Моделирование магнитных наноразмерных систем с учетом магнитостатики и температурных флуктуаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Зипунова, Елизавета Вячеславовна

• Зипунова, Елизавета Вячеславовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Зипунова, Елизавета Вячеславовна

Введение ........................................................................4

Глава 1. Основные уравнения, постановки задач, система тестирования ......................................................................15

1.1. Физико-математическая модель для моделирования магнетиков «атом-в-атом»..........................................................16

1.2. Физико-математическая модель при микромагнитном моделировании ....................................................................17

1.3. Выбор безразмерной системы единиц................................18

1.4. Моделирование эволюции системы в постоянном однородном внешнем поле ................................................................20

1.5. Моделирование эволюции системы с учетом анизотропии..........22

1.6. Моделирование эволюции системы

с учетом обменного взаимодействия ..................................24

1.7. Пример тестирования численной модели............................33

1.8. Моделирование спин-флип и спин-флоп переходов ................42

1.9. Моделирование эволюции энергии системы

с учетом температурных флуктуаций ................................46

1.10. Моделирование стационарных состояний системы

и сравнение с приближением среднего поля ........................48

Глава 2. Численные схемы Рунге-Кутты в поворотах..............54

2.1. Описание традиционных численных схем............................54

2.2. Оператор поворота ....................................................57

2.3. Схема Рунге-Кутты в поворотах 2-го порядка (ИО;2)..............58

2.4. Результаты тестов......................................................65

Глава 3. Реализация расчета поля размагничивания быстрым муль-

типольным методом ......................................................70

3.1. Поле размагничивания прямоугольной ячейки......................70

3.2. Поле размагничивания в мультипольном приближении............72

3.3. Быстрый мультипольный метод......................................74

3.4. Численные схемы......................................................76

3.5. Проверка расчета поля размагничивания ............................78

3.6. Стандартная постановка дМЛС №2..................................78

3.7. Стандартная постановка дМЛС №4..................................81

Глава 4. Эффективная анизотропия на скомпенсированном интерфейсе 1гМп3/Ее..........................................................86

4.1. Геометрия образца и кристаллическая решетка....................86

4.2. Энергия системы........................................................88

4.3. Физические параметры ................................................90

4.4. Макромагнитное моделирование ......................................92

4.5. Стационарные состояния антиферромагнетика ......................96

4.6. Результаты моделирования «атом-в-атом»..........................99

Заключение...................................103

Список литературы .............................105

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование магнитных наноразмерных систем с учетом магнитостатики и температурных флуктуаций»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Магнитные материалы широко используются для создания новых устройств быстрой, энергонезависимой памяти. Повышенный интерес к многослойным магнитным структурам с толщиной слоев от десятых долей до десятка нанометров связан с открытием в 1988 г. явления гигантского магнетосопротивления (ГМС) [1]. Открытие данного явления позволило увеличить емкость жестких дисков с сотен мегабайт до десятков терабайт. Широкое прикладное значение открытия ГМС стимулировало изучение наноразмерных многослойных магнитных систем, что привело к открытию в 1995 г. явлений туннельного магнетосопротивления (ТМС) [2, 3, 4], перемагничивания спинполяризованным током и ряда других. Благодаря открытию явлений ГМС и ТМС началась разработка магниторезистивной памяти (МИЛМ) [5], которая является энергонезависимой и обладает быстродействием порядка наносекунд. Сформировалось новое направление электроники — «спинтроника», объединяющее явления и устройства, использующие перенос информации с помощью спина.

При создании устройств спинтроники необходимо подробное изучение свойств многослойных магнитных структур. Экспериментальное изучение связано с значительными финансовыми затратами и с рядом трудностей при получении и интерпретации результатов. Аналитическое предсказание свойств не всегда доступно из-за сложной структуры системы и нелинейного магнитного взаимодействия. Поэтому для изучения свойств элементов спинтронного устройства применяется численное моделирование [6, 7, 8].

Способ моделирования зависит от конкретного устройства и характера изучаемых свойств. Различаются подходы при моделировании статического равно-

весного состояния системы и динамического переключения между состояниями системы. Моделирование статического равновесного состояния системы сводится к минимизации энергии системы. В таком случае применимы методы оптимизации: метод градиентного спуска, метод Ритца [9], метод выравнивания намагниченности вдоль эффективного поля, предложенный Ла-Бонте [10, 11, 12] и его модификации [13, 14]; если учитываются температурные флуктуации — метод Монте-Карло (алгоритм Метрополиса)[15, 16, 17, 18, 19, 20]. При моделировании динамического переключения между состояниями применяются конечно-разностные схемы [21], например Рунге-Кутты.

Существуют три подхода к пространственному разбиению системы: мак-роспиновый, микромагнитный и атомистический («атом-в-атом»). В макроспи-новом подходе предполагается, что каждый слой или гранула магнитного материала имеет однородную намагниченность. Таким образом, данный метод применим только к задачам с известной доменной структурой.

Наиболее часто используемым подходом к моделированию магнитных материалов является микромагнитный подход [22]. Он основывается на непрерывной модели среды, где в каждой точке задано направление намагниченности. Дискретизация пространства происходит при предположении, что влияние сильного обменного взаимодействия обеспечивает равномерную намагниченность в малом объёме. Данное предположение не верно при температурах близких к температуре Кюри.

Чтобы сравнить моделирование «атом-в-атом» и микромагнитное моделирование необходимо учесть влияние температурных флуктуаций при моделировании магнетиков. Тепловые эффекты важны для ряда моделируемых процессов и являются предметом многочисленных исследований [23, 24, 25, 26, 27]. Для решения задач, где достигается температура Кюри [28, 29, 30], приме-

няется уравнение Ландау-Лифшица-Блоха (ЛЛБ) [31, 32, 33, 34], позволяющее учитывать зависимость модуля намагниченности ячейки от температуры. При этом уравнение ЛЛБ включает в себя несколько эффективных параметров, зависящих от температуры. Для их определения можно воспользоваться экспериментальными данными, результатами моделирования «атом-в-атом» или первопринципными расчетами, например, теорией функционала плотности (ЭРТ) [35].

