Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Осипов, Владимир Владимирович

• Осипов, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Осипов, Владимир Владимирович

Введение

Часть 1. Основы метода точечного моделирования

Глава 1. Точечное изображение функций

1. Векторное изображение функций. Точечный изображающий N - вектор

2. Выбор оптимальной N-сетки

3. Восстановление функций по их точечным изображениям

3.1. Восстанавливающие модели интерполяционного сглаживания

3.2. Интерполяционная модель с нечетными косинусами 36 Выводы

Глава 2. Точечное представление линейных операторов

1. Алгебра точечных изображений.

2. Точечное представление линейных операторов

3. Точечно - матричные представления операторов сдвига

4. Матрицы полиномиального сдвига (Р - матрицы). Алгебраические структуры. Гомоморфизмы

5. Р - матричное представление оператора интегрирования 67 Выводы

Часть 2. Точечное моделирование линейных динамических систем

Глава 3. Точечное моделирование и решение линейных дифференциальных уравнений

1. Матрицы полиномиального интегрирования и уравнения в R^

2. Уравнения с постоянными коэффициентами

3. Дифференциально - разностные уравнения с запаздыванием

3.1. Преобразование к задаче Коши

3.2. Решение методом точечных представлений

4. Уравнения с переменными коэффициентами 115 Выводы

Глава 4. Точечное моделирование операции свертки

1. Свертка, как обобщенный интегральный оператор

2. Векторная свертка. Гомоморфизмы сверточных алгебр

3. Теорема о точечном изображении свертки и преобразование Лапласа

4. Связь точечных векторных изображений функций и их изображений по Лапласу

5. Случай дробно - рациональных операторных изображений 141 Выводы

Глава 5. Точечное моделирование линейных динамических систем

1. Связь "вход - выход" в точечных представлениях для линейных динамических систем. Точечные динамические характеристики

2. Типовые динамические звенья в точечных представлениях. Структурные соединения и преобразования

3. Расчеты переходных процессов методом точечных представлений

3.1. Оценка степени устойчивости и времени переходного процесса для линейных стационарных динамических систем

3.2. Определение точечных переходных характеристик (ПХ) непосредственно по передаточной функции (ПФ) динамической системы

3.3. Определение точечных изображений переходных характеристик (ПХ) по вещественной частотной характеристике (ВЧХ) линейной динамической системы

Выводы

Основные результаты работы и выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений»

Актуальность и состояние проблемы

Применение математических методов - мощного инструмента познания и исследования, в разнообразных отраслях знаний и сферах человеческой деятельности становится возможным лишь при предварительном создании математических моделей изучаемых явлений. Бурное развитие вычислительной техники существенно стимулирует этот процесс.

Математическое моделирование становится, по существу, важнейшей частью современной прикладной математики и не только прикладной. Классы и типы математических моделей, как математические объекты, сами становятся предметами теоретических исследований.

Математическими моделями управляемых динамических систем служат неоднородные дифференциальные уравнения различного вида. Многие важнейшие свойства управляемых динамических систем рассматриваются на конечном промежутке времени, хотя соответствующие временные сигналы (процессы) теоретически имеют бесконечную длительность. Для описания (моделирования) таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных системах) хорошо приспособлен и широко используется метод опера-торно - частотных представлений, основанный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако, этот математический аппарат оказывался неэффективным и малопригодным для решения задач современной теории управления динамических систем, связанных по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи управления и наблюдаемости и, особенно, разнообразные задачи терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не и годится для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации.

В связи с этим, остается актуальным разработка эффективных приближенно - аналитических методов моделирования и решения на их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических систем, а также соответствующих компьютерных технологий.

Отметим получивший широкое распространение математический метод, основанный на замене непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией дифференциальных уравнений, описывающие динамику объектов управления, соответствующими разностными уравнениями.

Используемые при этом дискретное преобразование Лапласа и Ъ - преобразование создают аналитический аппарат моделирования непрерывных динамических систем, более конструктивный, чем традиционный подход [35, 73, 76, 91].

Вместе с тем, этот аппарат в значительной степени сохраняет те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преобразовании Лапласа.

Кроме того будучи приближенным метод дискретных представлений порождает свои проблемы: точность (адекватность представлений), численная устойчивость др. Эти важные вопросы вычислительной математики практически не рассматриваются в специальной литературе по теории дискретных (импульсных) систем, создавая иллюзию полного обоснования и универсальной эффективности метода.

