Моделирование процессов перемагничивания наносистем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Москаленко Мария Александровна

• Москаленко Мария Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Москаленко Мария Александровна

Введение

1 Микромагнитное моделирование

1.1 Полная энергия и параметры магнитных взаимодействий

1.2 Обменное взаимодействие

1.3 Энергия магнитокристаллической анизотропии

1.4 Энергия Дзялошинского-Мории

1.5 Зеемановская энергия

1.6 Магнитостатическая энергия

1.6.1 Поле размагничивания как сумма дипольных взаимодействий

1.6.2 Магнитный скалярный потенциал

1.7 Минимизация полной энергии магнитной системы

1.8 Энергия магнетика в дискретная модели

1.9 Киральные состояния в размагничивающем поле

2 Перемагничивание слоистых наносистем, состоящих из различных магнитных материалов во внешнем поле

2.1 Спиновые пружины: структуры и модели

2.2 Трехслойные спиновые пружины

2.3 Ферримагнитная спиновая пружина

3 Температурные флуктуации и процессы перемагничивания

3.1 Теория переходного состояния для магнитных степеней свободы

3.2 Метод подталкивания упругой лентой (ПУЛ)

3.3 Зависимость параметров перемагничивания модели от температуры

3.4 Расчет частоты магнитных переходов

3.5 Расчет предэкспоненциального фактора

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов перемагничивания наносистем»

Введение

Актуальность темы. Развитие современных технологий магнитной памяти, создание новых элементов, обеспечивающих сверхплотную, быструю и энергоэффективную запись информации [1] ставит задачи как в области теоретического описания искусственных магнитных материалов, так и разработке компьютерных программ, позволяющих моделировать процессы, происходящие в магнитных системах под воздействием внешних электромагнитных полей и спин-поляризованных токов [2].

Последние достижения в этой области связаны с переходом на наномас-штаб, когда размер магнитных элементов составляет несколько постоянных кристаллической решетки, а процессы магнитных переходов рассматриваются с атомным разрешением. Хотя такие системы могут состоять всего из нескольких десятков-сотен магнитных атомов, их поведение оказывается гораздо более сложным, чем поведение макроскопических магнитоупорядоченных структур. Характерным здесь является неколлинеарное упорядочение отдельных магнитных моментов, являющееся скорее правилом, чем исключением; необходимость учета нарушения симметрии, обусловленное наличием поверхностей и интерфейсов; проявление новых фундаментальных взаимодействий, которые качественно меняют магнитные свойства и характеристики всей системы.

Одной из ключевых проблем, особенно важной для практического использования магнитных наноструктур, является расчет характеристик, связанных с устойчивостью магнитных состояний относительно тепловых флуктуаций и

случайных внешних воздействий. Поэтому исследование устойчивости магнитных микро- и наноразмерных систем относительно активационных переходов, вызванных неконтролируемым взаимодействием с тепловым резервуаром и моделирование поведения магнитной структуры при конечных температурах является актуальной задачей.

Цель работы заключается в разработке теоретического подхода для описания процессов перемагничивания наносистем, анализа их устойчивости, разработке алгоритмов и программ, позволяющих рассчитывать времена жизни магнитных состояний при произвольных температурах, проведение компьютерного моделирования и численных расчетов с дальнейшим использованием развитой теории и результатов расчетов для объяснения и интерпретации экспериментальных данных по перемагничиванию конкретных систем, использующихся в современной спинтронике: тонких магнитных пленок, магнитных пружин, фер-римагнитных материалов.

Исследование свойств новых магнитных материалов на нано и микро -масштабах представляет собой бурно развивающуюся область магнетизма [3, 4]. Здесь создаются искусственные материалы, обладающие уникальными магнитными свойствами, разрабатываются новые механизмы, ответственные за магнитные переходы [5, 6], причем каждая новая структура требует анализа и аккуратной интерпретации имеющихся экспериментальных данных [7, 8, 9, 10]. Разработанная теория, оригинальные алгоритмы и программы, расчеты, выполненные для объяснения таких экспериментов в рамках настоящей работы, являются новыми результатами, соответствующими последним достижениям в области низкоразмерного магнетизма. Впервые, на основе теории переходного состояния объяснена температурная зависимость поля, приводящего к перемагничиванию жесткого магнетика в спиновой пружине, и рассчитано соответствующее изменение формы петли магнитного гистерезиса. Выполненный

анализ магнитных свойств гетероструктур позволил предложить новый метод управления эффективным магнитным обменным взаимодействием в муль-тислойных металлических магнитных системах. Положения, выносимые на защиту:

1. Расчеты и количественные оценки времен жизни магнитных состояний, выполненные в рамках теории переходного состояния, позволяют предсказать температурную зависимость микромагнитных параметров и дают наиболее вероятные сценарии магнитных трансформаций нано и микромагнитных систем.

2. Температурное изменение формы петли гистерезиса и величины магнитного поля, соответствующего необратимому перемагничиванию жесткого магнетика в спиновых пружинах объясняются и количественно описываются на основе статистического подхода без введения явной зависимости параметров микромагнитного моделирования от температуры.

3. Теоретически показано, что в гетероструктурах возможно управление обменным межслойным взаимодействием путем напыления магнитной прослойки из материала с отличающимися микромагнитными параметрами. Разработанные программы математического моделирования петель магнитного гистерезиса дают возможность выбора оптимальных параметров таких систем.

4. Расчеты полей размагничивания, выполненныес на основе разработанных алгоритмов, объясняют зависимость размера и формы топологических магнитных структур в квазидвумерных магнитных материалах от эффективной намагниченности насыщения магнитного материала.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется на-

бором использованных современных теоретических и расчетных методов, имеющих широкую апробацию в научной литературе, проведенными тестовыми расчетами модельных систем с помощью разработанных программ и алгоритмов, возможностью объяснения экспериментов на основе проведенных расчетов. Развитый в диссертации статистический подход к исследованию активационных магнитных переходов получен путем обобщения теории переходного состояния, которая является хорошо развитым методом описания химических реакций и процессов диффузии. Справедливость теории для магнитных степеней свободы, в рамках границ ее применимости, основана на использовании фундаментальных законов магнетизма и статистической физики [11, 12, 13]. Разработанные методы применялись при расчетах магнитных состояний реальных наноструктур, причем было достигнуто хорошее количественное согласие с результатами экспериментов.

