Моделирование процессов переноса при создании и очистке трещины гидроразрыва тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Скобелева, Анастасия Александровна

• Скобелева, Анастасия Александровна
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Скобелева, Анастасия Александровна

Введение

1 Технология гидроразрыва пласта

1.1 История развития ГРП

1.2 Жидкости разрыва.

1.3 Проппанты.

2 Вопросы моделирования, связанные и процессом гидроразрыва

2.1 Реология вязкой жидкости.

2.1.1 Ньютоновская жидкость.

2.1.2 Пссвдопластичная жидкость.

2.1.3 Вязкость суспензии.

2.2 Оседание частицы в вязкой жидкости.

2.2.1 Скорость оседания частицы в неограниченном объеме ньютоновской жидкости.

2.2.2 Скорость оседания частицы в неограниченной псевдо-пластичпой жидкости

2.3 Оседание в суспензии: частицы одного вида.

2.3.1 Учет влияния концентрации проппанта на скорость оседания частиц.

2.3.2 Учет влияния стенок трещины на скорость оседания частиц.

2.4 Оседание в суспензии: частицы нескольких видов.

2.4.1 Оседание в суспензии: частицы двух видов при малой концентрации

2.4.2 Оседание в суспензии: частицы двух видов при большой концентрации

2.5 Выводы.

3 Моделирование очистки трещины гидроразрыва

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Начальные и граничные условия.

3.1.2 Течение вне трещины: аналитическое решение.

3.1.3 Окончательная постановка задачи.

3.1.4 Формулировка задачи в безразмерном виде.

3.2 Численное решение.

3.3 Верификация модели

3.3.1 Сравнение с билинейной моделью в Eclipse.

3.3.2 Сравнение с двумерной моделью в Eclipse.

3.4 Пример.

4 Моделирование течения суспензии в трещине

4.1 Постановка задачи.

4.1.1 Геометрия трещины.

4.1.2 Течение суспензии в вертикальной трещине.

4.1.3 Зона плотного слоя частиц.

4.1.4 Начальные и граничные условия.

4.1.5 Формулировка задачи в безразмерном виде.

4.1.6 Дополнительные соотношения

4.2 Численное решение.

4.2.1 Описание алгоритма.

4.2.2 Дискретизация расчетной области.

4.2.3 Численное решение уравнения неразрывности.

4.2.4 Вычисление скоростей частиц.

4.2.5 Численное решение уравнения переноса.

4.3 Результаты численного эксперимента.

4.3.1 Чувствительность к параметрам.

4.3.2 Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов переноса при создании и очистке трещины гидроразрыва»

Гидравлический разрыв пласта (ГРП) является эффективным методом повышения производительности скважин. Этот метод особенно актуален при разработке месторождений с трудноизвлекаемыми запасами нефти, например, таких как низкопроницаемые коллектора. Гидроразрыв пласта также активно применяется для повышения производительности скважин в срсдие-и высокопроницаемых породах.

С физической точки зрения, гидравлический разрыв пласта представляет собой механический метод воздействия на продуктивный пласт. Трещина гидроразрыва создается в пласте под действием жидкости, которую закачивают в скважину под большим давлением. Чтобы после снятия избыточного давления трещина ГРП пе сомкнулась обратно, ее заполняют твердым гранулярным материалом, называемым проппантом. Частицы пропнанта добавляются в жидкость разрыва и переносятся в виде суспензии по созданной трещине. В конечном итоге трещина гидроразрыва представляет собой узкий слой высокопроницаемого материала, пересекающий продуктивный пласт, и служит каналом, по которому пластовый флюид поступает в скважину. Таким образом, расширяется область пласта, дренируемая скважиной.

