Моделирование резинокорда с применением к задаче качения шины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Демидович, Павел Николаевич

• Демидович, Павел Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демидович, Павел Николаевич

Введение

Обзор литературы.

Глава 1. Механические свойства резинокорда

1.1. Структура шины.

1.2. Гомогенизация резинокордного слоя.

1.3. Эффективные механические свойства резинокорда при плоском напряженном состоянии.

1.4. Эффективные модули резинокорда как трехмерной периодической среды

1.5. Экспериментальное определение эффективных модулей резинокорда при плоском напряженном состоянии.

1.6. Обратная задача определения модуля корда

1.7. Эффективные модули резинокордного слоя как среды, периодической в плане.

1.8. Моделирование резинокорда с помощью слоистого элемента.

Глава 2. Контактная задача о качении шины

2.1. Моделирование качения шины с помощью трехмерной нелинейной теории упругости.

2.2. Формулировка контактного алгоритма.

2.3. Конечно-элементная модель радиальной шины.

2.4. Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование резинокорда с применением к задаче качения шины»

Актуальность и интерес изучения резинокордных композитов и пневматических автомобильных шин обусловлены, во-первых, потребностями промышленности, а во-вторых, сложностью объекта исследования, не позволяющей на сегодняшний день удовлетвориться какой-то одной основополагающей "шинной теорией". Различные модели шин, разрабатываемые методами механики деформируемого твердого тела (МДТТ), постоянно совершенствуются - и с неизбежностью усложняются. Для решения возникающих задач, в том числе контактных, привлекают все доступные мощности вычислительной техники, в последнее время отдавая предпочтение методу конечных элементов (МКЭ). К основным аспектам, которые необходимо учитывать при моделировании шин, следует отнести большие геометрические искажения в процессе эксплуатации шины, её сильную неоднородность и малую сжимаемость резины. Чтобы учесть все особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) шины, крайне необходимо вычленить характерные моменты. Весьма плодотворным оказался взгляд на шину как на оболочечную структуру. В рамках теории оболочек удалось решить множество шинных задач. Сами модели проделали большой эволюционный путь от простейший двухслойной оболочки, моделирующей каркас и брекер шины, до анизотропной многослойной i моментной оболочки, основанной на геометрически нелинейной теории Тимошенко.

Современный уровень развития вычислительной техники позволяет перейти к трехмерному моделированию. Трехмерное моделирование НДС пневматических шин представляет интерес, по крайней мере, в двух аспектах. Во-первых, в чисто теоретическом, так как ставит достаточно сложные проблемы построения трехмерной модели резинокорда и повышения эффективности вычислительных алгоритмов. Трехмерное моделирование шин является очень серьезным тестом для ряда численных методов. По существу, трехмерное моделирование резинокорда является предметом вычислительной механики [39, 42], когда приходится увязывать свойства механической модели резинокорда (или конечного элемента) с вычислительным алгоритмом. На примере моделирования резинокорда практически видна тесная связь между адекватностью механической модели и работоспособностью численных методов. Если при формулировки модели допущена ошибка только в задании упругих констант, решение получается физически неправдоподобным или получить решение не удается вообще. Например, ошибка в задании поперечного модуля Юнга приводит к перехлестыванию ячеек. Другими словами, численное решение удается получить даже для очень мелкой дискретизации (вплоть до 500 тыс. степеней свободы), если свойства модели (конечного элемента) сформулированы правильно. Во-вторых, трехмерное моделирование интересно в практическом плане, так как позволяет перейти от распространенного расчета шин на основе методов сопротивления материалов к более детальному расчету на основе уравнений теории упругости. В настоящей работе развивается методика расчета напряженно-деформированного состояния ре-зинокордных пневматических шин как на основе уравнений теории упругости (с помощью чисто трехмерных элементов), так и на основе оболочечно-трех-мерных элементов. В связи со стремительным развитием производительности компьютеров такой подход приобретает все больший смысл.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена построению трехмерной модели пневматической шипы и ее численной реализации при динамическом нагружении и при контактных граничных условиях на поверхности контакта с учетом трения. Развиваемый подход использует результаты работы [36]. Резинокорд представляет собой резинокордный композит, для моделирования которого применяется математический аппарат осреднения [1, 38], однако для его применения к резинокорду необходимо было решить теоретические проблемы [52].

Задачи, решаемые в данной диссертационной работе состоят в следующем:

1. Строгое описание эффективных свойств резинокорда на основе методики осреднения.

2. Описание резинокорда с помощью оболочечно-трехмерных элементов.

3. Описание экспериментов, необходимых для задания материальных констант резинокорда.

4. Решение обратной задачи для численно-экспериментального определения свойств обрезиненного корда.

5. Формулировка динамической вариационной задачи для полностью Лагранжевого подхода.

6. Численная реализация и проведение вычислительных тестов.

7. Проведение экспериментов для обоснования предложенной оболочечно-трехмерной модели резинокорда.

Работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе дан подробный экспериментально-теоретический анализ упругих свойств основных силовых элементов шины - ре-зинокордных слоев. Описаны проведенные эксперименты на одноосное растяжение, изгиб и поперечное сжатие. Для модуля Юнга на растяжение в плоскости резинокорда опытные данные обработаны в рамках наиболее популярных моделей резинокорда. Сделан вывод о хорошем совпадении результатов различных теоретических подходов. В то же время для поперечного модуля Юнга отмечено недопустимое расхождение между экспериментом и теоретическими значениями. Важный результат состоит в том, что выявлена проблематичность одновременной адекватной аппроксимации эффективных продольных модулей, изгибных жесткостей и жесткости на поперечное сжатие в рамках теории упругости, поэтому в §1.8 предложена оболочечно-трехмерная модель, отражающая специфические свойства резинокордного композита, в котором указанные жесткости задаются независимо. К существенным результатам диссертации также следует отнести теоретико-экспериментальную методику (§1.6) определения упругих модулей корда и резины по экспериментальным измерениям модуля Юнга резинокорда. Для различных кордных углов показано, что для решения указанной задачи достаточно лишь опытов па одноосное растяжение двухслойных резинокордных пластин с различными кордными углами, дающими экспериментальную зависимость эффективного продольного модуля Юнга от кордного угла. Обратная задача восстановления упругих изотропных модулей решена численно, с использованием модифицированного итерационного метода Ньютона.

Во второй главе построена методика и численная реализация решения контактной задачи стационарного и нестационарного качения шины по твердой поверхности с учетом сил трения. Постановка задачи осуществлена в рамках нелинейной теории упругости. Проведена линеаризация системы уравнений методом Ныомарка, записанным в приращениях. Трение задано по закону Кулона. Для описания контактного взаимодействия применяется итерационный метод, построенный с помощью техники квазивариационпых неравенств и впервые предложенный Кравчуком А. С. [26-29]. Построенный таким образом двухступенчатый итерационный алгоритм решения контактной задачи реализован в виде программного Фортран-модуля. Отдельно исследовано стационарное качение шипы. Результаты ее решения используются как начальные данные для расчета неустановившегося движении в задаче о наезде на препятствие. В рамках численного эксперимента проанализирована зависимость результатов решения контактной задачи от скорости вращения колеса. Получено распределение контактных усилий в зоне контакта для модельной геометрии внутренней структуры шины.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1. Четырнадцатом Международном симпозиуме «Проблемы шин и рези-нокордных композитов» (Москва, 20-24 октября 2003г.).

2. Пятнадцатом Международном симпозиуме «Проблемы шин и резино-кордных композитов» (Москва, 18-22 октября 2004г.).

3. Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 95-летию со дня рождения А. А. Ильюшина (Москва, 19-20 января 2006г.).

4. Научных конференциях «Ломоносовские чтения» в 2003, 2004 и 2006г.г. в МГУ им.М.В.Ломоносова (г.Москва).

5. Научных семинарах кафедры «Механики композитов» под руководством профессора Б. Е. Победри (МГУ им. М. В. Ломоносова).

По теме диссертации опубликованы работы [19-22, 48, 49, 51, 53, 54]

Обзор литературы

Среди методов расчета НДС автомобильной шины существенную долю составляют методы, основанные на теориях балок и оболочек. Полученные с их помощью теоретические и практические результаты отражены в огромном количестве работ. Первый расчет НДС резинокорда на основе мембранной модели для нужд дирижаблестроения приведен в работе 1913 года [69]. В дальнейшем стратегические запросы авиастроения стимулировали развитие собственно механики пневматических шин. Пионерской по праву можно считать работу Rotta [96], основанную на экспериментальном анализе самолетных шасси. В рамках максимально упрощенной модели автором решены следующие задачи: определение деформации в шине при заданном контакте с грунтом, а также известными боковом сдвиге и наклоне плоскости колеса; определение контактных нагрузок; расчет продольного деформирования боковины шины. Установлена практическая независимость направления контактных сил и области контакта от давления.

В качестве первых попыток применить теоретические наработки к изучению изменения профиля пневматической шины при раздувании можно указать работы [10, 74].

В СССР независимо от зарубежных авторов внутренняя механика шин была развита в работах В.Л. Бидермана. Под его руководством была написана книга [8] по теории и методам расчета, проектирования и испытаний автомобильных шип.

В 50-60 годах прошлого столетия наибольшее развитие получили две расчетные модели шин: кольцо на упругом основании и сетчатая оболочка вращения. Связано это с сочетанием относительной простоты моделей и возможностью получить на их основе практически важные результаты.

Одномерная модель кольца на упругом основании соответствует конструктивным особенностям радиальных шин: практически однозначное разделение на кольцо (беговая часть и брекер) и упругое основание (боковые стенки с меридиональным каркасом). Каждый элемент модели можно считать одно-, двух- или трехмерным, с независимо заданными жесткостями. Например, в работе [63] на основе модели изучались напряжения в катящейся радиальной шине. Кольцо, моделирующее брекерный пояс, наделялось крутильной жесткостью, жесткостью на растяжение и двумя жесткостями на изгиб относительно главных центральных осей поперечного сечения.

В работе Бёма [58] предложена одна из первых рабочих расчетных схем, согласно которой каркас и брекер моделируются мембранами, а распределение усилий между ними задается некоторой функцией. Таким образом автором решена задача о нагружении шины внутренним давлением (осесиммет-ричная задача), а также подробно изучены радиальные и продольные колебания шины (результаты хорошо согласуются с экспериментом). Отметим, что в рамках двухслойной модели касательные напряжения остаются неопределенными.

