Моделирование осевого каналирования и потерь энергии быстрых заряженных частиц в кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Штанов, Юрий Николаевич

• Штанов, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Штанов, Юрий Николаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Теория осевого каналирования

1.1. Потенциальная энергия взаимодействия частиц с атомами кристалла

1.2. Коэффициент диффузии

1.3. Уравнения движения и многократное рассеяние

1.4. Средний квадрат флуктуации поперечной энергии

1.5. Потери энергии при прохождении частицы через слой вещества

Глава 2. Моделирование траекторий движения частиц

2.1. Основные модули и возможности программы

2.2. Векторная реализация методов Рунге—Кутты для решения систем ОДУ

2.3. Построение одномерной и двумерной сплайн-интерполяции для ускорения вычисления функций со сложным характером поведения

2.4. Расчёт средней амплитуды тепловых колебаний атомов кристалла

2.5. Кристаллическая структура

2.6. Поворот кристаллографической плоскости или оси на углы Эйлера

2.7. Модель описания осевого каналирования с помощью кинетического уравнения Фоккера-Планка в пространстве поперечных энергий

2.8. Движение быстрых заряженных частиц протонов и тг* - мезонов в направлении оси (111) изогнутого кристалла кремния

2.9. Достоверность модели и полученных результатов

Глава 3. Новое решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии

•3.1. Вывод нового решения кинетического уравнения Ландау для потерь энергии

3.2. Программный комплекс ЗПЧ'ЭЕЬ

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование осевого каналирования и потерь энергии быстрых заряженных частиц в кристаллах»

Введение

В настоящее время продолжаются работы по изучению процесса отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами. Это связано с тем, что задача является актуальной из-за использования изогнутых кристаллов для управления пучками частиц на ускорителях, например, таком, как протонный суперсинхротрон в ЦЕРН. Объектом исследования являются результаты экспериментов, которые проводятся в физике высоких энергий. При проведении экспериментов регистрируются энергии, углы вылета,, заряды, массы и т.д. больших ансамблей частиц (порядка 107 частиц за один сеанс). Метод компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц является наиболее детальным методом анализа явления каналироваиия. В связи с этим разрабатываются алгоритмы и методы обработки для описания результатов экспериментов какой-то конкретной физической модели и комплексом моделей.

В настоящее время при проведении компьютерного эксперимента, в плоскостных каналах кристалла используют программы [1, 2], а в осевых каналах кристалла компьютерные модели Шульги Н.Ф. и др. [3, 4]; комплекс алгоритмов SCRAPER Язынина И .А. и др. [5]; программу Тихомирова В.В. [6, 7] и программу Маслова А.К. и др. [8]. Комплекс SCRAPER учитывает миогооборотиый характер движения частиц в реальной структуре ускорителя и многократное взаимодействие их с кристаллами и применялся для моделирования коллимации пучков и эффективности вывода. В работе [6] разработай алгоритм для моделирования многократного объёмного отражения между различными плоскостями в изогнутом кристалле кремния.

Еще в 1976 г. Э.Н. Цыгановым в работе [9] было предсказано, что отклонять быстрые заряженные частицы можно с помощью изогнутых кристаллов, которое впоследствии было подтверждено в ОИЯИ г. Дубна. С использованием изогнутых кристаллом были открыты такие эффекты, как объемный захват [10], объемное отражение [11], поворот спина [12]. Среди современных работ по этим эффектам можно назвать работу [13], которая была выполнена на протонном суперсинхротроне в ЦЕРН, в которой наблюдается эффект многократного объемного отражения ультрарелятивистских протонов с энергией 400 ГэВ сборкой из нескольких изогнутых кристаллов кремния. В работах [14, 15), также наблюдается многократное объемное отражение протонов с энергией 400 ГэВ и - мезонов с энергией 150 ГэВ, соответственно, различными плоскостями в изогнутом кристалле кремния.

В ЦЕРН на протонном суперсинхротроне были получены результаты экспериментов [16, 17], которые к настоящему времени еще не получили своего адекватного описания. В этих работах выполнен эксперимент по отклонению протонов и тг~ - мезонов с энергиями 400 и 150 ГэВ, соответственно, изогнутым кристаллом кремния.

