Моделирование равновесных свойств квантовых систем методом Монте-Карло в расширенных ансамблях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Вознесенский, Михаил Андреевич

• Вознесенский, Михаил Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вознесенский, Михаил Андреевич

Введение

1 Методы и алгоритмы

1.1 Выражение для статистической суммы системы тождественных частиц.

1.2 Метод интегралов по траекториям.

1.3 Метод энтропического моделирования.

1.4 Алгоритм Ванга — Ландау.

1.5 Метод расширенного ансамбля.

2 Метод расширенного ансамбля для малых квантовых систем

2.1 Алгоритм Ванга — Ландау в методе расширенных ансамблей

2.2 Эстиматоры.

2.3 Точные и конечномерные выражения для систем невзаимодействующих частиц в гармоническом поле.

2.4 Система невзаимодействующих частиц

2.4.1 Две частицы

2.4.2 Три частицы

2.5 Вычисление энергии

2.6 Система тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле.

2.6.1 Две частицы

2.6.2 Три частицы

2.7 Системы в кулоновском поле притяжения.

2.7.1 Аппроксимация для кулоновского потенциала

2.7.2 Две частицы с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле.

2.7.3 Атом гелия.

3 Обобщение метода

3.1 Системы многих частиц.

3.2 Система невзаимодействующих частиц в гармоническом поле.

3.3 Система частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом внешнем поле.

3.3.1 Пять частиц.

3.3.2 Шесть и семь частиц.

3.4 Параллелизация вычислений.

4 Метод плотности состояний

4.1 Квантовая частица в гармоническом поле.

4.2 Система двух различимых квантовых частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле .ЮЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование равновесных свойств квантовых систем методом Монте-Карло в расширенных ансамблях»

В далёком 1965 году, на заре компьютерной эры, Гордон Мур, впоследствии один из основателей корпорации Intel, обратил внимание на интересную закономерность в развитии компьютеров. Он заметил, что новые модели микросхем разрабатывались спустя более или менее одинаковые периоды после появления их предшественников, а ёмкость их при этом возрастала каждый раз примерно вдвое. Если такая тенденция продолжится, заключил Мур, то мощность вычислительных устройств со временем будет экспоненциально возрастать. Данная закономерность известна как закон Мура и оказывается справедливой и по сей день. Столь стремительный рост мощностей вычислительных систем открывает поистине фантастические возможности для компьютерного моделирования и численных эскпериментов, зарекомендовавших себя как один из верных способов решения задач из всех областей знаний.

Одним из наиболее мощных, но зачастую требовательных к ресурсам, стохастических методов является метод Монте-Карло. Идея использовать случайные явления в области приближённых вычислений возникла ещё в XIX веке, когда появилась работа Холла об определении числа 7г путём бросания иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Однако, годом рождения метода Монте-Карло принято считать 1949-й, когда вышла статья Метрополиса и Улама [1], содержащая основания и общее описание статистического подхода к решению интегральных и диффренциальных уравнений, возникающих в различных областях естественных наук.

Ранние методы квантового моделирования были направлены на решение уравнения Шредингера или уравнения Блоха. Они включают в себя такие методы, как метод Хартри-Фока, метод функционала плотности, диффузионный метод Монте-Карло и другие. Однако все эти методы позволяют найти лишь волновые функции чистых состояний, обычно основного, и не дают возможности получить теромодинамику квантовой системы при конечной температуре. Основанный на Фейнмановской трактовке квантовой механики [2, 3] метод Монте-Карло интегралов по траекториям позволяет решить эту проблему путем сведения статистической суммы квантовой системы к статистической сумме чисто классической системы. Используя групповое свойство, матрицу плотности можно представить в виде произведения высокотемпературных матриц плотности, для которых уже возможно использовать различные высокотемпературные приближения. В результате, в простейшем случае метода вершин квантовая частица представляется в виде траектории — замкнутого «полимера» с гармоническими связями между вершинами. Существенная положительная особенность данного подхода заключается в том, что здесь без каких-либо приближений полностью учитываются все межчастичные взаимодействия, и как следствие все корреляции.

