Моделирование магнитодеформационного эффекта в ферроэластах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Столбов, Олег Валерьевич

• Столбов, Олег Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Столбов, Олег Валерьевич

Введение

1 Постановка задачи магнитоупругости

1.1 Физические основы магнитодеформационного эффекта

1.2 Обзор литературы по моделированию магнитоупругости

1.3 Концептуальная постановка задачи магнитоупругости

1.4 Математическая постановка задачи магнитоупругости

1.4.1 Дифференциальная постановка.

1.4.2 Вариационная постановка.

Моделирование магнитодеформационного эффекта в приближении одной степени свободы

2.1 Случай малых деформаций.

2.1.1 Классическая оценка Ландау.

2.1.2 Вспомогательные соотношения задачи МДЭ для эллипсоида

2.1.3 Модель МДЭ для шара

2.1.4 Модель МДЭ для эллипсоида вращения.

2.2 Модель МДЭ при больших однородных деформациях шара

2.2.1 Уравнения кинематики и магнитостатики.

2.2.2 Решение задачи вариационным подходом.

2.2.3 Решение задачи на основе энергетического подхода

2.2.4 Анализ полученных результатов решения

Моделирование магнитодеформационного эффекта в приближении малых деформаций

3.1 МДЭ в шаре.

3.1.1 Точное решение задачи.

3.1.2 Анализ результатов.

3.2 МДЭ в эллипсоиде вращения.

3.2.1 Методика численного решения задачи.

3.2.2 Анализ результатов.

3.3 МДЭ в полом шаре.

3.3.1 Постановка и решение задачи магнитостатики в сферической системе координат

3.3.2 Методика численного решения задачи упругости

3.3.3 Аналитическое решение задачи о МДЭ в приближении теории оболочек.

3.3.4 Анализ результатов.

4 Методика численного решения осесимметричной задачи о маг-нитодеформационном эффекте при больших деформациях

4.1 Вывод вариационных уравнений для пакета FreeFem++

4.1.1 Задача упругости

4.1.2 Задача магнитостатики.

4.2 Описания пакета FreeFEM++ для решения систем уравнений в частных производных с помощью метода конечных элементов

4.3 Общий алгоритм численного решения связанной задачи маг-нитоупругости.

4.3.1 Алгоритм решения задачи магнитостатики.

4.3.2 Алгоритм решения связанной задачи магнитоупругости

4.4 Решение тестовых задач и исследование сходимости численного алгоритма.

5 Результаты численного решения некоторых задач магнитоупругости для тел осесимметричной формы

5.1 Анализ результатов моделирования МДЭ для шара.

5.2 Сравнение результатов численного моделирования МДЭ для цилиндра с экспериментом.

5.3 Исследования особенностей деформирования мембраны под действием магнитного поля.

6 Выводы 107 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование магнитодеформационного эффекта в ферроэластах»

Предметом исследования является магнитомеханика новых функциональных материалов, которые получили название мягких ферроэластов или феррогелей. Этими понятиями обозначают композиционные системы, состоящие из низкомодульной (модуль упругости < 104 Па) полимерной матрицы, в которую внедрен высокодисперсный (микро- или наночастицы) феррит или ферромагнетик. Таким образом, речь идет о магниточувствительном "мягком" смарт-материале, способном к большим управляемым деформациям. Хотя мягкие ферроэласты пока находятся на стадии научного исследования, они уже рассматриваются как технологические материалы с широкой перспективой приложения в приборостроении (датчики, адаптивные демпферы, микроманипуляторы, бесконтактные виброузлы), робототехнике (искусственные мускулы) и медицинской технике.