Использование SiPМ-детекторов (кремниевых фотоэлектронных умножителей) является актуальным во многих сферах деятельности науки и техники, например в медицине [18]. Тем не менее спектры SiPM-детекторов со множественными пиками не описываются функцией распределения Ландау. Поэтому разработка методов и алгоритмов для обработки спектров данного типа является актуальной задачей. В 1944 г. Л. Д. Ландау впервые получил функцию распределения для описания потерь энергии в тонких слоях вещества и получил выражение для наиболее вероятных и средних потерь энергии [19]. В 1957 г. П.В. Вавилов получил точное решение задачи о флуктуациях ионизационных потерь тяжелых частиц в тонких мишенях [20]. Попытки описывать спектры со множественнми пиками, полученные от светодиода были сделаны в работе [21] с помощью ряда, состоящего из произведения функции распределения Пуассона и распределения Гаусса, который был получен эмпирическим путём.

Цель диссертационной работы состоит в математическом и компьютерном моделировании осевого каналирования и потерь энергии быстрых заряженных частиц в кристаллах.

В соответствии с: поставленной целью в диссертации решались следующие задачи: 1) разработка метода компьютерного моделирования траекторий каналироваиных частиц, который позволит реализовать один из принципов системного анализа, а именно: смену управления между управляющей и управляемой системами в точках, где изменение динамических переменных происходит случайным образом; 2) разработка программного комплекса для реализации алгоритма численного решения уравнения Фоккера—Планка в пространстве поперечных энергий быстрых заряженных частиц в осевых каналах с учетом изгиба кристалла, многократного рассеяния, начальной расходимости и конечного размера пучка частиц; 3) создание нового алгоритма обработки спектров с одним и множественными пиками, которые были получены с помощью SiPM-детекторов; 4) разработка программного комплекса, для реализации нового алгоритма обработки спектров с одним и множественными пиками, которые были получены с помощью SiPM-детекторов.

Научная новизна и практическая значимость

Описанную в работе программу моделирования осевого каналирования заряженных

частиц, основанную на решении уравнения Фоккера—Планка в пространстве поперечных энергий, можно использовать для анализа и планирования новых экспериментальных исследований по прохождению заряженных частиц в прямых и изогнутых ориентированных кристаллах. В первую очередь комплекс предназначен для ведущих ускорительных центров мира (ЦЕРН, Фермилаб, ИФВЭ, ПИЯФ. ОИЯИ) для решения задачи отклонения пучков быстрых заряженных частиц. Программный комплекс позволяет исследовать задачу отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами с очень большой статистической точностью для случая осевого и плоскостного каналирования. Это было достигнуто благодаря интерполированию непрерывного потенциала и коэффициента диффузии. Компьютерное моделирование, преследуя те же цели, что и эксперимент, имеет ряд преимуществ, такие как относительная дешевизна компьютерного эксперимента и возможность широкого варьирования параметров задачи. Также разработана программа SINSEL, которая основана на численном решении кинетического уравнения Ландау и позволяет описывать спектры с одним и множественными пиками. При фитировании спектров новым решением кинетического уравнения Ландау в программном комплексе SINSEL использовался алгоритм обработки графической информации, который позволяет распознавать спектр. Разработанный алгоритм можно использовать для сравнения результатов моделирования и эксперимента в последующих научно-исследовательских работах.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Предложен и реализован алгоритм численного решения уравнения Фоккера—Планка в пространстве энергий поперечного движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла с помощью метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц.

2. Разработан программный комплекс TROPICS (Trajectory Of Particle In a Crystal Simulator) для моделирования траекторий движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла, представляющий собой алгоритмическое наполнение модели движения заряженных частиц в осевых каналах кристаллов и позволяющий вести расчеты с высокой статистической повторяемостью.

3. Получено новое решение кинетического уравнения Ландау в виде ряда, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса.

4. Разработан программный комплекс SINSEL (Simulator New Of Solution Equation of Landau), который основан на новом решении кинетического уравнения Ландау.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» ИТЭФ, г. Москва, 2009, 2011 гг.;

- 40, 41 Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, МГУ, 2010, 2011 гг.);

- 20 Международной конференции «Взаимодействия ионов с поверхностью» (ВИП-2011) (г. Звенигород, 2011 г.);

- V Международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания»(г. Обнинск, 2011 г.);

- XII Международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров 2011» (г. Обнинск);

- XVI научной конференции молодых ученых и специалистов ОМУС-2012. (г. Дубна, ОИЯИ);

- Всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области физических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (г. Томск, 2011 г.);

- X, XI окружной конференции молодых ученых «Наука и инновации XXI века» (г. Сургут, 2009, 2010 гг.).