При моделировании гидроразрыва выделяют следующие задачи: о формирование трещины, в т.ч. механическая деформация породы под действием давления жидкости и напряжений в пласте, течение жидкости и распространение трещины; о перенос проппанта, т.е. течение суспензии в трещине; о закрытие трещины, т.е. формирование ее окончательной геометрии под действием сжимающих напряжений в пласте; о очистка созданной трещины от остаточной жидкости разрыва, т.е. вытеснение жидкости разрыва пластовым флюидом;

Важным элементом моделирования гидравлического разрыва пласта является описание процессов переноса проппанта и очистки трещины от остаточной жидкости разрыва. Несмотря на различную физическую природу, эти два процесса обладают рядом общих черт и описываются сходными математическими моделями. В обоих случаях происходит течение двухфазной системы внутри узкой трещины при наличии обмена одной из фаз через боковые поверхности трещины с пластом. Иными словами, сложная двумерная система "вложена" в сравнительно простую трехмерную систему. Описание подобных систем стандартными сеточными методами весьма трудоемко и потому неэффективно. Развиваемые в данной работе модели основаны на сочетании детального двумерного описания течения в трещине с приближенным описанием перетока между пластом и трещиной. На этой основе удается построить достаточно простые эффективные модели, отражающие основные черты явления.

Предмет и объект исследования. Объектом данного исследования являются природные нефте-/ или газоносные пласты, вскрываемые вертикальной трещиной гидроразрыва. Кроме того, объектом исследования также является непосредственно трещина гидроразрыва, как на стадии формирования, так и на стадии конечного "закрепленного" состояния. Предметом исследования являются гидродинамические процессы, возникающие при создании и очистке трещины гидроразрыва.

Целью работы является разработка методов расчета и последующее исследование процессов переноса, возникающих при создании и очистке трещины гидроразрыва.

Основные задачи исследования:

- разработка численной модели, описывающей очистку трещины гидроразрыва от остаточной жидкости разрыва;

- верификация упрощенной модели очистки трещины;

- разработка математической и численной модели, описывающей течение в вертикальной трещине гидроразрыва суспензии, состоящей из нескольких видов частиц;

- моделирование течений многокомпонентной суспензии в вертикальной трещине гидроразрыва.

Актуальность исследования. Практика гидроразрыва давно показала, что остаточная жидкость разрыва значительно уменьшает пропускную способность трещины. Немногочисленные количественные исследования обнаружили, что большая часть жидкости разрыва остается в трещине, несмотря на усилия но снижению вязкости остаточной жидкости с помощью химических добавок (см., напр, Cipolla и др., [38]; Vonciff и др., [107]; Pope и др., [88]; Willberg, [108]). Поэтому анализ процесса очистки трещины является необходимым элементом подготовки эффективного гидроразрыва.

Задача о переносе проппанта исследуется много лет, и современные промышленные пакеты программ для проектирования ГРП позволяют моделировать данный процесс. Однако, перенос проппапта в стандартных пакетах моделируется как пассивный процесс. В то же время, перспективным является активный, управляемый перенос проппанта в необходимые области тре-щииы. Рациональное распределение проппанта может обеспечить повышенную проводимость трещины. Одним из инструментов управляемого переноса проппанта может стать программированная закачка смеси частиц различного размера и (или) плотности. В связи с этим, возможность расчета переноса смеси проппаптов становится необходимым инструментом проектирования гидроразрыва.

Методика исследования. Основной метод исследования, рассмотренный в диссертации - численный. В процессе работы использовались известные алгоритмы расчета и компьютерные программы, написанные автором диссертации самостоятельно. Для написания компьютерных программ использовались языки программирования С++ и Фортран. Для сравнительных расчетов использовался программный продукт Eclipse фирмы Schlumberger.

Научная новизна результатов исследований состоит в следующем:

1. Проведен анализ применимости упрощенной одномерной модели очистки трещины гидроразрыва. Показано, что в случае высокой проводимости трещины прогнозы ее очистки, полученные с помощью упрощенной модели, согласуются с аналогичными результатами, полученными в рамках двумерной модели.

2. Усовершенствована математическая модель переноса проппанта в вертикальной трещине гидроразрыва. Полученная модель позволяет учитывать перетоки между пластом и трещиной в сочетании с течением в трещине суспензии, состоящей из нескольких видов частиц.

3. Проведен анализ математической модели переноса проппанта. Определены основные безразмерные параметры, характеризующие течение суспензии по трещине гидроразрыва.

4. Предложена двумерная численная модель переноса проппанта в вертикальной трещине гидроразрыва. В ходе численного эксперимента исследована чувствительность решения к безразмерным параметрам задачи

Практическая ценность результатов. Показано, что па базе упрощенной модели возможно быстрое численное решение задачи об очистке трещины гидроразрыва, которое может быть использовано на этапе проектирования трещины. Предлагаемая модель очистки трещины может быть использована при решении задачи оптимизации гидроразрыва пласта, с учетом стоимости использования различных химических добавок, их влияния на вязкость жидкости разрыва, последующую очистку трещины, и, как следствие, на суммарную добычу.

