Моделирование необратимых процессов в неравновесных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Сайханов, Муса Баудинович

• Сайханов, Муса Баудинович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сайханов, Муса Баудинович

Введение

ГЛАВА 1. Локально-равновесная теория неравновесной системы.

1Л. Локальное равновесие и уравнение Гиббса.

1.2. Второе начало для открытой неравновесной системы.

1.3. Уравнения баланса массы, импульса и энергии.

1.4. Уравнение баланса энтропии.

1.5. Теория Онзагера.

1.6. Стационарные состояния и теорема Пригожина.

1.7. О геометрическом смысле второго дифференциала энтропии для слабо неравновесной системы.

1.8. Вычисление второго дифференциала энтропии.

1.9. Термодинамическая устойчивость неравновесной системы.

1.10. Критерий эволюции и локальный потенциал.

Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2. Квантование неравновесной системы.

2.1. Необратимость и квантовостатистическое определение энтропии.

2.2. Квантовостатистический критерий равновесия и устойчивости макроскопической системы.

2.3. Необратимость и энергетические уровни.

2.4. Локальные квантовостатистические параметры энтропии и температуры.

2.5. Вычисление локального времени релаксации.

2.6. Построение двухуровневой модели.

2.7. Кинетика переходов и скалярная кривизна.

2.8. Пример вычисление кинетической скалярной кривизны.

Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3. Устойчивость и инерционность неравновесной системы.

3.1. Теорема Пригожина и устойчивость неизотермической системы.

3.2. Критерий эволюции нестационарной системы.

3.3. Локальные критерии кинетической устойчивости сильно неравновесной нестационарной системы.

3.4. Инерционность и второй дифференциал энтропии.

3.5. Исследование инерционности нестационарной системы.

3.6. Формулировка вариационного принципа для эволюции нестационарной системы.

Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4. Глобально-кинетическое моделирование неизотермических систем.

4.1. Температурная релаксация слабо неравновесной неизотермической системы.

4.2. Температурная релаксация сильно неравновесной нестационарной плазмы.

4.3. Кинетическое моделирование на границе тепловой устойчивости.

4.4. Температурная зависимость теплоемкости селенового стекла.

Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование необратимых процессов в неравновесных системах»

а ведь к природе молено подойти, не рассматривая её отдельные куски, но попытаться, э/сивую и действенную, представить ее себе, идя отдельно к отдельным частям»

Иоганн Вольфганг Гёте

Одной из актуальных задач современной теоретической физики является построение общей теории неравновесных макроскопических систем, в том числе, сильно неравновесных нестационарных систем [32, 52, 65]. Как известно, наиболее значимые результаты в этом направлении были получены сравнительно недавно на основе неравновесной термодинамики, в рамках которой была дана формулировка второго начала термодинамики для открытой системы [62]. Именно эта формулировка совместно с идеей локального равновесия, введенной Пригожиным, позволила получить принципиально новые результаты, неизвестные в равновесной термодинамике. К их числу относятся, например, соотношения взаимности Онзагера, принцип минимального производства энтропии Пригожина, обобщенное определение стационарного состояния де Гроота, критерий эволюции неравновесной системы и другие [22]. При этом следует отметить, что не вызывающими сомнения и общепринятыми среди этих результатов являются, как правило, те, которые были получены для слабо неравновесной системы. В частности, принцип минимального производства энтропии можно рассматривать как управляющий закон для состояний термодинамической системы, близких к равновесию [63, 65]. Однако многочисленные и длительные по времени попытки обобщения этого принципа на случай сильно неравновесной системы в рамках термодинамического рассмотрения так и не увенчались успехом [22].

Основной задачей данного исследования является попытка сформулировать такой общий закон (вариационный принцип), который был бы управляющим для любых, в том числе, нелинейных неравновесных систем. Результаты исследований, проведенных с этой целью, показали, что эта задача на данном этапе развития физики является разрешимой, хотя для этого, вне всяких сомнений, требуются новые подходы и неординарные решения.

