложено использование сеточно-характеристического метода, позволяющего рассматривать задачи движения подвижного состава в различных условиях эксплуатации в динамической постановке и исследовать влияние волновых процессов при движении подвижного состава с использованием конечно-разностных схем высокого порядка точности по времени и пространству. Сеточно-характеристический метод уже был применен к задачам сейсморазведки, сейсмостойкости [94-100] Одни из первых работ, посвященных железнодорожной тематике, с использованием сеточно-характеристического метода, были задачи неразрушающего контроля [101, 102], в которых в двумерной постановке исследовались переотражения от вертикальных и горизонтальных трещин в головке рельса, в частности в [102] в ходе численного эксперимента был обнаружен тип волн, невидимый для используемого при дефектоскопии рельсов оборудования. Однако используемая при численном моделировании двумерная модель рельса не учитывала криволинейность границы рабочей поверхности рельса, так как использовался сеточно-характеристический метод на прямоугольных расчетных сетках. В работе [103] был получен набор гексаэдральных сеток, корректно описывающий профиль рельса Р65, однако расчет с его использованием оказался неустойчивым в виду невозможности применяемой на тот момент программной реализации явных сеточно-характеристических методов корректно рассчитывать значения волновых полей в стыковых узлах между соседствующими расчетными сетками. В [101] проведено численное моделирование для задач, связанных с определением наличия каверны в грунте под насыпью в условиях распространения сейсмического сигнала по конструкции земляного балластного пути. В условиях использования сеточно-характеристического метода в настоящем исследовании

железнодорожный путь [104-108] или рельс, при рассмотрении задачи ультразвукового неразрушающего контроля [109], представлен с использованием динамической системы уравнений теории упругости гиперболического типа. Сеточно-характеристический метод опирается на характеристические свойства рассматриваемой системы и использует конечно-разностные схемы высокого порядка точности для получения пространственно-временного решения. Особенности железнодорожных конструкций учитываются путем изменения граничных условий и условий на контактных границах [105-107]. Для расчета поведения участков контакта колесных пар подвижного состава с рельсом - системы «колесо-рельс» -использовано граничное условие [104, 107], основанное на аналитических подходах из [19,20], модифицированное так, чтобы была возможность учитывать параметры каждого элемента подвижного состава: масса, расстояние между колесными парами, радиус колес, наличие ползуна в колесе и др. Для решения уравнений математической физики в последнее время стали использоваться химерные или перекрывающиеся расчетные сетки, которые ранее применялись для решения гидродинамических задач [110-113]. Сеточно-характеристический метод с использованием химерных сеток позволяет описывать границы сложной формы [114], в том числе контактные [115] или не сонаправленные с координатными осями [116]. В исследовании алгоритм построения химерных сеток использован для рассмотрение трехмерной задачи неразрушающего контроля в рельсе [109]. Отдельно стоит отметить, что продолжается работа над расширением класса используемых в сеточно-характеристическом методе расчетных схем. В работе [117] был разработан сеточно-характеристический метод с использованием компактной схемы высокого порядка для моделирование акустических волн в гетерогенных средах и моделирования неоднородностей. В [118,119] получены расчетные схемы и схемы расщепления четвертого порядка точности. При исследовании различных постановок задач в области мониторинга и безопасности железнодорожного транспорта было отмечено, что характерные продольные размеры элементов пути (рельс, насыпь, геологические среды, несущая конструкция моста, бетонные плиты) намного больше поперечных размеров, что накладывает существенные ограничения по области устойчивости явных сеточно -характеристических методов. В связи с этим в исследовании рассматривается вопрос адаптации неявных схем и использования явно -неявного расчета по пространственным направлениям [120, 121], которые позволили бы расширить область допустимых параметров интегрирования для устойчивого расчета.

