Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Семенова, Ирина Владимировна

• Семенова, Ирина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенова, Ирина Владимировна

Введение

Глава 1. Математическая модель задачи о направленном излучателе в неоднородном полупространстве

1.1. Постановка и решение задачи о направленном излучателе в неоднородном полупространстве с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны.

1.2. Случай волноводного распространения низкочастотных колебаний.

1.3. Случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

1.4. Другие случаи распространения низкочастотных колебаний.

Глава 2. Математическая модель задачи о направленном излучателе в слое

2.1. Постановка и решение задачи о направленном излучателе в однородном слое.

2.2. Трехслойная область, ограниченная однородными полупространствами

2.3. Моделирование неоднородного по вертикали слоя системой однородных слоев.

2.4. Моделирование неоднородного но вертикали слоя системой слоев с линейным законом изменения фазовой скорости распространения колебаний.

Глава 3. Результаты численного моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в неоднородных волноводах

3.1. Назначение и функциональные возможности пакета программ

3.2. Сравнительный'анализ результатов численного моделирования и натурного эксперимента.

3.3. Моделирование для полупространства с абсолютно жесткой границей

3.3.1. Случай волноводного распространения низкочастотных колебаний

3.3.2. Случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

3.4. Моделирование для полупространства с абсолютно мягкой границей

3.4.1. Случай волноводного распространения низкочастотных колебаний

3.4.2. Случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях»

Многолетние исследования колебаний показали, что все источники, вне зависимости от природы излучаемых ими волн, можно разделить на группы в зависимости от их частоты, а также то, что для исследования излучателей, принадлежащих одной и той же группе, можно применять схожие методы. При этом большой интерес вызывают низкочастотные источники, так как именно в этот диапазон попадает достаточно много излучателей волн, которые может воспринимать человек.

Авторами основополагающих трудов по изучению воли различной природы, а также их источников являются Д.Ф. Aparo, П. Делярош, Д.Н. Бартон, Дж. Генри, Г.Р. Герц, П.Н. Лебедев, Дж.К. Максвелл,

A.C. Попов, О. Рейнольде, Дж.Г. Стоке, Дж.У. Стретт (Рэлей).

Широкое изучение основных свойств волновых колебаний и их источников, развитие соответствующих модельных представлений и математических методов происходит еще в XIX столетии. Опыт, накопленный исследователями, обобщен и систематизирован в основополагающих работах ряда отечественных и зарубежных авторов: Р. Баранат [9], Л.М. Бре-ховских [15-17], X. Бриммера [98], Е. Бэйхэра [95], Дж.Р. Вэйта [126],

B.Л. Гинзбурга [26], A.M. Гончаренко и В.А. Карпенко [30], Г.Л. Джеймса [117], В.Ю. Завадского [38]. Л.Н. Захарова, Л. Кампа [43], Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [46], Ю.П. Лысанова [19], Л.М. Лямшева [47], С.Л. Пеке-риса [55], С.Н. Ржевкина [40], Е. Скучика [72], И. Толстого и К. Клея [125], Р.Дж. Урика [81], Е.Л. Фейнберга [82], В.А. Фока [84] и многих других.

Источники волн классифицируются либо по типам создаваемых ими полей, либо по "механизмам" их возбуждения. Так пульсирующий шар создает в сжимаемой среде (газе, жидкости) симметричную сферическую волну (рис. 1, а). В природе подобные источники встречаются крайне редко. Одним из немногих примеров реальных излучателей симметричных сферических электромагнитных волн является совокупность квазичастиц, представляющих собой вариации в положении ионов в кристаллической структуре "спинового льда" 1 [102]. Примером излучателя симметричных сферических звуковых волн являются акустические системы, в основу которых положен принцип ортогонализации излучения фронтальной стороны диффузора головки громкоговорителя и излучения, рожденного внутри корпуса акустической системы2 [52].

В связи с этим, излучатели симметричных сферических волн чаще всего используются лишь как модельное представление при описании реальных источников и создаваемых ими полей в тех случаях, когда источник можно считать пульсирующим шаром, радиус которого мал по сравнению с длинной волны. Таким образом вводится модель монополя — точечного ненаправленного источника.

Рис. 1. Диаграмма направленности: а - монополя; б - вертикального диполя, в квадруполя

Потенциал скоростей поля давления волны я/jq монополя в неограничен

1Fennell Т. Deen Р., Wildes А., Schmalzl К., et al. Magnetic Coulomb Phase 111 tlie Spin Ice -URL:http://nrxiv.org/PScache/arxiv/pdf/0907/0907.0954vl.pdf

2Гайдаров A.C. Патент РФ № 2102838 (1998.01.20) Малогабаритный громкоговоритель. Рефераты российских патентных документов. а б в ном однородном пространстве имеет вид gi(u)t — kr) Г где г, Q,ip — координаты точки наблюдения в сферической системе, центр которой совмещен с источником; А — производительность монополя; к — = uj/c — волновое число; ш — круговая частота излучателя; с — фазовая скорость распространения волн в области; t — время. Потенциал поля монополя зависит только от расстояния г между излучателем и точкой наблюдения и не зависит ни от каких других координат.

Однако многие реальные источники, как было показано в работах [10, 97,114,122,124], в большей или меньшей степени являются направленными, то есть амплитуда и фаза создаваемого ими в области давления волны оказываются зависящими от направления на точку наблюдения. Причем направленность излучателей оказывает существенное влияние на поле, которое формируется в содержащей рассматриваемый источник области. Направленные излучатели создают несимметричную сферическую волну. Так, малые колебания тела как целого, например вдоль оси г около некоторого положения равновесия (г = 0), дают несимметричную сферическую волну вида cos 0е*№~кг) Г где в — угол между направлениями радиус-вектора г и оси z\ D~ диполь-ный момент. Примером излучателя звуковой волны указанного вида является струна. Для описания источников таких волн вводится модель, которую называют диполем (рис. 1, б). Примером электромагнитного диполя является обычный магнит, поле которого может быть представлено как суперпозиция полей двух близко расположенных монополей противоположной полярности. Поле диполя уже не является симметричным, а зависит от направления наблюдения на источник, то есть обладает направленностью.