Решающий шаг состоит в переходе на глобальный уровень описания неравновесной системы, основанием для которого служит необходимость более полного учета ее кинетического аспекта, связанного с взаимодействием квазиравновесных подсистем [76, 77]. При этом реализация этой программы осуществляется, так же как и в теории Онзагера-Пригожина, на основе дальнейшей разработки второго начала, в том числе, его обобщения на нестационарный случай, и собственно концепции необратимости [74, 75]. Анализ квантовостатистического определения энтропии, динамики структуры энергетических уровней неравновесной системы приводит к двухуровневой глобально-кинетической модели, позволяющей осуществить теоретическое описание одновременно на уровне локально-равновесных подсистем и на уровне их взаимодействия между собой. При этом идентификация квазиравновесной подсистемы осуществляется по близости энергетических уровней элементов (молекул, атомов, электронов, спинов и т.д.) неравновесной системы, которая обеспечивается за счет их избирательного взаимодействия. С физической точки зрения, энергетический спектр квазиравновесной подсистемы, являющейся все еще макроскопической, можно считать непрерывным [40]. В то же время, дискретность энергетического спектра неравновесной системы обеспечивается тем, что энергетические ниши (слои) квазиравновесных подсистем могут довольно значительно отстоять друг от друга [53].

Затем осуществляется построение функционала полного производства энтропии соответствующего выбранной теоретической модели. Особенностью этого функционала является то, что на локальном уровне в качестве определяющих характеристик необратимого процесса, наряду с параметрами отклонений /SXJt -Xj -Xjeq (здесь i,j - номера необратимого процесса и квазиравновесной подсистемы) термодинамических сил от их значений в равновесном состоянии, вводятся также скорости XJt изменения этих отклонений. Это дает возможность адекватного учета нестационарного аспекта неравновесной системы, который не удается осуществить в рамках термодинамического подхода Онзагера-Пригожина [77]. Другое важное преимущество данного функционала состоит в том, что он одновременно позволяет осуществить (через полное производство энтропии, «проквантованное» по энергетическим слоям) теоретическое описание и на глобальном уровне [74]. В результате, предложенная модель в полной мере соответствует тезису Пригожина о необходимости учета конструктивной роли необратимого процесса при описании эволюции неравновесной системы [65, 66].

Вышеуказанный функционал полного производства энтропии позволяет провести более глубокие исследования устойчивости и инерционности неравновесной системы, в том числе, в отношении ее нестационарного аспекта. В частности, для неравновесной системы впервые дано четкое определение второй стандартной точки, то есть стационарного состояния, как аттрактора по отношению к ее нестационарным состояниям [77]. Также в предложенной модели рассмотрена теорема Пригожина о минимальном производстве энтропии и получены условия стационарности неравновесной системы на локальном уровне. Осуществлено обобщение критерия эволюции на нестационарный случай и показано, что вблизи равновесного состояния в качестве функции Ляпунова может служить сам является избыточное (по отношению к стационарному состоянию) производство энтропии ЗР^-Р-Р"' [77]. Показано, что инерционность необратимого процесса определяется вторым дифференциалом полного производства энтропии \/2S2P, с физической точки зрения характеризующего рассеяние (диссипацию) энергии в неравновесной системе [72]. Получены соотношения, определяющие инерционность системы по отношению к возмущениям равновесного и стационарного состояний на локальном уровне рассмотрения.

Все это, а также представление функционала полного производства энтропии в виде гиперповерхности Р~ p(AX},.,AX™,Xj,.,X™) в (2тп + \)~ мерном пространстве, образуемого параметрами позволяют сформулировать вариационный принцип для нестационарной неравновесной системы [74]. При этом в качестве физической основы для этой формулировки используется введенная в рамках теории термодинамической устойчивости Гленсдорфа-Пригожина идея о минимальности избыточного производства энтропии для сильно неравновесной, в том числе и нестационарной, системы. Сначала вариационный принцип формулируется для сильно неравновесной квазистационарной системы, затем дается. его обобщение на случай произвольной нестационарной системы.