В случае моделирования наноразмерных устройств может применяться подход «атом-ватом» [36]. В такой модели возможен учет сложной геометрической структуры устройства, специфики взаимодействия на интерфейсах между разными веществами, дефектов в кристаллической решетке и многое другое.

Атомная модель магнитного материала, в которой атом воспринимается как зафиксированный в пространстве магнитный момент, впервые была предложена Изингом в 1925, как первая модель фазового перехода ферромагнетика [37]. В модели Изинга намагниченность атома может быть в двух состояниях: спин-вверх и спин-вниз. Хотя эта модель все еще применима при изучении некоторых свойств системы [38, 39, 18], она не может быть использована для динамического моделирования. Естественным в продолжение модели Изин-га кажется позволить магнитному моменту атома свободно ориентироваться в 3Э-пространстве [40], пренебрегая квантованием, что дает классическую модель Гейзенберга. Такой подход в настоящий момент при описании динамики пере-магничивания является наиболее близким к первым принципам. Эволюция магнитных моментов описывается уравнением Ландау-Лифшица. Для описания тепловых флуктуаций вводится случайный источник. Учет тепловых флукту-аций чаще всего происходит с помощью источника трехмерного белого шума, входящего в эффективное поле. Однако, при низкой температуре существенную

роль начинают играть квантовые эффекты, описываемые законом Блоха [41], не соответствующие источнику с белым шумом. Наиболее существенным недостатком моделирования «атом-в-атом», очевидно, является высокая вычислительная сложность.

При моделировании процесса записи или считывания в элементе MRAM моделируется многослойная магнитная структура, толщина слоев которой лежит в пределах от десятых долей до десятка нанометров, где необходимо учитывать взаимодействие на интерфейсах между разными веществами, дефекты в кристаллической решетке, и влияние температуры варьирующейся от комнатной до температуры Кюри. Таким образом, наиболее подходящим для изучения свойств элемента MRAM является подход «атом-в-атом». При моделировании магнитного материала «атом-в-атом» для каждого атома выписывается уравнение Ландау-Лифшица. Для решения получившейся системы обыкновенных диффиринциальных уравнений (ОДУ) используют явные [42] или неявные разностные схемы [43]. Неявные разностные схемы обеспечивают устойчивость и позволяют вести расчеты с большим шагом по времени чем явные [44, 45]. Но нелокальность неявных схем приводит к невозможности эффективной реализации для систем большого размера. Поэтому в данной работе рассматривались только явные разностные схемы.

Запоминающий слой — один из важнейших элементов MRAM — состоит из слоя антифферомагнетика, толщиной в десятки нм, и слоя ферромагнетика, порядка нанометра толщиной. Состояние ячейки памяти определяет направление намагниченности ферромагнетика. Направление ферромагнетика для "0"и "1"отличаются на 180°. Антиферромагнитный слой обеспечивает фиксацию ферромагнетика и стабильность хранения информации. Очевидно, что сильная обменная связь между ферромагнетиком и антиферромагнетиком обес-

печивает высокую стабильность хранения информации, но затрудняет перезапись данных, что затрудняет выбор материалов для создания запоминающего слоя.

В связи с разработкой устройств спинтроники очень актуальной задачей стало моделирование и изучение свойств двухслойной структуры антиферромагнетик/ферромагнетик [46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54], в частности, 1гМп3/ ферромагнетик. Несмотря на большое число работ [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], детально механизм возникновения анизотропии между слоями ферромагнетика и антиферромагнетика раскрыт не был.

Анизотропные свойства 1гМп3, в том числе обменное смещение, зависят от упорядоченности атомов в кристаллической решетке. Разделяют упорядоченный и неупорядоченный случаи расположения атомов Мп в кристаллической решетке [55, 60]. Также на свойства устройства влияют толщина слоёв [63, 65, 49, 50, 46] и ориентация кристаллической решетки относительно интерфейса [59].

Механизм возникновения анизотропии в системах ферромагнетик-антиферромагнетик с ОЦК решеткой и скомпенсированным интерфейсом хорошо изучен [66], но рассматриваемая в данной работе система с неполной ГЦК решеткой оказывается значительно более сложной.

При моделировании больших образцов ферромагнитных материалов необходимо учитывать вклад поля размагничивания в эффективное поле для каждого атома. При моделировании «атом-в-атом» поле размагничивания для атома расчитывается как сумма полей размагничивания (поля диполя) от каждого атома. При микромагнитном моделировании поле размагничивания считается как интеграл по всей расчетной области. Если интеграл нельзя взять аналитически, то область дискретизируется сеткой, достаточно мелкой, чтобы считать

ячейки сетки равномерно намагниченными, и интеграл вычисляется численно для каждой ячейки как сумма интегралов по каждой ячейке. И при моделировании «атом-в-атом» и при микромагнитном подходе, расчет поля размагничивания для каждого атома/ячейки на каждом шаге является самой времязатрат-ной частью численного моделирования. Точный расчет поля размагничивания для всех атомов имеет сложность 0(N2) на каждом шаге по времени, где N - количество магнитных атомов/ячеек. Одна из первых успешных попыток уменьшить сложность расчета задачи Ж-тел — метод Барнеса-Хата [67]. Наиболее известными методами расчета поля размагничивания являются быстрый муль-типольный метод (FMM) [68, 69] и метод на основе быстрого преоброзования Фурье (FFT) [70, 71].

В 1985 году Грингард и Рохлин [72, 73, 74] создали быстрый мультиполь-ный метод (FMM), который использует быстро сходящуюся схему аппроксимации и снижает общую сложность до 0(log(1/e)3N), где е является заданной ошибкой приближения к точному значению [75]. Для реализации FMM для расчетной области генерируется рекурсивная сетка, для каждой ячейки вычисляется средняя намагниченность и центр масс. Таким образом, поле размагничивания от ближайших атомов считается точно, начиная с некоторого расстояния вклад от атомов считается как вклад от ячейки, в которую они входят. Чем дальше находятся атомы тем больше становятся ячейки.

Метод на основе быстрого преобразования Фурье был разработан в 1981 [76] и снижает сложность вычислений до 0(N log N). Реализация FFT проще чем FMM, но FFT предполагается периодические границы, что введёт к увеличению расчетной области в разы.

