Моделирование процессов теплообмена при намораживании водного льда на неизолированных элементах низкотемпературного оборудования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.04.03, кандидат наук Угольникова, Мария Андреевна

• Угольникова, Мария Андреевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Угольникова, Мария Андреевна

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НАУЧНО ТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССА НАМОРАЖИВАНИЯ ВОДНОГО ЛЬДА НА ЭЛЕМЕНТАХ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

1.1. Водный лед, его виды и свойства

1.2. Обзор публикаций по теплообмену в условиях подвижной границы фронта фазового перехода

1.3. Аналитические модели, описывающие динамику роста слоя льда, на различных поверхностях

1.4. Накопление и производство водного льда

1.5. Применение низкотемпературной технологии для подъема оболочковых объектов со дна водных бассейнов

1.6. Выводы по главе 1

2.1. Теплообмен при намораживании водного льда на поверхности

плоской стенки

2.2. Теплообмен при намораживание водного льда на наружной поверхности полой трубы

2.3. Теплообмен при намораживании водного льда на внутренней поверхности трубы

2.4. Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ СТЕНДОВ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ОПЫТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1. Намораживание водного льда на поверхности плоской стенке

3.2. Намораживание водного льда на внутренней поверхности трубы

3.3. Намораживание водного льда на внешней поверхности трубы

3.4. Оценка погрешности эксперимента

3.5. Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. СОПОСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

4.1. Сопоставление экспериментальных и теоретических результатов по намораживанию водного льда на поверхности плоской стенке

4.2. Сопоставление экспериментальных и теоретических результатов по намораживанию водного льда на внутренней поверхности трубы

4.3. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов по намораживанию водного льда на внешней поверхности трубы

4.4. Выводы по главе 4

ГЛАВА 5. ВЫБОР ЭФФЕКТИВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НАМОРАЖИВАНИЯ И ПРИНЦИП ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРИОКЮВЕТЫ

5.1. Устройство для подъема оболочковых объектов со дна водных бассейнов (криокювета)

5.1.1. Принципиальная схема криокюветы и техническая оценка возможности её действия

5.2. Выбор эффективной поверхности намораживания и определение рационального соотношения геометрических размеров, ледогенераторов различных форм поверхности

5.3. Выводы по главе 5

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

р - плотность водного льда, кг/м3;

а - коэффициент теплоотдачи от воды к поверхности льда, Вт/(м2оС);

Тф - температура фазового перехода воды в лед, К;

Тс -температура охлаждаемой поверхности стенки, К;

Тв - температура воды, К;

^ - толщина слоя намороженного льда, м;

L - теплота фазового перехода воды в лед, кДж/кг;

т - время, с;

А - коэффициент теплопроводности водного льда, Вт/(м°С);, 6с - толщина стенки, м;

Ас - коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт/(м°С); Ср - удельная теплоемкость водного льда, Дж/(кг°С); в - фактор роста слоя водного льда, м/с1/2; го - радиус полой трубы, м; а - коэффициент температуропроводности, м2/с;

ах - коэффициент теплоотдачи от охлаждающей среды к поверхности трубы, Вт/(м2оС);

Тх - температура охлаждающей среды, К; Ки - число Нуссельта; Gг - число Грасгофа; Ra - число Рэлея;

Ргж - число Прандтля при температуре жидкости;

Ргс - число Прандтля при температуре поверхности льда;

рж - плотность жидкости, кг/м3;

у - температурный коэффициент объемного расширения, К-1;

^ж - динамическая вязкость жидкости, Пас;

Срж - удельная теплоемкость жидкости, Дж/(кг°С);

Аж - коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/(м°С);

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов теплообмена при намораживании водного льда на неизолированных элементах низкотемпературного оборудования»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Водный лед обладает особыми теплофизическими свойствами, он доступен, имеет относительно низкую стоимость, полностью совместим с окружающей средой, этим обусловлено его широкое применение в различных областях науки и техники. Растет применения водного льда, в различных его формах и модификациях, в частности, как хладоноситель с постоянной температурой и меняющимся агрегатным состоянием он широко применяются в сельском хозяйстве, пищевой промышленности, торговой отрасли, строительном деле и др. Существенным преимуществом применения водного льда для охлаждения продуктов, является отсутствие подмораживания, что в ряде случаев крайне важно. В связи с обширной областью применения, производство водного льда является важной технической задачей, в которую входит, в том числе расчет и проектирование ледогенераторов с различной формой рабочей поверхности намораживания.

Водный лед применяется так же в качестве холодоаккумуляционной массы, используемой в часы пиковых нагрузок [1]. Причем лед может быть получен как с помощью холодильной установки (работающей в наиболее разгруженные для электросети часы), так и с применением естественного холода окружающей среды.

Важной экологической проблемой, ставшей последствием бурной техногенной деятельности в XX веке, является очистка водоемов от затопленных оболочковых объектов. Такие элементы могут содержать токсичные, экологически опасные вещества, попадание которых в водную среду губительно для подводной флоры и фауны, а вместе с ними и для человека (через морепродукты). Это обуславливает необходимость подъема оболочковых объектов на поверхность водного бассейна для их последующей транспортировки и утилизации. Сложность данной задачи состоит в том, что стенки объектов зачастую подвержены значительному корзинному износу, исключающему механическое воздействие на них, вследствие опасности

разрушения. В таких условиях перспективными представляются низкотемпературные методы, основанные на применении водного льда для подъема затопленных объектов.

