Моделирование приливной динамики в согласованных криволинейных координатах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Андросов, Алексей Анатольевич

• Андросов, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андросов, Алексей Анатольевич

Содержание

Введение

1 Двумерная баротропная модель приливной динамики

1.1 Постановка задачи в декартовых координатах

1.2 Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах

1.3 Численный метод решения краевой задачи в согласованных криволинейных координатах

2 Приливная динамика Мессинского пролива

Введение

2.1 Анализ модели: численные эксперименты

2.2 Физические результаты

3. Приливная динамика волны М2 на Восточно - Сибирском шельфе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование приливной динамики в согласованных криволинейных координатах»

Введение

3.1 Оценка точности модели; численные эксперименты 56

3.2 Основные физические результаты...........61

4 Моделирование приливов в произвольной трехмерной области. 67

4.1 Постановка задачи в декартовых координатах ... 67

4.2 Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах .................... 71

4.3 Баротропная задача...................75

4.4 Численный метод....................77

5 Приложения трехмерной модели. 83

5.1 Трехмерная баротропная модель Баренцева моря . . 83

5.2 Трехмерная модель Мессинского пролива......99

5.2.1 Баротропная модель Мессинского пролива . 101

5.2.2 Бароклинная модель Мессинского пролива . 108

Выводы 112

Библиографический список использованной литературы

116

Введение

Метод согласованных криволинейных координат. Одним из современных направлений в вычислительной гидродинамике, имеющим широкую сферу приложений, является численное решение краевых задач в произвольных областях с криволинейной границей при использовании такой системы координат, когда координатные линии (в трехмерном случае - поверхности) совпадают с сегментами границы. Целесообразность перехода к криволинейным координатам, согласованным с конфигурацией области (согласованным криволинейным координатам) определяется тем, насколько неприемлема погрешность аппроксимации области при ее обычном кусочно-линейном представлении.

Для двумерной области О с границей dU переход к согласованным криволинейным координатам задает отображение области на параметрический прямоугольник О,* (в трехмерном случае - на параллелепипед). Уравнения в криволинейных координатах численно интегрируются в Q* с граничными условиями на контуре прямоугольника (гранях параллелепипеда) <90*. Тип краевой задачи при этом не меняется и некоторое усложнение уравнений, коэффициенты которых включают элементы метрики, оказывается, вообще говоря, несопоставимым с упрощениями, вытекающими из канонизации области. В этом заключается привлекательность использования согласованных криволинейных координат, и такой подход оказался весьма эффективным для решения краевых задач в областях сложной конфигурации (Годунов и др., 1976; Thompson et al., 1985).

При обычной кусочно-линейной аппроксимации границы области отрезками, параллельными осям координат, наиболее существенна погрешность, возникающая в силу искажения краевого условия на твердом, непроницаемом, контуре, поскольку условие равенства ну-

лю нормальной к границе скорости заменяется на нулевую компоненту скорости, нормальную к одному из координатных направлений. В случае достаточно высокой изменчивости граничного контура частое изменение направления отрезков границы и связанное с этим альтернирование формы граничного условия ведет к погрешностям решения в приграничной зоне, наиболее важной для приложений (Weare, 1979; Pedersen, 1986). Другой источник погрешности при таком способе аппроксимации границы непосредственно связан с искажением граничной метрики и неустраним при дроблении сетки (Goto and Shuto, 1981). К наиболее существенным преимуществам использования согласованных криволинейных координат следует отнести также возможность использования неравномерной криволинейной сетки, сгущающейся там, где это целесообразно по смыслу задачи.

Реализация метода согласованных криволинейных координат состоит, таким образом, из двух процедур: построения криволинейной сетки, адаптированной к области, а также, возможно, к характеру решения и численному решению уравнений на такой сетке. Океанологические краевые задачи яляются естественной сферой приложения этого подхода в силу произвольной, подчас весьма сложной, конфигурации моделируемых акваторий.

Обзор. Построение системы координат, в которой некоторые координатные линии (поверхности) совпадают с каждым сегментом границы можно осуществить многими различными способами. Наиболее распространены методы генерирования криволинейных сеток путем численного решения системы квазилинейных эллиптических уравнений, для которых на границе области задаются декартовы координаты точек. Использование эллиптических уравнений обеспечивает равномерное распределение узлов сетки; при определенных ограничениях на правые части, контролирующие распределение узлов,

эти уравнения гарантируют однозначное отображение криволинейной сетки Од, построенной в физической области О на равномерную прямоугольную сетку Од. Рассмотрение методов построения криволинейных сеток путем решения эллиптической граничной задачи, наряду с другими методами и обсуждение связанной с этим проблематики представлено в обзорной статье Томпсона (Thompson, 1984).

Первой океанологической работой, в которой с необходимой подробностью рассмотрено построение криволинейной сетки в заданной области и преобразование нелинейных уравнений мелкой воды к криволинейным координатам, связанным с границей области, явилась, повидимому, статья Джонсона в обширном сборнике разнообразных приложений метода (Johnson, 1982). Последующие работы в двумерной постановке имели характер освоения и проверки метода при использовании аналитических решений линейных уравнений в канонической области (кольцо, круг), численно отображаемой на прямоугольник (Haeuser et al., 1985; Raghunath et al., 1987). Вместе с тем метод начинает находить расширяющееся применение для изучения и моделирования приливов, морских наводнений и других процессов в реальных условиях (Spaulding, 1984; Willemse et al., 1986; Borthwick, Barber, 1992). В этих работах переход к криволинейным координатам, согласованным с границей области, выполняется так, что в интегрируемых уравнениях вектор скорости сохраняет свое первоначальное, декартово, представление. Численная реализация использует неявную или полунеявную схему второго порядка точности с расщеплением по координатным направлениям. Структура таких методов при аналогичном представлении уравнений уже ранее получила широкое применение в вычислительной аэродинамике (Beam, Warming, 1976; Pulliam, 1985). Другая формулировка краевой задачи в согласованных криволинейных координатах предложена Деми-

ровым (1980), выполнившим моделирование приливов и штормовых нагонов в Черном море при записи уравнений в ковариантной форме и их численной реализации, использующей расщепление и итерационный процесс. Характерной чертой еще одного направления в океанологическом моделировании является постановка краевых задач в форме контравариантных потоков (Сеин, 1992; Klevanny et al., 1994; Андросов и др. 1995, 1996; Романенков, 1996). Способы построения криволинейных сеток, алгоритмы решения уравнений в таком представлении и разнообразные приложения метода для моделирования океанологических процессов в прибрежной зоне рассмотрены в монографии Вольцингера и др., 1989.

Ко второй половине восьмидесятых годов, по мере утверждения и распространения двумерных моделей расчета длинноволновых процессов в согласованных координатах, относится появление работ по решению этих и близких задач в трехмерной постановке. Общей чертой предложенных алгоритмов численной реализации трехмерных задач является использование такой замены переменных, когда горизонтальные независимые переменные преобразуются в соответствии с конфигурацией боковой поверхности заданной области, следуя методологии двумерного моделирования, а в качестве вертикальной принимается <7-координата, спрямляющая дно и свободную поверхность (Вольцингер, Клеванный, 1987; Sheng, 1988; Swanson et al., 1989; Mendelsohn, Swanson, 1992). Такое же разделенное преобразование используется в негидростатической мезомасштабной модели океана, разработанной Олигером (Mahadevan et al., 1996). Выделим также работу Сонга и Хаидвогеля (Song, Haidvogel, 1994), в которой для расчета прибрежного Калифорнийского течения и суточного температурного цикла в верхнем слое океана используется согласованная с береговой линией ортогональная сетка и предложено

обобщение cr-координаты, дающее наилучшее, в некотором смысле, разрешение в поверхностном слое, независимо от больших перепадов глубины; конструкция полунеявного метода состоит из аппроксимации Кранка-Николсона для производных по вертикали и явной аппроксимации горизонтальной адвекции по схеме Адамса-Бэшфорта третьего порядка точности.

