Моделирование массообменных процессов в неоднородных полях напряжений в эластомерных материалах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Черепанов, Андрей Валерьевич

• Черепанов, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черепанов, Андрей Валерьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕРМОДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ МАССООБМЕНА В ЭЛА-СТОМЕРНЫХ МАТЕРИАЛАХ.

• 1.1. ТЕОРИИ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1.1. Линейная термодинамика

1.1.2. Теория взаимопроникающих континуумов.

1.2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ В ТЕОРИИ СМЕСИ ГРИНА И НАДХИ.

1.2.1. Используемые обозначения.

1.2.2. Первый закон термодинамики.

1.2.3. Инвариантность уравнений к выбору инерциальной системы отсчета.

1.2.4. Первое следствие закона сохранение энергии

1.2.5. Второе следствие закона сохранение энергии

1.2.6. Третье следствие закона сохранение энергии.

1.2.7. Второй закон термодинамики.

0/ 1.2.8. Термодинамическое неравенство.

1.3. УРАВНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕСИ ЭЛАСТОМЕР - РАСТВОРЕННЫЙ ГАЗ

1.3.1. Теория флори-Хаггинса

1.3.2. Формулировка определяющих уравнений.

2. ГАЗОВАЯ ДЕКОМПРЕССИЯ В ЭЛАСТОМЕРАХ В УСЛОВИЯХ РЕЗКОГО СБРОСА ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ. ф 2.1. УРАВНЕНИЯ ОПИСЫВАЮЩИЕ МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ ЭЛАСТОМЕР - ГАЗ «.

2.2. ФОРМУЛИРОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КОРДИНАТ . : *.

2.2.1. Уравнения равновесия и диффузии.

2.2.2. Граничные условия.

2.3. ВЫБОР ПОТЕНЦИАЛА СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СМЕСИ ЭЛАСТОМЕР

РАСТВОРЕННЫЙ ГАЗ. 2.4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ О ДИФФУЗИИ ГАЗА

В ЭЛАСТОМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ.

2.4.1. Решение нелинейной задачи диффузии.

2.5. ВЛИЯНИЕ ЗАШИТОСТИ И ВЕЛИЧИНЫ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ НА ПРОЦЕССЫ ВСПЕНИВАНИЯ МАТЕРИАЛА

2.6. ВЫВОДЫ.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В ОКРЕСТ НОСТИ ЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ.

3.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОБЪЕМА ВАКУОЛИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

3.2. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

3.3. ВЫВОДЫ. 4. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ МАССООБМЕНА С УЧЕТОМ

ПРОНИЦАЕМОСТИ ГРАНИЦЫ.

4.1. ФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЙ НА ГРАНИЦЕ МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ЕЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИФФУНДИРУЮЩИМИ КОМПОНЕНТАМИ.

4.2. ОСОБЕННОСТИ ИСПАРЕНИЯ РАСТВОРИТЕЛЯ ИЗ РАСф ТВОРА ПОЛИМЕРА

4.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ИСПАРЕНИИ РАСТВОРИТЕЛЯ ЭЛАСТОМЕРА

4.4. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

4.5. ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование массообменных процессов в неоднородных полях напряжений в эластомерных материалах»

Актуальность работы

Наполненные эластомерные материалы- композиты, обладающие способностью находится в высокоэлластичном состоянии на всем диапазоне температур их эксплуатации, являются средами со сложным механическим поведением. Описание поведение композиционных и эластомерных материалов в частности давно интересовало исследователей [1-3]. Их изготовление часто осуществляется под давлением и в присутствии растворителя, а так же газа, который растворяется в эластомере в процессе изготовления. Под действием неоднородных полей напряжений, или температурных неоднородностей жидкая и газовая компонента может перераспределяться по объему матрицы. Это будет сказываться на механических свойствах конечного изделия. Особенно ярко процессы массообмена будут идти в окрестности концентраторов напряжения и границ раздела фаз (трещины, поры, вакуоли). Известно такое явление, как взрывная газовая декомпрессия. Суть ее состоит в том, что после изготовления материала под давлением и насыщением его, давление резко сбрасывается. При этом теряется совместимость эластомера с растворенным газом и начинается его выход как во внешнюю среду так и в имеющиеся микродефекты. В результате внутри них растет давление и размер дефектов увеличивается. Процесс может происходить очень интенсивно и заканчиваться разрывом эластомера на границе пор и появлением микроразрывов. Эти эффекты используются при изготовлении газонаполненных полимеров (пенопласты, поропласты и губчатые резины). Так же они интересны и с противоположной точки зрения. Во многих технологических процессах (при изготовлении резинокордных композитов и т. д.) появление пор в эластомере является крайне нежелательным явлением.