Магнитные переходы, индуцированные тепловыми флуктуациями, экспериментально наблюдались в различных системах на разных пространственных масштабах. Несмотря на разнообразие систем, изучаемых экспериментально, эти процессы, как правило, подчиняются одним и тем же закономерностям: во всех системах имеется два или более устойчивых магнитных состояния, которые характеризуются различной пространственной ориентацией магнитных моментов, а переходы между состояниями описываются законом Аррениуса с разным значением активационного барьера [14, 15, 16, 17, 18, 19] и предэкспонинциаль-ного фактора. Вычисление параметров, входящих в закон Аррениуса [20, 21], их зависимости от размеров системы, конфигурации магнитных моментов, магнитных взаимодействий между спинами, остается, однако, открытой проблемой.

В принципе активационные переходы, возникающие за счет взаимодействия магнитной системы с тепловым резервуаром, можно исследовать путем прямого моделирования динамики магнитной системы при конечной температуре на

основе стохастических уравнений движения и подсчета количества траекторий, начинающихся в одном устойчивом состоянии и заканчивающихся в другом. Однако, характерное время между переходами от одного метастабильного состояния к другому оказывается на 10-12 порядков больше характерного времени осцилляций моментов около положения равновесия [22, 23, 24]. Поэтому на временном масштабе периода этих осцилляций переход между различными состояниями является чрезвычайно редким событием, и стандартное моделирование таких процессов на этих временах не представляется возможным.

Тем не менее, именно разделение временных масштабов осцилляций отдельных магнитных моментов около положения равновесия и собственно скачков между метастабильными состояниями всей системы дает возможность применить статистический подход, позволяющий исключить "быструю" динамику из прямого рассмотрения. Такой подход был предложен для оценки среднего времени жизни реагентов в химических реакциях и получил название теории переходного состояния (ТПС) [25].

Теория предполагает построение многомерной энергетической поверхности системы, как функции параметров, однозначно определяющих магнитную конфигурацию системы (например углов, задающих направление каждого магнитного момента), определение минимумов на энергетической поверхности, которые соответствуют локально устойчивым состояниям и поиск путей с минимальным перепадом энергии (ПМПЭ) между этими минимумами. Тогда максимум вдоль ПМПЭ позволяет найти энергию активации для магнитного перехода, а сам путь определяет наиболее вероятный сценарий перехода. Разработанный теоретический подход включает программы для поиска ПМПЭ для энергетических поверхностей размерностью несколько сотен и вычисления предэкс-поненциального фактора в законе Аррениуса в гармоническом приближении, когда форма энергетической поверхности вблизи минимума и в седловой точ-

ке, соответствующей переходному состоянию, аппроксимируется квадратичной функцией по всем переменным. Развитые алгоритмы и программы использовались далее для расчетов конкретных магнитных систем.

Обычно при изучении свойств топологических магнитных структур используется гамильтониан Гейзенберговского типа, который включает в себя обменное взаимодействие, анизотропию, взаимодействие с внешним магнитным полем и взаимодействие Дзялошинского-Мория (ДМИ) [26] Все эти взаимодействия являются близкодействующими, и быстро затухают с расстоянием. Такая модель способна описать, например, небольшие скирмионы (Sk), формирующиеся в тонких пленках PdFe на поверхности Ir (111), наблюдаемое экспериментально [27]. Эти скирмионы стабильны только при очень низких температурах (порядка 10K). При комнатной температуре устойчивые наноразмерные Sk формируются в ферримагнетиках. В ферромагнитных материалах такие структуры, как правило, имеют больший размер, и для описания их поведения необходимо учитывать кроме магнитного поля, диполь-дипольное взаимодействие, которое приводит к появлению так называемых полей размагничивания. В первом приближении это взаимодействие может быть учтено путем перенормировки параметров анизотропии [28]. Однако, для описания топологических структур микронного размера [29], и особенно трехмерных магнитных систем [30, 31] необходимы более точные расчеты энергии, связанной с размагничивающими полями. Существует точка зрения, что устойчивость Sk с размером 100 нм и более всегда определяется диполь-дипольным взаимодействием [32].

Таким образом, если стоит задача создания небольшого по размерам, но стабильного Sk, который в будущем можно использовать, как элемент компьютерной памяти, возникает необходимость уметь аккуратно оценивать вклад полей размагничивания в энергетические характеристики, определяющие устойчивость магнитных состояний. Разработка методов управления дипольным вза-

имодействием в магнитных микро- и наноструктурах, и теоретическая оценка его вклада в энергию очень важна для практических приложений, так как позволяет контролировать размер и стабильность топологических систем [33, 34].

Время жизни топологических состояний системы без дальнодействующего дипольного взаимодействия при произвольной температуре может быть оценено с использованием стандартного подхода ТПС. Это было сделано для Sk в антиферромагнетика(ЛР) [35] и для Sk малых размеров в ферромагнетике (FM)[36]. Подобные расчеты для FM-микромагнитных структур представляют собой сложную задачу из-за большого количества степеней свободы и необходимости правильно учитывать диполь-дипольное взаимодействие. В работе [37] были разработаны эффективные методы для поиска седловых точек первого рода на многомерных энергетических поверхностях магнитных систем и определения энергии активации для перехода Sk состояния в FM в системах, состоящих из большого количества магнитных моментов. Эти методы хорошо работают для структур с локальными короткодействующими взаимодействиями. Но даже расчет энергетической поверхности для системы с учетом вклада от диполь-дипольного взаимодействия и полей размагничивания остается очень сложной задачей. Методы и алгоритмы, направленные на решение этой задачи, были разработаны в рамках настоящей работы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах университета ИТМО, университета Исландии, Рурского университета, г. Бохум (Германия) и были представлены на следующих конференциях и семинарах.

1. Международная студенческая конференции "Science and Рго§ге8з"Санкт-Петербург, 14-18 ноября 2011 г.

2. Международная конференция "Ordering and dynamics in magnetic

nanostructures Санкт-Петербург, 7-8 июня 2012 г.

3. School of Engineering and Natural Sciences "ReiDok12 University of Iceland, 3 декабря 2012;

4. XVII международный симпозиум "Нанофизика и Наноэлектроника Нижний Новгород, 11-15 марта 2013 г.;

5. Международная конференция "Ordering and dynamics in magnetic nanostructures 16-18 сентября 2013 г.;

6. XVIII международный симпозиум "Нанофизика и Наноэлектроника Нижний Новгород, 10-14 марта 2014 г.;

7. Международная конференция "Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems Санкт-Петербург, 14-16 сентября 2020 г.