К настоящему времени реально синтезированы и активно исследуются уже несколько типов мягких ферроэластов. Исторически первыми были, феррогели, полученные добавлением магнитной жидкости в желатин [1,2]. В середине 90-х годов XX века появились феррогели на основе полиакри-ламида и поливинилового спирта [3—5] и альгинатов, которые существенно превзошли свои желатиновые прототипы по стойкости и долговечности. Наконец, в конце 90-х годов был разработан синтез высокоэффективных мягких магнитоэластов на основе слабосшитых силоксановых каучуков [6]. Эти кремнийорганические эластомерные композиты обладают рядом замечательных свойств. Будучи наполненными микрочастицами карбонильного железа они, с одной стороны, чрезвычайно чувствительны к приложенному полю. С другой стороны, при содержании магнитной фазы до 30-35 об. % они сохраняют низкий модуль упругости и высокую способность обратимо восстанавливать форму.

Отдельно следует упомянуть работы по т.н. микроферрогелям. Этот термин обозначает образцы, приготовленные из феррогелей, у которых собственный масштаб исчисляется единицами микрон, а размер частиц магнитного наполнителя (феррита) не превышает десяти нанометров. Пока самым известным примером такого типа являются феррополимеросомы, недавно созданные французскими исследователями (ЬесоттапсЬих е! а1., 2005). В этих пузырьках толщина стенки из блоксополимера составляет около 20 нм, а размер внедренных в нее частиц гамма окиси железа — 7 нм.

Основу подавляющего большинства применений ферроэластов составляет магнитодеформационный эффект (МДЭ). Он заключается в том, что под влиянием внешнего магнитного поля образец изменяет исходную форму на многие десятки процентов, стремясь вытянуться вдоль направления поля. Фундаментальной причиной МДЭ является пондеромоторная сила, возникающая в любом магнитном материале, подвергнутом действию магнитного поля. Принципиально проявления пондеромоторных сил можно разделить на два класса. Первый вполне очевиден: в неоднородном магнитном поле мягкий материал, способный к намагничиванию, деформируясь, втягивается в область максимального градиента. Однако в этом эффекте мягкость не играет первостепенной роли: принципиально то же самое происходит и с куском железа. Второй же эффект специфичен исключительно для мягких ферроэластов. Он возникает в однородном приложенном поле, где роль объемных (градиентных) сил незначительна, а к деформации образца приводит неоднородное распределение магнитного поверхностного давления. Здесь на первое место выходит баланс магнитостатической и упругой энергий, который и определяет результирующий эффект. Эксперименты [7] показали, что в силоксановых ферроэластах этот эффект ясно выражен и достигает 10-20 %.

Именно теоретическому изучению МДЭ в однородном поле посвящена настоящая диссертация. До проведения настоящего исследования моделирование указанного магнитомеханического поведения исчерпывалось оценочными расчетами простейшего вида: приближение малых деформаций, закон Гука и гипотеза линейного намагничивания материала.

Целью работы является построение физически и геометрически нелинейной модели магнитоупругого поведения ферроэласта, описывающей объёмный и поверхностный магнитодеформационные эффекты при больших упругих деформациях в однородном внешнем магнитном поле. Для достижения указанной цели было выполнено следующее:

1. проведен анализ доступных экспериментальных данных с целью выяснения основных механизмов МДЭ;

2. построена и обоснована континуальная модель поведения материала при больших упругих деформациях в магнитном поле;

3. получены аналитические решения для частных случаев исходной задачи и выполнено их сопоставление с экспериментом;

4. разработан и реализован численный алгоритм решения краевой связанной задачи магнитоупругости при больших деформациях;

5. проверена адекватность алгоритма путём решения ряда тестовых задач и сравнения полученных численных результатов с экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. сформулирована связанная краевая задачи магнитоупругости ферро-эласта при больших деформациях;

2. найдено впервые точное аналитическое решение задачи деформирования ферроэластичного шара в однородном магнитном поле в приближении малых деформаций;

3. разработана методика численного решения краевой связанной задачи магнитоупругости при больших деформациях в осесимметричной постановке.

Практическую значимость работы определяют созданные в процессе ее выполнения методы качественного анализа различных проявлений МДЭ, а также численные алгоритмы и вычислительные программы, которые могут быть в дальнейшем использованы при исследовании процессов осесимметричного магнитоупругого деформирования ферроэластов при больших упругих деформациях.