Цели и задачи исследования Целью настоящей работы является изучение возможности применения сеточно-характеристического метода к широкому классу задач железнодорожной тематики: движение подвижного состава по земляному полотну, движение подвижного состава по высокоскоростным магистралям, обустроенных на балластных и безбалластных сооружениях, моделирование

применения ультразвуковых методов неразрушающего контроля рельсов и получение неявной сеточно-характеристической схемы для долгосчетовых задач нагружения материала.

Решаются следующие задачи для достижения поставленной цели:

1. Модификация граничного условия, моделирующего систему «колесо-рельс» для того, чтобы рассматривать движение подвижного состава, состоящего из более чем одного элемента. В модификации необходимо предусмотреть возможность варьирования таких параметров, как масса элемента, расстояние между колесными парами, расстояние между колесами в самой колесной паре, наличие дефектов в колесных парах (ползуна).

2. Создание математических моделей в соответствии с конструкцией железнодорожного полотна, проложенного по земляному полотну, балластному и безбалластному пути в условиях мостового сооружения, в рамках начально-краевой задачи для уравнений упругого тела.

3. Исследование численной сходимости сеточно -характеристического метода для трехмерной задачи ультразвукового неразрушающего контроля с использованием химерных сеток и совершенствование подходов численного моделирования с учетом особенной геометрии рельса.

4. Разработка неявной сеточно-характеристической схемы порядка выше первого для исследования задач нагружения упругого материала в условиях выхода из области устойчивости явных сеточно-характеристических методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кожемяченко Антон Андреевич, 2023 год

щ - щ

са р

(щ1

,2

1,п+1 , <г11,п+Л срр

+ (Ул I

2 > А

+1 . 1,я +1 1,п +1

щ + щ + щ

^Хп +1 I ,,1,п +1

щ + щ

_п+1

(„2,п+1 2,п+1

щ4 -щ

',,2,п+1

щ - ®

са р

2,п+Л_1

1 К

(щ

2,п+1 2,п+1

+ щ2

А

срр

срр

+ щ

^-■2,п+1 , „2,п+1

щ +щ

^-■2,п+1 , „2,п+1

щ + щ

(3.21)

(3.22)

Тогда, возвращаясь к постановке условий на правой границе, можно выписать Пг>

П и

соответствующие им выходящие и входящие характеристики юги , юш :

П

1

П

срр А

ср,р 0 1

0

1

срр

А срр

1 0

ся р

0 о

01

0 о

1 о

1 ^

> Юш -

{ \

щ

щ )

(3.23)

са р о

о

0

1

ю„„, -

Чщ4 )

(3.24)

Подставляя (3.16) и (3.22) в условие внешней силы в случае задания Г - (/,/2 )Г получим:

(3.25)

щр'п+1 + щ

2,п+1 г

Р - /1

2,п+1 . 2,п +1

щ +щ

- /2

Далее, выражая инварианты, соответствующие выходящим за пределы области интегрирования характеристикам через инварианты, соответствующие входящим характеристикам, получим граничное соотношение для рассматриваемой границы в случае условия внешней силы:

' ,2,п+1 2,п+1

щ - /1 - щ

2,п+1 ^ 2,п +1

(3.26)

í /-> 2,п+1 /->

я

!+1

(3.27)

Аналогично, используя (3.17) и (3.22) в случае задания V -(у,у2)Гна правой границе, перпендикулярной к ОУ, получим:

щ

щ

2,п+1

- с5 рух + щ

2,п+1

- ср ру2 + щ

2,п+1 '

(3.28)

я

щ5 + 2

2А А — щ + — Ур

(3.29)

СрР

2щ + ср ру2 2щ + с5 руг

В частных случаях свободной границы {- 0 и условия закрепления V - 0 условия на

инварианты соответственно получаются:

„2,и+1 2,п+1

- -щ2 2,п+1 2,п+1 ,

щ4 - —щ

„2,и+1 2,п+1

= щ2 ,,2,и+1 2,п+1 .

