Моделирование пространственно однородного процесса коагуляции для больших систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Багдасарова, Инесса Робертовна

• Багдасарова, Инесса Робертовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Багдасарова, Инесса Робертовна

Оглавление

Введение

1. Физические аспекты процесса коагуляции

2. Современное состояние исследований

3. Цель работы

4. Основное содержание работы

5. Практическая ценность работы

6. Основные результаты, выносимые на защиту

7. Определения и обозначения

Глава 1. Моделирование процесса коагуляции посредством разностной схемы в пространственно однородном случае

§1.1. Моделирование процесса коагуляции в случае, когда

классического решения уравнения Смолуховского

может не существовать

§ 1.2. Моделирование процесса коагуляции в случае, когда существует классическое решение уравнения Смолуховского

Глава 2. Непосредственное моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае

§ 2.1. Описание непосредственной модели пространственно однородного процесса коагуляции

§ 2.2. Численная реализация непосредственной модели пространственно однородного процесса коагуляции

Глава 3. Сравнительный анализ результатов непосредственного моделирования процесса коагуляции и моделирования, основанного на применении разностной схемы для уравнения Смолуховского

§3.1. Результаты тестирования приближенного метода, основанного на разностной схеме. Результаты тестирования программы, реализующей непосредственное моделирование

процесса коагуляции. Сравнительный анализ

результатов

Глава 4. Периодичность решения уравнения коагуляции при наличии источника частиц

§ 4.1. Об одном свойстве решения уравнения коагуляции при наличии источника частиц

Глава 5. Еще одна математическая модель

пространственно однородного процесса коагуляции

§ 5.1. Модель процесса коагуляции в случае, когда количество частиц в системе постоянно

§ 5.2. Математическая модель коагуляции при наличии в системе источника частиц

§ 5.3. Анализ результатов, полученных в результате численной реализации модели, описанной в главе 5 и приближенных методов, основанных на применении явной и неявной разностных схем, описанных в главе 1

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование пространственно однородного процесса коагуляции для больших систем»

ВВЕДЕНИЕ

Явление коагуляции (или слияния) частиц есть одна из основных причин эволюции дисперсных систем, под которыми понимают механическую смесь среды (газообразной или жидкой) с частицами (твердыми или жидкими). Это явление наблюдается в различных физических ситуациях: в растворах - броуновская коагуляция, при образовании капель дождя - гравитационная коагуляция. Процесс коагуляции оказывает воздействие на рост кристаллов в растворах, на рост газовых пузырьков и пор в твердом теле. Серьезное влияние оказывает коагуляция продуктов горения топлива на тягу реактивных двигателей (см. [7]).

1. Физические аспекты процесса коагуляции

Остановимся более подробно на описании физических аспектов изучаемого явления коагуляции. Подробный анализ механизмов, приводящих к движению и столкновению частиц в дисперсных системах, приведен в работе [7], выдержка из которой послужит кратким обзором возможных физических причин коагуляции в дисперсных системах.

"Коагуляция аэрозольных частиц играет важную роль в протекании различных атмосферных процессов, включая эволюцию спектра тонкодисперсной аэрозольной компоненты и образование осадков. Поэтому при исследовании физики атмосферы необходимо иметь довольно четкое представление о физических механизмах, приводящих к коагуляции или препятствующих ей, правильно оценивать влияние различных факторов на взаимодействие частиц при отдельных актах коагуляции и уметь рассчитать с требуемой точностью эволюцию функции распределения по размерам в результате коагуляции.

...Рассмотрим возможные механизмы, способствующие или препятствующие коагуляции частиц в атмосфере. Надо, однако, иметь в виду, что они зачастую действуют совместно.

Броуновская коагуляция. Мелкие аэрозольные частицы (для нижней тропосферы Земли при Я < 1 мкм) реагируют на случайные молекулярные флуктуации плотности и средней скорости молекул воздуха, поэтому пребывают все время в нерегулярном

(броуновском) движении. Броуновское блуждание приводит к их взаимному столкновению, поэтому является одним из основных, постоянно действующих механизмов, способствующих коагуляции мелких аэрозольных частиц.

Броуновская диффузия. Броуновское блуждание частиц приводит к так называемой броуновской диффузии и способствует также их осаждению на более крупные предметы, например на растения, деревья и т.д. Этот процесс является одной из основных причин сухого вымывания тонкодисперсной аэрозольной компоненты из атмосферы. Естественно, что броуновская диффузия возможна и на крупные атмосферные частицы, физически не находящиеся в состоянии броуновского блуждания, например, на крупные частицы атмосферной пыли, частицы облаков и осадков. Однако, вследствие седиментации крупных частиц в атмосфере последние обтекаются воздухом. Следовательно, мы имеем дело одновременно с конвективным переносом мелких аэрозольных частиц и броуновской диффузией, т. е. с конвективной броуновской диффузией. Этот процесс является одной из основных причин влажного вымывания тонкодисперсной аэрозольной компоненты из атмосферы.

Эффект "зацепления". Конвективный перенос мелких аэрозольных частичек в окрестности падающей крупной частицы сам по себе, без влияния других причин, практически не может привести к захвату. Это связано с тем, что переменная составляющая скорости воздуха на поверхности этой частицы исчезает. Следовательно, безынерционная неброуновская частичка должна, вообще говоря, крупную частицы обойти таким же образом, как ее обтекает воздух. Однако частички обладают конечным размером. И поскольку на расстоянии порядка радиуса частички от поверхности крупной частицы нормальная составляющая скорости воздуха конечна, при конвективном переносе возможно "зацепление" мелкой частички за крупную. Эффект зацепления играет основную роль при влажном вымывании каплями облаков и осадков мелких аэрозольных частиц в диапазоне размеров, где конвективная броуновская диффузия уже неэффективна, а влияние инерции на осаждение еще очень мало.

Влияние седиментации осаждающихся частичек. Падение частичек под влиянием силы тяжести (седиментация) может приводить как к уменьшению, так и к увеличению их осаждения на закрепленные тела. Это зависит, естественно, от направления действия силы тяжести. Если же и крупные частицы и частички находятся в состоянии падения, то сила тяжести всегда приводит к

уменьшению осаждения, поскольку она направлена против конвективного переноса частичек воздухом, обтекающим крупную частицу. Влияние седиментации осаждающихся частичек сравнимо по порядку величины с влиянием эффекта зацепления.