Конечные изделия из эластомеров очень редко используются в чистом виде. Для придания им нужных механических свойств используют жесткий наполнитель. При эксплуатации таких изделий матрица может отходить от включения, в образовавшуюся вакуоль начнет выделяться растворенная в эластомере компонента. При циклическом нагружении кривые нагрузки и разгрузки могут не совпадать, в следствии разных характерных времен диффузии и внешней нагрузки. Это может быть одним из механизмов разогрева материала в окрестности микродефекта.

По нашему мнению в формировании свойств наполненных эластомер-ных материалов массообменные процессы играют очень серьезную роль. Несмотря на это эффекты, связанные с диффузионными процессами были недостаточно исследованы. Цель этой работы - по возможности восполнить этот пробел.

Цель работы

Выполнение диссертационной работы преследовало следующие цели: 1) анализ явлений происходящих в окрестности поры, в условиях взрывной газовой декомпрессии в полной термодинамической постановке с реше нием следующих задач: А

• выяснить насколько необходимо учитывать конечность длин полимерных цепей при моделировании массообменных процессов в окрестности микродефектов;

• исследовать массообменные процессы и их влияние на изменение напряженно- деформированного состояния эластомера в окрестности поры;

• исследовать влияние таких факторов как деформации, напряжения в матрице и условия изготовления эластомера на интенсивность протекания диффузионных процессов в матрице.

2) решение задачи о циклическом нагружении наполненного эластомерного материала в полной термодинамической постановке и анализ процессов происходящих в окрестности отслоения матрицы от включения:

• исследовать влияние массообменных процессов на величину конечного раскрытия вакуоли при многоцикловом нагружении;

• установить, как влияет скорость нагружения на деформации и ве-лечину гистерезисных потерь в окрестности микродефекта;

• исследовать диссипационные потери массообменных процессов с точки зрения разогрева материала в процессе нагружения;

3) решение диффузионной задачи с учетом проницаемости границ материала.

Научная новизна

Решена задача о диффузии газа в эластомерном материале в полной термодинамической постановке. Использован потенциал, учитывающий конечную деформируемость среды. Проведен сравнительный анализ потенциалов. Показано, что решение задач с потенциалами свободной энергии не учитывающими конечной длинны полимерных цепей ведет к возникновению парадокса бесконечного роста поры. Исследована роль массообменных процессов в формировании напряженно- деформированного состояния на микроструктурном уровне, влияния деформаций, напряжений и условий изготовления смеси эластомер — газ на протекание массооб-менных процессов в окрестности микродефектов. Проведен анализ поведение системы в условиях циклического нагружения. Показано, что массо-обменные процессы могут вносить очень существенный вклад в величину конечного раскрытия вакуоли. Решение задачи массообмена с уточненными граничными условиями. Исследовано влияние проницаемости границ материала на протекание диффузионных процессов. Подобные работы в литературе нам не встречались.

Достоверность результатов исследования

Достоверность результатов обеспечивается:

1) Для расчетов использована теория смеси взаимопроникающих континуумов, для которой доказано автоматическое удовлетворение требований объективного описания (выполняются законы термодинамики, уравнения инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея и т. д.). Определяющие уравнения смеси использовались неоднократно в литературе и подтвердили свою достоверность при решении многих практических задач.

2) проведенные расчеты проверялись с использованием различных численных методов;

3) полученные результаты сравнивались с имеющимися эксперименталь ными данными, а так же известными опубликованными результатами.

Структура и объем работы

Данная работа построена по следующей схеме. В первой главе кратко излагаются предложенные в литературе теории массообменных процессов. Здесь же рассказывается о посылках, методике построения определяющих уравнений, используемых в данной работе.