Для моделирования динамического поведения шины Бём разработал модель точечных масс [62]. Модель учитывает лишь небольшое число свойств реального материала. Кроме того, ее применение требует значительного числа экспериментов. Достоинством такой модели является ее простота, что позволяет рассчитывать нестационарное качение при больших скоростях с использованием маломощных компьютеров.

В.Л.Бидерманом и Э.Я.Левковской [9, 34] также решена задача о деформации радиальной шины внутренним давлением. Для моделирования беговой части шины ими была применена трехслойная ортотропная оболочка с двумя несущими мембранными слоями, соответствующими каркасу и брекеру, и разделяющей их резиновой прослойкой, работающей па поперечный сдвиг. Боковая стенка радиальной шины моделировалась однородной, транс-версально-изотропной безмоментиой оболочкой. В результате удалось вычислить не только относительные удлинения в армирующих элементах шины -слоях каркаса и брекера (меридиональные, окружные и вдоль нитей корда), но также деформации поперечного сдвига в меридиональном направлении в резиновой прослойке между каркасом и брекером. Весьма существенно, что в рамках трехслойной модели можно определить одну из зон со значительным уровнем деформаций поперечного сдвига - зону кромок брекера, с которой обычно начинается разрушение шины.

Комбинация моделей кольца на упругом основании и осесимметричной трехслойной оболочки использована Мухиным О.Н. [37] для решения задачи о локальном нагружении радиальных шин. В такой постановке удается определить два значения НДС для цикла его изменения за оборот колеса: при действии внутреннего давления и в центре контакта шины с опорной поверхностью.

Особенности строения диагональных шин отражены в модели безмоментиой сетчатой оболочки вращения, предложенной B.JI. Бидерманом и Б.Л. Бу-хиным [7, 11], а также зарубежными авторами [61, 90]. В наиболее простом варианте из модели исключена резина, кордные слои считаются идентичными по строению и размерам. Однако столь сильные упрощения все же позволяют рассчитать плоско-напряженное состояние диагональной шины (например, при надувке), когда усилия в резине много меньше усилий в кордных нитях.

Модель моментной ортотропной оболочки Киргофа-Лява, позволяющая учесть изгиб шины, рассмотрена в работах [59, 66,100]. В работе [91] в рамках многослойной модели решается задача осесимметричного нагружения шипы. В радиальной шине, нагруженной внутреннем давлением, определялась зависимость напряжения в каркасе и брекере от центробежных сил при различных скоростях вращения. Геометрически нелинейная теория Кирхгофа-Лява для многослойной ортотропной оболочки используется в работе [64].

Задача неосесимметричного нагружения радиальной шины как оболочки Кирхгофа-Лява в нелинейной постановке решалась Контанистовым М.П. [25].

Белкиным А.Е. решена задача обжатия шины на поверхности дороги и задача стационарного качения обжатой шины с использованием приближенной теории трехслойных оболочек [2, 3]. Деформации предварительно напряженных оболочек считались малыми. В работе [4] предложено приближенное решение контактной задачи об обжатии шины на плоскость, основанное на интегрировании линеаризованных уравнений теории оболочек. При построении линеаризованной теории предполагалось, что смещения точек шины, переводящие ее из начального состояния (накачанная шина) в конечное (обжатая шина), являются малыми. Для более точной аппроксимации зоны беговой дорожки радиальных шин также автором была предложена модель шипы как пятислойной оболочки [5]. Несущие мембранные слои, моделирующие каркас и два слоя брекера, считались анизотропными и тем самым учитывали различную направленность углов армирования. Экранирующие слои брекера моделировались мембранной оболочкой, отличной от модели рабочих слоев. Преимущество такого подхода по сравнению с трехслойными моделями состоит прежде всего в том, что он позволяет уточнить величины НДС в зоне кромок брекера, которая является потенциально опасной с точки зрения разрушения шины. Кроме того, в рамках модели возможно исследовать НДС резиновой прослойки между слоями брекера. Однако недостатком пятислойной модели по сравнению с трехслойной заключается в требовании при расчетах значительно больших вычислительных ресурсов.

Григолкж Э.И. и Куликов Г.М. построили уточненную нелинейную теорию многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, которая приводит к решению системы гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных двенадцатого порядка [15, 16]. Хотя в рамках теории поперечные касательные напряжения и тангенциальные перемещения аппроксимируются независимо, с точки зрения использованного смешанного вариационного принципа модель является корректной в том смысле, что соотношения упругости для поперечных касательных напряжений выполняются интегрально как по толщине пакета, так и по толщине каждого слоя. Модель позволяет определить две компоненты относительных удлинений (в окружном и меридиональном направлениях) и три компоненты деформации сдвига. Авторами решены модельные задачи о надувке различных типов шин: диагональных и радиальных; грузовых, легковых и крупногабаритных. Результаты расчетов хорошо аппроксимируют интегральные характеристики шин, в тоже время выявлена неудовлетворительная аппроксимация НДС в зоне кромок брекера. Для преодоления этого недостатка авторами предложены уточнения, которые в свою очередь увеличивают время счета на порядок, однако для современных компьютеров это обстоятельство пе является столь существенным.