Первым, кто использовал метод Монте-Карло для численного вычисления статистической суммы квантовой системы был Фосдик [4]. В его работе статистическая сумма записана в терминах интеграла Винера, который выражается через n-кратный интеграл Римана, который, в свою очередь, вычисляется методом Монте-Карло. Фосдик демонстрирует свой подход на двумерной системе двух тождественных взаимодействующих частиц в ящике и даже выписывает выражения для системы трёх частиц. Но в следующих работах [5, 6] он делает основной упор на использовании интегралов по траекториям для расчёта двухчастичной слэтеровской суммы в Не4 при низких температурах. Следующей в середине 70-х годов была серия работ группы Нормана и Филинова по плазме и ферми-системам [7, 8, 9, 10]. Фактически они первые ввели понятие метода вершин. Чуть позже, в 1979 году, Баркер [11] в рамках метода вершин провёл расчёт для энергии и функции распределения систем одной и двух различимых частиц в ящике. Эти авторы считаются основоположниками метода Монте-Карло интегралов по траекториям.

Существует большое число результативных исследований с использованием метода Монте-Карло интегралов по траекториям [12, 13], но, к сожалению на данный момент указанный метод успешно применялся лишь для ферми-систем с малым числом степеней свободы или для систем, удовлетворяющих статистике Бозе. Это связано с тем, что для ферми-частиц волновая функция, а равно и матрица плотности меняет знак (антисимметрична) при перестановке любых двух частиц. Это приводит к тому, что веса траекторий оказываются знакопеременными и не могут быть непосредственно интерпретированы как вероятности. Более того, при понижении температуры разность положительных и отрицательных вкладов в статистической сумме и в выражениях для средних экспоненциально уменьшается и становится трудно различимой на фоне статистического шума. Указанная проблема известна как проблема знака [14].

Проблема знакопеременности веса решалась путем перехода к усреднению по положительной весовой функции, в простейшем случае — по абсолютному значению [15, 16]: но проблема знака всё равно оставалась, выражаясь в стремлении (sgn(W)) + к drOW =

JdrOsgn (W) \W\ fdr\W\ (Osgn(MQ) /rfrsgnCW)!^! ' fdT\W\~ (sgn(H0)4

1) нулю.

Одна из первых попыток использовать метод Монте-Карло интегралов но траекториям для исследования термодинамических свойств систем тождественных частиц принадлежит Такахаши и Имаде [17, 18, 19]. Они предложили в методе вершин симметризовать (антисимметризовать) каждую высокотемпер-татурную матрицу плотности в разложении, таким образом на каждом шаге мнимого времени происходит учёт всех перестановок частиц. В качестве вероятности в методе существенной выборки Такахаши и Имада использовали абсолютное значние веса траектории, а учёт знаков производили при накоплении канонических средних. Данный подход, в силу геометрических особенностей конфигурационного пространства, позволил даже решить проблему знака в одномерном случае, но для систем с большей размерностью он оказался малоэффективен.

Через некоторое время, Холл [20, 21, 22, 23] предлагает ввести проекционный оператор, который исключает из рассмотрения траектории с весом меньше ошибки конечномерного приближения. Подход позволяет заметно уменьшить дисперсию ошибки вычислений методом Монте-Карло, но поскольку поверхности в фазовом пространстве, на которых веса траекторий равны пулю, неизвестны, приходится использовать приближенную проекцию.

Ныоман и Куки в 1992 году [24] разработали метод для ослаблания проблемы знака в системе двух фермионов, в котором на каждом МК-шаге усредняется несколько эквивалентных траекторий, полученных путём вращения исходной. Данный подход является численно-точным, но сформулировать его для большего числа частиц пока не удалось.