Во второй главе предложена модель изменения размеров поры в эластомере в результате выделения в нее растворенного газа после резкого сброса внешнего давления. Для описания упругих свойств полимерной сетки использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей. Рассмотрены приложения теории к системе полидиметил сил океан — углекислый газ. Показано, что сброс внешнего давления приводит к значительному увеличению размеров поры в материале. Происходит это в два этапа — мгновенное увеличение радиуса поры в результате изменения напряженно-деформированного состояния и дальнейший рост радиуса в результате диффузии растворенного газа из полимера. Показано, что ключевую роль на втором этапе процесса играет потеря совместимости полимера с растворенным газом.

В третьей главе рассмотрена задача изменения размеров отслоения матрицы от жесткого включения при циклическом нагружении в насыщенном газом эластомерном материале. Исследовано влияние скорости нагруже-ния на величину раскрытия вакуоли и разогрев материала в следствии диссипативных потерь. Для описания упругих свойства полимерной сет ки использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей. *

В четвертой главе рассмотрен ряд диффузионных задач, при которых классическая формулировка граничных условий дает результаты не согласующиеся с экспериментальными данными. Предложена уточненная запись граничных условий с учетом проницаемости границы материала. Показано, что уточненная запись дает результаты, хорошо согласующие с представлениями о протекании процессов испарения. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ. Работа содержит 97 страниц текста. В диссертации приводится 38 иллюстраци и 68 библиографических ссылок.

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах

1. Свистков A.J1. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомер-ном материале при быстром снятии внешнего давления. // Физическая мезомеханика. 1999. - Т.2 - № - С. 97-102.

2. Черепанов A.B. Исследование процессов в окрестности жесткого включения в условиях циклического нагружения. —Пермь. Вестник ПГТУ Прикладная математика и механика. —2003. —С. 56-62.

3. Свистков A.JI. Черепанов A.B. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Высокомолекулярные соединения. - Сер. А. — 2003. -Т. 45, № 9. -С. 1559-1565.

4. Черепанов A.B. Деформирование в окрестности жесткого включения в условиях циклического нагружения. // Высокомолекулярные соединения. - Сер. А. - 2004. -Т. 46, № 8. -С. 1383-1387.

Труды конференций, симпозиумов 1. Черепанов A.B. Свистков A.J1. Использование теории смеси для моделирование массообменных процессов в пористом эластомерном материале. / / Тез. докл. Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая).— Пермь. ИМСС УрО РАН. - 1999. - С. 275.

2. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомерном материале при быстром снятии внешнего давления. // Тез. докл. Математическое моделирование физико-механических процессов. — Пермь. ПГТУ. — 1999. - С. 27.

3. Черепанов A.B. Моделирование вспенивание эластомерного материала при быстром сбросе внешнего давления. // Тез. докл. Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Второй всероссийский семинар им. С.Д. Волкова. - Пермь. - 2000. — С. 62.

4. Черепанов A.B. Моделирование массообменных процессов около пор в эластомере в условиях взрывной газовой декомпрессии. // Тез. докл. Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - Пермь. - 2001. - С. 594.

5. Черепанов A.B. Свистков A.JI. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Труды двенадцатого сим ♦ позиума Проблемы шин и резинокордных композитов. — Москва. ГУП НИИШП. - 2001. - Т. 2 - С. 197

6. Cherepanov A.V. Mass transfer processes near pores of a gas saturated elastomeric material. // Proceedings XXX Summer school "Advanced problems in mechanics". — St. Petersburg. — 2002. — P. 35.

7. Черепанов A.B. Влияние циклического нагружения на массообменные процессы в окрестности жесткого включения. // Тез. докл. Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). —Пермь. ИМСС УрО РАН. - 2003. - С. 275.

Апробация работы

Отдельные части диссертационной работы обсуждались на научных семинарах в Институте механики сплошных сред УрО РАН, двенадцатой и тринадцатой Зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь), тридцатой Летней школе по актуальным проблемам механики (С.-Петербург), двенадцатом симпозиуме "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва), на конференции "Математическое моделирование физико-механических процессов" (Пермь) на Втором Всероссийском семинаре им. С. Д. Волкова (г. Пермь), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Пермь).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Черепанов, Андрей Валерьевич

4.5. ВЫВОДЫ

С помощью использования понятия проницаемости границы удалось описать процесс испарения растворителя из раствора полимера. Он состоит из двух массообменных процессов: испарение и диффузия. При неучете проницаемости, первый участок, отвечающий за испарение растворителя с поверхности раствора будет потерян.