Следует отметить, что всесторонняя теоретическая разработка данного направления исследований предполагает использование, во-первых, полевых методов, в том числе, римановой геометрии для исследования геодезических характеристик гиперповерхности, а, во-вторых, топологических методов, поскольку размерность последней при эволюции неравновесной системы может изменяться. При этом функционал время как вдали от него таковой структурный аспект неравновесной системы, в том числе, возникновение в ней диссипативных структур, совершенно неотъемлемым образом (через исходную глобально-кинетическую модель) связан именно с топологическими свойствами гиперповерхности и требует самостоятельного исследования. Что касается полевых методов, то они уже были существенно использованы при формулировке вариационного принципа для нестационарной системы [74].

Проверка глобально-кинетической модели и соответствующего ей вариационного принципа осуществлялась для конкретных неравновесных систем, исследование которых ранее было проведено теоретическими или экспериментальными методами. Надо отметить, что результаты, полученные на основе глобально-кинетического моделирования (ГКМ), полностью совпадают с ранее полученными данными [74]. В то же время среди них есть и такие результаты, которые теоретически удается получить только на основе глобально-кинетического моделирования.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложений и заключения. Первая глава является обзорной и посвящена рассмотрению локально-равновесной термодинамики неравновесных систем. Необходимость ее написания была связана с тем, что глобально-кинетическое моделирование неравновесных систем не исключает концепции локального равновесия. Напротив, оно представляет собой дальнейшее развитие и обобщение этой концепции на глобальном уровне рассмотрения.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Сайханов, Муса Баудинович

Выводы к четвертой главе

1. Для слабо неравновесной неизотермической системы на основе ГКМ получена формула температурной релаксации, которая идентична аналогичной квантовостатистической формуле для спин-решеточной релаксации.

2. На основе сформулированного в разделе 3.6 вариационного принципа для нестационарных сильно неравновесных систем выведена формула для временной зависимости температуры горячих электронов при тепловой релаксации двухтемпературной плазмы, хорошо согласующаяся с экспериментальными данными.

3. На примере нестационарной неизотермической системы показано, что в нейтральном состоянии устойчивости доминирующий вклад в изменение энтропии в системе осуществляется за счет первого дифференциала SP, обусловленного процессами переноса (потоками) между ее квазиравновесными подсистемами.

4. Исходя из линейной зависимости первого дифференциала S'-P'vp' + Р^р от скоростей изменения обратных температур колебательной и поступательной степеней свободы, осуществлено кинетическое моделирование теплового взрыва в неравновесном газе.

5. Показано, что на кривой температурной зависимости теплоемкости селенового стекла участок, на котором происходит обратимый фазовый переход стекло - переохлажденная жидкость, в термодинамическом отношении соответствует состоянию нейтральной устойчивости. На этой основе дано теоретическое объяснение хода температурной зависимости данного участка.

Заключение

Полученные в данной диссертационной работе результаты по кинетическому моделированию неравновесных систем позволяют подвести некоторые итоги. Прежде всего, необходимо отметить, что переход на глобальный уровень описания неравновесной системы представляется неизбежным аналогично тому, как, в свое время, было неизбежным её локально-равновесное описание [22, 23]. При этом последнее остается значимым и в новой теоретической схеме, основной акцент в которой делается на кинетический аспект неравновесной системы [74, 76, 77].

Следует отметить, что построение этой теоретической схемы было достигнуто исходя из квантовой модели, позволившей естественным образом объединить локальное и глобальное описание неравновесной системы. С методологической точки зрения является ценным и то, что это построение осуществлялось (так же как и в теориях Онзагера и Пригожина) на основе второго начала, позволившего преодолеть, в том числе, и основные затруднения термодинамической теории Гленсдорфа-Пригожина, возникавшие при попытке выйти на кинетический уровень описания [22, 77].

Наиболее значимым теоретическим результатом диссертационной работы является формулировка вариационного принципа для неравновесной нестационарной системы. Эта проблема, как известно, возникла сразу после формулировки Пригожиным в 1947 году принципа минимального производства энтропии для слабо неравновесных стационарных систем. Обобщение этого принципа на случай сильно неравновесных нестационарных систем не удавалось осуществить в течение почти 60 лет [63, 65, 66].

