Моделирование накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах 3D вероятностным клеточным автоматом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Чередниченко Алла Валериевна

• Чередниченко Алла Валериевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Чередниченко Алла Валериевна

Введение

Глава 1. Модели накопления повреждений в нагруженных материалах

1.1. Кинетическая теория разрушения: основные положения

1.2. Моделирование накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом

1.2.1. Основные положения теории клеточных автоматов

1.2.2. Моделирование накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом

Глава 2. 3Э вероятностный клеточный автомат для моделирования накопления повреждений

2.1. Физическая модель хрупкого разрушения

2.2. Формальное определение клеточного автомата

2.3. Комплекс программ, реализующий трехмерный вероятностный клеточный автомат

2.3.1. Структура программного проекта и средства разработки

2.3.2. Классы поддержки документа

2.3.3. Классы поддержки представления и пользовательского интерфейса

2.3.4. Отладка и примеры выходных данных

Глава 3. Результаты моделирования накопления повреждений 3Э-вероятностным

клеточным автоматом

3.1. Особенности эволюции кластерной структуры элементарных повреждений

3.1.1. Общие характеристики кластерной структуры

3.1.2. Эволюция распределения кластеров по размерам

3.2. Особенности кинетики кластерной структуры элементарных повреждений

3.2.1. Сравнение кинетических зависимостей и корреляционных функций, моделируемых 2Э и 3Э клеточными автоматами

3.2.2. Сравнение результатов модельного и физического экспериментов

3.3. Кинетика накопления элементарных повреждений. Метод нормированного размаха Херста

3.4. Зависимость характера кинетики от вероятности прорастания периметра кластера повреждений

Заключение

Список литературы

Введение

Прогнозирование разрушения различных гетерогенных материалов, в том числе горных пород, является актуальной научной задачей. В настоящее время в качестве неразрушающих методов контроля прочности твердых материалов широко используются методы импульсной эмиссии (акустической, электромагнитной) [1, 2]. При этом выявление экспериментально наблюдаемых параметров эмиссии, которые можно считать предвестниками разрушения материала, остается главной задачей и требует дополнительного исследования в силу того, что характеристики импульсной эмиссии дают только косвенную информацию о процессе разрушения.

В экспериментальных работах регистрируется выделение энергии при образовании новых повреждений, но отсутствует непосредственная информация о пространственном распределении повреждений, и особенно их объединении в кластеры, что важно для прогнозирования разрушения. При этом для интерпретации данных эксперимента используется кинетическая теория прочности С. Н. Журкова, развиваемая в работах В. С. Куксенко и других его учеников [1, 3].

Для выявления критериев разрушения важно сопоставление наблюдаемых в физическом эксперименте характеристик потоков импульсной эмиссии, которые несут информацию о возникновении новых микротрещин (элементарных повреждений) и прорастании трещин, с кинетическими характеристиками ансамбля кластеров, образованных дефектами структуры на различных иерархических уровнях. На современном уровне развития техники эксперимента невозможно провести одновременное наблюдение процесса накопления повреждений и формирования их кластерной структуры, особенно в динамике. В то же время методы компьютерного моделирования предоставляют такую возможность, что делает актуальным применение этих методов для исследования процесса разрушения. Наличие общих закономерностей на стадии предразрушения материала [4 - 6] также говорит в пользу такого подхода. Данные акустического эксперимента [7]

показывают, что микротрещины в горных породах образуются на мезоскопиче-

ском уровне. Средний размер микротрещин составляет (1,4 - 28,4) • 10 -6 м. В этом

случае процесс накопления повреждений и переход к макроразрушению может быть описан только динамикой геометрических характеристик рассматриваемой структуры без деталей образования отдельных элементарных повреждений. Такую возможность предоставляют перколяционные модели, которые рассматривают переход к макроразрушению как геометрический фазовый переход. С учетом того, что процесс накопления повреждений в хрупких материалах является случайным, нелинейным и необратимым, для его математического моделирования подходит модель вероятностного клеточного автомата [6, 8 - 16]. Так в работе В. Л. Гилярова [6] построена клеточно-автоматная модель накопления повреждений. Показано, что перед разрушением гетерогенного материала формируются степенные распределения дефектов по размерам. Наличие таких распределений является одним из признаков состояния самоорганизованной критичности.

В работах Д. В. Алексеева, Г. А. Казуниной [8 - 16] предложена физическая концепция, математическая модель и комплекс программ для одновременного исследования кинетического процесса накопления повреждений и пространственно-временной эволюции их кластерной структуры в хрупких материалах при помощи двумерного вероятностного клеточного автомата. Проведенные модельные эксперименты позволили выявить параметры процесса накопления повреждений, характерные для неравновесных систем, склонных к катастрофам. Предложен новый качественный критерий перехода материала на стадию, непосредственно предшествующую разрушению, основанный на изломе нормированного размаха Херста и переходе выборочной временной корреляционной функции в отрицательную область. Поскольку в реальном физическом эксперименте эволюция кластерной структуры повреждений происходит в трехмерной среде, требуется дополнительное исследование правомерности использования результатов двумерного моделирования для прогнозирования разрушения.

Последнее можно осуществить только с помощью непосредственного моделирования эволюции ансамбля элементарных повреждений на трехмерных решетках, что и является предметом исследования настоящей диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах 3D вероятностным клеточным автоматом»

Цель работы

Построение трехмерного вероятностного клеточного автомата для моделирования накопления элементарных повреждений в хрупких гетерогенных нагруженных материалах.

Задачи исследования

1. Построение алгоритма и программной реализации трехмерного вероятностного клеточного автомата для моделирования накопления повреждений и эволюции их кластерной структуры;

2. Исследование статистических характеристик случайного процесса накопления элементарных повреждений в трехмерном случае;

3. Сопоставление характеристик случайного процесса накопления повреждений, полученных при помощи модельного эксперимента, для трехмерного и двумерного [16] вероятностных клеточных автоматов;

4. Сопоставление статистических характеристик процесса накопления повреждений, полученных в модельном эксперименте, с данными физического эксперимента по импульсной эмиссии с целью выделения характеристик случайного процесса накопления повреждений, которые являются «предвестниками» разрушения.

Методы исследования

1. Моделирование процесса накопления повреждений с использованием разработанного и реализованного трехмерного вероятностного клеточного автомата;

2. Статистическая обработка данных модельного и физического эксперимента с использованием электронных таблиц Microsoft Excel.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Трехмерная модель эволюции кластеров элементарных повреждений, как и двумерная, на заключительной стадии эволюции демонстрирует поведение сложной неравновесной системы, склонной к катастрофам. Это характеризуется вымиранием кластеров промежуточных размеров и резким ростом степени критичности распределения масс кластеров повреждений (числа элементов в кластере) по мере приближения моделируемой системы к разрушению. Рост степени критичности для трехмерной модели в 2-3 раза превышает рост степени критичности для двумерной модели.