Между тем, существующая теория дискретного моделирования непрерывных динамических систем далека от своего завершения. Ее математические основы нуждаются в более строгой проработке, совершенствовании и развитии.

Итак, сохраняется сделанный ранее вывод об актуальности и целесообразности разработки и применении в современной теории управляемых динамических систем более конструктивных математических методов и подходов, позволяющих эффективно моделировать и решать широкий круг задач анализа и синтеза (проектирования) систем управления разнообразными динамическими объектами. В этом отношении, в частности, представляется весьма эффективным метод изображающих векторов (МИВ) [48]. В ряде последующих работ [9,15,36,93] подтверждена его эффективность.

Метод позволяет очень просто преобразовывать и приближенно представлять в век-торно матричной форме линейные дифференциальные уравнения разного типа описывающие динамические системы на конечных временных промежутках. В результате разнообразные задачи теории управления формулируются как задачи линейной алгебры и конечномерного функционального анализа, для решения которого может быть использован имеющийся уже мощный арсенал вычислительных методов.

Один из вариантов МИВ, использующий точечные векторные изображения функций и точечные представления операторов, более прост и нагляден по сравнению с другими вариантами векторных изображений. Он несколько напоминает дискретный метод моделирования непрерывных систем особенно в варианте [73], хотя основан на другой идеологии.

Если зафиксировать Ы-сетку, наилучшую в некотором смысле, и использовать сплайновые формы нулевой степени, построенные на точечных изображениях, как приближающие модели, то возникает некоторый существенно более конструктивный вариант МИВ, названный методом точечных представлений, имеющий совершенно новые алгебраические и аналитические свойства и возможности, а также высокую эффективность в вычислительном отношении.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы теоретического обоснования метода точечных представлений, как конструктивного метода моделирования линейных динамических систем различного вида; разработан соответствующий аналитический аппарат и соответствующее программное обеспечение.

Цель диссертационной работы состоит в разработке приближенно - аналитического метода моделирования линейных динамических систем различного вида, использующего точечное представление функций и операторов, и создании соответствующего программного обеспечения.

Цель достигалась решением следующих задач:

1. Выбрать путем сравнительного анализа Ы-сетку, наилучшую для точечного представления функций на конечном промежутке.

2. Установить существование гомоморфных связей алгебраических структур точечных представлений с алгебраическими структурами моделируемых объектов.

3. Найти единый и аналитически эффективный подход к определению точечно - матричных представлений линейных и ограниченных операторов.

4. Применить метод точечных представлений для моделирования линейных дифференциальных уравнений различных типов и решения задач Коши на основе полученных моделей.

5. Разработать программное обеспечение для численной реализации решения задач Коши методом точечных представлений.

6. Найти точечные модели операторно-частотных и временных характеристик линейных стационарных динамических систем.

7. Разработать алгоритмы и программное обеспечение расчетов переходных характеристик сложных линейных динамических систем по их точечным моделям.

Основная идея работы. Метод точечных представлений, как метод моделирования, идеологически примыкает к методу изображающих векторов (МИВ), предложенного В.М.Осиповым. В основе же его аналитического аппарата лежит идея использования прямоугольных сплайновых элементов в качестве базиса N - мерного подпространства пространства М(0,Т) всех кусочно - непрерывных функций. Проектирование элементов из М(0,Т) на это N-мерное подпространство порождает сплайновые, ступенчатые приближающие модели построенные на точечных изображениях этих элементов и обладающие огромной аналитической и алгебраической гибкостью. Так, подпространство сплайновых ступенчатых форм образует банахову алгебру относительно обычного умножения и Sup-нормы соответствующих точечных векторных изображений, изоморфную такой же алгебре этих точечных N-векторных изображений относительно операции покоординатного умножения, как второй бинарной операции. Вместе с тем, алгебра ступенчатых сплайновых моделей при любом N является гомоморфным образом банаховой алгебры AM функций из М(0,Т) относительно обычного умножения и Sup-нормы этих функций, причем размерность N точечных моделей может служить показателем их адекватности. При N—>оо алгебра точечных изображений становится изоморфной алгебре AM.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяется математический аппарат функционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории автоматического управления, программная система математических вычислений MathCAD 8.0, среда Delphi 3.0.

Научная новизна диссертационной работы Разработан приближенно-аналитический метод точечного моделирования линейных динамических систем различного вида.