Задача расчета динамики намораживания водного льда на поверхностях различных форм является весьма актуальной для расчета и проектирования ледогенераторов и холодоаккумуляторов, а так же для создания систем подъема затопленных объектов с применением низкотемпературной технологии.

Цель работы

Создание и обоснование математического описания процессов работы устройств ледогенераторов, с различной формой поверхности намораживания, и устройств криозахвата оболочковых объектов с шельфа водных бассейнов

Задачи исследования:

1. Разработка расчетно-аналитического метода определения скорости намораживания водного льда на поверхностях канонических форм (плоская поверхность, внешняя и внутренняя цилиндрическая поверхность).

2. Оценка влияния зависимости теплофизических свойств льда от температуры, для случаев намораживания льда на плоской поверхности и внешней цилиндрической поверхности.

3. Получение экспериментальных данных по динамике роста слоя водного льда на различных поверхностях.

4. Сопоставление экспериментальных данных с теоретическими зависимостями, полученными по разработанным аналитическим моделям.

5. Создание конструктивной схемы устройства для подъема затопленных оболочковых объектов (криокюветы), на основе низкотемпературной технологии.

6. Создание методики расчета режимов работы криокюветы.

7. Определение наиболее эффективной по способности накапливания льда рабочей поверхности намораживания.

Научная новизна

1 Разработан приближенный аналитический метод для расчета динамики намораживания льда на плоской стенке и цилиндрических поверхностях.

2. Получены аналитические зависимости, определяющие развитее процесса ледообразования на поверхностях намораживания ледогенераторов, холодоаккумуляторов и других элементах низкотемпературного оборудования, работающих в условиях водной среды.

3. Выявлено влияние фактора времени развития процесса и тепловых параметров льда и воды на динамику роста слоя льда на охлаждаемых поверхностях.

Положения выносимые на защиту

1. Метод расчета динамики намораживания льда на охлаждаемых поверхностях канонических форм, погруженных в водную среду.

2. Результаты теоретического исследования процесса намораживания водного льда.

3. Результаты экспериментальных исследований намораживания водного льда на изотермической поверхности плоской стенки и цилиндрических поверхностях.

4. Конструктивная схема устройства криозахвата (криокюветы) для извлечения оболочковых объектов расположенных в водной среде.

Личный вклад соискателя

Участие в постановке задачи моделирования процессов теплообмена при намораживании водного льда на поверхностях канонических форм (плоская стенка, наружная и внутренняя цилиндрическая поверхность). Расчеты по математическим моделям. Создание стендов для получения экспериментальных данных и методики проведения опытов. Сопоставление теоретических результатов с опытными данными, полученными на стендах.

Практическая значимость

Разработана конструктивная схема для подъема и извлечения затопленных оболочковых объектов с водного шельфа. Представлена методика расчета режимов работы криокюветы для осуществления процесса смораживания рабочей поверхности устройства с оболочкой извлекаемого объекта.

Проведена оценка прочностных свойств льда на предмет возможностей работы, по подъему грузов с помощью криокюветы.

Предложена методика и осуществлен выбор эффективной, по способности накапливания льда, поверхности намораживания.

Апробация работы

Основные положения и результаты исследования по теме диссертационной работы докладывались и обсуждались на 63-ей Открытой студенческой научно-технической конференции СНТК Университета машиностроения 22 - 26 апреля 2013 г. (Москва 2013); Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Инновационные разработки в области техники и физики низких температур» 10-12 декабря 2013 г., (Москва, 2013); Научно-практической конференции посвященной Л.А. Костандова, ноябрь 2014, Университет Машиностроения, (Москва, 2014); Международной научно-практической конференции «Новейшие технологии освоения месторождений углеводородного сырья и обеспечение безопасности экосистем каспийского шельфа» 7 Сентября 2015г., (Астрахань 2015); Научно-практической конференции посвященной Л.А. Костандова, ноябрь 2015, Университет Машиностроения, (Москва, 2015); Научно-практической конференции «Развитие индустрии холода на современном этапе» 2-3 марта 2016г., (Москва, 2016). Научно-практической конференции «Школа молодых ученых имени профессора И.М. Калниня» 28 февраля-3 марта 2017г., (Москва, 2017).

ГЛАВА 1. НАУЧНО ТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССА НАМОРАЖИВАНИЯ ВОДНОГО ЛЬДА НА ЭЛЕМЕНТАХ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

1.1. Водный лед, его виды и свойства.

Вода представляет собой структурно-сложное соединение водорода (11,9%) и кислорода (88,1%), обладающая важными для льдотехники свойствами [2].

Водный лед - это результат переход воды в твердое состояние при отводе от неё тепловой энергии. В ходе процесса отвода тепла в водной среде происходит фазовое превращение первого рода, сопровождающееся скачкообразным изменением внутренней энергии, объема, а также протекающие с выделением скрытой теплоты фазового перехода, которое для воды, при околонулевой температуре составляет L=334 кДж/кг. Процесс образования льда часто сопровождается образованием границы фазового превращения.

Существуют различные виды льда, такие как блочный лед, чешуйчатый лед, прессованный лед, трубчатый лед, снежный лед, а также бинарный лед. Данные виды льда отличаются между собой формой и способами получения.