Некоторые излучатели можно рассматривать как совокупность двух диполей с равными но величине, но противоположными по знаку дипольными моментами. Для описания источников такого вида вводится модель квад-руполя (рис. 1, в).

Обобщением указанных представлений является разложение сферической волны на мультиполи, аналогичное разложению потенциала в ряд Тейлора. Рассмотренные ранее монополь, диполь и квадруполь являются частными случаями мультиполей нулевого, первого и второго порядков соответственно. В качестве примера такого представления можно рассмотреть поле, создаваемое винтом корабля (рис. 2). Нетрудно заметить, что оно может быть приближенно описано совокупностью вертикального диполя и монополя или какой—либо разновидностью квадруполя. Такой подход может быть применен к исследованию многих реальных объектов, например, корпуса судна, звуковещательных станций, расположенных на поверхности земли, некотором возвышении над землей, на воде, самолетах и вертолетах и многих других низкочастотных источников.

Вообще говоря, для описания направленности источников используются различные модели. Направленность излучателя может быть описана, например, с помощью функции распределения поля давления [14, 88, 90] или с помощью диаграммной функции [31,85,86,89], а также путем замены реального источника конечных размеров дискретной или непрерывной группой точечных излучателей, распределенных вдоль некоторой линии, поверхности или объекта [12,13]. Однако несмотря на все преимущества таких подходов, они обладают и рядом недостатков. При использовании

150° 160° ^ Р| ДБ 200° 210°

Рис 2 Пример горизонтальной диаграммы направленности поля, создаваемого винтом корабля с частотой 216 Гц непараметрических моделей, в которых рассматривается непрерывное распределение монопольных или дипольных излучателей по поверхности или объему реального источника, функцию распределения монополей или диполей по занятой источником области в общем случае сложно описать с помощью некоторой относительно компактной системы числовых характеристик. Параметрические модели в основном базируются на дискретном размещении небольшого количества монопольных излучателей вдоль некоторой линии, по некоторой поверхности или какому—либо объему. В качестве параметров таких моделей обычно выступают мощности отдельных монополей и геометрические характеристики их расположения в пространстве. Однако в результирующие выражения для полей таких модельных источников в различных областях часть из этих параметров входит нелинейным образом, что значительно затрудняет решение обратных задач, которые связаны с определением параметров моделей на основании измерений амплитуды и фазы создаваемых ими полей

В ряде случаев избежать этих трудностей можно с помощью параметрической мультипольной модели направленных излучателей, предложенной в [77]. Согласно этой модели направленность источника описывается следующим образом. Пусть в однородном неограниченном пространстве находится монохроматический источник низкочастотных колебаний конечных размеров и произвольной формы. Выбрав внутри такого излучателя произвольную точку О, построим из нее как из центра сферу 5о радиуса г о так, чтобы источник целиком находился внутри сферы. Построим далее сферическую систему координат, центр которой совмещен с точкой О. Давление Р, создаваемое монохроматическим источником в некоторой точке поверхности сферы, определяется вещественной частью функции Р

Р(гЛ<Р^)=шр0ф(г где г — го, </? — сферические координаты точки наблюдения; ¿ — время; г —мнимая единица; а; —частота колебаний; ро — плотность среды; ^ — потенциал скоростей поля давления. Считается, что потенциал ф(го,в,(р) представляет собой непрерывно дифференцируемую по крайней мере до второго порядка включительно функцию. Она интерпретируется следующим образом: модуль и аргумент потенциала ф на поверхности сферы единичного радиуса представляют собой приведенные амплитудную и фазовую соответственно диаграммы направленности рассматриваемого источника.

Колебания, создаваемые рассматриваемым источником в области вне сферы 5о описываются функцией, которая является решением внешней задачи Дирихле, поставленной для сферы 5о- Эта задача формулируется следующим образом. Найти функцию ф(М), удовлетворяющую в области однородному уравнению Гельмгольца

Аф(М) + к2ф(М) = О, М е П (1) и принимающую на ее границе ¿о заданное значение

Ф(М)]Б0=Ф(М), Мея (2) где Д — оператор Лапласа; к — ш/с — волновое число; с — фазовая скорость распространения волны в области; М = М(г,6,(р)—точка рассматриваемой области П или ее границы 5о- Кроме того, на бесконечности искомый потенциал ф должен удовлетворять условию излучения Зоммерфельда [77] й+гк-ф(М)=о(1/г). (3) иг

Решение задачи (1), (2), (3) известно [79], оно единственно и для г > г о может быть представлено равномерно сходящимся рядом оо п

•ф(г,0,ч>) = Е Е СпшЫ£\кт)рМ{соз0)е^, (4) п=0 т=—п где Спт — мультипольные моменты, описывающие направленность источника; /гп ^ — сферические функции Бесселя третьего рода порядка щ Р— присоединенные полиномы Лежандра.

Считается, что (4) представляет собой потенциал поля (функцию источника) модельного направленного точечного излучателя, эквивалентного исходному реальному излучателю, то есть поле такого точечного излучателя совпадает с полем исходного излучателя конечных размеров всюду вне любой сферы, целиком содержащей в себе исходный источник. Направленность модельного излучателя полностью определяется параметрами Спт, имеющими смысл моментов элементарных сферических мультиполей, из которых состоит разложение. При этом модуль параметра представляет собой производительность, а его аргумент — начальную фазу колебания соответствующего мультиполя. Ряд (4) содержит бесконечное количество слагаемых. Однако на практике в данной сумме можно оставлять только конечное число слагаемых. Исходя из физических соображений и экспериментальных данных в большинстве случаев можно ограничиться моментами до второго порядка включительно, что соответствует удержанию в разложении: монополя, трех диполей и пяти квадруполей. При этом направленные свойства модели описываются с помощью 18-ти параметров С ami п = 0,1, 2; га = —п.п. Общее количество описывающих модель параметров L связано с порядком удерживаемых в разложении мультиполей N соотношением [77] п—0

Пусть IV — порядок мультипольности модели, то есть наибольший порядок удерживаемых в выражении для потенциала мультиполей. Тогда п = 0,1,., N и потенциал модельного излучателя (4) запишется в виде

N п

•ф{т,в,ч>) = Е Е Спт1^\кт)Р^(созв)е^. (5) тг=0 т=—п

В [79] показано, что для остаточного отрезка ряда, состоящего из отбрасываемых высших членов ряда (4), имеется равномерная оценка где М = max (г, с/?)| — максимальное значение второй производной по аргументу (р от потенциала ф на рассматриваемой сфере. СледовательN

L = 2 + 1) = 2 (N + I)2. n=N+1 но, подбором значения N можно добиться желаемой точности представления потенциала модельного источника.