Диссертационная работа выполнялась при поддержке РФФИ (проекты 02-02-17221 и 05-02-16949), грантов С!^ (НОЦ РЕ-009) и ШТАБ (01-2341).

Диссертация состоит из пяти глав и приложений. В главе 1 обсуждаются физические основы магнитоупругости мягких ферроэластов, представлен обзор литературы по этой проблеме и рассмотрена концептуальная постановка задачи. Далее сформулирована полная система уравнений МДЭ для связанной краевой задачи при больших деформациях. Также записана вариационная формулировка задачи. Приведена упрощённая постановка для случая малых деформаций.

В главе 2 предложена и обоснована простая континуальная модель мягкого ферроэласта, которая даёт возможность описать поверхностный МДЭ в теле эллипсоидальной формы. В нашей модели впервые корректно учтены, во-первых, способность ферроэласта к большим деформациям и, во-вторых, ограниченность его отклика на приложенное поле, т.е. нелинейность намагничивания, обусловленная насыщением. В качестве примера использования теории взята классическая задача о деформировании шара под действием однородного магнитного поля; проведено сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными [8].

В главе 3 в приближении малых деформаций решены краевые задачи, приводящие к возникновению МДЭ в образцах простой геометрической формы (шар, эллипсоид вращения, полый шар), где задача магнитостатики имеет аналитическое решение. В частности, для задачи об МДЭ в сплошном шаровом образце найдено точное решение. Для сферы (полый шар с бесконечно тонкой стенкой) получено аналитическое решение в приближении теории оболочек. Задачи для полого шара со стенкой конечной толщины и эллипсоида решены с использованием метода конечных элементов.

В главе 4 предложена методология численного решения связанной задачи магнитоупругости, описывающей МДЭ в случае больших деформаций. На этой основе построен алгоритм численного моделирования эффекта и разработаны программные средства, реализующие указанный алгоритм.

В главе 5 приведены результаты расчёта МДЭ при больших деформациях (полная постановка) для фундаментальных частных случаев. Кроме геометрических тел второго порядка (шар, эллипсоид вращения) рассчитан также МДЭ в круговом цилиндре, намагничиваемом вдоль оси. Задача рассмотрена в двух вариантах: свободный цилиндр с произвольным отношением размеров и цилиндрическая пластинка (мембрана), закрепленная по ободу. Указанные постановки важны тем, что в настоящее время только по ним имеются достоверные измерения МДЭ. Построенная модель впервые обеспечила этим экспериментальным данным полное качественное и удовлетворительное количественное объяснения.

В приложении приведены выводы граничных условий для задачи упругости в магнитном поле и магнитной энергии феррогеля.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам лаборатории №15 ИМСС УрО РАН за активное обсуждение результатов диссертации на семинарах, а особенно с.н.с., кандидату физ.-мат. наук В.В. Русакову и с.н.с., кандидату физ.-мат. наук Б.И. Мызниковой за сделанные ценные замечания по работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Столбов, Олег Валерьевич

6. Выводы

По результатом проведённых исследований в данной работе можно сделать следующие выводы:

• Исследованы основные физические механизмы МДЭ ферроэласта. Установлено, что их можно разбить на два класса. Первый, который обычно называют объемным, хорошо изучен. В неоднородном магнитном поле мягкий материал, способный к намагничиванию, деформируясь, втягивается в область максимального градиента поля. Однако в этом эффекте мягкость не играет первостепенной роли: принципиально то же самое происходит и с куском железа. Второй же эффект — поверхностный — специфичен исключительно для мягких ферроэла-стов и на данный момент является мало изученным. Поэтому основное внимание в работе было уделено второму эффекту, который возникает в однородном приложенном поле, где роль объемных (градиентных) сил незначительна, а к деформации образца приводит неоднородное распределение магнитного поверхностного давления. Показано, что в данном случае на первое место выходит баланс магнитостатической и упругой энергий, который и определяет результирующий эффект.