Водный лед можно так же классифицировать по структуре его кристаллов. Практически весь природный лёд на Земле относится ко льду Ь, такой лед имеет гексагональное кристаллическое строение. В случаях, когда температура опускается ниже - 120°С структура кристаллов льда изменяется и приобретает кубическое строение (лед 1с), однако при повышении температуры строение такого льда изменяется и он превращается в обыкновенный лед 1ь В лабораторных условиях был получен лед, обладающего и другими кристаллическими структурами, так называемый лед высокого давления (лед II лед III лед IV лед V лед VI и т.д.). Лед

высокого давления, возникает при давлениях выше 20000 атм., и температурах ниже - 100°С [3,4].

В настоящее время продолжаются исследования по получению новых видов льда высокого давления, а также изучение свойств уже открытых структур льда [5-7].

К основным физическим свойствам льда относятся: плотность р, теплоемкость Ср, теплота фазового перехода L, теплопроводность А, а также, сюда можно отнести, прочностные и адгезионные свойства льда.

Плотность водного льда, не содержащего воздушных включений, при атмосферном давлении и температуре 0 °С равна 916,8 кг/м3. При понижении температуры льда на каждые 10 °С его плотность увеличивается в среднем на 1,5 кг/м3. Большое влияние на плотность льда имеет такой параметр как пористость п. Пористостью льда называют отношение суммарного объема пор, к объему всего льда [3]. Плотность льда можно определить по соотношению (1.1), однако в расчетах плотность льда принимается, как правило, равным р = 917 кг/м3 п=0 [8].

Удельная теплоемкость характеризуется количеством тепла, которое необходимо передать единицы массы тела для изменения его температуры на 1 °С. Теплопроводность водного льда, зависит, в основном, от давления и температуры. При атмосферном давлении теплоемкость уменьшается с понижением температуры. Удельную теплоемкость льда можно рассчитать по следующим эмпирическим зависимостям.

Формула Джиока и Стаута [9]:

р = 916,9 (1 - 0,000158? )(1 - п)

(1.1)

Ср = 2,108 + 0,007548?

Формула Дикинсона и Осборна [9]:

Ср = 2,114 + 0,007787-?

Или [8]:

(1.2)

(1.3)

Ср = 2,117 (1 + 0,0037?) (1.4)

Удельная теплоемкость льда немного увеличивается с повышением температуры и почти в два раза меньше чем у воды. В расчетах удельная теплоемкость льда как правило принимается постоянной, равный Ср = 2,12 кДжДкг • К) [8].

Температура плавления льда при повышении давления понижается, причем до давления в р=107Па, данную зависимость можно считать линейной (1.5) погрешность при этом не превышает 1% [8].

=-7,8-10-8 р (1.5)

Теплотой фазового перехода называют такое количество теплоты, которое выделяется или поглощается в процессе фазового перехода первого рода. Теплоту фазового перехода воды - лед можно найти по уравнению Клапейрона-Клаузиуса [9]:

тдР = Ь (1.6)

дт ^

где: Vw VI - объем жидкости и льда при фазовом переходе, отнесенный к единице массы, м3/кг.

Для расчетов динамики роста слоя льда, одним из важнейших параметров является теплопроводность слоя льда А. Теплопроводность льда зависит от его температуры, и с понижением температуры льда его теплопроводность увеличивается. Причем в области криогенных температур, зависимость коэффициента теплопроводности от температуры подчиняется гиперболическому закону [10]:

А = К (1.7)

где : К - размерная константа К=615,34, Вт/м2, Т - температура льда, К.

Определить теплопроводность льда, при атмосферном давлении и температуре от 0 до -130 °С, можно по приближенной эмпирической формуле

Ю.Л. Назинцева (1.8). Уравнение (1.8) позволяет определить А с точностью не ниже ±0,084 Вт/(м°С) [11].

Л = 2,24 (1 - 0,0048?) (1.8)

Сравнение результатов расчета по формуле (1.7), (1.8) с опытными данными представлено на Рисунке 1.1.

1

О --------------------

-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 О

Температура,°С

Рисунок 1.1. Зависимость теплопроводности пресноводного льда от температуры, по экспериментальным и теоретическим данным: 1 - D.S. Dillard, K.D. Timmerhaus; 2 - J.W. Dean, K.D. Timmerhaus; 3 - расчет по формуле Б.Т.

Маринюка (1.7); 4 - расчет по формуле Ю.Л. Назинцева (1.8).

На теплопроводность льда помимо температуры, незначительное влияние имеет так же и пористость. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры с учетом пористости, рассчитывается по уравнению (1.9):

Я = 2,19 (1 - 0,00159-?))—^ (19)

2 - n

В расчетах коэффициент теплопроводности льда, в условиях его таянья, как правило, принимается постоянным и равным À=2,22 Вт/(м-К) [8].

Прочностные свойства льда характеризуются такими понятиями как предел прочности на растяжение ар, предел прочности на изгиб аш, предел прочности на сдвиг Стсд и предел прочности на сжатие асж.

На величину предела прочности при растяжении большое влияние оказывает неоднородность льда. Для пресноводного льда величина прочности составляет 0.9-1.8 МПа, а для морского льда от 0.6 до 1.8 МПа. Причем с понижением температуры льда его прочность увеличивается [9].

Предел прочности при изгибе у морского льда ниже, чем у пресноводного. Так же данный показатель сильно зависит от геометрических размеров испытуемого образца. Согласно ряду исследований [12-13] прочность льда при изгибе для морского льда (для малых балок) составляет 0,35-0,6 МПа, а для пресноводного льда по оценкам данная величина должна составить примерно 1,3 МПа.