Приведенный обзор не полон, однако список работ достаточно представителен и вряд ли может быть существенно расширен. Перечень невелик, и это кажется удивительным, учитывая возможности обсуждаемого подхода, о которых говорилось выше. Можно предположить - и это действительно так - что в ряде случаев использование метода согласованных криволинейных координат сталкивается с трудностями, мешающими широкому его распространению. Очевидный характер этих трудностей связан с тем, что только на равномерной сетке поведение ошибки аппроксимации определяется величиной шага сетки. На типичной неравномерной сетке возникает иная ситуация: при ее сгущении ошибка аппроксимации уменьшается только, если поддерживается распределение узлов, существовавшее на более грубой сетке. Случайное распределение дополнительных узлов может и не сохранять точность схемы (Hoffman, 1982). Дело в том, что неравномерная сетка вводит дополнительную диффузию с коэффициентом, зависящим от метрики. В случае отрицательного коэффициента численная вязкость ведет к локальному росту возмущений. Сравнение нескольких схем в согласованных координатах, выполненное в работе Shyy et al., 1985, показало, что структура сетки оказывается столь же существенной как и выбор самой схемы. В самой общей форме можно сказать, что противоречия между основными требованиями к любому численному методу при переходе к согласованным координатам выступают особенно обостренно и дополняются трудностями

применения универсального метода к особенностям конкретной задачи. Метод согласованных криволинейных координат разрабатывался для решения широкого круга многомерных нелинейных краевых задач в произвольной, возможно неодносвязной, области как с фиксированной, так и подвижной границей. Сложность этих задач возрастает при описании природных процессов. Понятно, что при отказе от упрощающих идеализаций успешное решение таких задач целиком связано с технологическим уровнем используемого подхода. В этом отношении мы находимся в начале пути. Свидетельством продвижения могли бы служить самые общие результаты, относящиеся прежде всего к сравнительной оценке основных форм представления преобразованных уравнений и методов их численной реализации, обеспечивающих необходимую точность сохранения инвариантов дифференциальной задачи.

Это - работа будущего. Для ее выполнения требуется развитие элементов метода и оценка его применения для решения усложненных задач. Представляемая диссертация является шагом в таком направлении.

Цель работы.

1. Разработка эффективной и надежной модификации метода согласованных криволинейных координат для повышения устойчивости схемы и обеспечения приемлемой точности расчета приливной динамики и ее энергетического бюджета в сложной области.

2. Постановка и численная реализация нелинейной краевой задачи для уравнений мелкой воды в форме контравариантных потоков при корректной постановке граничных условий на участках открытого контура.

3. Разработка метода решения трехмерной нелинейной краевой задачи в области с резким изменением морфометрии.

4. Расчет двумерной и трехмерной приливной динамики Мессинс-кого пролива (Средиземное море).

5. Расчет приливной динамики Баренцева моря, Восточно - Сибирского шельфа и примыкающей глубоководной зоны.

Содержание работы. Работа состоит из Введения, пяти глав и Заключения.

Во Введении дается характеристика метода согласованных криволинейных координат, обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели и резюмируется содержание глав.

В первой главе рассматривается постановка двумерной краевой задачи для расчета динамики и энергетики приливов в криволинейных согласованных координатах. Основное внимание уделяется корректной постановке условий на открытой границе. Обсуждается алгоритм численной реализации краевой задачи для уравнений в форме контравариантных потоков. Приводится уравнение баланса приливной энергии и его разностный аналог.

Во второй главе представленная модель применяется для расчета приливной динамики Мессинского пролива. Точность расчета проверяется сопоставлением результатов на детализированной криволинейной сетке, сравнением с данными наблюдений и контролем за выполнением баланса приливной энергии. Определяется сравнительная точность решения краевой задачи в корректной и редуцированной постановках. Анализируются основные факторы, определяющие интенсивную динамику пролива. Приводятся результаты расчета приливных карт, течений, индуцированных полусуточной гармоникой М2 и совокупностью гармоник, полей завихренности и остаточной цирку-

ляции.

В третьей главе представлена приливная модель ВосточноСибирского шельфа. Расчеты выполнены на криволинейной сетке со значительной вариацией степени сеточного разрешения. Сходимость решения проверяется интегрированием уравнений на детализированной сетке. Построенная приливная карта волны Мг выявляет цепочку прибрежных амфидромий, интерпретируемых как результат взаимодействия встречных волн Пуанкаре. Представлен анализ энергетики шельфа и отдельных его зон.

В четвертой главе рассматривается трехмерная краевая задача в криволинейных горизонтальных координатах, согласованных с конфигурацией акватории и сг-координатой по вертикали. Турбулентное замыкание использует Ь — I схему. Приводится численный алгоритм разработанный для решения трехмерной краевой задачи в области с резким изменением метрики и батиметрии.

В пятой глав е предложенная трехмерная модель применяется для расчета баротропной и бароклинной приливной динамики Мессинс-кого пролива и баротропной динамики Баренцева моря. Приводятся результаты расчета и анализа вертикальной структуры приливной волны М-2 в Баренцевом море и Мессинском проливе.

1 Двумерная баротропная модель приливной динамики.

1.1 Постановка задачи в декартовых координатах

Гиперболические уравнения мелкой воды. Рассмотрим начально -краевую задачу для вертикально - осредненных уравнений мелкой воды в декартовых координатах (Каган, 1968):

ut + Аих + Виу = ¥, х, у £ О, t > О

(1.1)

(u 1 / и 0 д) / V 0 о\

U = V , А = 0 и 0 ,в = 0 V 9

0 и) ,0 н V )

F =

/ / \ V

\~UJ

V

rii_1|v|v + gVh

О

где (гг,г>) = у-вектор скорости, Н = /г + С, /г-глубина, ("-уровень, V = (д/дх,д/ду), ^-ускорение свободного падения, ¿-параметр Кориоли-са, г - коэффициент придонного трения, ^-область с контуром <90. На твердой границе контура, <901, имеем:

v„|öii!=0, (1.2)

где г!„-скорость, нормальная к <901. Постановка граничных условий на открытой границе рассматривалась рядом авторов (Lax, Phillips, 1969; Kreiss, 1970; Öliger, Sundström, 1978). Так, для системы (1.1) корректными условиями на открытой границе <902? соответственно на втоке и на вытоке, будут, например, следующие:

bJi = vn- \fgjh( = 71, VT = 72, для vn < 0

(1.3)

W2 = vn- y/gJhC = 7з, для vn > 0

где vn — v • n, n-внешняя нормаль к границе 80,2-, ^г~скорость, касательная к Функция 7г (г = 1,2,3) содержит инвариант, отвечающий приходящей к границе характеристике. Так, в точках вто-ка, например, граничной линии у = 0, инвариант u>i = v + yfg/hC и характеристическая скорость и определяются через инвариант о>2 = v — yg/h(] на вытоке инвариант и>2 должен быть определен через и и. Простейшая связь между инвариантами записывается в виде:

=■ ±0^2 + и граничные условия могут быть сформулированы для С и для v отдельно. Этот случай обычно и используется в практических расчетах, хотя при такой постановке задачи могут возникнуть вычислительные трудности (Elvius and Sundstrom, 1978).