• Осуществлена концептуальная постановка связанной задачи магнито-упругости, в рамках которой обоснованы гипотезы модели. Основными гипотезами являются гипотеза континуальности и гипотеза о свободной энергии ферроэласта. Считалось, что в гетерогенном материале, каким является ферроэласт, МДЭ возникает в результате передачи матрице силового воздействия, которое магнитное поле оказывает на диспергированные магнитные частицы. Однако типичные концентрации микрозерен настолько велики (> Ю10 см-3), что точное описание их поведения невозможно. Поэтому в работе использовался макроскопический подход: материал, гетерогенный на микромасштабах, на масштабах образца (сантиметры) считался сплошной средой. Это позволило при построении математической модели МДЭ ферроэласта использовать теорию и методы механики деформируемого твёрдого тела. В работе также предполагалось, что для рассматриваемого материала можно записать свободную энергию в виде суммы упругой энергии без магнитного поля и магнитной энергии при отсутствии деформаций. Кроме этого было введено дополнительное перекрёстное слагаемое, отвечающее за локальное взаимовлияние намагниченности и деформации. Введение данного слагаемого позволило учесть влияние намагниченности образца на упругие свойства материала, а деформации — на закон намагничивания.

• Дана математическая постановка связанной нелинейной задачи маг-нитоупругости при больших деформациях, которая требует совместного решения задач магнитостатики и упругости. Вследствие больших деформаций форма образца значительно изменяется, что сильно влияет на решение задачи магнитостатики. Поэтому граничные условия в задаче магнитостатики задавались на изменяющейся границе. С другой стороны, деформации образца возникают, во-первых, за счёт перепада магнитного давления на границе образца вследствие его намагничивания; и во-вторых, из-за возникновения массовых сил в случае неоднородного магнитного поля внутри образца. Первый эффект учитывался в граничных условиях задачи упругости, второй — внесением дополнительного слагаемого в уравнения равновесия. Кроме этого, локальное взаимовлияние намагниченности и деформаций образца учитывалось за счёт внесения дополнительного слагаемого в выражение для свободной энергии, что привело к новым определяющим соотношениям для ферроэласта.

• Впервые получено точное решение задачи МДЭ для сферического образца феррогеля во внешнем однородном магнитном поле. Действительное удлинение шара, найденное точным расчетом МДЭ, существенно отличается от классического предсказания. Показано, что ошибка, которая возникает при использовании приближения однородных деформаций, составляет около 30%.

• Разработана методика численного решения связанной нелинейной задачи магнитоупругости при больших деформациях. Предложен оригинальный итерационный алгоритм решения связанной задачи, основанный на последовательном решении линейных задач магнитостатики и упругости. Численная реализация алгоритма осуществлена на базе метода конечных элементов с помощью пакета РгееРЕМ++. Решены тестовые задачи, для которых известны аналитические решения, полученные в работе или другими авторами. На основе решений тестовых задач исследована сходимость численного алгоритма и подобраны параметры численной схемы метода конечных элементов.

• Получены численные решения задач о МДЭ для шара, эллипсоида, цилиндра и проведено сравнение удлинения цилиндра в магнитном поле с экспериментом. Методом идентификации произведён подбор уточняющего параметра модели ос\. Показано, что с учётом найденного значения а\ численные результаты хорошо совпадают с экспериментальными данными. Это подтверждает адекватность предложенной модели.

• Исследована связанная задачи магнитоупругости для мембраны. Показано, что прогиб мембраны носит пороговый характер. Найдена аналитическая оценка для значения критического поля. Численно найдено решение задачи о прогибе мембраны в однородном магнитном поле, качественно совпадающее с экспериментом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Столбов, Олег Валерьевич, 2007 год

1. Dumas J., Bacri J.-С. New method of viscosity measurement near the gelatin sol-gel transition // J. Phys. Lett. (France). — 1980. — Vol. 41, no. 12. — Pp. L279-L282.

2. Bacri J.-C., D D. G. Critical behavior of the elastic constant and the friction coefficient in the gel phase of gelatin // J. Phys. (France).— 1983.— Vol. 44, no. 8.—Pp. 985-991.

3. Zri nyi M., L. В., A. B. Deformation of ferrogels induced by nonuniform magnetic fields // J. Chem. Phys.— 1996.— Vol. 104, no. 21.— Pp. 8750-8756.