Как показано в [77], условием применимости описанной точечной муль-типольной модели излучателя для описания реального монохроматического источника конечных размеров является выполнение следующих соотношений d < £i/7/(1 + £l) « 0.15е/(1 + е), kL < е, где L —линейный размер излучателя; А; —волновое число; d = L/r\ г — расстояние до точки наблюдения.

При вычислении полей мультипольпых излучателей в ограниченных областях с плоскими границами удобно использовать разложения потенциала (5) в совокупность плоских волн [77], описываемое соотношением

N п ф(г, Dnmlnrn(r, (6)

77=0 т=—п

7г/2—zoo где Inm(r, ¡3,9) = J H^(kpsmp)P¡rl(cosP)eikcos^ sin/ад

-7г/2+гоо

Dam — 1/2CnmellT^Tn~n^2] b = гк cos/?; Нш — функция Ханкеля первого рода порядка ш; р — г sin 9 — горизонтальное расстояние до точки наблюдения.

В общем случае задача определения поля источника сводится к решению краевой задачи, учитывающей не только модель источника, но и особенности среды распространения сигнала.

Очевидно, что самым простым является случай однородного пространства, когда значения параметра к в уравнении (1) являются постоянными.

В этом случае задача имеет точное решение, которое найдено и хорошо исследовано для различных моделей излучателей [15,23,77,86,91].

Однако в общем случае скорость распространения волн является функцией координат области распространения сигнала с = с(х, у, z), и большинство реальных сред являются неоднородными. Изменчивость среды в пространстве и времени имеет очень широкие масштабы — от 1 сантиметра до тысяч километров и от долей секунды до многих суток. Описать ее воздействие на создаваемые в ней поля чрезвычайно трудно. Крупномасштабные пространственные изменения чаще рассматривают как постепенное изменение условий распространения волны вдоль трассы [87]. Временные крупномасштабные, то есть медленные изменения условий приводят к медленным вариациям параметров поля вдали от источника. Мелкомасштабные изменения можно описывать как случайные стационарные процессы и в этих рамках искать их воздействие на волны. Таким образом при исследовании распространения волн в неоднородной среде практически всегда встает вопрос о ее модели, то есть статическом приближении, которое достаточно точно описывает ее усредненное состояние.

Исследования показали, что многие из неоднородных сред можно считать непрерывно— слоистыми, то есть допустить, что их свойства непрерывно изменяются в одном направлении (например, вертикальном) и остаются неизменными в других направлениях. В качестве характеристики таких сред удобно использовать показатель преломления n(z) = c(0)/c(z), являющийся отношением фазовой скорости при стандартных условиях с(0) к фазовой скорости в области c(z) на горизонте z. Вообще говоря, данный показатель является комплексным числом, величиной флуктуаций действительной части которого описывается степень взаимодействия волны со средой, а с помощью мнимой части — поглощение волн при их распространении в области.

Среди реальных сред, которые могут считаться непрерывно-слоистыми, наибольший интерес с точки зрения изучения полей, создаваемых низкочастотными источниками, вызывают водные среды и атмосфера.

Разнообразие моделей водных сред возникло из необходимости учесть различные типы дна, химический состав среды и многие другие факторы.

Разработки в области гидроакустики привели к моделям, которые обеспечивают полные трехмерные отображения полей, включающие эффекты изменения рельефа дна из-за подводных гор, континентальных склонов и т.п., так же как и океанографические особенности, такие как фронты и вихри движения водных масс.

Большое количество работ посвящено распространению волн в соленой воде. Под соленой понимается вода, соленость3 которой составляет около 35%. В ходе подобных исследований было установлено, что основными параметрами, характеризующими воду с точки зрения способности к распространению волн, являются температура, ее соленость и статическое давление, то есть веса вышележащих слоев воды, выявлена их зависимость от глубины, а также установлено их влияние на изменение фазовой скорости распространения колебаний в области для различных акваторий [4]. Изменения солености по глубине оказывают незначительное влияние на профиль фазовой скорости распространения волн, хотя ряд исследований позволили получить способ вычисления ее значений в соленой воде по концентрации ионов [32,33]. Наиболее распространенным методом вычисления

3Соленость — количество твердых веществ в граммах, растворенное в 1 кг воды, при условии, что все галогены заменены эквивалентным количеством хлора, все карбонаты переведены в окислы, органическое вещество сожжено. скорости распространения колебаний в соленой воде является использование формулы Вильсона [8], предложенной в 1960г. и отражающей зависимость скорости от всех трех параметров.

Применение разработанных методов к исследованию пресных вод (то есть вод соленость которых не превышает 0.1%), позволило получить аналогичную зависимость фазовой скорости распространения волны в них от температуры и давления, а также вывести общую расчетную формулу, отражающую эту зависимость. Проведено ряд исследований, уточняющих общую формулу с учетом особенностей конкретных водоемов. Так в работе [93] такая формула приведена для озера Байкал.

Основной сложностью при определении закона изменения фазовой скорости распространения колебаний в атмосфере является то, что она имеет сложную структуру, а также то, что ее свойства сильно зависят от географического расположения области исследований, времени года, погодных и многих других условий.

Исследования в области атмосферной акустики показали, что особенно резко ее свойства изменяются по вертикали, поэтому по составу, температурному режиму, электрическим характеристикам атмосфера в вертикальном направлении была разделена на слои. Для исследования распространения волн в атмосфере также разработано большое количество моделей.

По многочисленным данным, полученным прямыми и косвенными методами, определены характеристики некоторой средней, или стандартной модели атмосферы. Это условная модель, для которой заданы средние для широты 45°32'33// значения температуры, давления, плотности, вязкости и других характеристик воздуха на высотах от 2 км ниже уровня моря до внешней границы земной атмосферы. По характеру вертикального распределения температуры средняя атмосфера состоит из нескольких слоев, в каждом из которых температура аппроксимирована линейной функцией высоты [78].

