Моделирование резервов по долгосрочному страхованию с учетом зависимости процентной ставки от размера инвестиций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Фаизова Анна Андреевна

• Фаизова Анна Андреевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Фаизова Анна Андреевна

Введение

1 Моделирование резерва по долгосрочному страхованию

1.1 Общая характеристика резерва по долгосрочному страхованию

1.2 Учет инвестиционного дохода при моделировании страхового резерва

1.3 Модель с конечным числом состояний

1.4 Выводы по главе

2 Модель резерва по договору смешанного страхования жизни

2.1 Классическая модель резерва для договора смешанного страхования жизни

2.2 Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва

2.3 Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера сово-

купного резерва

2.4 Линейная зависимость интенсивности начисления процента

от размера резерва

2.5 Выводы по главе

3 Модель резерва по иным договорам долгосрочного страхования

3.1 Резерв по договору страхования потери доходов вследствие

постоянной полной утраты трудоспособности

3.2 Модель резерва по договору страхования полной постоянной потери трудоспособности при наличии кусочно-постоянной зависимости процентной ставки от размера инвестируемого капитала

3.3 Резерв по договору страхования потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности

3.4 Резерв по договору страхования потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности в случае кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от размера инвестируемого капитала

3.5 Выводы по главе

Заключение

Список использованных источников

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование резервов по долгосрочному страхованию с учетом зависимости процентной ставки от размера инвестиций»

Актуальность

Резерв по долгосрочному страхованию является важнейшим источником выполнения принятых страховой организацией обязательств, за счет чего обеспечивается ее финансовая устойчивость и платежеспособность. Поэтому определение размера такого резерва, адекватного страховым обязательствам, является чрезвычайно важной и актуальной задачей.

Договор долгосрочного страхования предполагает разбиение порожденных им денежных потоков на рисковую компоненту, предполагающую покрытие текущего риска, и накопительную компоненту, отражающую необходимость перераспределения денежных средств во времени. Длительный срок страхования усиливает потребность в более точном анализе обеих компонент, но особенно - накопительной. В частности, актуарные оценки резерва должны основываться на прогнозе инвестиционного дохода страховой организации, получаемого ей от размещения временно свободных средств (части страховой премии и резервов). Это делает такие оценки чувствительными к изменению доходности. В результате задача анализа устойчивости оценок резерва к колебаниям ставок процента, заложенных в актуарные расчеты, является ключевой с точки зрения финансового менеджмента страховой организации, что и определяет актуальность исследования.

В качестве одной из предпосылок классических моделей резерва по долгосрочному страхованию используется предположение об изменении процентной ставки с течением времени. Однако на практике изменение процентной ставки зависит от гораздо большего количества факторов, например таких, как состояние экономики страны, срок инвестирования, уровень инфляции и других.

В этой связи возникает необходимость выделения среди прочих такого

фактора оценки резерва по долгосрочному страхованию как зависимость средней процентной ставки размещения (инвестирования) данного резерва от его размера. Наличие такой зависимости можно объяснить разными объемами рынков, на которые можно выходить при различном размере инвестируемых средств, относительным уменьшением удельных транзак-ционных издержек при росте инвестиций и т.д.

В целом выбранная тема диссертационного исследования направлена на решение важной хозяйственной задачи - определение достаточного резерва по долгосрочному страхованию, учитывающего влияние на процентную ставку размера инвестируемого капитала.

Степень разработанности задачи исследования

Для моделирования резерва по долгосрочному личному страхованию, отражающего влияние на него существенных факторов, в том числе учитывающего зависимость процентной ставки от размера инвестируемых средств, в диссертационном исследовании предлагается использовать модели с конечным числом состояний. Это - универсальные модели, применяемые для решения многих экономических задач. Использованию подобных моделей в актуарном моделировании страховых операций посвящены работы С. Ха-бермана, Э. Питакко, С.Р. Абдюшевой, С.И. Спивака, В.Н. Баскакова и др.

Для описания эволюции риска, застрахованного по договору долгосрочного страхования, в рамках модели с конечным числом состояний используются случайные процессы, обладающие марковским свойством. Применению подобных процессов в страховании посвящены работы М. Амслера, Я. Хоема, М. Балеера, X. Рамлау-Хансена, X. Вольфуиса, A.A. Кудрявцева и др.