4. Direct observation of abrupt shape transition in ferrogels induced by nonuniform magnetic field / M. Z. nyi, L. Barsi, D. Szabo, H.-G. Kilian // /. Chem. Phys. 1997. — Vol. 106, no. 13. — Pp. 5685-5692.

5. Zri nyi M., Barsi L., Biiki A. Ferrogel: A new magneto-controled elastic medium // Polymer Gels and Networks.— 1997.— Vol. 5.— Pp. 415-427.

6. Magnetodeformation effects and other properties of magnetoelasts / L. Nikitin, L. Mironova, K. Kornev et al. // Abstracts of Moscow Internat. Symp. on Magnetism (MISM'99). — Moscow: 1999. — P. 247.

7. Влияние магнитного поля на упругие и вязкие свойства магнитоэласти-ков / JI. Никитин, JI. Миронова, Г. Степанов, А. Самусь // Высокомолекулярные соединения А. — 2001. — Т. 43, № 4. — С. 698—706.

8. Корнев К., Никитин Л., Миронова JI. Изменение формы сферического образца ферроэласта в однородном магнитном поле//Тез. докл. XVI Международн. школы-семинар "Новые магнитные материалы для микроэлектроники". — Т. 2. — Москва: 1998. — С. 387-388.

9. Kato N., Takizawa Y., Takahashi F. Magnetically driven chemomechanical device with poly(n-isopropylacrylamide) hydrogel containing 7-fe2o3 // J. Intellig. Mater. Syst. Struct. — 1997. — Vol. 8, no. 7. — Pp. 588-596.

10. Superparamagnetic gel as a novel material for electromagnetically induced hyperthermia / M. Babincova, D. Leszczynska, P. Sourivong et al. // /. Magn. Magn. Mater. — 2001. — Vol. 225, no. 1-2. — Pp. 109-112.

11. Voltairas P., Fotiadis D., Massalas C. Elastic stability of silicone ferrouid internal tamponade(sfit) in retinal detachment surgery///. Magn. Magn. Mater. — 2001. — Vol. 225, no. 1-2. — Pp. 248-255.

12. Никитин Л., Корпев К, Миронова Л. Магнитные свойства ферроэла-стов и изменение их формы в однородном магнитном поле // Тез. докл 8 Международной Плесской конф. по магнитным жидкостям. — Плес: 1998.—С. 95-96.

13. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.— 345 с.

14. Алексеев А. Г., Корпев А. Е. Эластичные магнитные материалы. — М.: Химия, 1976.— 198 с.

15. Алексеев А. Г., Корпев А. Е. Магнитные эластомеры. — М.: Химия, 1987, —238 с.

16. Dumas J., Bacri J.-С. New method of viscosity measurement near the gelatin sol-gel transition // J. phys. Lett. (France).— 1980.— Vol.41.—Pp. L279-L282.

17. Zrnyi M., Szabo D„ Kilian H. Kinetics of the shape change of magnetic field sensitive polymer gels I I Polymer Gels and Networks. — 1998. — Vol. 6.—Pp. 441-454.

18. Bednarek S. Magnetoelastic properties of ferroelast within an organo-silicon polymer matrix // /. Magn. Magn. Mater. — 1997. — Vol. 166, no. 1. — Pp. 91-96.

19. Magnetic, elastic, structural, and magnetodeformational properties of magnetoelastics / L. Nikitin, L. Mironova, K. Kornev, G. Stepanov // Polymer ScieneceSer.A. — 2004. — Vol. 46, no. 3. — Pp. 301-309.

20. Magnetodeformational effect and effect of shape memory in magnetoelastics / L. Nikitin, G. Stepanov, L. Mironova, A. Gorbunov // JMMM. — 2004. Vol. 272-276. — Pp. 2072-2073.

21. Magnetism and compressive modulus of magnetic fluid containing gels / T. Mitsumata, K. Ikeda, J. Gong et al. // J. Appl. Phys.— 1999.— Vol. 85, no. 12. Pp. 8451-8455.