2. Особенности кинетической кривой накопления кластеров элементарных повреждений для трехмерной модели: более медленный по сравнению с двумерной моделью процесс накопления числа кластеров повреждений, отсутствие протяженного линейного участка перед разрушением, что сопровождается резким переходом к разрушению.

3. Подтверждение для трехмерной модели критерия перехода системы кластеров элементарных повреждений на стадию, предшествующую разрушению, по переходу автокорреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» в область отрицательных корреляций и появлению второго линейного участка на статистике нормированного размаха Херста.

4. Существование для трехмерной модели в случае динамического внутреннего сценария двух качественно различных режимов эволюции кластерной системы, контролируемых вероятностью прорастания периметра кластеров повреждений.

Степень достоверности научных положений достигается

1. Использованием при построении модели общепризнанных физических и математических теорий, таких как кинетическая теория прочности, механика разрушения, теория случайных процессов, теория клеточных автоматов, теория фрактальных временных рядов;

2. Тестированием работы 3D автомата на предельных режимах и подтверждением соответствия фрактальной размерности одиночных 3D кластеров оккупированных клеток и кластеров Хаммерсли-Лиса-Александровица, также соответствием средней плотности оккупированных клеток порогу перколяции на кубической решетке;

3. Объемом информации, получаемой в модельном эксперименте, достаточной для корректной статистической обработки;

4. Хорошим качественным согласием результатов модельного эксперимента с соответствующими данными физического эксперимента по измерению потока импульсной электромагнитной эмиссии.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

1. Использован трехмерный вероятностный клеточный автомат для моделирования процесса накопления повреждений и пространственно-временной эволюции их кластерной структуры;

2. При помощи модельных 3D экспериментов установлены закономерности в поведении «функции распределения» кластеров элементарных повреждений по размеру: вымирание кластеров промежуточных размеров и резкий рост степени критичности по мере приближения к разрушению, что характерно для неравновесных систем, склонных к катастрофам. При этом рост степени критичности в 2 - 3 раза больше, чем в случае моделирования при помощи двумерного вероятностного клеточного автомата;

3. Установлено, что вид кинетической кривой накопления кластеров элементарных повреждений для трехмерной модели по сравнению с двумерной моделью, характеризуется более медленным ростом на начальной стадии эволюции, переходящим к резкому уменьшению числа кластеров непосредственно перед разрушением;

4. Установлено существование для трехмерной модели двух качественно различных режимов эволюции кластерной системы, контролируемых вероятностью прорастания периметра кластеров повреждений. Для значений ве-

роятности прорастания периметра кластеров повреждений р > 0,2 процесс перехода к необратимому разрушению существенно ускоряется и становится сильно коррелированным;

5. Получено подтверждение для трехмерной модели критерия перехода системы кластеров элементарных повреждений на стадию, предшествующую разрушению, по переходу автокорреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» в область отрицательных корреляций и появлению второго линейного участка на статистике нормированного размаха Херста. При этом хорошее качественное совпадение данных модельного и физического эксперимента по импульсной эмиссии получено для режима эволюции кластерной системы р < 0,2.

Личный вклад автора состоит

1. В разработке формального описания алгоритма и программной реализации трехмерного вероятностного клеточного автомата;

2. Выполнении модельного эксперимента, статистической обработке и анализе полученных результатов.

Научное и практическое значение работы

Разработанная в диссертации компьютерная модель и ее программная реализация развивают перспективные методы исследования процессов разрушения. Полученный в диссертации критерий перехода к разрушению может служить основой для разработки новых нетрадиционных методов прогнозирования разрушения горных пород и других гетерогенных материалов. Использованные в диссертации методы статистической обработки данных модельного эксперимента могут быть использованы для сопоставления результатов модельного и физического эксперимента при клеточно-автоматном моделировании других случайных процессов в физике, химии, технике.

Апробация

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях:

-VI Международная конференция «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов (Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова РАН, Москва 10 - 13 ноября 2015).

-IX Международная конференция «Образование, наука, инновации: вклад молодых исследователей» (КемГУ, Кемерово 2014).

- XIII Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ТГУ, Анжеро-Судженск, 2014).

-Всероссийская конференция молодых ученых с международным участием «Россия молодая» (Кузбасский государственный технический университет им. Т. Ф. Горбачева, Кемерово 2014, 2015).

- Всероссийская конференция «Научное творчество молодежи. Математика. Информатика» (ТГУ, Анжеро-Судженск, 2014, 2015).

-Всероссийская конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых с элементами научной школы «Горняцкая смена -2015» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск 2015).

-Всероссийская конференция «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск 2015).

-Российская конференция молодых ученых сотрудников и аспирантов «Фи-зико-химия и технология неорганических материалов» (Институт металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН, Москва 2014, 2015).

Публикации

Автором по теме диссертации опубликовано 14 работ. Основные результаты диссертации полностью опубликованы в 4 статьях рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК. 2 статьи опубликованы в других рецензируемых журналах, 4

статьи -в трудах конференций, 4 - в тезисах докладов конференций.

10

Глава 1.

Модели накопления повреждений в нагруженных материалах 1.1.Кинетическая теория разрушения: основные положения

Разрушение - это многостадийный кинетический процесс образования и накопления повреждений. Кинетический процесс базируется на универсальном механизме термофлуктуационного разрыва молекулярных и межмолекулярных связей, которые приводят к образованию элементарных повреждений структуры. При этом разрывы молекулярных и межмолекулярных связей описываются законами статистической механики и контролируются некоторым энергетическим барьером активации процесса [3]. Согласно основным положениям статистической механики, вероятность преодоления энергетического барьера и за единицу времени задается формулой

-и

Ж = Ж0вкт , (1.1)

где множитель принято интерпретировать как скорость перехода - обратное время преодоления энергетического барьера в пределе высоких температур.

Представленные теоретические положения являются общими и никак не конкретизируют существенные для изучаемого процесса понятия, связанные с физической природой энергетического барьера. В связи с этим, формула (1.1) используется при анализе и интерпретации данных эксперимента в разнообразных случаях [1,17]. Для процесса разрушения формула с активационным барьером называется формулой долговечности С. Н. Журкова [3]:

и

т = т0вкт .