Инерционное осаждение. Поскольку гидродинамическое поле крупной частицы неоднородно, на движение мелких частичек в этом поле всегда в той или иной мере будет оказывать влияние их инерция. Влияние инерции проявляется в уменьшении в некоторых областях течения кривизны траекторий частичек по сравнению с кривизной линий тока среды. Возможны два различных режима движения частичек под влиянием инерции в неоднородном поле среды: докритический, когда траектории частичек и линий тока среды в окрестности поверхности крупной частицы не совпадают, но их поведение аналогично, и сверхкритический, когда влияние инерции столь велико, что траектории частиц пересекают поверхность крупных частиц. В первом случае инерция частиц либо усиливает, либо уменьшает действие других механизмов коагуляции, например, эффекта зацепления. При сверхкритическом режиме мы имеем дело с новым механизмом коагуляции, действующим самостоятельно, - инерционным осаждением.

...Все три рассмотренных выше процесса действуют совместно при гравитационной коагуляции падающих в атмосфере частиц сравнимых размеров. Гравитационная коагуляция является одним из основных микрофизических механизмов образования осадков.

Анализ характера протекания коагуляционных процессов в среде (в особенности, для частиц сравнимых размеров) сильно осложнен из-за влияния гидродинамического взаимодействия. При вращении или поступательном движении частиц в среде вокруг них образуются неоднородные гидродинамические поля. Взаимное искажение гидродинамических полей, в особенности при сближении частиц, и приводит к появлению гидродинамического взаимодействия.

Силы гидродинамического взаимодействия пары частиц при малых скоростях движения (малых числах Рейнольдса) препятствует сближению частиц, при больших числах Рейнольдса и определенных углах между линией центров и направлением движения способствует ему. Заметим, что силы гидродинамического взаимодействия, по крайней мере для малых чисел Рейнольдса, неограниченно возрастают при сближении частиц. Это явление ... приводит к гидродинамическому "запрету" коагуляции.

Следовательно, в каждом конкретном случае необходим строгий физико-химический анализ эффектов, возникающих на малых расстояниях между поверхностями частиц и способствующих снятию гидродинамического запрета коагуляции.

...Эффект "втягивания в гидродинамический след". При

движении тела за ним всегда, кроме случая очень малых чисел Рейнольдса, образуется гидродинамический след. Режим течения в следе при разных числах Рейнольдса различен. Однако всегда среда в следе в той или иной мере увлекается падающим телом. Поэтому частица, попавшая в гидродинамический след движущегося в атмосфере тела, будет падать несколько быстрее, чем в невозмущенной атмосфере. Этот эффект должен приводить к гравитационной коагуляции частиц одинаковых масс, если они падают вдоль линии, близкой к линии центров. Даже в случае, когда в среде находится другая частица, с несколько меньшей массой, гравитационная коагуляция возможна. Если бы эффекта втягивания в гидродинамический след не существовало, в последнем случае частицы просто разошлись бы. Однако здесь становится нетривиальным вопрос о причинах появления таких частиц в гидродинамическом следе частиц с большей (или равной) массой, ведь на очень большом расстоянии взаимное влияние их гидродинамических полей на седиментацию исчезает. Поэтому роль эффекта втягивания в гидродинамический след в процессах коагуляции может проявляться в случае, когда легкие частицы образуются непосредственно в гидродинамическом следе тяжелой, либо в случае, когда в дисперсных системах существуют силы, забрасывающие легкие частицы в гидродинамический след тяжелой.

Электростатическая коагуляция имеет место, естественно, когда существуют частицы, несущие заряды противоположных знаков. Поскольку электризация частиц в атмосфере - довольно обычное явление, электростатическая коагуляция может оказывать определенное влияние на эволюцию аэрозольной компоненты атмосферы. Анализ электростатической коагуляции частиц в атмосфере сильно усложняется по следующим двум причинам. Первая - из-за седиментации частиц мы, как правило, всегда имеем дело одновременно и с гравитационной коагуляцией (или, в предельных случаях, с каким-нибудь из перечисленных выше первичных процессов, ее определяющих). Вторая - необходимость учета влияния индукционных (зеркальных) сил, возникающих всегда, когда перемещение частиц в зарядах возможно.

Индукционные силы, независимо от знаков зарядов частиц, всегда способствуют коагуляции. Под их влиянием даже

одноименно заряженные частицы могут коагулировать. Однако в последнем случае всегда существуют две различных области: внешняя, где частицы отталкиваются, и внутренняя (зона доминирующего влияния индукционных сил), где они притягиваются. Поэтому, как и эффект втягивания в гидродинамический след, роль индукционных сил в процессах коагуляции одноименно заряженных частиц может проявляться либо в случае, когда частицы образуются непосредственно в зоне доминирующего влияния индукционных сил, либо в случае, когда в дисперсных системах существуют силы, забрасывающие их в эту зону. Влияние индукционных сил уменьшается, если по каким-нибудь причинам либо перемещение зарядов в частицах затруднено, либо число носителей элементарных зарядов в частицах сравнительно мало.

Для сравнительно плотно упакованной дисперсной системы электростатическая коагуляция может быть затруднена из-за влияния экранировки.

Влияние турбулентности на коагуляцию частиц в дисперсных системах в различных ситуациях может сказываться совершенно различным образом, однако, по-видимому, всегда турбулентность способствует коагуляции. Если внутренний (колмогоровский) масштаб турбулентности Я меньше или сравним с размерами частиц, то мы имеем дело с турбулентным блужданием частиц, которое аналогично броуновскому. Это блуждание будет приводить к взаимному столкновению частиц, т.е. к непосредственной турбулентной коагуляции. Необходимо, однако, отметить, что в атмосферных условиях Земли внутренний масштаб турбулентности обычно равен 0,1 см, поэтому непосредственная турбулентная коагуляция будет иметь место только для очень крупных частиц, например хлопьев снега.

Влияние турбулентности на эволюцию тонкодисперсной аэрозольной компоненты осадков в обычных атмосферных условиях может проходить по иным каналам. Размеры частиц в этом случае значительно меньше X. Из-за действия молекулярной вязкости среды в областях, размеры которых меньше Я, будет происходить ламинаризация течения. Существование турбулентных флуктуаций с размерами, меньшими Я, возможно, но мало вероятно. В этом случае имеет смысл говорить не о непосредственной турбулентной коагуляции частиц, а об усилении коагуляционных процессов в дисперсных системах, вызванных другими причинами. Такое усиление будет происходить, с одной стороны по причине интенсивного турбулентного перемешивания частиц на расстояниях,

больших Я. При этом сближение частиц на масштабах, меньших Я, можно рассматривать, считая течение ламинарным. Характеристики турбулентности среды будут входить во внешние граничные условия. С другой стороны, турбулентность приводит к появлению дополнительной регулярной неоднородности гидродинамического поля на масштабах, меньших Я. Эта внешняя неоднородность может эффективно влиять на сближение частиц в ламинарных областях течения.