22. Nse-study of magnetic phase dynamics in poly(vinylalcohol) ferrogel /

23. G. Torok, V. Lebedev, L. Cser, M. Z. nyi // Physica B. — (2000). — Vol. 276-278.—Pp. 396-397.

24. Hydrodynamics of isotropic ferrogels / E. Jarkova, H. Pleiner,

25. H.-W. M. Her, H. Brand // Phys. Rev. E.— 2003.— Vol. 68,— Pp. 041706-1-041706-8.

26. Optical, magnetic and dielectric properties of non-liquid crystalline elastomers doped with magnetic colloids / A. F. Neto, M. Godinho, T. Toth-Katona, P. Palffy-Muhoray // Brazilian Journal of Physics. — 2005. — Vol.35, no. 1.—Pp. 184-189.

27. Stress-induced birefringence in elastomers doped with ferrofluid magnetic particles: mechanical and optical investigation / C. Senaa, C. Baileyb, M. Godinhoc et al. // J. Magn. Magn. Mater. — 2006. — Vol. 300, no. 1. —Pp. 79-82.

28. Synthesis and magnetic properties of polymer nanocomposites with embedded iron nanoparticles / J. L. Wilson, P. Poddar, N. A. Frey et al. // J. Appt. Phys. — 2004. — Vol. 95, no. 3. — Pp. 1439-1443.

29. Magnetic nanocomposite micelles and vesicles / S. Lecommandoux, 0. Sandre, F. Chécot et al. H Advanced Materials. — 2005. — Vol. 17, no. 6,—Pp. 712-718.

30. Self-assemblies of magnetic nanoparticles and di-block copolymers: magnetic micelles and vesicles / S. Lecommandoux, O. Sandre, b F. Chécot et al. ///. Magn. Magn. Mater. — 2006. — Vol. 300, no. 1. — Pp. 71-74.

31. Preparation and swelling of hydrophilic magnetic microgels / C. Ménager, O. Sandre, J. Mangili, V. Cabuil // Polymer. — 2004. — Vol. 45. — Pp. 2475-2481.

32. Cooperative assembly of magnetic nanoparticles and block copolypeptides in aqueous media / L. Euliss, S. Grancharov, S. O'Brien et al. // Nano Letters. — 2003. Vol. 3, no. 11. — Pp. 1489-1493.

33. Magnetic deformation of self-assembled sexithiophene spherical nanocapsules / I. O. Shklyarevskiy, P. Jonkheijm, P. C. M. Christianen et al. // J. AM. CHEM. SOC.— 2005.— Vol. 127, no. 4.— Pp. 1112-1113.

34. Model of a magnetizable elastic material / V. Naletova, V. Turkov, Y. Shkel, D. Klingenber g //. Magn. Magn. Mater.— 1999.— Vol.202.— Pp. 570-573.

35. Voltairas P., Fotiadis D., Massalas C. V. Modeling the hyperelasticity of magnetic field sensitive gels // J. Appl. Phys. — 2003. — Vol. 93, no. 6. — Pp. 3652-3656.

36. Bregara V., Pavlin M. Effective-susceptibility tensor for a composite with ferromagnetic inclusions: Enhancement of effective-media theory and alternative ferromagnetic approach // Journal of Applied Physics. — 2004. — Vol. 95, no. 11. — Pp. 6289-6293.

37. Kern N., Fourcade B. Vesicles decorated with magnetic particles // Europhys. Lett. — 1997. — Vol. 38, no. 5. — Pp. 395-400.

38. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. — М.: Наука, 1986. —232 с.

39. Лурье А. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

40. СивухинД. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. 3. — 687 с.

41. Ландау Л., ЛифшицЕ. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. — 246 с.

42. Райхер Ю., Столбов О. Магнитодеформационный эффект в ферроэла-сте // Письма в журнал технической физики. — 2000. — Т. 26, № 4. — С. 47-53.

43. Raikher Y., Stolbov О. Magnetodeformational effect in ferrogel samples // J. Magnetism and Magnetic Materials. — 2003. — Vol. 258-259. — Pp. 477-479.