Другой смысл имеют справочные модели атмосферы, являющиеся обобщением знаний о пространственно—временном распределении термодинамических параметров, составляющих скорости ветра и их изменчивости. Комитетом по космическим исследованиям было подготовлено три справочные модели: CIRA 1961, CIRA 1965, CIRA 1972. Длительное время рекомендованной к использованию оставалась модель CIRA 1972. Практически она является моделью западного полушария, хотя и были сделаны попытки дать средние характеристики по "восточному меридиану". К недостаткам этой модели можно отнести отсутствие данных о меридиональном компоненте ветра и оценки среднеквадратичных отклонений от модели, которые можно рассматривать как меру изменчивости атмосферных параметров.

Модель стандартной атмосферы США описывает вертикальные распределения температуры, давления и плотности воздуха от уровня моря до высоты 90 км для каждого месяца года от экватора до полюса. На основе ракетной информации разработан также ряд региональных эмпирических моделей структуры и циркуляции средней атмосферы [7]. Для решения некоторого класса задач были созданы модель однородной атмосферы (плотность воздуха в пределах всей атмосферы не изменяется с высотой), изотермическая модель атмосферы (температура воздуха не изменяется с высотой), политропная модель атмосферы (атмосфера характеризуется линейным изменением температуры с высотой), барометрическая модель атмосферы (модель для случая произвольного распределения температуры по высоте) [50]. Однако наиболее удобной для решения практических задач является модель, предложенная NASA, выражающая зависимость фазовой скорости распространения волны от температуры и давления 4.

Поиск решения краевой задачи для неоднородных областей сопровождается рядом сложностей: точное решение может быть найдено лишь для некоторых моделей среды, однако в этом случае оно имеет интегральный вид. В связи с этим, основу исследования полей, создаваемых источниками в неоднородных областях, составляют приближенные методы. Наиболее распространенным из них является приближение геометрической акустики. Лучевое приближение позволяет качественно объяснить основные наблюдаемые в эксперименте особенности распространения волн. Существенными недостатками данной теории является отсутствие возможности прогнозирования общей продолжительности регистрируемых сигналов в зоне наблюдения, а также проникновение волн в область тени. Указанные ограничения можно преодолеть методами волновой теории.

Распространенным методом исследования полей различных источников в неоднородных областях является метод разложения по нормальным волнам. Этот метод эффективен и хорошо исследован. В [27,39,61] для расчета нормальных волн предлагается использовать метод конечных разностей, в [22,94] — асимптотический метод, в [37] — распределение нормальной волны по глубине, в [54] — осциллирующие теоремы, а в [16,18] — теорию вычетов. В [1,21,58] приводится ряд численных реализаций метода, в [20] показана возможность его применимости на низких частотах, а в [75] натурным экспериментом подтверждена его работоспособность. Недостатком метода нормальных волн является то, что точное решение волнового уравнения

Описание модели и значения температуры взяты с интернет сайта NASA. URL:http://omni\veb. gsfc.nasa.gov/vitmo/msisvitmo. html можно записать лишь для достаточно ограниченных типов вертикальных профилей с(г), а также плохо контролируемая точность полученного результата.

Достаточно полное исследование поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени удается провести в среде, параметры которой являются гладкими функциями координаты г и мало изменяются на расстояниях порядка длины волны. В этом случае эффективны асимптотические методы: приближение ВКБ и обобщающий его метод эталонного уравнения [18]. Приближение ВКБ является основой большого числа асимптотических методов вычисления полей в океане. Однако это приближение дает неточное значение в окрестности точек заворота лучей. Если точка заворота лежит в области быстрого изменения показателя преломления. то возникают большие погрешности по всему дальнейшему ходу луча. В зависимости от способа интерполяции с(г) величина погрешности будет различной. В [57] показано, что величина погрешности применения приближения ВКБ при вычислении поля в слоистом океане связана с неточностью асимптотического представления функций Эйри.

Актуальность темы. Анализ исследований, проводимых в рассматриваемой проблемной области показал, что для описания низкочастотных источников и изучения созданных ими полей чаще всего используется модель монополя, которая является значительным упрощением представления излучателей, так как большинство из них являются направленными.

В случаях, когда необходимо учитывать направленность излучателя используются как параметрические, так и непараметрические модели. Основной недостаток непараметрических моделей — сложности, возникающие при задании и исследовании функций, описывающих направленность источника. В этом смысле параметрические модели являются более простыми. Однако в случае использования параметрических моделей, в основном, исследовались поля в однородных областях, что также является значительным упрощением представления реальных сред, так как большинство из них являются неоднородными. В связи с этим актуальным является изучение полей, создаваемых направленными низкочастотными излучателями, в неоднородных волноводах.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей, описывающих низкочастотные источники в неоднородных областях, постановка и решение краевых задач для наиболее важных частных случаев, выбор и модификация численных способов решения поставленных задач, создание соответствующего комплекса программ, изучение основных свойств полей рассматриваемых излучателей с помощью численного моделирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: построить математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях; поставить и решить краевые задачи нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого параметрической мульти-польной моделью, в случаях: а) неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; б) однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами; в) многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью; выбрать и провести необходимую модификацию численных способов решения поставленных краевых задач; создать комплекс программ для реализации численных способов решения поставленных задач и исследования полученных результатов; проверить адекватность построенной модели путем сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов с данными натурного эксперимента, приведенными в литературе; провести вычислительные эксперименты с целью исследования влияния на поле направленного 1шзкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, функционального анализа, аналитической теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексных переменных, численные методы, вычислительный эксперимент.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1) Построены математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2) Поставлены и решены краевые задачи нахождения поля мультиполь-ного излучателя в следующих областях: неоднородном полупространстве с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; однородном слое с неидеальными границами, окруженном однородными полупространствами; многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью.

3) Разработан комплекс программ для реализации моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в указанных выше волноводах.