I щ4 - щ

(3.30)

Аналогичные рассуждения для постановки граничных условий можно применить и для отыскания выражений на левой границе вдоль направления ОУ

Рассмотрим выражение (3.3) для инвариантов, выходящих за область интегрирования на левой и правой границе соответственно:

=()-1 (dz -Dznиюи;z), (3.31)

«оиг,г = (DrПои, )-1 (dr - DrП1п«1ЩГ). (3.32)

В общем случае при применении неявных схем выходящие и входящие инварианты на разных границах связаны между собой через некоторые преобразования К и К,, зависящие от выбора разностной схемы, значений на нижнем слое по времени, значения инварианта со5, не меняющегося во времени:

Йи,г = Иг Ким )> «п/ = («оШ,г )» (3.33)

«ои,,г = (ОгПои, )-1 (¿г - ОгП пКг («ои, / )) < .

_ «ои,/ = (О/Пои, )-1 - Б/ОшИ/ («ои,,г )) '

Из системы (3.34) можно выразить неизвестные значения выходящих инвариантов и вернуться через (3.33) к инвариантам внутри области интегрирования. Посмотрим, как выглядят преобразования (3.33):

(3.34)

«гп,г =

( \ Ч5,г ( \

г , «гп/ = Ч / , «ои, г

Ч^ у Ч4 / у

ЧЛ

Чг у

Ч

, «ои,,/

1,/

V4,/ у

(3.35)

Кг («ои,,/ ):

Ч

ачи + Д

азЧ +РзJ

К/ ( «ои,г ) =

Ч

5,/

а2Ч2,г + Л а4ч4 г + Д

(3.36)

у 4 4,г Н4 у

Коэффициенты а,Д, г = 1,2,3,4 коэффициенты, зависящие от выбранной расчетной схемы и значений с нижнего по времени слоя. Для расчетной схемы первого порядка (2.88):

С

а =

V1 + С у

Д,з = 1

С1

и-г 3

1 (1 + С:,з)

и+1-г г

Ч.13 +-

1 + С

Ч

1,3

и ,

(3.37)

(3.38)

А,4 = I

С

=1 (1 + С2,4 )

2,4 2,4

ч + ■

1 + С

ч,

о ,

(3.39)

2,4

где С число Куранта по абсолютной величине, соответствующее каждому инварианту из

системы (3.20), то есть С = С2 = ,С3 = С4 = .

к к

Для расчетной схемы (2.89) добавляется еще один узел на нижнем слое по времени и коэффициенты примут вид:

1

1

а

, =(-ь)",

(М-1-

А,3 = (-П,3 ) - 43 + X (1 - ^123 )(-К,3) ^3 + Ги3<3 ■.

1=1

А2,4 =(-Г2, 4 )

1 - С

М-1

(М-1-

2 4

М

+ X (1 - ^ 4 )(-Г2, 4 ) ^ + Г2, 4^(2,4

О '

(3.40)

(3.41)

(3.42)

к =М-1

где =г+с ■

Тогда, рассматривая (3.34) вместе с условием задания внешней силы, получим систему уравнений:

, 1 = ¿1,1 -а2®2,г -р2

®3, 1 = ¿2, 1 -а4™4,г -Д ®2,г = ¿1,г -а1®1 , 1 -Д .

&4,г = ¿2,г -а3®3,1 -Р3

Получим из нее недостающие инварианты на границах

¿1, 1 -Л -а2 (¿1,г -А )

Ч 1 =

®3,1 =

г =

®4, г =

1 - ,

¿2,1 ' "^4 - "«4 (¿2,г -А3 )

1 -а3а4

¿1,г -А - -«1 ( ¿1,1 А2 )

1 -аа

¿2,г -А -а3 (¿2,1 А4 )

1 - аа

Для условия задания скорости границы получим систему уравнений:

X 1 = ¿1, 1 +а2®2, г +р2 ®3,1 = ¿2,1 +а4®4,г + А4 ®2,г = ¿1,г +а1®1,1 + А1 .