Задание начального условия u|i=o — завершает постановку задачи.

Интеграл энергии. Умножая уравнение движения на vH, а уравнение неразрывности на |v|2/2 + g(, складывая эти уравнения и интегрируя по области О, имеем с учетом условий на контуре dQi:

дЕ 1

— + - / Н(и2 + v2 + 2g()vnds = J Hvfdxdy, (1.4) д0,2 £1

где энергия

E=\j [■Щи2 + + g(2] dx dy п

Таким образом, изменение энергии среднего горизонтального движения определяется переносом энергии через открытые границы и скоростью диссипации энергии, вызываемой придонным трением.

Модификация постановки задачи в случае не вполне параболических уравнений. В приложениях широко используется система уравнений мелкой воды (1.1), в которой уравнения движения содержат члены горизонтального турбулентного обмена

Бу - + ~НК~)у (1.5)

ох ох оу оу

где ^-коэффициент турбулентного обмена. Уравнения мелкой воды с вязкостью относятся к типу так называемых не вполне параболических уравнений. В этом случае условия на открытой границе, например, у = 0, модифицируются следующим образом (Ог^аГввоп апс! Бипс^гот, 1978)

ди

V

V + \fgjhC, =и,и = 72, К— = 7з; V < О

{ф^ + К{9ну1~ = 74, К^=ъ-у>0

(1.6)

При К —> О эти условия переходят в условия (1.3) на открытой границе для системы гиперболических уравнений (1.1).

1.2 Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах

Преобразование уравнений. Введем криволинейные координаты г), согласованные с конфигурацией О; на выбранном сегменте 80, одна из координат фиксирована, а другая распределена произвольно, но монотонно. В плоскости £ г) область О будет представлена прямоугольником либо набором прямоугольников О*. Рассмотрим преобразование:

с якобианом J = д(х,у)/д(£,г]), 0 ф 3 < оо.

(1.7)

Получим уравнения для контравариантных компонентов вектора скорости (Вольцингер и др., 1989). Умножая уравнение движения системы (1.1) для V = (и,у) на контравариантный базисный вектор е* = (» = 1,2; С1 = £2 = »7), имеем

г\ гч

+ и^-^т • е* + дУН • е* = Е • е* (1.8)

дь д£ч к '

где иг = V • У£г-контравариантные компоненты вектора скорости V, Е = (^1,^2). Здесь и далее по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.

Учитывая, что = • ег, а также используя определение кова-риантной производной контравариантного компонента вектора, получим

+ + = (1.9)

где д1] = ег • е;-контравариантные компоненты метрического тензора, Г^-символы Кристоффеля 2-го рода, для вычисления которых можно использовать соотношение

* = де

V 8X1

XI = х, х2 — у; ¿, к,1 = 1,2. Обозначая и1 = и, II2 = V, и используя тождество (Jeг)^ = 0 преобразуем уравнение неразрывности - третье уравнение системы (1.1) - к виду

ЗНг + (1Ни\ + (Л1У)Г] = 0 (1.10)

Преобразуем полученную систему уравнений к виду, удобному для численной реализации. Умножая уравнение (1.9) на Л1 и складывая с уравнением (1.10), умноженным на и\ имеем систему уравнений для контравариантных потоков р = Л117, д = ЗНУ

угг + + = ¥, т] е П*, 0 < 1; < Т

[И f 0 0 7 ^ (о 0

W = ч , А = 0 0 -/3 , В = 0 0 а

UJ U-1 0 0 I J-1 0 j

, (l.ll)

F =

f2 0

Hi

f2 f

\

Q

-p

рЩ + qUv + JHUjYlkjUk ^ pV^ + qVv + JHUjT2kjUk

+

+ rH~lGz!2

/ \

P

\q/

где выполнен переход к ковариантной метрике: дцг — б^е/г, а = дНЗ~1д1Ъ 7 = яН^г922, /3 = дН^д12- = (иии2)-

ковариантные компоненты скорости; Щ = V• е^, ег- = г = (ж,у)

и образуют циклическую перестановку чисел 1,2; С = £7г?7г = Япи2 + ЯпиУ + д22У2, = 1,2.

Уравнение энергии (1.4), отвечающее системе (1.11), имеет вид:

д_ дГ

Е+ / (lG + gC\qndt = -J / tGz'2J d£dV (1.12)

дЩ ^ ' tt*

где (/„-составляющая контравариантного потока на открытой границе и

Е = \ / / {HG + gC2) J dtdrj

п*

Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах для гиперболических уравнений мелкой воды. Перейдем к формулировке граничных условий. На линиях £г = const контура скорость частицы жидкости перпендикулярна нормали к границе: V£* • v = 0. Таким образом на <9Qi имеем:

W = 0 на f = const

(1.13)

Рассмотрим краевые условия на открытой границе дЩ, являющейся отображением физической границы дО,2. Пусть д0.2 совпада-

/

ет с отрезком = const. стороны вычислительного прямоугольника ГГ, на который отображается физическая область Q. Можно показать (Androsov et.al.), что в этом случае условия (1.3) преобразуются к виду:

U1 - -С = Фи Ui = iJ;2, при n^U* < О

(1.14)

иг - 'С = Фз, при пеи1 > О

где п^иг-проекция контравариантной компоненты скорости на внешнюю нормаль к С С дЩ. Получение необходимой информации на открытой границе, обеспечивающее корректную постановку краевой задачи, обычно весьма затруднительно. Последовательный подход заключается в использовании так называемого метода " одностороннего-взаимодействия", когда необходимые граничные условия предоставляются решением некоторой краевой задачи в расширенной области (Gauntlett et al., 1978; Sundstrom, Elvius, 1979). В практических расчетах обычно используется срезающая функция, обращающаяся в нуль адвекцию и диффузию на границе; тогда, как известно, для линейной гиперболической задачи требуется лишь одно граничное условие. Наиболее доступной является информация об уровне, которая обычно и используется. Сопоставление результатов модельных расчетов для корректно поставленной задачи и задачи для уравнений, модифицированных на границе, показывает, что использование срезающей функции в обычных условиях вполне оправдано, и отличие двух решений быстро уменьшается с увеличением глубины на открытой границе. Вместе с тем в случае высокой нелинейности такая редуцированная постановка приводит к значительным погрешностям (Androsov et.al.,1995) и желательно задание граничных условий в соответствии с (1.14).

Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах для уравнений мелкой воды с вязкостью. Рассмотрим граничные условия для системы уравнений (1.11) дополненных членами горизонтального турбулентного обмена:

DP* = (JH) + (1.15)

где г — 1,2; р1 = р, р2 = q; а* = J~lKHglu (3* = J^KHgu, 7* = J~lKHg22, ЛГ-коэффициент турбулентного обмена.

Условия (1.6) на жидкой границе прямоугольника О*, например, г] — const для не вполне параболических уравнений в криволинейных координатах примут вид:

__Q

р - ^Нд22( = Фъ Q = -02, К— (д22р) = Фз при n^U1 < О

(1.16)

Р - V9H922C + к£ (д221/2р) / (л^Я) - Фь

K&(giiQ) = if>6 при п?и*> О где -0j(i)-3aданные функции.

В случае К —0 эти условия переходят в условия для гиперболической системы уравнений мелкой воды (1.14).

1.3 Численный метод решения краевой задачи в согласованных криволинейных координатах.