Исследование задачи об обжатии шины на твердую поверхность с помощью оболочек типа Тимошенко представлено в работах [18, 33, 80]. Для оболочек принималась или кинематическая гипотеза Тимошенко (линейное распределение перемещений по толщине слоя), или гипотеза ломанной нормали. Задача рассматривалась в вариационной постановке с использованием функционала нелинейной упругости Ху - Васидзу. Дискретизация оболочки проводилась с использованием смешанных оболочечно-трехмерных элементов. Диагональная шина моделировалась четырехслойной перекрестно армированной резинокордной торообразной оболочкой кругового поперечного сечения. Форма пятна контакта предполагалась известной (эллипс), в процессе решения вычислялись его размеры. Первоначально столь существенные упрощения в постановке контактной задачи были прямым следствием вычислительной слабости компьютеров. Сейчас расчет по такой модели актуален па стадии проектирования шины, когда требуется быстрый прикидочный результат. Тем более если учесть, что модель анизотропной оболочки типа Тимошенко выявляет важный эффект несимметричного распределения давления в пятне контакта. Также отметим, что выбор в качестве искомых функций шести перемещений лицевых поверхностей оболочки позволяет рассчитывать оболочку, подверженную произвольно большим перемещениям и поворотам.

Предпринимались попытки использовать цилиндрическую систему координат, например, в работе [65]. Предполагалось, что цилиндрические конечные элементы более точно аппроксимируют геометрию шины, в результате чего удается уменьшить число конечных элементов в окружном направлении. Применение цилиндрических координат продемонстрировано на примере решения задачи о накачке и задачи о контакте с жесткой плоскостью, проведены сравнения с экспериментами. Однако широкого распространения подобный подход не получил, поскольку в рамках более реалистичных моделей шины цилиндрическая система преимуществами не обладает.

В работе [84] Padovan и Zeid рассмотрели контактную задачу стационарного качения шины. Они построили оболочечный контактный элемент и предложили алгоритм, который позволяет учитывать силы инерции для линейных и нелинейных задач. Внешняя нагрузка задавалась либо как силы и моменты, либо как перемещения. Уравнения нелинейной упругости записывались с помощью 2-го тензора Пиола-Киргофа в подвижной системе координат, жестко связанной с катящемся колесом. В качестве критериев контакта были выбраны условие непроникания и условие отсутствия нормального растягивающего усилия. Трение учитывалось с помощью закона Кулона. Эффективность алгоритма изучена в рамках простейшей модели кольца на упругом основании. В дальнейшем исследования были продолжены в работе [85]. Здесь постановка задачи проводилась как во вращающейся, так и неподвижной системах координат, что позволило учесть большие перемещения. Результирующие системы уравнений решались с помощью само-адаптирующейся версии алгоритма Ньютона-Рафсона. Были рассмотрены подходы на основе gap-элементов и на основе граничных элементов. В численных тестах существенной разницы между подходами выявлено не было. Для коэффициента трения ц £ [0.1; 1] установлено малое влияние трения на зависимость полной нагрузки от смещения.

В серии работ [87-89] Padovan развивает описанный выше подход. Теперь шина рассматривается как вязко-упругое тело и моделируются с помощью дробного интегро-дифференциального оператора. Помимо стационарной задачи, также рассмотрена задача о нестационарном качении, для решения которой использован метод Ньюмарка. В численных тестах применялись две модели шины. С помощью модели кольца на упругом основании была определена критическая скорость в рамках двух конечно-элементных схем: чисто оболочечная схема и смешанная оболочечно-трехмерпая схема. Результаты оказались близки: 119.7 км/ч и 120.3 км/ч соответственно. Для расчета частотных характеристик шины и сравнения их с экспериментальными данными была использована двухслойная тороидальноя модель. В рамках упругой модели (без учета вязкости) выявлена возможность резонанса. Введение вязкости уменьшает влияние инерционных сил в окружном направлении. В целом получена хорошая корреляция с экспериментальными данными. Также проведен сравнительный анализ следующих контактных стратегий: метод множителей Лагранжа, метод штрафа, метод коэффициентов влияния и gap-метод. Установлено, что при использовании метода множителей Лагранжа могут получаться осциллирующие решения, когда граничный узел колеблется (в согласии с контактными условиями по смещению и напряжению) между контактной и свободной зонами, так что необходимо применять метод захвата, чтобы предотвратить преждевременное разъединение узлов. При рассмотрении задачи об соударении и а высоких скоростях получено, что использование метода штрафа требует большого числа итераций для стабилизации решения. Ослабить это требование можно путем варьирования значения параметра штрафа. В заключении с помощью вычислительных тестов исследована задача о наезде колеса на препятствие. Для широкого диапазона скоростей скольжения (0.2 км/ч — 119 км/ч) получено, что при столкновении с препятствием возбуждается целый спектр гармонических колебаний шины. Учет вязкости позволяет рассеять высшие гармоники. Напротив, для катящегося без проскальзывания колеса установлено определяющее влияние инерционных сил на характер удара о выступ, особенно для скоростей, близких к первой критической (119 км/ч).