Список публикаций по теме диссертации.

[A1 ] Moskalenko M.A. Demagnetizing fields in chiral magnetic structures / Moskalenko M.A., I. S. Lobanov, V. M. Uzdin // Nanosystems: Phys., Chem., Math - 2020, Vol. 4, No.11, pp. 401-407 WoS, ВАК

[A2 ] Moskalenko M.A. Qualitative insight and quantitative analysis of the effect of temperature on the coercivity of a magnetic system /Moskalenko M.A., Bessarab P.F., Uzdin V.M., Jonsson H. // AIP Advances - 2016, Vol. 6, No. 2, pp. 025213 WoS, Scopus

AIP Advances, Supplementary material pp. 1-6

aip.scitation.org/doi / suppl /10.1063/1.4942428/ supplf ile / supplemental.pdf,

[A3 ] Moskalenko M.A. Manipulation by exchange coupling in layered magnetic structures /Moskalenko M.A., Uzdin V.M., Zabel H.// Journal of Applied Physics - 2014, Vol. 115, No. 5, pp. 053913 WoS, Scopus

[А4 ] Москаленко М.А. Природа температурной зависимости параметра анизотропии спиновых магнитных пружин / Москаленко М.А., Уздин В.М., Йонссон Х. // Труды XVIII симпозиума "Нанофизика и наноэлектрони-ка Нижний Новгород, 10-14 марта 2014. Т. 1 С. 170-171.

[А5 ] Москаленко М.А. Процессы перемагничивания трехслойных магнитных пружин и обменно связанных систем жесткий-мягкий ферримагнетик / Москаленко М.А., В.М. Уздин, Х. Цабель// Труды XVII симпозиума "Нанофизика и наноэлектроника Нижний Новгород, 11-15 марта 2013. Т. 1. С. 144-145.

Личный вклад автора. Автором была использована ТПС, обобщенная на магнитные степени свободы, для оценки устойчивости магнитных состояний конкретных нано и микро систем в магнитном поле при произвольных температурах; развиты и реализованы методы математического моделирования магнитных систем; разработано программное обеспечение и проведены численные расчеты с использованием предложенных математических моделей и программных средств. Результаты математического моделирования были использованы для новой интерпретации экспериментальных данных, полученных от экспериментаторов во время научной командировки в Германию, а также имеющихся в литературе. Разработка всех компьютерных программ и проведение численных расчетов было выполнено автором лично. Постановка задач, обсуждение результатов и подготовка публикаций проводилась совместно с соавторами публикаций.

Глава 1

Микромагнитное моделирование

1.1 Полная энергия и параметры магнитных взаимодействий

Основной макроскопической характеристикой намагниченного магнетика является векторное поле намагниченности Ы(г), где г - координата точки в магнитном образце. Будем считать, что в однородном по химическому составу и структуре ферромагнетике длина вектора намагниченности Ыв, во всех точках одинакова и зависит только от температуры, т.е. имеет место следующее соотношение [38, 39]:

М(г) = М(х,у,г) = Ы3 • т(х,у,г), |т| = 1. (1.1)

Здесь Ыв представляет собой намагниченность насыщения. При абсолютном нуле температуры Ыв максимальна, а при приближении к температуре Кюри она уменьшается до нуля, т.е. магнитная структура разрушается.

Будем предполагать, что полная энергия системы Е записывается следующим образом:

= ЕА + ЕК + ЕВЫ1 + ЕвхЬ + Еавшад, (1.2)

где учтены вклады обменной энергии, Еа, энергии взаимодействия Дзялошинского-Мории, Е^Ы1, энергии анизотропии, Ек, энергии полей раз-

магничивания, Edemag и энергии взаимодействия с внешним магнитным полем,

Eext. Рассмотрим более подробно каждое из этих слагаемых.

*

Рис. 1.1: Ближайшие соседи спина с номером г, использующиеся при расчете обменного взаимодействия

1.2 Обменное взаимодействие

Обменное взаимодействие по своей природе является чисто квантовомеха-ническим эффектом. Качественно его можно интерпретировать на основе принципа Паули, согласно которому в одном квантовом состоянии может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами.

Эффективные силы отталкивания, возникающие между тождественными частицами, приводят к разному распределению электронной плотности и, следовательно, разному кулоновскому взаимодействию в зависимости от взаимного направления спинов частиц. Если спины электронов параллельны, то они стре-

мятся разойтись, что приводит к уменьшению электростатической энергии.

В ферромагнетиках обменная энергия минимальна при параллельной ори-ентациих магнитных моментов, что и приводит к появлению спонтанной намагниченности при температурах ниже температуры Кюри Т < Тс.

Энергия обменного взаимодействия Ец между двумя локализованными спинами рассчитывается следующим образом [40]

Е13 = • ^ (1.3)

где J - обменный интеграл, а 8| и Sj - классические вектора, соответствующие магнитным моментам, локализованным на узлах % и ]. Величину моментов обозначим через Б = |8|| = 8 и введем единичные вектора вдоль магнитных моментов и П| = 81 /8 и п, = Sj/8. Тогда

Ец = — 'Б п • Пj,

= —'Б 2[1 — 2(п — п,)2].

Обменная энергия всего магнетика вычисляется как сумма взаимодействий всех пар магнитных моментов, т.е.

Егз = £ ' Б2 П1 • П,, (1.4)

где - константа обмена между моментами с номерами % и ]. Это означает, что = 0 только для обменно связанных, обычно ближайших магнитных моментов, как проиллюстрировано на рис.1.1. В микромагнитной теории это выражение можно записать через поле намагниченности т. Скалярное произведение в уравнении (1.4) переходит в

т(г) • т(г + £г) = 1--[т(г) — т(г + £г)]2, (1.5)

где определяется как вектор между двумя обменно-связанными магнитными моментами. Раскладывая выражение т(г + £г) в ряд до первого порядка, и

подставив полученное выражение в уравнение (1.5), получим:

т(г) • т(г + £г) = 1--+ Ушг)2. (1.6)

2

г

Энергия всей системы получается суммированием вкладов от всех пар магнитных моментов, что сводится к интегрированию по объему:

Е = Е Агт(г) • т(г + ¿г)(г, (1.7)

УП г

где обменные константы Аг содержат обменный интеграл и величину взаимодействующих магнитных моментов. Теперь, подставляя (1.6) в (1.7), получаем для энергии:

Е = С + /Е ^ р Р (г. (1.8)

дх3 дхк

Константа С , не зависящая от поля намагниченности, очевидно, может быть опущена. Здесь Ajk - матрица обменных констант. В диагональном представлении [41], имеем:

Е = IЕ ^^ (1.9)

В случае материалов с кубической кристаллической решеткой выражение для энергиие (1.9) упрощается:

Е = А [ Е(Ушг)2(г = А [ (Ушг)2(г. (1.10)

¿П^ JП

Оказывается, это выражение хорошо описывает большинство материалов и

обычно используется в микромагнетизме.