Количество работ - 8.

Публикации

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 2 статьях в журнале «Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования» и в одной статье в журнале «Письма в ЖТФ», рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ; два, свидетельства о регистрации программных комплексов TROPICS и SINSEL зарегистрированы в Роспатенте.

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Личный вклад соискателя состоит в проведении всех расчетов, компьютерного эксперимента, сравнении полученных данных с данными экспериментов и анализе результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, включает 44 рисунка, 5 таблиц, а также содержит список литературы из 80 наименований и приложе-

ние. Общий объем работы - 107 страниц.

В первой главе на основании ланжевеновского подхода к описанию осевого канали-рования представлены основные математические модели:

- движения быстрых заряженных частиц в кристаллах;

- электронный и ядерный коэффициенты диффузии для учета рассеяния на электронах и ядрах;

- среднего квадрата флуктуации поперечной энергии;

- потерь энергии при прохождении частицы через слой вещества осевого канала кристалла на ядрах и электронах.

Вторая глава посвящена вопросам компьютерного моделирования отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами. Ставятся задачи, которые необходимо было решить при разработки программного комплекса. TROPICS, который позволяет решать задачи отклонения быстрых заряженных частиц осевыми и плоскостными изогнутыми каналами кристалла. Приводятся основные модули, возможности программы и ее интерфейс, а также алгоритм «подкачки страниц», позволяющий обрабатывать большие массивы данных. В результате этого алгоритма стало возможным проводить моделирование с количеством частиц, начиная от 10000 и выше. Для достижения поставленных целей, разработана векторная реализация методов Рунге—Кутты с постоянным, переменным шагом, а также приводится блок-схема алгоритма. Далее построена одномерная и двумерная эрмитова интерполяция для ускорения вычисления производных от непрерывного потенциала и коэффициента диффузии. Приводятся выражения для расчета средней амплитуды тепловых колебаний атомов кристалла,, поворота кристаллографической плоскости и оси на углы Эйлера, а также рассматривается кристаллическая структура типа алмазной. Получены выражения для численного решения кинетического уравнения Фоккера—Планка в пространстве энергий поперечного движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла. Для проверки адекватности построенных алгоритмов и моделей выполнен компьютерный эксперимент по отклонению протонов и ^ - мезонов изогнутым кристаллом кремния в направлении оси (111). Результаты компьютерного эксперимента показывают хорошее согласие с экспериментальными результатами.

В третьей главе представлено решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии с новым ядром, которое записано в виде ряда,, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса и позволяющее обрабатывать спектры с одним и множественными пиками, полученные с помощью SiPM-детекторов. Разработай программный

комплекс ЗШЗЕЬ. который основан на новом решении кинетического уравнения Ландау, состоящий из модуля фитироваиия и обработки графической информации с помощью распознавания спектров с одним и множественными пиками.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Штанов, Юрий Николаевич

Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем:

1. Разработан метод компьютерного моделирования траекторий: каналированных частиц, с помощью которого получено решение кинетического уравнения Фоккера— Планка в пространстве поперечных энергий.

2. Разработана компьютерная программа TROPICS для исследования движения каналированных частиц (положительных и отрицательных: протонов, ионов, антипротонов, 7Г-мезонов и др.) в осевых и плоскостных каналах кристаллов, учитывающая изгиб кристалла, многократное рассеяние, начальную расходимость пучка частиц, различные аппроксимации потенциала отдельного атома.

3. Разработан алгоритм, основанный на новом решении кинетического уравнения Ландау, записанного в виде ряда, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса, и ориентированный на обработку спектров с одним и множественными пиками, которые были получены с помощью SiPM-детекторов.

4. Разработана компьютерная программа SINSEL, которая основана на новом решении кинетического уравнения Ландау и позволяет обрабатывать спектры с одним и множественными пиками.

Компьютерные программы TROPICS и SINSEL размещены в свободном доступе на сайтах http://tropics.sf.net и http://sinsel.sf.net соответственно.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Штанов, Юрий Николаевич, 2012 год

Литература

1. Biryukov V. Computer simulation of beam steering by crystal channeling // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. Pp. 3522-3528.

2. Тара,тин A.M. Каналироваиие частиц в изогнутом кристалле // ЭЧАЯ. 1998. Т. 29,

5. С, 1063-1118.