Более реалистичная трехмерная модель шины использована в работах Rothert'a [92-95]. В [92] решается задача о качении надутой шины по твердой плоскости без скольжения в зоне контакта. Исследованы три алгоритма: линейный метод исключения, основанный на квадратичном потенциале; метод нелинейного программирования, эквивалентный использованию лагранжиана, модифицированного в терминах штрафа; и метод вариации граничных условий, записанный в приращениях — это один из прямых методов, подразумевающий коррекцию узлового перемещения в случае проникновения и изменение граничных условий. В работе определялось пятно контакта, причем внутреннее давление не учитывалось. В результате, в центре пятна нарушался контакт. Площадь найденного пятна хорошо коррелировала с экспериментами. Трение учтено в работе [93]. Здесь резина моделируется как нелинейный материал: Е = Ео(1 — осЕ^макс), где Е — модуль Юнга, осе — экспериментальный параметр, емаКс ~ максимальная главная деформация. Для опытной проверки численного метода была изготовлена однородная шина без резинокордных слоев. В результате установлено, что вычисленное в зоне контакта нормальное давление близко к измеренному. Также хорошо согласованы расчетные и наблюдаемые форма и размер контактного пятна, особенно в рамках геометрически и физически нелинейной модели. Отметим, что улучшение результатов по сравнению с [92] достигнуто в том числе благодаря уточнению конечно-элементного разбиения. В работе [94] исследованы различные формы опорной поверхности (наклонная плоскость, вогнутые и выпуклые барабаны) в их влиянии на распределение контактного давления. Показано, что гипотеза прилипания приводит к неверному распределению напряжений в зоне контакта, особенно касательных. Также, рассчитанное без учета проскальзывания пятно контакта оказалось значительно меньше экспериментального. Хорошее согласование с опытами достигнуто при использовании кулоновского закона трения и зависящих от деформации силовых элементов. Наиболее полный анализ с учетом больших деформаций и перемещений, вязкости, трения, неоднородности и физической нелинейности представлен в работе [95]. Геометрия протектора не учитывалась. Эффективность алгоритма была проверена при решении задач стационарного и нестационарного качения для скорости v = 80 км/ч и коэффициента Пуассона v = 0.499. Использовались смешанные оболочечно-трехмерные элементы, так что размер решенной системы составил около 106 уравнений. Резииокордпая структура не рассматривалась и шина моделировалась как однородное тело. Напряжение разлагалось па сумму упругого и вязко-упругого слагаемых. Вязко-упруroe поведение моделировалось с помощью системы из N элементов Максвелла и пружинки, соединенных параллельно. Отметим, что в данной статье авторы вместо 2-го тензора использовали несимметричный 1-ый тензор напряжений Пиола-Киргофа. Было проведено исследование процесса выхода на стационарный режим качения, в результате которого установлено, что для стабилизации движения потребовалось восемь витков колеса. Для упругой и вязко-упругой моделей вычислены максимальные напряжения, которые составили 11.5 Н/мм2 и 25.0 Н/мм2 соответственно.

В заключении укажем, что обзор литературы не претендует на полноту, поскольку были описаны лишь подходы, аналогичные использованным в диссертационной работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Демидович, Павел Николаевич

Заключение

В заключение подытожим результаты диссертационной работы:

- Рассмотрены и проанализированы на предмет корреляции с опытными данными известные приближенные подходы к определению «плоских» модулей резинокорда.

- Построена замкнутая расчетно-экспериментальная методика определения «плоских» упругих модулей резинокорда, на основе лишь опытов на одноосное растяжение плоских образцов. Модули резины и корда определяются путем решения обратной задачи с помощью модифицированного итерационного метода Ньютона.

- Предложен конечный элемент, отражающий специфические свойства резинокордного композита, в котором независимо задаются продольные модули, изгибные жесткости и жесткости на поперечное сжатие.

- Осуществлена постановка контактной задачи стационарного и нестационарного качения для колеса, катящегося по твердой дороге, с учетом силы трения в рамках закона Кулона. Применен двухступенчатый итерационный алгоритм решения контактной задачи. Линеаризация задачи качения по времени осуществлена с использованием метода Ныомарка, записанным в приращениях. Проведены численные тесты для случаев стационарного и нестационарного движения.

- Численно исследована зависимость результатов решения контактной задачи от скорости вращения колеса. Получены распределения контактных усилий в зоне контакта.

Основными результатами являются следующие:

1. Обоснование и построение оболочечно-трехмерной модели резинокорда;

2. Разработка и программная реализация механической модели и численного алгоритма для моделирования стационарного и нестационарного качения шины.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демидович, Павел Николаевич, 2007 год

1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. — М.: Наука, 1984. - 352 с.

2. Белкин А. Е. Расчет шин радиальной конструкции как трехслойных ортотропных оболочек вращения // Расчеты на прочность. Вып. 30. — М.: Машиностроение, 1989. — С. 40-47.

3. Белкин А. Е., Нарекая Н. Л. Динамический контакт шины как вяз-коупругой оболочки с опорной поверхностью при стационарном качении // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 1997. — № 1. — С. 62-73.

4. Белкин А. Е., Уляшкин А. В. Приближенное решение контактной задачи об обжатии шины на плоскую или цилиндрическую опорную поверхность // Изв. вузов. Машиностроение. — 1993.— № 10-12.— С. 14-21.

5. Белкин А. Е. Расчет деформаций в беговой части легковой радиальной шины с учетом межслойных сдвигов в брекере // Изв. вузов. Машиностроение. 1990. - № 3. - С. 6-11.

6. Белкин А. Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряжен-по-деформированного и теплового состояний автомобильных радиальных шин: Дис. д-ра техн. наук : 01.02.06 / МВТУ им. Н.Э.Баумана. — М., 1998.

7. Бидермаи В. Л., Бухин Б. Л. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1961. - № 1. - С. 52-57.

8. Бидерман В. Л., Гуслицер Р. Л., Захаров С. П. и др. Автомобильные шины (конструкция, расчет, испытание, эксплуатация) / Под ред. В. JI. Бидермана. — М.: Госхимиздат, 1963. — 383 с.