04г = ¿2г + а3а31 + А3 Для недостающих инвариантов в этом случая приходим к выражениям ¿1,1 +А +«2 (¿1,г +А)

®1,1 =■

1 -«а

«3,1 =

¿2,1 +А +«4 (¿2,г + А )

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

1 - а3а4

(3.44)

(3.45)

™2,г —

™4,г —

йХг + Д +д1 (¿ц + $2) 1 - аха2

¿2,г +А + а3 (¿2,1 + $4 )

1 - а3а4

(3.46)

(3.47)

3.3. Граничное условие усилия в системе «колесо-рельс»

Для моделирования усилия в системе «колесо-рельс» используется граничное условие заданной внешней силы из [104], задаваемое формулами: о • п = f (х, г),

Хт (Х, г) - Х х0 V TR (г tSM ) 5

7 / \ / \ НTR

( X, г ) — ( X, г )

¿2 ( X г ) (x, г ) +

¿3 ( X, г ) (X г)-

¿4 ( Х, г ) — Хта (Х, г ) + ~ + ~ 5

2 2

Т_Г п TR LTR

2 2

т_г п TR 1 ^т

2 2

т_г п TR | LTR

, ч (й (х, г) 1 1 I(X,г) — /0 Xм + -1,г

V NST И 2'

п, Ц (хг )|

< ■

^ И

2

г —1,2,3,4,

Л ( Х, г )— kSM ( г ) kGR ( Х) Р0 5

ksм ( г ) —

0, г < 0 г

7 (Х)— <

т

1 г > т

1, 1 > TSM

0, х < 0

г е[0, тSм ],

Х

[0 И ]

И

1, х ф, (NSт -1)И] ,

^ - X, х е[(^ -1) ^^ И]

0, Х > И

Р —

0 RAD

kVIBR mTR Е

N Я

1У WH ЯWH

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

3

- положение центра элемента подвижного состава в соответствующим момент времени, х0 - положение центра элемента подвижного состава в начальный момент времени, Уш -скорость движения подвижного состава, , #тк - параметры элемента подвижного состава (рисунок 3.1), а ,1 = 1,2,3,4- задают положение соответствующего колеса, ^т - количество узлов, в которых рассчитывается усилие в контакте «колесо-рельс».

Рисунок 3.1. Элемент подвижного состава. В формулах (3.55) и (3.58) в соответствии с работами [18, 20] использована модель давления неповрежденного колеса на рельс, где P0 - давление неповрежденного колеса, -

коэффициент системы амортизации, шТК - масса элемента подвижного состава, E - модуль упругости рельсовой стали, - количество колёс элемента подвижного состава, - радиус колес, кшо - коэффициент, зависящий от отношений радиусов кривизны колеса и рельса.

Благодаря введенным коэффициенту кш и времени Тш в численном расчете учитывается, что исследуемый подвижной состав осуществляет свое движение с заданной скоростью с учетом уже сформировавшейся за время Т полной волновой картины. Эти параметры можно и не учитывать в расчетах, но тогда вычисления будут проведены для установленного рывком за время г подвижного состава.

Для того, чтобы иметь возможность моделировать движение подвижного состава, состоящего из более чем одного элемента, рассматриваемое граничное условие было доработано на языке С++ в рамках используемого программного комплекса. Таким образом, возможно моделирование прохождения по железнодорожному полотну подвижных составов, отвечающим различным техническим характеристикам.

3.4. Граничное условие усилия в системе «колесо-рельс» для учета ползуна Используя за основу граничное условие из раздела 3.3 возможен учет такого дефекта, как ползун (рисунок 3.2) в одном или нескольких колесах подвижного состава.