Сетка. Для интегрирования уравнений в заданной криволинейной области О (ж, ?/), осуществляется предварительное отображение О на прямоугольник О*. При этом криволинейная сетка Од = } отображается на прямоугольную равномерную сетку = {£m,mVm,n} гп = 1,2,...,М; п = 1,2,...,iV. Коэффициенты

преобразованных гидродинамических уравнений включают метрику преобразования, и для их определения в узлах Од требуется знать декартовы координаты их прообразов - узлов Од.

Задача нахождения в произвольной области О(х,у) криволинейных координат £(х,у),г)(х,у), согласованных с конфигурацией области, ставится как краевая задача для системы эллиптических уравнений с граничными условиями, определяемыми заданным соответствием значений ж, у Е 50 значениям 77 Е 50*. При этом одна из координатных линий совпадает с некоторым выбранным сегментом границы <90 и на нем соответствующая координата фиксирована, а другая распределена произвольно, но монотонно. Такая постановка обеспечивает однолистное отображение О на вычислительную область О* (Thompson, 1982).

Метод. Аппроксимируем систему (1-И) схемой Кранка-Николсона, реализуемой расщеплением (Klevanny et.al., 1994)

(/ + w* = (I- ^BSv)wk + ^F*,

(1.17)

где к = At/A- A = Д£ = Д77, k = 0,1,2,..., [T/At], Sb 5V- централь-норазностные операторы, /-тождественный оператор. Исключая из (1.17) промежуточные значения w*, имеем с точностью 0(Ai2, А2)

— wk 111

-—-+ + + + = i(F*4F*) (1.18)

Для линейной задачи при обычных ограничениях собственные числа A{ матрицы + B5V) имеют вид: Ах = 0, Л2,з = ±г| J_1o,

где а = (gnsin202 - sin^i sin02 + £22 sin2 Q\)ll2 > 0, 0i = siA, 02 = s2A, si, s2-ceT04Hbie волновые числа. Для собственных чисел (г = 1,2,3) матрицы перехода схемы (1.17) в этом случае имеем: = (1 — A¿)/( 1 + A¿), pi = 1, |р2,з| — 1? т-е- схема нейтрально-устойчива. В общем случае должно выполняться ограничение на дозвуковой характер движения, вытекающее из рассмотрения собственных чисел матриц А, В

(р,д) < {сНу/д^, сЯ^/рП). (1.19)

Это условие относится к гравитационным модам, вычисляемым неявно. Что касается явной адвективной моды, то оно, аналогично случаю декартовых координат, имеет вид:

М< шах 7-г (1.20)

п* {р + ч)

Разностные уравнения интегрируются на прямоугольной сетке Од в О*, являющейся отображением криволинейной сетки Од. Метод решения использует разнесенную сетку с узлами £ТО)п,?7т,п £ ^д, т = 1,2,..., М; п = 1,2,..., N. Дискретные ^»-значения определяются в точках т,п с целыми индексами, д-в точках с полуцелыми индексами и £-в точках с полуцелыми т и целыми п. Функции, задаваемые в неопределяемых узлах, находятся осреднением.

Рассмотрим реализацию схемы (1.17). Структура матрицы А позволяет исключить С* из первого и третьего уравнений для ии* и получить решение для р*т, т — 1,2,..., М, которое решается трехточечной прогонкой. Неизвестные определяются теперь явным образом. Аналогично, исключая (к+1 из второго и третьего уравнений для Л¥к+1, придем к краевой задаче для п = 1,2,..., А/", решаемой трехточечной прогонкой с краевыми условиями, определяемыми

из уравнения неразрывности, в котором производная ^ на границе известна. После нахождения д^"1"1 функции Сп+1> Рп+1 определяются явно.

Аппроксимация уравнения энергии. Получим разностный аналог уравнения энергии (1.12) на элементе сетки - шаблоне о;д с центром в точке (т + 1/2,п), (рис. 1.1).

'у////< // 9У // ////л / / л, / /

А (

сеточный шаблон о;д

Осредняя уравнения движения относительно центра шаблона, умножим первое уравнение системы (1.17) на Рт+1/2п = (рн^ + ^12^)^+1/2,„, второе уравнение - на Я*т+1/2,п = (922^+ д12иСУт+1/2п и третье уравнение - на + д()*т+1/2у где в = д\\{1^)2 Л-Яд^р^У* + 922(УГ))2- Суммируя полученные уравнения, имеем

е*+1 _ ек

Аг + ^ (1.21)

Здесь:

Заметим, что изменение по времени от полной энергии, как и два последних слагаемых правой части уравнения (1.21) вычисляются на шаблоне а>д без потери точности, с которой интегрируется система уравнений (1.17). Слагаемые (р и й представляют долю энергии, поглощаемую придонным трением и вихревой вязкостью в форме (1.15).

Поток 7г через границы шд запишем в виде:

7Г = + 7Г<2)

где первое слагаемое выражает поток, обязанный колебаниям уровня, а второе - поток, связанный с адвективным переносом. Обозначая

^Ст = Ст+1/2 ~ Ст—1/2 5 С = С^ ■> $г)(п = Сп+1/2 — Сп-1/2? (7^С)1+1/2,п = 2 Ьт^Ст + 7т+1<^Ст+1)п »

и аналогично для осреднения по 77, имеем:

т+1

7Г«

= {(7^ - р + (о^с - Щ?) я+д( (%>+ад}

т+1/2,те

Видно, что понижение точности на порядок происходит из-за необходимости сноса в центр шаблона метрики, задаваемой в р, д-узлах, и связанного с этим смещения разностей С- С учетом соотношений: 7Р — = др, аС} — /ЗР = дд последнее выражение можно представить в дивергентном виде:

7Г(1) = \д [Рт+1 (Ст+3/2 + Ст+1/2) ~ Рт (Ст+1/2 + Ст-1/г)]п + ^ щ Яп+1/2 (Сп+1 + Сп) <?п-1/2 (Сп + Сп-1)]то+1/2 Запишем поток энергии 7г^ на границе о;д:

7г(2) = (¿Щ/* + ТниЩрь^ р + (^7V71 + ТниЩи

+§£(%> +ад.

После перегруппировки членов относительно центра шаблона, что также связано с потерей точности, имеем:

тг(2) = Шдпки2 + 2д125^(иУ) + д225^2] + +2д12 871{иУ) + + ■ Р + и*Т\рк ■ Я)+

+±с(%?+ад

Для преобразования этого выражения к дивергентному виду воспользуемся соотношениями, вытекающими из формул вычисления символов Кристоффеля:

91к^п = \-щ91Ъ 91к^12 = \щ91Ъ 91кГ22 = Щ9п - Щ922, 92кТкп = -Щ912 - \щ911) 92кТ\2 = Щ922, Э2к^22 = 2^022

С учетом выписанных соотношений имеем:

тг(2) = 1 [^О + (¡4,0 + О (%> + ад] (1.23)

и

71" = ^{Рт+1,п[д{Ст+г/2 + Сга+1/2) + ^т+1]п ~ Рт,п[#(Ст+1/2 + Ст-1/г) + + +Ят+1/2,п+1/2[д((п+1 + Сп) + <Яг+1/2]т+1/2-

— ?т+1/2,и-1/2[бг(Сп + Сп-1) + 1/2]т+1/2}

(1.24)

Суммируя уравнение (1.21) по всем шаблонам (<^д)то+1/2,п С £2д, получим разностный аналог уравнения энергии (1.12):

(.Еш - Ек)/Д* = (-П - Ф + £>)* (1.25)

где

£ = | Е 3 {НС + д(2), Ф = ЕК?3/2, В = Е + ф^)

N

П = | гаЕ{рмЬ(См+1/2 + См-1/2) + - ЫЖ1/2 + С-1/г)+

+СУ }п + ^{^-г/гЬССлг + Саг-О + Ом_1/2\-

т= 1 '

-9з/гЬ(С1 + Сг) + ^1]}ш+1/2

2 Приливная динамика Мессинского пролива.

