Моделирование, оценка и снижение рисков финансовых инвестиций в условиях развивающегося фондового рынка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Киселёв, Дмитрий Иванович

• Киселёв, Дмитрий Иванович
• кандидат экономических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Киселёв, Дмитрий Иванович

введение.з

1. проблемы оценки и оптимизации рисков инвестиционных операций в условиях развивающихся рынков.

1.1. Особенности развивающихся рынков и рынок инвестиционных услуг РФ.

1.2. Существующие методы оценки риска и анализ их применимости на российском фондовом рынке.

1.3. Задача выбора инвестиционного портфеля на развивающемся рынке.

2. разработка методики измерения рисков, адекватной условиям рф.

2.1. Сущность и систематизация рисков инвестиционных операций на фондовом рынке.

2.2. Просадка капитала как показатель рыночного риска. з.основные инструменты снижения инвестиционных рисков на фондовом рынке рф.

3.1. Активные инвестиционные стратегии.

3.2. Портфель стратегий как инструмент снижения риска.

4. результаты моделирования и практического применения предложенных методик.

4.1. Формирование портфеля на рынке акций РФ.

4.2. Прикладные аспекты формирования портфеля в условиях фондового рынка РФ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование, оценка и снижение рисков финансовых инвестиций в условиях развивающегося фондового рынка»

Актуальность темы исследования. Решающим фактором экономического роста России является привлечение внутренних и внешних инвестиций. Как показывает мировая практика, внешние инвестиции весьма чувствительны к тому, насколько активно используются страной собственные возможности инвестирования.

Значительным инвестиционным резервом могут стать сбережения населения, составляющие по оценке Банка России более 48 миллиардов долларов (по состоянию на конец 2003 года). Другим потенциальным источником инвестиционных средств являются свободные финансовые средства успешных компаний реального сектора экономики.

Опыт стран с развитой рыночной экономикой говорит о том, что организованный фондовый рынок является эффективным механизмом, осуществляющим процесс трансформации сбережений в инвестиционные ресурсы. В качестве примера можно привести не только американский, но и европейский и азиатский рынки, где существенная доля инвестиций приходится на мелких и средних инвесторов (как физических, так и юридических лиц).

Ключевая роль в задаче обеспечения привлекательности фондового рынка для частных и институциональных инвесторов принадлежит профессиональным участникам рынка ценных бумаг. В западных странах существует множество взаимных фондов, финансовых компаний, банков, которые предлагают широчайший спектр инвестиционных продуктов, способных удовлетворить потребности практически любого инвестора.

Развитие подобного рынка инвестиционных услуг в РФ сдерживает ряд факторов, одним из которых является недостаточная разработанность теоретического и прикладного инструментариев оценки и оптимизации инвестиционных рисков в условиях развивающихся рынков, к которым относится и рынок РФ.

Так, развивающимся финансовым рынкам присущи следующие характерные особенности:

- слабая эффективность и низкая ликвидность, вследствие малого количества участников;

- высокая волатильность, обусловленная значительной чувствительностью экономической системы к внешним конъюнктурным факторам и политической нестабильностью;

- сильная степень корреляции финансовых инструментов, вызванная недостаточной диверсификацией национальной экономики и слабой межотраслевой конкуренцией;

- концентрация ликвидности в нескольких бумагах -«голубых фишках» из-за совокупности причин, перечисленных выше;

- короткая история организованных торгов.

Все это ставит под сомнение целесообразность применения известных методов измерения и управления рисками инвестиционных операций, большинство из которых разрабатывались в странах с развитой экономикой с учетом так называемой «гипотезы эффективного рынка». Развивающиеся рынки редко удовлетворяют сильным постулатам этой гипотезы, и российский рынок - не исключение.

Таким образом, особенно актуальной проблемой для инвесторов стала разработка аналитического инструментария оценки и оптимизации инвестиционных рисков, адекватного условиям развивающегося фондового рынка Российской Федерации.