Обобщенная модель переноса частиц позволяет исследовать течение в вертикальной трещине гидроразрыва суспензии, состоящей из нескольких видов частиц. Моделирование течение такого рода суспензий в перспективе позволит проектировать гидроразрыв для создания трещин с желаемыми свойствами.

Результаты работы нашли практическое применение в ряде подразделений Технологической Компании Шлюмберже (см. Приложение 1).

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Фундаментальные пробламы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья" (Москва ГЕОС 2004 г.), на 6-ой научно-технической конференции "Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России", посвященной 75-летию Российского государственного университета нефти и газа им. И.М.Губкина (26-27 января 2005 г.), на международной конференции, состоявшейся в РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина в ноябре 2005 по инициативе кафедры ПМ и КМ, на 7-й научно-технической конференции и выставке "Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России" (29-30 января 2007, РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина), а также на семинарах по Прикладной механике сплошных сред в ИПМех РАН (Москва, 2003-2007)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, из них 4 в материалах научных конференций, одно учебное пособие и одна статья.

Анализ состояния проблемы и обзор предшествующих работ. Предыдущие исследования задачи об очистке трещины гидроразрыва включали в себя экспериментальные работы по вытеснению жидкости разрыва в упаковке проппанта (Pope [87]; Tidwell и Parker [104]). Также проводились исследования очистки трещины гидроразрыва на основе численного решения двумерной задачи о течении в однородном пласте, пересеченном трещиной гидроразрыва (Soliman и Hunt [99]; Montgomery и др. [78]; Voneiff и др. [106]). В рамках гидродинамической модели, представленной в данной работе, задача об однофазном течении пластового флюида в трещине решается аналитически, полученное решение используется при численном моделировании течения в трещине гидроразрыва. При этом считается, что вертикальная трещина гидроразрыва пересекает однородный углеводородный пласт. Работа проводилась совместно с В.М. Битовым, А.А. Максименко и Ф.Д. Турецкой. Результаты были доложены на конференциях (Ентов, В.М. и др., [6], [7]).

Ранние работы по изучению переноса проппанта включали в себя экспериментальные исследования образования осажденного слоя частиц (Kern и др., [67]; Babcock и др., [27]; Schols и Visser, [95]). В первых моделях переноса проппанта по трещине основное внимание уделялось процессу оседания частиц (Daneshy, [45]; Novotny, [83]; Clark и Quadir, [40]). Однако, в 1992 году вышла работа Cleary и Fonesca [43], в которой высказалось предположение, что основной вклад в течение суспензии в трещине гидроразрыва вносит перепад плотностей между суспензией и чистой жидкостью, которая первоначально заполняет трещину. За этой работой последовали численные и экспериментальные работы Clark и Zhu ([41], [42]), Pearson [86], Hammond [57] и Smith и ф.[98]. Было показано, что оседание суспензии определяется безразмерной константой, которая зависит от вязкости, ширины трещины, скорости закачки, а также плотностей частиц и жидкости. В работе Smith и ф.[98] также показана необходимость учета утечек жидкости в пласт сквозь боковую поверхность трещины.

Модель переноса проппанта в вертикальной трещине гидроразрыва, предложенная в данной работе, учитывает следующие явления:

1. Расслоение суспензии, вызванное оседанием /всплытием частиц в жидкости. Это явление учитывалось в предшествующих моделях переноса проппанта таких авторов, как Daneshy, А.А. [45], Novotny, [83], Clark и Quadir [40], Cleary и Fonseca [43], Hammond [57], Smith и ф.[98].

2. Свободная конвекция за счет неоднородности плотности суспензии в трещине. Данное явление учитывалась в работах Cleary и Fonseca [43], Clark и Zhu ([41], [42]), Hammond [57], Smith и ф.[98].

3. Утечки жидкости разрыва в пласт сквозь проницаемую поверхность трещины. Необходимость учета утечек в задаче о переносе проппанта была показано в работе Smith и ф.[98].