В данной работе приводится сначала формулировка вариационного принципа для нестационарных неизотермических систем, а затем осуществляется его обобщение на случай любых неравновесных нестационарных систем. Его проверка осуществлялась при рассмотрении конкретных неизотермических систем (спин-решеточная термическая релаксация, сильно неравновесная нестационарная плазма, неравновесный газ на границе тепловой устойчивости, неравновесная теплоемкость халькогенидных стекол и т.д.) и дала обнадеживающие результаты. Полученные результаты опубликованы и докладывались на научных семинарах (МГУ, СПбГУ, Черноголовка, КБГУ, ЧТУ), а также на Всероссийской конференции (РКТС-11, С.-Петербург, 2005) и региональных (КБГУ, ЧГУ) конференциях. Кроме того, резюме проведенных исследований было отправлено для ознакомления Пригожину (2002), проявившего заинтересованное отношение.

В то же время, совершенно очевидна необходимость дальнейшей разработки этих исследований как в плане дальнейшего развития ГКМ, так и в плане использования уже достигнутых теоретических результатов для решения практических задач. Так, например, в теоретическом аспекте необходимо рассмотреть возможность ГКМ неравновесной системы на уровне статистического описания её квазиравновесных подсистем. В частности, в этом отношении перспективными представляются метод s — частичных функций ББГКИ и метод статистического оператора Зубарева [9, 25, 96], квантовая теория неунитарных преобразований Пригожина [65, 103, 109]. Необходимы также исследования квантово-кинетических и топологических свойств неравновесной системы, которые изначально (по построению) присутствуют в глобально-кинетической модели [27, 33, 76].

В практическом отношении ГКМ представляется перспективным при изучении любых неравновесных нестационарных процессов: в астрофизике, медицине, в современных технологиях, в атмосфере и на поверхности Земли и т.д. Несомненно, что ГКМ является полезным также при исследовании экстремальных состояний и неравновесного поверхностного слоя в многокомпонентных металлических сплавах и полимерах. В целом оно необходимо для более глубокого понимания любых неравновесных физико-химических процессов, применяемых для создания новых материалов и изделий, в том числе, на уровне современных нанотехнологий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сайханов, Муса Баудинович, 2010 год

1. Абдулаев Г.Б., Абдилов Д.Т. Физика селена. - Баку, 1975.

2. Александров И.В. Теория магнитной релаксации. М.: Наука, 1975. — 399 с.

3. Баблоянц А. Молекулы, динамика и жизнь. М.: Мир, 1990. — 373с.

4. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: Изд-во МГУ, 1989. — 240 с.

5. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Под ред. Д.Н. Зубарева и Ю.Л. Климонтовича. Т. 1. - М.: Мир, 1978. -405 с.

6. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц / Пер. с англ.; Под ред. А.А. Рухадзе. М.: Мир, 1967. - 514 с.

7. Белов К.П., Никитин С.А. Магнитокалорические эффекты в редкоземельных магнетиках // В сб. "Магнитные свойства кристаллических и аморфных сред". — Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1989.

8. Биберман Л.М., Воробьев B.C., Якубов И.Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. -М.: Наука, 1982. с. 375.

9. Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. Учебное пособие для университетов. М.: Высшая школа, 1975. -352 с.

10. Ю.Боголюбов Н.Н. Разложение по степеням малого параметра в теории статистического равновесия. Кинетические уравнения // ЖЭТФ -1946-Т. 16.-Вып. 8.-С. 681-691.

11. Бонч-Бруевич В.Л. Успехи физических наук. 1983. - Т. 140. — Вып. 4. -583 с.

12. Быстрай Г.П. Применение прямого метода Ляпунова в термодинамике необратимых процессов // Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике: Тез. докл. Всесоюзн. научн. конф. — Харьков, 1986. С. 117.

13. Вакс В.Г. Кинетические явления в упорядочивающихся сплавах // Соросовский образовательный журнал. 1997. — № 8. - С. 105-115.

14. Вашман А.А., Пронин И.С. Ядерная магнитная релаксация и ее применение в химической физике. — М.: Наука, 1979. — 235 с.