В зависимости от знака обменного интегра магнитные моменты упорядыче-вываются параллельно или образуют решетки, в которых моменты упорядочены антипараллельно друг другу. Обменное взаимодействие является изотропным: если все спины повернутся на один и тот же угол, это не изменит величину обменной энергии.

1.3 Энергия магнитокристаллической анизотропии

Любое кристаллическое твердое тело является анизотропным. Из-за анизотропии вектор намагниченности ферромагнетика упорядычевается не произвольно, а преимущественно в определенных направлениях, характерных для выбранного магнетика. В отсутствие границ и неоднородностей энергия анизотропии связана с внутренней симметрией кристалла, т.е. эти направления соответствуют кристаллографическим осям. Так, например, в кубических ферромагнетиках вектор намагниченности может быть направлен вдоль ребра куба, диагонали грани куба или главной диагонали куба. В одноосных кристаллах намагниченность может быть направлена либо вдоль анизотропии (ферромагнетик типа легкая ось), либо в плоскости, перпендикулярной оси анизотропии (ферромагнетики типа легкая плоскость).

В гексагональных или тетрагональных кристаллах плотность энергии анизотропии кристалла обычно выражается через sin в, где в - угол между осью анизотропии и направлением намагниченности. Энергия магнитокристалличе-ской анизотропии для гексагональной или тетрагональный кристаллической решетки записывается следующим образом:

Здесь а- единичный вектор вдоль оси анизотропии. Энергия анизотропии определяется следующим соотношением:

ек(m) = Ко + К sin2(e) + К sin4(e) + ....

(1.11)

Это выражение можно переписать в виде:

ек(m) = -Ki(a, m)2 + ....

(1.12)

Ek = í ек(m)dfi= / K • (1 - (a, m)2)dü,

(1.13)

Jü Jü

где К - константа магнитнокристаллической анизотропии. Если К > 0, имеем анизотропию "легкая ось", если К < 0, - "легкая плоскость".

1.4 Энергия Дзялошинского-Мории

Магнетизм обуславливается преимущественно обменными взаимодействиями, имеющими квантовомеханическую природу. Еще один тип взаимодействия, обусловленный релятивистскими спин-орбитальными эффектами - взаимодействие Дзялошинского - Мории (ЭМ1) [26].

Энергия взаимодействия Дзялошинского-Мории выражается следующим образом:

Еви1 = I V • т • (Ух т), (1.14)

т

где V - константа Дзялошинского-Мории. Этот вид обмена антисимметричен.

Рис. 1.2: Пример локализованного стабилизированного скирмиона.

Наличие взаимодействия Дзялошинского-Мории делает возможным существование таких метастабильных состояний, как скирмионы (локализованные

вихревые состояния). Если Dy = Dx = D, то существует стабильное состояние, называемое скирмионом, пример которого приведен на Рис. 1.2. Если же Dx = -Dy = D, то формируется структура, называемая антискирмионом. Таким образом, взаимодействие Дзялошинского-Мория стабилизирует вихревые структуры.

1.5 Зеемановская энергия

Энергия магнитного момента m во внешнем поле с магнитной индукцией Bext записывается в виде -mBext. Запишем Bext = ß0Hext, и произведем суммирование по всем локальным моментам магнетика.

Eext = m« • Hext, (1.15)

i

В результате получим энергию взаимодействия магнетика со внешним магнитным полем.

Выржаение для Зеемановской энергии в микромагнитной модели имеет вид:

Eext = -Mo / Ms(m • Hext)dü. (1.16)

Jü

1.6 Магнитостатическая энергия

Магнитостатическая энергия обусловлена диполь-дипольным взаимодействием отдельных магнитных моментов, составляющих систему. В кристалле каждый магнитный момент создает дипольное поле, и каждый момент подвергается воздействию магнитного поля, создаваемого всеми остальными диполями. Это поле степенным образом зависит от расстояния. Поэтому магнитоста-тическиое взаимодействие является дальнодействующим. Магнитостатическая энергия не может быть представлена в виде объемного интеграла по всему об-

разцу с плотностью энергии, зависящем только от локальной намагниченности.

1.6.1 Поле размагничивания как сумма дипольных взаимодействий

Суммарное магнитное поле в точке Г|, определяется всеми другими магнитными полями диполей, - это сумма дипольных полей всех моментов mj = т(г|)

Н

¿¡р

1

4п

£

3-

г

¡0

Г

¡0

(1.17)

Вектора г ¡о = г¡ — г0- соединяют точки источника с точкой поля, в которой рассчитывается взаимодействие. Расстояние между этими точками г ¡о = |гу |. Для того, чтобы получить выражение для поля в непрерывном представлении, разобьем сумму (1.17) на две части. Будем считать, что вклад в поле от моментов, расположенных достаточно далеко от г, не будет сильно зависить от их расположения на атомарном уровне. Поэтому мы можно описать их непрерывной функцией намагниченности и заменить сумму на интеграл. Для моментов т0-, находящихся внутри небольшой сферы радиуса Я вокруг г¡ сохраняем сумму. Таким образом, мы представим диполь-дипольное поле в виде суммы [42]:

Н

¿¡р

Н,

+ Н

¿етад •

Здесь

Н,

1

4п

£

Тц <Д

3

(т0 • Го )гу то

г

¡0

г

¡0

(1.18)

(1.19)

вклад от диполей, находящихся внутри сферы. Для диполей же, расположенных вне сферы, используем непрерывное приближение.

Н

¿етад

1

4п

'V*

3

(М(Г) • (г — г/))(г — Г) М(ж')

|г — г/р

|г — г/|:

¿V*

(1.20)

Интегрирование производится по всему объему магнетика за исключением малой сферы с радиусом Я. Соответственно, интеграл по V* дает объем магнетика без малой окрестности точки поля г.