В настоящее время существует достаточно большое количество научной литературы, посвященной учету в актуарных моделях изменчивости процентной ставки во времени. Простейшие модели включают детермини-

рованные сценарии развития процентной ставки, более современные подходы предлагают использовать стохастические модели. Ключевыми в данной области следует считать работы таких исследователей как Т. Мёллер, М. Стеффенсен, Н. Бауэре и др. Однако исследований, посвященных учету влияния на процентную ставку не только текущего момента времени, но и других параметров, на сегодняшний день не проводилось, что и определяет выбор темы данного исследования.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка моделей оценки резерва по долгосрочному страхованию, учитывающих влияние на такую оценку зависимости средней нормы доходности от размера размещаемых (инвестируемых) средств.

Реализация цели предусматривает решение следующих частных задач:

• Выявление особенностей формирования резервов в долгосрочном страховании, учитываемых при моделировании резерва;

му страхованию жизни, учитывающей зависимость процентной ставки размещения (инвестирования) страхового резерва от его размера, и ее сравнение с традиционной моделью резерва, не учитывающей подобной зависимости;

•

му страхованию жизни, учитывающей зависимость процентной ставки от размера совокупного резерва, сформированного страховщиком по данному виду страхования;

•

пню потери доходов вследствие полной постоянной утраты трудоспо-

собности, позволяющей учесть зависимость процентной ставки размещения (инвестирования) страхового резерва от размера инвестируемого капитала;

• Разработка экономико-математической модели резервов по страхованию потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности, учитывающей зависимость про-центной ставки от размера страховых резервов.

Предмет и объект исследования

Объектом исследования диссертационной работы является страховая организация (страховщик), осуществляющая долгосрочное страхование.

Предметом исследования диссертационной работы является процесс формирования страховой организацией резервов по долгосрочным видам страхования.

Методологическая и теоретическая базы исследования

Теоретико-методологической основой диссертационной работы являются основные положения экономической теории, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, принципы построения актуарных экономико-математических моделей, теория оценивания страховых операций, актуарный анализ. При написании работы использовались нормативные акты Российской Федерации, статьи и монографии отечественных и зарубежных авторов в области страхования и актуарных расчетов.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в развитии методов актуарных расчётов и построении новых моделей процессов в страховом секторе экономики, а именно моделей формирования и оценки резервов по долгосрочному страхованию, учитывающих зависимость процентной ставки от различных параметров, в том числе от размера инвестиций, и обеспечивающих адекватность их размера страховым обязательствам в течение всего срока

действия договора.

Результаты диссертационного исследования

Наиболее значимыми являются следующие результаты диссертационного исследования, полученные лично соискателем и выносимые на защиту:

1. Схема построения модели страховых резервов, разработанная автором на основе проведенного анализа особенностей формирования резервов в долгосрочном страховании. Она дает возможность создания и использования унифицированного подхода к построению моделей резерва, учитывающих зависимость процентной ставки от различных параметров, в том числе от размера инвестируемых средств, и обеспечивает адекватность размера резерва в течение всего срока действия договора принятым и выполняемым обязательствам.

2. Экономико-математическая модель резерва, сформированного по договору смешанного страхования жизни, учитывающая зависимость процентной ставки от размера резерва по этому договору. Расчеты проведены для кусочно-постоянной и линейной зависимостей. По сравнению с классическими выводами данный результат исследования позволяет принимать во внимание при формировании резерва влияние на величину процентной ставки размера инвестируемых средств, что позволяет принимать более обоснованные решения в области финансового менеджмента;

3. Экономико-математическая модель резерва для договора смешанного страхования жизни, позволяющая учесть кусочно-постоянную зависимость процентной ставки от размера совокупного резерва, сформированного страховщиком по данному виду страхования. Предложенная в работе модель отвечает более широкому кругу практических ситуаций, чем традиционная, не содержащая подобной зависимости;

4. Экономико-математическая модель, описывающая резервы по страхованию потери доходов вследствие полной постоянной утраты трудоспособности при наличии кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от размера резерва. Она отличается от известных работ Хабермана и Питакко тем, что позволяет учесть влияние на размер резервов по данному виду страхования большего количества факторов, и, как следствие, определить потребность в страховых резервах, более адекватных принятым страховым обязательствам;

5. Экономико-математическая модель, описывающая резервы по страхованию потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности, позволяющая учесть кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера резервов. По сравнению с известными результатами, данная модель дает возможность при формировании резервов принимать во внимание большее количество причин, оказывающих влияние на размер процентной ставки, что позволяет повысить эффективность инвестиционной политики.