В это же время Цеперли предпринял попытку решить проблему знака, введя так называемый «метод интегралов по траекториям с ограничениями» [25, 26], идея которого отчасти перекликается с идеями Холла. Суть подхода заключается в исключении из усреднения отрицательных слагаемых статистической суммы путем ограничения области интегрирования. Этот метод действительно снимает проблему знака, но поверхности, ограничивающие область интегрирования, известны лишь приблизительно, они становятся крайне сложными в случае многочастичных систем с сильным взаимодействием, и правомочность такого ограничения оказывается спорной. Кроме того, как было показано Фи-линовым [27], данный метод приводит к неправильному поведению при низких температурах простой системы, имеющей аналитическое решение.

Интересная схема была предложена Маком [28, 29]. Она представляет собой рекурсивную процедуру систематического сокращения знаков путем группирования вершин в блоки. Ограничением данного подхода является необходимость хранить в памяти большое количество конфигураций блоков.

Следует также упомянуть работы других авторов: Карлсона и Калоса [30], предложивших концепцию зеркальных потенциалов, Коржениовского и др. [31], указавших на возможность использования метода Фейнмана-Каца для получения основного состояния многочастичных систем, Жанга [32], исследовавшего ферми-системы при конечных температурах в большом каноническом ансамбле, Корнея и Драммонда [33, 34], записавших гауссовы представления для ферми систем в фазовом пространстве и ряд других [35, 36, 37, 38].

Уже было отмечено, что метод Монте-Карло интегралов по траекториям позволяет перейти от квантовой к формально классической системе. Это открывает возможность использовать всю совокупность классических методов моделирования для решения квантовых задач.

В настоящей работе рассматривается использование методов Монте-Карло в расширенных ансамблях для моделирования равновесных свойств квантовых систем в рамках формализма интегралов но траекториям. Предлагаемый в работе способ ослабления проблемы знаков основан на точном вычислении отношений вкладов в статистическую сумму системы тождественных частиц.

Диссертационная работа построена следующим образом. В первой главе выписывается общее выражение для статистической суммы системы тождественных частиц и подробно излагаются лежащие в основе подхода методы и алгоритмы. Вторая глава посвящена применению метода расширенных ансамблей с настройкой весов по алгоритму Ванга — Ландау для моделирования равновесных свойств малых квантовых систем. Подход аппробирован на системах двух и трёх невзаимодействующих фермионов в гармоническом поле и применён к системам с кулоновским отталкиванием двух и трёх фермионов в гармоническом поле и двух фермионов в кулоновском поле притяжения. В третьей главе предложено обобщение данного подхода на случай многочастичных систем. Подход аппробируется на системе пяти невзаимодействующих фермионов в гармоническом поле и применяется к системам пяти, шести и семи фермионов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Четвёртая глава посвящена применению метода плотности состояний для моделирования квантовых систем без учёта обмена. Этим методом проведены расчёты для системы двух фермионов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле и даны сравнения с результатами из второй главы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Вознесенский, Михаил Андреевич

Заключение

В работе предлагается подход к изучению квантовых систем, основанный на сочитании метода интегралов по траекториям и метода Монте-Карло в расширенном ансамбле с настройкой весов по алгоритму Ванга — Ландау.

Тестовые расчёты для систем из двух и трёх тождественных невзаимодействующих частиц в гармоническом внешнем поле и сравнение полученных результатов с точными и конечномерными значениями показало хорошее согласие машинно-экспериментальных данных с точными зависимостями до значений обратных температур, при которых система находится в основном состоянии.

На следующем этапе выполнены расчёты для систем двух и трёх тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Для этой модельной системы не существует аналитического решения. Проведены сравнения с данными из литературы, а также сопоставление результатов моделирования двухчастичной системы с данными метода плотности состояний. Хорошее согласие результатов указывает на корректность результатов вычислений.

Проведено моделирование для атома гелия. Значения энергии основного и триплетного состояний, известные из литературы, были воспроизведены с удовлетворительной точностью. Наблюдаемые отклонения, очевидно, связаны с недостаточным числом вершин в использованном приближении.

Предложено обобщёние на случай систем из большего числа частиц. Проведены тестовые расчёты для системы пяти, шести и семи тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Параболическая аппроксимация зависимости свободной энергии от температуры позволяет получить оценки энергии основного состояния и термодинамические функции при низких температурах.