4. Формирование плотного слоя частиц на границах трещины.

Краткое описание структуры диссертационной работы. В работе исследуются гидродинамические задачи, возникающие при гидроразрыве пласта. В первой главе описывается процедура гидроразрыва пласта, дается краткий экскурс в историю развития данной технологии за рубежом и в отечественной практике. Описывается специфика выбора жидкостей разрыва и проппанта. Дается представление о разновидностях технологии гидравлического разрыва пласта, таких как последовательная закачка различных проппантов, а также технология сдерживания роста трещины в высоту.

Во второй главе излагаются основные понятия реологии, приводится обзор исследований оседания частиц в жидкости, начиная со случая одной частицы и заканчивая высококонцентрированными и сложными суспензиями, состоящими из частиц разных видов, приводятся имеющиеся данные по влиянию стеиок и стесненному осаждению, а также влиянию неньютоновских эффектов.

В третьей главе формулируется и исследуется задача об очистке трещины гидроразрыва, с использованием аналитического решения для течения в пласте. Эта модель была впервые предложена В.М. Ентовым в 2003 г. Верификация полу-аналитической одномерной модели проводится путем сопоставления с решением численной двумерной модели. На основе использования полу-аналитической одномерной модели исследуется очистка длинной трещины в газовом пласте.

В четвертой главе формулируется и исследуется задача о течении суспензии в вертикальной трещине гидроразрыва. На основании численных экспериментов проводится анализ чувствительности задачи к безразмерным переменным, которые определяются дополнительными соотношениями либо являются входными данными. В качестве примера моделируется задача переноса проппанта при использовании технологии блокирования роста трещины в высоту.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Скобелева, Анастасия Александровна

Заключение

1. Проведена верификация иолу-апалитической одномерной модели путем сопоставления с решением численной двумерной модели. Показано, что в случае высокой проводимости трещины прогнозы ее очистки, полученные с помощью одномерной модели, согласуются с аналогичными результатами, полученными в рамках двумерной модели.

2. Разработанная полу-аналитическая модель может быть использована как численный инструмент для исследования задачи очистки трещины на стадии планирования работ по ГРП

3. Гидродинамическая модель течения суспензии в вертикальной трещине гидроразрыва обобщена на случай N видов частиц

4. Выполнена численная реализация модели течения суспензии, состоящей из нескольких видов частиц, по вертикальной трещине гидроразрыва.

5. Показано, что решение задачи о переносе частиц но трещине определяется параметрами B\i = 1.N. Параметры B\i = 1.N определяются выбором вязкости жидкости разрыва, плотностей частиц и жидкости, закачиваемой концентрации, а также скоростью закачки.

6. Показано, что решение задачи о переносе частиц по трещине устойчиво к ошибкам в определении эффективной вязкости суспензии

Положения, выносимые на защиту

1. Положения упрощенной модели очистки трещины гидроразрыва.

2. Подход к моделированию течения суспензии, состоящей из нескольких видов частиц, в вертикальной трещине гидроразрыва.

3. Вывод безразмерных параметров задачи течения суспензии по трещине гидроразрыва.

4. Методика оценки, алгоритмы и программы для расчета переноса проппанта, с учетом перетоков между пластом и трещиной в сочетании с течением в трещине суспензии, состоящей из нескольких видов частиц.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность в первую очередь своему научному руководителю проф. д.т.н. В.М. Ентову, оказавшему большое влияние на выбор тематики исследований, за внимательное отношение к данной работе, заведующему кафедрой ПМ и КМ РГУНГ им. И.М. Губкина проф. д.т.н. М.Г. Сухареву и преподавателям кафедры ПМ и КМ за квалифицированные советы. Автор благодарен Е.В. Гливенко, А.А. Максименко, Ф.Д. Турецкой, А.К. Козловой, А.Т. Хусейнову, в соавторстве с которыми был получен ряд научных результатов. Хочется поблагодарить М. Thiercelin, Е.А. Борисову, М.А. Чертова, а также остальных коллег из компании Шлюмберже, оказавшим поддержку ценными замечаниями в ходе дискуссий.