15. Второе начало термодинамики. Сб. работ / Под ред. и с предисл. А.К. Тимирязева. М.-Л.: ГТТИ, 1934. -311 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001.-264 с.

17. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. — М.: Физматлит, 1961. -228 с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. 63

19. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. М.: Высшая школа, 1981. —354 с.

20. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика / Под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Наука, 1982. -584 с.

21. Гинзбург С.Л. Современные проблемы физики: Необратимые явления в спиновых стеклах. М.: Наука, 1989. - 149 с.

22. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / Пер с англ.; Под ред. Ю.А. Чизмаджева. -М.: УРСС, 2003.-280 с.

23. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика / Пер с англ.; Под ред. В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. - 304 с.

24. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела / Под ред. В.З. Кресина и Б.М. Струнина. М.: Мир, 1975.-382 с.

25. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов / Пер. с англ.; Под ред. В.Г. Морозова. -T.l.-М.: Физматлит, 2002.-431 с.

26. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов / Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: Мир, 1990. -607 с.

27. Карасев М.В., Маслов В.П. Асимптотическое и геометрическое квантование // Успехи математических наук. 1984. - Т. 39. - Вып. 6(240).-С. 115-173.

28. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи. М.: Мир, 1985.

29. Квасников И. А., Шелест А.В. Некоторые вопросы кинетики модельной системы, допускающей точное решение. — Киев, 1969. — 12 с. (Препринт ИТФ: 69).

30. Квасников И.А.Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 559 с.

31. Киттель И. Статистическая термодинамика / Пер. с англ. А.А. Гусева. М.: Физматлит, 1963. - 696 с.

32. Климонтович Ю.Л. Проблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации // Успехи физических наук. — 1989. — Т. 158.-Вып. 1.-С. 59-91.

33. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов / Отв. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Наука, 1987. - 304 с.

34. Кубо Р. Достижения статистической механики // В книге "Перспективы квантовой физики". — Киев: Наукова думка. С. 129.

35. Кубо Р. Термодинамика / Под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Мир, 1968. -304 с.

36. Кузнецова О.В. История обоснования статистической механики / Отв. ред. Л.С. Полак. -М.: Наука, 1988. 183 с.

37. Ла-Саль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Пер. с англ.; Под. ред. Ф.Р. Гантмахера. М.: Мир, 1964. -168 с.

38. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. - М.: Наука, 1973. - 207 с.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — Т. 2.: Теория поля. М.: Наука, 1988. - 509 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Статистическая физика. Т. V. - Ч. 1. - М.: Наука, 1976. - 583 с.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения (впервые опубликована в 1892 г.). -М.: Гостехиздат, 1950.

42. Майоров С.А. Столкновительный нагрев электронов при фокусировке в газе сверхмощного и сверхкороткого лазерного импульса // Физика плазмы. Т. 27. - № 4. 2001. - С. 311-320.

43. Майоров С.А. Функция распределения в двухтемпературной плазме с холодными ионами // Т. 26. № 10. 2000. - С. 974-976.

44. Маневич Л.И. Обратимость и стрела времени: между порядком и хаосом. Часть 1. Феноменология необратимости // Соросовский образовательный журнал. 1997. №11. - С. 64-69.

45. Маслов В.П., Назайкинский В.Е. Туннельный канонический оператор в термодинамике // Функциональный анализ и его приложения. Т. 40. 2006 - Вып. 3. - С. 12-29.

46. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивого движения. М.: Наука, 1987.

47. Мэтьюз ДЖ., Уокер Р. Математические методы физики / Пер. с англ. В.П. Крайнова. М.: Атомиздат, 1972. - 399 с.

48. Нарат А. Ядерный магнитный резонанс в магнетиках и металлах // В сб. "Сверхтонкие взаимодействия в твердых телах" / Пер. с англ.; Под ред. Е.А. Турова. М.: Мир, 1970. - С. 163-235.

49. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979. 511с.