Заметим, что турбулентные пульсации могут способствовать втягиванию частиц в гидродинамический след или в зону действия индукционных сил в случае одноименно заряженных частиц. В плотно упакованной дисперсной системе они могут способствовать электростатической коагуляции также путем разрушения экранировки. Турбулентность атмосферы приводит к уменьшению размеров гидродинамического следа достаточно крупной частицы, т.е. к увеличению установившейся скорости ее падения. Этот эффект может существенно увеличить эффективность гравитационной коагуляции частиц осадков с облачными.

Интересные эффекты, способствующие коагуляции частиц, возникают в среде, температура которой неоднородна."

2. Современное состояние исследований

В 1916 году выдающийся польский физик М. Смолуховский, исследуя эволюцию слипающихся частиц в электролитах, записал кинетическое уравнение коагуляции для функции распределения частиц по массам (см. [50]), которое затем было обобщено и на случай непрерывных масс:

ди('У^ + сНу , <•> (X, 0) = ^ (и »(*,/)), (1)

от

со е О, t е Я*, хеКп

где подлежащая отысканию функция и описывает состояния физической системы в каждый момент времени t> 0 в точках с пространственными координатами х = (х1,х2,...,хп). Переменная сое О, есть некоторая характеристика частиц дисперсной системы. В уравнении Смолуховского (1) полагается, что сое О, - это масса частиц системы. Величины Vй"> е Кн определяют скорость движения

элементов физической системы между столкновениями, т.е. скорость свободного переноса.

В случае дискретных масс П = /V, а оператор, стоящей в правой части, определяется соотношением:

1 а»—1 °о

[а) (и[»(0) = - 21ф(® - ® 1>!® > (а'а1 }(ф1""40- и иа) (У) X ®,)«' (0,

2 =1 <»,=1

а в случае непрерывных масс П = , и оператор, стоящий в правой части уравнения, имеет вид:

ч со «з

2 О о

Отметим, что до настоящего времени нет единой точки зрения на трактовку искомой функции и и смысл уравнения Смолуховского. При выводе уравнения (1) Смолуховский полагал, что и(а\х^) есть фактическое число частиц системы в момент времени />О, обладающих массой со, и находящихся в элементе пространства (1х. Статистическое обоснование уравнения коагуляции показало, что функция и{10\х,^ имеет вероятностный характер и ее нельзя отождествлять с фактическим числом частиц заданного размера в заданном элементе пространства в момент времени как предполагалось ранее. В то же время, для сравнения экспериментальных данных и полученных решений уравнения Смолуховского требуется понимание физического смысла функции и(т)(х,(). Поэтому прояснение смысла этой функции, а также смысла уравнения Смолуховского (1) имеет большое прикладное значение.

При построении математической модели процесса коагуляции на дисперсную систему налагаются следующие предположения физического характера:

1) частиц достаточно большое число, чтобы можно было применить функцию распределения числа частиц по массам;

2) дисперсная система настолько разрежена, что можно рассматривать лишь парные взаимодействия частиц, а тройными и более высокого порядка взаимодействиями можно пренебречь;

3) частицы дисперсной системы образуют хаотическое множество.

Первое условие, очевидно, необходимо для возможности статистического описания системы.

Поскольку процесс коагуляции представляет собой объединение (слияние, слипание) в одну частицу нескольких частичек дисперсной системы, то, вообще говоря, можно ожидать, что объединение нескольких частичек в одну может произойти в результате парных, тройных, четверных и т.д. взаимодействий. Однако, если дисперсная система разрежена, то основной вклад в процесс ее эволюции под влиянием коагуляции вносят только парные взаимодействия; тройные и более высокого порядка взаимодействия при этом условии маловероятны, поэтому их вкладом пренебрегают. Отсюда вытекает второе условие.

Третье условие необходимо, поскольку, с точки зрения математического моделирования, нам важно не учитывать изменения, вызванные актом коагуляции, при рассмотрении следующего акта. А это есть условие хаотичности множества, которое математически для системы из N частиц выглядит следующим образом:

Р(П {х1еА1}) = 11Р{х1еА,},

1=1 !=1

где - случайный вектор, х{ - какая-либо характеристика г-

й частицы системы, А, - измеримая область пространства, которому принадлежат х{.

Специальная модель процесса коагуляции Смолуховского в коллоидных растворах, исследуется в [44].

Обратимся к уравнению Смолуховского (1). Ядром этого уравнения является функция Ф(ю,^), которая полагается известной. Ее вид определяется конкретным типом физического механизма, приводящего к столкновению частиц в системе. Для определения Ф{со,сох) нужно решить самостоятельную физическую задачу. Приведем примеры ядер Ф(со,со1) для некоторых физических ситуаций.

Рассмотрим случай, когда частицы взаимодействуют в результате броуновского блуждания и броуновской диффузии. Подробный анализ сил, действующих на броуновские частицы, приведен в [7]. Физико-математическая модель броуновского блуждания подробно разработана в работах Эйнштейна и Смолуховского [41], а также Ланжевена [45] и Чандрасекара [39]. Основным предположением при построении физико-математической модели является следующее: полный импульс, передаваемый частице средой, может быть записан в виде двух

и

слагаемых (регулярного и флуктуационного), причем флуктуационная часть импульса распределена по гауссовскому закону и не зависит от регулярной скорости частицы, т.е. регулярное гидродинамическое поле частицы не оказывает влияния на интенсивность молекулярных флуктуаций среды. В [7] приведена формула для плотности вероятности парных броуновских столкновений, которая в уравнении Смолуховского играет роль ядра Ф(со,со1):

Ф (Г1,Г2) = 4я(П1+02)112,

где Уг,¥2 - объемы частиц, Ц и £>2 - коэффициенты броуновской диффузии частиц; если характер броуновского блуждания двух сферических частиц с радиусами ^ и Я2 не нарушается вплоть до их контакта, то Ьп = Ях + В^. Если между частицами действуют очень сильные, но короткие силы притяжения, то Ьп = /?, + Я2 +21, где / -радиус действия этих сил. Для Ьп должно выполняться условие Ьп »-¡¡Г'О, где р - коэффициент регулярного трения, отнесенный к массе частицы, а В - коэффициент броуновской диффузии. Смолуховский впервые обратил внимание на возможность коагуляции в результате броуновского блуждания. Им же была получена приведенная выше формула. Однако, как отмечено в [7], применимость этой формулы требует дополнительного физического обоснования. Она получена в предположении, что движение частиц независимо вплоть до "столкновения". Но, на малых расстояниях между поверхностями частиц это предположение заведомо не может быть справедливым из-за гидродинамического взаимодействия, которое препятствует столкновению броуновских частиц. Поэтому, вообще говоря, вероятность броуновского столкновения частиц, полученная без учета гидродинамического взаимодействия, дает завышенную оценку.