9. Бидерман В. Л., Левковская Э. Я. К расчету радиальных и опоясанных диагональных шин // Сб. трудов НИИШП. — М.: 1974, — С. 7-11.

10. Бидерман В. Л. // Методы расчета и испытания автомобильных шин. — М.: Госхимиздат, 1957.-С. 16-51.

11. Бухин Б. Л. Теория тонких сетчатых оболочек вращения и ее приложение к расчету пневматических шин: Дис. д-ра техн. наук : 01.02.06 / НИИШП.-М., 1971.

12. Бухин Б. Л. Введение в механику пневматических шин. — М.: Химия, 1988.- 223 с.

13. Власко А. В., Шеачич М. В., Гамлицкий Ю. А. Учет жесткости нити корда при расчете деформации резинокордного слоя // Каучук и резина. 1997. - № 3. - С. 3-5.

14. Гамлицкий Ю. А., Шеачич М. В. Связь окружных и меридиональных деформаций боковины шины с напряженно-деформированным состоянием резины между нитями корда // Каучук и резина. — 1997. — № 4. — С. 3-6.

15. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Расчет радиальных шин на оаснове обобщенной теории Тмошенко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - № 4. - С. 166-174.

16. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. — М.: Машиностроение, 1988. — 288 с.

17. Григолюк Э. И., Куликов Г. М., Плотникова С. В. Контактная задача для пневматической шины, взаимодействующей с жестким основанием // Механика композитных материалов. — 2004.— Т. 40, J№ 5.— С. 661-674.

18. Демидович П. Н., Шешенин С. В. О вычислении свойств резинокорда // Тезисы науч. конф. «Ломоносовские чтения». — г.Москва: МГУ, апрель 2003г. С. 48-49.

19. Демидович П. Н.; Шешенин С. В., Чистяков П. В. Об определении механических свойств резинокордного материала // 14-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов».— Т. 1.- г.Москва: НИИШП, 20-24 октября 2003г.- С. 137-141.

20. Демидович П. Н., Михаленко А. П., Шешенин С. В. Построение слоистого конечного элемента резинокорда // Тезисы науч. конф. «Ломоносовские чтения». — г.Москва: МГУ, апрель 2006г. — С. 61.

21. Демидович П. Н. Теоретико-экспериментальное определение эффективных свойств резинокорда. — М.: Моск. гос. ун-т., 2007.— 29 е. — Деп. в ВИНИТИ РАН 09.04.2007 №400-В2007.

22. Дюво Г., Лионе Ж. Неравенства в механике и физике.— М.: Наука, 1980.- 384 с.

23. Кольцов А. С. Развитие постановки и методов решения контактных задач применительно к исследованию композитных материалов при больших деформациях: Дис. канд. физ-мат наук: 01.02.04 / Институт механики сплошных сред УрО РАН. — Пермь, 2003.

24. Контаиистов М. П. Расчет шин Р как оболочки Кирхгофа-Лява при неосесимметричном нагружении // Сб. трудов НИИШП. — М.: ЦНИ-ИТЭ нефтехим, 1988. С. 66-77.

25. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42, Вып.З. — С. 466-474.

26. Кравчук А. С. Вариационные методы решения контактных задач: Диссертация . д-ра физ. -мат. наук : 01.02.04 / МГУ. М., 1980. - 253 с.

27. Кравчук А. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Прикладная математика и механика. — 1980. Т. 44, Вып.1. - С. 122-129.

28. Кравчук А. С., Сурсяков В. А. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач // Сб. «Механика эластомеров». — 1983. — С. 27-32.

29. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. - 340 с.

30. Кравчук А. С. Развитие метода решения контактных задач с учетом трения при сложном нагружении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. - № 3. - С. 22-34.

31. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир, 1982. — 336 с.

32. Куликов Г. М., Плотникова С. В. Контактная задача для геометрически нелинейной оболочки типа Тимошенко // Прикладная математика и механика. 2003. - Т. 67, № 6. - С. 940-953.

33. Левковская Э. Я. Теоретическое и экспериментальное исследование напряжений и деформаций в брекере шин типа Р: Дис. канд. техн. наук / НИИШП. М, 1970. - 180 с.

34. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

35. Маргарян С. А. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин: Дис. канд. физ-мат наук: 01.02.04 / МГУ им. М.В.Ломоносова. М., 2000.

36. Мухин О. Н. // Расчеты на прочность. Вып. 15.— М.: Машиностроение, 1971,-С. 58-87.

37. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов.— М.: МГУ, 1984.- 336 с.

38. Победря Б. Е. О вычислительной механике деформируемого твердого тела // Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. - С. 124-129.

39. Победря Б. Е., Мольков В. А. Эффективные модули упругости волокнистых и слоисто-волокнистых композитов // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. — 1990. — № 1. — С. 41-63.

40. Победря Б. Е., Шешенин С. В. Трехмерное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин // 8-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов».— Т. 2,- г.Москва: НИИШП, 20-24 октября 1997г.- С. 320-326.

41. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: МГУ, 1995.- 366 с.

42. Фильштинский Б. Е., Григолюк Э. И. Перфорированные пластины и оболочки. — М.: Наука, 1970. — 556 с.

43. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости. — Л.: Машиностроение, 1986.- 336 с.