50. Новичков Д.Н., Глебов В.В. Экспериментальные исследования нестационарного процесса в неравновесной плазме смеси цезия с аргоном // Теплофизика высоких температур. — 1970. — Т. 8. № 4. С. 695.

51. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М.: Изд-во МГУ, 1974. 569 с.

52. Осипов А.И. Термодинамика вчера, сегодня, завтра. Часть 2. Неравновесная термодинамика // Соросовский образовательный журнал. 1999. №4. - С. 91-97.

53. Осипов А.И., Уваров А.В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике // Успехи физических наук. 1992. - Т. 162. № 11. - с. 1 -42.

54. Осипов А.И., Уваров А.В. Неравновесный газ: проблемы устойчивости // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166. № 6. - С. 639-650.

55. Осипов А.И., Уваров А.В. Физика неравновесного газа // Природа. -2001. №10.-С. 1-10.

56. Паули В. Н-теорема с точки зрения новой квантовой механики // Сб. трудов по квантовой теории / Под ред. Я.А. Смородинского. — М.: Наука, 1975. С. 663-679.

57. Паули В. Теория относительности / Пер. с нем.; Под ред. В.Л. Гинзбурга и В.П. Фролова. М.: Наука, 1983. - 336 с.

58. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики / Пер. с болгар. -М.: Мир, 1986. 285 с.

59. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 279 с.

60. Планк М. О статистическом определении энтропии // Избранные труды. М.: Наука, 1975.

61. Постников М.М. Лекции по геометрии: Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979. — 312 с.

62. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов / Пер с англ.; Под ред. Н.С.Акулова. Москва-Ижевск: Динамика, 2001.- 159 с.

63. Пригожин И. Время, структура и флуктуации // Успехи физических наук. 1980.-Т. 131.-Вып. 2. - С. 185-207.

64. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика / Пер. с англ.; Под ред. Д.Н. Зубарева. Изд. 2-е. М.: Едиториал УРСС, 2005. - 312с.

65. Пригожин И. От существующего к возникающему / Пер. с англ.; Под ред. Ю.Л. Климонтовича. М.: Наука, 1985. - 327 с.

66. Пригожин И. Постижение реальности: Выступление в Свободном университете Брюсселя 13 ноября 1997 года // Природа. 1998. №6. — с. 3-11.

67. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса / Пер. с англ.; Под общей ред. В.И. Аршинова, Ю.Л. Климонтовича и Ю.В. Сачкова. М.: Прогресс, 1986.-431 с.

68. Пуанкаре А. О науке / Пер. с франц.; Под ред. Л.С. Понтрягина. М.: Наука, 1990.-376 с.

69. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии // Сб. статей посвящ. 100-летию со дня рождения А. Эйнштейна "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". 1979. - М.: Мир. - С. 18-33.

70. Рюэль Д. Статистическая механика: строгие результаты / Пер с англ.; Под ред. Р.А. Милноса. -М.: Мир, 1971.-367 с.

71. С. де Гроот. Термодинамика необратимых процессов / Пер с англ. — М.: ГИТТЛ, 1956.-281 с.

72. Сайханов М.Б. Второе начало и инерционность необратимого процесса // Сб. научн. трудов КНИИ РАН. Нальчик: Эль-Фа, 2007 -С. 13-20.

73. Сайханов М.Б. Квантовая кинетика сильно неравновесных систем. — ВИНИТИ РАН. Москва, 1999. № 3981-В99.-С. 36.

74. Сайханов М.Б. Моделирование необратимых процессов в неизотермических системах // Теплофизика высоких температур. — 2006. Т. 44. № 6. - С. 877-884.

75. Сайханов М.Б. Моделирование необратимых процессов в неравновесных системах // Тепло физические свойства веществ и материалов: Тез. докл. XI Российск. конф. по тепловым свойствам вещества 4-7 октября 2005 г. Санкт-Петербург, 2005. - С. 54.

76. Сайханов М.Б. О моделировании необратимых процессов в неравновесных системах // Вестник МГУ. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. №4. с. 10-13.

77. Сайханов М.Б. О термодинамической и кинетической устойчивости неравновесных систем // Журнал физической химии. 2006. - Т. 80. №7.-С. 1330-1332.