Цели и задачи. Целями работы являются: создание программного комплекса для моделирования устройств и материалов спинтроники с учетом температурных флуктуаций и поля размагничивания и использование созданного комплекса для исследования реальных систем.

Для достижения этих целей решены следующие задачи:

1. Выбор численной схемы, учитывающей особенности прецессионного характера эволюции магнитных моментов.

2. Реализация выбранной численной схемы и быстрого мультипольного метода для расчета поля размагничивания в рамках программного комплекса.

3. Применение разработанного комплекса для математического моделирования ячейки магниторезистивной памяти.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, в частности, построена схема Рунге-Кутты в поворотах, учитывающая прецессионную природу эволюции магнитного момента в эффективном поле, что позволяет точнее описывать динамику моделируемой системы с большим шагом по времени.

Предложена система тестов для верификации программного комплекса, предназначенная для начальной стадии отладки. Было рассмотрено множество постановок, сводивших моделирование к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых были получены аналитические решения. Разрозненные постановки были систематизированы в ряд последовательных тестов, позволяющих легко выявить и локализовать ошибку программного комплекса до начала масштабных расчетов с выходными данными, сложными для анализа и, соответственно, не допускающими простого выявления и локализации ошибки.

Благодаря подробному изучению стационарных состояний упорядоченного 1гМп3, был разработан оригинальный способ определения и описания состояний с помощью специфических конфигураций намагниченностей трёх подре-шеток. Была создана и верифицирована оригинальная макро-модель для изучения свойств системы 1гМп3, с помощью которой были получены результаты для большого числа значений физических параметров. В итоге изучен механизм возникновения анизотропии на скомпенсированном интерфейсе 1гМп3-ферромагне-тик. Автором диссертации не было найдено работ, раскрывающих механизмы данных процессов с такой же подробностью.

Теоретическая и практическая значимость работы Программный комплекс для моделирования «атом-в-атом» магнитных устройств с учетом температурных флуктуаций и поля размагничивания может быть использован для получения как теоретических, так и практических результатов, в частности для изучения механизма возникновения эффективной анизотропии на скомпенсированном интерфейсе 1гМп3-ферромагнетик в реальных устройствах спинтрони-ки.

Применение предложенной схемы Рунге-Кутты в поворотах уменьшает вычислительные затраты без потери точности при моделировании эволюции магнитных систем, что имеет большую практическую значимость. Также, предложенная система первичных тестов позволяет значительно сократить время отладки новых программных комплексов для моделирования магнетиков.

Методология и методы исследования. Для моделирования эволюции магнитных моментов атомов в магнитном материале необходимо решать систему, состоящую из уравнений Ландау-Лифшица, записанных для каждого атома.

Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений были выбраны численные схемы Рунге-Кутты. Так как движение магнитного момента в основном состоит из прецессии, была создана численная схема Рунге-Кутты в поворотах. Результаты, полученные данными численными схемами, сравнивались между собой и, для некоторых постановок, с полученным аналитическим решением. Таким образом, была выбрана наиболее эффективная схема.

Выбранная схема реализована в программном комплексе, созданном для моделирования «атом-в-атом» магнитных материалов с учетом температурных флуктуаций и поля размагничивания.

Верификация программного комплекса производилась путём сравнения результатов, полученных данным программным комплексом для простых постановок, с известными для этих постановок аналитическими решениями.

Далее основным методом исследования свойств магнитных материалов в данной работе являлось численное моделирование «атом-в-атом» и микромагнитное моделирование.

Положения, выносимые на защиту

1. Построена численная схема в поворотах из семейства схем Рунге-Кутты, учитывающая особенности прецессионного характера эволюции магнитных моментов. Схема обеспечивает максимальный темп счета для актуальных значений ошибки по энергии для задач исследования динамики магнитной системы.

2. Разработан программный комплекс на С++ для микромагнитного моделирования и моделирования «атом-в-атом» магнитных устройств с учетом поля размагничивания и температурных флуктуаций. В программном

комплексе реализован расчет поля размагничивания с помощью быстрого мультипольного метода; комплекс верифицирован на задачах дМа§.

3. Разработана система тестов для начальной стадии верификации программных комплексов, моделирующих магнитные системы.

4. В результате математического моделирования системы 1гМп3/ферромагнетик, построено описание восьми стационарных состояний упорядоченного 1гМп3, механизм фиксации состояний и переключения между ними; описан механизм возникновения эффективной обменной анизотропии в случае скомпенсированного интерфейса антиферромагнетик/ферромагнетик.

Степень достоверности и апробация. Достоверность результатов подтверждается сравнением результатов моделирования с известными аналитическими решениями и решениями стандартных задач дМа§. Результаты, описанные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях:

• Спиновые волны 2015, 2018 (Санкт-Петербург, Россия);

• 54-я, 55-я, 56-я, 57-я, 58-я научные конференции МФТИ (2011-2014, 2016, Москва, Россия).

Кроме того, результаты были представлены и неоднократно обсуждались на научных семинарах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. По теме диссертации опубликовано 15 работ [77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91], 10 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [82, 84, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91].Получено свидетельство о регистрации программного комплекса для ЭВМ [92].

Личный вклад соискателя в работах с соавторами отражают положения, выносимые на защиту. Все положения, выносимые на защиту, и основные результаты диссертации получены лично соискателем. Программный комплекс для моделирования магнитных материалов «атом-в-атом» с учетом температурных флуктуаций и поля размагничивания разрабатывался в соавторстве с Ивановым А.В. Зависимость средней энергии от температуры из уравнения Фоккера-Планка для двухчастичной функции распределения, описывающие вклад температуры, была получена Ивановым А.В.

Глава 1

Основные уравнения, постановки задач, система

тестирования

В этой главе представлены основные уравнения, описаны постановки задач и приведен ряд аналитических решений. На основе аналитических решений построена система тестирования для программного комплекса моделирующего магнитные материалы методом «атом-в-атом», без учета поля размагничивания. Постановки задач упорядочены по сложности и систематизированы для планомерной проверки адекватности моделирования каждого аспекта эволюции магнитных моментов. Таким образом обеспечивается аккуратное базовое тестирование программного комплекса.