В тех случаях, когда необходимо увеличить прочностные свойства льда, используют так называемое армирование. Лед армируют с помощью прутков или волокон, при этом прочность такого льда на растяжение (в случае, когда длинна прутков или волокон равна длине ледяного образца) может быть рассчитана по формуле:

аар = ар-7в-7Т (110)

где: ар - прочность льда без армирования, Ув - объем волокон, Ев - модуль упругости волокон, Ел - модуль упругости льда.

Расчеты показали, что при 6% армировании льда по объему, с помощью стекловолокна, его прочность возрастает в 4 раза. А аналогичное экспериментальное исследование показало увеличение данного параметра в 4,5 раза [14].

Прочностным свойствам водного льда посвящен ряд исследований [9,12,13,15-18], актуальность которых растет с каждым годом, что связано, по-видимому, с увеличением арктических исследований.

Адгезией льда называют его способность примерзать к поверхностям твердых тел. Количественным показателем адгезии Стад является работа, которую необходимо затратить для разрушения связи между материалом и льдом, на единицы смерзшейся площади, с помощью сдвига.

На адгезионные свойства льда большое влияние имеет состояние поверхности контакта, в первую очередь её температура и шероховатость. Адгезия льда увеличивается при повышении шероховатости и понижении температуры [8]. Существует ряд экспериментальных исследований, по снижению адгезии льда к различным поверхностям [19-21]. Согласно этим исследованиям для снижения адгезии льда, весьма эффективным является применение специальных полимерных покрытий. Так адгезию льда к смачиваемым поверхностям (стекло, железо, медь) оценивают примерно в 2,02,1 МПа, а к несмачиваемым (полимерам) в пределах 0,18-0,22 МПа. Однако, существует мнение, что на адгезионную прочность льда влияет не только гидрофобность материала, но и в не меньшей степени коэффициент термического расширения материала и полимерного покрытия [19]. В ходе экспериментального исследования было установлено, что еще одним важным фактором, влияющим на адгезию, является время термостатирования. Так при примораживании ледяной пластины к охлажденному до -10°С диску с полимерным покрытием, и последующим медленном охлаждении до -21 °С, после двухчасового термостатирования, адгезия льда составила 0,108 ± 0,008 МПа, а после 12 часов термостатирования, адгезия льда увеличилась примерно в два раза, и составила 0,22±0,01 МПа. Увеличение адгезии льда при увеличении времени термостатирования может быть связано с релаксацией напряжений, возникших вследствие различных коэффициентов термического расширения льда и металла [20].

Образование и рост льда может иметь крайне негативное влияние на работу целого ряда важнейших систем. Обледенение, может помешать эксплуатации самолетов, вертолетов, линий электропередач, и т.д. Несмотря на

высокую актуальность, в литературе, исследованию адгезионных свойств льда уделено мало внимания, публикации по этой теме ограничены.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что лед представляет собой сложную структуру, с изменяющимися физическими свойствами. Свойства льда могут зависеть от целого ряда таких факторов, как температура, давление, скорость кристаллизации, и т.д. В ряде случаев свойства льда, внутри одного массива, могут отличаться. Зачастую некоторые свойства принимаются исследователями постоянными, что может привести к существенным погрешностям в расчётах. Так на динамику роста льда существенное влияние оказывает коэффициент теплопроводности, который, как правило, принимается постоянным, но при температурах существенно ниже 0 °С, в условиях работы криогенного оборудования, коэффициент теплопроводности возрастает. И для получения адекватного результата расчета необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

Случай теплообмена в условиях движущейся границы фазовых превращений принято называть задачей Стефана, хотя первые решения принадлежат членам российской академии наук Г. Ламе и Б.П.Э. Клайперону, которые рассмотрели задачу о намораживании водного льда на охлаждаемой поверхности стенки. Математическая формулировка этого случая теплообмена представляет собой систему из двух уравнений, с соответствующими краевыми условиями (индекс 1 - лед, индекс 2- вода) [22]:

1.2. Обзор публикаций по теплообмену в условиях подвижной границы фронта фазового перехода

сРхРх

д^(х,т) д\(х,т) дт дх2

(т> 0,0 < х <4)

(111)

СРгРг

д?2 ( х,т) д % ( х,т) дт 2 дх2

(т > 0,4 < х < 0)

(1.12)

= 0

граничное условие

начальное условие

граничное условие

условие сопряжения

(114)

(1.15)

(1.13)

(116)

Lp2 — =

Я,

(1.17)

где: Cp - удельная теплоемкость, р - плотность, t3 - температура замерзания, À - коэффициент теплопроводности, L - теплота фазового перехода, ^ -толщина слоя льда, х - координата фронта фазового превращения, т - время.

Положение межфазных границ заранее не известно и также должно определяться в ходе решения, вследствие этой особенности математические модели являются нелинейными и сложными для анализа и решения [23].

В 1831 году Габриель Ламе и Бенуа Поль Клапейрон опубликовали работу «Mémoire sur la solidification par refroidissement d'un glob solid», в которой исследовался процесс замерзания однородной жидкости в полуограниченной области. Исследователями были приняты допущения: температура жидкости в начальный момент времени принималась равной температуре фазового перехода, температура на границе лед - охлаждаемая поверхность принята постоянной. В этом случае решение задачи имеет вид:

л

х

(118)

где: а - коэффициент температуропроводности.

Принятые допущения не умоляют значимость полученного решения, и оно является значительным вкладом в решении задач с фазовыми превращениями. Авторами было установлено, что толщина слоя намороженного льда пропорциональна квадратному корню от времени, и на основании этого был применен принцип автомодельности, который позволил перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к обычным дифференциальным уравнениям [24].