Область исследования

Диссертационное исследование проведено в соответствии с п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» Паспорта специальностей ВАК РФ (экономические науки) по специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики».

Теоретическая значимость работы

Теоретическая значимость диссертации состоит в расширении научных знаний в области теории и методологии актуарного анализа, усовершенствовании инструментария актуарных экономико-математических методов,

а именно, в разработке моделей резерва по отдельному договору долгосрочного страхования, учитывающих сценарии развития процентных ставок, в частности, их зависимость от размера инвестируемого капитала.

Практическая значимость работы

Практическая значимость определяется возможностью использования результатов исследования в качестве конкретных рекомендаций по формированию резерва для отдельного договора долгосрочного страхования. Построенные модели позволяют страховщику рассчитывать резерв, опираясь на существующие на рынке предложения по инвестированию средств, учитывая при этом прогноз доходности будущих инвестиций страховой организации. Предложенные модели позволят страховщику:

• Повысить точность оценки резерва по долгосрочному страхованию;

Публикации

По теме исследования опубликовано 12 печатных работ общим объемом 2,9 п.л. (авторский объем 2,6 п.л.). В том числе в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикаций результатов диссертационных исследований, — 4 работы объемом 2,1 п.л.(авторский объем 1,8 п.л.).

Апробация и реализация результатов исследования

Основные результаты диссертационного исследования были представлены на следующих международных научных конференциях:

(Insurance: mathematics and economics). - Гонконг, 2012;

интересы современного общества и их обеспечение». - Саратов, 2013;

и

летию Санкт-Петербургского государственного университета «Устойчивое развитие: общество и экономика». - Санкт-Петербург, 2014;

•

75-летию Экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета «Устойчивое развитие: общество и экономика». - Санкт-Петербург, 2015.

В 2011, 2012, 2015 годах положения работы обсуждались на межкафедральном научном семинаре экономического факультета СПбГУ под руководством к.э.п., доцента Д.Н.Колесова, л.эл.. доцента В.Г.Халина, д.э.н, профессора Г.В.Черновой.

Результаты, полученные в диссертационной работе, реализованы и внедрены в ОАО «Либерти Страхование» для оценки страховых резервов и совершенствования процедур принятия решений в данной области.

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (39 наименований), 31 рисунка. Общий объем работы составляет 106 страниц.

1 Моделирование резерва по долгосрочному страхованию

1.1 Общая характеристика резерва по долгосрочному страхованию

Договор страхования предусматривает ответственность страховщика по страховым выплатам при наступлении страхового случая. Для выполнения этих обязательств страховщик за счет части поступающих от страхователей страховых премий формирует страховые резервы, которые вместе с собственными средствами страховщика используются им на страховые выплаты. В зависимости от содержания имущественного интереса страхователя принято выделять несколько отраслей страхования, в том числе личное страхование. В личном страховании имущественный интерес связан с жизнью, здоровьем, трудоспособностью, пенсионным обеспечением и иными событиями в жизни страхователя или застрахованного. Актуарные методы, применяемые для обоснования операций страхования в каждой из отраслей, имеют свои особенности.

В зависимости от продолжительности срока действия договора различают краткосрочное и долгосрочное страхование. В краткосрочном страховании договоры заключаются на срок не более одного года, в долгосрочном страховании срок действия договора — более одного года. С точки зрения экономико-математических моделей, применяемых для обоснования соответствующих страховых операций, существенной разницы между различными сроками действия долгосрочных договоров нет (при условии, что этот срок больше года). Тем не менее, законодательно могут быть установлены определенные требования к длительности договоров долгосрочного страхования. Так, например, Налоговый кодекс РФ (статья 213) определя-

ет, что договор долгосрочного страхования жизни должен быть заключен на срок не менее пяти лет [1]. Долгосрочные договоры — это, как правило, договоры личного страхования.