а б в

Рисунок 3.2. Модель воздействия поврежденного колеса на рельс: а) поворот вокруг точки начала ползуна; б) поворот вокруг точки окончания ползуна; в) геометрия ползуна. Предположим, что дефект находится в колесе с номером ^, тогда

^ " ^ Л . . (t)

(3.60)

Г (х, t) = /^ 11 + , 11 п, И (X, t )| — —,

V2 ¿ТООТ ^) ) 2

/FL_SP (t) = ~кSM (/) kGR_FL_SP (Х) (р0 + PFL_SP (t)) ,

I = /

кGR FL SP ( Х ' ^

( х ) =

0, х < 0 х

И

\0, И ]

1, х е[ h, ¿Шж (t)" И ]

(')~х хеГй (t)_Ий М]

, х ^ Г¿шт- (') И, ¿тот (')] 0, х > йШт' (t) ^сотт (t) = МАХ {йC0NT_FL_SP (t) , т8Т И} ,

й

C0NT FL SP

(t) =

йй _ БР , а (t) — ат

1ап (а ('))

а

(t) >асR ,

йй БР = 2^ 81П а0 :

аСК = arctan

( \ 8

V йй _ БР )

р'L_SP ( х,t)

0, t <

Р0 (й (') t) 1 G\t t]

р EL_SP \йC0NT_FL_SP \ V , V , 1 ^'0, 'и ,

кSM_IMP ( ' ) PEL_SP (йй _ БР , '1 ) , 1 > 11 (й, ') = ^Д(') ,

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

(3.65)

(3.66)

(3.67)

(3.68)

^ (ь, г) — ь

ш +

в (г - г0)

2 Л

t е[г0, г1 ]5

(г) —

1 , г е [г1, г1 + гSM_IMP ]

^SM_IMP 0, г > г1 + гsм 1М

_2HR

IMP

ТД Г

1 --

Н

РЬ SP

Я

жи у

ш —

V

TR

Ял,

Р _ V TR , kVIBR §

¿жи NWH

а

(г ) —

, ч в (г - г0 )3 г п

а0 - ш (г - г0)-- ,t е[г0, г1 ]

а0 + ш (г - г2), t е [г, г2 ]

а — шдг +

в (А, )3

г0 — т8М + тг + г, ХРЬ 5Р е

ш

г — г0+Аг,

г2 — г! +

а

0

ш

(3.69)

(3.70)

(3.71)

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

(3.77)

(3.78)

(3.79)

В формулах (3.60) - (3.79) Ьрр 5Р - длина ползуна, Н^ 5Р - глубина ползуна, е - значение, при котором колесо с ползуном и рельсы считаются соприкасающимися, г8м 1МР - время

изменения усилия после достижения максимального значения (время удара или время необходимое для отражения волнового фронта от нижней границы рельса и возвращения к месту соударения), Нд - высота рельсового полотна, - момент инерции колеса, хрр 5Р -

координата, соответствующая началу ползуна относительно обода колеса. Формулы (3.65) и (3.72) следуют из используемой геометрии на рисунке 3.2в.

При г е [г0, г ] усилие постепенно смещается со скоростью движения подвижного состава,

формируя вращательный момент, при повороте колеса вокруг точки начала ползуна, при этом скорость вращения колеса с ползуном задается выражением

а0 — arccos

<

J = V .(t _ t ). kV!BR mTRg

J WH ~ V TR (1 l0 у д T :

Ct N wh

отсюда получим

V TR ^VIBR WTR g (t - ^)

(3.80)

a

(t )=

J N

J WH N WH

2

+ C.

(3.81)

которое фигурирует в том числе в (3.69), (3.75), (3.76), и из него также выводится $ из (3.74), с помощью которого отыскивается А^ в (3.76). Также при повороте колеса может увеличиваться

пятно контакта, если расстояние между колесом и рельсом меньше е(рисунок 3.2а,б), чем и обусловлены формулы (3.64) и (3.66).

На рисунке 3.3 представлен график зависимости дополнительного усилия, возникающего из-за присутствия в колесе дефекта (ползуна): г е [г0,г1 ] - момент поворота колеса вокруг точки

начала ползуна, t е [tj, tj

+1