4) Получены и проанализированы результаты численных экспериментов исследования влияния на поле направленного низкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит как теоретическую так и прикладную направленность. Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки краевых задач нахождения полей направленных низкочастотных излучателей, описываемых параметрической мультипольной моделью, в неоднородных волноводах. Кроме того результаты исследования дают возможность решения обратных задач, связанных с распознаванием источника, находящегося в неоднородной области, по создаваемому им полем.

Практическая значимость заключается в следующем: получены соотношения, которые могут быть использованы для вычисления полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных волноводах с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны; разработан программный комплекс, с помощью которого могут быть выбраны наиболее подходящие условия наблюдения полей направленных излучателей в неоднородных областях с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны; полученные результаты могут быть применены к исследованию конкретных объектов, которые могут быть описаны рассмотренной моделью, например, корпуса судов, гребные винты кораблей, акустические системы, звуковещательные станции, расположенные на поверхности земли, некотором возвышении над землей, на воде, самолетах, вертолетах и т.д.; полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач, связанных с прогнозом ослабления мощности волны при ее приземном распространении: определение шума вблизи аэропортов, железных дорог и современных автострад, прогноз максимального и среднего уровней шума при небольших взрывах и выстрелах орудий.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2. Постановки и решения краевых задач нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого точечной мультиполь-ной моделью, в случаях: неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами, или многослойной области как модели представления слоя с произвольной неоднородностью;

3. Результаты численного анализа влияния на поле направленного низкочастотного излучателя в полупространствах с волноводным и антиволноводным распространением колебаний таких факторов, как направленность и частота источника, степень неоднородности пространства, расстояние от излучателя и от точки наблюдения до границы области.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

- Третья межвузовская научно-техническая конференция, посвященная памяти заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, проф. Леонида Ивановича Кудряшева, г. Самара, Самарский государственный университет, 24-25 февраля, 2006 г.

- XI школа-семинар академика Л.М. Бреховских, совмещенная с XVII сессией Российского Акустического общества, г. Москва, 2006 г.

- Третья Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2006 г.

- Четвертая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2007 г.

- Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения", г. Москва, МАТ И — Российский государственный технический университет имени К.Э. Циолковского, 1-5 апреля, 2008 г.

- Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского .государственного университета, г. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2010 гг.

- Пятая Международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности". г. Санкт-Петербург, 28-30 апреля, 2008 г.

- Пятая Всероссийская научная конференция с .международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая,

2008 г.

- Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет. 1-4 июня,

2009 г.

- Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики", г. Воронеж, Воронежский государственный университет, 22-24 июня, 2009 г.

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, проф. Д.Д. Ивлева, г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 июля, 2009 г.

25

Личный вклад соискателя: построение математических моделей; поиск точных и приближенных решений поставленных задач; создание комплекса программ; реализация алгоритмов вычисления полученных решений; проведение вычислительного эксперимента.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.

В главе I на основании метода вычисления поля ненаправленного низкочастотного излучателя в стратифицированном полупространстве, предложенного академиком Л.М. Бреховских, получены соотношения, позволяющие рассчитывать поля для мультипольной модели излучателей, находящихся в неоднородных полупространствах с абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границей и волноводньтм или антиволноводным распространением колебаний. Основное содержание этой главы следует работам [5,6,41,65-67,70,71,76].

В главе II получены соотношения, позволяющие рассчитывать поля для мультипольной модели излучателей, находящихся в неоднородных областях при наличии возможности разбиения их на слои, то есть в случаях, когда неоднородное пространство моделируется однородным слоем, ограниченным однородными полупространствами, трехслойной областью, ограниченной однородными полупространствами, совокупностью однородных слоев или совокупностью неоднородных слоев. При написании главы использовались материалы, опубликованные в работах [68,69].

В главе III приводятся функциональные возможности разработанного для проведения вычислительного эксперимента пакета программ, результаты проведенной с его помощью проверки адекватности построенной модели путем сравнительного анализа результатов численного и натурного экспериментов, а также результаты расчетов и численного анализа полей направленного излучателя в неоднородных полупространствах с абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границей и волноводным или антиволновод-ным распространением низкочастотных колебаний. Основное содержание этой главы опубликовано в работах [5,6,41,65-67,70,71,76].

В заключении диссертационной работы сформулированы основные результаты и выводы.

Библиографический список к диссертационной работе насчитывает 118 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Статьи в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий

1. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в полупространстве с волноводным распространением звука // Вестник Самарского гос. технического университета. Естественнонаучная серия. 2009. № 2(19). С. 168-176.

2. Семенова И.В., Степанов А.Н. Поле направленного излучателя в полупространстве с аптиволноводным распространением звука // Информатика и системы управления. 2010. № 1(23). С. 30-41.

Статьи и тезисы в других журналах и изданиях

1. Андреева И.В., Ефимов А.П., Степанов А.Н. Направленный излучатель в воздушной среде с изменением показателя преломления по линейному закону // Прикладные задачи в машиностроении и экономике: труды Третьей межвузовской научно-практической конференции. Самара: Изд-во "Самарский университет", 2006. С. 16-23.

27

2. Звуковое поле мультипольных излучателей в стратифицированной среде / И,В. Андреева, [и др.] // Доклады XI школы-семинара академика Л.М. Бреховских, совмещенной с XVII сессией Российского Акустического общества. - М.: ГЕОС, 2006. С. 23-26.

3. Андреева И.В., Ефимов А.П., Степанов А.Н. Мультипольный излучатель в волноводе с линейной аппроксимацией квадрата показателя преломления скорости звука // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Третьей Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2006. Ч. 2. С. 21-24.

4. Ефимов А.П., Семенова И.В. Оценка пеленга мультипольного источника звука по результатам векторно-скалярных измерений // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2007. Ч. 2. С. 65-67.

5. Семенова И.В. Поле направленного источника в непрерывно-слоистой среде при различных профилях скорости звука // XXXIV Га-гаринские чтения: тез. докл. М.: МАТИ, 2008. С. 103-104.

6. Семенова И.В. Точное решение волнового уравнения в непрерывно-слоистой среде // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2008. Ч. 3. С. 150-152.

7. Семенова И.В. Поле направленного источника звука в слоистом полупространстве // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности: труды Пятой Международной научно-практической конференции. СПб.: Изд-во Политехи. Ун-та, 2008. Т. 13.