Введение

Геоморфологическая характеристика района. Мессинский пролив отделяет Калабрию (Италия) от острова Сицилия и соединяет Ионическое море с Тирренским (рис.2.1). При протяженности пролива ~ 20км его морфометрия характеризуется большой изменчивостью береговой линии и резким перепадом глубин. В своей южной и центральной части пролив ориентирован меридионально; в северной части ориентация оси пролива меняется, имея направление 3\¥—ЫЕ. В месте перегиба с площадью поперечного сечения ~ 0.3км2 ширина и глубина пролива минимальны: ширина пролива в этой зоне уменьшается до 3км при наименьшей глубине ~ 70м. По обе стороны вершины подводной горы глубина быстро растет, достигая в южной части 1200ж. Здесь у Ионического моря крутой Мессинский каньон вписывается в структуру абиссальной равнины юго-восточнее Сицилии. К северу от вершины подводной горы береговые склоны резко расходятся, глубина увеличивается и строение пролива развертывается в направлении Тирренского моря в виде гигантского подводного конуса.

Геометрия пролива вкупе с особенностями его локализации в общей картине приливной динамики Средиземного моря определяют существование в этом месте интенсивных приливных течений, превышающих 3 м/с.

Исследование динамики пролива: обзор. Традиция, восходящая к древности, идентифицирует реальную географию западного Средиземноморья со сказочным миром гомеровской "Одиссеи". Поражающая воображение картина динамики Мессинского пролива получила

40° N

\ Италия

Тирренское \ / «—;

море \ ч ^

(Калабрия

/ ч_ Мессинский

Сицилийский^^ Сицилия \ пролив

^ пролив

Ионическое

/ море

Тунис\ Мальта

а)

35° N

15 Е

20° Е

Тирренское море

Сицилия

Мессин

Калабрия

Рис.2.1

Ионическое море

а) - Карта района, б) - Расчетная область, изолинии глубин (метры) и размещение приливных станций. Пунктиром обозначены открытые границы.

в этом эпосе мифологическую интерпретацию и силы природы запечатлелись в образах морских чудовищ. Первые попытки постижения морской стихии, облегшиеся в художественную форму, вошли в сокровищницу человеческой культуры.

Два тысячелетия отделяют гомеровский эпос от научного описания динамики Мессинского пролива в работах Аллегранци, 1731 и Галло, 1757г. Эти труды, опиравшиеся на классический трактат по физике моря (приблизительно 1725г.) графа Луиджи Марсильи из Болоньи, уже использовали элементы будущей научной терминологии. Сбор и обработку всей имеющейся к тому времени гидрографической информации выполнил Рибо (1825) - французский вице-консул в Мессине, результаты которого в виде таблиц течений основных направлений и навигационных карт пролива оставались непревзойденными почти столетие. Гидрографическая карта пролива, появившаяся в начале нашего века, уже сопровождалась подробными штурманскими комментариями, в которых течения вблизи различных пунктов побережья увязывались с движением луны. Эти указания перешли в немецкие и французские навигационные карты. Английские лоции имели некоторые отличия, относящиеся, в частности, к локализации основных водоворотов. Харибдский вихрь на них был сдвинут к югу, в пренебрежении правилом древних кормчих: "Indicit in Scyllam qui vult vitare Charybdim" ("Иди на Сциллу, если хочешь избегнуть Харибды" ). Вместе с тем все существовавшие карты с указаниями о вихревой циркуляции, "rema montante", "rema scendente" (восходящий и нисходящий "бурный прилив") были весьма неточны.

Новый этап в изучении динамики пролива открывает работа Роберта фон Штернека, в которой дана общая картина приливных колебаний генерируемых полусуточной волной М2 в Средиземном море. В этой схеме прилив представляется системой соколебаний, причем уз-

ловая линия, расположенная на границе западного Средиземноморья, трансформируется в горле Мессинского пролива, образуя амфидро-мию. Опираясь на данные береговых наблюдений, Штернек не только обосновал общую схему приливных колебаний Средиземного моря, но и выполнил численное интегрирование одномерных гидродинамических уравнений для оценки расходов воды в сечениях моря. Тем самым он впервые реализовал подход, опирающийся на численное моделирование, что следует признать для того времени выдающимся достижением. Для расчета динамики пролива Штернек интегрировал уравнения, осредненные по ширине пролива с 20 узлами по его оси. Уже в наше время этот результат был воспроизведен в Триестской Обсерватории (Мозетти, 1988) с использованием новых натурных данных.

Создание отчетливой и цельной картины ситуации в проливе потребовало качественно новых и обширных экспедиционных материалов. Они были получены в ходе двухлетних работ исследовательского судна "Марсильи" в 1922-23 гг., организованных Верчелли (1925). Материалы составили записи уровня и скорости течения на различных горизонтах более сотни якорных станций, а также измерения температуры и солености. Верчелли выполнил обработку наблюдений и получил распределение гармонических составляющих прилива. Собранный Верчелли материал остается наиболее полной совокупностью данных, сохраняющих свою ценность и поныне.

Результаты Верчелли позволили Мазарелли (1938) и Дефанту (1940; 1961) представить описание и объяснение наблюдаемой динамики. Анализ Дефанта, выполненный с использованием численного решения одномерных (линейных, в пренебрежении придонным трением и турбулентной вязкостью) уравнений, можно резюмировать следующим образом.

Баротропная динамика пролива определяется соколебаниями, ин-

дуцированными приливами на его концах. Доминирующая роль в процессе принадлежит полусуточной волне Поперечное сечение Пун-то Пеццо-Ганцирри, где расположена амфидромия, разбивает пролив на области влияния Тирренского и Ионического морей. Здесь, в горле пролива на расстоянии ~ 3км фаза течения меняется на 180° и градиент уровня имеет максимальное значение 1.7 см/км. Колебания уровня на концах пролива происходят в противофазе и скорости течения северного и южного направлений в этом месте достигают 200см/с. Максимальные значения скорости северного направления при "rema montante" достигаются в середине полусуточного периода, а в обратном направлении при "rema scendente"-4epe3 6^, в конце периода.

Приливная циркуляция характеризуется тремя основными циклоническими вихрями с вертикальной осью: около Сциллы, у Капо Пе-лоро (Харибский вихрь) и у Мессины. Существуют также несколько более слабых антициклонических водоворотов с гладкой, как бы маслянистой поверхностью в центре вихревой области (macchie d'oglio).

Состояние вопроса; обзор. Работы, выполненные после классического анализа Дефанта (1961), касались элементов мессинской динамики и отражали общий прогресс методов и интерпретации наблюдений. При этом обширный материал, собранный Верчелли (1925), продолжал оставаться базой углубленного анализа явлений. Неожиданные следствия активности мощных основных вихрей рассмотрены в статье Альперса и Салусти (Alpers and Salusti, 1983). На основании спутниковых данных и прикидочных оценок авторы показали зарождение внутренних волн в зоне интенсивной турбулентности водоворотов Сциллы и Харибды. В рамках двухслойной постановки Брандт и др. (Brandt et al., 1997) выполнили моделирование распада волн и возникновения внутренних солитонов.