При моделировании «атом-в-атом» для каждого магнитного атома записывается уравнение движения магнитного момента. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается с помощью численных схем, таких как классическая схема Рунге-Кутты. Эволюцию магнитного момента описывает уравнение Ландау-Лифшица или Ландау-Лифшица-Гильберта. Температура вводится с помощью добавления случайной величины в уравнение движения. Эта случайная величина не имеет корреляции по времени и пространству, дисперсия зависит от температуры. Данный способ учета влияния температуры не единственный. В данной работе отдано предпочтение ему, так как он достаточно неплохо показал себя в практических задачах.

1.1. Физико-математическая модель для моделирования магнетиков «атом-в-атом»

Уравнение Ландау-Лифшица для ¿-го атома записывается следующим образом:

d-M _ Глт TTeff«7 .. ттей-i , оо 1®Ткв

~dt

= -7 M, х ыеи - —^ M, х M, х ыеи + 2SW-в, (1.1)

Ms V Ms

Heff = -vM w, w = ^exch + ^anis + ^ext + ^dip,

^exch = -2 E Jij (ш • Ш,), Hexch = E Jijmj/Ms, 2 hj j

Wanis = - E К(m, • a)2, Hanis = 2K/^S (m, • a) a,

i

wext = - E (M, • Hext) ,

i

wdip = -1 Ei3(M, • (R - R))(M^• (Rj - R)) - MtM, ^

2 ij V | Rj - R| | Rj - R|

где M^ — намагниченность f-го атома, m^ — единичный вектор направления намагниченности ¿-го атома, мs — величина магнитного момента атома (Mj = Msm^), 7 — гиромагнитное отношение, а — безразмерный параметр затухания, Heff — эффективное магнитное поле, S — случайный источник единичной интенсивности с нормальным распределением, сохраняющий модуль Mj и обеспечивающий в равновесном случае больцмановское распределение в ансамбле магнитных моментов [93], ^exch — энергия обменного взаимодействия, Wanis — энергия анизотропии, ^ext — энергия от взаимодействия с внешним однородным полем, Wdip — энергия диполь-дипольного взаимодействия, Jij — обменный интеграл между частицами ¿ и j, К — коэффициент анизотропии, a — направление анизотропии, R^ — координата ¿-го атома, квТ — температура системы измеряемая в единицах энергии.

Обменное взаимодействие обусловлено перекрытием электронных облаков между двумя соседними магнитными атомами. Соответственно при подсчёте обменного поля суммирование ведётся только по ближайшим атомам. Анизотропию вводят в уравнение для учёта формы частиц и влияния кристаллической решетки. Наиболее часто используются одноосная [94] (линейная анизотропия типа «легкая ось») и кубическая [95] формы анизотропии. В данной работе рассмотривается линейная анизотропия типа «легкая ось».

1.2. Физико-математическая модель при микромагнитном моделировании

Пусть намагниченность задана непрерывно во всем объеме ферромагнетика. Тогда, согласно модели Гейзенберга [96], эффективное обменное поле:

л

НехсЬ(К) = 2^ Дш, (1.2)

где ш — единичный вектор направления намагниченности, М^ — намагниченность насыщения на единицу объема, Аех — обменная постоянная. Пусть ферромагнитный материал занимает объем V, тогда поле размагничивания в точке Я выражается как [69]:

Н-<я> = -1(Я')** + /' )^ (1.3)

где Я — радиус-вектор, М(Я) — намагниченность в точке Я, дУ - граница объема V, п — единичный вектор, нормаль к дУ.

При микромагнитном подходе к моделированию магнитного материала, материал разбивается сеткой на достаточно маленькие ячейки, чтобы считать ячейки равномерно намагниченными. Тогда магнитный момент отдельной ячей-

ки задаётся вектором постоянной длины, который может ориентироваться произвольным образом. Эволюция магнитного момента ¿-ой ячейки, аналогично моделированию «атом-в-атом» (1.1), описывается уравнением Ландау-Лифшица. После дискретизации, при вычислении поля обмена для ¿-ой ячейки, оператор Лапласа аппроксимируется с помощью значений намагниченности в соседних ячейках:

Hexch = 2ЕК - m), (1.4)

А

где /сец — размер ячейки сетки дискретизации.

Для ¿-ой ячейки, температурные флуктуации будут описываться случай ным источником в правой части уравнения Ландау-Лифшица:

2S,/-

^s^ cell

где Nceii — колличество атомов в ячейке.

1.3. Выбор безразмерной системы единиц

При моделирование «атом-в-атом» за единицу магнитного момента принята величина магнитного момента атома Дм = Ms, за единицу расстояния — характерный размер ячейки кристаллической решетки /сец, за единицу энергии принят модуль обменного интеграла Д^ = | J|. Соответственно, за единицу поля принято отношение единицы энергии к единице магнитного момента

Дн = Д^/Дм.

При микромагнитном моделирование за единицу расстояния принят характерный размер ячейки сетки дискретизации /сец, за единицу намагниченности — величина намагниченности насыщения Дм = ^saJCeii, за единицу поля — соотношение, входящее в выражение для обменного поля Дя = 2 м^еЬ , единица

sat сец

энергии вычисляется через единицу поля и намагниченности Д^ = ДяДм•

За единицу времени принимается обратная частота прецессии магнитного момента в единичном поле Д^ = ^^.

Уравнение Ландау-Лифшица для ¿-го атома в выбранной безразмерной

системе единиц имеет вид:

dm.i

~df _ -Heff_Hex°h + Hanis + + H^ip

m, x Heff - a [m, x [m, x Heffl] + 2 Бл/аТ*, (1.5)

rexch _

" 'ijmJ,

dip_3(m ■ te - r ))(r- r) m

Hexch _ E J*m,, Hanis _ 2K* (m ■ a) a,

Hdip _ E ^ 5

|r? - r1 |r? - r Г

т 2

где J* _ fa, К * _ ^, D* _ ^, r _ R//cell, T * _ , 7* _ 1 для учета прецессии и 7* _ 0, когда прецессия не моделируется.