В 1860 году Франц Нейман рассмотрел усложненную задачу с подвижной границей, так же как и его предшественники, Нейман рассматривал процесс замерзания однородной жидкости в полуограниченном пространстве с постоянной температурой на границе, но в отличие от Ламе и Клапейрона, температуру жидкости в начальный момент времени принимал выше температуры фазового перехода [25].

Спустя, без малого, 60 лет, после выхода работы Ламе и Клапейрона, в 1889 году, австрийский физик и математик Йозеф Стефан опубликовал четыре работы, в которых исследовал тепловые и диффузионные процессы, в последствии данный класс задач стал носить имя австрийского ученого [24]. В этих четырех работах Стефан рассматривал как однофазную, так и двухфазную постановку задачи о замерзании вещества. Был сформулирован закон сохранения энергии с учетом теплоты фазового перехода, действующий на границе раздела фаз (1.17) (условие Стефана). Для однофазной задача о промерзании однородной жидкости, находящейся при температуре фазового перехода, с переменной температурой на границе, приведено формальное решение в виде степенного ряда по пространственной переменной, а также в простейшем виде рассмотрена, так называемая «обратная» задача Стефана. [26]

Предложенное Стефаном решение, при краевых условиях [27]:

¿2 (х,0) = ¿0 г, (0,т) = гс

¿1 (т г2 (т г

ф

(1.20) (1.21) (1.22)

dt2 KT)_

dx

0

(1.23)

L dS dt, (s,t) . dt2 (¿t) _4-1--^2-1-

dT dx dx

имеет следующим вид:

erf

с \

x

tl (x,T)_ -с+( - -c)-

V

у

erf

' ß Л

2y[ä'i

(1.24)

t2 (x, t) _ t0--—erfc

с л x

erfc

' ß л

2^Jä~2

2yfc

a2T У

(1.25)

Значение коэффициента ß находится из уравнения:

exp

ß

y[alerf

fß \ 4a

V У

+ •

Л (-0 - -Ф )

— z5—^exp ß

■>Jä~2erfc

24a~2

fßß ^ 4a

V 2 у

LW рг4ж

ß

(1.26)

2yjä~1

где W - влажность грунта, кг/кг.

В XX веке появилось большое количество работ, по исследованию задач с фазовыми превращениями. Исследованиями в данной области занимались как отечественные ученые, такие как А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Э.И. Гуйго, В.Б. Ржевская, О.А. Олейник, С.С. Ковнер, Л.С. Лейбензон, И.И. Данилюк и др., так и их зарубежные коллеги Р. Планк, Д.А. Тарзиа, К.В. Тернер, Д. Крэнк и др.

Начиная с 50-х годов прошлого века, большое распространение получили приближенные аналитические методы решения задачи Стефана. Такие как: метод последовательной смены стационарных состояний [24], методы степенных рядов [27], методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям [10], интегральный метод [23], метод малого параметра [28], и др.

Приближенный метод для решения задачи Стефана, предложенный в 1955 году академиком Л.С. Лейбензоном, [29-30] нашел широкое применение, и был использован в работах таких исследователей как С.С. Ковнер, А.Н. Тихонов, К.П. Венгер и др. [10, 31-32]. Суть метода заключается в том, что функция распределения температур, внутри каждой фазы задается согласно стационарному закону теплопроводности и граничным условиям. При подстановке в условие Стефана, такого распределения температур, получаем уравнение для нахождения границы фронта фазового перехода, в дифференциальной форме. Данное уравнение, как правило, достаточно легко решается относительно переменной, характеризующей положение свободной границе фронта. Лейбензоном был так же предложен еще один метод, учитывающий теплоемкости обеих фаз. Согласно этому методу так же предполагается принять стационарное распределение температур, однако, в отличие от предыдущего метода, подстановку этого температурного распределения следует осуществлять не в условие Стефана, а в уравнение теплового баланса [24].

В начале 50-х годов отечественными исследователями Тихоновым и Самарским был разработан принципиально новый подход к решению задачи Стефана. Главной идеей данного подхода стало введение понятия «эффективной» теплоемкости. Данное понятие включает в себя так же скрытую теплоту фазового перехода на границе раздела фаз. Вследствие этого стало возможным записать квазилинейное уравнение энергии, единое для всей области теплоносящей среды [33]. Энтальпийная форма записи уравнения энергии, опирающаяся на предложенную Тихоновым и Самарским идею, послужила отправной точкой целого ряда исследований как одномерных, так и многомерных задач Стефана [34-36].

В 70-е годы, отечественный исследователь Б.Я. Любов занимался решением задачи с подвижной границей, для случая затвердевания однокомпонентного вещества в большом объеме. В своей монографии [37] Б.Я Любов рассматривает влияние переохлаждения на процесс кристаллизации, а

так же анализирует допущения, принятые в классической постановки задачи Стефана. Решение, предложенное Б.Я. Любовым, считается одним из классических решений задач с фазовым превращением.

С развитием электронно-вычислительной техники большое распространение получили численные методы решения задач, в том числе и задач со свободной границей. На сегодняшний день в литературе встречается большое количество численных решений задачи Стефана. Для решения данных задач исследователями применяются различные математические методы. Имеющиеся в настоящее время численные методы можно условно разделить на неявные и явные.