Эта формула описывает зависимость долговечности материала (времени существования тела в нагруженном состоянии до разрушения) от механического

напряжения и температуры. Долговечность связана со скоростью перехода в поврежденное состояние соотношением:

-и 1

Ж = Ж0ект , Ж = -.

т

При этом связь долговечности и механического напряжения выражена косвенно, через зависимость активационного барьера от механического напряжения. В линейном приближении по механическому напряжению с имеет место соотношение

и о-С

т = т0е кт . (1.2)

Параметры и0, у, называют кинетическими константами прочности материала и находят по экспериментальным зависимостям долговечности материала от температуры и механического напряжения. Множитель т0 первоначально отождествляют с характерным периодом колебаний атомов кристаллической решетки [4].

Опираясь на формулу (1.2), были определены значения кинетических констант и0, у для различных материалов и обобщено большое количество экспериментальных данных по долговечности [17].

Согласно кинетической теории процесс разрушения разделяется на две качественно различные стадии: во-первых проходит хаотичное накопление элементарных дефектов по универсальному термофлуктуационному механизму; во-вторых дефекты объединяются во все более крупные структуры, вплоть до магистральных трещин, которые приводят к макроскопическому разрушению.

В связи с тем, что процесс накопления элементарных повреждений носит стохастический характер, при его описании необходимо использовать методы теории случайных процессов.

В первых работах по моделированию процесса накопления повреждений

наиболее часто использовались модели Марковских процессов (стационарный и

нестационарный пуассоновские процессы, другие модели) [18 - 27]. Например, в

работах [20, 21, 23, 24] распределение дефектов на стадии формирования объеди-

12

нений дефектов в группы аппроксимируется распределением Пуассона с парамет-

i/o

ром Л = sn r, где s - число дефектов в группе, где n - средняя концентрация дефектов, r - средний размер дефекта. Как результат, средняя концентрация ассоциаций, образуемых объединением s микротрещин, равна

_ n (sn1/33r)s p{-sn1/3r)

ns esn r). (1.3)

s s!

При этом показано, что процесс образования ассоциаций будет устойчивым при выполнении условия

П (п -Дл)_(1 _ Аи}1+,/з . /-(О"-1)") >(14)

ns n n

Опираясь на это соотношение при условии £ >> 1, получен концентрационный критерий разрушения: процесс образования ассоциаций является устойчивым, если концентрация дефектов рассматриваемого размера удовлетворяет условию

1/3 1 з

п г > - или псг « е. е с

В работах В. А. Петрова [24, 25] путем анализа и обобщения данных эксперимента построена качественная модель перехода от микродефектов к макроскопическому разрушению в рамках термодинамического подхода. Согласно этой модели дефект (трещина) является концентратором напряжения. В окрестности дефекта действует повышенное напряжение, и образование новых дефектов происходит с большей скоростью. Процесс образования трещин протекает как рост локализованного очага разрушения. Одновременно образованию очага разрушения противодействует статистический фактор, вызванный случайным характером тепловых флуктуаций, который приводит к хаотическому распределению дефектов в объеме. В результате взаимодействия этих двух факторов разрушение протекает в виде рассеянного накопления некоррелированного ансамбля микротрещин. Флуктуации концентрации в ансамбле микродефектов приводят к объединению нескольких микродефектов в дефект более крупного размера - кластер. Далее кластер, действующий как более крупный концентратор напряжений, обеспе-

13

чивает переход процесса из стадии рассеянного накопления повреждений в стадию локализации накопления элементарных повреждений в зоне повышенных напряжений. Возникает очаг разрушения, дальнейший рост которого происходит благодаря «захвату» микродефектов, попадающих в поле повышенных напряжений, создаваемых растущим кластером.

В работах В. В. Иванова и др. [28 - 32] предложена кинетическая модель очага разрушения, в которой накопление повреждений моделировалось нестационарным пуассоновским потоком.

Таким образом, представление о многостадийности процесса разрушения на современном уровне научных исследований является обоснованным. При этом наиболее полно исследованными являются стадии рассеянного накопления повреждений и заключительная стадия разрушения, касающаяся условий устойчивости макроскопических трещин.

Стадия разрушения, на которой происходит накопление и рост дефектов более мелкого пространственного масштаба является наименее изученной. С теоретической точки зрения, используемые пуассоновские модели не учитывали такой аспект процесса накопления повреждений как «память» (вероятность образования новых элементарных повреждений должна зависеть от концентрации образовавшихся ранее). Кроме того, проведенная позже экспериментальная проверка процесса накопления повреждений [33] с применением статистики Херста показала, что процесс накопления повреждений не является процессом с независимыми приращениями. Поэтому в дальнейшем внимание исследователей сосредоточилось на изучении общих закономерностей процесса разрушения для материалов различной природы именно на промежуточной стадии накопления повреждений.

Картина процесса накопления повреждений и возникновение очага разрушения в гетерогенных материалах подробно исследована в работе [34] путем анализа статистических параметров акустической эмиссии. Во временной кинетике процесса удалось выделить как стадию рассеянного накопления дефектов по всему объему, так и концентрацию дефектов в локальной области, называемой оча-

гом разрушения. Наличие двух стадий в кинетике разрушения наблюдалось также и в [35] на примерах исследования долговечности бетона и цементного камня при статическом нагружении по измерению зависимости разрывного напряжения от скорости нагружения.

В упомянутых выше работах показано, что процесс перехода системы от стадии накопления повреждений на стадию макроразрушения происходит только при достижении некоторой критической величины. Эта величина носит общий характер, определяется соотношением величины расстояния между элементарными повреждениями и размерами одного элементарного повреждения, не зависит от специфики конкретного материала и является универсальной.

Предложенная в работах В. С. Куксенко с соавторами [27, 34, 36] двуста-дийная модель разрушения твердых тел, инвариантная к масштабу объектов, положена в основу практического использования этих подходов для прогнозирования макроскопического разрушения. Так в работах [1, 36] представлен метод прогнозирования места, времени и энергии сейсмических явлений, приведен пример прогноза горных ударов. В работе [37] рассматривается эволюция представлений о концентрационном критерии разрушения твердых тел в связи с использованием его для прогноза сильных сейсмических явлений.

Проведенный в работах Л. Р. Ботвиной [4, 38] анализ развития дефектов различного размера в материалах разного класса (металлах, сплавах, полимерах, горных породах) и земной коре выделяет следующие общие закономерности этого процесса. Накопление повреждений является многомасштабным и автомодельным, то есть происходит таким образом, что геометрическая картина нарушений структуры материала на разных масштабных уровнях остается самоподобной. Дефект каждого последующего ранга появляется при накоплении предельной плотности дефектов предыдущего ранга.