Целью работы является разработка методического инструментария для построения оптимального портфеля инвестиционных стратегий адаптированного к условиям отечественного рынка и ориентированного на инвесторов с низкой степенью толерантности к риску.

Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

• проведен критический анализ существующих методов измерения финансовых рисков и методов построения оптимальных инвестиционных портфелей, позволивший выявить основные ограничения применимости известных подходов;

• выявлены факторы риска, адекватно отражающие поведение высоковолатильных инструментов развивающегося фондового рынка РФ;

• предложен критерий оценки рисков на основе выявленных факторов;

• разработаны экономико-математические модели, позволяющие оценивать доходность и риски предлагаемых инвестиционных стратегий;

• определены свойства активных инвестиционных стратегий для отдельных финансовых инструментов при заданных ограничениях на риск;

• разработана модель оптимального портфеля инвестиционных стратегий с учетом индивидуальных рисковых предпочтений инвестора.

Объектом исследования является фондовый рынок акции российских компаний.

Предметом исследования выступают риски инвестиционных операций на этом рынке.

Теоретический и методологический аппарат исследования. Для решения поставленных задач использовались методы системного и экономического анализа, математической статистики, теории вероятностей, экономико-математического моделирования (в том числе имитационные и оптимизационные методы).

Исследование проводилось на базе работ, посвященных проблемам разработки методологии измерения и оптимизации инвестиционных рисков. В числе этих работ - труды Ф. Найта, Г. Марковича, В. Шарпа, Дж. Литнера, Дж. Неймана, О. Моргенштерна, Р.Мертона, П. Джориона Дж. Эстрады и др. При исследовании методик управления капиталом учитывались наработки Дж. Келли, Э. Торпа.

В ходе исследования проанализированы и использованы разработки, выполненные современными российскими специалистами: А.Н. Ширяевым, А.Н. Романовым, И.Я. Лукасевичем, Я.М. Миркиным и др.

Информационной базой исследования послужили история динамики котировок акций российских компаний в фондовой секции ММВБ за период 01.01.2000-01.05.2004, данные инвестиционной компании ЗАО «Риск-Инвест» за тот же период.

Научная новизна исследования заключается в построении концепции управления финансовыми рисками, возникающими в ходе инвестиционной деятельности на развивающемся фондовом рынке РФ.

На защиту выносятся следующие результаты проведенного исследования, содержащие элементы научной новизны:

- для количественной оценки финансовых рисков инвестиционных операций в условиях развивающегося фондового рынка обоснована необходимость разработки рискового функционала, основанного на показателях продолжительности и величины «просадки капитала»;

- предложен новый критерий оценки рисков инвестиционного портфеля на базе понятия «просадки капитала», разработана методика расчета этого показателя риска;

- предложен способ оценки устойчивости активных инвестиционных стратегий, позволяющий делать статистически обоснованные выводы о свойствах стратегий;

- разработана методика прогноза показателей эффективности и риска инвестиционных стратегий, использование которой дает возможность осуществлять планирование финансовых результатов торговых операций;

- предложен приближенный теоретико-вероятностный способ оценки параметров оптимальной методики управления капиталом для логарифмической функции полезности;

- предложена концепция естественного обобщения современной теории портфеля на случаи слабоэффективных рынков, позволившая разработать новую методику формирования портфеля рисковых активов, учитывающую особенности фондового рынка РФ;

- выявлены диверсификационные эффекты на примере портфеля стратегий для российского фондового рынка, построены эффективные границы.

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенные в ней подходы, методики, модели и выводы позволяют построить комплексную систему поддержки принятия решений при инвестировании в финансовые инструменты развивающегося рынка. Применение разработанных рекомендаций предоставит возможность значительно увеличить эффективность инвестиционных операций.

Представленные в диссертации результаты могут быть использованы широким кругом частных и институциональных инвесторов, работающих на развивающихся фондовых рынках.