5

3

5

3

Таким образом, сумма в выражении (1.19) - это вклад диполей внутри сферы в полное магнитостатическое поле. Соответствующий вклад в энергию определяется локальным взаимодействием. Он может быть выражен как интеграл от плотности энергии, который зависит только от локальных величин [42]. Этот вклад зависит от симметрии решетки и имеет такой же вид, как кристаллическая анизотропия. Следовательно, его можно отнести к энергии магнитокри-сталлической анизотропии. Когда константы анизотропии определяют экспериментально, они уже содержат вклад за счет дипольных взаимодействий.

Таким образом, для вычисления магнитостатической энергии нет необходимости учитывать (1.19). Ближнее поле уже включено в энергию магнитной анизотропии кристалла. Теперь вычислим энергию каждого магнитного момента шг в поле Н^етад (гг). Для этого просуммируем энергии всех магнитных моментов и получим магнитостатическую энергию магнетика, связанную с полями размагничивагия

Edemag — 2 ^ у шШг ' ~Hdemag (^г^^. (1.21)

Фактор 1 позволяет избежать двойного подсчета взаимодействия каждой пары атомов. Также как, как в обменной и зеемановской энергии, заменим сумму на интеграл

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Москаленко Мария Александровна, 2020 год

Литература

[1] Grünberg, P. Layered magnetic structures: facts, figures, future / P Grünberg // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2001. — aug. — Vol. 13, no. 34. —P. 7691-7706.—

[2] Braun, H.-B. Topological effects in nanomagnetism: from superparamagnetism to chiral quantum solitons / Hans-Benjamin Braun // Advances in Physics. — 2012. —Vol. 61, no. 1. —P. 1-116.

[3] Heinze, S. Spontaneous atomic-scale magnetic skyrmion lattice in two dimensions / Stefan Heinze // APS March Meeting Abstracts. — Vol. 2013 of APS Meeting Abstracts. — 2013. — Mar. — P. C10.005.

[4] Bode, M. Experimental evidence for intra-atomic noncollinear magnetism at thin film probe tips / M. Bode, O. Pietzsch, A. Kubetzka et al. // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Mar. — Vol. 86. — P. 2142-2145. — https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.86.2142.

[5] Baibich, M. N. Giant magnetoresistance of (001)fe/(001)cr magnetic superlattices / M. N. Baibich, J. M. Broto, A. Fert et al. // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Nov. — Vol. 61. — P. 2472-2475. —

https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.61.2472.

[6] Maekawa, S. Spin-dependent transport in magnetic nanostructures / S. Maekawa // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. —

2004. - Vol. 272-276. - P. E1459 - E1463. - Proceedings of the International Conference on Magnetism (ICM 2003). http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S030488530400513X.

[7] Goll, D. Thermal reversal of exchange spring composite media in magnetic fields / D. Goll, S. Macke, H. N. Bertram // Applied Physics Letters. - 2007. -Vol. 90.

[8] de Julian Fernández, C. Influence of the temperature dependence of anisotropy on the magnetic behavior of nanoparticles / C de Julian Fernandez // Physical Review B. - 2005.-Vol. 72, no. 5.-P. 054438.

[9] Paulus, P. Low-temperature study of the magnetization reversal and magnetic anisotropy of fe, ni, and co nanowires / P.M. Paulus, F. Luis, M. Kroll et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2001. - Vol. 224, no. 2.-P. 180-196.

[10] Sellmyer, D. J. Magnetism of fe, co and ni nanowires in self-assembled arrays / David J Sellmyer, M Zheng, R Skomski // Journal of Physics: Condensed Matter.-2001.-Vol. 13, no. 25.-P. R433.

[11] Suess, D. Calculation of coercivity of magnetic nanostructures at finite temperatures / D Suess, L Breth, J Lee et al. // Physical Review B. -2011. -Vol. 84, no. 22.-P. 224421.

[12] Xue, J. Micromagnetic predictions for thermally assisted reversal over long time scales / Jianhua Xue, Randall H Victora // Applied Physics Letters. -2000.-Vol. 77, no. 21.-P. 3432-3434.

[13] Chubykalo-Fesenko, O. Modeling of long-time thermal magnetization decay in interacting granular magnetic materials / O. Chubykalo-Fesenko,

R.W. Chantrell // IEEE transactions on magnetics. — 2005. — Vol. 41, no. 10. —P. 3103-3105.

[14] Goll, D. Thermal reversal of exchange spring composite media in magnetic fields / D. Goll, S. Macke, H.N. Bertram // Applied physics letters. — 2007. — Vol. 90, no. 17. —P. 172506.

[15] Suess, D. Reliability of sharrocks equation for exchange spring bilayers / D. Suess, S. Eder, J. Lee et al. // Physical Review B. — 2007. — Vol. 75, no. 17. —P. 174430.

[16] Dittrich, R. A path method for finding energy barriers and minimum energy paths in complex micromagnetic systems / Rok Dittrich, Thomas Schrefl, Dieter Suess et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2002. — Vol. 250. —P. 12-19.

[17] Thiaville, A. Micromagnetic study of bloch-point-mediated vortex core reversal / Andre Thiaville, Jose Miguel Garcia, Jacques Miltat et al. // Physical Review B. — 2003.— Vol. 67, no. 9. —P. 094410.

[18] Weinan, E. Energy landscape and thermally activated switching of submicron-sized ferromagnetic elements / E Weinan, Weiqing Ren, Eric Vanden-Eijnden // Journal of applied physics. — 2003.— Vol. 93, no. 4. —P. 2275-2282.

[19] Berkov, D. V. Magnetization dynamics including thermal fluctuations: Basic phenomenology, fast remagnetization processes and transitions over high-energy barriers / Dmitri V Berkov // Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials. — 2007.

[20] Brown, W. Thermal fluctuation of fine ferromagnetic particles / W Brown // IEEE Transactions on Magnetics. — 1979.— Vol. 15, no. 5. —P. 1196-1208.

[21] Coffey, W. Crossover formulas in the kramers theory of thermally activated escape rates—application to spin systems / W.T. Coffey, D.A. Garanin, D.J. McCarthy // Advances in Chemical Physics. — 2001. — Vol. 117. — P. 483765.

[22] Krause, S. Magnetization reversal of nanoscale islands: How size and shape affect the arrhenius prefactor / S. Krause, G. Herzog, T. Stapelfeldt et al. // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Sep. — Vol. 103. — P. 127202. — https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.103.127202.

[23] Loth, S. Bistability in atomic-scale antiferromagnets / Sebastian Loth, Susanne Baumann, Christopher P. Lutz et al. // Science. — 2012.— Vol. 335, no. 6065. —P. 196-199.— https://science.sciencemag.org/content/335/6065/196.