К неявным методам относятся методы сквозного счета. К неявным, данный метод относится, из-за того что, отсутствует необходимости отслеживать положение границы фронта раздела фаз. При использовании данного подхода, для решения задачи Стефана, записывается единое уравнение для всей расчетной области, с разрывными коэффициентами на границе раздела фаз. В первые данный подход был применен в работах А.А Самарского и Б.М. Будака [38]. К методам сквозного счета относятся: метод функций уровня, метод фазового поля и др., поучившие, в последние годы, активное развитие [39-41].

Ко второй группе методов, относятся методы, в которых положение границы фронта фазового перехода определяется в явном виде. В их основе лежит идея применения метода конечных разностей. Наиболее распространенными среди этих методов являются: метод выпрямления фронтов [42], метод ловли фронта в узел сетки [43] и метод фиксированной сетки [44].

Однако при всех достоинствах численных методов решения задач, они обладают рядом недостатков. В первую очередь, при использовании численных методов крайне трудной задачей становится определение влияния отдельных параметров процесса (таких как, например, коэффициент теплопроводности льда А, коэффициент теплоотдачи от воды а, плотность льда р и т.д.) на общий результат. Говоря о точности получаемых результатов, не стоит забывать о том, что большинство численных методов, применяющихся при решении

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Угольникова, Мария Андреевна, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Накопление холода как способ энергосбережения и оптимизации энергопотребления // А.М. Архаров [и др.]. Вестник Международной академии холода. 2009. № 2. С. 12-19.

2. Бобков В.А. Производство и применение льда. М.: Пищевая промышленность. 1977. 232 с.

3. Войтковский К.Ф. Основы гляциологии. М.: Наука. 1999. 255 с.

4. Маэно Н. Наука о льде. пер. с яп. М.: Мир. 1988. 231 с.

5. Ефимченко В.С. Фазовые превращения в системе вода - водород при высоких давлениях. Диссертация кандидата физико-атематических наук. Черноголовка. 2008.

6. Уравнения для расчета p-v-t свойств высокобарных водяных льдов. // А.Н. Дунаева [и др.]. Электронный научно информационный журнал «Вестник Отделения наук о Земле РАН» №1(27) 2009.

7. Черепанов Г.П. Уравнение состояния при высоких давлениях: метод d-u-диаграмм // Черепанов Г.П., Закиров К.Р. Физическая мезомеханика. 2014. № 4. С. 13-28.

8. Пехович А.И. Основы гидроледотермики. Л.: Энергоатомиздат. 1982. 200 с.

9. Сазонов К.Е. Материаловедение. Свойства материалов. Методы испытаний. Лед и снег. СПб.: изд. РГГМУ. 2007. 195 с.

10. Маринюк Б.Т. Расчет теплообмена в аппаратах и системах низкотемпературной техники. М.: Машиностроение. 2015. 272 с.

11. Назинцев Ю.Л., Панов В.В. Фазовый состав и теплофизические характеристики морского льда. СПб.: Гидрометиоиздат. 2000. 83 с.

12. Сазонов К.Е. Исследование прочности льда на изгиб в северо-восточной части каспийского моря. // Сазонов К.Е., Добродеев А.А. Проблемы Арктики и Антарктики. № 3 (101). 2014. С. 62-68.

13. Каспийское море: экстремальные гидрологические события. / Болгов М.В., [и др.]. М.: Наука, 2007. 381 с.

14.Ащеулова А. С. Адиабатическое замораживание воды холодом гранул льда как задача Стефана. Диссертация кандидата физико математических наук. Кемерово. 2007. 190 с.

15. Крупина Н.А., Кубышкин Н.В. Прочность при изгибе дрейфующего ровного однолетнего морского льда в Баренцевом море // Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 2007. № 34 (318). C. 139-159.

16. Комплексные исследования процессов нарастания и механики разрушения льда естественного намерзания в большом ледовом бассейне ААНИИ. // Н.А. Крупина, Б.В.[ и др.]. Проблемы Арктики и Антарктики № 2 (79). 2008. С. 7-20.

17. Исследование прочности льда амурского залива // Беловицкий Е.М., [и др.]. Известия Дальневосточного федерального университета. Экономика и управление. № 2. 2008. С. 54-59.

18. Афанасьев В.П., Смирнов В.Н. Методика расчета полномасштабной прочности льда. / Актуальные проблемы современной науки. 2010. № 6 (56). С. 244-247.

19. Гольдштейн Р.В., Епифанов В.П. Адгезионная прочность гололедных отложений на элементах металлических конструкций // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. Т 12, № 4. 2012. С. 21-40.

20. Гольдштейн Р. В., Епифанов В.П. К изменению адгезии льда к другим материалам // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Механика. №2. 2011. С. 28-41.

21. Meuler A. J. Relationships between Water Wettability and Ice Adhesion // Meuler A. J., Smith J.D., Varanasi K.K., Mabry J.M., McKinley G.H., Cohen R.E. ACS Applied Materials Interfaces. American Chemical Society. 2010. Vol. 2 (11). P. 3100-3110.

22. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия Т 5. М.: Советская энциклопедия. 1977. 623 с.

23. Карташов Э. М., Кротов Г. С. Аналитическое решение однофазной задачи Стефана // Матем. моделирование. Т 20. № 3. 2008. С. 77-86.

24. Леонтьев Ю.В. Приближенные численно-аналитические методы решения задач теплопроводности с фазовыми переходами. Диссертация кандидата физико-математических наук. Киев. 1986. 139 с.