78. Сайханов М.Б., Алтухов В.И., Авторханов У.А. Особенности тепловых свойств селена вблизи температуры стеклования // Электрография — 88: Тез. докл. Всесоюзн. научн. конф. 24-27 октября 1988 г. 4.1. Москва, 1988. - С. 55.

79. Сайханов М.Б., Караева С.З. О предельных состояниях в термодинамике и квантовой механике // Тез. докл. в сб., посвящ. 60-летию ЧТУ. Грозный, 1998.

80. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматлит, 1962.-284 с.

81. Семенченко В.К. Избранные главы теоретической физики. М.: Просвещение, 1960.

82. Соболев C.JI. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических наук. 1997. - Т. 167. № 10. - С. 1095-1106.

83. Соколов И.В. Электроны малых энергий в квазистационарной неравновесной плазме имеют температуру ионов // Физика плазмы. — 1999. Т. 25. № 6. - С. 562-567.

84. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебное пособие. 5-е издание. — М.: Наука, 1977.

85. Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 232 с.

86. Уваров А.В., Осипов А.И., Юнис С.М. Тепловая неустойчивость неравновесного газа. Физическая гидродинамика. М., 1994. - 7 с. (Препринт физического факультета МГУ N16/1995).

87. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: КомКнига, 2007. 240 с.

88. Фирц М. Статистическая механика // В книге "Теоретическая физика 20 века". -М.: Изд. иностр. лит. , 1962.

89. Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии. — М.: Наука, 1982.

90. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Отв. ред. Р.И. Солоухин. М.: Наука 1987. - 491 с.

91. Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику / Под ред. Д.Н. Зубарева и Н.М. Плакиды. М.: Мир, 1969. - 207 с.

92. Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов / Пер. с нем.; Под ред. А.В. Лыкова, М.: Мир, 1967. 544с.

93. Хилл Т. Статистическая механика / Под ред. С.В. Тябликова. М., 1960.-485 с.

94. Хильдебрант С. Краевые задачи для минимальных поверхностей // В книге "Минимальные поверхности" / Пер. с англ.; Под ред. Р. Оссермана. М.: Физматлит, 2003. - С. 208-306.

95. Хоник В.А. Стекла: структура и структурные превращения // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Т. 7. № 3. — С. 95102.

96. Шелест А.В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. — с. 158.

97. Шеффильд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме / Пер. с англ.; Под ред. JI.H. Пятницкого. М.: Атомиздат, 1978. — 280с.

98. Шредингер Э. Каноническое распределение квантовомеханических амплитуд // Избранные труды. М.: Наука, 1976.

99. Шульц М.М. Стекло: структура, свойства, применение // Соросовский образовательный журнал. — 1996. — С. 1-9.

100. Эсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.-218 с.

101. Abragam A., Proctor W.G. Spin Temperature // Phys. Rev. 1958. - V. 109.-N. 5.-P. 1441-1458.

102. Andrew K. Entropy // Am. J. Phys. 1984. - V. 52. - No. 6. - P. 492496.

103. Coveney Peter V. The second law of thermodynamics: entropy, irreversibility and dynamics // Nature. 1988. - V. 333. - P. 409-415.

104. Cutzow J., Schmelzer I. The Vitreous State: Thermodynamics, Structure, Rheology and Crystallization. Berlin-Heidelberg: Springtr, 1995. — 439p.

105. Daems D. and Nicolis G. Entropy production and phase space volume contraction // Phys. Rev. E. 1999. - V. 59. -N. 4. - C. 4000-4006. 100

106. Glansdorff P. Prigogine I. Sur les proprieties differentielles de la production d'entropie // Physica. 1954. - V. XX. - P. 773-780.

107. Misawa M., Suzuki R. Phys. Soc. Japan. - 1978. - V. 44. - № 5.

108. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes // Phys. Rev. — 1931 V. 37. - P. 405; V. 38. - P. 2265.

109. Petrovsky Т., Ordonez G., Prigogine I. Quantum transitions and nonlocality // Phys. Rev. A. 2000. - V. 62. -N. 042106. - P. 15.