С. 413-414.

8. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в трехслойной области // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2009. Ч. 2. С. 158-160.

9. Степанов А.Н., Семенова И.В. Направленный излучатель в неоднородном приповерхностном волноводе // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: труды Международной конференции: в 2 ч. Воронеж: ИПЦ Воронежского государственного университета, 2009. Ч. 2. С. 195-198.

10. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в неоднородном плоскопараллельном слое // Современные проблемы математики, механики и информатики: труды Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 271-274.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Семенова, Ирина Владимировна

Основные результаты, полученные в работе:

1. На основании анализа математических моделей, описывающих направленность излучателей и неоднородность области, синтезированы математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2. Поставлены краевые задачи, а также получены их точные и приближенные решения, позволяющие находить поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого параметрической мультиполь-ной моделью, в случаях: неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами; многослойной области, как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью;

3. Произведен выбор и модификация численных методов решения поставленных краевых задач.

4. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для решения прямых задач, связанных с определением поля направленного излучателя в неоднородных волноводах.

5. Подтверждена адекватность построенной модели в результате сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов, с результатами натурного эксперимента, приведенными в литературе.

6. Проведена серия численных экспериментов по определению влияния на поле направленного низкочастотного излучателя в полупространствах с волноводным и антиволноводным распространением колебаний таких факторов как направленность и частота источника, степень неоднородности пространства, расстояние от излучателя и от точки наблюдения до границы области.

7. Проведенное моделирование подтвердило возможность использования полученных соотношений для расчета поля направленного низкочастотного излучателя в неоднородных волноводах, а также для выбора наиболее подходящих условий наблюдения полей направленных излучателей в неоднородных средах.

Вместе с тем, необходимо отметить, что в реальности излучатели, также как и датчики колебаний, могут осуществлять движение. В связи с этим, в рамках дальнейших исследований по рассмотренной тематике, может быть получено обобщение построенной модели для случая движущихся источника или датчиков колебаний.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенова, Ирина Владимировна, 2010 год

1. Агеева И.С., Крупин В.Д. Структура звукового поля в мелком море. // Акуст. журн. 1979. Т. 25. № 3. С. 340-345.

2. Альперт Я.Л., Гизбург B.JL, Фейнберг E.JI. Распространение радиоволн. М.: Гостехиздат, 1953.

3. Андреева И.В., Бреховских Л.М. Акустика океана. URL:www.akin.ru/spravka/socean.htm.

4. Атмосфера: справочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 508 с.

5. Барк JI.С., Гансон П.П., Мейстер H.A. Таблицы скорости звука в морской воде. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1961. 180 с.

6. Баранат, Р. Вычисление интегралов в теории оптической дифракции: пер. с англ.; // Компьютеры в оптических исследованиях; под. ред. Б. Фридена. М.: Мир, 1983. С. 58-109.

7. Белогорцев А., Шоркина Е. К оценке направленности излучения протяженного источника в волноводе // Акуст. журн. 1994. Т. 40. № 3. С. 435-438.

8. Блажкун А.Д., Шарфарец Б.П. Поля направленных источников и отклики направленных приемников в регулярных и нерегулярных океанических волноводах. Владивосток: Препринт, 1990. 22 с.

9. Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. Общие свойства и принципиальные погрешности метода эквивалентных источников. // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 5. С. 737-750.

10. Бобровницкий Ю.И. Соотношение для импеданса излучения и потока комплексной мощности излучателя конечных размеров. // Акуст. журн. 1997. Т. 43. № 5. С. 703-704.

11. Бобровницкий Ю.И. Физическая модель и характеристики ближнего поля мультиполя. // Акуст. журн. 1998. Т. 44. № 1. С. 11-20.

12. Бреховских Л.М. Акустика океана. М.: Наука, 1974. 695 с.

13. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 243 с.

14. Бреховских Л.М. Подводная акустика. М.: Мир, 1970. 496 с.

15. Бреховских JI.M., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

16. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.

17. Булдырев B.C., Явор М.И. Асимптотические методы расчета звуковых полей в подводных волноводах на низких частотах. // Акуст. жури. 1982. Т. 28. № 5. С. 601-606.

18. Вагин A.B., Мальцев Н.Е. Расчеты низкочастотных звуковых полей в слоистом океане. // Вопр. судостроения. Сер.: Акустика. 1977. Вып. 9. С. 61-81.

19. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982. 243 с.

20. Гаврилов A.M., Новиков Б.К. Особенности работы параметрического излучателя в однородном слое. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 3. С. 420-427.

21. Гинзбург В.Л. Теория распространения радиоволн в ионосфере. Го-стехиздат, 1949. 243 с.

22. Гинзбург В.JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 684 с.

23. Гладкий A.B. О решении волновых уравнений явным разностным методом. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 1. С. 37-42.

24. Годин O.A. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 225. № 5. С. 1069-1072.

25. Годин O.A. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред. // Вопросы дифракции электромагнитных волн. М.: МФТИ, 1982. С. 107-114.

26. Гончаренко A.M., Карпенко В.А. Основы теории оптических волноводов. Минск: Наука и техника, 1983. 237 с.

27. Денисов Д.А., Абрамов A.B., Абрамова Е.П. Метод расчета скорости звука в морской воде. // Акуст. журн. 2003. Т. 49. № 4. С. 494-500.

28. Денисов Д.А., Абрамова Е.П., Абрамов A.B. Расчет скорости звука в морской воде по известным концентрациям ионов. // Акуст. журн. 2004. Т. 50. № 5. С. 609-613.

29. Ди Наполи Ф.Р., Девенпорт Р.Л. Численные методы подводного распросгранения звука. // Акустика океана; / пер. с англ.; под ред. Дж. Же Санто. М.: Мир, 1982. С. 91-176.

30. Долгих В.П., Шарфарец Б.П. Совместное направленное излучение и прием в регулярных волноводах // Акуст. журн. 1990. Т. 36. № 4. С. 654-658.

31. Жельвис A.M., Ривелис Е.А., Славянов С.Ю. Новый метод расчета нормальных волн в акустических волноводах. // Акуст. журн. 1990. Т. 36. № 4. С. 665-669.