Рассмотрим теперь вероятность гравитационного столкновения облачных капель. Этот вопрос также подробно рассмотрен в [7]. Приведем вкратце физические соображения, использованные в этой работе при выводе формулы для ядра уравнения коагуляции.

Пусть две сферические капли движутся в невозмущенной среде под действием сил тяжести. Радиусы этих капель обозначим через й, и ^ и положим, что 7?, < . Радиус малой капли считаем настолько большим, чтобы можно было пренебречь ее броуновским блужданием. Если бы взаимное влияние гидродинамических полей капель и возможное взаимодействие между ними (например,

электростатическое) не сказывалось на их движении в среде, то с большой каплей сталкивались бы все малые капли, находящиеся ниже ее в цилиндре, радиус которого равен Кг+К2. Ядро кинетического уравнения коагуляции при этом было бы равно следующему выражению:

Ф (У1,Г2) = х(Я1+К2)2 К (Я2) - V, (/?,)], где - установившаяся скорость падения одиночной капли.

Однако, взаимное влияние гидродинамических полей капель и возможное взаимодействие между ними приводят к искривлению их траекторий в поле сил тяжести. Поэтому в общем случае:

, Г2 ) = 7Г (Л, + Д, )2 [V, (Я,) - V, ЫК, Л).

Отклонение от единицы введенной величины называемой

обычно коэффициентом захвата, характеризует отклонение сечения захвата от геометрического, вызванное взаимным искривлением траекторий капель. Конкретные значения коэффициента захвата в случаях чисто инерционного осаждения и гравитационной коагуляции капель сравнимых размеров приведены также в работе

[7].

Приведем еще несколько ядер, представляющих интерес с точки зрения описания реальных физических явлений:

Ф(со,(о1) = \со + cyj;

Ф{со,а>1) =

Ъ'б0 — л/СО.

• í^fco + д/су^)2 ;

Ф (со, со i) = \co-coJ;

Ф(со,сох) =

2 + з

- -Л3

со

\а> + С01 yCO+COj

а> О

Ф(со,со1) = i^fco +\jco^J;

Ф(бо,со1) =

( i Л су3 +ю3

/

СО 0 + СО-

3

v

v

Следует отметить, что наличие или отсутствие классического решения уравнения Смолуховского зависит от свойств ядра Ф(ю,ю1).

Исследованию вопроса существования решения уравнения Смолуховского посвящена обширная литература.

В случае ограниченного ядра существование классического решения уравнения Смолуховского было доказано в [48], где получен следующий результат:

Лемма. Пусть /(х,0) непрерывна, ограничена и интегрируема. Пусть

О < sup/(х,0) = В <со,

со

J/(.Y,0)ifc= ,V < 00 .

О

Пусть Ф(х,7), зависят от х,у> О, ^(^.у)

непрерывны, причем для верно:

О < Ф(х, у) = Ф(.у, х) < sup Ф(х, у) = А < со, а для Ч^х,;/) выполнено:

О < ¥(х,.у) < sup *¥(х,у) = С < оо,

д: х

\y4>(x,y)dy<x, \4>(x,y)dy<E- 1<оо.

о о

Тогда уравнение

= \ i fly> О Л* - У, О Ш * - y)dy - /(*, t) ]f(y, t) Ф(х, y)dy +

dt 2 о о

+J/СУ, , - ^^ J.y ^

обладает решением /(х,0, определенным на 0<t<oo. Это решение непрерывно, ограничено и неотрицательно, аполитично по £ для каждого х и интегрируемо по х для каждого /.

При условии, что функция Ф^,^) возрастает не быстрее, чем линейно по своим аргументам, существование классического решения уравнения Смолуховского доказано в [10,12], а при Ф(й),со1) = а)й)1 - в [9]. Но в случае, когда функция Ф^,^) возрастает быстрее, чем линейно по своим аргументам, у уравнения Смолуховского может не быть классического решения, что показано в [11].

Классического решения у уравнения Смолуховского может не существовать и при наличии достаточно мощного источника, поставляющего частицы в систему.

При отсутствии классического решения уравнения Смолуховского пользуются теорией обобщенных решений дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, изложенной в [37].

Но есть случаи, когда у уравнения Смолуховского нет не только классического, но и обобщенного решения. Тогда можно воспользоваться теорией функциональных решений, изложенной в [13].

Приведем примеры, иллюстрирующие вышесказанное.

Примеры.

1. При Ф(со,со1) = \ классическое решение существует. Его можно получить методом преобразования Лапласа по массовой переменной со что впервые было проделано в работе [34]. В частности, при начальном условии и^ = ехр(-ю), аналитическое решение уравнения Смолуховского, имеет вид:

и(т)(0~

V 2у

2

1

2. Положим, что состояния частиц описываются их массой О < со < оо, частицы при парных столкновениях "гибнут" с интенсивностью Ф(со,со1) = 1, но в то же время в системе действует постоянный источник частиц с интенсивностью д(оУ> = 1. Для концентрации частиц и{ш)^)в системе имеем следующую задачу Коши:

ди(а\о

и(ю){ 0) = «,

Пусть в начальный момент времени частицы в системе отсутствуют, то есть и0 = о. Покажем, что данная задача Коши не имеет

со

классических и обобщенных решений. Обозначим N(t) - ju(w)(t)dco .

о

Если предположить существование решения, то методом вариации произвольной постоянной получаем:

t t t и(да)(7) = w0 ехр(-JN(s)ds) + Jexp(-JN(s)ds)q(r)dr, t> 0,

0 0 x

откуда, учитывая, что u0 = 0, qco = 1, имеем:

м(и)(/) = > 0, />0.

О г

Поскольку правая часть полученного тождества не зависит от со, величина Ы(() = +оо при любом ^ > 0. Следовательно, и{г) = 0 при /* > 0. Очевидно, что полученная функция не является решением рассматриваемой задачи Коши. Но, тем не менее, это есть функциональное решение (см. [13]), которое является пределом аппроксимаций, основанных на замене бесконечных пределов интегрирования в интегральном члене на конечные с последующим устремлением их в бесконечность, что естественно с физической точки зрения при моделировании рассматриваемой системы. Такой же результат получается при применении неявной разностной схемы.

3. Задача Коши для пространственно однородного уравнения Смолуховского при наличии постоянного источника ц{а) = 1 с постоянной интенсивностью слияния частиц Ф(су,®1) = 1 и нулевыми начальными условиями воспроизводит результат предыдущего примера. Действительно, задача Коши в этом случае имеет вид:

du(a\t) 1

dt

= -¡u^ity^iOdco,-u^it^u^i^dco, +q(a\

(2)

t > 0, со e Я

u^(0) = u0.