3. Шульга Н.Ф., Трутень В.PL, Кириллин И.В. Прохождение пучков быстрых заряженных частиц через изогнутый кристалл // Bicinnc Харывського утверситету. 2010. Т. 887, № 1. С. 54-63.

4. Shul'ga N. F., Truten' V. I., Kirillin I. V. Mechanisms of high energy charged particles beams deflection by a bent crystal // J. Phys.: Conf. Ser. 2010. Vol. 236, no. 1. P. 012030.

5. Дягтярев И.И., Лоховицкий А.Е., Язынин И.А. Интегрированная версия комплекса программ ИФВЭ серии SCRAPER // Труды 4-ой Российской конференции по защите от ионизирующего излучения ядерно-физических установок. Т. 2. Обнинск, 1994. С. 25-27.

6. Tikhomirov V.V. Multiple volume reflection from different planes inside one bent crystal // Physics Letters B. 2007. Vol. 655, no. 5-6. Pp. 217 - 222.

7. Guidi V., Mazzolari A., Tikhomirov V. On the observation of multiple volume reflection from different, planes inside one bent crystal // Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 107, no. 11. P. 114908.

8. Маслов А.К., Полиматиди И.В. Моделирование прохождения ультрарелятивистских заряженных частиц через изогнутый монокристалл в режиме аксиального каналиро-вания // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, № 12. С. 1852-1863.

9. Tsyganov E.N. Some aspects of the mechanism of a charge particle penetration through a monocrystal /7 Preprint Fermilab TM-682, Batavia. 1976. Pp. 1-6.

10. Sumbaev О. I. The theory of volume capture by a curved crystal in the channeling regime // Preprint LIYaF-1201. 1986.

11. Таратин A. M., Воробьёв С. А. Объёмный захват протонов в режим каналирования в изогнутом кристалле // Журнал технической физики. 1985. Т. 55, № 8. С. 1598-1604.

12. Барышевский В.Г. Каналирвоание, излучение и реакции в кристаллах при высоких энергиях. Изд-во БГУ им. В.И.Ленина, 1982. 256 с.

13. Scandale W., Vomiero A., Baricordi S. et al. Observation of Multiple Volume Reflection of Ultrarelativistic Protons by a Sequence of Several Bent Silicon Crystals // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 084801.

14. Sca.nda.le W., Vomiero A., Bagli E. et al. First observation of multiple volume reflection by different planes in one bent silicon crystal for higli-energy protons // Physics Letters B. 2009. Vol. 682, no. 3. Pp. 274 - 277.

15. Scandale W., Vomiero A., Bagli E. et al. Observation of multiple volume reflection by different planes in one bent, silicon crystal for high-energy negative particles // EPL. 2011. Vol. 93, no. 5. P. 56002.

16. Scandale W., Vomiero A., Baricordi S. et al. High-Efficiency Deflection of High-Energy Protons through Axial Channeling in a. Bent. Crystal // Physical Review Letters. 2008. Vol. 101, no. 16. P. 164801.

17. Scandale W., Vomiero A., Bagli E. et al. High-efficiency deflection of high-energy negative particles through axial channeling in a bent crystal // Phys. Lett. B. 2009. Vol. 680. Pp. 301-304.

18. Llosa G., Belcari N.. Bisogni M.G. et al. Silicon Photomultipliers and SiPM matrices as Photodetectors in Nuclear Medicine // IEEE NSS/MIC Conference Record. 2007. Pp. 3220 - 3223.

19. Ландау Л. Д. Собр. тр. Л. Д. Ландау. М.: Наука, 1969. Т. 1. 482 с.

20. Вавилов П. В. Ионизационные потери тяжелых частиц больших энергий // Журн. эксперим. и теор. физ. 1957. Т. 32, Л» 4. С. 920-923.

21. Bellamy Е. Н., Bellettini G., Budagov J. et al. Absolute calibration and monitoring of a spectrometric, channel using a photomultiplier /,/ Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A. 1994. Vol. 339. Pp. 468-476.

22. Линдхард Й. // УФН. 1969. Т. 99, № 2. С. 249-296.

23. Кощеев В. П. Ланжевеновский подход к теории каналирования. Сургут: СурГУ, 2001. С. 86.

24. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965. 333 с.

25. Базылев В. А., Жеваго Н. К. Излучение быстрых частиц в веществе и во внешних полях. М.: Наука, 1987. 269 с.

26. Ольховский И.И., Садыков Н.М. // Труды 10 Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Т. 1. М.: МГУ, 1980. С. 173.