32. Завадский В.Ю. Вычисление полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972. 558 с.

33. Завадский В.Ю. Метод конечных разностей в волноводных задачах акустики. М.: Наука, 1982. 243 с.

34. Захаров Л.Н., Ржевкин С.Н. Векторно-фазовые измерения в акустических полях. // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 3. С. 393-401.

35. Звуковое поле мультипольных излучателей в стратифицированной среде / И.В. Андреева и др.] // Доклады XI школы-семинара академика Л.М. Бреховских, совмещенной с XVII сессией Российского Акустического общества. М.: ГЕОС, 2006. С. 23-26.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / пер. с нем. 5-е изд. М.: Наука, 1976. 576 с.

37. Камп J1. Подводная акустика. М.: Мир, 1972. 328 с.

38. Кейлис-Борок В.И. Интерференционные поверхностные волны. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

39. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. ГТТИ, 1933.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. М.: Наука, 1982. 620 с.

41. Лямшев Л.М. Об одном интегральном представлении поля точечного иточника в движущейся среде. // Акуст. журн. 1964. Т. 10. № 1. С. 123-126.

42. Мастеров В.П. К вопросу о волноводном распространении звука в слоисто-неоднородных средах. // Акуст. журн. 1959. Т. 5. № 3. С. 332-336.

43. Мастеров В.П., Муромцева В.Н. Об одном случае антиволноводно-го распространения звука в слоисто-неоднородных средах. // Акуст. журн. 1960. Т. 6. № 3. С. 335.

44. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: Гид-рометеоиздат, 1984. 725 с.

45. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

46. Носов В. Акустическое короткое замыкание в громкоговорителе и его преодоление. // Радио, 2003. № 1. С. 14.

47. О некоторых результатах моделирования дальнего распространения инфразвука в атмосфере. / С.Н. Куличков и др.]. // Известия РАН. Сер.: Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. № 2. С. 232-246.

48. Окомелькова И.А., Шерешевский И.А. Применение осциллирующих теорем для расчета нормальных волн. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 3. С. 487-489.

49. Пекерис С.А. Теория распространения звука взрыва в мелкой воде. Распостранение звука в океане, пер. с англ. Л.М. Бреховских. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. С. 48-156.

50. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями. // Ученые записки ЛГУ. Сер.: Маетем. науки., 1952 №. 162. Вып. 26.

51. Плоткин A.M. Оценки применимости приближения ВКБ в методе нормальных волн. // Акуст. журн. 1985. Т. 31. № 4. С. 496-501.

52. Плоткин A.M. Быстродействующий алгоритм вычисления звукового поля в слоистом океане с помощью метода нормальных волн. // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 5. С. 703-705.

53. Пономарев В.В., Шарфарец Б.П. Оценка влияния движения направленного излучателя на характер его поля в регулярном волноводе // Акуст. журн. 1992. Т. 36. № 3. С. 562-567.

54. Пресняков JI.П., Собельман И.И. О распространении электромагнитных волн в среде с переменным показателем преломления. // Радиофизика. 1965. Т. 8. № 57.

55. Применение непрерывного анализа метода Ньютона для расчета волнового распространения звука в океане / С.И. Винницкий и др.]. // Акуст. журн. 1985. Т. 31. № 6. С. 787-790.

56. Рытов С.М., Юдкевич Ф.С. Об отражении электромагнитных волн от слоя с отрицательной диэлектрической постоянной. // ЖЭТФ. 1946. № 10. С. 285.

57. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1940. 243 с.

58. Савареиский Е.Ф. Сейсмические волны. М.: Недра, 1972.

59. Семенова И.В. Поле направленного источника в непрерывно-слоистой среде при различных профилях скорости звука. // XXXIV Гагарин-ские чтения: тез. докл. М.: МАТИ, 2008. С. 103-104.

60. Семенова И.В. Точное решение волнового уравнения в непрерывно-слоистой среде. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2008. Ч. 3. С. 150-152.

61. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в трехслойной области. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2009. Ч. 2. С. 158-160.

62. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в неоднородном плоскопараллельном слое // Современные проблемы математики, механики и информатики: труды Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 271-274.

63. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в полупространстве с волноводным распространением звука // Вестник Самарского гос. технического университета. Естественнонаучная серия. 2009. №2(19). С. 168-176.

64. Семенова И.В., Степанов А.Н. Поле направленного излучателя в полупространстве с антиволноводным распространением звука // Информатика и системы управления. 2010. № 1(23). С. 30-41.

65. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976. Т. 1-2.

66. Слейтер Л.Дж. Вырожденные гипергеометрические функции / пер. с англ. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1966. 250 с.

67. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

68. Сравнительный анализ методов разложения акустического поля по нормальным волнам в волноводе: численное моделирование и натурный эксперимент / А.Г. Воронови и др.. // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 4. С. 661-669.

69. Степанов А.Н. Мультипольная модель гидроакустических источников. Самара: Изд-во "Самарский университет 2000. 212 с.

70. Таблицы физических величин: справочник / под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.

71. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

72. Уиттекер Е.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа / пер. с англ. М.: Физматгиз, 1962. Т.1. 343с.; 1963. Т.2. 515 с.

73. Урик Р.Дж. Основы гидроакустики. М.: Мир, 1972. 417 с.

74. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 546 с.

75. Фок В.А. Таблицы функций Эйри. М.: ГТТИ, 1946. 212 с.

76. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 518 с.

77. Шарфарец Б.П. Поле направленного излучателя в слоисто-неоднородном волноводе // Акуст. жури. 1985. Т. 31. № 1. С. 119-125.

78. Шарфарец Б.П. О поле направленных излучателей в однородном полупространстве // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 5. С. 954-956.

79. Шарфарец Б.П. Применение квазиклассического приближения для представления поля направленного излучателя в неоднородных средах // Акуст. журн. 1992. Т. 33. № 3. С. 162-165.

80. Шарфарец Б.П. Поле протяженного излучателя в нерегулярном океаническом волноводе // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 2. С. 245-349.

81. Шарфарец Б.П. Использование метода диаграммных функций для расчета поля рассеяния в однородных акустических волноводах // Научное приборостроение. 2001. Т. 2. № 3. С. 52-61.