Для ¿-ой ячейки уравнение Ландау-Лифшица совпадает с уравнением для ¿-го атома. В выбранной системе единиц для микромагнитного подхода поле обменного взаимодействия для ¿-ой ячейки вычисляется как:

Hexch _ E(m, - m,), (1.6)

поле размагничивания:

HdlP _ E(—D* j (r - r''_V ;"'(r'' dr' + D* f (r - r')m(r')3- n(r') dr' i \ v |r'* r 1 f>v, lr> r I j

(1.7)

где D* _ Am//^цАя, r _ R//cell, m(r) _ M(R)/Am, температурные флуктуации:

т * _ h т

№ |^сеп'

Далее все уравнения и выкладки будут приводиться в выбранных безразмерных

системах единиц.

1.4. Моделирование эволюции системы в постоянном однородном внешнем поле

Рассмотрим образец магнитного материала произвольной формы и с произвольной кристаллической решеткой. Анизотропия и обмен между атомами отсутствуют, нет температурных флуктуаций. На атомы действует только постоянное однородное внешнее поле.

Без потери общности рассуждений предположим, что внешнее поле направлено по оси OZ и по модулю равно Н:

Hext = Н (0,0,1)T. (1.8)

Направление магнитного момента одного атома m выразим в сферических координатах:

m = (cos 9 cos р, cos 9 sin p, sin 9)T. (1.9)

Распишем члены в правой части уравнения Ландау-Лифшица:

[m х Hext] = Н(cos 9 sin р, — cos 9 cos p, 0)T, (1.10)

[m х [m х Hext]] = H(sin 9 cos 9 cos p, sin 9 cos 9 sin p, — cos2 9)T. (1.11)

Подставим полученные выражения в уравнение Линдау-Лифшица, получим систему уравнений для всех компонент вектора m [93]:

d cos 9 cos (p

dt

d cos 9 sin ip dt

d sin 9

= —7H cos 9 sin if — aH sin 9 cos 9 cos p, = 7H cos 9 cos p — aH sin 9 cos 9 sin p, (Ы2)

dt

= aH cos 9.

Выпишем и проинтегрируем уравнение для z компоненты:

d sin О

= aH cos2 в, = aHdt,

dt dO

cos О

dO ¡- ТТ1

-- = aHdt,

cos 0 J

ln

(в Г tg Í2 + 4,

ln

tg (!+4)

f в ^ tg 2 + 4,

= aHt,

o , n

= tgU + 4>e

aHt

(1.13)

В итоге получаем зависимость:

o , М a.Ht

9 = 2 arctg ítgí-2 + 4 ) e

ж 2'

(1.14)

Выпишем и проинтегрируем уравнение для компоненты:

d cos 0 sin p dt

nd6 d sinp

— sin 0— sin p + cos 0

dt

—a H sin в cos 0 sin p + cos 0

d sinp

dt d sinp

= 7H cos 0 cos p — aH sin в cos 0 sin p, = 7H cos 0 cos p — aH sin в cos 0 sin p, = 7H cos 0 cos p — aH sin в cos 0 sin p,

7H cos p,

7H,

p = 7Ht + po. (1.15)

dp

Этот простой тест позволяет оценивать работоспособность численной схемы в целом и по отдельности проверять реализацию членов уравнения Лан-дау-Лифшица, описывающих прецессиию и диссипацию.

1.5. Моделирование эволюции системы с учетом анизотропии

Рассмотрим образец магнитного материала произвольной формы и с любой кристаллической решеткой. Внешнее поле, обмен между атомами и температурные флуктуации отсутствуют, но есть ненулевая анизотропия — в этом случае можно ограничиться рассмотрением одного магнитного момента.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зипунова, Елизавета Вячеславовна, 2018 год

Список литературы

1. Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr Magnetic Superlattices / M. N. Baibich, J. M. Broto, A. Fert et al. // Physical Review Letters. — 1988. —Vol. 61, no. 21. —P. 2472-2475.

2. Julliere M. Tunneling between ferromagnetic films // Phys. Lett. — 1975. — Vol. 54A. — P. 225-226.

3. Miyazaki T., Tezuka N. Giant magnetic tunneling effect in Fe/Al2O3/Fe junction //J. Magn. Magn. Mater. — 1995.— Vol. 139. —P. L231-L234.

4. Moodera J. S. Large Magnetoresistance at Room Temperature in Ferromagnetic Thin Film Tunnel Junctions // Phys. Rev. Lett. — 1995. — Vol. 74, no. 16. —P. 3273-3276.

5. Apalkov Dmytro, Dieny Bernard, Slaughter J. M. Magnetoresistive Random Access Memory // Proceedings of the IEEE. — 2016. — Vol. 104, no. 10.— P. 1796 - 1830.

6. Звездин A. K. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. // УФН. —2008.— Т. 178. — С. 436-442.

7. Proposal for a standard problem for micromagnetic simulations including spin-transfer torque / M. Najafi, B. Kruger, S. Bohlens et al. // Journal of Applied Physics. — 2009. — Vol. 105, no. 11.

8. Spin-transfer torque RAM technology: Review and prospect / T. Kawahara, K. Ito, R. Takemura, H. Ohno // Microelectronics Reliability. — 2012. — Vol. 52, no. 4. —P. 613-627.

9. А.Хуберт. Теория доменных границ в упорядоченных средах. — М.: Мир, 1977.

10. Jr. W.F. Brown, LaBonte A.E. Structure and energy of one dimensional walls in ferromagnetic thin films. //J. Appl. Phys. — 1965. — Vol. 36, no. 4.— P. 1380-1386.

11. LaBonte A. E. Two dimensional Bloch type domain walls in ferromagnetic films // J.Appl.Phys. — 1969. — Vol. 40.

12. Kosavisutte K., Hayashi. N. A numericla study of LaBonte's iteration: An approach to acceleration. // IEEE Trans. Magn. — 1996. — Vol. 32. — P. 4243-4245.

13. Kosavisutte K., Hayashi N. Acceleration of micromagnetic calculation based on LaBonte's iteration // Jpn. J. Appl. Phys. — 1995. — Vol. 34.

14. N.Hayashi, K.Kosavisutte, Y.Nakatani. Micromagnetic calculation of domain structure in thin magnetic film based on improved LaBonte method. // IEEE Trans. On Magn. — 1997. — Vol. 33.