25. Васенин В.И. О задаче Стефана и расчетах затвердевания отливок // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. Т 14 №4(5). 2012. С. 1206-1211.

26. Данилюк И.И. О задаче Стефана // УМН. Т 40. № 5(245).1985. С. 133185.

27. Бажинов С.И. Моделирование тепловых режимов холодоаккумуляторов и водяных газификаторов, работающих в условиях намораживания водного льда, диссертация кандитата технических наук. Москва. 2001. 142 с.

28. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука. 1975. 224 с.

29.Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой иеханике. // Собр. тр. М.: Изд-во АН СССР. Т. З. 1955. С. 435-439.

30. Лейбензон Л.С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния. // Собр.тр. Изд-во АН СССР. Т.4. 1955. С. 317-359.

31. Математическая модель процесса намораживания льда на сферической поверхности применительно для аккумуляторов холода. // Лобанов И.Е. [и др.] Вестник Международной академии холода. 2013. № 4. С. 12-15.

32. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана). // Альманах современной науки и образования. № 12 (55). 2011. С. 50-53.

33.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики 6 изд. М.: Издательство МГУ. 1999. 799 с.

34. Лаевский Ю.М., Калинкин А.А., Двухтемпературная модель гидратосодержащей породы // Матем. моделирование. Т. 22 № 4. 2010. С. 23-31.

35. Моисеев К.В., Кузенов В.В. Численный анализ одномерной задачи Стефана при лазерном воздействии на металлические преграды // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2008. № 7. С. 39.

36. Тухлиев З.К. Моделирование фазовых переходов в материалах при облучении тяжелыми ионами высоких энергий // Математическое моделирование Т. 24 № 12. 2012. С. 60-64.

37. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука. 1975. 256 с.

38. Красношлык Н.А., Богатырёв А.О. Численное решение задач с подвижными межфазными границами. // Вестник Черкасского университета, Серия «Прикладная математика. Информатика». № 194. 2011. С. 16-31.

39. Об одной начально-краевой задаче теплопроводности в системе с фазовыми переходами. // Севастьянов Г.М. [и др.]. Математическое моделирование Т. 25 № 3. 2013 г. С. 119-133.

40. Протодьяконова Н.А. Математическое моделирование деформаций грунта при оттаивании с учетом фильтрационной консолидации. Автореферат диссертации кандидата физико-математических наук. Якутск. 2008. 15 с.

41. Буздов Б.К. Моделирование криодеструкции биологической ткани // Матем. моделирование. Т. 23 № 3. 2011 г. С. 27-37.

42. Селиванова Н. Ю., Шамолин М. В. Локальная разрешимость одной задачи со свободной границей // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. №8(89). 2011 г. С. 86-94.

43. Васильев В.И., Попов В.В.Численное решение задачи промерзания грунта // Матем. моделирование. Т. 20. № 7. 2008 г. С. 119-128.

44. Окулов Н.А. Об одном численном методе решения одномерных задач типа Стефана // Выч. мет. программирование. Т. 12. № 2. 2011. С. 238246.

45.Тахиров Ж.О., Тураев Р.Н. Нелокальная задача Стефана для квазилинейного параболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. № 3(28). 2012. С. 8-16.

46. Маринюк Б.Т. Вакуумно-испарительные холодильные установки, теплообменники и газификаторы техники низких температур. М.: Энергоатомиздат. 2003. 208 с.

47. Маринюк Б.Т. Теплообменные аппараты ТНТ: Конструктивные схемы и расчет. М.: Энергоатомиздат. 2009. 200 с.

48. Лавров Н.А. Многоуровневая система моделирования нестационарных и меняющихся режимов работы низкотемпературных установок. Диссертация доктора технических наук. Москва. 2013. 293 с.

49. Холодильные установки. 2-е издание, переработанное и дополненное./ Чумак И.Г. [и др.]. М.: Легкая и пищевая промышленность. 1981. 344 с.

50. Шамаров М.В.. Моделирование аккумулятора холода на базе тепловых труб. // Известия вузов. Пищевая технология. № 1. 2010. С. 80-82.

51. Медведев Д.А., Ершов А.П. Моделирование намерзания льда на подводной трубе газопровода // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. Т. 13, № 4. 2013. С. 96-101.

52. Маринюк Б.Т., Серенов И.И.. Технология замораживания водонасыщенных гранул сферической формы // Холодильная техника №12. 2015. С. 56-58.

53. Генералов М.Б. Основные процессы криохимической нанотехнологии. (Теория и методы расчета): учебное пособие. СПб.: ЦОП Профессия. 2010. 349 с.

54. Экологически чистые методы получения водного льда. // Маринюк Б.Т. [и др.]. «Холодильный бизнес», 2008. №2.

55. Ермолаев А.Е. Получение водного льда методом послойного намораживания в условиях вакуумирования. Диссертация кандидата технических наук. Москва 2008. 95 с.

56. Устройство для получения чешуйчатого льда: патент РФ № 2291360 / Функ Дитер. Публикация патента: 10.01.2007.

57. Льдогенератор: патент РФ № 2437038. / Ланцани Эммануэле. Публикация патента: 20.12.2011.

58. Способ генерирования льда: патента РФ № 2474772. / Коровкин С.В., Винокуров Н.П. Публикация патента: 10.02.2013.

59. Шамаров М.В. Моделирование аккумулятора холода на базе тепловых труб. Известия вузов. Пищевая технология. № 1, 2010. С. 80-82.