Установленная автомодельность процесса множественного разрушения приводит к единой универсальной степенной зависимости распределения дефек-

тов по размерам при ее построении в координатах, нормированных на максимальное число дефектов Яшах и максимальный размер ^тах дефектов:

Я/Ятах = А * (Шшах)", " = 3,7. (1.5)

Подтвержденное большим числом экспериментальных данных подобие процессов накопления повреждений в металлах и земной коре говорит в пользу того, что процесс множественного разрушения в образцах металла и земной коре подобны не только по форме, но и по их физическому смыслу.

При этом наличие универсальной степенной зависимости интерпретируется в пользу того, что пространственная структура распределения дефектов образует фрактальную или мультифрактальную структуру [34, 39].

Данные акустического эксперимента [7] показывают, что микротрещины в горных породах образуются на мезоскопическом уровне и их средний размер находится в пределах (1,4 - 28,4) • 10-6 м. Поэтому в отличие от элементарного акта разрушения, требующего для своего описания конкретизации микроскопического механизма, определяющего кинетические константы, процесс перехода от накопления элементарных повреждений к макроскопическому разрушению можно описать без подробности механизма образования отдельных элементарных повреждений. Здесь может быть использована одна из простейших математических моделей - перколяционная модель [40 - 52], которая описывает переход к макро разрушению как геометрический фазовый переход.

В модели геометрического фазового перехода [40 - 42] разрушаемый материал представляется как решетка бесконечной протяженности, элементарными дефектами структуры которой являются разорванные связи между соседними узлами. С ростом концентрации разорванных связей они объединяются в кластеры, которые можно считать аналогами макроскопических дефектов структуры. Пока концентрация разорванных связей невелика, материал находится в связном состоянии, то есть любая его часть связана с другими ближайшими частями некоторым числом неразорванных связей. Когда концентрация разорванных связей достигает

критического значения - порога перколяции, в системе происходит образование бесконечного кластера из разорванных связей, что интерпретируется как фазовый переход и соответствует разделению тела магистральной трещиной [43].

К важным преимуществам перколяционных моделей можно отнести следующие. Во-первых, перколяционные модели отвечают на вопрос о величине критической концентрации разорванных связей, необходимой для перехода к макроскопическому разрушению, хотя ничего не говорят ни о природе разрываемых связей, ни о механизме их разрыва, ни о временной кинетике накопления числа разорвавшихся связей, тем самым дополняя рассмотренные выше модели в плане описания разрушения как кооперативного макроскопического явления. Во-вторых, сложную хаотическую структуру перколяционных кластеров математически можно описать как фракталы - геометрические объекты с дробной пространственной размерностью [47 - 49]. Фрактальность кластерной структуры разрушенного материала подтверждается проведенными в последнее время [53 - 57] исследованиями структуры поверхностей разрушения различных реальных материалов.

Являясь моделями равновесной статистической механики, первые перколя-ционные модели в принципе не могут ответить на вопросы о динамике процесса накопления элементарных повреждений. Ответ на этот центральный вопрос наиболее сложен, поскольку динамика образования фрактальных кластерных структур находится в настоящее время в начальной стадии развития.

В работах [44 - 46] проводилось измерение рельефа поверхности излома при вязком разрушении и была построена следующая качественная картина процесса разрушения. Согласно этой картине начинающийся с изотропного образования дефектов (пор) объемный процесс разрушения проходит стадию образования очаговых трещин и вырождается по размерности перед образованием макроскопической трещины (поры сливаются лишь в определенной плоскости - у фронта единственной макроскопической трещины). Попытки объяснить вырождение размерности на основе модели перколяции не позволили сформулировать критерий раз-

рушения. Следовательно, для описания задачи разрушения модель перколяции должна удовлетворять следующим требованиям: условия объединения дефектов должны зависеть от прошедших ранее объединений («динамическая перколя-ция»), критерий объединения должен учитывать взаимную ориентацию дефектов, критерий объединения должен учитывать влияние полей напряжения и деформации («эффект дальнодействия»). В настоящее время учет этих требований находится на стадии исследования. Так в работе В. Л. Гилярова [53] проведен анализ спектральных характеристик акустической эмиссии разрушающихся материалов. Основные полученные результаты сводятся к следующему. На начальной стадии процесса разрушения частотная зависимость спектральной плотности пауз в импульсном потоке образования трещин имеет вид белого шума. По мере развития процесса образования трещин в низкочастотной области спектра мощности наблюдается заметный подъем, который становится все более четко выраженным по мере приближения к моменту разрушения; в логарифмических координатах,

этот подъем имеет ярко выраженный характер 1 (фликкер) шума. Такая особенность означает самоподобие рассматриваемого случайного процесса при изменении временного масштаба и является отражением внутренней нелинейной динамики самоорганизации пространственных динамических систем с формирующимися в них масштабно инвариантными метастабильными структурами [39, 54, 55]. Поэтому в работе сделано предположение, что характер накопления повреждений в материале при его механическом нагружении также является фрактальным, по крайней мере на поздних стадиях процесса разрушения.

Исследования статистических свойств случайных процессов, связанных с фрактальными объектами, предоставляют эффективные тесты для проверки различных предположений о характере случайных процессов [43]. Для проверки того, что исследуемый случайный процесс является случайным процессом с независимыми приращениями широко используется метод нормированного размаха Херста [47-49], суть которого состоит в следующем. Основной измеряемой вели-

18

чиной случайного процесса /(t) является нормированный размах R(t) / S(t), где R(t) = max /(т) — min /(т), т е (0, t) - максимальный размах процесса за время

t , S(t) =

t

1 |(/(т) — /(t))2dT - среднеквадратичное отклонение от текущего сред-

0

И

него л . Для пуассоновского потока ¡л(1) = у[Л гс . Поэтому в логарифмических координатах (1п [л($), 1п t) зависимость нормированного размаха является прямой

линией с коэффициентом наклона Н = 1. Коэффициент наклона на указанной зависимости называется показателем Херста. Как показано Б. Мандельбротом [48], значение показателя Херста Н = 1 - это универсальная характеристика всех стохастических Марковских процессов.

Теория образования пространственно-временных фрактальных кластеров [48] базируется на предположении о том, что пространственный фрактал - «пространственный срез» универсального пространственно-временного процесса, называемого процессом «самоорганизованной критичности». Одновременно с этим «временным срезом» процесса самоорганизованной критичности являются случайные процессы с долговременной памятью, описываемые в спектральной области фликкер-шумом.