Актуарные расчеты, применяемые в долгосрочном страховании, имеют ряд особенностей. Среди них:

1. необходимость сопоставления денежных потоков, осуществляющихся в разные (возможно удаленные друг от друга) моменты времени. Для этого используются методы долгосрочных финансовых исчислений, в частности, дисконтирование;

2. значение учета дохода, получаемого страховщиком от инвестиционной деятельности. Страховые организации, занимающиеся долгосрочным страхованием, во всем мире являются одними из самых крупных инвесторов. Величина получаемого ими инвестиционного дохода зависит от срока инвестирования, а значит и от срока действия договора. Таким образом, доход, получаемый от инвестирования части страховых премий и резервов, в долгосрочном страховании оказывает существенное влияние на актуарное обоснование соответствующих страховых операций;

3. использование моделей, позволяющих учесть характер выбытия из совокупности застрахованных. Классический подход предполагает использование детерминистической модели, то есть специальных таблиц: при страховании жизни - таблицы смертности, при долгосрочном страховании здоровья - таблицы коэффициентов заболеваемости. Более современные подходы предполагают использование стохастической модели;

4. выгодоприобретателю явно или неявно гарантируется получение определенного инвестиционного дохода. Также возможны договоры с уча-

стием страхователя в прибыли страховщика. В этом случае требуется применение специфических актуарных методов, позволяющих прогнозировать будущий доход от инвестиций.

Для выполнения обязательств перед клиентами по выплатам страховая организация формирует из полученных взносов специальные фонды, называемые страховыми резервами. Они отражают величину будущей ответственности страховщика по договорам страхования, и от того, достаточны ли они для исполнения обязательств по проведению выплат, зависит платежеспособность и финансовая устойчивость страховщика в будущем.

Средства страховых резервов используются исключительно для исполнения страховых обязательств.

Формирование страховых резервов предполагает оценивание с помощью методов актуарной математики обязательств страховщиков по осуществлению предстоящих страховых выплат по договорам страхования, перестрахования и по исполнению иных действий по указанным договорам (страховых обязательств) [2]. Традиционно страховые резервы должны:

ния;

смотрено договором; ших сценариев.

Однако более современный подход, изложенный в директиве Solvency II [7], предлагает другие принципы формирования страховых резервов. Балансовый отчет Solvency II рассчитывается с учетом рынка и соотносит активы и риски. В частности, технические резервы складываются из двух

составляющих: наилучшей оценки обязательств и рисковой маржи. В данный момент предполагается, что директива Solvency II вступит в действие на территории Европейского Союза с 1 января 2016.

Расчет страховых резервов осуществляется страховыми организациями на основании правил, утверждаемых органом страхового надзора. Среди прочего эти правила содержат перечень видов страховых резервов, обязательность и условия их формирования, а также методы расчета страховых резервов или подходы, их определяющие. Контроль за верностью расчетов страховых резервов, а также анализ и количественная оценка рисков и финансовых обязательств осуществляются в том числе на основе специального документа - актуарного заключения.

Актуарное заключение составляется по итогам проведения ежегодного обязательного актуарного оценивания за финансовый год и должно содержать результаты оценивания страховых обязательств по осуществлению предстоящих страховых выплат и результаты проверки адекватности оценивания страховых обязательств. Осуществлять подготовку актуарного заключения для направления его в уполномоченный орган имеет право только ответственный актуарий [3]. С 2015 года страховые организации обязаны сдавать актуарные заключения как часть своей финансовой отчетности по МСФО.

В Российской Федерации, как и в мировой практике, принято выделять две группы страховых резервов: по страхованию жизни и по иным видам страхования. Такое разделение отражает специфику определения страховых резервов и управления ими. Для каждой из этих групп существуют свои нормативные акты и методические рекомендации, описывающие правила формирования страховых резервов, а также актуарные модели, позволяющие вычислить размер необходимого страхового резерва.

В страховании ином, чем страхование жизни, предусмотрен набор технических резервов, каждый из которых необходим для определенной цели.

При проведении страхования жизни обязательными для формирования являются математический резерв и резерв выплат по заявленным, но неурегулированным страховым случаям [4].

Математический резерв представляет собой оценку обязательств страховщика по договорам страхования жизни, которые могут возникнуть в связи с наступлением страховых случаев. Так как подобные договоры являются долгосрочными, то существует временной разрыв между моментами получения премий и проведением выплат. В классических продуктах долгосрочного страхования размер уплачиваемой премии фиксируется в момент заключения договора и не подлежит ежегодной корректировке в соответствии с уровнем риска. Премию по договору условно можно разделить на две части: рисковую компоненту, которая идет на покрытие текущего риска, и накопительную компоненту, которая используется для формирования резерва. Таким образом, одной из функций резерва по долгосрочному страхованию является перераспределение во времени денежных средств.