Рис. 4.5. Распределение объемной доли растворителя у? в полимерной пленке для моментов времени 0.16 секунд (1), 2.4 секунды (2), 6.4 секунды (3) и 160 секунд (4). Проницаемость границы раствора с^ = 1. г — текущая координата. Ф 1

0.68 3

0.65

0.4

0.8

Рис. 4.6. Распределение объемной доли растворителя уз в полимерной пленке для моментов времени 0.16 секунд (1), 16 секунды (2), 80 секунды (3) и 160 секунд (4). Проницаемость границы раствора — 0.001. г — текущая координата.

Pan

Рис. 4.7. Сравнение расчетных кривых с экспериментальными данными. Проницаемость границы раствора cv = 0,008. Толщина пленки 0,23 мм (1), 0,44 мм (2) и 0,57 мм (3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе предложена модель изменения размеров поры в эластомере в результате выделения в нее растворенного газа после резкого сброса внешнего давления. Рассмотрена задача изменения размеров отслоения матрицы от жесткого включения при циклическом нагружении в насыщенном газом эластомерном материале. Исследовано влияние скорости нагружения на величину раскрытия вакуоли и разогрев материала в следствии диссипативных потерь. Предложена уточненная запись граничных условий с учетом проницаемости границы материала.

Для описания упругих свойства полимерной сетки использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей. Рассмотрены приложения теории к системе ПДМС — углекислый газ.

Главными результатами работы являются следующие выводы:

1. Сброс внешнего давления приводит к значительному увеличению размеров поры в материале. Это происходит в два этапа — мгновенное увеличение радиуса поры в результате изменения напряженно-деформированного состояния и дальнейший рост радиуса в результате диффузии растворенного газа из полимера. Ключевую роль на втором этапе играет явление потери совместимости полимера с растворенным газом.

2. При циклическом нагружении эластомеров содержащих пЪры или отслоенные включения происходит выделение тепла за счет процессов мас-сообмена растворенных в эластомере газов. Существуют режимы при которых разогрев материала максимален.

3. Показано, что для моделирования процесса испарения из смеси деформируемого и жидкого континуумов необходимо учитывать как явления на границе среды, так и массообменные процессы внутри объема.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черепанов, Андрей Валерьевич, 2005 год

1. Бартенев Г. М., Зеленев Ю. В. Курс физики полимеров. Л., 1970. — С. 391-403.

2. Тагер А. А. Физико-химия полимеров. М.: Химия. — 1978. — 544 с.

3. Мэнсон Д., Сперлинг Л. Полимерные смеси и композиты. М.: Химия, 1979. 440 с.

4. Савин Г. Н., Подстригач Я. С. О влиянии диффузионных процессов на напряженное состояние деформируемых тел // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Л., 1970. — С. 391-403.

5. Лыков А. В. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1978. — 480 с.

6. Йигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М.: Наука, 1987. — 464 с.

7. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. М.: Мир, 1986. 288 с.

8. Рущицкий Я. Я. Элементы теории смеси. Киев: Наук, думка, 1991. — 160 с.

9. Любов Б. Я., Фастов Н. С. Влияние концентрации напряжений на процессы диффузии в твердых растворах // ДАН СССР. — 1952. — Т. 84, № 5. С. 939-941.

10. Павлина В. С. О взаимодействии процессов деформации и физико-химических явлений в упруговязких телах // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1978. — Вып. 7. — С. 64-67.

11. Павлина В. С. Кинетические уравнения упруговязкого деформирования твердых тел при наличии физико-химических явлений // ДАН УССР. — 1978. Сер. А. - Т. 5. - С. 440-443.

12. Подетригач Я. С. Диференциальш р1вняння задач1 термодифуз1"1 в твердому деформированому 1зотропному тШ // Доп. АН УРСР. — 1961. — № 2. С. 169-171.