15. Equations of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth et al. //J. Chem. Phys. — 1953. — Vol. 21. —P. 1087-1092.

16. Onsager L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition // Physical Review. — 1944. — Vol. 65, no. 3-4.— P. 117.

17. Fisher Michael E. Magnetism in One-Dimensional Systems—The Heisenberg Model for Infinite Spin // American Journal of Physics. — 1964. — Vol. 32. —P. 343-346.

18. Binder K., Rauch H. Calculation of spin-correlation functions in a ferromag-net with a Monte Carlo method // Z. Phys. — 1968. — Vol. 27, no. 4. — P. 247-248.

19. Binder K., Heermann D.W. Monte-Carlo Simulation in Statistical Physics. —

Springer-Verlag, 1988.

20. Watson R. E., Blume M., Vineyard G. H. Spin Motions in a Classical Fer-romagnet // Phys. Rev. — 1969.— Vol. 181. —P. 811-823.

21. Finite-Difference Micromagnetic Solvers With the Object-Oriented Micro-magnetic Framework on Graphics Processing Units / S. Fu, W. Cui, M. Hu et al. // IEEE Transactions on Magnetics. — 2016. — April. — Vol. 52, no. 4. — P. 1-9.

22. Brown W. F. Micromagnetic. — New York: Wiley, 1963.

23. Thermally Assisted Magnetization Reversal in Submicron-Sized Magnetic Thin Films. / R. H. Koch, G. Grinstein, G.A. Keefe et al. // Phys. Rev. Lett. —2000. —Vol. 84, no. 23. —P. 5419-5422.

24. Thermal Variations in Switching Fields for Sub-Micron MRAM Cells. / M. Bhattacharyya, T. Anthony, J. Nickel et al. // IEEE Trans. Mag.—

2001. —Vol. 37, no. 4. —P. 1970-1972.

25. Wang X., Bertram H.N., Safonov V.L. Thermal-dynamic reversal of fine magnetic grains with arbitrary anisotropy axes orientation. //J. Appl. Phys. —

2002. —Vol. 92, no. 4. —P. 2064-2072.

26. Ren W. E., Ren W., Vanden-Eijnden E. Energy landscape and thermally activated switching of submicron-sized ferromagnetic elements. //J. Appl.Phys. —2003. —Vol. 93, no. 4. —P. 2275-2282.

27. Liu Di. Topics in the analysis and computation of stochastic differential equations. // PhD thesis, Program in Applied and Computational Mathematics, Princeton University. — 2003.

28. McDaniel T.W. Areal density limitation in bit-patterned, heat-assisted magnetic recording using FePtX media // Journal of Applied Physics. — 2012. — Vol. 112, no. 9. —P. 093920.

29. Electron- and phonon-mediated ultrafast magnetization dynamics of Gd(0001) / M Sultan, U. Atxitia, A. Melnikov et al. // Phys. Rev. B. — 2012. —May. —Vol. 85. —P. 184407.

30. Ultrafast dynamical path for the switching of a ferrimagnet after femtosecond heating / U. Atxitia, T. Ostler, J. Barker et al. // Phys. Rev. B. —2013.— Jun. —Vol. 87. —P. 224417.

31. Garanin D.A. Fokker-Planck and Landau-Lifshitz-Bloch equations for classical ferromagnets // Phys. Rev. B. — 1997. — Feb.— Vol. 55. —P. 30503057.

32. Stochastic form of the Landau-Lifshitz-Bloch equation / R.F.L. Evans, D. Hinzke, U. Atxitia et al. // Phys. Rev. B. — 2012. — Jan.— Vol. 85.— P. 014433.

33. Atxitia U., Chubykalo-Fesenko O. Micromagnetic modeling of laser-induced magnetization dynamics using the Landau-Lifshitz-Bloch equation // Applied Physics Letters. —2007. —Vol. 91. —P. 232507.

34. Garanin Dynamic approach for micromagnetics close to the Curie temperature / O. Chubykalo-Fesenko, U. Nowak, R. W. Chantrell, D. // Physical Review B. — 2006. — Vol. 74. — P. 094436.

35. First-principles simulation: ideas, illustrations and the CASTEP code / M.D. Segall, P.J.D. Lindan, M.J. Probert et al. // Journal of Physics: Condensed Matter. —2002. —Vol. 14, no. 11. —P. 2717-2744.

36. Atomistic spin model simulations of magnetic nanomaterials / R.F.L. Evans, W.J. Fan, P. Chureemart et al. // Journal of Physics: Condensed Matter.— 2014. —Vol. 26, no. 10. —P. 103202.

37. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Z. Phys. — 1925.— Vol. 31. —P. 253-258.

38. Montroll Elliott W., Potts Renfrey B., Ward John C. Correlations and spontaneous magnetization of the two-dimensional Ising model // Journal of Mathematical Physics. — 1963.— Vol. 4, no. 2. —P. 308-322.

39. Yang C. N. The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model // Physical Review, Series II. — 1952. — Vol. 85, no. 5. — P. 808-816.

40. Joyce G. S. Classical Heisenberg Model // Physical Review. — 1967. — Vol. 155, no. 2.

41. Garanin D. A. Self-consistent Gaussian approximation for classical spin systems: Thermodynamics // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 53. — P. 11593.

42. Эйлер Л. Интегральное исчисление.Том 1. — М.: ГИТТЛ., 1956.

43. Nakatani Y., Uesake Y., Hayashi N. Direct solution of the Landau-Lifshitz-Gilbert equation for micromagnetics. // Japanese Journal of Applied Physics. —1989. —Vol. 28, no. 12. —P. 2485-2507.

44. Curtiss C. F., Hirschfelder J. 0. Integration of stiff equations // Mathematics: curtiss and hirschfelder. — 1952. — Vol. 38.

45. Рябенький B. C., Филиппов. А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. // М., Гостехиздат. — 1956.

46. Simple model for thin ferromagnetic films exchange coupled to an antifer-romagnetic substrate / D.Mauri, H.C.Siegmann, P.S.Bagus, E.Kay. // J.Appl.Phys. — 1987. — Vol. 62. — P. 3047 - 3049.