Покажем, что данная задача не имеет классических и обобщенных

со

решений. Обозначим N(0 = . Ввиду неотрицательности

первого слагаемого в правой части уравнения (2), отнесем его к функции источника, введя обозначение

1 ш

= — \и{ю'щ)(()и(а>1)(^б)1 +1. Если предположить существование 2

о

решения полученной задачи Коши:

du(a\t) _ к)

dt

+ql""(0, t > О, со е R[7

и™(0) = и„

то методом вариации произвольной постоянной получаем:

uw(t) = ий Qxp(-^N(s)ds) + ^xp(-\N(s)ds)qila)(T)dT, t > О,

О От

откуда, учитывая, что иа = 0, имеем:

I I

(t) = ^Q^{-^N{s)ds)q[(O\r)dz>0, t> 0. (3)

Ввиду неотрицательности первого слагаемого в правой части уравнения (2), верно неравенство:

duUo)(t) dt

>-u{a)(t)\u(ai\t)dcol +q(m\

откуда по лемме о дифференциальных неравенствах (см. [5]), воспользовавшись решением задачи Коши из примера 2, получаем оценку:

< <

(0 > J exp(-J#(j)afc)6fr >0, / > 0.

О х

Правая часть полученного неравенства не зависит от со, тогда величина N(t) = +оо при любом t > 0. Тогда решение (3) исходной

о

задачи Коши, полученное в предположении его существования, равно нулю при / > 0. Очевидно, что полученная функция не является решением рассматриваемой задачи Коши. Но, тем не менее, это есть функциональное решение (см. [13]), которое является пределом аппроксимаций, основанных на замене бесконечных пределов интегрирования в интегральном члене на конечные с последующим устремлением их в бесконечность, что естественно с физической точки зрения при моделировании рассматриваемой системы. Такой же результат получается при применении неявной разностной схемы.

Ряд работ [16-21, 32-33, 35-36, 42, 43, 47, 49] посвящен исследованию вида аналитического решения уравнения коагуляции для различных физических ситуаций. В [34] получено аналитическое решение уравнения коагуляции в случае Ф{со,сох) = 1 (см. пример 1). Ряд работ [16-19] посвящен решению уравнения Смолуховского в случае Ф{со,со1) = со+со1 при начальном условии и^ = ехр(-ю). В [3536] получены асимптотики для решения уравнения Смолуховского для ядра Ф(а>,со1) = со +со1 в случае, когда функция задающая начальные данные экспоненциально спадает при со -» оо. Работы [9, 47] посвящены решению уравнения коагуляции в случае, когда Ф{со,сох) = со сох.

Для численного моделирования процесса коагуляции пользуются следующими методами:

1) Разностный метод решения задачи Коши для уравнения Смолуховского. В пространственно неоднородном случае сходимость разностного метода к функциональному решению уравнения Смолуховского была доказана в [13]. В работе [1] проведен численный расчет уравнения гомогенной конденсации по неявной разностной схеме.

2) Итерационный метод решения. Итерационный метод решения пространственно однородной задачи Коши для обобщенного уравнения больцмановского типа, а также доказательство его сходимости изложены в [8].

3) В ряде работ [6, 22-29] проводилось численное моделирование процесса коагуляции с использованием метода Монте-Карло, а также метода последовательных приближений и метода моментов.

Следует отметить, что численные методы, применяемые для приближенного решения уравнения Смолуховского, до сих пор не имели точного математического обоснования, то есть не была

доказана их сходимость к точному решению уравнения Смолуховского. В настоящей работе предложен разностный метод решения уравнения коагуляции и, в рамках теории разностных схем, приведено доказательство сходимости этого метода к точному решению уравнения Смолуховского.

Все предложенные до настоящего времени модели процесса коагуляции описывали макропараметры системы, такие, как число частиц, общая масса системы, функция распределения числа частиц по массам и т.п. Численные методы, основанные на использовании уравнения Смолуховского (1), как, например, разностный метод решения задачи Коши для уравнения Смолуховского, позволяют найти приближенное решение этого уравнения. Но, как отмечалось ранее, до настоящего времени нет единого мнения по вопросу трактовки искомой функции и в уравнении Смолуховского (1), а также смысла самого уравнения (1). Поэтому затруднено сравнение полученных экспериментальных данных и результатов применения численных методов.

Кроме того, существуют физические ситуации, когда у уравнения Смолуховского нет классического решения. Численных методов расчета пространственно однородного процесса коагуляции в таких случаях до настоящего момента предложено не было. Поэтому построение метода, сходящегося к функциональному решению уравнения Смолуховского, позволяющего рассчитать пространственно однородный процесс коагуляции, имеет большое прикладное значение.

Настоящая работа посвящена исследованию пространственно однородного процесса коагуляции. Уравнение Смолуховского в таком случае имеет вид:

= £<->(««( 0). саеП^еЯ;.

Ы

1 Л) со

2 0 о

0 < Ф{со,со1) = Ф(со1,со), су,<у,еЯ]+, где £(<в)(иС)(*))- оператор Смолуховского.

3. Цель работы

Целью настоящей работы является исследование и моделирование пространственно однородного процесса коагуляции, а именно:

1. Построение новой математической модели пространственно однородного процесса коагуляции, которую можно назвать непосредственной, поскольку моделирование проводится на уровне взаимодействия отдельных частиц системы. Численная реализация построенной модели.

2. Обоснование разностного метода для численного решения задачи Коши для пространственно однородного уравнения Смолуховского. Численная реализация построенного метода.

3. Исследование пространственно однородного процесса коагуляции в случае, когда в систему по некоторому закону поставляются частицы извне, т.е. когда имеется внешний источник частиц.

4. Основное содержание работы

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Багдасарова, Инесса Робертовна, 1999 год

Литература.

[1] Алексеева И.В., Кабанов A.C. Численная модель гомогенного зарождения капельной фазы с учетом коагуляции частиц // Коллоидный журнал, 1990, т. 52, № 2, с. 227-234.

[2] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971.

[3] Багдасарова И.Р., Галкин В.А. Моделирование периодических структур в распределении дефектов, возникающих в конструкционных материалах ЯЭУ, под действием стационарного источника // Известия вузов, Ядерная энергетика, 1999, № 1, с. 85-93.

[4] Багдасарова И.Р., Галкин В.А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Математическое моделирование, 1999, № , с.

[5] Багдасарова И.Р., Галкин В.А. Обоснование предельного перехода в разностной схеме для пространственно однородного уравнения Смолуховского // Тезисы докладов конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова "Теория и приложения методов малого параметра", Обнинск, 1996, с. 9.

[6] Бегалишвили H.A., Енукашвили И.М. Интегральные уравнения кинетической теории коагуляции в смешанных атмосферных облаках//Труды ЗакНИГМИ, 1971, вып. 36(42), с. 15-21.