44. Шешенин С. В. Численный анализ квазистатических краевых задач МДТТ: Дис. д-ра физ. -мат. наук : 01.02.04 / МГУ. М., 1990. - 248 с.

45. Шешенин С. В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых краевых задач МДТТ // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1997. — № 2. — С. 21-26.

46. Шешенин С. В., Маргарян С. А. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин. — М.: Моск. гос. ун-т., 1998.-15 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 15.07.1998 №2221-В1998.

47. Шешенин С. В., Демидович П. Н. К определению эффективных свойств резинокорда // Тезисы науч. конференции «Ломоносовские чтения». г. Москва: МГУ, апрель 2004г.- С. 161-162.

48. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Анализ методов определения упругих свойств резинокорда // 15-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов». — Т. 2. — г. Москва: НИИШП, 18-22 октября 2004г. С. 195-197.

49. Шешенин С. В., Муравлева JI. В. Об осреднении тонкостенных тел // Изо. РАН. Механика твердого тела. — 2004. — № 4. — С. 129-138.

50. Шешенин С. В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика, Механика. 2006. - № 1. - С. 47-51.

51. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Трехмерное моделирование стационарного и нестационарного качения шины.— М.: Моск. гос. ун-т., 2007. 22 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 12.07.2007 №720-В2007.

52. Шешенин С. В., Демидович П. Н., Чистяков П. В., Муравлев А. В. Определение модулей резинокорда при плоско-напряженном состоянии // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика, Механика.— 2007.-№5.-С. 49-53.

53. Шешенин С. В. Трехмерное моделирование шины // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2007. — № 3. — С. 13-21.

54. Шешенин С. В., Кузь И. С., Савельева И. А. О методе пошаговой линеаризации в задачах нелинейной теории упругости // Упругость и неупругость. 4.1. М.: МГУ, 1993.- С. 88-94.

55. Akasaka Т. Structural mechanics of radial tires // Rubber chemistry and technology. 1979. - Vol. 54.

56. В ohm F. Zur Mechanik des Giirtelreifens / / Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). March 1966. - Vol. 35, no. 2. - Pp. 82-101.

57. Bohm F. Zur Mechanik des Luftreifens: Habilit. / TH Stuttgart. 1966.

58. Bohm F. Zur Statik und Dynamik des Giirtelreifens // ATZ.— March 1967. Vol. 69, no. 8. - Pp. 255-261.

59. Bohm F. Ortliche Einebnung eines Cord-Netzes // ZAMM.- 1972. — Vol. 52, no. 11.-Pp. T35-T40.

60. Bohm F. Nichtlineare Schwingungen beim Rollkontakt von Giirtelreifen // CRI-K 1/87, Mitteilung des Curt-Risch-Inst. der Universitat Hannover.— 1987.-Pp. 23-47.

61. Bohm F., Swierczek M., Csaki G. Hochfrequente Rolldynamik des Giirtelreifens das Kreisring-modell und seine Erweiterung // Fortschrittberichte VDI, Reihe 12, Nr. 135.- TU, Berlin: VDI Verlag, 1989.- 68 pp.

62. Brewer H. K. Tire Stress and Deformation from Composite Theory // Tire Science and Technology, TSTCA. — 1973.- Vol. 1, no. 1.- Pp. 47-76.

63. Danielson К. Т., Noor А. К. Finite Elements Developed in Cylindrical Coordinates for Three-Dimensional Tire Analysis j j Tire Science and Technology, TSTCA. — 1997.-Vol. 25, no. 1.- Pp. 2-28.

64. DeEskinazi J., Werner S., Yang T. Y. Contact of an Inflated Toroidal Membrane with a Flat Surface as an Approach to the Tire Deflection Problem // Tire Science and Technology, TSTCA. — 1975. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 43-61.

65. Feng K. Statische Berechnung des Giirtelreifens unter besonderer Beriick-sichtigung der kordverstarkten Lagen // Fortschrittberichte VDI, Reihe 12, Nr. 258.- TU, Berlin: VDI Verlag, 1995.- 150 pp.

66. Greer J. M., Palazotto A. Application of total Lagrangian Corotational Finite Element Scheme to Inflation of Tire // Int. J. Solids and Structures. — 1997. Vol. 34, no. 27. - Pp. 3541-3570.

67. Haas R., Dietzius A. Stoffdehnung und Formanderung der Hiille von Pral-1-Luftschiffen // Untersuchungen in Luftschiffban der Simens-Schucker-twerke. — Berlin: 1913.

68. Halpin J. C., Tsai S. W. Effects of Environmental Factors on Composite Materials // Air Force Tech. Report AFML-TR-67, 423. Wright Aeronautical Labs, Dayton, OH, 1967.

69. Halpin J. C., Kardos J. L. The Halpin-Tsai Equations: A Review // Polymer engineering and science. — May 1976. — Vol. 16, no. 5. — Pp. 344-352.

70. Hashin Z., Rosen B. W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials // ASME J. Appl. Mech. 1964. - Vol. 31. - Pp. 223-232.

71. Hill R. Theory of mechanical properties of fiber-strengthened materials: I. Elastic behavior // J.Mech and Phys.Solids1964.-Vol. 12.- 199 pp.