Другая важная функция резерва состоит в том, что он является источником инвестиционного дохода. Накопительные компоненты страховых взносов находятся в распоряжении страховой компании и инвестируются вместе с прочими свободными средствами. Получаемый таким образом дополнительный доход используется страховщиком для обеспечения страхователям финансовых гарантий, которые учитываются в том числе при расчете премий.

Необходимость прямого рассмотрения накопительной компоненты в договорах долгосрочного страхования означает, что актуарная модель страхового резерва должна учитывать среди прочего прогноз доходности будущих инвестиций страховой организации. Это делает полученные на основе модели оценки размера резерва чувствительными к изменениям доходности. Решение задачи учета сценариев развития будущих норм доходности при построении модели резерва по долгосрочному страхованию определяет

достаточность средств страховых резервов для проведения выплат, а значит, является крайне важным с точки зрения финансового менеджмента страховой организации.

1.2 Учет инвестиционного дохода при моделировании страхового резерва

Аккумуляция значительных денежных средств в страховом бизнесе делает страховые компании важнейшим инвестиционным институтом. Страховые организации имеют возможность размещать средства страховых резервов, а также собственные средства. Инвестиционная деятельность является важным источником доходов страховщика, имеет первостепенную важность для его коммерческого успеха, финансовых результатов и безопасности. Согласно классической точке зрения, при размещении собственных средств и страховых резервов страховая организация не должна быть склонна к риску, так как её первостепенной задачей является выполнение страховых обязательств, а инвестиционная деятельность страховщика является вторичной по отношению к страховой.

Размещению средств страховых резервов уделяется особое внимание, так как они обеспечивают выполнение обязательств страховой организации перед своими клиентами. Согласно закону [2] в Российской Федерации страховщик обязан инвестировать средства страховых резервов в соответствии с требованиями органа страхового надзора на условиях

• диверсификации (для снижения риска возможных потерь капитала или доходов от него инвестируемый капитал должен быть распределен между различными объектами вложений );

•

ля обращаться в денежные средства);

• возвратности (риск потери актива должен быть сведен к минимуму),

лучения дохода от инвестиционной деятельности).

Вторичность инвестиционной деятельности страховщика по отношению к страховым операциям определяет еще одно условие ее проведения — инвестирование страховых резервов и собственных свободных средств должно быть согласовано по объемам и времени с выполнением страховых операций.

Инвестирование может осуществляется страховыми организациями самостоятельно или путем передачи части средств в доверительное управление управляющей компании.

В России орган страхового надзора устанавливает перечень разрешенных для инвестирования активов, а также порядок инвестирования средств страховых резервов, предусматривающий в том числе требования к структуре активов, в которые допускается размещение средств страховых резервов [5]. Отобранные активы должны соответствовать объемам обязательств и срокам их выполнения. В международной практике также требуется соответствие активов валюте обязательств.

Учет возможного дохода от размещения средств страховых резервов важен при назначении тарифов для нового страхового продукта, при корректировке существующих тарифов, определении потребности в денежных средствах при проведении выплат, при резервировании. При этом важно учесть наибольшее количество возможных параметров, от которых может зависеть получаемый инвестиционный доход. Это повысит точность оценок, а, значит, уменьшит вероятность невыполнения страховой организацией своих обязательств и, как следствие, вероятность ее разорения.

В долгосрочном личном страховании при формировании резервов страховые организации обязаны учитывать возможный инвестиционный доход.

Это обычно делается с помощью введения в расчеты нормы доходности, которая определяется в момент заключения договора и является неизменной в течение всего срока страхования. Однако на практике фактическая норма доходности, по которой размещается страховой резерв, как правило, существенно отличается от заложенной в расчеты. Последняя рассчитывается исходя из консервативных предположений, поэтому фактическая норма доходности в течение срока инвестирования оказывается, как правило, выше. Таким образом, реально получаемый инвестиционный доход оказывается больше предполагаемого. Этот дополнительный инвестиционный доход может быть использован страховой организацией для своих нужд или же распределен между договорами долгосрочного страхования, если они предполагают участие страхователей в прибыли страховщика. В последнем случае различают гарантированный инвестиционный доход (актуарная оценка изменения страховых резервов за период, рассчитанная с использованием нормы доходности, заложенной в условиях договора) и фактический инвестиционный доход (совокупность доходов, полученных от владения, пользования, распоряжения определенной группой активов страховщика, в том числе, от размещения средств страховых резервов, за вычетом инвестиционных расходов) [6].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фаизова Анна Андреевна, 2016 год