[7] Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. - JL: Гидрометеоиздат, 1975.

[8] Галкин В.А. Итерационный метод решения одного класса эволюционных уравнений, связанных с физической кинетикой //ЖВМиМФ, 1981, т. 21, №2, с. 385-399.

[9] Галкин В.А. О решении уравнения коагуляции с ядром Ф = ху II Метеорология и гидрология, 1984, № 5, с. 33-39.

[10] Галкин В.А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, № 8, с. 1460-1470.

[11] Галкин В.А. Об одном свойстве процесса коагуляции атмосферного аэрозоля // Метеорология и гидрология, 1983, № 12, с. 11-19.

[12] Галкин В. А. Об устойчивости и стабилизации решения уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, № 10, с. 1863-1874.

[13] Галкин В.А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1997, № 20, с. 81-120.

[14] Галкин В.А., Тупчиев В.А. Об асимптотическом поведении решения уравнения коагуляции // Труды Института Экспериментальной Метеорологии, 1978, вып. 1972, с. 31-41.

[15] Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. - М.: Наука, 1973.

[16] Головин A.M. К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации // ДАН СССР, 1963, т. 148, №6, с. 1290-1293.

[17] Головин A.M. О кинетическом уравнении коагулирующих облачных капель // Изв. АН СССР, Сер. геофизика, 1963, № 10, с. 1571-1580.

[18] Головин A.M. О спектре коагулирующих облачных капель // Изв. АН СССР, Сер. геофизика, 1963, № 9, с. 1438-1447.

[19] Головин A.M. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха // Изв. АН СССР, Сер. геофизика, 1963, № 5, с. 783-791.

[20] Егоров В.И. К теории стационарной коагуляции пространственно неоднородных систем // Сообщения АН ГССР, 1979, №3, с. 601-604.

[21] Егоров В.И. Теоретические аспекты кинетики коагуляции в дисперсных системах // Сообщения АН ГССР, 1979, № 2, с. 325-328.

[22] Енукашвили И.М. К теории конвективного переноса облачных частиц // Труды ЗакНИГМИ, 1971, вып. 41(47), с. 3-18.

[23] Енукашвили И.М. О влиянии коагуляции и пространственного перераспределения облачных частиц на спектр выпадающих осадков // Труды Института геофизики АН ГССР, т. XXVIII, 1972, с. 189-195.

[24] Енукашвили И.М., Бегалишвили H.A. Интегральное уравнение кинетической теории коагуляции облачных частиц с учетом их

конденсационного роста // Труды ЗакНИГМИ, 1971, вып. 36(42), с. 3-10.

[25] Енукашвили И.М., Бегалишвили H.A. О численном решении нелинейных кинетических уравнений коагуляции методом Монте-Карло для пространственно-неоднородной стационарной задачи // Труды ЗакНИГМИ, 1974, вып. 55(61), с. 30-41.

[26] Енукашвили И.М., Бегалишвили H.A. Об одном алгоритме численного решения интегральных кинетических уравнений коагуляции // Труды ЗакНИГМИ, 1974, вып. 55(61), с. 3-11.

[27] Енукашвили И.М., Джапаридзе Н.Д., Надибаидзе Г. А., Бегалишвили H.A. О численном решении методом Монте-Карло линеаризованных кинетических уравнений коагуляции с учетом дробления облачных капель // Труды ЗакНИГМИ, 1975, вып. 63(69), с. 124-134.

[28] Енукашвили ИМ., Джапаридзе Н.Д., Надибаидзе Г.А., Бегалишвили H.A. К вопросу численного моделирования лэнгмюровского цепного процесса в конвективных облаках методом Монте-Карло // Сообщения АН ГССР, 1974, вып. 76, № 1, с. 73-76.

[29] Енукашвили И.М., Джапаридзе Н.Д., Цицвашвили Ш.И., Бегалишвили H.A. О численном моделировании методом Монте-Карло активных воздействий на кинетику осадкообразования в конвективных облаках // Труды ЗакНИГМИ, 1974, вып. 55(61), с. 12-29.

[30] Кружков С.Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. Наук, 1965, т. 20, № 6, с. 112-118.

[31] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. сб., 1970, т. 81, № 2, с. 228-255.

[32] Сафронов B.C. Частный случай решения уравнения коагуляции // ДАН СССР, 1962, т. 147, № 1, с. 64-67.

[33] Сафронов B.C. Эволюция допланетарного облака и образования Земли и планет. - М.: Наука, 1969.

[34] Туницкий Н. О коагуляции полудисперсных систем // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1938, т. 8, вып. 4, с. 418-424.

[35] Тупчиев В.А. Об асимпротических свойствах решения уравнения коагуляции // Труды ИЭМ, 1971, вып. 23, с. 17-27.

[36] Тупчиев В.А. Об асимптотических свойствах решения уравнения коагуляции // Труды Института Экспериментальной Метеорологии, 1971, вып. 23, с. 17-27.

[37] Филиппов А.Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями // Мат. сб., 1960, т. 51, № 4, с. 101-128.

[38] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970.

[39] Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. - М.: Издательство иностранной литературы, 1947, 170 с.

[40] Эдварде P.E. Функциональный анализ. Теория и приложения. -М.: Мир, 1969.

[41] Эйнштейн А., Смолуховский М. Сб. статей "Броуновское движение". - М.: ОНТИ, 1936, 607.

[42] Klett James D. A Class of Solutions to the Steady-State, Source-Enhanced, Kinetic Coagulation Equation // Journal of the Atmospheric Sciences, 1975, v. 32, № 2, p. 380-389.

[43] Lai F.S., Friedlander S.K., Pich J., Hidy G.M. The Self-Preserving Particle Size Distribution for Brownian Coagulation in the Free-Molecule Regim // J. Colloid and Interface Sei., 1972, v. 39, № 2, p. 395-405.

[44] Lang Reihard, Xanh Nguen Xuan. "Smoluchovski's Theory of Coagulation in Colloids Holds Rigorously in the Boltzmann-Grad-Limit", Wahrscheinlichkeitstheorie.

[45] Langevin P. Sur la theorie du mouvement brownien // Comptes Rendus, Pans, 1906, vol. 146, № 10, p. 530-533.

[46] Lee K.W., Chen H. Coagulation Rate of Polidisperse Particles // Aerosol Science and Technology, 1984, v. 3, № 3, p. 327-334.

[47] McLeod I.B. On the scalar transport equation I I Proc. London Math. Soc, 14, 1964, p. 445-458.

[48] Melzak Z.A. A scalar transport education // Trans. Amer. Math. Soc., 1957, v. 85, p. 547-566.

[49] Scott W.I. Analytical studies of cloud droplet coalescence // Journal of Atmospheric Sciences, 1968, v. 25, p. 54-65.