[24] Krause, S. Current-induced magnetization switching with a spin-polarized scanning tunneling microscope / S. Krause, L. Berbil-Bautista, G. Herzog et al. // Science. — 2007. — Vol. 317, no. 5844. — P. 1537-1540. —

https://science.sciencemag.org/content/317/5844/1537.

[25] Hänggi, P. Reaction-rate theory: fifty years after kramers / Peter Hanggi, Peter Talkner, Michal Borkovec // Rev. Mod. Phys. — 1990. — Apr. — Vol. 62. —P. 251-341.— https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.62.251.

[26] Bessarab, P. F. Harmonic transition-state theory of thermal spin transitions / Pavel F Bessarab, Valery M Uzdin, Hannes Jonsson // Physical Review B. — 2012. —Vol. 85, no. 18. —P. 184409.

[27] Wiesendanger, R. Nanoscale magnetic skyrmions in metallic films and multilayers: a new twist for spintronics / R. Wiesendanger // Nature Reviews Materials.-2016.-Vol. 1, no. 7.-P. 1-11.

[28] Lobanov, I. S. Mechanism and activation energy of magnetic skyrmion annihilation obtained from minimum energy path calculations / I. S. Lobanov, H. Jonsson, V. M. Uzdin // Physical Review B. - 2016. - Vol. 94, no. 17.— P. 174418.

[29] Nayak, A. K. Magnetic antiskyrmions above room temperature in tetragonal heusler materials / A. K. Nayak, V. Kumar, T. Ma et al. // Nature. — 2017. — Vol. 548, no. 7669. —P. 561-566.

[30] Rybakov, F. New type of stable particlelike states in chiral magnets / F.N. Rybakov, A.B. Borisov, S. Blügel, N.S. Kiselev // Physical review letters. —2015. —Vol. 115, no. 11. —P. 117201.

[31] Vlasov, S. Skyrmion flop transition and congregation of mutually orthogonal skyrmions in cubic helimagnets / S.M. Vlasov, V.M. Uzdin, A.O. Leonov // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2020.— Vol. 32, no. 18. —P. 185801.

[32] Büttner, F. Theory of isolated magnetic skyrmions: From fundamentals to room temperature applications / F. Büttner, I. Lemesh, G.S. Beach // Scientific reports. —2020. —Vol. 8, no. 1. —P. 1-12.

[33] Caretta, L. Fast current-driven domain walls and small skyrmions in a compensated ferrimagnet / L. Caretta, M. Mann, F. Büttner et al. // Nature nanotechnology. — 2018. — Vol. 13, no. 12. —P. 1154-1160.

[34] Legrand, W. Room-temperature stabilization of antiferromagnetic skyrmions in synthetic antiferromagnets / W. Legrand, D. Maccariello, F. Ajejas et al. // Nature materials.— 2020.— Vol. 19, no. 1. —P. 34-42.

[35] Potkina M. N. Skyrmions in antiferromagnets: Thermal stability and the effect of external field and impurities / N. Potkina, M. S. Lobanov, I. H. Jonsson,

M. Uzdin, V.// Journal of Applied Physics. - 2020. - Vol. 127, no. 21.-P. 213906.

[36] Uzdin V. M. Energy surface and lifetime of magnetic skyrmions / M. Uzdin, V. N. Potkina, M. S. Lobanov, I. et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials.-2018.-Vol. 459.-P. 236-240.

[37] Lobanov I. S. Truncated minimum energy path method for finding first order saddle points / S. Lobanov, I. N. Potkina, M. H. Jonsson, M. Uzdin, V.// Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. - 2017. - Vol. 8, no. 5. -P. 586--595.

[38] Scholz, W. Scalable parallel micromagnetic solvers for magnetic nanostructures / Werner Scholz, Josef Fidler, Thomas Schrefl et al. // Computational Materials Science. - 2003.-Vol. 28, no. 2.-P. 366-383.

[39] Sachdev, S. Handbook of magnetism and advanced magnetic materials / Subir Sachdev. - 2006.

[40] Van Vleck, J. The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities / J.H. Van Vleck. International series of monographs on physics. - Oxford University Press, 1965.- https://books.google.ru/books?id=5GQGAQAAIAAJ.

[41] Doring, W. Mikromagnetismus / W. Doring. - Springer, Berlin Heidelberg., 1966.

[42] Brown Jr, W. Domains, micromagnetics, and beyond: Reminiscences and assessments / W.F. Brown Jr // Journal of Applied Physics. - 1978. - Vol. 49, no. 3.-P. 054438.

[43] Coey, J. M. Magnetism and magnetic materials / John M.D. Coey. -Cambridge university press, 2010.

[44] Соловейчик, Ю. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Ю.Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М.Г. Персова // Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2007. - Vol. 895.

[45] Bader. Colloquium: Opportunities in nanomagnetism / Bader, Samuel. D. // Rev. Mod. Phys. - 2006. - Jan. - Vol. 78. - P. 1-15. — https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.78.1.

[46] Camosi, L. Micromagnetics of antiskyrmions in ultrathin films / Lorenzo Camosi, Nicolas Rougemaille, Olivier Fruchart et al. // Phys. Rev. B. - 2018. - Apr. - Vol. 97. - P. 134404. -https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.97.134404.

[47] Donahue, M. J. Oommf user's guide, version 1.0. interagency report nistir 6376 / M. J. Donahue, D. G. Porter // National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD. - 1999.

[48] Ivanov, A. V. Efficient optimization method for finding minimum energy paths of magnetic transitions / A. V. Ivanov, D. Dagbartsson, J. Tranchida et al. // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2020.-Vol. 32, no. 34.-P. 345901.

[49] Lobanov, I. S. The lifetime of big size topological chiral magnetic states. estimation of the pre-exponential factor in the arrhenius law / I. S. Lobanov, V. M. Uzdin // arXiv:2008.06754. - 2020.

[50] Moskalenko, M. A. Demagnetizing fields in chiral magnetic structures / Mariia A. Moskalenko, Igor S. Lobanov, Valery M. Uzdin, Hannes Jonsson // Nanosystems: Phys., Chem., Math. - 2020.-Vol. 4, no. 11.-P. 401-407.

[51] Vansteenkiste, A. The design and verification of mumax3 / A. Vansteenkiste, J. Leliaert, M. Dvornik et al. // AIP Advances. - 2014.-Vol. 97.-P. 107133.