13. Подетригач Я. С., Павлина В. С. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в n-компонентном твердом растворе // Физико-химическая механика материалов. — 1965. — Т. 1, № 4. — С. 383-389.

14. Подетригач Я. С., Павлина В. С. Диффузионные процессы в упруговяз-ком деформируемом теле // Прикл. механика. — 1974. — Т. 10, вып. 5. — С. 47-53.

15. Hashino Т., Matsushita Н., Naito S. An irreversible thermodynamic approach to the diffusion in solids accompanied by deformation // Techn. Reports Inst. Atom. Energy. Kyoto Univ. — 1981. N. 186. - P. 1-11.о

16. Петров H., Рангелова Р. Термодинамичен модел на дифузия с памет в деформируема среда // Теорет. прикл. мех. — 1977. — Т. 8, № 3. — С. 66-72.

17. Biot М. A. Variational lagrangian-thermodynamics of nonisothermal finite strain mechanics of porous solids and thermomolecular diffusion // Int. J. Sol. Struct. 1977. - V. 13. - P. 579-597.

18. Седов JI. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1976. — 536 с.

19. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. - Т. 16, № 1. '—С. 67-78.

20. Баренблатт Г. И., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // ПММ. — 1956. Т. 20, № 3. - С. 411-417.

21. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб. к семидесятилетию академика А. Ф. Иоффе. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 61-71.

22. Cattaneo С. Sur une forme de l'equation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantée // Сотр. Rend. — 1958. — V. 247, N. 4. — P. 431-433.

23. Vernotte P. Les paradoxes de la théorie continue de léquation de la chaleur // Сотр. Rend. 1958. - V. 246, N. 22. - P. 3154-3155.

24. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физ. журн. — 1965. Т. 9, № 3. - С. 287-304.

25. Del Castillo L. F., Criado-Sancho M., Jou D. Nonequilibrium chemical potential and shear-induced migration of polymers in dilute solutions // Polymer. 2000. - V. 41. - P. 2633-2638.

26. Criado-Sancho M., Jou D., Del Castillo L. F., Casas-Vázquez J. Shear induced polymer migration: analysis of the evolution of concentration profiles // Polymer. 2000. - V. 41. - P. 8425-8432.

27. Jou D., Criado-Sancho M., Del Castillo L. F., Casas-Vázquez J. A thermodynamic model for shear-induced concentration banding and macromolecular separation // Polymer. 2001. - V. 42. - P. 6239-6245.

28. Truesdell C., Toupin R. A. The classical field theories // Encyclopedia of Physics. Edited by S. Flugge, Berlin, 1960. V. III/I. - P. 226-793.

29. Adkins J. E. Diffusion of fluids trough aeolotropic highly elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. - V. 15. - P. 222-234. :

30. Crochet M. J., Naghdi P. M. On constitutive equations for flow of fluid through an elastic solid // Int. J. Eng. Sci. 1966. — V. 4. - P. 383-401.

31. Green A. E., Adkins J. E. A contribution to the theory of non-linear diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. - V. 15. - P. 235-246.

32. Green A. E., Naghdi P. M. A dinamical theory of interacting continua // Int. J. Eng. Sci. 1965. - V. 3. - P. 231-241.

33. Steel T. R. Application of a theory of interacting continua //J. Mech. Appl. Math. 1967. - V. 20. - P. 57-72.

34. Truesdell C. Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics. N. Y.: McGraw-Hill, 1969. - 208 p.

35. Свистков A. JI. Неравновесная термодинамика эластомерных материалов. Пермь, 2002.

36. Мошев В. В., Свистков A. JL, Гаришин О. К. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств и прочности зернистых полимерных композитов. Издательство УрО РАН, Екатеринбург, 1997. 508 с.

37. Flory P.J. Thermodynamics of high polymer solutions //J. Chem. Phys. — 1941. V. 9, N. 8. - P. 660-661.

38. Huggins M. L. Solutions of chain compounds // J. Chem. Phys. 1941. V. 9, N. 5. P. 440.

39. Meyer К. H. // Helv. Chim. 1940. V. 23. P. 1063.

40. Нестеров A. E., Липатов Ю. С. Термодинамика растворов и смесей полимеров. Киев: Наукова думка, 1984. 295 с.