Теоретическая и практическая ценность диссертационной работы определяется широкой применимостью теоретических результатов для решения задач, связанных с моделированием и анализом линейных динамических систем. Разработанные в работе точечные модели могут быть применены для описания динамических объектов и расчета их динамических характеристик, а также для задач регулирования и управления, решения дифференциальных уравнений (произвольного порядка) различных типов. Практическим результатом работы является программное обеспечение, созданное для расчета и построения переходных характеристик линейных систем (любых порядков), которое может быть использовано при разработке и проектировании систем автоматического управления. Это программное обеспечение внедрено в учебный процесс при подготовки студентов специальности 210200 "Автоматизация технологических процессов и производств" в курсе "Теория управления", что подтверждено актом о внедрении (см. приложение к Главе 5).

Основные положения выносимые на защиту.

1. Аналитический аппарат моделирования линейных динамических систем разных типов использующий сплайновые ступенчатые модели и точечные представления функций и операторов.

2. Результаты исследования связей алгебраических структур точечных представлений (точечных моделей) с алгебраическими структурами моделируемых объектов.

3. Общий конструктивный подход к определению точечно-матричных представлений некоторых линейных операторов, необходимых для точечного моделирования линейных динамических систем (операторы сдвига, оператора интегрирования, сверточные операторы).

4. Точечное моделирование и решение задач Коши в пространстве точечных изображений линейных дифференциальных уравнений различных типов, а также соответствующее программное обеспечение. 7

5. Точечное моделирование линейных динамических систем и алгоритмы расчета точечных изображений их переходных характеристик непосредственно по передаточным функциям (точечное обращение преобразования Лапласа) либо по вещественным частотным характеристикам (точечное обращение косинус - преобразование Фурье).

Апробация работы. Основные положения и отдельные разделы диссертационной работы обсуждались и докладывались на конференциях, совещаниях и семинарах, в том числе:

Зональная студенческая научно-практическая конференция

Совершенствования методов поиска и разведки, технологии добычи и переработки руд", Красноярск 1996;

Межвузовская научно-практическая конференция "Студент наука и цивилизация", Красноярск 1997;

Новосибирская межвузовская научная студенческая конференция "Интеллектуальный потенциал Сибири", Новосибирск 1997;

Межвузовская научно-практическая конференция "Информационные технологии", Красноярск 1999;

1 Всесибирский конгресс женщин математиков (к 150-летию со дня рождения C.B. Ковалевской). Красноярск 2000.

Всероссийская научно-практическая конференция "Педагогические проблемы и информационные технологии в системе непрерывного образования", Красноярск 2000.

Научные семинары Красноярской государственной академии цветных металлов и золота и Красноярского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 11 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работы состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографии приложений и содержит страниц основного машинописного текста, 10 рисунка, список используемой литературы включает 96 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Осипов, Владимир Владимирович

Основные результаты и выводы состоят в следующем:

1. Выбрана чебышевская Ы-сетка, как наилучшая для точечного моделирования по ряду показателей: минимум чувствительности к погрешностям в исходных данных, наивысшая возможная точность интерполяционных моделей и квадратурных формул.

2. Найден аналитически эффективный подход к определению точечно-матричных представлений линейных и ограниченных операторов, использующий прямоугольные сплайновые элементы в качестве базисных, что позволяет получить точечные модели таких операторов в виде матриц полиномиального сдвига (Р-матриц).

3. Проведен анализ установленных гомоморфных связей алгебраических структур Ы-мерных точечных моделей функций и операторов, определяющих их адекватность, с алгебраическими структурами моделируемых объектов. При N—>00 эти гомоморфизмы переходят в соответствующие изоморфизмы.

4. Разработаны точечные модели задач Коши для линейных дифференциальных уравнений различных типов на основе которых разработано программное обеспечение численного решения этих задач. Многочисленные примеры, включая и пример жесткой задачи Коши, показывают высокую вычислительную эффективность метода.

5. Разработаны точечные модели операторно-частотных и временных характеристик линейных стационарных динамических систем. В частности, эффективно решены задачи точечного обращения преобразования Лапласа и косинус-преобразование Фурье для конечного временного промежутка. Разработано соответствующее программное обеспечение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Осипов, Владимир Владимирович, 2000 год

1.Альберт Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 1972.

2. Ахиезер Н.И. , Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1977.

3. Атанс М. Фолб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение,!968.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления -Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. школа,1989.

5. Амосов A.A. Дубенский Ю.А. Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. -М.:Высшая школа. 1994.

6. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования.-М.: Наука, 1967.

7. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально разностные уравнения.-М.:Мир, 1967.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. 2-е изд. - М.: Наука, 1976.

9. Бурыкина Н.В. Применение метода изображающих векторов к задачам оптимального управления линейными системами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПУ. 1994.

10. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

11. Воловоденко В.А. Разработка алгоритмов анализа и упрощения моделей сложных линейных систем на базе метода изображающих векторов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПИ. 1981.

12. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л, Переходные процессы в линейных системах .-М.:Физматгиз, 1961.

13. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967.

14. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.- М.; Л.: ГИТТЛ, 1934.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Физматиз, 1962.

16. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. -М. Машиностроение, 1974.

17. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- М.: Наука, 1966.

18. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z -преобразования. М.: Наука, 1971.

19. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами,-М.: Наука, 1977.

20. Демидович Б.А. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

21. Иванов В.А., Медведев B.C., Чемоданов Б.К., Ющенко A.C. Математические основы теории автоматического регулирования. 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. школа, 1977. -Т. 1.

22. Иванов В.А., Медведев B.C., Чемоданов Б.К., Ющенко A.C. Математические основы теории автоматического регулирования. 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. школа, 1977. -Т.2.

23. КаазикЮ.Я. Математический словарь.-Таллин: Валгус. 1985.

24. Катковник В.Я., Полуэктов P.A. Многомерные дискретные системы.- М.: Наука, 1966.

25. Кейперс Л.,Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей.-М.:Наука, 1985.

26. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.:Наука, 1976.

27. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления.- М.: Машиз, 1962.

28. Корякина Г.В. Анализ и оптимизация линейных нестационарных систем с запаздыванием операторными методами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПИ. 1986.

29. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: ГИФМЛ, 1959.

30. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнений. 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1976.

31. Ланкастер П. Теория матриц.- 2-е изд. М.: Наука, 1982.

32. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.

33. Лурье A.M. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики.-Гостехиздат. 1950.

34. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.: Высшая школа, 1982.

35. Маслов В.П. Операторные методы. М.:Наука,1973.

36. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1977.

37. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.; Л.: ГИТТЛ,1949.

38. Попов Б.П. Динамика систем автоматического регулирования.-ГИТТЛ.1954.

39. Пугачев B.C. Основы автоматического управления.- М.: Физматиз, 1962.

40. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы анализа. М.: Наука, 1978.-Ч.1.

41. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы анализа. М.: Наука, 1978.-Ч.2.

42. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Наукова Думка, 1967.65 .Пухов Г.Е. Преобразование Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. Киев: Наукова Думка, 1978.

43. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

44. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу: Пер. с фр. М.: Мир, 1979

45. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.

46. Рихмайер Р. Принципы современной математической физики: Пер. с англ. М.:Мир, 1982.

47. Рудин У. Основы математического анализа: Пер с англ.- М.: Мир, 1976.

48. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж. Холл и Дж. Уятт. -М.: Мир, 1979.

49. Солодов A.B. Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. -М.:Наука, 1980.

50. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

51. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.191

52. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980.

53. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. -М.: Советское радио, 1975.

54. Тихонов А.Н. Аррсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.

55. Тихомиров В.М. Банахова алгебра. Дополнение к кн.: Колмагоров А.Н., Фомин C.B. элементы теории функций и функционального анализа.

56. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд. Моск. ун. 1976.

57. Толстов Г.П. Ряды Фурье.- М.:Физматиз, 1966.

58. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.- М.: Мир, 1984.-Т.2.

59. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1970.-Т.2.

60. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1970.-Т.З.

61. Фор Р., Кофман А. Дени Папен М. Современная математика.-М.:Мир.1966.

62. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру.-М.: Мир.1979.

63. Харкевич A.A. Линейные и нелинейные системы: Избр.тр.- М.: Наука, 1973.-Т.2.

64. Харкевич A.A. Спектры и анализ.-ГИТТЛ,1957

65. Халмаш П. Конечномерные векторные пространства. Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963.

66. Халмаш П. Гильбертово пространство в задачах. Пер. с англ. М.: Мир, 1970

67. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989.91 .Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем.-М.:Физматиз, 1963

68. Штокало И.З. Операционное исчисление. Киев: Наукова Думка, 1972.

69. Шалаев Ю.Н. Описание и моделирование нестационарных объектов управления на основе метода изображающих векторов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПИ. 1986.

70. Эльсгольц Л.Э. Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-М.:Наука, 1971.

71. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969.

72. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении т.1. М.: Мир,1985.