27. Kitagawa М., Ohtsuki Y. Н. Modified Dechanneling Theory and Diffusion Coefficients // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. Pp. 3117-3123.

28. Кельнер С.P., Кокоулин Р.П., Петрухин A.A. Радиационный логарифм в модели Хартри-Фока // Ядерная физика. 1999. Т. 62, К» 11. С. 2042-2048.

29. Lindhard J. Thomas-Fermi Approach and Similarity in Atomic Collisions // Studies in Penetration of Charged Particles in Matter. 1964. P. 1.

30. Кощеев В. П. // Известия вузов. Физика. 1995. № 1. С. 100.

31. Gemmel D.S. Channeling and related effects in the motion of charged particles through crystals // Reviews of Modern Physics. 1974. Vol. 46, no. 1. Pp. 129-235.

32. Кощеев В. П. Потери энергии и многократное рассеяние каналировапных частиц: учебное пособие. Сургут: Изд-во "Авиаграфия 2009. С. 15.

33. Штанов Ю.Н., Кощеев В. П., Моргун Д. A. TROPICS // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Ж* 2012610689. М.: Роспатент, 2012.

34. Моргун Д.А., Кощеев В.П., Штанов Ю.Н., Панина ТА. Численное решение кинетического уравнения Фоккера-Планка методом пропагатора в задаче моделирования эффекта осевого каналирования /7 Тезисы докладов XII Международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров 2011». Обнинск, 2011. С. 105-107.

35. Моргун Д.А., Кощеев В.П., Штанов Ю.Н. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений движения частиц в плоскостных каналах кристалла // Тезисы докладов XL международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. М.:Университетская книга, 2010. С. 226.

36. Кощеев В. П., Моргун Д. А., Штанов Ю.Н. Моделирование процесса отклонения протонов и 7г~ - мезонов кристаллом времния // Письма в ЖТФ. 2012. Т. 38, К8 12. С. 87-94.

37. Кощеев В. П., Моргун Д. А., Сафии Н. В., Холодов А. К. // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, № 9. С. 1-6.

38. Балакин A. A. MathGL - библиотека для научной графики. 2012. URL: http://mathgl.sourceforge.net/,

39. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии OpenMP. М.: Изд-во МГУ, 2009. 77 с.

40. Боровский А.Н. Qt4.7 к Практическое программирование на С ; к СПб.: БХВ-Петер-бург, 2012. 496 с.

41. Шлее М. Qt4.5. Профессиональное программирование на С i к СПб.: БХВ-Петербург, 2010. 896 с.

42. Pilato С. Michael, Collins-Sussman Ben, Fitzpatrick Brian W. Version Control with Subversion. 2 edition. O'Reilly Media, 2008. 404 pp.

43. Books H. Free Computer Programming Tools, Including: Doxygen, Swig, Artefaktur,

Distcc, Esc/Java, Busybox, Ctags, Mono (Software), Hackystat, Poedit, Soot (Software), Resknife, Asunit, Nant, Spyce, Pm2, Soapui, Open Source Software Assessment Methodologies. Hephaestus Books, 2011. 98 pp.

44. Кнут Д.Э., Тертышный В. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. Вильяме, 2011. Т. 2. 832 с.

45. GPL - License. URL: http://www.gnu.org/licenses/gpl.html.

46. Хайрер Э., Нёрсетт С., Вапнер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с анг. М.: Мир, 1990. 512 с.

47. Butcher J.С. Numerical Methods for ordinary differential equations /7 Wiley. 2003. 440 pp.

48. Curtis A.R. High-order Explicit Runge-Kutta Formulae, Their Uses, and Limitations // J.Inst.Maths Applies. 1975. Vol. 16. Pp. 35-55.

49. Hairer E. A Runge-Kutta Method of Order 10 // J.Inst .Maths Applies. 1978. Vol. 21. Pp. 47-59.

50. Hiroshi Ono. On the 25 stage 12th order explicit Runge-Kutta method // JSIAM Journal. 2006. Vol. 16, no. 3. Pp. 177-186.

51. Feagin Dr. Terry. High-Order Explicit Runge-Kutta Methods. 2012. URL: http://s ce.uhc1.edu/rungekutta/.

52. Solowski W.T. Unsaturated soils: constitutive modeling and explicit stress integration: Ph. D. thesis / Durham University, School of Engineering. 2008.