Предложенный подход даёт достаточно точные результаты при сравнительно небольших затратах машинного времени. Типичное время расчёта для одного значения температуры составляет от получаса в случае системы двух невзаимодействующих частиц до суток в случае атома гелия или пяти частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле на компьютере Pentuim IV (3 ГГц).

В работе использовалось простейшее представление для высокотемпературной матрицы плотности. Подход не накладывает никаких ограничений на использование более сложных представлений для матрицы плотности, например [52, 53, 54, 55], на число вершин и типы МК шагов. Также возможно использование различных техник, ускоряющих сходимость интегралов по траекториям [56, 57, 58, 59]. Однако возможности комбинирования указанных подходов требуют отдельного исследования. Кроме этого нет никаких ограничений на размерность и на потенциалы взаимодействия в системе. Расчёты могут быть параллелизованы, что очень важно при моделировании многочастичных систем.

Предложенный подход, к сожалению, не позволяет полностью устранить проблему знака, но даёт возможность её ослабить. В случае малых систем удалось спуститься до значений температур при которых система находится в основном состоянии и необходимости спускаться ещё ниже нет. В случае большего числа частиц спуститься в основное состояние не удалось, но построенные аппроксимации достаточно точно дают оценки для энергий основного состояния. Поэтому предложенный подход вполне может быть применён для моделирования различных квантовых систем, например неидеальной квантовой плазмы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вознесенский, Михаил Андреевич, 2009 год

1. N. Metropolis and S. Ulam. Journal of the American Statistical Association, 44 (247):335-341, 1949.

2. P. Фейнман, А. Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. «Мир», Москва. 1968.

3. Р. Фейнман. Статистическая механика. «Мир», Москва. 1975.

4. L. D. Fosdick. Numerical estimation of the partition function in quantum statistics. Journal of Mathematical Physics, 3(6):1251-1264, 1962.

5. L. D. Fosdick and H. F. Jordan. Path-integral calculation of the two-particle slater sum for he4. Phys. Rev., 143(1):58-66, Mar 1966.

6. H. F. Jordan and L. D. Fosdick. Three-particle effects in the pair distribution function for he4 gas. Phys. Rev., 171(1):128-149, Jul 1968.

7. В. M. Замалин, Г. Э. Норман. Исследование термодинамики квантовых жидкостей методом Монте-Карло. XV Всесоюз. совещ. по физике низких температур. Тезисы докл. Тбилиси, ИФАН ГССР, 1968.

8. В. М. Замалин, Г. Э. Норман. О методе Монте-Карло в фейнмановской формулировке квантовой статистики. ЖВМиМФ, т. 13(2), 1973.

9. В. С. Филинов. Учёт вырождения электронов в псевдопотенциальной модели неидеальной плазмы. ТВТ, т.11(4), 1973.

10. В. М. Замалин, Г. Э. Норман, В. С. Филинов. Метод Монте-Карло в статистической термодинамике. «Наука», Москва. 1977.

11. J. A. Barker. A quantum-statistical monte carlo method; path integrals with boundary conditions. The Journal of Chemical Physics, 70(6):2914—2918, 1979.

12. D. M. Ceperley. Path integral Monte Carlo methods for fermions, in: Simulation in condensed matter, physics and chemistry (K. Binder and G. Cicotti eds.). Bologna, Itally, 1996.

13. H. Kleinert. Path integrals in quantum mechanics, statistics, polymer physics, and financial markets. World Scientific, Singapore, 2002.

14. J. E. Hirsch, R. L. Sugar, D. J. Scalapino, and R. Blankenbecler. Monte carlo simulations of one-dimensional fermion systems. Phys. Rev. В, 26(9):5033—5055, Nov 1982.

15. H. De Raedt and A. Lagendijk. Monte carlo calculation of the thermodynamic properties of a quantum model: A one-dimensional fermion lattice model. Phys. Rev. Lett., 46(2):77-80, Jan 1981.