[50] Smoluchowskii M. V. Drei Vortrage Uber Diffusion Brownsche

Molekularheven gung und Koagulation vonkolloidteilchen // Phys. Z,, 1916, v. 17, №6, p. 557-571.

Нижеследующая программа численно реализует приближенный разностный метод решения пространственно однородного уравнения коагуляции, основанный на применении явной разностной схемы для уравнения Смолуховского при наличии неотрицательного источника частиц. Этот метод описан в главе 1 диссертационной работы. Программа написана на языке Turbo Pascal.

uses crt;

const N=2 5;

var f: array [0. .N] of real;

{постоянная N - это «срезка», т.е. максимальная масса частиц системы, учитываемых в расчетах}

{£ - массив, содержащий результаты расчета относительного числа частиц системы, имеющих массу от 0 до ]\Г, на каждом шаге по времени}

z: array [0. .N] of real; {вспомогательный массив}

fl: array[1..N,1..10] of real;

i,j,k,NN:longint;

contr,max,tauO: real;

tO: real;

tl: real;

tau : real; eps: real;

t: real; s : real;

mas : real;

ch: char ; res : text ;

{вспомогательный массив для проверки точности}

{вспомогательные переменные}

{вспомогательные переменные}

{левый конец отрезка по времени, на котором производится расчет} {правый конец отрезка по времени, на котором производится расчет} {шаг по времени}

{точность расчета, определяемая максимальным отклонением результатов подсчета с шагом tau и с шагом tau/2 в десяти контрольных точках по времени} {временная переменная} {относительное число частиц системы, которое является результатом расчетов) {относительная масса частиц системы, которая является результатом расчетов}

{вспомогательная переменная}

{файл, в который записываются результаты расчетов}

function nach(ii: integer):real; var nachlrarray [1..N] of real;

{функция, задающая начальные данные}

u:real; iii:integer; begin

for iii:=l to N do if iii=l then f[iii]:=1000 else f[iii]:=0; u: =0 ;

for iii:=l to N do u:=u+f[iii];

for iii:=1 to N do f [iii] :=f [iii]/u;

end;

function Q(y:integer):real;

begin

Q:=0

end;

{функция, определяющая действие источника частиц}

function FF(г,е:real):extended; begin

FF:=2*sqr(r*e) end;

{ядро уравнения коагуляции}

function Otklon:real;

{процедура проверки точности расчета, определяемой максимальным отклонением результатов подсчета с шагом tau и с шагом tau/2 в одной из десяти контрольных точек по времени }

var mm: real; ii:integer;

begin

mm:=0;

for ii:=l to N do

if abs(f [ii]-f1[ii,k])>mm then mm: =abs(f[ii]-f1[ii, k] ) ; otklon:=mm; end;

procedure Solution;

var si,s2,m:real; ii,o:integer;

begin

s : — 0 ;

mas:=0;

for o:=l to N do if f[o]>0 then begin

s:=s+f[o]; mas:=mas+o*f[o] end;

writeln(res,tO,1 ',s,' '

max:= 0;

for j:=1 to NN do begin

t:=t0+j*tau; for i:=l to N do

{процедура расчета]

, mas) ;

[цикл по времени}

begin

sl:=0; s2:=0 ;

for ii:=1 to i do sl:=sl+FF(i-ii,ii)*f[i-ii]*f[ii]; for ii:=1 to N do s2:=s2+FF(i,ii)*f[ii]*f[i]; z[i]:=f[i]+tau*(sl/2-s2+Q(i));

if z[i]<0 then begin

writeln(1');

halt(0)

end;

end;

for ii:=1 to N do f[ii] :=z [ii] ;

s : =0 ; mas:=0;

for o:=l to N do

if f[o]>0 then begin s:=s+f[o]; mas:=mas+o*f[o]

end;

if (trunc(j/100)-j/100)=0 then

writeln(res,t, ' ',s,' 1,mas); {вывод результатов расчета)

end; end;

for k:=l to 10 do {проверка точности расчета}

if abs(t-k*contr)<0.00000001 then

begin m: =otklon;

if m>max then max:=m;

for ii:=1 to N do f1[ii, k] :=f[ii]

end

begin

clrscr;

assign(res,'y25. rewrite(res); tO:=0; 11: = 1 ; writeln; writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln('

xls') ;

Настоящая программа производит расчет пространственно' однородного процесса коагуляции при наличии источника' частиц методом расчета по явной разностной схеме для') уравнения Смолуховского.');

Расчет производится на отрезке по времени'); [' ^0:7, ' ; ' ' ] . ' ) ;

Результаты расчета будут записаны в файл y25.xls,'); Для начала работы программы нажмите любую клавишу.');

ch:=readkey; writeln;

writeln (' Ждите.......');

NN:=50000 ; eps:=0.1;

tau:=((tl-tO)/NN); contr:=(tl-tO)/10; f [0] :=0;

for i:=l to N do f[i]:=nach(i); for k:=1 to 10 do

for i:=1 to N do f1[i,k]:=f [i] ;

repeat

close(res); rewrite{res); for i:=l to N do f[i]:=nach(i); Solution; tau:=tau/2; NM:=NN*2; until max<eps;

close(res);

end.

Нижеследующая программа численно реализует приближенный разностный метод решения пространственно однородного уравнения коагуляции, основанный на применении неявной разностной схемы для уравнения Смолуховского при наличии неотрицательного источника частиц. Этот метод описан в главе 1 диссертационной работы. Программа написана на языке Turbo Pascal.

uses crt;

const N=2 5;

{постоянная N - это «срезка», т.е. максимальная масса частиц системы, учитываемых в расчетах}

var f:array [0. .N] of real; {f - массив, содержащий результаты расчета

относительного числа частиц системы, имеющих массу от 0 до N, на каждом шаге по времени}

z:array[0.-N] of real; {вспомогательный массив}

fl:array[l..N,1..10] of real;

i,j,k,NN:longint;

contr,max,tauO: real;

tO: real;

tl: real;

tau : real; eps: real;

t : real ; s : real ;

mas : real;

ch:char; res : text ;

{вспомогательный массив для проверки точности}

{вспомогательные переменные}

{вспомогательные переменные}

{левый конец отрезка по времени, на котором производится расчет) (правый конец отрезка по времени, на котором производится расчет} {шаг по времени}

{точность расчета, определяемая максимальным отклонением результатов подсчета с шагом tau и с шагом tau/2 в десяти контрольных точках по времени} {временная переменная} {относительное число частиц системы, которое является результатом расчетов} {относительная масса частиц системы, которая является результатом расчетов}