60. Генератор льда и способ генерирования льда: патент РФ № 2454616. / Коровкин С.В. Публикация патента: 27.06.2012

61. Сусликов Д.В. Получение мелкодисперсных частиц водного льда методом диспергирования в условиях вакуумирования Диссертация кандидата технических наук. Москва 2009. 120 с.

62. Экспериментальное и теоретическое изучение образования льда на вертикальной трубе // Пилипенко А.Ю. [и др.]. Холодильная техника №6. 2014. С. 42-47.

63. Тарасова Е.В. Системы кондиционирования воздуха с сезонными аккумуляторами естественного холода. Автореферат диссертации кандидата технических наук. Тюмень 2013. 21с.

64. Штым А.С., Тарасова Е.В. Использование снега и льда в качестве источника холодоснабжения. // Вологдинские чтения. № 70. 2008. С. 104105.

65. Система воздушного охлаждения помещений и оболочка для кусков льда теплоизолированной камеры для льда такой системы: патент №2411418. / Тарасова Е.В., Штым А.С., Королева Е.А., Кузьменко А.С., Румянцев Н.С. Публикация патента:10.02.2011.

66. Зверев С.С. Разработка технологии использования естественного холода для низкотемпературного консервирования молока и молочных продуктов. Диссертация кандидата технических наук. Якутск 2011. 160 с.

67. Коровин Г.С. Разработка и обоснование водооборотного льдоаккумулятора для молочно-товарных ферм. Диссертация кандидата технических наук. Оренбург 2015. 168 с.

68. Тюменцев А.В. Экологические проблемы балтийского моря. Геология и нефтегазоносность Западно-Сибирского мегабассейна // Материалы Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 100-летию Байбакова Николая Константиновича. Тюмень, 2011. С. 326-329.

69. Мосин О.В. Основные экологические проблемы Балтийского моря и пути их решения // Балтийский регион. №1. 2011. С. 41-53.

70. Седых Н.А. Проблемы спасения стран Балтики от воздействия боевых отравляющих веществ (химического оружия) фашистской Германии. // Общество среда развитее №2(23). 2012. С. 199-202.

71. Струев В.П., Малышев С.П. Проблемы обеспечения экологической безопасности арктических акватории, островов и прибрежных территорий. // Наука и безопасность. №2 (15). 2015. С. 63-74.

72. Приоритетные проекты программы реабилитации арктических морей от затопленных и затонувших ядерных и радиационно-опасных объектов и необходимость международного сотрудничества // Саркисов А.А. [и др.]. Арктика: экология и экономика №4(8). 2012. С. 4-15.

73. Методика обоснования выбора сложных технологических процессов на примере подъема затопленного объекта в Арктике // Краморенко А.В. [и др.]. Арктика: экология и экономика. № 1(9). 2013. С. 84-91.

74. Способ подъема затонувшего объекта: патент RU 2219094 / Ю.Г. Белостоцкий, А.М. Кошелев. 2003.

75. Способ подъема затонувшего объекта: патент RU 2192985 / Н.А. Седых 2002.

76. Устройство для подъема затонувшего судна: Патент RU 2058909 / Филин Н.В., Маринюк Б.Т., Ельчинов В.П., Брошко Ю.М. 1996.

77. Маринюк Б.Т., Угольникова М.А. Применение низкотемпературной технологии для подъема оболочковых объектов контейнерного типа со дна водных бассейнов // М.: Холодильная техника. №1. 2015 г. С. 47-50.

78. Криогенные технологии в нефтегазовых комплеках добычи и транспортировки углеводородного сырья // Руденко М.Ф. [и др.]. Нефть и газ №5. 2015. С. 91-100.

79. Высшая математика: учебник / Балдин К.В. [и др.]. М.: Флинта: НОУ ВПО «МПСИ», 2010. - 360 с.

80. Вайнберг А.М. Математическое моделирование процессов переноса. Решение нелинейных краевых задач. Москва-Иерусалим. 2009. 209 с.

81. Некоторые вопросы теории процесса намораживания льда в цилиндрических льдогенераторах // Волынец А. 3. [и др.]. Холодильная техника. №5. 1978. С. 37-40.

82. ОВЕН УКТ38 Устройство для измерения и контроля температуры. Руководство по эксплуатации. Москва. 2008. 76 с.

83. Общий физический практикум физического факультета МГУ. Погрешности эксперимента: Учебно-методическое пособие. / Ефимова А.И. [и др.]. М.: МГУ, Физический факультет. 2012. 39 с.

84. Гоц А.Н., Горнушкин Ю.Г. Погрешности измерений при экспериментальных исследованиях двигателей внутреннего сгорания: Учебное пособие. Владимир: Владим. гос. ун-т. 2003. 64 с.

85. Пустовалов Г.Е. Методическая разработка по общему физическому практикуму. Погрешности измерений. М.: МГУ, Физический факультет. 2001. 39 с.

86. Кулинченко В.Р. Справочник по теплообменным расчетам. Киев: Техника. 1990. 165 с.

87. Уонг Х. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров: Перевод с англ. Справочник. М.: Атомиздат. 1979. 216 с.

88. Холодильная техника. Кондиционирование воздуха. Свойства веществ: Справ./ Богданов С.Н. [и др.]. Под ред. С.Н. Богданов. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: СПбГАХПТ. 1999. 320 с.

89. Лавров Н.А. Моделирование процессов замораживания с сопряженным тепло- и массообменом. // Вестник Международной академии холода. № 4. 2000. С. 10-12.