[52] Suess, D. Micromagnetics of exchange spring media: Optimization and limits / Dieter Suess // Journal of magnetism and magnetic materials. - 2007. - Vol. 308, no. 2.-P. 183-197.

[53] Kneller, E. F. The exchange-spring magnet: a new material principle for permanent magnets / E. F. Kneller, R. Hawig // IEEE Transactions on Magnetics.-1991.-Vol. 27, no. 4.-P. 3588-3560.

[54] Wolf, S. A. Spintronics: A spin-based electronics vision for the future / S. A. Wolf, D. D. Awschalom, R. A. Buhrman et al. // Science. - 2001. - Vol. 294, no. 5546. - P. 1488-1495. -https://science.sciencemag.org/content/294/5546/1488.

[55] Parkin, S. Magnetically engineered spintronic sensors and memory / Stuart Parkin, Xin Jiang, Christian Kaiser et al. // Proceedings of the IEEE. -2003.-Vol. 91, no. 5.-P. 661-680.

[56] Ikeda, S. Magnetic tunnel junctions for spintronic memories and beyond / Shoji Ikeda, Jun Hayakawa, Young Min Lee et al. // IEEE Transactions on Electron Devices.-2007.-Vol. 54, no. 5.-P. 991-1002.

[57] Kneller, E. F. The exchange-spring magnet: a new material principle for permanent magnets / Eckart F Kneller, Reinhard Hawig // IEEE Transactions on Magnetics.-1991.-Vol. 27, no. 4.-P. 3588-3560.

[58] Nogues, J. Exchange bias / J Nogues, Ivan K Schuller // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1999. - Vol. 192, no. 2. - P. 203 - 232. -

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304885398002662.

[59] Liechtenstein, A. I. Exchange interactions and spin-wave stiffness in ferromagnetic metals / A I Liechtenstein, M I Katsnelson, V A Gubanov //

Journal of Physics F: Metal Physics. - 1984. - jul. - Vol. 14, no. 7. - P. L125-L128. -

[60] Liechtenstein, A. Local spin density functional approach to the theory of exchange interactions in ferromagnetic metals and alloys / A.I. Liechtenstein, M.I. Katsnelson, V.P. Antropov, V.A. Gubanov // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1987. - Vol. 67, no. 1. - P. 65 - 74. -http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304885387907219.

[61] Oswald, A. Interaction of magnetic impurities in cu and ag / A Oswald, R Zeller, P J Braspenning, P H Dederichs // Journal of Physics F: Metal Physics.-1985.-jan.-Vol. 15, no. 1.-P. 193-212. -

[62] Bergqvist, L. Atomistic spin dynamics of low-dimensional magnets / Lars Bergqvist, Andrea Taroni, Anders Bergman et al. // Phys. Rev. B. - 2013. - Apr. - Vol. 87. - P. 144401. -

https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.87.144401.

[63] Wu, G. First-principles calculations of the magnetic anisotropic constants of co-pd multilayers: Effect of stacking faults / G. Wu, K. H. Khoo, M. H. Jhon et al. // EPL (Europhysics Letters). - 2012. - jun. - Vol. 99, no. 1.-P. 17001. -

[64] Fullerton, E. E. Exchange-spring behavior in epitaxial hard/soft magnetic bilayers / Eric E. Fullerton, J.S. Jiang, M. Grimsditch et al. // Physical Review B.- 1998.-Vol. 58, no. 18.-P. 12193.

[65] Griinberg, P. Layered magnetic structures: facts, figures, future / P Griinberg // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2001. - Vol. 13, no. 34.-P. 7691.

[66] Grimsditch, M. Exchange-spring systems: Coupling of hard and soft ferromagnets as measured by magnetization and brillouin light scattering / M Grimsditch, R Camley, EE Fullerton et al. // Journal of applied physics. — 1999. —Vol. 85, no. 8. —P. 5901-5904.

[67] Uzdin, V. M. Electronic structure investigation of the exchange-spring behavior during the magnetic reversal process / V. M. Uzdin, A Vega // Physical Review B. —2008.—Vol. 77, no. 13. —P. 134446.

[68] Uzdin, V. M. Noncollinear fe spin structure in (sm-co)/fe exchangespring bilayers: Layer-resolved 57fe müssbauer spectroscopy and electronic structure calculations / V. M. Uzdin, A. Vega, A. Khrenov et al. // Phys. Rev. B. — 2012. — Jan. — Vol. 85. — P. 024409. — https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.85.024409.

[69] Fassbender, J. Tailoring magnetism by light-ion irradiation / Jürgen Fassbender, Daphine Ravelosona, Y Samson // Journal of Physics D: Applied Physics. —2004. —Vol. 37, no. 16. —P. R179.

[70] Hüink, M. Postannealing of magnetic tunnel junctions with ion-bombardment-modified exchange bias / M.D. Hoink, J. Schmalhorst Sacher // Appl. Phys. Lett. —2005. —Vol. 86. —P. 152102.

[71] Liu, Y. Microstructure analysis of a smco/fe exchange spring bilayer / Yuzi Liu, Y.Q. Wu, M.J. Kramer et al. // Applied Physics Letters. — 2008. — Vol. 93, no. 19. —P. 192502.

[72] Yanson, Y. Tuning the exchange bias by using cr interfacial dusting layers / Yu Yanson, O. Petracic, K. Westerholt, H. Zabel // Physical Review B. — 2008. —Vol. 78, no. 20. —P. 205430.

[73] Radu, F. Perpendicular exchange bias in ferrimagnetic spin valves nat / F. Radu, R. Abrudan, I. Radu et al. // Commun.— 2012.— Vol. 3. —P. 1728.

[74] Jiang, J. A new approach for improving exchange-spring magnets / J.S. Jiang, J.E. Pearson, Z.Y. Liu et al. // Journal of applied physics. — 2005.— Vol. 97, no. 10. —P. 10K311.

[75] Liu, Y. Magnetic structure in fe/sm-co exchange spring bilayers with intermixed interfaces / Yaohua Liu, S.G.E. Te Velthuis, J.S. Jiang et al. // Physical Review B. — 2011.— Vol. 83, no. 17. —P. 174418.

[76] Choi, Y. Controlled interface profile in sm-co/ fe exchange-spring magnets / Y. Choi, J.S. Jiang, J.E. Pearson et al. // Applied Physics Letters. — 2007. — Vol. 91, no. 7. —P. 072509.