{вспомогательная переменная}

{файл, в который записываются результаты расчетов}

procedure nach; {процедура, в которой задаются

начальные данные}

var nachl:array [1..N] of real; u:real; ii:integer; begin

for ii:=l to N do if ii=l then f[ii]:=500 else f[ii]: =0; u: =0 ;

for ii:=l to N do u:=u+f[ii]; for ii:=1 to N do f[ii] :=f [ii]/u; end;

{-------------------------------------------------------------}

function Q(у:integer):real;

begin

Q:=0

end;

{функция, определяющая действие источника частиц}

function FF(г,е:real):extended; begin

FF:=2*(r+e) end;

{ядро уравнения коагуляции)

{-

function OtkIon:real;

var mm:real; ii:integer;

begin

mm:=0 ;

for ii:=l to N do

if abs(f[ii]-fl[ii,k])>mm then mm:=abs(f[ii]-f1[ii, k]) ;

otklon: =mm; end;

{процедура проверки точности расчета, определяемой максимальным отклонением результатов подсчета с шагом tau и с шагом tau/2 в одной из десяти контрольных точек по времени }

procedure Solution;

var s1,s2,m:real; ii,o,vspom:integer; begin s: =0 ; mas:=0;

for o:=l to N do begin

s:=s + f [o] ; mas:=mas+o*f[o] end;

writeln(res,tO,1

',mas);

{процедура расчета}

vspom:=0; max:=0;

for j:=l to NN do {цикл по времени}

begin

t:=t0+j*tau; vspom:=vspom+l; for i:=l to N do begin

s1:=0; s2:=0;

for i i:=1 to i do si:=sl+FF(i-ii,ii)*f[i-ii]*f[ii] ; for ii:=1 to N do s2:=s2+FF(i,ii)*f[ii]; z[i]:=(f[i]+tau*(sl/2+Q(i)))/(l+tau*s2);

end;

for ii:=1 to N do f[ii] :=z [ii] ;

s : =0 ; mas:=0;

for o:=l to N do begin

s:=s+f [o] ; mas:=mas+o*f[o]

end;

if ((vspom/100-trunc(vspom/100))=0) then

writeln (res, t, ' ' , s' 1 ,mas) ; {вывод результатов расчета)

end; end;

for k:=l to 10 do {проверка точности расчета)

if abs(t-k*contr)<0.00000001 then

begin m: =otklon;

if m>max then max:=m;

for ii:=1 to N do f1 [ii,k] :=f[ii]

end

begin

clrscr;

assign(res,'n25, rewrite(res); tO : =0; tl:=1; writeln; writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(' writeln(1

xls');

Настоящая программа производит расчет пространственно') однородного процесса коагуляции при наличии источника') частиц методом расчета по неявной разностной схеме для1 уравнения Смолуховского.');

Расчет производится на отрезке по времени'); ['^0:7, ' ; ' ^1:7, ' ] . ' ) ;

Результаты расчета будут записаны в файл n25.xls,'); Для начала работы программы нажмите любую клавишу.');

ch:=readkey; writeln; writeln ( '

Ждите

NN:=10000 eps:=0.1;

tau:=((tl-tO)/NN); contr:=(tl-tO)/10; f[0]:=0;

nach;

for k:=1 to 10 do

for i:=1 to N do f1[i,k] :=f [i];

repeat

close(res ) ; rewrite(res); nach; Solution; tau:=tau/2; NN: =NN*2; until max<eps;

close(res);

end.

Нижеследующая программа численно реализует непосредственную модель пространственно однородного процесса коагуляции. Эта модель описана в главе 2 диссертационной работы. Программа написана на языке Turbo Pascal.

program modeling; uses CRT;

const N=500; {постоянная N - это фазовый объем (или количество

частиц системы)}

var X:array[1..N] of integer; {массив, задающий состояние системы в каждый

момент времени, который состоит из масс частиц системы}

P:array [1..N] of real; {массив, задающий вероятность выбора каждой из

частиц для взаимодействия}

PI:array[1..2] of real; {массив, задающий вероятность вступления во

взаимодействие выбранной пары частиц}

t0: real; tl: real;

i,j,choisel,choise2,allow,vspom:i NPar: integer;

M: integer ; a,b: real; tau : real; t: real; z: char ;

{левый конец отрезка по времени, на котором производится расчет}

{правый конец отрезка по времени, на котором производится расчет}

г; {вспомогательные переменные}

{число частиц системы, имеющих положительную массу}

{общая масса частиц системы}

{вспомогательные переменные}

{шаг по времени}

{временная переменная}

{вспомогательная переменная}

FFrtext; {файл, в который записываются результаты

моделирования (относительное число частиц и относительная масса частиц системы в каждый момент времени)}

function Fi(хх,уу: real) : real;

begin

{функция, определяющая интенсивность взаимодействия частиц системы}

Fi : =xx+yy end;

BEGIN

assign(FF,'resxpy.xls'); rewrite(FF);

tO:=0 ; 11: = 1;

writeln( writeln( writeln( writeln( writeln( writeln( writeln(FF)

Настоящая программа производит расчет пространственно' однородного процесса коагуляции'); в соответствии с непосредственной моделью.'); Расчет производится на отрезке по времени'); [',1:0:7, ' ; '^1:7, '] . ' ) ;

Результаты расчета будут записаны в файл resxpy.xls,')

for i:=l to N do x[i]:=l;

for i:=l to N do p[i]:=l/N;

t:=t0;

M: =0 ;

for i:=1 to N do M:=M+x[i];

tau:=1/N/(M+M);

vspom: = 0;

randomize;

REPEAT {цикл по времени)

t:=t+tau; vspom:=vspom+l;

i:=l;

a:=random; b : =a; repeat b:=b-p[i]; i:=i+l until b<0; choisel:=i-l;

repeat i:=l;

a:=random; b: =a ; repeat b:=b-p [i] ; i:=i+l until b<0; choise2:=i-l

until (choisel<>choise2);

if (x[choisel]>0)and(x[choise2]>0) then

begin

pi[1]:=Fi(x[choisel],x[choise2])*N*tau; pi[2] :=l-pl [1]; j :=1;

a:=random; b: =a; repeat b:=b-p1 [ j] ; j:=j+l until b<0; allow:=j-1; if allow=l then begin

if choisel>choise2 then begin

x[choisel]:=x[choise2]+x[choisel]; x[choise2]:=0; end else

begin

x [choise2] : =x[choisel]+x[choise2]; x[choisel]:=0; end; end; end;

NPar:=0;

for i:=l to N do

if (x [i]>0) then NPar:=NPar+l;

M: = 0 ;

for i : =1 to N do M: =M+x [i] ;

if (vspom/50)=trunc(vspom/50) then {вывод результатов в файл)

begin

writeIn{FF,t:25,NPar/N:2 5,M/N:25) ; end;

UNTIL t>=t1;

close(FF); END.