Список использованных источников

[1] Налоговый Кодекс Российской Федерации (часть вторая) от 05.08.2000 N 117-ФЗ

[2] Закон Российской Федерации от 27 ноября 1992 г. N 4015-1 "Об организации страхового дела в Российской Федерации"

[3] Федеральный закон от 02.11.2013 N 293-ФЭ "Об актуарной деятельности в Российской Федерации"

[4] Приказ Министерства финансов Российской Федерации от 09.04.2009 г. N 32н "Об утверждении Порядка формирования страховых резервов по страхованию жизни"

[5] Указание Банка России от 16.11.2014 N 3444-У "О порядке инвестирования средств страховых резервов и перечне разрешенных для инвестирования активов"

[6] Документ Всероссийского союза страховщиков от 18.02.14 "Порядок расчета инвестиционного дохода и методика его распределения между договорами страхования жизни"

[7] Директива 2009/138/ЕС "Об учреждении и ведении предпринимательской деятельности в области страхования и перестрахования "(Directive 2009/138/ЕС of the European Parliament and of the Council of 25 November 2009 on the taking-up and pursuit of the business of Insurance and Reinsurance)

[8] Абдюшева С., Спивак С. Обратные задачи для марковских моделей // Актуарий. 2007. Ш. С. 41-46.

Баскаков В.Н., Андреева О.Н., Баскакова М.Е., Карташов Г.Д., Крылова Е.К. Страхование от несчастных случаев на производстве: актуарные основы / Под ред. В.Н. Баскакова. М.: Academia, 2001. 192 с.

Бауэре Н., Гербер X., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика / Перев. с англ. под ред. В. К. Малиновского. М.: Янус-К, 2001. 656 с.

Вдовина (Фаизова) A.A. Моделирование резерва по страхованию жизни для некоторых сценариев развития процентных ставок. В кн.: Модернизация экономики: проблемы и перспективы: материалы международной научной конференции, посвященной 70-летию со дня основания Экономического факультета СПбГУ. 14-15 октября 2010 г. Секции 7-13. СПб.: ЭФ СПбГУ, 2010. С.128-129.

Вдовина (Фаизова) A.A. О проблемах применения модели с несколькими состояниями в долгосрочном страховании. В кн.: Пути развития теории и практики современного страхования. 28 октября 2011 г., Санкт-Петербург. Сборник тезисов международной научно-практической конференции, посвященной 10-летнему юбилею кафедры управления рисками и страхования. СПб.: ЭФ СПбГУ, 2012. 0.4546.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2003. - 576 с.

Кудрявцев A.A. Демографические основы страхования жизни. Курс лекций. СПб.: Институт страхования, 1998. 237 с.

Кудрявцев A.A. Методология актуарного анализа. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. 204 с.

[16] Кудрявцев A.A., Вдовина (Фаизова) A.A. Моделирование резерва по страхованию жизни при наличии положительной обратной связи // Вестник СПбГУ, Серия «Экономика». 2010. Вып. 3. С. 57-65.

[17] Кудрявцев A.A., Плам Р.Г., Чернова Г.В. Страхование здоровья (опыт Великобритании). М.: Анкил, 2003. 216 с.

[18] Кудрявцев A.A., Поляков И.В. Актуарные модели обоснования системы обязательного медицинского страхования. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1997. 188 с.

[19] Фаизова А. А. Использование актуарной модели с конечным числом состояний для отражения денежного потока по отдельному договору страхования. В кн.: Страховые интересы современного общества и их обеспечение: сборник материалов XIV Международной научно-практической конференции: в 2 т. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Т. 2. С.133-137.

[20] Фаизова A.A. Моделирование резерва по страхованию жизни с учетом сценариев развития процентной ставки // Научные труды Вольного экономического общества России. 2013. Т. 172. С. 437-449.

[21] Фаизова A.A. Моделирование совокупного резерва при долгосрочном страховании с учетом сценариев развития процентной ставки. В кн.: Предпринимательство и реформы в России: материалы восемнадцатой международной конференции молодых ученых-экономистов. 2223 ноября 2012 г. ЭФ СПбГУ, 2012. С.49-50.

Фаизова A.A. Модель определения резерва по долгосрочному личному страхованию // Вестник СПбГУ, Серия «Экономика». 2013. Вып. 3. С.129-133.