Общей чертой процессов типа фликкер-шума является то, что такие процессы не являются Марковскими и характеризуются функциями корреляции, медленно убывающими по степенному закону с показателем Херста Н ф 1:

0(1) = 0(0)^(2Н-1) -1). (1.6) Если значение показателя Херста Н > 1, случайный процесс называется персистентным и поддерживает в будущем тенденцию, наблюдаемую в прошлые

моменты времени. Когда показатель Херста Н < 1, процесс называют антиперси-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чередниченко Алла Валериевна, 2016 год

Список литературы

1. Куксенко, В. С. Диагностика и прогнозирование разрушения крупномасштабных объектов / В. С. Куксенко. // Физика твердого тела . - 2005. - т. 47, вып. 5. - С. 787-792.

2. Яковицкая, Г. Е. Разработка метода и измерительных средств диагностики критических состояний горных пород на основе электромагнитной эмиссии: дисс. докт. тех. наук. / Г. Е. Яковицкая.// - Новосибирск.- 2007.

3. Журков, С. Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел / С. Н. Жур-ков. // Вестн. АН СССР. - 1968. - №3. - С. 46-52.

4. Ботвина, Л. Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности / Л. Р. Ботвина. // - М: Наука, 2008. - 334 с.

5. Гиляров, В. Л. Формирование степенных распределений дефектов по размерам в процессе разрушения материала / В. Л. Гиляров, М. С. Варкентин, В. Е. Корсуков, М. М. Корсукова, В. С. Куксенко// Физика твердого тела. - 2010. -т. 52 , вып. 7 . - с. 1311 - 1315.

6. Гиляров, В. Л. Моделирование роста трещин в процессе разрушения гетерогенных материалов / В. Л. Гиляров. // Физика твердого тела. - 2011. -т. 53, вып. 4 . - с. 707 - 710.

7. Цай, Б. Н. Физические аспекты механизма разрушения горных пород / Б. Н. Цай // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. -2004. - № 1. - с. 72 - 78.

8. Казунина Г. А. Автомодельность функций распределения кластеров на двумерной решетке / Г. А. Казунина // Моделирование неравновесных систем -2004: Материалы седьмого Всероссийского семинара, Красноярск: изд-во Института вычислительного моделирования СО РАН, 2004. - с.71 - 72.

9. Алексеев, Д. В. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах: моделирование вероятностным клеточным автоматом

/Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . - 2006. - № 1. -с.49 - 60.

10. Алексеев, Д. В. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом /Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Физика твердого тела. - 2006. - т.48, вып.2 . - с. 255 - 261.

11. Алексеев, Д. В. Модельное исследование кинетики накопления повреждений методом нормированного размаха Херста/ Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2006.- № 4. - с. 69-74.

12. Алексеев, Д. В. Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Деформация и разрушение материалов. - 2009.- № 4. - с. 7-11.

13. Алексеев, Д. В. Моделирование эволюции кластерной структуры элементарных повреждений в нагруженных материалах / Д. В. Алексеев, Г. А. Казуни-на // Деформация и разрушение материалов. - 2009.- № 8. - с. 10-14.

14. Алексеев, Д. В. Эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах /Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Химическая физика и мезоскопия. - 2009. - т.11,. - № 2. - с. 191 - 195.

15. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах /Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Химическая физика и мезоскопия. - 2009. - т.11. - № 3 . - с. 283 - 289.

16. Казунина, Г. А. Исследование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах (моделирование вероятностным клеточным автоматом) дисс. докт. тех. наук / Г. А Казунина // - Кемерово.- 2010. 189 с.

17. Регель, В. Р. Кинетическая природа прочности твердых тел. / В. Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е. Томашевский // - М.: Наука. - 1974. - 560 с.

18. Журков, С. Н. Физические основы прогнозирования механического разрушения / С. Н. Журков, В. С. Куксенко, В. А. Петров // Докл. АН СССР. 1981. - т. 259, вып.6 - с. 1350 -1353.

19. Петров, В.А. Статистическая теория кинетики микротрещин: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук / В. А. Петров. // ИМФ АН УССР. - Киев, 1972. - 25с.

20. Томашевская, И. С. Возможность предсказания момента разрушения образцов горных пород на основе флуктуационного механизма роста трещин / И. С. Томашевская, Я. Н. Халиуллин. // Докл. АН СССР. - 1972. -т. 207, вып. 3. -с.580 - 584.

21. Журков, С. Н. О прогнозировании разрушения горных пород / С.Н. Журков, В. С. Куксенко, В. А. Петров. // Изв. АН СССР. Физика Земли. -1978.- № 6.-с. 11 - 18.

22. Куксенко, В. С. Концентрационный критерий укрупнения трещин в гетерогенных материалах / В. С Куксенко, Л. Г. Орлов, Д. И. Фролов. // Механика композитных материалов. - 1979. - № 2. - с. 195 -201.

23. Петров, В. А. О механизме и кинетике макроразрушения / В. А. Петров // Физика твердого тела.-1979.- т.21, вып.12.-с. 3681 - 3686.

24. Петров, В. А. Термодинамический подход к микромеханике разрушения твердых тел / В. А. Петров // Физика твердого тела.-1983.- т.25, вып. 10. -с. 3110 - 3113.

25. Петров, В. А. Основы кинетической теории разрушения и его прогнозирование / В. А. Петров // Прогноз землетрясений.- 1984.- № 5. - с. 30-44.

26. Петров, В. А. Тепловые флуктуации как генератор зародышевых трещин / В. А. Петров. // Физика прочности и пластичности. - Л.: Наука , 1986. - с. 7 -12.

27. Куксенко В. С. Подобие в процессах разрушения горных пород на различных масштабных уровнях / В. С. Куксенко, В. А. Мансуров, Б. Ц. Манжиков и др. // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1990.- № 6. - с. 66 - 70.

28. Иванов, В. В. Физические основы электромагнитных процессов при формировании очагов разрушения в массиве горных пород: Автореф. Дис.д-ра техн.

наук. / В. В. Иванов // Кузбасский гос. техн. ун-т;- Кемерово, 1994.- 41с.: ил.-Библиогр.: с. 38-41.

29. Иванов, В. В. Определение констант термофлуктуационного уравнения прочности и параметров трещин на основе импульсного электромагнитного излучения горных пород / В. В. Иванов, П. В. Егоров, Л. А. Колпакова и др. // Изв. АН СССР, Физика Земли. -1990.- № 5. - с. 78 - 84.

30. Иванов, В. В. Имитационная модель процесса трещинообразования в очагах разрушения горных пород / В. В. Иванов, А. Г. Пимонов. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1990.- № 3 - с. 34 - 37.

31. Иванов, В. В. Статистическая теория эмиссионных процессов в нагруженных структурно - неоднородных горных породах и задача прогнозирования динамических явлений / В. В. Иванов, П. В. Егоров, А. Г. Пимонов. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . -1990. - № 4. - с. 59 -65.