16. P. N. Vorontsov-Velyaminov, M. 0. Nesvit, and R. I. Gorbunov. Bead-fourier path-integral monte carlo method applied to systems of identical particles. Phys. Rev. E, 55(2):1979-1997, Feb 1997.

17. M. Takahashi and M. Imada. Monte carlo calculation of quantum systems. Journal of the Physical Society of Japan, 53(3):963-974, 1984.

18. M. Imada. On the monte carlo method for fermions in multi-dimensional systems. Journal of the Physical Society of Japan, 53(9):2861—2864, 1984.

19. M. Imada and M. Takahashi. Quantum monte carlo simulation of a two-dimensional electron system melting of wigner crystal. Journal of the Physical Society of Japan, 53(11):3770-3781, 1984.

20. R. W. Hall. The treatment of exchange in path integral simulations via an approximate pseudopotential. The Journal of Chemical Physics, 89(7):4212-4215, 1988.

21. R. W. Hall. The exchange potential in path integral studies: Analytical justification. The Journal of Chemical Physics, 91(3):1926—1931, 1989.

22. R. W. Hall and M. R. Prince. Development, justification, and use of a projection operator in path integral calculations in continuous space. The Journal of Chemical Physics, 95(8):5999-6004, 1991.

23. R. W. Hall. Formally exact path integral monte carlo calculations using approximate projection operators. The Journal of Chemical Physics, 97(9):6481-6484, 1992.

24. W. H. Newman and A. Kuki. Improved methods for path integral monte carlo integration in fermionic systems. The Journal of Chemical Physics, 96(2): 14091417, 1992.

25. D. M. Ceperley. Path-integral calculations of normal liquid he3. Phys. Rev. Lett., 69(2):331-334, Jul 1992.

26. D. M. Ceperley. Path integrals in the theory of condensed helium. Rev. Mod. Phys., 67(2):279-355, Apr 1995.

27. V. S. Filinov. Cluster expansion for ideal fermi systems in the 'fixed-node approximation'. Journal of Physics A: Mathematical and General, 34(8):1665-1677, 2001.

28. С. Н. Мак and R. Egger. A multilevel blocking approach to the sign problem in real-time quantum monte carlo simulations. The Journal of Chemical Physics, 110(1):12-14, 1999.

29. R. Egger, L. Miihlbacher, and С. H. Мак. Path-integral monte carlo simulations without the sign problem: Multilevel blocking approach for effective actions. Phys. Rev. E, 61(5):5961-5966, May 2000.

30. J. Carlson and M. H. Kalos. Mirror potentials and the fermion problem. Phys. Rev. C, 32(5):1735—1741, Nov 1985.

31. A. Korzeniowski, J. L. Fry, D. E. Orr, and N. G. Fazleev. Feynman-kac path-integral calculation of the ground-state energies of atoms. Phys. Rev. Lett., 69(6):893-896, Aug 1992.

32. S. Zhang. Finite-temperature monte carlo calculations for systems with fermions. Phys. Rev. Lett., 83(14):2777-2780, Oct 1999.

33. J. F. Corney and P. D. Drummond. Gaussian quantum monte carlo methods for fermions and bosons. Phys. Rev. Lett., 93(26):260401, Dec 2004.

34. J. F. Corney and P. D. Drummond. Gaussian phase-space representations for fermions. Physical Review В (Condensed Matter and Materials Physics), 73(12):125112, 2006.

35. V. Elser. Eliminating the minus sign in monte carlo simulations of fermions. Phys. Rev. A, 34(3):2293-2301, Sep 1986.

36. S. B. Fahy and D. R. Hamann. Positive-projection monte carlo simulation: A new variational approach to strongly interacting fermion systems. Phys. Rev. Lett., 65(27):3437-3440, Dec 1990.

37. G. G. Batrouni and P. de Forcrand. Fermion sign problem: Decoupling transformation and simulation algorithm. Phys. Rev. B, 48(l):589-592, Jul 1993.

38. J. Carlson, J. E. Gubernatis, G. Ortiz, and S. Zhang. Issues and observations on applications of the constrained-path monte carlo method to many-fermion systems. Phys. Rev. B, 59(20):12788-12798, May 1999.