Фаизова A.A. Модель резерва в долгосрочном страховании, учитывающая сценарии развития будущих норм доходности. В кн.: Международный экономический симпозиум — 2015: Материалы II международной научной-практической конференции, посвященной 75-летию экономического факультета Санкт- Петербургского государственного университета 22-25 апреля 2015 г. / ред. кол л.: О. Л. Маргания, С. А. Белозеров [и др.]. СПб.: Изд-во Скифия-принт, 2015. С.489-490. http://есоп-conf.spbu.ru/files/Symposium_abstracts.pdf [Дата обращения 10.06.2015]

Фаизова A.A. Модель резерва по долгосрочному личному страхованию и возможности ее применения // Финансы и кредит. 2015. № 17(641). С. 59-66.

Фаизова А. А. Об учете инвестиционного дохода при резервировании в долгосрочном страховании. В кн.: Устойчивое развитие: общество и экономика: Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 290-летию Санкт-Петербургского государственного университета, 23-26 апреля 2014 г. СПб.: Нестор-История, 2014. С.331-332.

Фаизова A.A. О проблеме учета процентных ставок при формировании резервов в долгосрочном страховании. В кн.: Интеграционные процессы: влияние на экономическое развитие: Материалы весенней конференции молодых ученых-экономистов. Санкт-Петербург, 19 апреля 2013 г. СПб.: Издат. центр экон. ф-та СПбГУ, 2013. С. 119-120.

Фаизова A.A. Учет зависимости инвестиционного дохода от размера страховых резервов при долгосрочном страховании. В кн.: Инвестиционный климат: влияние на экономику: материалы весенней конфе-

ренции молодых ученых экономистов 27 апреля 2012 г. СПб.: ОЦЭиМ, 2012. С.84-85.

[28] Amsler M.H. Les chaines de Markov des assurances vie, invalidité et maladie // Transactions of the 18th International Congress of Actuaries. München. 1968. Vol.5. P. 731-746.

[29] Baileer M. Die Entwicklung von Personengesamtheiten in der Krankenversicherung, dargestellt als Markoffscher Prozeß // Blätter der deutschen Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1968. Bd. VIII. Heft 4. S. 611-632.

[30] Baileer M. Bericht über Markoffsche Prozesse in der Versicherungsmathematik // Blätter der deutschen Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1969. Bd. 9. Heft. S. 57-65.

[31] Bernoulli D. Essai d'une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole, et des avantages de l'inoculation pour la prévenir. Mem. Math. Phy. Acad. Roy. Sei., Paris, 1766. (English translation entitled "An attempt at a new analysis of the mortality caused by smallpox and of the advantages of inoculation to prevent it". Reprinted in: Haberman S., Sibbett T. A. History of actuarial science. Vol. 8. London: William Pickering, 1995. 391 p.).

[32] Du Pasquier L.G. Mathematische Theorie der Invaliditätversicherung / / Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1912. Bd.7. S. 1-7.(English translation entitled "The Mathematical Theory of Disability Insurance". Reprinted in: Haberman S., Sibbett T. A. History of actuarial science. Vol. 8. London: William Pickering, 1995. 391 p.).

[33] Du Pasquier L.G. Mathematische Theorie der Invaliditätversicherung

/ / Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer

Versicherungsmathematiker. 1913. Bd..8. S. 1-153.(English translation entitled "The Mathematical Theory of Disability Insurance". Reprinted in: Haberman S., Sibbett T. A. History of actuarial science. Vol. 8. London: William Pickering, 1995. 391 p.).

[34] Haberman S., Pitacco E. Actuarial Models for Disability Insurance. London: Chapman & Hall / CRC Press, 1999. 280 p.

[35] Hoem J.M. Markov chain models in life insurance // Blätter der Deutschen Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1969. Bd.9. S. 91107.

[36] M0ller T., Steffenson M. Market-Valuation Methods in Life and Pension Insurance. New York: Cambridge University Press, 2007. 279 p.

[37] Ramlau-Hansenn H. Distribution of Surplus in Life Insurance // ASTIN Bulletin. 1991. Vol. 21. P. 57-71.

[38] Redington F. M. Review of the Principles of Life Office Valuations // Journal of the Institute of Actuaries. 1952. Vol. 78. P. 286-340.

[39] Wolthuis H. Life insurance mathematics (The Markovian model). Bruxelles: CAIRE, 1993. 255 p.