Характерным и наиболее существенным фактором мессинской ди-

намики являются вертикальные перемещения поверхности раздела Промежуточной Левантийской и Атлантической воды в приливном цикле. Практическая важность определения эволюции этой поверхности связана, в частности, с тем, что южные Ионические IL воды содержат богатую биоту и питательные вещества повышенного содержания, улучшая показатели рыболовства в проливе и южном Тирренском море. Численное моделирование движения поверхности раздела Ионической и Тирренской воды выполнил Дель Рикко (1982). Модель основывалась на двумерных, в вертикальной плоскости Y0Z, уравнениях движения, неразрывности и солености, осредненных по ширине пролива. Уравнения интегрировались явным разностным методом с краевыми условиями на концах пролива, представлявшими уровенные колебания волны М2 и потоки соли. Схематизация геометрии пролива и параметров задачи, к сожалению, не позволяют в данном случае говорить о содержательном моделировании. Тем не менее автору удалось рассчитать временную эволюцию поверхности раздела и показать как происходит заполнение акватории в горле пролива поочередно Атлантическими и Левантийскими водами, т.е. подтвердить результаты известные еще Верчелли (1925) и качественно описанные Дефантом (1961). Расчеты Дель Рикко послужили материалом для сравнения при использовании простейшего подхода к расчету эволюции поверхности раздела, реализованного Хопкинс-ком и др. (Hopkins et al. 1984). Авторы получили одномерное аксиальное сечение такой поверхности из одномерных уравнений двухслойной жидкости, в которых скорость задавалась по наблюдениям Верчелли и показали разумное совпадение решения с натурными данными и результатами численного моделирования Дель Рикко.

Крупнейшим современным вкладом в изучение мессинских приливов является отчет Мозетти о экспедициях Триестской Обсерватории

1979-1980 гг. (Mosetti, 1988), в котором приведен обширный материал по результатам гармонического анализа всех существенных компонент приливного течения.

В заключение остается упомянуть об обзорной статье Биньями и Салусти (Bignami and Salusti, 1990), в которой кратко излагается история предмета, характеристика мессинской динамики и ее анализ.

2.1 Анализ модели: численные эксперименты

Сетка. Параметры модели. Расчеты выполнялись на сетке 16 х 27 (рис.2.2) с пространственным шагом, варьирующимся в физической области Q от Ат{п = 50мдоДщаж = ЮООжи At = 240с.

Условия на открытых границах для гармоники М2 определялись согласно данным наблюдений (Vercelli, 1925) и задавались в виде:

Cir' = 4? cos(f + Ш (tJ = cos(f + tfffi), (3.1)

где T = 12.42 -ч-период волны М2, и = 1,2, индекс v = 1 относится к южной границе (Ионическое море), v — 2-к северной границе (Тирренское море)

= 0.062m, 4м = 0.064т, = 0.078т, 4м = 0.145т

Vff = 87°, Vffi = 92°, Vi? = 280°, фЦ = 261°;

значения A^l, Фът> 171 = 2,3, ...,М — 1 на граничных линиях определялись интерполяцией. Аналогично задавались граничные условия для расчета прилива, индуцированного суммой гармоник М2, £2, iV2, iiTi, Oi, Pi. Коэффициент придонного трения задавался равным г = 2.6 • 10~3; для оценки коэффициента турбулентной вязкости служит безразмерное значение е = КJ~lAt = 3.2 • 10_3, использовавшееся в расчетах, откуда в горле пролива К = 0(1м2/с).

Тирренское море

Рис.2.2 Криволинейная сетка Мессинского пролива.

Сравнение точности расчетов при использовании сетки с двойным разрешением. Для оценки точности решения использовалась детализированная сетка с числом узлов 31 х 53, половина из которых совпадает с узлами принятой расчетной сетки 16 х 27. На рис.2.3 представлена гистограмма разности = | — |уг-2^ | для волны где верхние индексы относятся к решениям на соответствующих сетках в совпадающих узлах; Р = 8а/А, где £а-число узлов, в которых разность 5 попадает в интервал [—а, а] за период Г; А-общее число пространственно-временных узлов. Гистограмма показывает, что в ~ 82% узлов значение 8 не превышает ±0.5см/с и только ~ 2% содержит разность решений 8 ~ 20см/с (при \утах ~ 150см/с), т.е. сходимость вполне удовлетворительная. Такая точность на сетке 16 х 27, представляющейся весьма грубой, подтверждает эффективность перехода к согласованным криволинейным координатам.

Сравнение точности решения краевой задачи в корректной и редуцированной постановках. Рассмотрим результат численного эксперимента, дающего представление о различии решений краевой задачи, когда ее корректная формулировка заменяется редуцированной модификацией, возникающей при отказе от использования второго граничного условия на втоке; таким условием для гиперболической задачи в криволинейных координатах, согласно (2.14), является задание поперечной ковариантнои компоненты скорости. В корректной формулировке задача ставится в области Од, являющейся подобластью исходной сеточной области Од. На открытых границах подобласти Од (внутренних координатных линиях Од) необходимая комбинация граничных условий определяется предварительным решением задачи во всей области Од в постановке, когда в приграничной зоне адвекция не учитывается и на втоке ставится лишь одно условие. Теперь можно сравнить решение двух краевых задач уже в подобласти

р, %

90 -л

80 4

70 -

60 -

50 -=

40 Ч

30 -=

20 -

10 -=

-40 -30 -20 -10

Г 0

"Т" 10

20

П-1-1 см/с

30 40

Рис.2.3 Гистограмма разности решений на двух сетках 31*53 и 16*27

Од, задавая граничные условия в полной и редуцированной форме.

На рис.2.4 представлен ход полной энергии волны М2 для каждой из таких задач для случая, когда подобласть Од определяется сдвигом северной открытой границы области Од на шаг А, а южной открытой границы - на 10А. Сравнение энергетических кривых выявляет значение корректной постановки условий на открытой границе при моделировании динамики Мессинского пролива. Приведем также значения рассчитанных максимальных скоростей в приливном цикле для рассматриваемых задач. В редуцированной постановке: тах\у\ = 114см/с, в корректной постановке: тах\\\ = 145см/с; согласно данным Мозетти (1988), тах\ч\ = 150см/с.

Модификация алгоритма. Представленный в главе 1 алгоритм был успешно апробирован при решении широкого круга задач (Воль-цингер и др., 1989). Однако, при применении его к задаче расчета приливной динамики в сложной области Мессинского пролива при резко выраженной нелинейности обнаружилось, что он требует определенной модификации (Андросов и др., 1995). Локальная проверка энергетического баланса в различных ячейках сетки показывает, что уязвимым местом алгоритма является нахождение q* после определения р* и С* на первом полушаге. Это уравнение весьма чувствительно к возмущениям решения, ибо в нем продольная скорость на полушаге определяется поперечным градиентом уровня, причем знак градиента зависит от локальной метрики. Ситуация существенно улучшается при замене на полушаге уравнения для контравариантной составляющей вектора скорости д* на более устойчивое уравнение для <5*, содержащее лишь один, не зависящий от метрики, продольный градиент уровня. Такое уравнение, представляющее форму Ламба в криволинейных координатах, имеет вид:

Е.(кДж)

2.5-10

2.0-10

1.5-10

1.0-10

0.5-10

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Андросов, Алексей Анатольевич

Выводы

1. Для решения двумерных краевых задач приливной динамики повышенной трудности разработана и апробирована модификация метода согласованных криволинейных координат. Предложенная модификация использует смешанную ковариантно-контравариантную форму представления уравнений. При использовании расщепления для численной реализации такая форма повышает устойчивость метода и позволяет выполнить расчеты приливнои динамики с выраженной нелинейностью в областях сложной конфигурации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андросов, Алексей Анатольевич, 1998 год

Библиографический список использованной литературы

Андросов A.A., Вольцингер Н.Е., Каган Б.А., Салусти Э.С. Остаточная приливная циркуляция в Мессинском проли-ве//Изв. РАН, ФАО. - 1993. - т.29, N 4. - С.543-552.