72. Hofferberth W. Zur Festigkeit des Luftreifens // Kautschuk und Gummi. — 1956.-no. 9.-Pp. 225-231.

73. Jens-Uwe Gleu. Rolldynamik des Luftreifens mit einer Vielteilchenmethode und der Methode der Finiten Elemente: Dr.-ing. genehmigte dissertation / TU. Institut fur Mechanik. Berlin, 2001.- 266 pp.

74. Jones R. M. Mechanics of Composite Materials. — 2nd edition. — Philadelphia: Taylor&Francis, 1999. — 519 pp.

75. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness // Int. J. Solids and Structures. 1984. - Vol. 20. - Pp. 333-350.

76. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness II: A convergence proof // Q. Appl. Math. — 1985.— Vol. 43.— Pp. 1-22.

77. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness III: Comparison of different scalings // Q. Appl. Math. — 1986. — Vol. 44. Pp. 35-48.

78. Kulikov G. M., Plotnikova S. V. Geometrically exact assumed stress-strain multilayered solid-shell elements based on the 3D analytical integration // Computers & Structures. 2006. - Vol. 84, no. 19-20. - Pp. 1275-1287.

79. Lewinski TTelega J. J. Plates, Laminates and Shells Asymptotic Analysis and Homogenization. — Singapore: World Scientific Publ, 2000. — 768 pp.

80. Neittaanmaki P., Kravchuk A. Boundary Element Method for the Friction Contact Problems for a Deformed Body and Rough Mobile Punch // Reports of the Dep. of Math. Inf. Tech., No. B9. — Finland: University of Jyvaskyla, 2005. 25 pp.

81. Newmark N. M. A method of computation for structural dynamics // Proc. ASCE. J. Eng. Meek- 1959.- Vol. 8, no. 3.- Pp. 67-94.

82. Padovan J., Zeid I. Finite Element Modeling of Rolling Contact // Computers & Structures. 1981. - Vol. 14, no. 1-2. - Pp. 163-170.

83. Padovan JZeid /., Tovichakchaikul S. Finite Element Analysis of Steadily Moving Contact Fields // Computers & Structures. — 1984.— Vol. 18, no. 2.-Pp. 191-200.

84. Padovan JZeid I., Tovichakchaikul S. Transient and Steady State Vis-coelastic Rolling Contact // Computers & Structures. — 1985. — Vol. 20, no. 1-3. Pp. 545-553.

85. Padovan J. Finite Element Analysis of Steady and Transiently Moving Rolling Nonlinear Viscoelastic Structure -1. Theory // Computers & Structures. 1987. - Vol. 27, no. 2. - Pp. 249-257.

86. Padovan J. Finite Element Analysis of Steady and Transiently Moving Rolling Nonlinear Viscoelastic Structure II. Shell and Three-Dimensional Simulations // Computers & Structures.— 1987.— Vol. 27, no. 2.— Pp. 259-273.

87. Padovan J. Finite Element Analysis of Steady and Transiently Moving Rolling Nonlinear Viscoelastic Structure III. Impact/Contact Simulations // Computers & Structures. - 1987. - Vol. 27, no. 2.- Pp. 275-286.

88. Ridha R. A., Clark S. K. Tire stress and deformation // Mechanics of pneumatic tires / Ed. by S. Clark. — 2nd edition. — Washington, 1981. — Pp. 475-540.

89. Robecchi E. Mechanics of the Pneumatic Tire. Part II. The Laminar Model under Inflation and Rotation // Tire Science and Technology> TSTCA.— Nov. 1973. Vol. 1, no. 4. - Pp. 382-438.

90. Rothert H., Idelberger H., W. Jacobi and G. Laging. On the Finite Element Solution of the Threedimensional Tire Contact Problem // Nuclear Engineering and Design. — 1984. — Vol. 78, no. 3. — Pp. 363-375.

91. Rothert Н., Idelberger Н., W. Jacobi and G. Laging. On the Contact Problem of Tires, Including Friction // Tire Science and Technology, TSTCA. — April-June 1985.-Vol. 13, no. 2.- Pp. 111-123.

92. Rothert H., Laging G. Numerical Results of Tire-Test Drum Interaction // Tire Science and Technology, TSTCA. Jule-September 1986. - Vol. 14, no. 3. - Pp. 160-175.

93. Rothert H., Nasdala L., M. Kaliske and A. Becker. An Efficient Viscoelastic Formulation for Steady-State Rolling Structures // Computational Mechanics. 1998. - no. 22. - Pp. 395-403.

94. Rotta J. Zur Statik des Luftreifens // Archive of Applied Mechanics (Inge-nieur Archiv). January 1949. - Vol. 17, no. 1-2. - Pp. 129-141.

95. Sheshenin S. V., Margaryan S. A. Tire 3D Numerical Simulation // Int. Journal for Civil and Structural Engineering. — 2005. — no. 1. — Pp. 33-42.

96. Simo J. C., Laursen T. A. An augmented Lagrangian treatment of contact problems involving friction // Computers & Structures. — 1992. — Vol. 42, no. l.-Pp. 97-116.

97. Staab G. H. Laminar composites. — Boston, 1999. — 314 pp.

98. Tielking J. Т., Melvor I. K., Clark S. K. A modified Linear Membrane Theory for the Pressurized Toroid //J. Applied Mechanics. — 1971. — Vol. 38. — Pp. 418-422.

99. Zienkieuiicz О. C., Taylor R. L. The Finite Element Method.- 5th edition.— Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. — Vol. 1. — 707 pp.