47. Folcomer E., Charap S.H. Thermal fluctuation aftereffect model for some systems with ferromagnetic-antiferromagnetic coupling // J.Appl.Phys. — 1972. —Vol. 43, no. 10. —P. 4190-4199.

48. Nishioka K. Grain size effect on ferro-antiferromagnetic coupling of NiFe/FeMn systems. // J.Appl.Phys. — 1996. — Vol. 80, no. 8.— P. 45284533.

49. Radu F., Zabel H. Exchange Bias Effect of Ferro-/Antiferromagnetic Het-erostructures // STMP. — 2007.— Vol. 227. —P. 97-184.

50. Meikljohn W.H. Exchange anisotropy - a review // J.Appl. Phys. — 1962. — Vol. 33. —P. 1328.

51. Kim J.-V., Stamp R.L. Hysteresis from antiferromagnet domain-wall process in exchange-biased systems: Magnetic defects and thermal effects // Phys. Rev. —2005. —Vol. 71, no. 9. —P. 094405.

52. O'Grady K. A., Fernandez-Outon1 L.E., Vallejo-Fernandez G. A new paradigm for exchange bias in polycrystalline thin films //J. Magn. Magn. Mater. —2010. —Vol. 322, no. 8. —P. 883-899.

53. Mixing antiferromagnets to tune NiFe-[IrMn/FeMn] interfacial spin-glasses, grains thermal stability, and related exchange bias properties / K. Akmaldinov, C. Ducruet, C. Portemont et al. // J.Appl.Phys. — 2014.— Vol. 115. —P. 17B718.

54. Ali M., Marrows C. H., Hickey B. J. Onset of exchange bias in ultrathin antiferromagnetic layers // Phys.Rev.B. — 2003. — Vol. 67. — P. 172405.

55. First-principles study of the magnetic structures of ordered and disordered Mn-Ir alloys / A. Sakuma, K. Fukamichi, K. Sasao, R.Y. Umetsu // PHYSICAL REVIEW B. —2003. —Vol. 67. —P. 024420.

56. Exchange Bias driven by Dzyaloshinskii-Moriya interactions / R. Yanes, J. Jackson, L. Udvardi et al. // Phys. Rev. Lett. — 2013.—Vol. 111.— P. 217202.

57. Atomistic spin model based on a spin-cluster expansion technique: Application to the IrMn3/Co interface / L. Szunyogh, L. Udvardi, J. Jackson et al. // Phys. Rev. B. — 2011.— Vol. 83.

58. Moriya T. Anisotropic Superexchange Interaction and Weak Ferromag-

netism // Phys. Rev. — 1960.— Vol. 120, no. 1.

59. Giant magnetic anisotropy of the bulk antiferromagnets IrMn and IrMn3 from first principles / L. Szunyogh, B. Lazarovits, L. Udvardi et al. // Phys. Rev. B. —2009. —Vol. 79.

60. The antiferromagnetic structures of IrMn3 and their influence on exchange-bias / A. Kohn, A. Kova, R. Fan et al. // SCIENTIFIC REPORTS. — 2013. —Vol. 3. —P. 2412.

61. Обменное смещение в структурах IrMn/Co с альтернативным чередованием антиферромагнитного и ферромагнитного слоев / Е.В. Хоменко, Н.Г. Чеченин, А.Ю. Гойхман, А.В. Зенкевич // Письма в ЖЭТФ. — 2008. — Т. 88, № 9. —С. 693-697.

62. Interlayer and Interfacial Exchange Coupling of IrMn Based MTJ / J. Wrona, T. Stobiecki, M. Czakiewicz et al. // Journal of Magnetics. — 2004. — Vol. 9, no. 2. —P. 52-59.

63. Antiferromagnetic layer thickness dependence of the IrMn/Co exchange bias system / M. Ali, C. H. Marrows, M. Al-Jawad, B. J. Hickey // Physical Review B.— 2003.— Vol. 68, no. 21.

64. McCord J., Mattheis R., Elefant D. Dynamic magnetic anisotropy at the onset of exchange bias: The NiFe/IrMn ferromagnet/antiferromagnet system // Physical Review B. —2003. —Vol. 70, no. 9.

65. Magnetic properties of patterned arrays of exchange-biased IrMn/Co square dots / G. Vinai, J. Moritz, G. Gaudin et al. // Journal of Physics D: Applied Physics. —2013. —Vol. 46.

66. Морозов А. И., Сигов А.С. Фрустрированные магнитные наноструктуры. — М.: Физматлит, 2017.

67. Barnes J., Hut P. A hirerachical O(N logN) force-calculation algorithm. //

Nature. — 1986. — December. — Vol. 324. — P. 446-449.

68. Micromagnetic simulation by using the fast multipole method specialized for uniform brick elements / Y. Takahashi, S. Wakao, T. Iwashita, M. Kanazawa // J. Appl. Phys. — 2009.— Vol. 105.

69. Xiaobo T., Baras J. S., Krishnaprasad P. S. Fast Evaluation of Demagnetizing Field in Three Dimensional // Technical Research Report. — 2001.

70. Hayashi N., Saito K., Nakatani Y. Calculation of Demagnetizing Field Distribution Based on Fast Fourier // Jpn. J. Appl. Phys. — 1996.—Vol. 35.— P. 6065-6073.

71. Fast Fourier transform on multipoles for rapid calculation of magnetostatic fields / H. H. Long, E. T. Ong, Z. J. Liu, E. P. Li // Magnetics, IEEE Transactions. —2006. —Vol. 42, no. 2. —P. 295-300.

72. J. Carrier L. Greengard V. Rokhlin. A fast adaptive multipole algorithm for particle simulations. // SIAM J. Sci. Stat. Comput. — 1988. — Vol. 9, no. 4. — P. 669-686.

73. L. Greengard V. Rokhlin. A fast algorithm for particle simulations. //J. Comput. Phys. —1987. —Vol. 73. —P. 325-348.

74. Rokhlin V. Rapid solution of integral equations of classical potential theory. // J. Comput. Phys. —1985. —Vol. 60. —P. 187-207.

75. Lashuk I. A Massively Parallel Adaptive Fast Multipole Method on Heterogeneous Architectures // Communications of the acm. — 2012. — Vol. 55.