32. Иванов, В. В. Статистическая модель электромагнитной эмиссии из очага разрушения в массиве горных пород / В. В. Иванов, А. Г. Пимонов. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . - 1989.- № 2. -с. 52 -56.

33. Алексеев, Д. В. Фрактальные модели роста трещин раскола горных пород / Д. В. Алексеев, П. В. Егоров, А. Г. Пимонов. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1996.- № 2 - с. 48 -53.

34. Томилин, Н. Г. Формирование очага разрушения при деформировании гетерогенных материалов (гранита) / Н. Г. Томилин, Е. Е. Дамаскинская, В. С. Куксенко. // Физика твердого тела. - 1994. - т. 36, вып. 10. - с. 3101 -3112.

35. Бетехтин, В. И. Кинетика разрушения и динамическая прочность бетона / В. И. Бетехтин, В. С. Куксенко, А. И. Слуцкер, И. Э. Школьник. // Физика твердого тела. - 1994. - т. 36, вып. 9 .- с.2599-2698.

36. Томилин, Н. Г. Статистическая кинетика разрушения горных пород и прогноз сейсмических явлений / Н. Г. Томилин, Е. Е. Дамаскинская, П. И. Павлов. // Физика твердого тела. - 2005. -т. 47 , вып.5 . - с. 955 - 959.

37. Завьялов, А. Д. От кинетической теории прочности и концентрационного критерия разрушения к плотности сейсмогенных разрывов и прогнозу землетрясений / А. Д. Завьялов. // Физика твердого тела - 2005. -т. 47, вып.5 . - с. 1000 - 1008.

38. Ботвина, Л. Р. О характере графика повторяемости на различных стадиях дефектообразования и подготовки землетрясения / Л. Р. Ботвина, И. М. Рот-вайн, В. И. Кейлис- Борок , И. Б. Опарина. // Докл. АН, 1995.- т. 345. - № 6 -с. 809 -812.

39. Соболев, Г. А. Основы прогноза землетрясений /Г. А. Соболев. // - М: Наука, 1993. 313 с.

40. Toussaint R. Fracture of disordered solids in compression as critical phenomenon. I. Statistical mechanics formalism / R. Toussaint, S.R. Pride // Phys. Rev. E .-2002.-v.6^.- № 3.-ч. 2A.- p. 0366135/1 - 0366135/10.

41. Polinski Yu. Phase transition in the fractal clusters in the presence of electric fields / Yu. Polinski, T. Elperin // Phys. Rev. B - 2000.-v.62. - № 19.- p. 12656 -12659.

42. Wang Y.U. Phase field microelasticity theory and simulation of multiple voids and cracks in single crystals and polycrystals under applied stress / Y.U.Wang, M.Jin Yongmei, Armen G. Khachatuyan. // J. Appl. Phys. - 2002.- v.91.-№ 10.- part1. - р. 6435 - 6451.

43. Соколов, И. М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания / И. М. Соколов. // УФН. - 1986. - т.150. - № 2.-с.221 - 253.

44. Штремель, М. А. О развитии вязкого разрушения как самоорганизация с вырождением размерности / М. А. Штремель, А. М. Авдеенко, Е. И. Кузько. // Физика твердого тела. - 1995.- т. 37.- № 12. - с. 3751 -3754.

45. Авдеенко, А. М. Развитие неустойчивости пластического течения как самоорганизация / А. М. Авдеенко, Е. И. Кузько, М. А. Штремель. // Физика твердого тела.- 1994. - т.36 - № 10. -с. 3158 -3161.

46. Avdeenko A. M. Instabiliti of plastic deformation as self-organizing fractal / A. M. Avdeenko, E. I. Kuzko. // Phys. Rev. B.- 2001.- № 6.-p. 064103 (1- 6).

47. Федер, Е. Фракталы / Е.Федер.// - М: Мир, 1991. -260 с.

48. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. // - М: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

49. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные закон / М.Шредер.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-528 с.

50. Ching Emily S.C. Multifractality of mass distribution in fragmentation / S.C. Ching Emily // Physica A .- 2000.-v. 288.- № 1- 4.- p. 402 - 408.

51. Inspolatov I. Correlation functions in decorated lattige models / I.Inspolatov, K. Koga, B. Widom // Physica A.- 2001.- v.291.- № 1-4.-p. 49 -59.

52. Helali N. Computer simulation of fractal growth via a 2D-MECA percolative system representation extended nutrient relasing source (NRS) / N. Helali, B. Rezig // Physica A .- 2001.- v. 292.- № 1- 4.- p. 9 - 25.

53. Гиляров, В.Л. Фликкер-эффект, фрактальные свойства разрушающихся материалов и проблема прогнозирования разрушения / В.Л. Гиляров // Физика твердого тела. - 1994. - т. 36, вып. 8. - с. 2247 -2251.

54. Chinarov V. Self- organized localization of macrostates by additive noise in a fast - slow dynamical system : effect of the slow non-reactive mode oln barrier cross-

ing rate of the fast bistable mode / V. Chinarov, M. Mensiger // Phys. Rev. E -2000.- v.62.- № 5 .- Pt A.-р. 6035 - 6031.

1/ fa

55. Davidsen J. J noise from self- organized critical models with uniform driving / J. Davidsen, H.-G. Schuster // Phys. Rev. E -2000.-v.62.-№5.- Pt A .- р. 6111 -6115.

56. Веттегрень, В. И. Динамика деформации и разрушения гетерогенного тела под влиянием электрического разряда / В. И. Веттегрень, И. П. Щербаков,

A. В. Воронин, В. С. Куксенко, Р. И. Мамалимов. // Физика твердого тела. -2014. -т. 56 , вып. 5 . - с. 981 - 985.

57. Гиляров, В. Л. Выявление детерминированной составляющей в сигналах акустической эмиссии от механически нагруженных образцов из горных пород /

B. Л. Гиляров. // Физика твердого тела. - 2015. -т. 57 , вып. 11 . - с. 2205 -2211.

58. Алексеев, Д. В. Механизмы электризации трещин и электромагнитные предвестники разрушения горных пород / Д. В. Алексеев, П. В. Егоров, В. В. Иванов. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. -1992. - № 6. - с. 27 -32.

59. Алексеев, Д. В. Механизм формирования квазистационарного электрического поля в нагруженных горных породах / Д. В. Алексеев, В. В. Иванов, П. В. Егоров. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1993 - № 2. - с. 3 - 6.