Скобелева А.А.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Скобелева, Анастасия Александровна, 2007 год

1. Барснблатт Г.И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва нефтеносного пласта. / ПММ, 1956, 20, вып. 4, -с. 475-486

2. Барснблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. / -М.:Недра, 1984, -с. 416

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. / -М.:Наука1987, -с. 600

4. Гливенко Е.В., Козлова А.К., Скобелева А.А., Хусейнов А.Т. Параллельные алгоритмы геометрической интерпретации в задачах математического моделирования. / Вопросы радиоэлектроники. Серия ЭВТ. 2007, Выпуск 3, -с. 30-32

5. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. / Мат. сборник 1959, 47 (89), № 3, -с. 271-306.

6. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта. / Изв. АН СССР. ОТН. 1955, 5, -с. 3-41

7. Желтов Ю.П. Деформации горных пород./ -М.: Недра, 1966, -с. 198

8. Каневская Р.Д. Зарубежный и отечественный опыт применения гидроразрыва пласта. / -М.: ВНИИОЭНГ, 1998, -с. 40

9. Кривоносов И.В., Чарный И.А. Расчет дебитов скважин с трещиноватой призабойной зоной пласта. / Нефт. хоз-во, 1955, 7, -с. 40-47

10. Куранов И.Ф., Шехтман Ю.М. Определение дебита скважины при наличии горизонтальной трещины с заполнителем. / Нефт. хоз-во, 1961, 9, -с. 37-39

11. Логинов Б.Г., Блажевич В.А. Гидравлический разрыв пластов. / -М.: Недра, 1966 -с. 148

12. Максимович Г.К. Гидравлический разрыв нефтяных пластов. / -М.: Го-стоптехиздат, 1961 -с. 98

13. Муравьев И.М., Го Шап-Пин. Об эффективности проведения массового гидравлического разрыва пласта. / Нефт. хоз-во, 1958, 4, -с. 39-44

14. Николаевский В.Н. Применение гидравлического разрыва пласта на месторождении Умбаки. / Нефт. хоз-во, 1958, 4, -с. 50-53

15. Пискунов Н.С.: Разрыв пласта и влияние разрыва на процесс эксплуатации месторождений. / Тр. ВНИИ -М.: Гостоптехиздат, 1958 17, -с. 3-24

16. Усачев П.М. Гидравлический разрыв пласта. / -М.: Недра, 1986.

17. Христианович С.А., Желтов Ю.П., Баренблатт Г.И. О механизме гидравлического разрыва пласта. / Нефтяное хозяйство 1957, 1, -с. 44-53

18. Щуров В.И., Трубина А.Ф. Решение при помощи метода электролитического моделирования задачи о притоке жидкости к скважине при наличии трещины в пласте. / Тр. ВНИИ -М.: Гостоптехиздат, 1958, 17, -с. 86-105

19. Adachi J., Siebrits Е., Peirce A., Desroches J. Computer simulation of hydraulic fractures. / Int. J. of Rock Mech. & Mining Sci.s 44,2007, pp. 739-757

20. Balakrishna M. Murthy M.S., Kuloor N.R. Sedimentation of fine particles in non-Newtonian fluids. / Ind. Chem. Eng. 13, 11, 1971, pp. 12-17

21. Babcock R.E., Prokop C.L., Kehle R.O. Distribution of propping agents in vertical Fractures. / Paper 851-41-A presented at the 1967 Spring meeting of the mid-continent district, Division of production, API, Oklahoma city, 1967, March 30-31.

22. Barnea A., Mizrahi J. A generalized approach to the fluid dynamics of particulate systems: part I. General correction for fluidization and sedimentation in solid multiparticle systems. / Chem. Eng. J. 5, 1973, pp. 171189

23. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory. / J. Fluid Mech, bf 119, 1982, pp. 379

24. Batchelor G.K. Janse Van Rensburg R.W. Structure formation in bidisperse sedimentation. / J. Fluid Mech. 166, 1986, pp. 379-407

25. Biesheuvel P.M., Verweij H., Breedveld V. Evaluation of instability criterion for bidisperse sedimentation. / AIChE J., 47, №1, 2001, pp. 45-52

26. Braunlich F.H. Controlling fractures during well treatment. / U.S. Patent 3335797 (Aug. 15, 1967).

27. Caswell B. The effect of finite boundaries on the motion of particle in non-Newtonian fluids. / Chem. Eng. Sci. 25, 1970, pp. 1167-1176