Апробация и внедрение результатов работы. Результаты по теме диссертации получены в процессе выполнения научно-исследовательской работы «Вопросы математического моделирования процессов экономического и социального развития РФ», включенной в тематический план НИР ВЗФЭИ и утвержденной Министерством образования РФ в 2003 г., а также в рамках научных исследований, проводимых в инвестиционной компании «Риск-Инвест». Основные теоретические положения и выводы исследования докладывались и получили положительную оценку на научных конференциях и семинарах: Всероссийская научно-практическая конференция «Обеспечение устойчивого экономического и социального развития России» (Москва, 26 апреля 2002 г.); Научный семинар «Оценка риска в банковской деятельности» Финансовая академия при Правительстве РФ (Москва, 20 октября 2003 г.); Всероссийская научно-практическая конференция «Обеспечение устойчивого экономического и социального развития России» (Москва, 23 апреля 2004 г.); XIII Международная научно-техническая конференция «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании», весенняя сессия (г. Пенза, 21-22 мая 2004 г.); Пятый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике, осенняя открытая сессия (г. Сочи, 26 сентября - 3 октября 2004 г.)

Полученные результаты внедрены в практику работы инвестиционной компании ЗАО «Риск-Инвест» при формировании портфелей и оптимизации рисков. Экономический эффект составил 4 млн. рублей (акт внедрения приведен в диссертации в качестве приложения А).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 5 работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, библиографического списка, включающего 82 наименования и 4-х приложений.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Киселёв, Дмитрий Иванович

Основные результаты и выводы исследования заключаются в следующем:

• предложен новый критерий оценки рисков инвестиционного портфеля на базе понятия «просадки капитала», разработана методика расчета этого показателя риска;

• разработана новая методика формирования портфеля рисковых активов, учитывающая особенности фондового рынка РФ;

• сформулированы и решены ключевые задачи, возникающие при разработке активных инвестиционных стратегий (оценка устойчивости, прогнозирование показателей риска и доходности, разработка методики оптимального управления размером позиции);

• предложена концепция естественного обобщения современной теории портфеля на случаи слабоэффективных рынков;

• показаны днверсификационные возможности, имеющиеся на развивающихся финансовых рынках, и обусловленные наличием неэффективностей;

• проведен ряд численных экспериментов по апробации предложенных методик;

• показана прикладная ценность разработанных методик на примере решения задачи формирования инвестиционного портфеля компании «Риск-Инвест»;

• выявлены ключевые направления дальнейшего совершенствования методик оценки и оптимизации рисков инвестиционных операций в условиях развивающихся рынков, связанные с развитием методологии обнаружения и использования арбитражных возможностей.

Работа имеет реальную практическую значимость, подтвержденную результатами внедрения, и дает возможность для широкого использования сформулированных концепций не только для профессиональных участников рынка ценных бумаг, но и для любого инвестора.

Заключение

Непрерывное усложнение финансовых рынков, увеличение их волатильности, серии финансовых катастроф последних 20 лет определяют всё возрастающий рост требований к инструментарию анализа, оценки и управления рисками. Эффективная система риск-менеджмента является необходимым элементом инструментальных средств инвестора, действующего в современных условиях. Особое значение такая система имеет в условиях развивающихся рынков.

В рамках диссертации рассмотрены теоретические и практические аспекты построения комплексной системы риск-менеджмента, ориентированной на решение актуальных задач, возникающих при анализе и оптимизации рисков инвестиционных операций на развивающихся фондовых рынках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Киселёв, Дмитрий Иванович, 2004 год

1. Вильяме Б. Новые измерения в биржевой торговле: как извлечь прибыль из хаоса: рынки акций, облигаций и фьючерсов/ Пер. с англ. Василевская Е. — М.: ИК Аналитика, 2000. — 262 с.

2. Диев B.C. Нечеткость в принятии решений: философско-методологические аспекты // Философия науки, 1998. № 1(4). Институт философии и права СО РАН. Новосибирск. - С.66-73.

3. Киселев Д.И. Диверсификационные возможности на слабоэффективных финансовых рынках // Дайджест-Финансы.-2004, №8 (116).

4. Киселев Д.И. Критерий Келли для финансовых инвестиций. // Обеспечение устойчивого экономического и социального развития России: Сборник научных статей по материалам Всероссийской научно-практической конференции. -М.: ВЗФЭИ, 2004.