60. Алексеев, Д. В. Персистентность накопления трещин при нагружении горных пород и концентрационный критерий разрушения / Д. В. Алексеев, П. В. Егоров. // Докл. АН , 1993.- т. 333.- № 6 . - с. 779-780.

61. Алексеев, Д. В. О кинетике накопления трещин и концентрационном критерии разрушения / Д. В. Алексеев, П. В. Егоров, А. Г. Пимонов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1994. - № 1 . -с.29 -34.

62. Алексеев, Д. В. Статистические свойства электромагнитного и светового излучения при разрушении горных пород / Д. В. Алексеев, П. В. Егоров, А. А. Мальшин // Вестник КузГТУ, 2005. - № 1.- с.18 - 23.

63. Гиляров, В. Л. Кинетическая концепция прочности и самоорганизованная критичность в процессе разрушения материалов / В. Л. Гиляров // Физика твердого тела. - 2005. -т. 47 , вып. 5 . - с. 808 - 811.

64. Овчинский, А. С. Моделирование на ЭВМ процессов накопления повреждений в твердых телах под нагрузкой/ А. С. Овчинский, Ю. С. Гусев. // Физика твердого тела. - 1981. -т.23, вып.11, - с.3308 -3314.

65. Дамаскинская, Е. Е. Имитационное моделирование потока актов разрушения в гетерогенных материалах / Е. Е. Дамаскинская, Н. Г. Томилин. // Физика твердого тела. - 1991. -т.33, вып.1, - с.278 -286.

66. Nishiuma S. Dynamic scaling for crack growth in a medium containing many initial defects / S. Nishiuma, S. Miyazima // Physica A.- 2000.- v.278.- № 3- 4.- p. 295- 303.

67. Мартынюк, П. А. Численное моделирование кинетического процесса накопления и слияния микротрещин / П. А. Мартынюк, Е. Н. Шер, Г. В. Башеев // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 1997, -№ 6 .- с. 50-59.

68. Башеев, Г. В. Образование зародышевой трещины при ударном разрушении хрупкого тела клином / Г. В. Башеев, В. П. Ефимов, П. А. Мартынюк. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 1999.- №1.-с.52 - 59.

69. Шер, Е. Н. Влияние иерархии дефектов на процесс их накопления в нагруженном твердом теле / Е. Н. Шер // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . - 2003. - № 3. - с. 56 - 60.

70. Башеев, Г. В. Статистическое моделирование разрушения горных пород при двуосном сжатии. Ч.1: взаимодействие трещин сдвига // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . - 2003. - № 5. - с. 55 - 62.

71. Wolfram, S. Universality and Complexity in Cellular Automata / S. Wolfram // Phisica D. - 1984 - Vol. 10.- P. 1-35.

72. Wolfram, S. Cellular automation Fluids / S. Wolfram // Journal of Statistical Physics. - 1986. - Vol. 45. - P. 471-526.

73. Toffoli T., Margolus N. Cellular Automata Machines: A New Environment for Modeling. USA: MIT Press, 1987. P. 259.

74. Ванаг, В. К. Исследование пространственных динамических систем методами вероятностного клеточного автомата. / В. К. Ванаг. // Успехи физических наук. - 1999. - т. 169. - № 5. - с. 481 - 505.

75. Бандман, О. Л. Клеточно-автоматные модели пространственной динамики / О. Л. Бандман. // Системная информатика. Методы и модели современного программирования, 2006. №10. С. 59-113.

76. Лобанов, А. И. Моделирование клеточных автоматов / А. И. Лобанов // Компьютерное исследования и моделирование. - 2010 т. 2 - № 3. - с. 273-293.

77. Медведев, Ю. Г. Метод моделирования трехмерных потоков жидкости клеточными автоматами / Ю. Г. Медведев // Автометрия. - 2005. - Т. 41. - № 3 . - С. 37-48.

78. Малинецкий, Г. Г. Моделирование движения толпы при помощи клеточных автоматов / Г. Г. Малинецкий, М. Е. Степанцов // Известия ВУЗов Сер. Прикладная нелинейная динамика. - 1997 - Т. 5. С. 75-79.

79. Бандман, О. Л. Отображение физических процессов на их клеточно-автоматные модели / О. Л. Бандман // Вестник Томского государственного университета. 2008. - № 3. С. 21-30.

80. Weimar, J. R. Diffusion and wave propagation in cellular automaton model of excitable media / J. R. Weimar, J. J. W. Tyson, T. Layne // Pfysica D: Nonlinear Phenomena. - 1992. - Vol. 55. - № 3-4. - P. 309-327.

95

81. Бандман, О. Л. Кумулятивный синтез: клеточно-автоматная модель физико-химических процессов на стадии схлопывания порошковой облицовки / О. Л. Бандман, С. А. Кинеловский //Прикладная дискретная математика. - 2011. -№ 2. - С. 113-124.

82. Псахье, С. Г. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание / С. Г. Псахье, Г. П. Остермайер, А. И. Дмитриев, Е. В. Шилько, А. Ю. Смолин, С. Ю. Коростелев // Физическая мезомеханика. - 2000. - т. 3. № 2. С. 5-13.

83. Стефанов, Ю. П. Численное исследование деформации и образование трещин в плоских образцах с покрытием / Ю. П. Стефанов, И. Ю. Смолин // Физическая мезомеханика. 2001. - т. 4. № 6. С. 35-43.

84. Астафуров, С. В. Влияние параметра прочности функции отклика подвижного клеточного автомата на прочностные характеристика и особенности разрушения хрупких материалов. / С. В. Астафулов, Е. В. Шилько, С. Г. Псахье // Физическая мезомеханика. 2002. - т. 4. № 4. С. 23-27.

85. Евсютин, О. О. Приложения клеточных автоматов в области информационной безопасности и обработки данных / О. О. Евсютин, А. А. Шелупанов // Доклады ТУСУРа, № 1 (25) ч. 2. - 2012. С. 119-125.

86. Павловский, Ю. Н. Компьютерное моделирование / Ю. Н. Павловский, Н. В. Белотелов, Ю. И. Бродский. // - М: Физматкнига, 2014. - 304 С.

87. Коныгин, С. Б. Использование метода вероятностного клеточного автомата для моделирования кинетики разрушения твердых тел. / С. Б. Коныгин // Изв. Самарского научного центра РАН т. 13, № 1 (3) - 2011. С. 678-680.

88. Казунина, Г. А. Статистические распределения кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах: моделирование вероятностным клеточным автоматом / Г. А. Казунина, Л. В. Баринова // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . - 2006. -№ 2. -С. 46 - 52.