76. Nussbaumer. Fast Fourier transform and convolution algorithms // Springer Series in Information Sciences. — 1981. — Vol. 2.

77. Зипунова Е.В., Иванов А.В. К вопросу о подборе наилучшей разностной схемы для решения системы уравнения Ландау-Лифшица // Труды 54-й научной конференции МФТИ. "Проблемы фундаментальных и приклад-

ных естественных и технических наук в современном информационном об-ществе"УП. Управление и прикладная математика. — Т. 2. — М.: МФТИ,

2011. —С. 119.

78. Зипунова Е.В., Иванов А.В. К вопросу о подборе наилучшей разностной схемы для решения системы уравнения Ландау-Лифшица // Труды 55-й научной конференции МФТИ "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном об-ществе"УН. Управление и прикладная математика. — Т. 2. — М.: МФТИ,

2012. —С. 56-57.

79. Зипунова Е.В., Иванов А.В. К вопросу о подборе наилучшей разностной схемы для решения системы уравнения Ландау-Лифшица // Труды 56-й научной конференции МФТИ "Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе"УП. Управление и прикладная математика. — Т. 2. —М.: МФТИ, 2013.— С. 67.

80. Зипунова Е.В., Иванов А.В. Выбор оптимальной численной схемы для численного моделирования магнетиков «атом в атом» // Труды 57-й научной конференции МФТИ с международным участием, посвященной 120-летию со дня рождения П.Л. Капицы.УП. Управление и прикладная математика.—Т. 2. —М.: МФТИ, 2014. —С. 78.

81. Ivanov A.V., Khilkov S.A., Zipunova E.V. Numerical simulation of magnetics based on physical kinetics // Spin Waves 2015 International Symposium Program Abstract / Ioffe Physical-Technical Institute. — Saint Petersburg, 2015. —June 7-13. —P. 117.

82. Хилков С.А., Иванов А.В., Зипунова Е.В. Моделирование сильно неравновесных процессов в магнетиках на основе уравнений физической кинетики // Математическое моделирование. — 2016. — Т. 28. — С. 24-31.

83. Зипунова Е.В., А.В.Иванов. Выбор оптимальной численной схемы для моделирования системы уравнений Ландау-Лифшица с учетом температурных флуктуаций. // Математическое моделирование. — 2014. — Т. 26, № 2. —С. 33-49.

84. Khilkov S.A., Ivanov A.V., Zipunova E.V. Numerical simulation of strongly nonequilibrium processes in magnets based on physical kinetics equations // Mathematical Models and Computer Simulatio. — 2016. — Vol. 8. — P. 703708.

85. Программный пакет для приборно-технологического моделирования спин-тронных приборов на основе магнитных туннельных переходов / Г.Д. Демин, К.А. Звездин, Е.В. Зипунова и др. // Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем - 2016. Сборник трудов / под общ. ред. академика РАН А.Л. Стемпковского. — Т. 4. — М.: ИППМ РАН, 2016. —С. 237-244.

86. Зипунова Е.В., Иванов А.В. К вопросу о тестировании программных комплексов для моделирования магнетиков // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2017. — № 98. — 30 с.

87. Зипунова Е.В., Иванов А.В. Две новые численные схемы для моделирования магнетиков // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2017. — № 140. —18 с.

88. Модель анизотропии на скомпенсированном интерфейсе кубический ферромагнетик-антиферромагнетик со структурой Cu3Au (L12) / А.В. Иванов, Е.В. Зипунова, А.А. Книжник, А.Ф. Попков // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. —2018. —№ 63. —31 с.

89. Зипунова Е.В., Иванов А.В. К вопросу о расчете поля демагнетизации быстрым мультипольным методом // Препринты ИПМ им. М. В. Келды-

ша. — 2018. — № 140.— 19 с.

90. Программный комплекс для компьютерного дизайна спинтронных нано-приборов / А.А. Книжник, И.А. Горячев, Е.В. Зипунова и др. // Российские нанотехнологии. — 2017. — Т. 12, № 3-4.— С. 76-83.

91. A software package for computer-aided design of spintronic nanodevices / A.A. Knizhnik, I.A. Goryachev, E.V. Zipunova et al. // Nanotechnologies in Russia. —2017. —Vol. 12, no. 3-4. —P. 208-217.

92. Свидетельство № 2016611018 Российская Федерация. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Macrospin / Б.В. Потапкин, И.А. Иванов, Е.В. Зипунова, А.А. Книжник; заявитель и правообладатель Общество с ограниченной ответственностью «Лаборатория Кинтех» (ООО «Кинтех Лаб»)(Яи). — № 2015661762; заявл. 27.11.2015; опубл. 20.02.2016, Реестр программ для ЭВМ.

93. Иванов A. B. Кинетическое Моделирование динамики магнетиков // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 10. —С. 89-104.

94. Nonlinear magnetic stochastic resonance: Noise-strength'constant-force diagrams / Yu.L. Raikher, V.I. Stepanov, A.N. Grigorenko, P.I. Nikitin // Phys. Rev. E. — 1997. — Dec. — Vol. 56. — P. 6400-6409.

95. Стохастический резонанс в однодоменных наночастицах с кубической анизотропией / Ю.П. Калмыков, Ю.Л. Райхер, У.Т. Кофии, С.В. Титов // Физика твердого тела. — 2005. — Т. 47, № 12. — С. 2232-2238.

96. Brown W. F. Micromagnetic. — New York: Wiley, 1963.

97. Иванов А. В., Хилков С. А. Библиотека aiwlib — инструмент для создания приложений численного моделирования, визуализации и анализа результатов // Научная визуализация. — 2018. — Т. 10, № 1. —С. 110-127.

98. Иванов А. В. Использование библиотеки aiwlib на примере численного мо-

делирования стохастического резонанса // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2018. — № 89. — 30 с. 99. Морозов А. И., Сигов А.С. Поверхностный спин-флоп-переход в антиферромагнетике // УФН. —2010. —Т. 180. —С. 709-722.

100. Вонсовский С.В. Магнетизм. — М.: Наука, 1971.

101. Access mode: http://dynamat.ugent.be/mumax.

102. ^Mag. — Access mode: http://www.ctcms.nist.gov/~rdm/mumag.html.