39. E. L. Pollock and D. M. Ceperley. Simulation of quantum many-body systems by path-integral methods. Phys. Rev. B, 30(5):2555-2568, Sep 1984.

40. A. P. Lyubartsev and P. N. Vorontsov-Velyaminov. Path-integral monte carlo method in quantum statistics for a system of n identical fermions. Phys. Rev. A, 48(6):4075-4083, Dec 1993.

41. I. R. McDonald and K. Singer. Machine calculation of thermodynamic properties of a simple fluid at supercritical temperatures. The Journal of Chemical Physics, 47(11) :4766-4772, 1967.

42. J. Lee. New monte carlo algorithm: Entropic sampling. Phys. Rev. Lett., 71(2):211-214, Jul 1993.

43. F. Wang and D. P. Landau. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states. Phys. Rev. Lett., 86(10):2050-2053, Mar 2001.

44. A. P. Lyubartsev, A. A. Martsinovski, S. V. Shevkunov, and P. N. Vorontsov-Velyaminov. New approach to monte carlo calculation of the free energy: Method of expanded ensembles. The Journal of Chemical Physics, 96(3): 1776-1783, 1992.

45. А. П. Любарце в, А. А. Марциновский, П. H. Воронцов-Вельяминов, Т. В. Кузнецова. Журнал физической химии, том 67:254, 1993.

46. M. F. Herman, E. J. Bruskin, and B. J. Berne. On path integral monte carlo simulations. The Journal of Chemical Physics, 76(10):5150—5155, 1982.

47. P. N. Vorontsov-Velyaminov, S. D. Ivanov, and R. I. Gorbunov. Quantum gas in an external field: Exact grand canonical expressions and numerical treatment. Phys. Rev. E, 59(1): 168-176, Jan 1999.

48. P. N. Vorontsov-Velyaminov and A. P. Lyubartsev. Entropic sampling in the path integral monte carlo method. Journal of Physics A: Mathematical and General, 36(3):685-693, 2003.

49. J. S. Kole and H. DeRaedt. Phys. Rev. E., 64:016704, 2001.

50. E. А. Поляков, П. Н.Воронцов-Вельяминов. Квантовый газ во внешнем поле при конечных температурах. Точное выражение для плотности и возбужденный состояния. Вычислительные методы и программирование (http://num-meth.srcc.msu.ru/), 8:334-351, 2007.

51. С. L. Pekeris. lsl, 2sl, and 2s3 states of h- and of he. Phys. Rev., 126(4):1470-1476, May 1962.

52. M. Sprik, M. L. Klein, and D. Chandler. Staging: A sampling technique for the monte carlo evaluation of path integrals. Phys. Rev. B, 31 (7)-.4234-4244, Apr 1985.

53. L. Brualla, K. Sakkos, J. Boronat, and J. Casulleras. Higher order and infinite trotter-number extrapolations in path integral monte carlo. The Journal of Chemical Physics, 121(2):636-643, 2004.

54. C. Predescu. Existence of short-time approximations of any polynomial order for the computation of density matrices by path integral methods. Phys. Rev. E, 69(5):056701, May 2004.

55. С. Predescu. Fast sampling algorithm for lie-trotter products. Phys. Rev. E, 71(4):045701, Apr 2005.

56. A. Bogojevic, A. Balaz, and A. Belie. Systematically accelerated convergence of path integrals. Phys. Rev. Lett, 94(18):180403, May 2005.

57. A. Bogojevic, A. Balaz, and A. Belie. Systematic speedup of path integrals of a generic n -fold discretized theory. Phys. Rev. В, 72(6)-.064302, Aug 2005.

58. S. A. Chin. Higher-order splitting algorithms for solving the nonlinear schro-umlaut]dinger equation and their instabilities. Physical Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics), 76(5):056708, 2007.

59. A. Balaz, A. Bogojevic, I. Vidanovic, and A. Pelster. Recursive schro-umlaut]dinger equation approach to faster converging path integrals. Physical Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics), 79(3):036701, 2009.