5. Киселев Д.И. Оценка устойчивости активных инвестиционных стратегий методом статистического моделирования // Обозрение прикладной и промышленной математики-2004. т.11, вып.З.

6. Киселев Д.И. Риски финансовых инвестиций: временной аспект // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник статей XIII Международной научно-технической конференции. Пенза: Приволжский Дом Знаний, 2004.

7. Копыркин К. Индикатор тренда на основе прорыва динамического ценового канала // Современный трейдинг 2001. №4- с.24-28.

8. Крушвиц JI. Финансирование и инвестиции. Неоклассические основы теории финансов / Пер. с нем. под общей редакцией В.В. Ковалёва и З.А. Сабова СПб.: Питер, 2000. - 400 с.

9. Ю.Матафонов Д. Один шаг вперед, два шага назад//Рынок Ценных Бумаг-2004. №13.- с.15-18.

10. Мельников В. Вычислители будущего // Деньги-2004-№ 30 с.32-45.

11. Миркин Я.М. Сверхконцентрация рыночного риска // Рынок ценных бумаг.- 2001 .-№ 2(185).-с.36-39

12. Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль/ Пер. с англ. М.: Дело, 2003.-360с.

13. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.- М.: Наука, 1970. 707 с.

14. Новоселов А. А. Математическое моделирование финансовых рисков: теория измерения. Новосибирск: Наука, 2001. 102 с.

15. Новоселов А.А. Стохастическое доминирование и его приложения в моделировании риска / Записки ФАМ Семинара. т. 7. - Красноярск, 2002. -С. 37-44.

16. Романов А.Н., Лукасевич И.Я., Гусев В.И. Эконофизика, или применение методов статистической физики в экономической теории и анализе // Экономический анализ.- 2002 № 2(2).-с.23-34.

17. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики.Том 1. Факты, модели. -М.: Фазис, 1998.-489с. (Вып.2).

18. Abarbanell J. and Bushee В. Fundamental Analysis, Future Earnings and Stock Prices // Journal of Accounting Research.- 1997 Vol. 35 - p. 1-24.

19. Acerbi С. and Tasche D. Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk // Journal of Applied Mathematics-2003 .-Vol.3.-p. 141153.

20. Acerbi C. and Tasche D. On the coherence of expected shortfall // Journal of Banking and Finance.-2002.-Vol. 26-7.- p. 1487-1503.

21. Artzner P. Delbaen F., Eber J., Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance.-1999-Vol. 9-3. -p.203-228.

22. Bawa V. S. Optimal rules For Ordering Uncertain Prospects // Journal of Financial Economics 1975-Vol. 2 (1) -p.95-121.

23. Bekaert G. and Harvey C. Time-Varying World Market Integration // Journal of Finance 1995 - Vol. 50-p. 403-444.

24. Bekaert G. Market Integration and Investment Barriers in Emerging Equity Markets // World Bank Economic Review- 1995. Vol. 9. - p. 75-107.

25. Bekaert G., Harvey C. and Lumsdaine R. The Dynamics of Emerging Market Equity Flows // Journal of International Money and Finance — 2002.- Vol. (21)3.-p. 295-350.

26. Beneish M. D., Lee С. M. C. and Tarpley R. L. Contextual Fundamental Analysis through the Prediction of Extreme Returns // Review of Accounting Studies-2001,- Vol. 6(2-3).-p. 165-89.

27. Bertsekas D. Dynamic Programming and Stochastic Control Orlando: Academic Press, 1976-397p.

28. Bollinger J. Bollinger on Bollinger Bands. New York:McGraw-Hill, 2002.-288 p.

29. Boushaud J.P. and Potters M. Theory of Financial Risks Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000 - 218 p.

30. Breiman L. Optimal Gambling Systems For Favorable Games // Regents of the University of California. Proceedings of the Berkeley Symposiumon Mathematical Statistics and Probability, Four Symposia 1961- Vol. l.-p. 65-78.