110. Phillips J.S. Physics Today. - 1982. - February. - P. 27.

111. Ruppeiner G., Phys. Rev. 1979. - A 20. - P. 1607.

112. Woo H.-J. Variational formulation of nonequilibrium thermodynamics for hydrodynamic pattern formations // Phys. Rev. E. 2002. - V. 66. -N066104.-P. 5.

113. Локальная и субстанциональная формы уравнений баланса

114. А = ± \padV« = + \aadV*. (П.1.1)dt у0 у0 ot у0

115. V • (pav) = pv ■ Va , (П.1.8)приходим к локальному уравнению баланса (П. 1.3). Аналогичным образом из локального уравнения баланса (П. 1.3) выводится субстанциональное уравнение (П. 1.5).

116. Следует также отметить, что если производство сга величины А равно нулю, то локальные и субстанциональные уравнения баланса (П. 1.3) и (П. 1.5) становятся соответствующими (т.е. локальными и субстанциональными) законами сохранения этих величин.

117. Доказательство соотношений взаимности

118. Вычисление интеграла по переменной а, для значений j ф i приводит к соотношениюdwа для значений j -i к соотношениюcHvа, = а> Ч«,=±оо \W<i(X. = 1 • (П.2.4)

119. В соотношении (П.2.4) учтено условие нормировкиwdav.dan -1. (П.2.5)

120. В результате, приходим к следующему значению искомого среднего через 8 функцию Кронекераа,Х^-к8ц. (П.2.6)

121. Аналогично находим выражения средних произведений термодинамических сил и отклонений 71.:1. X.X^-kg^, (П.2.7)aiaj ~ kglj • (П.2.8)

122. Математическую формулировку свойства микроскопической обратимости удается осуществить через временные корреляционные функции а отклонений в моменты времени t и t+т в виде следующего равенства:0* (t + v) = а,(0а.(t — т). (П.2.9)

123. В силу эргодичности случайного процесса замена переменных t—r—>t в правой части равенства (П.2.9) не влияет на результат усреднения, так что справедливо равенствоц (/)«, it+г) = at (t + r)a. (t). (П.2.12)

124. Почленно складывая затем равенства (П.2.9) и (П.2.12), получимa, (t)aJ (t+г) = (Xj (t)a, (t+т). (П.2.13)

125. С другой стороны, умножая обе части равенства (П. 1.12) на переменную at(t) и производя усреднение полученных произведений,находим£ = kLj. (П 2 л 4)т ш

126. Аналогично получаем равенствог

127. Отсюда, с учетом соотношений (П.2.14) и (П.2.15), из соотношения (П.2.13), которое можно записать также в видеa, (i)ccj (t + г) а, (tty (t) = (t)a, (t + т) - at (/)«, (О, (П.2.16) получаем соотношения взаимности (1.5.2).

128. Определение устойчивости по Ляпунову

129. Будем полагать также, что начальные решения дифференциальных уравнений задаются при значении параметра t -10, то естьх° = (х°,.,хя°) = *„(/„). (П.3.3)

130. Если, к тому же, для малых возмущений, определяемых неравенством (П.3.5), при неограниченном возрастании tзс(0-Зс°(0|->О, (П.3.6)то решение (П.3.1) называется асимптотически устойчивым 59.

131. Расчёт температуры перегретых электронов в двухтемпературнойквазистационарной плазме1. Исходные формулы:1. Д/Г=Л/Г(0 У", (П.4.1)1. T{t) = Te1. А Г(0) , чп11.-—exp(-af)1. Г( 0) ^1. П.4.2)

132. Коэффициент а находим, дифференцируя по t левую и правую части (П.4.1) и полагая t = 0:1. П.4.3)а=Ш=т-(о) т:д/?е(о) ге(о)дге(о)' v ' ' '

133. Исходные данные (смотри рис.2, кривая 1):

134. Гс(о)=2917/:, Т^252%К, Те (о) = -2,23-107 К/сек; а = 0,497-105 се/с"1; АГ(0)/Г(0) = 0ДЗЗ.