Андросов A.A., Вольцингер Н.Е., Каган Б.А., Салусти Э.С. Мессинские вихри в настоящем и прошлом//Изв. РАН, ФАО. - 1995. - т.31, N 5. - С.679-691.

Андросов A.A., Вольцингер Н.Е., Либерман Ю.М. Расчет трехмерной приливной динамики//Изв. РАН, ФАО. - 1998. -т.34, N 1. - С.78-89.

Астраханцев Г.П., Руховец JI.A. Дискретная гидротермодинамическая модель климатической циркуляции глубокого озера// Сб Вычислительные процессы и системы - 1986. -вып.4 (ред. Марчук Г.И.) - С.135-178.

Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А. Интегрирование уравнений трехмерного движения в произвольной области для расчета наводнений//Изв. АН СССР, ФАО. - 1987. - т.23, N 5.

Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский E.H. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. - JL: Гидрометеоиз-дат, 1989. - 278 с.

Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов Н.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976. - 400 с.

Дворкин E.H., Каган Б.А., Клещева Г.П. Расчет приливных движений в арктических морях//Изв. АН СССР, ФАО. -1972. - т.8, N 3.

т

Демиров E.K. Моделирование собственных колебаний и ветровой циркуляции западной части Черного моря: Дисс. на со-иск. уч. степени канд. физ-мат. наук. - JI. Гидром. ин-т, 1990.

Прошутинский А.Ю. Колебания уровня Северного Ледовитого океана и их роль в формировании гидрологического режима: Дисс. на соиск. уч. степени доктора географических наук. -Л., 1991.

Каган Б.А. Гидродинамические модели приливных движений в море. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. - 219 с.

Каменкович В.М. Основы динамики океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1973. - 240 с.

Линейкин П.С. Основные вопросы динамической теории баро-клинного слоя моря. - Л.: Гидрометеоиздат, 1957. - 139 с.

Марчук Г.И., Гордеев Р.Г., Каган Б.А., Ривкинд В.Я. Численный метод решения уравнений приливной динамики и результаты ее испытаний. - Новосибирск: Выч. Центр, 1972. - 78 с.

Марчук Г.И., Каган Б.А. Динамика океанских приливов. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. - 359 с.

Некрасов A.B. Расчет и построение приливной карты волны М2 в Норвежском и Гренландском морях методом Ханзена// Тр. ЛГМИ. - 1962. - вып. 16. - С.52-57.

Некрасов A.B. Особенности полусуточного прилива между Скандинавией и Шпицбергеном.// Тр. ЛГМИ. - 1962. -вып.16. - С.58-69.

Некрасов A.B. Энергия океанских приливов. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. - 298 с.

Прошутинский А.Ю. Колебания уровня Северного Ледовитого океана и их роль в формировании гидрологического режима: Дисс. на соиск. уч. степени доктора географических наук. -Л., 1991.

Прошутинский А.Ю. Полусуточные приливы в Северном Ледовитом океане по результатам моделирования//Труды АА-НИИ. - 1993. - т.429. - С.29-44

Сеин Д.В. Численное моделирование гидро- и литодинамичес-ких процессов приливного бассейна: Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. - Л. РГГМИ, 1992. - 20 с.

Admiralty Tide Tables//Hydrographer of the Navy - London, 1987.

- N 2, 300 - P.87

Alpers W. and Salusti E. Scylla and Charybdis observed from space//Journ. Geophys. Research. - 1983. - v.88, N c3. -P.1800-1808

Androsov A.A., Klevanny K.A., Salusti E.S. and Voltzinger N.E. Open boundary conditions for horizontal 2-D curvilinear-grid long-wave dynamics of a strait//Advances in Water Resources.

- 1995. - v.18. - P.267-276

Androsov A.A., Liberman Y.M., Nekrasov A.V., Romanenkov D.A. and Voltzinger N.E. Numerical Study of the M2 Tide on the North Siberian Shelf// (принята для публикации в журнале Continental Shelf Research.) - 1997.

Beam R. and Warming R. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservative-law form//J. of Сотр. Phys. - 1976. - v.22, N 1. - P.87-110

№

Bignami F. and Salusti E. Tidal currents and transient phenomena in the Strait of Messina: A review//In: L. J. Pratt (ed.) The Physical Oceanography of Sea Straits. - 1990. - P.95-124

Borthwick A.G. and Barber R.W. River and reservoir flow modelling using the transformed shallow water equations//Int. J. Numer. Meth. in Fluids. - 1992. - v.14. - P.1193-1217

Brandt P., Rubino A., Alpers W. and Backhause Jan O. Internal waves in the Strait of Messina studied by a numerical model and synthetic aperture radar images from the ERS 1/2 Satellites//J. Phys. Ocean. - 1997. - v.27, N 5, May, 1997. - P.648-663

Cebeci T. and Smith A. Analysis of turbulent boundary layers. Acad. Press, 1974. - 404 p.

Defant A. Scilla e Cariddi e le correnti di marea nello Stretto di Messina//Geophisica Pura Applicata. - 1940. - v.2 - P.93

Defant A. Physical oceanography. Vol. II. Pergamon Press, New York. - 1961.

Del Ricco R. Numerical model of the internal circulation of a strait under the influence of the tides, and its application to the Messina strait//Il Nuovo Cimento. - 1982. - v.5C N 1. - P.21-45

Elvius T. and Sundstrom A. Computationally efficient schemes and boundary conditions for a fine-mesh barotropic model based on the shallow-water equations//Tellus XXV. - 1973. - P.132-156

Gary J.M. Estimate of truncation error in transformed coordinate, primitive equation atmospheric models//J. Atmos. Sci. - 1973. - v.30. - P.223-233

Gauntlett D.J., Leslie L.M., McGregor J.L. and Hincksman D.R. A limited area nested numerical weather prediction model:

Formulation and preliminary results//Quart. J.R. Met. Soc. -1978. - v.104. - P.103-117

Gjevik B. and Straume T. Straume Model simulation of the M2 and K\ tide in the Nordic Seas and the Arctic Ocean//Tellus.

- 1989. - v.41A., N 1. - P.73-96

Gjevik B., Nost E. and Straume T. Model simulation of the tides in the Barents Sea//J. Geophys. Res. - 1994. - v.99. - P.3337-3350

Glekas J., Bergeles G. and Athanassiadis N. Numerical Solution of the transport equation for fassive contaminants in three-dimensional complex terrains//Int. J. Numer. Meth. in Fluids.

- 1987. - v.I. - P.319-335

Goto C. and Shuto N. Run-up of tsunamis by linear and nonlinear theories//Proc. 17th Coast. Eng. Conf., Sydney. - 1981. - v.I.

- P.695-707

Gustafsson B. &; Sundstrom A. Incompletely parabolic problems in fluid dynamics//SIAM J. Appl. Math. - 1978. - v.35, N 2 -P.343

Haeuser J., Paap H.-G., Eppel D. and Mueller A. Solution of shallow-water equations for complex flow domains via boundary-fitted coordinates//Int. J. Numer. Meth. in Fluids.