31. De Giorgi E. Reward-Risk Portfolio Selection and Stochastic Dominance // Working Paper Institute for Empirical Research in Economics-2002-iewwpl21.-Blumlisalpstrasse 10 CH-8006, Zurich.

32. Diamonte R., Liew J. and Ross S. Political Risk in Emerging and Developed Markets // Financial Analysts Journal- 1996 Vol.52 (3).-p.71-76.

33. Dyer J.S. The Effects of Risk on Decision Making: Multiple Criteria Decision Making and Risk Analysis Using Microcomputers / eds. Zionts S. and Karpak B. New York: Springer-Verlag, 1989.

34. Eftekhari B. and Satchell S. Non-normality of returns in emerging markets // Research in International Business and Finance- 1996-Supplement l.-p. 267-277.

35. Embrechts P., McNeil A., Straumann D. Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls In: Risk Management: Value at Risk and Beyond / ed. M.A.H. Dempster- Cambridge: Cambridge University Press, 2002 p. 176-223.

36. Encarnacion J. Jr. Portfolio choice and risk // Jornal of Economic Behaviour and Organization 1991- Vol. 16 - p.347-353.

37. Erb C., Harvey C. and Viskanta T. Country Risk and Global Equity Selection // Journal of Portfolio Management 1995 - Vol. 10 - p.74-83.

38. Estrada J. The Cost of Equity in Emerging Markets: A Downside Risk Approach // Emerging Markets Quarterly 2000-Vol. 4.-p. 19-30.

39. Ethier S.N. and Tavere S. The Proportional Bettor's Return on Investment // Journal of Applied Probability 1983- Vol. 20 - p. 563-573.

40. Fama E.F. Foundations of Finance: Portfolio Decisions and Securities Prices. New York: Basic Books, 1976 - 395 p.

41. Fang H. and Lai T.-Y. Co-kurtosis and capital asset pricing // The Financial Review 1997.- Vol. 32(2).- p. 293-307.

42. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol.1- New York: John Wiley, 1966.- 669 p.

43. Fischer T. Risk capital allocation by coherent risk measures based on one-sided moments // Insurance: Mathematics and Economics.- 2003.-Vol. 32-1.-p. 135-146.

44. Fishburn P. C. Mean-Risk Analysis With Risk Associated With Below-Target Returns // American Economic Review-1977 Vol. 67 (2).-p.116-126.

45. Follmer H. and Scheid A. Convex measures of risk and trading constraints //Finance and Stochastics.-2002.-Vol. 6-4. -p.429-447.

46. Godfrey S. and Espinosa R. A Practical Approach to Calculating Costs of Equity for Investment in Emerging Markets // Journal of Applied Corporate Finance 1996.- Vol. 9(Fall).-p.80-89.

47. Gottleib G. An Optimal Betting Strategy For Repeated Games // Journal of Applied Probability.- 1985.- Vol. 22.- p. 787-795.

48. Griffin J. and Lemmon M. Book-to-market equity, distress risk, and stock returns // Journal of Finance 2002-Vol. 57 - p. 2317 - 2336.

49. Harvey C. Predictable Risk and Returns in Emerging Markets // Review of Financial Studies.- 1995.- Vol. 8.-p. 773-816.

50. Huang C.-F. and Litzenberger R.H. Foundations for Financial Economics.-N.Y.: Prentice-Hall, 1993.-365 p.

51. Hwang S. and Pedersen C. Best Practise Risk Measurement in Emerging Markets // Working Paper of Emerging Margets Group, Cass Buseness School-2002.

52. Ingersoll J.E. Theory of financial decision making- Savage, MD: Rowman & Littlefield Publishers, 1987 496 p.

53. Jagannathan R. and McGrattan E. The CAPM debate // Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review 1995 - Vol. 19 - p. 2-17.