28. Chhabra R.P., Tiu С., Uhlherr P.H.T. Wall effect for sphere motion in inelastic non-Newtonian fluids. / Proc. 6th Australian Hydraulics and Fluid Mech. Conf., Adeliade, 1977, pp. 435-438

29. Chhabra R.P., Uhlherr P.H.T. Wall effect for high Reynolds number motion of spheres in shear-thinning fluids. / Chem. Eng. Commun. 5, 1980, pp. 115-124

30. Cinco-Ley H., Samaniego V.F., Dominguez N. Transient pressure behavior for a well with a finite-conductivity vertical fracture. / Paper SPE 6014, 1976

31. Cinco-Ley H., Samaniego V.F. Transient pressure analysis for fractured wells. / Paper SPE 7490, 1978

32. Cipolla C.L., Meehan D.N., Stevems P.L. Hydraulic fracturing perfomance in the Moxa Arch Frontier formations. / SPE Prod, and Fac., Vol. 11, №4, 1996, pp. 216-222

33. Clark J.R.A. Hydraulic process for increasing productivity of wells./ Trans. AIME, 186, 1949, pp. 1-8

34. Clark P.E., Quadir J.A. Prop transport in hydraulic fractures: A critical review of particle settling velocity equations. / Paper SPE 9866 presented at the 1981 SPE/DOE Low Permeability Symposium, Denver, Colorado, 1981, May 27-29

35. Clark P.E., Zhu Q. Fluid flow in vertical fractures from a point source. / Paper SPE 28509 presented at the SPE 69th Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans, Louisiana, 1994, September 25-28

36. Clark P.E., Zhu Q. Convective transport of propping agents during hydraulic fracturing. / Paper SPE 37358 presented at the 1996 SPE Eastern Regional Meeting, Columbus, Ohio, 1996, October 23-25

37. Clift R., Crace J.R., Weber M. E. Bubbles, drops and particles. /Academic Press, N. Y., 1978

38. Daneshy A.A. Numerical solution of sand transport in hydraulic fracturing. / paper SPE 5636 presented at SPE-AIME 50th Annual Fall Technical Conference and Exhibition, Dallas, 1975, September 28-October 1

39. Economides M.J., Noltc K.G.Reservoir stimulation. / Prentice Hall, Eglewood Cliffs, New Jersey 1985, pp. 430

40. Einstein A. A new method of determining molecular dimensions / Ann. Physic. Leipzig 19, 1906, pp. 289-306

41. Fessas Y.P. Weiland R.H. Convective solids settling induced by a buoyant phase. / AIChE J., 4, 1981, pp. 588-591

42. Fessas Y.P. Weiland R.H. Convective solids settling induced by a buoyant phase a new method for the acceleration of thickening. / Resour. Conserv., 9, 1982, pp. 87-93

43. Fessas Y.P. Weiland R.H. The settling of suspensions promoted by rigid buoyant particles. / Int. J. Multiphase flow , 10, №4, 1984, pp. 485-507

44. Fidleris V., Whitmorc R.L. Experimental determination of the wall effect for spheres falling axially in cylindrical vessels. / Brit. J. Appl. Phys. 12, 1961, pp. 490-494

45. Francis A.W. Wall effect in the falling-ball method for viscosity. / Physics 4, 1933, pp. 403-406

46. Garside J., Al-Dibouni M.R. Velocity-voidage relationship for fluidization and sedimentation in solid-liquid systems. / Ing. Eng. Chem. Proc. Des. Dev. 16, 1977, pp. 206-214

47. Govier G.W., Aziz, K. The flow of complex mixtures in pipes. / Krieger Publishing, 1972

48. Grebe J.J., Stoesser M. Increasing crude production 20,000,000 bbl. from established fields./ World Petrolium J, 1935, pp. 473-482

49. Guilot D., Dunand A. Rheological characterization of fracturing fluids using laser anemometry. / SPE 12030, Soc. Pet. Eng. J., 1985, Feb. pp. 39-45

50. Hammond P.S. Settling and slumping in Newtonian slurry and implications for proppant placement during hydraulic fracturing of gas wells./ Chem. Eng. Sci., 50, 1995, pp. 3247-3260