82. Шарфарец Б.П. Представление поля давления протяженного источника в виде геометрооптического ряда в двумерном случае // Научное приборостроение. 2001. Т. 2. № 4. С. 41-45.

83. Шарфарец Б.П. Поле сферического излучателя в идеальном акустическом волноводе // Акуст. журн. 2002. Т. 48. № 3. С. 410-415.

84. Пресняков Л.П., Собельман И.И. О распространении электромагнитных волн в среде с переменным показателем преломления. // Радиофизика. 1965. Т. 8. № 57.

85. Шерстянкин П.П., Куимова Л.Н., Потемкин В.Л. Особенности поля скорости звука глубокого пресного водоема озера Байкал. иЯЬ:Ьир: / / nti.lin.irk.ru/ЫЫ/епё/ 1'огт1.

86. Явор М.И. Асимптотическое вычисление звуковых полей в океане при наличии глубинного и приповерхностного волноводов // Акуст. журн. 1984. Т. 30. № 4. С. 553-560.

87. Bahar Е. Radio wave propagation in critical coupling media: Comparison of the generalized WKB and Katscnelenbaum's methods // Radio Science. 1958. V. 15. № 3.P. 573-579.

88. Bailey V.A. Reflection of waves by an inhomogeneous medium // Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 865.

89. Bobber Robert J. Measurement of acoustic power radiation from underwater sound transduser // IRE Nat. Convent. Rec. 1958. V. 6. № 2. P. 185-188.

90. Bremmer H. The propagation of electromagnetic waves through a stratified medium and its WKB approximation for oblique incidence // Physica. 1949. V. 15. P. 593-608.

91. Bremmer H. Terrestrial radio waves. Theory of propagation. N.Y.: Elsevier Publ. Co., 1958.

92. Burman R., Gould R.N. The reflection of waves in a generalized Epstein profile // Canad. J. Phys. 1965. V. 43. P. 921.

93. Budden K.G. The wave-guide mode theory of wave propagation. Bristol: Logos Press Acad. Press., 1961.

94. Castelnovo C., Moessner R., Sondhi S. Magnetic monopoles in spin ice // Nature. 2007. V. 451. P. 42-45.

95. Elias G.I. Das Verhalten elektromagnetischer Wellen bei räumlich veränderlichen elektrischen Eigenschaften //' ENT. 1931. V. 8. P. 4.

96. Epstein P. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1930. V. 16. P. 627.

97. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. N.Y.: Mc Graw-Hill. 380 p.

98. Försterling K. Uber die Ausbreitung des Lichtes in inhomogenen Medien // Ann. Phys. 1931. V. 11. P. 1.

99. Försterling K., Wüster H.O. On reflection in inhomogeneous media //Ann. Phys. 1950. V. 8. P. 129.

100. Gupta R.N., Reflection of sound waves from transition layers //J. Acoust. Soc. America. 1966. V. 39. № 2. P. 255.

101. Haddenhorst H.G. Durchgang von elektromagnetischen Wellen durch inhomogene Schichten // Z. angew. Phys. 1955. V. 8. P. 487.

102. Heading J. Refractive index profiles based on the hypergeometric equation and the confluent hypergeometric equation // Proc. Camb. Phil. Soc. 1965. V. 61. № 4. P. 897-913.

103. Heading J. Propagation in an inhomogeneous gyrational medium // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969. V. 22. № 1. P. 75-86.

104. Heller G.S. Reflection of acoustic waves from in inhomogeneous fluid medium // J. Acoust. Soc. America. 1953. V. 25. P. 1104.

105. Hines C.O. Reflection of waves from varying media // Quart. Appl. Math. 1953. V. 1. P. 11.

106. Horton C.W., Sabey A.E. Studies on the near field of monopole and dipole acoustic sources //J. Acoust. Soc. Amer. 1958. V. 30. № 12. P. 1088-1099.

107. Hufford G.A. A note on the wave propagation through an inhomogeneous medium //J. Appl. Phys. 1953. V. 24. P. 268.

108. Iamada R. On the radio wave propagation in a stratified atmosphere // J. Phys. Soc. Japan. 1955. V. 10. P. 71.

109. James G.L. Geometrical theory of diffraction for electromagnetic waves. Stevenage: Peter Peregrinus, 1976. 254 p.

110. Jones D.S. High-frequency refraction and diffraction in general media // Philos. Trans., Ser. A. 1963. V. 255. № 1058. P. 341.

111. Kahan T., Eckart G. A general account of asymptotic expansions in wave propagation. // Rev. sci. Paris. 1949. № 87.P. 3.

112. Lesser M.B. Uniformly valid perturbation series for wave propagation in an inhomogeneous medium //J. Acoust. Soc. Amer. 1970. V. 47. № 5(2). P. 1297.

113. Muskat M., Meres M.W. Reflection and transmission coefficients for plane waves in elastic media. // Geophysics. 1940. № 5. P. 115.

114. Pachner J. On the dependence of directivity patterns on the distance from emmiter // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. V. 28. № 1. P.86-90.

115. Rawer K. Elektrische Wellen in einem geschichteten Medium. // Ann. Phys. 1939. № 35. P. 385.

116. Samsel R.W., Henry G.E. An underwater acoustics intensity probe //J. Acoust. Soc. Amer. 1953. V. 25. № 4. P.823-824.

117. Tolstoy I., Clay C.S. Ocean acoustics; theory and experiment in underwater sound. N.Y.: Mc Craw-Hill Book Co., 1966, 239 p.

118. Wait J.R. Electromagnetic waves in stratified media. N.Y.: Pergamon Press, 1970, 608 p.

119. Wallot J. Der senkrechte Durchgang elektromagnetischer Wellen durch eine Schicht räumlich veränderlicher Dielektrizitätskonstante // Ann. Phys. 1919. № 60. P. 734.

120. Ware J.A., Aki K. Continuous and discrete inverse-scattering problems in a tratified elastic medium. I. Plane waves in normal incidence //J. Acoust. Soc. Amer. 1969. V. 45. № 4. P. 911.

121. Westcott B.S. Soluble profiles for inhomogeneous gyrational media // Quart, J. Mech. Appl. Math. 1979. V. 23. № 3. P. 431-440.