41. Свистков А. Л., Свисткова Л. А. Полуэмпирический потенциал свободной энергии полимерной сетки, учитывающий конечность длин полимерных цепей // Высокомолекулярные соединения. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. С. 835-840.

42. Свистков A. JI. Влияние напряжений на совместимость эластомеров с пластификаторами в условиях одноосного растяжения // Высокомолекулярные соединения. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. — С. 841-846.

43. Treloar L. R. G. The elastocity and related properties of rubbers // Reports on progress in the physics. — 1973. — V. 36, N. 7. — P. 755—826.

44. Svistkov A. L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deformable media // Int. J. Eng. Sci. 2001. - V. 39. - P. 1509-1532.

45. Свистков A.Jl. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомер-ном материале при быстром снятии внешнего давления. // Физическая мезомеханика. 1999. — Т.2 №3 - С. 97-102.

46. Черепанов А.В. Моделирование роста пор в эластомерном материале при быстром снятии внешнего давления. // Тез. докл. Математическое моделирование физико-механических процессов. — Пермь. ПГТУ. — 1999. С. 27.

47. Черепанов А.В. Моделирование массообменных процессов около пор в эластомере в условиях взрывной газовой декомпрессии. // Тез. докл. Восьмой всероссийский съезд по теоритической и прикладной механике. Пермь. — 2001. - С. 594.

48. Черепанов А.В. Свистков A.J1. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Труды двенадцатого симпозиума Проблемы шин и резинокордных композитов. — Москва. ГУП НИИШП. 2001. - Т. 2 - С. 197

49. Cherepanov A.V. Mass transfer processes near pores of a gas saturated elastomeric material. // Proceedings XXX Summer scheol "Advanced problems in mechanics". — St. Petersburg. — 2002. — P. 35.

50. Flory P. J. Thermodynamics of high polymer solutions. //J. Chem. Phys. 1942. V. 10, N. 1. P. 51-61.

51. Flory P. J. Principles of polymer chemistry. New York: Cornell univ. press. 1953. 594 p.

52. Huggins M. L. Theory of solutions of high polymers //J. Amer. Chem. Soc. 1942. V. 64, N. 7. P. 1712-1719.

53. Huggins M. L. Physical chemistry of polymers. New York: Interscience. 1958. 175 p.

54. Ball Л. M. Discontinuous equalibrium solutions and cavitations in nonlinear elasticity. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1982. Ser. A. V. 306. P. 557-611.

55. Ganghoffer J. F., Schultz J. Expansion of a cavity in a rubber block under stress: application of the asymptotic expansion method to the analysis of the stability and bifurcation conditions. // Int. J. of Fract. 1995. V. 72. P 1-20.

56. Gent A. N., Lindley P. B. Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension // Prog. R. Soc. Lond. 1958. Ser. A. V. 249. P. 195-205.

57. Gent A. N., Tompkins D. A. Surface energy effects for small holes or particles in elastomers. // Rubb. Chem. and Technol. 1970. V. 44. N. 4. P. 873-877.

58. Horgan С. O., Polignone D. A. Cavitation in nonlinearly elastic solids: a review // Appl. Mech. Rev. 1996. V. 48. P. 471-485.

59. Kasner A. I., Meinecke E. A. Porosity in rubber, a review // Rubb. Chem. and Technol. 1996. V. 69. N. 3. P. 424-443.

60. Stevenson A., Morgan G. Fracture of by gas decompression // Rubb. Chem. and Technol. 1995. V. 68. N. 2. P. 197-211.

61. Подбельский В. В. Язык С+Н-. Финансы и статистика, Москва, 1996. 559 с.

62. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и програмирование на фор-троне. Издательство Мир, Москва, 1977. 584 с.

63. Калиткин Н. Н. Численные методы. Наука, Москва, 1978. 423 с.

64. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. Наука, Москва, 1989. 423 с.

65. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т 2. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962. 639 с.

66. Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления. // Успехи физических наук. 2001. —Т. 171, № 7. — С.765-774.

67. Франк-Каменский Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. Наука, Москва, 1987. 502 с.