54. Jorion P. Value at Risk, the New Benchmark for Controlling Derivatives Risk. New York: McGraw-Hill, 1997.-319 p.

55. Kahneman D. and Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica.-1979 Vol. 47-2 - p. 263-292.

56. Kelly J.L. Jr. A new interpretation of information rate // Bell System Technical Journal. -1956-Vol. 35-p. 917-926.

57. Korajczyk R. A. A Measure of Stock Market Integration for Developed and Emerging Markets // World Bank Economic Review- 1996 Vol. 10.-p. 265-289.

58. Krokhmal. P., Palmquist, J., and Uryasev S. Portfolio Optimization with Conditional Value-At-Risk Objective and Constraints // The Journal of Risk-2002 Vol. 4-2.

59. Lakonishok J., Shleifer A. and Vishny R. Contrarian Investment, Extrapolation and Risk // Journal of Finance 1994 - Vol. 44 - p. 15411578.

60. Lev B. and Thiagarajan R. Fundamental Information Analysis // Journal of Accounting.- 1993.-Vol. 31.-p. 190-214.

61. Lintner J. The Valuation of Rik Assets and the Selection of Risky Investment in Stock Portfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics 1965-Vol. 47-p.13-37.

62. Malevergne Y., Sornette D. Multi-Moments Method for Portfolio Management: Generalized Capital Asset Pricing Model in Homogeneous and Heterogeneous markets // Working Paper Series of University of California.- 2002.-Vol. 12.- p.215-246.

63. Mangenta R. and Stanley H.E. An Introduction to Econophysics-Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999 148 p.

64. Markowitz H.M. Portfolio Selection // Journal of Finance.-1952.-Vol. 7-L-p.77-91.

65. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. New York: John Wiley and Sons, 1959.- 384 p.

66. Merton R.C. Continuous time finance Oxford, U.K.: Basil Blackwell, 1990.-700 p.

67. Mossin J. Security pricing and investment criteria in competitive markets // American Economic Review .- 1969 Vol. 59 - p.749—756.

68. Nawrocki, D.N. (1999): A Brief History of Downside Risk Measures, Journal of Investing, 8 (3): 9-25.

69. Nison S. Japanese Candlestick Charting.-N.Y.: Prentice Hall Art, 2001.299 p.

70. Pedersen C. S., Satchell S. E. An extended family of financial risk measures // Geneva Papers on Risk and Insurance theory-1998 Vol.23-2.-P.89-117.

71. Pflug, G.Ch. Some Remarks on the Value-at-Risk and the Conditional Value-at-Risk. In. "Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications"/ Ed. S. Uryasev- Kluwer Academic Publishers.-N.Y., 2000. -320 p.

72. RiskMetrics™. Technical Document, 4-th Edition N.Y.: J.P.Morgan, 1996.

73. Rockafellar R.T. and Uryasev S. Optimization of Conditional Value-At-Risk // The Journal of Risk.-2000.- Vol. 2-3.-p.21-41.

74. Rockafellar R.T., Uryasev S.P., and Zabarankin M. Deviation Measures in Risk Analysis and Optimization // Research Report. ISE Dept., University of Florida, Gainsville 2002 - Vol. 7.

75. Shaked M., Shanthikumar J.G. Stochastic Orders and Their Applications San Diego (CA): Academic Press, 1994.-545p.

76. Sharpe W. A Simplified model for portfolio analysis // Management Science. 1963.-Vol. 9(2).-p. 277-293.

77. Sharpe W. F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance 1964- Vol. l.-p. 425442.

78. Szego G. Measures of Risk // Journal of Banking and Finance-2002.-Vol.26-7.-p.1253-1272.

79. Thorp E. O. The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market. In Finding the Edge / eds. Vancura O., Cornelius J., Eadington W- Reno: Institute for the Study of Gambling and Commercial Gaming, 2000-p. 45-90.

80. Tibiletti L. As the dependence structure is fixed, do more risky assets lead to more risky portfolios? // 29th conference of the European Group of Risk and Insurance Economists -2002 -Nottingham, September 16-18.

81. Wang S., Young V. and Panjer H. Axiomatic characterization of insurance prices // Insurance: Mathematics and Economics.-1997.-Vol. 21.-p.173-183.