53. Bogacki Przemyslaw, Shampine Lawrence F. A 3(2) pair of Runge-Kutta formulas // Applied Mathematics Letters. 1989. Vol. 2, no. 4. P. 321-325.

54. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta // J. Comput. Appl. Math, formulae. 1980. Vol. 6. Pp. 19-26.

55. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

56. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы., 1980. 352 с.

57. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

58. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 456 с.

59. Серба Е.В., П.В.ancl Луговой. Геометрия кристаллической решетки. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 59 с.

60. Ахиезер А. И., Шульга Н. Ф., Трутень В. И. и др. Динамика заряженных частиц

высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах // УФН. 1995. Т. 165, 10. С. 1165-1192.

61. Долинов В.К. Линейные преобразования кристаллической решетки: учебное пособие. М.: Университетская книга, 2010. 16 с.

62. Кощеев В. П., Холодов А. К., Моргун Д. А. Моделирование процесса отклонения протонов с энергией 200 и 450 ГэВ изогнутым кристаллом германия // Ядерная Физика. 2009. Т. 72, № 4. С. 755-759.

63. Мартыненко К). В. // ФТТ. 1971. Т. 13, № 4. С, 1055.

64. Кощеев В. П. // Известия вузов. Физика. 1997. 8. С. 32-37.

65. Кощеев В. П., Моргун Д. А., Сафин Н. В., Холодов А. К. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2006. 7. С. 48-51.

66. Scandale W., Vomiero A., Bagli Е. et al. Deflection of high-energy negative particles in a bent crystal through axial channeling and multiple volume reflection stimulated by doughnut scattering // Phys. Lett. B. 2010. Vol. 693. Pp. 545-550.

67. Scandale W., Vomiero A., Bagli E. et al. Observation of channeling and volume reflection in bent crystals for high-energy negative particles // Phys. Lett. B. 2009. Vol. 681. Pp. 233-236.

68. Guidi V., Lanzoni L., Mazzolari A. Stud}' of anticlastic deformation in a silicon crystal for channeling experiments // J. Appl. Phys.. 2010. Vol. 107, no. "11". P. 113534.

69. Bichsel H. A method to improve tracking and particle identification in TPCs and silicon detectors // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. A. 2006. Vol. 562. Pp. 154-197.

70. Ахиезер А.И., Шульга H. Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе. М.: Наука, 1993. 344 с.

71. Кощеев В. П., Моргун Д. А., Штанов Ю.Н. Новое решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии быстрых частиц в кристаллах // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2012. № 1. С. 105-107.

72. Bellamy Е. Н., Bellett.ini G., Budagov J. et al. Absolute calibration and monitoring of a spectrometric channel using a photomultiplier // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. A. 1994. Vol. 339. Pp. 468-476.

73. Кощеев В. П., Панина Т. А., Моргун Д. А. Стохастическая динамика процесса многократного рассеяния и потерь энергии каиалироваииых частиц // Изв. РАН. Сер. физ. 2009. Т. 73, № 11. С. 1585-1589.

74. Кощеев В.П., Моргун Д.А., Штанов Ю.Н. // Тезисы докладов сессии-конференции

секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий». М.:Изд.-во УНЦ ДО, 2009.

75. Кощеев В.П., Моргун Д.А., Штанов Ю.Н. Новое решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии быстрых частиц в кристаллах // Тезисы докладов XL международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. М.:Университетская книга, 2010. С. 226.

76. Дубинов А.Е., Дубииова И.Д., Сайков С.К. W-фупкция Ламберта и ее применение в математических задачах физики. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2006. 160 с.

77. Bak J.F., Burenkov A., Petersen J.В.В., Uggerhoj Е. Large departures from Landau distributions for high-energy particles traversing thin Si and Ge targets // European organization for nuclear research. 1987. Pp. 1-54.

78. Dolgoshein В., Balagura V., Buzhan P. et al. Status report on silicon photomultiplier development and its applications // Nucl. Instr. Metli. Phys. Res. A. 2006. Vol. 563, no. 2. Pp. 368-376.

79. Simon F., Soldner C. Uniformity Studies of Scintillator Tiles directly coupled to SIPMs for Imaging Calorimetry // arXiv:1001.4665v2 [physics.ins-detj. 2010.

80. Doyle P. A., Turner P. S. Relativistic Hartree Fock X-ray and electron scattering factors // Acta Crystallographiea Section A. 1968. Vol. 24. Pp. 390-397.