44. Райхер Ю., Столбов О. Деформационное поведение эллипсоидального образца феррогеля в однородном магнитном поле // Прикладная механика и техническая физика. — 2005. — Т. 46. — С. 153—154.

45. Райхер Ю., Столбов О. Управление деформацией ферроэластов с помощью магнитного поля // Российский журнал биомеханики.— 2006. — Т. 10, № 3. — С. 80-90.

46. Stolbov О., Raikher Y. Modeling a magneto-deformational effect induced in a ferroelast by a uniform magnetic field // Тезисы докладов международной научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред". — Пермь: 1999. — С. 51.

47. Столбов О., Райхер Ю. Колебания сферического образца ферроэла-ста в условиях гистерезиса деформации // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". — Пермь: 2002. — С. 127-128.

48. Stolbov О. V., Raikher Y. L. Magnetodeformational effect in ferrogel objects // J. Magnetism and Magnetic Materials.— 2005.— Vol. 289. — Pp. 62-65.

49. Столбов О., Райхер Ю. Модель магнитодеформационного эффекта в ферроэласте// Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 1998. — С. 22-23.

50. Столбов О., Райхер Ю. Численное моделирование магнитодеформационного эффекта в осесимметричном образце // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 2000. — С. 16.

51. Райхер Ю., Столбов О. Деформирование ферровезикулы однородным магнитным полем // Тезисы докладов международной научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред".— Пермь: 2005. — С. 254.

52. Raikher Y., Stolbov О. Magnetodeformational effect in ferrogel samples // Book of Abstracts "Moscow International Symposium of Magnetism". — Moscow: 2002. — Pp. 283-284.

53. Столбов О., Райхер Ю. Магнитодеформационная восприимчивость образцов ферроэласта эллипсоидальной формы // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 2003. — С. 30.

54. Stolbov О. V., Raikher Y. L. Deformation of a ferrovesicle in a uniform magnetic field I I J. Magnetism and Magnetic Materials. — 2006. — Vol. 300, no. 1. — Pp. el99-e202.

55. Деформация плоской мембраны из ферроэласта, закреплённой по ободу, в однородном магнитом поле / Ю. Райхер, О. Столбов, Г. Степанов и др. // Сборник статей научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред". — Т. 1. — Пермь: 2007. — С. 31—34.

56. Stolbov О. V., Raikher Y. L. Deformation of a ferrovesicule in a uniform magnetic field // Book of Abstracts "Moscow International Symposium of Magnetism". — Moscow: 2005. — Pp. 131-132.

57. Райхер Ю., Столбов О. Силовые характеристики магнитодеформа-ционного эффекта в цилиндрическом образце ферроэласта // Тезисы докладов научной конференции "Актуальные проблемы механики". — Пермь: 2005. — С. 112-113.

58. Блум Э., Цеберс А., Майоров М. Магнитные жидкости. — Рига: Зи-натне, 1989. —386 с.

59. Вонсовский С. Магнетизм. — М.: Наука, 1971. — 300 с.

60. Виноградов Г., Малкин А. Реология полимеров. — Москва: Химия, 1977. — 437 с.

61. Kneller Е. Fine particle theory Magnetism and Metallurgy / Ed. by A. Berkowitz, E. Kneller.— New York—London: Academic Press, 1969. —Vol. 1.- 532 pp.

62. Dormann J.-L., Fiorani D., Tronc E. Magnetic relaxation in fine particle systems. — Adv Chem Phys, 1997. — Vol. 98. — 531 pp.

63. Самарский А. Теория разностных схем. — M.: Наука, 1987. — 370 с.

64. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975. — 542 с.

65. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. — М.:: Мир, 1979. —392 с.

66. Тихонов А., Самарский А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 724 с.

67. Brebbia С., Teiles J., Wrobel L. Boundaiy Element Techniques.— Berlin—Heidelberg-New York—Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — 464 pp.

68. Ильюшин А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моек ун-та, 1978, —287 с.