- 1985. - v.15. - P.727-744

Heaps N.S. On the numerical solution of the three-dimensional hydro dynamical equation for tides and storm surges//Memoir. Soc. Roy. Sci. Liege. - 1971. - v.6. - P.143-180

Hoffman J.D. Relationship between the truncation errors of centered finite-difference approximation on uniform and

nonuniform meshes.//J. of Comp. Phys. - 1982. - v.46 - P.469-474

Hopkins T.S., Salusti E. and Settimi D. Tidal forcing of the water mass interface in the Strait of Messina//J. Geophys. Res. -1984. - v.89. - P.2013-2024

James I.D. A general three-dimensional eddy-resolving model for stratified seas//In J.Nihoul (ed.) Three dimensional Models of Marine and Estuarine Dyn. Elsev. Ocean. Ser. - 1987.

Johnson B.H. Numerical modeling of estuarine hydrodynamics on a boundary-fitted coordinate system// In Numerical Grid Generation. Appl. Math. Comp., ed. J.F. Thompson, North Holland. - 1982. - P.409-436

Klevanny K.A., Matveev G.V. and Voltzinger N.E. An integrated modelling system for coastal area dynamics//Int. J. Numer. Meth. in Fluids. - 1994. - v.19. - P.181-206

Kowalik Z. and Untersteiner N. A study of the M2 tide in the Arctic Ocean//Deutsh. Hydr. Zeit. - 1978. - v.31 N 6. - P.216-229

Kowalik Z. A note on the cooscillating M2 tide in the Arctic Ocean//Dtsch. hydr. Z. - 1979.- v.32 N 3. - P. 100-112

Kowalik Z., and Proshutinsky A.Yu. The Arctic Ocean Tides. In: The Polar Oceans and Their Role in Shaping the Global Environment//The Nansen Centenia Volume Geophys. Monogr. Ser., 85, edited by O. Johannessen, R.D. Muench and J.E. Overland, AGU, Washington, D.C. - 1994. - P.137-158

Kowalik Z., and Proshutinsky A.Yu. Topographic enhancement of tidal motion in the western Barents Sea//American Geophysical Union. - 1995. - P.2613-2637

Kreiss H.-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems//Comm. Pure Appl. Math. (Elsevier, 1985). - 1970.

- v.23. - P.277-298

Lax P.D. and Phillips R.S. Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators//Comm. Pure Appl. Math. - 1960. - v.13. - P.427-456

Mahadevan A., Oliger J. and Street R. A nonhydrostatic mesoscale ocean model.//J. of Phys. Ocean. - 1996. - v.26 - P.1868-1900

Mazzarelli G. Vortici, tagli e altri fenomeni delle correnti nello Stretto di Messina//Atti Reale Accademia Peloritana, Messina.

- 1938. - v.XL.

Mellor G.L., Oey L.-Y. and Ezer T. Sigma coordinate pressure gradient errors and the seamount problem//Journal of Atmospheric and Oceanic Technology - 1998. - In press.

Mendelsohn D.L. and Swanson J.C. Application of a boundary fitted coordinate mass transport model//In: Estuarine and Coastal Modeling, ed. M.Spaulding et al. - 1992. - P.382-404

Miller M.C., McCave I.N. and Komar P.D. Threshold of sediment motion under unidirectional currents//Sedimentology. - 1977.

- v.24. - P.507-527

Mosetti F. Some news on the currents in the Strait of Messina//Bollettino di Oceanologia, Teorica e Applicata. -1988. - v.6 N 3. - P. 119-176

Nost E. Methods for computing current profiles; applied on tidal currents in the Barents sea//University of Oslo. - 1992. -Preprint Ser.2.

Mh

Oliger J. and Sundstrom A. Theoretical and practical aspects of some initial boundary value problems in fluid dynamics//SIAM J. Appl. Math. - 1978. - v.35. - P.419-446

Pedersen G. On the effect of irregular boundaries in finite difference models//Int. J. Numer. Methods fluids. - 1986. - v.6. - P.497-505

Pulliam Th. H. Implicit finite-difference methods for the Euler Equations//Adv. Comput. Transonics. - 1985. - v.4. - P.503-542

Raghunath R., Sengupta S. and Hauser J. A study of the motion in rotating containers using a boundary-fitted coordinate system//Int. J. Numer. Meth. in Fluids. - 1987. - v.I. - P.453-464

Sheng Y.P. On modeling three-dimensional estuarine and marine hydrodynamics//In: J.Nihoul (ed.) Three-dimensional Models of Marine and Estuarine Dynamics, Oceanograph Ser., Elsevier, Amsterdam. - 1988. - P.35-54

Ribaud P. Trattato teorico, pratico e storico sulle correnti ed altre particolarita e sui fenomeni che hanno luogo nel canale di Messina//Napoli. - 1884.

Shyy W., Tong S.S. and Correa S.M. Numerical recirculating flow calculation using a body-fitted coordinate system//Numer. Heat Transfer. - 1985. - v.8, N 1. - P.99-113

Sielecki A. and Wurtele M. The numerical integration of the non-linear shallow-water equations with sloping boundaries//J. Comp. Phys. - 1970. - v.6. - P.219-236

Song Y. and Haidvogel D. A semi-implicit ocean circulation model using a generalized topography-following coordinate system//J. of Comp. Physics. - 1994. - v.115, N 1. - P.228-244

Soulsby R.L. The bottom boundary layer of shelf seas//Physical Oceanogr. of Coast, and Shelf seas, ed. B. Johns, Elsevier Oceanogr. Ser. - 1983. - v.35. - P.189-266

Spaulding M.L. A vertically averaged circulation model using boundary-fitted coordinates//J. Phys. Oceanogr. - 1984. - v.14.

- P.973-982

Sterneck R. von. Hydrodynamische Theorie del halbtaegigen Gezeiten des Mittelmeeres//Sitz. Berich. d.k.k. Akad. Wien.

- 1915.

Sundstrom A. and Elvius T. Computational problems related to limited-area modeling, in Numerical Methods used in Atmospheric Models//2, GARP Publications Ser. 17. - 1979. -v.2. - P.379-416

Sverdrup H.U. Dynamics of Tides on the North Siberian Shelf//Geophys. Publ. - 1926. - v.4 N5.-75 p.

Swanson J.C., Spaulding M., Mathisen J. and Oystein O.J. A three-dimensional boundary-fitted coordinate hydrodynamic model, part I: Development and testing//Dt. Hydrogr. Z. - 1989. -v.42, H.3-6. - P.168-186

Thompson J.F. Elliptic grid generation//In J.F. Thompson (ed.) Numerical grid generation, North-Holland. - 1982. - P.79-106

Thompson J.F. Grid generation techniques in computational fluid dynamics//AIAA J. - 1984. - v.22. - P.1505-1523

Thompson J.F., Warsi Z.U.A. and Mastin C.W. Numerical grid generation. Foundation and applications. - North-Holl, Elsevier, 1985. - 483 p.

Vercelli F. II regime delle correnti e delle maree nello stretto di Messina. - Commissione Internazionale del Mediterráneo, Venice, Italy, 1925.

Weare T.J. Errors arising from irregular boundaries in ADI solutions of the shallow-water equations//Int. J. Numer. Methods eng. - 1979. - v.14. - P.921-931

Willemse J.B., Stelling G.S., Verboom G.K. Solving the shallow water equations with an orthogonal coordinate transformation//Int. Symp. Comp. Fl. Dyn., Tokyo, 1985. -1986.