[77] Liu, J. P. Nanoscale magnetic materials and applications / J. Ping Liu, Eric Fullerton, Oliver Gutfleisch, David J. Sellmyer. — Springer, 2009. — Vol. 10.

[78] Neu, V. Dynamic coercivity and thermal stability of epitaxial exchange spring trilayers / Volker Neu, Katrin Hafner, Ludwig Schultz // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2010. — Vol. 322, no. 9. — P. 1613 - 1616. — Proceedings of the Joint European Magnetic Symposia. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304885309006325.

[79] Reddy, V. R. Tuning exchange spring effects in fept/fe (co) magnetic bilayers / V Raghavendra Reddy, O Crisan, Ajay Gupta et al. // Thin Solid Films.— 2012. —Vol. 520, no. 6. —P. 2184-2189.

[80] Raghavendra Reddy, V. Tuning exchange spring effects in fept/fe(co) magnetic bilayers / V. Raghavendra Reddy, O. Crisan, Ajay Gupta

et al. // Thin Solid Films. - 2012. - Vol. 520, no. 6. - P. 2184 - 2189. -http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0040609011018839.

[81] Zutic, I. Spintronics: Fundamentals and applications / Igor Zutic, Jaroslav Fabian, S Das Sarma // Reviews of modern physics. - 2004. - Vol. 76, no. 2.-P. 323.

[82] Moskalenko, M. A. Manipulation by exchange coupling in layered magnetic structures / M. A. Moskalenko, V. M. Uzdin, H. Zabel // Journal of Applied Physics. - 2014. - Vol. 115, no. 5. - P. 053913. -https://doi.org/10.1063/L4864429.

[83] Москаленко, М. Процессы перемагничивания трехслойных магнитных пружин и обменно связанных систем жесткий-мягкий ферримагнетик / М.А. Москаленко, В.М. Уздин, Х. Цабель // Труды XVII симпозиума "На-нофизика и наноэлектроника". - 2013. - Vol. 1.-P. 144-145.

[84] Dittrich, R. Energy barriers in magnetic random access memory elements / Rok Dittrich, Thomas Schrefl, Hermann Forster et al. // IEEE transactions on magnetics.-2003.-Vol. 39, no. 5.-P. 2839-2841.

[85] Krone, P. Magnetization reversal processes of single nanomagnets and their energy barrier / P Krone, D Makarov, Manfred Albrecht et al. // Journal of magnetism and magnetic materials. - 2010. - Vol. 322, no. 23. - P. 3771-3776.

[86] Visscher, P. B. Low-dimensionality energy landscapes: Magnetic switching mechanisms and rates / Pieter B Visscher, Ru Zhu // Physica B: Condensed Matter.-2012.-Vol. 407, no. 9.-P. 1340-1344.

[87] Bessarab, P. F. Size and shape dependence of thermal spin transitions in nanoislands / Pavel F Bessarab, Valery M Uzdin, Hannes Jonsson // Physical review letters.-2013.-Vol. 110, no. 2.-P. 020604.

[88] Gu, J. Temperature dependence of magnetization reversal processes in exchange-spring magnets / J.Y. Gu, Jesse Burgess, Chun-Yeol You // Journal of Applied Physics.-2010.-Vol. 107, no. 10.-P. 103918.

[89] Jonsson, H. Classical and quantum dynamics in condensed phase simulations, 1998 / H Jonsson, G Mills, K.W. Jacobsen et al. // Search PubMed. - P. 385404.

[90] Leineweber, T. Magnetisation reversal modes in inhomogeneous magnets / T Leineweber, H Kronmiiller // physica status solidi (b). - 1997. - Vol. 201, no. 1.-P. 291-301.

[91] Fullerton, E. E. Hard/soft magnetic heterostructures: model exchange-spring magnets / Eric E Fullerton, J.S. Jiang, S.D. Bader // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1999.-Vol. 200, no. 1-3.-P. 392-404.

[92] Lu, Z. Domain wall switching: Optimizing the energy landscape / Zhihong Lu, P.B. Visscher, W.H. Butler // IEEE transactions on magnetics. - 2007. -Vol. 43, no. 6.-P. 2941-2943.

[93] Dobin, A. Y. Domain wall assisted magnetic recording / A. Yu Dobin, H.J. Richter // Applied Physics Letters. - 2006.-Vol. 89, no. 6.-P. 062512.

[94] Bessarab, P. F. Method for finding mechanism and activation energy of magnetic transitions, applied to skyrmion and antivortex annihilation / Pavel F Bessarab, Valery M Uzdin, Hannes Jonsson // Computer Physics Communications.-2015.-Vol. 196.-P. 335-347.

[95] Sharrock, M. Time dependence of switching fields in magnetic recording media / M.P. Sharrock // Journal of Applied Physics. — 1994. — Vol. 76, no. 10. —P. 6413-6418.

[96] Moskalenko, M. Qualitative insight and quantitative analysis of the effect of temperature on the coercivity of a magnetic system / Mariia А. Moskalenko, Pavel F. Bessarab, Valery M. Uzdin, Hannes Jonsson // AIP Advances. — 2016.—Vol. 6, no. 2. —P. 025213.— https://doi.org/10.1063/1.4942428.

[97] Bessarab, P. F. Potential energy surfaces and rates of spin transitions / Pavel F Bessarab, Valery M Uzdin, Hannes Jonsson // Zeitschrift für Physikalische Chemie. — 2013.— Vol. 227, no. 9-11. —P. 1543-1557.

[98] Callen, H. B. The present status of the temperature dependence of magnetocrystalline anisotropy, and the l (l+ 1) 2 power law / Herbert B Callen, Earl Callen // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 1966. — Vol. 27, no. 8. —P. 1271-1285.

[99] Asselin, P. Constrained monte carlo method and calculation of the temperature dependence of magnetic anisotropy / Pierre Asselin, Richard Francis L Evans, Joe Barker et al. // Physical Review B. — 2010.— Vol. 82, no. 5. —P. 054415.

[100] Johnson, M. T. Magnetic anisotropy in metallic multilayers / M T Johnson, P J H Bloemen, F J A den Broeder, J J de Vries // Reports on Progress in Physics. —1996. —nov. —Vol. 59, no. 11. —P. 1409-1458.—

[101] Москаленко, М. Природа температурной зависимости параметра анизотропии спиновых магнитных пружин / М.А. Москаленко, В.М. Уздин, Х. Йонссон // Труды XVIII симпозиума "Нанофизика и наноэлектрони-ка". —2014. —Vol. 1. —P. 170-171.