51. Happel J., BrennerH. Low Reynolds number hydrodynamics. / Prentice-Hall inc., Englewood Cliffs, N.J. 1965

52. Harten A. High resolution schemes for conservation laws. / J. Comput. Phys. 49 1983, pp. 357-393

53. Hawkley P.G.W. The effect of concentration on the settling of suspensions and flow through porous media. / Some Aspects of Fluid Flow, Edward Arnold, London, 1951, pp. 114-135

54. Hickey J.W., Brown W.E., Cittenden S.J. The comparative effectiveness of propping aggents in the Red Fork Formation of the Anadarko Basin. / Paper SPE 10132, 1981.

55. Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows. Volume 2: Computational methods for inviscid and viscous flows. / J.Wiley&Sons, New York, 1990

56. Howard G.C., Fast C.R. Hydraulic fracturing / SPE monograph series Vol.2 1970, pp. 203

57. Howwell J.C., Thomas B.D.: Evaluation of injection well stimulation as applied to a large miccelar-polymer project. / Paper SPE 7180, 1978

58. Hubbert M.K., Willis D.G.Mechanics of hydrualic fracturing. / Trans. AIME, 210, 1957, pp. 153-168

59. Kawase Y. Ulbrecht J.J. Sedimentation of particles in non-Newtonian fluids. / Chem. Eng. Commun. 13, 1981, pp. 55-64

60. Kern L.R., Perkins Т.К., Wyant R.E. The mechanics of sand movement in fracturing. / Trans., AIME 216, 1959, pp. 403-405

61. Law J.H. S., Masliyah J.H., MacTaggart R.S., Nandakumar K. Gravity separation of bidisperse suspensions: light and heavy particle species. / Chem. Eng. Sci, 42, №7, 1987, pp. 1527-1538

62. Lax P.D., Wendorff B. Systems of conservation laws. / Comm. Pure Appl. Math 13 1960, pp. 217-237

63. Lockett M.J., Al-Habbooby H.M. Differential settling by size of two particle species in a liquid. / Trans. Instn Chem. Engrs 51, 1973, pp. 281-292

64. Mader D.Hydrualic proppant fracturing and gravel packing. Development in petroleum science. / Elsevier Science Publishers, 26, 1989, pp. 1240

65. Masliyah J.H.Hindered settling in a multi-species particle system./ Chem. Eng. Sci., 34, 1979, pp. 1166-1168

66. Maude A.D., Whitmore R.L. A generalized theory of sedimentation. / Brit. J. Appl. Phys. 9, 1958, pp. 477-482

67. McDaniel R.R., Willingam J.R. The effect of various proppant and proppant mixtures on fracture permeability. / Paper SPE 7573, 1978

68. Meyer B.R. Generalized drag coefficient applicable for all flow regimes. /Oil and Gas Journal, 1986, May, pp. 71-77

69. Mezger T. The rhcology handbook: for users of rotational and oscillatory rheometers. / Hannover: Vincentz Verlag, 2002

70. Misra S., Richardson J.F. Sedimentation of the suspensions of particles of two or more sizes. / Chem. Eng. Sci. 34, 1979, pp. 447-454

71. Montgomery K.T, Holditch S.A., Bcrthelot J.M. Effects of fracture fluid invasion on cleanup behavior and pressure buildup analysis. / Paper SPE 20643, 1990

72. Morales R., Fragachan F.E., Prado E., Santilian J. Production optimization by an artificial control of fracture height growth. / Paper SPE 38150, 1997

73. Mukherjee H., Paoli B.F., McDonald Т., Cartaya H., Anderson J.A. Successful control of fracture height growth by placement of artificial barrier. / Paper SPE 25917, 1994

74. Munroe H.S. / Trans. AIME 17, 1888, p. 637

75. Nguyen H.X., Larson D.B. Fracture height containment by creating an artifitial barrier with a new additive. /Paper SPE 12061, 1983

76. Novotny E.J. Proppant transport. / Paper SPE 6813 presented at the 1977 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Denver, Colorado, 1977, October 9-12

77. Numerical recipes in C: the art of scientific computing (ISBN 0-521-43108-5)

78. Patwardhan V.S., Tien С. Sedimentation and liquid fluidization of solid particles of different sizes and densities. / Chem. Eng. Sci. 40, №7, 1985, pp. 1051-1060