89. Казунина, Г. А. Статистические характеристики импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород (горных пород) / Г. А. Казунина, А. А. Мальшин // Вестник КузГТУ.- 2006. - № 4.- С.19 - 25.

90. Казунина, Г. А. Исследование кинетики накопления повреждений в нагруженных материалах по импульсной электомагнитной и фотонной эмиссии / Г. А. Казунина, А. А. Мальшин // Известия ВУЗов. Физика. - 2009. - № 6 . -С. 46 - 49.

91. Alekseev, D. V. Kinetics and Distribution Clusters of Damage in Loaded Materials: Simulation with Probabilistic Cellular Automaton / D. V. Alekseev, G. A. Ka-zunina. // Advanced Materials Research. - 2013. - Vol. 705. - P. 191-196.

92. Alekseev, D. V. Peculiarities of Damage Cluster Distribution in Loaded Materials: Simulation with Probabilistic Cellular Automaton / D. V. Alekseev, G. A. Kazuni-na. // Advanced Materials Research. - 2014. - Vol. 933. - P. 62-65.

93. Kazunina, G. A. Study of the kinetics of damage accumulation in loaded materials based on impulse electromagnetic and photon emission / G. A. Kazunina, A. A. Malshin // Russian Physics Journal. - 2009. - Vol. 52. - P. 598-601.

94. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / Под ред. Ю. Мураками.- т. 1, 2 .М.: Мир .- 1990. -c.1014.

95. Гулд, Х. Компьютерное моделирование в физике /Х. Гулд, Я. Тобочник, Часть 2. // - М.: Мир , 1990.- 400с.

96. Алексеев, Д. В. Компьютерное моделирование физических задач Microsoft Visual Basic / Д. В. Алексеев. // - М. СОЛОН - Пресс, 2009. - 528с.

97. Sheldon, B. Professional Visual Basic 2010 and .Net 4 / B. Sheldon, B. Hollis, K. Sharkey, J. Marbutt, R. Windsor, C. Gaston // Willey Publishing Inc., Inianopolis, Indiana 2010 1276 p.

98. Малинецкий, Г. Г. Парадигма самоорганизованной критичности. Иерархия моделей и пределы предсказуемости / Г. Г. Малинецкий, А. В. Подлазов// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика.- 1997.- т.5.-.№ 5. С. 89 -106.

99. Подлазов, А. В. Самоорганизованная критичность и анализы риска / А. В. Подлазов // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика.- 2001.- т.9.-.№ 1. С.49 - 88.

100. Берк, К. Анализ данных с помощью Microsoft Excel / Берк К., Кейри П. // -М: Вильямс, 2005.

101. Мальшин, А. А. Экспериментальное исследование кинетики накопления элементарных повреждений при разрушении горных пород по импульсному электромагнитному излучению в световом и радио-диапазонах: дисс.канд. тех. наук , Кемерово, 2000.- 36с.

102. Алексеев, Д. В. Кинетика накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах: моделирование 3D вероятностным клеточным автоматом / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко // Деформация и разрушение материалов. - 2014.- № 11. - С. 2-7.

103. Алексеев, Д. В. Моделирование эволюции ансамбля кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах 3D - вероятностным клеточным автоматом / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко // Химическая физика и мезоскопия. - 2014. - № 3. - С. 340-347.

104. Алексеев, Д. В. Клеточно-автоматное моделирование процесса разрушения хрупких материалов / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко // Прикладная дискретная математика. - 2015. - № 2. (28) - С. 103-118.

105. Алексеев, Д. В. Прогнозирование разрушения горных пород с использование 3D-моделирования вероятностным клеточным автоматом / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых (ФТПРПИ). - 2015. - № 5. - С. 68-75.

106. Чередниченко, А. В. Клеточно-автоматное моделирование прогнозирования разрушения нагруженных материалов методом нормированного размаха Херста / А. В. Чередниченко // Вестник Кузбасского государственного технического университета. - 2015. - № 4. - С. 126-130.

107. Алексеев, Д. В. Моделирование перехода к разрушению нагруженных горных пород - вероятностным клеточным автоматом / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко // Фундаментальные и прикладные вопросы горных наук. - Новосибирск, 2015. - № 2. С 7-14.

108. Чередниченко, А. В. Эволюция кластерной структуры элементарных повреждений в нагруженных материалах: моделирование 3Э-вероятностным клеточным автоматом / А. В. Чередниченко // Материалы Международной конференции имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование». Ч.1. Томск: Издательство Томского университета,

2014. - С. 66-72.

109. Алексеев, Д. В. Моделирование накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах вероятностным клеточным автоматом / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко // Тезисы VI Международной конференции «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов». Москва: Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова РАН,

2015. - С. 120-122.

110. Чередниченко, А. В. Моделирование процесса накопления повреждений 3Э вероятностным клеточным автоматом / А. В. Чередниченко // Материалы XVIII Всероссийской конференции «Научное творчество молодежи. Математика. Информатика». Ч.1. Томск: Издательство Томского университета, 2014. - С. 95-100.

111. Чередниченко, А. В. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах: моделирование 3Э - вероятностным клеточным автоматом / А. В. Чередниченко // Материалы XIX Всероссийской конференции «Научное творчество молодежи. Математика. Информатика». - Томск: Издательство Томского университета, 2015. С. 129-134.

112. Чередниченко, А. В. Модельное исследование процесса разрушения горных пород / А. В. Чередниченко // Сборник трудов Всероссийской конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых с элементами научной школы

«Горняцкая смена». Т.4. Новосибирск: Издательство Институт горного дела СО РАН, 2015. - С. 25-32.

113. Чередниченко, А. В. Вероятностный клеточный автомат для моделирования накопления повреждений / А. В. Чередниченко // Тезисы докладов VI Всероссийской 59-й научно-практической конференции молодых ученых с международным участием «Россия молодая». - Кемерово: КузГТУ, 2014. С. 478479.

114. Чередниченко, А. В. Прогнозирование перехода к разрушению гетерогенных материалов: моделирование 3Э вероятностным клеточным автоматом / А. В. Чередниченко // Тезисы докладов XI Российской конференции молодых ученых, сотрудников и аспирантов «Физико-химия и технология неорганических материалов». - Москва: Институт металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН, 2014. С. 180-181.

115. Чередниченко, А. В. Статистические характеристики распределения кластеров повреждений по размерам: моделирование 3Э вероятностным клеточным автоматом / А. В. Чередниченко // Тезисы докладов Росийской конференция молодых ученых сотрудников и аспирантов «Физико-химия и технология неорганических материалов» / Москва: Институт металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН, 13-16 октября 2015. С. 189-191.