79. Pearson J.R.A. On suspension transport in a fracture: framework for a global model./ J. Non-Newtonian Fluid Mech., 54, 1957, pp. 503-513

80. Pope D.S., Leung L.K., Gulbis J., Constien V.G. Effects of viscous fingering on fracture conductivity, / Paper SPE 28511, 1994

81. Pope D.S., Britt L., Constien V.G., Anderson A. Leung L.K. Field study of guar removal from hydraulic fractures. / Paper SPE 31094, 1996

82. Prater R.R. Hydraulic Fracturing, U.S. Patent 3372752 (March 12, 1968)

83. Richardson J.F., Zaki W.N. Sedimentation and fluidization: Part I. / Trans. Inst. Chem. Eng., 32, 1954, pp. 35-53

84. Robinson C.S. Some factors influencing sedimentation, / Ind. Eng. Chem. 18, 1926, pp. 869-871

85. Roc P.L. Some contributions to the modelling of discontinuous flows. / Lecture, AMS-SIAM summer seminar on large scale computations in fluis mechanics, Amer. Math. Soc. Providence, 1985

86. Roscoe R. The viscosity of suspensions of rigid spheres. / Brit. J. Appl. Phys. 3, 1952, p. 267

87. Scheidegger A.E. The physics of flow through porous media. / University of Toronto Press, 3rd ed., Toronto, 1974, p. 353

88. Schols R.S., Visser W. Proppant bank buildup in a vertical fracture without fluid loss. / Paper SPE 4834 presented at the SPE-AIME European Spring Meeting, Amsterdam, 1974, May 29-30

89. Slattery J.C., Bird R.B. Non-Newtonian flow past a sphere. / Chem. Eng. Sci. bf 16, 1961, pp. 231-241

90. Soliman M.Y., Hunt J.L. Effect of fracturing fluid and its cleanup on well performance. / Paper SPE 14514, 1985

91. Steinour H.H. Rate of sedimentation: Nonflocculated uniform spheres. / Ind. Eng. Chem. 36, 1944, pp. 618-624

92. Sutterby J.L. Falling sphere viscometry. I. Wall and integral corrections to the Stokes law in long tubes. / Trans. Soc. Rheol. 17, 1973, pp. 559-573

93. Sweby P.K. High resolution TVD schemes using flux limiters. / Lectures in applied mathematics 22 1985, pp. 289-309

94. Thomas D.G. Transport characteristics of suspensions: VIII. A note on viscosity of Newtonian suspensions of uniform spherical particles. / J. Colloid. Sci. 20, 1965, pp. 267-277

95. Tidwell V., Parker M. Laboratory imaging of stimulation fluid displacement from hydraulic fractures. / Paper SPE 36491, 1996

96. Veatch R.W., Moschovidis Z.A., Fast C.R. An overview of hedraulic fracturing. / В монографии под ред. Gidley, Holditch, Nierode, Veatch Recent advances in hydraulic fracturing, 12, Richardson: Society of Petrolium Ingineers, 1989, pp. 1-38

97. Voneiff G.W., Robinson B.M., Holditch S.A. The effects of unbroken fracture fluid on gas well perfomance. / Paper SPE 26664, 1994

98. Voneiff G.W., Robinson B.M., Holditch S.A. The effects of unbroken fracture fluid on gas well perfomance. / SPE Prod, and Fac., Vol. 11, №4, 1996, pp. 223229

99. Willberg D.M., Card R.J., Britt L.K., Samuel M., England K.W., Cawiezel K.E., Krus H. Determination of the effect of formation water on fracture fluid cleanup through field testing in East Texas cotton valley. / Paper SPE 38620, 1997

100. Weiland R.H., McPherson R.R. Accelerated settling by adding of buoyant particles. / Ind. Eng. Chem. Fundam. 18, №1, 1979, pp. 45-49

101. Weiland R.H., Fessas Y.P., Ramarao B.V. On instabilities arising during sedimentation of two-component mixtures of solids. / J. Fluid Mech. 142, 1984, pp. 383-389

102. Whitmore R.L. The sedimentation of suspensions of spheres. / Brit. J. Appl. Phys. 6, 1955, pp. 239-245